%Fichier de J-Y Ducloux (page Web), octobre 1999 %!TEX TS-program = pdflatex %!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[11pt,a4paper]{article} %ajouter "draft" pour voir les débordements \usepackage[text={17cm,26cm},hcentering]{geometry} \linespread{1} \pagestyle{empty} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[french]{babel} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{amsmath,amssymb,mathrsfs} %Fontes double-barres, gothiques, script %--------------------------------------------------------------------- %Macros générales %Lettres scripts et calligraphiques <- pas dans ce texte \newcommand{\scro}{\mathscr{O}} \newcommand{\calo}{\mathcal{O}} %Black Board Bold Face (lettres double-barre) \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\Proba}{\mathbb{P}} %Euler fraktur (gothiques) <- pas dans ce texte \newcommand{\gothg}{\mathfrak{g}} %--------------------------------------------------------------------- %Opérateurs %passage aux grands opérateurs \def\Sum{\displaystyle\sum} \def\Prod{\displaystyle\prod} \def\Int{\displaystyle\int} \def\Lim{\displaystyle\lim} %opérateurs usuels \def\Re{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits} \def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits} \def\sg{\mathop{\mathrm{sg}}\nolimits} \def\pr{\mathop{\mathrm{pr}}\nolimits} \def\abs#1{{\left\vert#1\right\vert}} %ensemble privé de zéro \def\moins0{\setminus\!\{0\}} %Constantes usuelles \newcommand{\me}{\mathrm{e}} %base des logarithmes népériens \newcommand{\mi}{\mathrm{i}} %racine carrée particulière de -1 %--------------------------------------------------------------------- %Macros d'algèbre %opérateurs supplémentaires \def\rg{\mathop{\mathrm{rg \,}}\nolimits} \def\tr{\mathop{\mathrm{tr}}\nolimits} \def\Ker{\mathop{\mathrm{Ker}}\nolimits} \def\Supp{\mathop{\mathrm{Supp}}\nolimits} %composantes #3 d'un vecteur #1 dans une base #2 \def\composantes#1#2#3{\ensuremath{\sousord{#1\hfill}{\,/#2\!} \left|\!\!\begin{array}{c}#3\end{array} \right.\!\!\!}} \def\petitescomposantes#1#2#3{\ensuremath{\sousord{#1\hfill}{\,/#2\!} \left|\!\begin{smallmatrix}#3\end{smallmatrix} \right.\!}} %--------------------------------------------------------------------- %Macros d'analyse %opérateurs supplémentaires \def\Log{\mathop{\mathrm{Log}}\nolimits} \def\sh{\mathop{\mathrm{sh}}\nolimits} \def\ch{\mathop{\mathrm{ch}}\nolimits} \def\diff{\mathrm{d}} \def\norm#1{{\left\Vert#1\right\Vert}} \def\Der{\mathop{\mathrm{Der}}\nolimits} %définition d'une application en extension de #1 dans #2 envoyant #3 sur #4 \def\application#1#2#3#4{\!\!\begin{array}[t]{ccc} {#1}&\!\!\!\rightarrow\!\!\!&{#2}\\ {#3}&\!\!\!\mapsto\!\!\!&{#4}\end{array}\!\!\!} \def\longueapplication#1#2#3#4{\!\begin{array}[t]{ccc} {#1}&\!\longrightarrow\!&{#2}\\ {#3}&\!\longmapsto\!&{#4}\end{array}\!\!\!} %barre verticale de restriction d'une fonction \def\restriction#1#2{\mathchoice {\setbox1\hbox{${\displaystyle #1}_{\scriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\textstyle #1}_{\scriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\scriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}} {\setbox1\hbox{${\scriptscriptstyle #1}_{\scriptscriptstyle #2}$} \restrictionaux{#1}{#2}}} \def\restrictionaux#1#2{{#1\,\smash{\vrule height .8\ht1 depth .85\dp1}}_{\,#2}} %--------------------------------------------------------------------- %Macros locales %symbole de relation #1 avec commentaire #2 \def\surrel#1#2{\mathrel{\mathop{#1}\limits^{#2}}} \def\egdef{\surrel{=}{\textrm{\tiny déf}}} %bloc avec texte en dessous, vu comme texte mathématique ordinaire \def\sousord#1#2{\mathord{\mathop{#1}\limits_{#2}}} %une ligne de commentaire #2 sous #1, sans accolade et avec accolade \def\precisesous#1#2{\sousord{#1}{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2}}} \def\designesous#1#2{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2}}}} \def\precisesousbis#1#2#3{\sousord{\mbox{$#1$}}{\substack{\makebox[0ex]{\tiny #2} \\\makebox[0ex]{\tiny #3}}}} %deux lignes de commentaire #2#3 sous #1, sans accolade et avec accolade \def\designesousbis#1#2#3{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\makebox[0ex]{\rm \tiny #2} \atop\makebox[0ex]{\rm \tiny #3}}}} \def\designesousbis#1#2#3{\ensuremath{\underbrace{#1}_{\substack{\\[-3.5pt]\makebox[0ex]{\tiny #2}\\ \makebox[0ex]{\tiny #3}}}}} %--------------------------------------------------------------------- %=============================================================================== % \begin{document} % %============================================================================== %à tout moment on peut modifier la taille des fontes, par exemple : %\fontsize{8}{8}\selectfont \centerline{{\LARGE\bf\boldmath Variétés différentiables~: à retenir\ }\rm (J-Y D)} \vskip1cm {\noindent\bf\large Références} M.~{\sc Berger} et~B.~{\sc Gostiaux}. {\em Géométrie différentielle} (ch. 2 et ch. 3). PUF, 1987. Cote : 67 BER 92 (en anglais : 67 BER 88). P.~{\sc Dolbeault} {\em Analyse complexe} (paragraphes 3.3, 6.4, et 7.4 du ch. 7). Masson, 1990. Cote : 45 DOL 90. \vskip5mm %=============================================================================== % \section{Variétés lisses (\mathversion{bold}$\K = \R$) ou holomorphes ($\K = \C$)} % %============================================================================== %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Variétés} %------------------------------------------------------------------------------ On appelle \emph{variété lisse} (resp. \emph{variété holomorphe}) de dimension $m$ un espace topologique $X$ séparé et à base dénombrable muni d'un «~atlas lisse~» (resp. «~atlas holomorphe~»), \\ c'est-à-dire d'une famille $((U_i,\varphi_i))_{i \in I}$ d'homéomorphismes $\;\, \varphi_i \colon \;\;\precisesous{U_i}{ouvert de $X$}\;\; \to \;\precisesous{\varphi_i(U_i)}{ouvert de $\K ^m$}\;$, $\, i \in I \,$ vérifiant~: % $\displaystyle X = \bigcup_{i \in I} U_i \;\,$ et pour tous $\, i,j \in I \,$ l'application $\;\, \varphi_j {\scriptstyle \,\circ\,} \varphi_i^{-1} \colon \designesousbis{\varphi_i(U_i \cap U_j)}{automatiquement} {\smash{ouvert de $\K ^m$}} \to \K ^m \;\,$ est C\textsuperscript{$\infty$} (resp. C\textsuperscript{$\infty$} de différentielle $\C$-linéaire). \smallskip Dans ce cas~: la structure de variété de $X$ est l'ensemble de ses «~cartes~», c'est-à-dire des couples $(U,\varphi)$ pour lesquels $\, ((U,\varphi),((U_i,\varphi_i))_{i \in I}) \,$ est encore un atlas de l'espace topologique~$X$. \medskip Cette structure détermine la topologie de $X$, car les ouverts de $X$ sont les réunions d'ensembles de définition de cartes de $X$. La topologie de $X$ redonne sa dimension quand $X$ est non vide, car des ouverts non vides de $\K ^{m_1}$ et de $\K ^{m_2}$ sont non homéomorphes lorsque $m_1 \not= m_2$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Exemples} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ $\K ^m$ muni de l'atlas formé de $\; \mathrm{id} \colon \K ^m \to \K ^m \;$ est une variété. \medskip $\bullet$ L'espace topologique quotient $\; \Proba^m (\K ) \egdef \;\;\raisebox{-1ex} {\designesous{\K \!\moins0}{action par produit à gauche}} \raisebox{-.5ex}{$\Big\backslash$} \K ^{m+1} \moins0 \;$ muni de l'atlas formé des $\varphi_i \colon \longueapplication{U_i \egdef \{ \K (x_0,...,x_m) \,;\, (x_0,...,x_m) \in \K ^{m+1} \textrm{ et } x_i \not= 0 \}}{\K ^m} {[x_0,...,x_m] \egdef \K (x_0,...,x_m)} {(\frac{x_0}{x_i},...,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i},...,\frac{x_m}{x_i})}$\\[2mm] avec $\, 0 \leq i \leq m \,$ est une variété. \newpage %=============================================================================== % \section{Morphismes de variétés} % %============================================================================== \smallskip\quad On fixe des variétés $X$, $Y$, $Z$ de dimensions $m$, $n$, $p$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Notations} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ Pour tout $x \in X$ et toute carte $(U,\varphi)$ de $X$ \designesous{\textrm{«~en $x$~»}}{c'est-à-dire $x \in U$}~:\\[-3mm] \hspace*{\fill}% $\composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \;$ signifie que $\varphi (x) = (x_1,\cdots,x_m)$. \hspace*{\fill}% \smallskip $\bullet$ Pour toute application continue $\, f \colon X \to Y$, et, toutes cartes $(U,\varphi)$ de $X$ et $(V,\psi)$ de~$Y$~:\\[2mm] \hspace*{\fill}% $\composantes{f}{\varphi,\psi} {\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$ signifie que $\;\; \restriction{f}{U \cap f^{-1}(V)} \colon \;\; \composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \; \mapsto \;\; \composantes{f(x)}{\psi} {\widetilde{f}_1(x_1,...,x_m) \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n(x_1,...,x_m)}\!$, \hspace*{\fill}% \\ c'est-à-dire que $\;\; \restriction{f}{U \cap f^{-1}(V)} = \psi^{-1} {\scriptstyle \,\circ\,} (\widetilde{f}_1,\cdots,\widetilde{f}_n) {\scriptstyle \,\circ\,} \varphi$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Morphismes} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On dit qu'une application $\,f \colon X \to Y \,$ est un \emph{morphisme de variétés de $X$ dans $Y$} si pour tout $a \in X$ il existe une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ telles que\\ \hspace*{\fill}% $\; \composantes{f}{\varphi,\psi} {\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$ avec $\widetilde{f}_1,...,\widetilde{f}_n$ $\; \left\{ \begin{array}{l} \textrm{\scriptsize C\textsuperscript{$\infty$} si $\;\K = \R$} \\ \textrm{\scriptsize C\textsuperscript{$\infty$} de différentielle $\C$-linéaire en chaque point si $\;\K = \C$} \end{array} \right.\!\!$. \hspace*{\fill}% \medskip $\bullet$ La composée de deux morphismes de variétés est un morphisme de variétés. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Partition de l'unité} %------------------------------------------------------------------------------ On suppose ici que $\K = \R$. Pour tout recouvrement ouvert $(U_i)_{i \in I}$ de la variété lisse $X$, il existe des applications C\textsuperscript{$\infty$} $\; u_i \colon X \to \R$, $i \in I$ telles que~: $\left\{ \begin{array}{l} \forall i \in I \;\; \Supp \, u_i \egdef \designesous{\overline{\{x \in X \mid u_i(x) \not= 0\}}}{«~support de $u_i$~»} \subseteq U_i \\ \forall x \in X \;\;\; \exists \quad\precisesous{V}{voisinage de $x$}\quad \subseteq X \;\; \{i \in I \mid \restriction{u_i}{V} \not= 0\} \textrm{ fini} \\ \forall i \in I \;\; u_i \geq 0, \textrm{ et}, \ \forall x \in X \;\; \Sum_{i \in I} u_i(x) = 1 \end{array} \right.$ \quad $\left(\parbox{11em} {$\,(u_i)_{i \in I}\,$~: «~partition lisse de l'unité subordonnée au recouvrement $(U_i)_{i \in I}$~»} \right)$. (Par contre, quand $\K = \C$, toute application holomorphe $\; u \colon X \to \C$ dont le support est un compact de l'ensemble de définition connexe d'une carte de $X$, est nulle.) %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Produit} %------------------------------------------------------------------------------ L'espace topologique produit $X \times Y$ muni de l'atlas formé des applications\\[1mm] \hspace*{\fill}% $\designesous{\varphi {\scriptstyle \times} \psi} {\raisebox{.6ex}{$(x_1,...,x_m,y_1,...,y_n)$}} \colon \quad\ \application{U \times V}{\K ^{m+n}}{(x,y)}{(\varphi(x),\psi(y))}$ avec $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ carte de $X$ et $(V,\designesous{\psi}{$(y_1,...,y_n)$}\,)$ carte de $Y$ \hspace*{\fill}% \\[1mm] est une variété («~variété produit de $X$ et $Y$~»). De plus, pour toute application \designesous{\textrm{continue}}{(inutile)} $\, h \colon Z \to X \times Y$, on a~:\\ \hspace*{\fill}% $h$ morphisme de variétés $\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$ $\pr_1 {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$ et $\, \pr_2 {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$ morphismes de variétés. \hspace*{\fill}% \newpage %=============================================================================== % \section{Sous-variétés. Immersions. Submersions} % %============================================================================== \smallskip\quad On fixe des variétés $X$, $Y$, $Z$ de dimensions $m$, $n$, $p$ et un morphisme de variétés $\, f \colon X \to Y$.% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Rang} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ Le rang de $f$ en $a \in X$ est l'entier défini indépendamment des choix d'une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et d'une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ par~:\\[-3mm] \hspace*{\fill}% $\rg_a f \egdef \mathrm{rang}\, (\diff\widetilde{f}_1(a_1,...,a_m),\dots, \diff\widetilde{f}_n(a_1,...,a_m)) \;\;$ où $\; \composantes{f}{\varphi,\psi} {\widetilde{f}_1 \\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$ et $\; \composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m} \!$. \hspace*{\fill}% \medskip $\bullet$ Soit $k \in \N$. L'ensemble des $x \in X$ en lesquels $\, \rg_x f \geq k \,$ est un ouvert de $X$. Le rang de $f$ est égal à $k$ au voisinage d'un point $a$ de $X$ si et seulement si \\ il existe une carte $(U,\varphi)$ de $X$ en $a$ et une carte $(V,\psi)$ de $Y$ en $f(a)$ telles que~:\\[1mm] \hspace*{\fill}% $\composantes{f}{\varphi,\psi} {\widetilde{f}_1\\ \smash{\vdots} \\ \widetilde{f}_n} \;$ avec $\; \left\{\!\! \begin{array}{c} \widetilde{f}_1(x_1,...,x_m) = x_1 \\ \vspace{-1.4em} \\ \cdots \\ \vspace{-1.8em} \\ \widetilde{f}_k(x_1,...,x_m) = x_k \\ \widetilde{f}_{k+1}(x_1,...,x_m) = 0 \\ \vspace{-1.4em} \\ \cdots \\ \vspace{-1.8em} \\ \widetilde{f}_n(x_1,...,x_m) = 0 \end{array} \right. \;\;\;$ («~théorème du rang constant~»). \hspace*{\fill}% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Immersion. Sous-variétés} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On dit que $f$ est \emph{une immersion} si $\; \rg_x f = \dim X \;$ pour tout $x \in X$. \\ Dans ce cas, pour toute application continue $\, h \colon Z \to X$ on a~: $h$ morphisme de variétés $\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$ $\, f {\scriptstyle \,\circ\,} h \,$ morphisme de variétés. \medskip $\bullet$ On appelle \emph{sous-variété de dimension $d$ de $X$} une partie $S$ de $X$ munie de la topologie induite qui a une structure de variété de dimension $d$ (automatiquement unique) rendant l'injection canonique $\,\mathrm{inj} \colon S \to X\,$ immersion. \medskip $\bullet$ Une partie $S$ de $X$ est une sous-variété de dimension $d$ de $X$ si et seulement si~: \\ pour tout $a \in S$ il existe une carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ telle que $\; U \cap S = \{ x_{d+1} = \dots = x_m = 0\}$.\\[1mm] Dans ce cas~: $S$ a un atlas formé des $(U \cap S,\designesous{\restriction{\varphi}{U \cap S}}{$(x_1,...,x_d)$}\,)$ avec $(U,\varphi)$ comme ci-dessus. \smallskip $\bullet$ Les sous-variétés de dimension $m$ de $X$ sont les ouverts de $X$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Inversion locale} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On dit que $f$ est \emph{un difféomorphisme} si $f$ est bijective et $f^{-1}$ est u morphisme de variétés Les cartes de $X$ sont donc les difféomorphismes d'un ouvert de $X$ sur un ouvert de $\K ^m$.% \medskip $\bullet$ Par le théorème du rang constant, pour tout $a \in X$ on a~:\\ le morphisme de variétés $f$ se restreint en un difféomorphisme d'un ouvert de $X$ contenant $a$ sur un ouvert de $Y$ contenant $f(a)$ si et seulement si $\; \rg_a f = \dim X= \dim Y$. \medskip $\bullet$ On dit que $f$ est \emph{un plongement} si $f$ se restreint en un homéomorphisme de $X$ sur $f(X)$. \medskip $\bullet$ L'image d'une sous-variété par un plongement est une sous-variété de même dimension.% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Submersions} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On dit que $f$ est \emph{une submersion} si $\; \rg_x f = \dim Y \;$ pour tout $x \in X$. \\ Dans ce cas, en supposant $f$ surjective, pour toute application \designesous{\textrm{continue}}{(inutile)} $\, h \colon Y \to Z$ on a~:\\[-1.5mm] \hspace*{\fill}% $h$ morphisme de variétés $\surrel{\iff}{\raisebox{.4ex}{\tiny prop}}$ $\, h {\scriptstyle \,\circ\,} f \,$ morphisme de variétés. \hspace*{\fill}% \medskip $\bullet$ L'image réciproque d'une sous-variété par une submersion est une sous-variété de même codimension. \newpage %=============================================================================== % \section{Espaces tangents. Fibré tangent} % %============================================================================== \smallskip\quad On fixe une variété $X$ de dimension $m$ et $a \in X$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Dérivation ponctuelle} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On note $(\calo_{\!X})_a$ la $\K $-algèbre des classes d'équivalences de morphismes de variétés \smash{$\;s \colon \quad\precisesousbis{V}{ouvert de $X$}{contenant $a$}\quad \to \K $} pour~: $\qquad\precisesousbis{s_1}{défini}{sur $V_1$}\; \sim \; \precisesousbis{s_2}{défini}{sur $V_2$}\; \iff \; \exists \quad\precisesousbis{W}{ouvert de $X$}{contenant $a$}\quad \subseteq V_1 \cap V_2 \;\;\;\; \restriction{s_1}{W} = \restriction{s_2}{W}$. La classe $\dot{s}$ de $s$ dans $(\calo_{\!X})_a$ sera notée $\mathrm{germe}_a(s)$ («~germe de $s$ en $a$~»). \medskip $\bullet$ On note $\,\Der_a((\calo_{\!X})_a) \,$ le $\K $-espace vectoriel des $\, D_a \in {(\calo_{\!X})_a}^{\!*} \,$ vérifiant~:\\[1mm] \hspace*{\fill}% $D_a(\dot{s_1}\dot{s_2}) =D_a(\dot{s_1}) \, s_2(a) + s_1(a) \, D_a(\dot{s_2}) \;$ pour $\, \dot{s_1},\dot{s_2} \in (\calo_{\!X})_a \,$ («~dérivation ponctuelle en $a$~»). \hspace*{\fill}% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Espace tangent en \mathversion{bold}$a$} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On appelle \emph{espace tangent à $X$ en $a$} le $\K $-espace vectoriel~:\\[1mm] $T_a X = \Der_a((\calo_{\!X})_a) \surrel{=}{\textrm{\tiny prop}} \Bigl\{ \gamma'(0) \, ; \, \gamma \colon \;\;\precisesousbis{I}{ouvert de $\K $}{contenant $0$}\;\; \surrel{{\hbox to 3em{\rightarrowfill}}}{\textrm{\scriptsize variétés}} X \textrm{ et } \gamma(0) = a \Bigr\} \,$ où $\; \gamma'(0) \! \colon \! \application{(\calo_{\!X})_a\!\!}{\K } {\dot{s}}{\!\frac{\diff}{\diff t}(s(\gamma(t)))_{t=0}\!}$. \medskip $\bullet$ Lorsque $X$ est une sous-variété de $\K ^M$, l'injection linéaire $\; \application{T_a X}{\K ^M} {\smash{\designesous{\gamma'(0)}{notation ci-dessus}}} {\!\frac{\diff}{\diff t}(\gamma(t))_{t=0}\!}$ «~identifie~» $T_a X$ à son image, l'espace tangent usuel noté ici $\, (T_a X)_{\textrm{\tiny concret}}$. \medskip $\bullet$ À un élément $\dot{s}$ de $(\calo_{\!X})_a$, on associe~: $\, \diff_a s \egdef (v \!\mapsto\! \designesous{v(\dot{s})}{noté $v \cdot s$}\,) \in (T_a X)^*$ («~différentielle de $s$ en $a$~»). Chaque carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ donne une application $\; \diff_a \varphi \colon \application{T_a X}{\K ^m} {\gamma'(0)}{\!\frac{\diff}{\diff t}(\varphi(\gamma(t)))_{t=0}\!}$ linéaire bijective qui s'écrit~: $\; \diff_a \varphi = (\diff_a x_1,...,\diff_a x_m)$. La base $\left( \left(\frac{\partial}{\partial x_1}\right)_a,\cdots, \left( \frac{\partial}{\partial x_m}\right)_a \right)$ de $T_a X$ définie par $\left(\frac{\partial}{\partial x_k}\right)_a \! = (\diff_a \varphi)^{-1}(\,\designesous{e_k}{vecteur de la base canonique}\,)$ pour $1 \!\leq\! k \!\leq\! m$, admet $(\diff_a x_1,\cdots,\diff_a x_m)$ pour base duale.\\[-2mm] \hspace*{\fill}% On trouve que~: $\quad\composantes{\diff_a s}{(\diff_a x_1,\cdots,\diff_a x_m)} {\left(\frac{\partial}{\partial x_1}\right)_a \cdot s = \frac{\partial \widetilde{s}}{\partial x_1}(a_1,...,a_m) \\ \smash{\vdots} \\ \left(\frac{\partial}{\partial x_m}\right)_a \cdot s = \frac{\partial \widetilde{s}}{\partial x_m}(a_1,...,a_m)} \quad$ où $\;\composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m}\;$ et $\;\composantes{s}{\varphi,\mathrm{id}_{\K }} {\widetilde{s} = \widetilde{s}_1}$. \hspace*{\fill}% \vspace*{-2mm} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Fibré tangent} %------------------------------------------------------------------------------ On appelle \emph{fibré tangent de $X$} la variété d'ensemble $\;TX \egdef \displaystyle \bigcup_{x \in X} \{ x \} \times T_x X\;$ et de cartes\\ \hspace*{\fill}% $\smash{\designesous{\diff \varphi}{$(x_1,...,x_m,\diff_x x_1,...,\diff_x x_m)$}} : \qquad\;\;\;\; \application{\displaystyle \!\bigcup_{x \in U} \{ x \} \times T_x X \!}{\K ^{2m}} {(x,v)}{\!\!(\varphi(x),\diff_x\varphi \cdot v)\!\!}$ avec $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ carte de $X$. \hspace*{\fill}% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Passage de \mathversion{bold}$\C$ à $\R$} %------------------------------------------------------------------------------ On suppose que $\K = \C$ et note $X_{\!(\R)}$ la variété lisse issue de $X$. L'application $\, \application{T_a X}{(T_a (X_{\!(\R)}))_{\C}}{u}{v + \mi\,w} \,$ où $\, u = \restriction{(\, \smash{ \precisesous{\smash{\underbrace{v}_{}} + \mi\,\smash{\underbrace{w}_{}}} {\raisebox{-.5em}{prolongés par $\C$-linéarité}} } \,)} {(\calo_{\!X})_a} \;$ est $\C$-linéaire injective, car étant donné une carte $(U,\designesous{\varphi}{$(z_1,...,z_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ à laquelle on associe la carte $(U,\designesous{\varphi_{\!(\R)}} {$\smash{\surrel{=}{\mathrm{d\acute{e}f}}} (x_1,...,x_m,y_1,...,y_m)$})$ de $X_{\!(\R)}$ déterminée par $(z_1,\cdots,z_m) = (x_1 + \mi\,y_1,\cdots,x_m + \mi\,y_m)$, elle envoie $\left( \frac{\partial}{\partial z_k} \right)_a$ sur $\frac{1}{2} \left( \left( \frac{\partial}{\partial x_k} \right)_a \! - \mi \left( \frac{\partial}{\partial y_k} \right)_a \right)$, $1 \!\leq\! k \!\leq\! m$.% \smallskip Son image et le conjugué de son image sont deux sous-espaces vectoriels complexes supplémentaires de $(T_a (X_{\!(\R)}))_{\C}$. \newpage %=============================================================================== % \section{Application tangente} % %============================================================================== \smallskip Soient $X$, $Y$, $Z$ des variétés de dimensions $m$, $n$, $p$. On se donne des morphismes de variétés $\,f \colon X \to Y \,$ et $\, g \colon Y \to Z$, et $a \in X$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Application tangente} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ L'application $T_a f \colon \application{T_a X}{T_{f(a)} Y} {v}{(w \colon s \mapsto v \cdot (s {\scriptstyle \,\circ\,} f))}$ est linéaire («~application tangente à $f$ en $a$~»). Elle envoie $\gamma'(0)$ sur $(f {\scriptstyle \,\circ\,} \gamma)'(0)$, pour $\; \gamma \colon \quad\precisesous{I}{ouvert de $\K $ contenant $0$}\quad \longrightarrow X \;$ morphisme de variétés tel que $\gamma(0) = a$. On notera plus généralement~: $\;\;\; \gamma'(t_0) = T_{t_0} \gamma \cdot \designesous{\textstyle \left( \frac{\partial}{\partial t} \right)_{t_0}} {$\smash{\surrel{\simeq}{\mathrm{can}}} 1 \in \K $} \;$ pour $t_0 \in I$. $\bullet$ Lorsque $X$ et $Y$ sont des sous-variétés de $\K ^M$ et de $\K ^N$, et $\; F \colon \quad\precisesous{\Omega}{ouvert de $\K ^M$ contenant $X$}\quad \longrightarrow \K ^N \;$ est un morphisme de variétés tel que $F(X) \subseteq Y$, la restriction $\;\; \restriction{F}{X,Y} \colon \application{X}{Y}{x}{F(x)} \;$ est un morphisme de variétés et on obtient~: % $\;\;\; T_a(\restriction{F}{X,Y}) \colon T_a X \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} \application {(T_a X)_{\textrm{\tiny concret}}} {(T_{F(a)} Y)_{\textrm{\tiny concret}}} {v} {\diff F \, (a) \cdot v} \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}}T_{F(a)} Y$. $\bullet$ L'application $\; T f \colon \application {T X} {T Y} {(x,v)} {(f(x),T_x f \cdot v)}$ est un morphisme de variétés. On a~: $\; T(g {\scriptstyle \,\circ\,} f) = Tg {\scriptstyle \,\circ\,} Tf$. et en particulier $\; T_a(g {\scriptstyle \,\circ\,} f) = T_{f(a)}g {\scriptstyle \,\circ\,} T_af \;$ \vskip-2mm $\bullet$ Dans des cartes $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ en $a$ et $(V,\designesous{\psi}{$(y_1,...,y_n)$}\,)$ de $Y$ en $f(a)$, en notant $\; \petitescomposantes{f}{\varphi,\psi} {\widetilde{f}_1 \\[-1.5mm] \vdots \\ \widetilde{f}_n} \;$ on a~:\\[-4mm] $\petitescomposantes{Tf}{\diff\varphi,\diff\psi} { \widetilde{f}_1 \\ \cdots \\ \widetilde{f}_n \\ \diff\widetilde{f}_1 \\ \cdots \\ \diff\widetilde{f}_n } \;$ donc $\; \mathfrak{Mat} \!\! _{\vrule width 0ex height 3ex \bigl( {\bigl( (\frac{\partial}{\partial x_j})_{\!a} \bigr)}_{\!\! j} \!, {\bigl((\frac{\partial}{\partial y_i})_{\!f(a)} \bigr)}_{\!\! i} \bigr)} \!\! T_a f \,=\, \displaystyle \Bigl( \frac{\partial \widetilde{f}_i}{\partial x_j} (a_1,...,a_m) \Bigr)_{\!\! i,j} \;$ où $\; \composantes{a}{\varphi}{a_1 \\ \smash{\vdots} \\ a_m}\!$, puis $\, \rg_a f = \rg T_a f$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Cas des sous-variétés et des variétés produit} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ Le fibré tangent à une sous-variété $S$ de $X$ «~s'identifie~» par $T \,\mathrm{inj}$ à une sous-variété de $TX$. Pour toute submersion $\, p \colon X \longrightarrow \K ^N \,$ et tout plongement $\, i \colon \;\;\precisesous{\Omega}{ouvert de $\K ^d$}\;\; \longrightarrow X$, on a~: $T_x(p^{-1}(\{0\}) = \Ker (T_x p) \;$ pour $\; x \in p^{-1}(\{0\} \;$ et $T_{i(t_0)}(i(\Omega)) = \Im (T_{t_0} i) \;$ pour $\; t_0 \in \Omega$. \smallskip $\bullet$ Le difféomorphisme $\, \application{T(X \times Y)}{TX \times TY} {v}{(T \pr_1 \cdot v,T \pr_2 \cdot v)}$ «~identifie~» $T(X \times Y)$ et $TX \times TY$. Pour tous morphismes de variétés $\Phi \colon Z \!\to\! X \!\times\! Y$ et $\Psi \colon X \!\times\! Y \!\!\to\! Z$, $T\Phi$ et $T_{(x,y)}\!\Psi$ se décomposent~en~: \noindent $\application {TZ} {TX \!\times\! TY \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T(X \!\times\! Y)} {v} {\!(T (\pr_1 {\scriptstyle \circ} \Phi) \!\cdot\! v, T (\pr_2 {\scriptstyle \circ} \Phi) \!\cdot\! v)\!}\,$ et $\,\application {T_{(x,y)}(X \!\times\! Y) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T_xX \!\times\! T_yY } {T_{\Psi(x,y)}Z} {(v,w)} {T (\Psi(.,y)) \!\cdot\! v + T (\Psi(x,.)) \!\cdot\! w}$. \smallskip $\bullet$ Soient $\;\,f \colon X \times Y \to Z\;\,$ un morphisme de variétés et $\;(a,b) \in X \times Y$. On pose~: $c = f(a,b)$.\\ Si $T_b(f(a,\cdot))$ est bijective, alors il existe un ouvert $U$ de $X$ contenant $a$, un ouvert $V$ de $Y$ contenant $b$ et un morphisme de variétés $\;\varphi \colon U \to V\;$ tels que pour tout $x \in U$ l'équation $f(x,y) = c$ d'inconnue $y \in V$ a pour unique solution $\varphi(x)$. De plus $\;\varphi(a)=b\;$ et \ $T_a\varphi = -\big(T_b(f(a,\cdot))\big)^{-1} \!\circ T_a (f(\cdot,b))$.% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Passage de \mathversion{bold}$\C$ à $\R$} %------------------------------------------------------------------------------ On suppose que $\K = \C$ et note encore $X_{\!(\R)}$ la variété lisse issue de $X$. $\bullet$ L'application $\, \application{T_a X}{T_a (X_{\!(\R)})} {\gamma'(0)}{(\restriction{\gamma}{I \cap \R})'(0)} \,$ est $\R$-linéaire bijective, car étant donné des cartes associées $(U,\designesous{\varphi}{$(z_1,...,z_m)$}\,)$ et $(U,\designesous{\varphi_{\!(\R)}} {$(x_1,...,x_m,y_1,...,y_m)$})$ de $X$ et $X_{\!(\R)}$ en $a$, elle envoie $\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial z_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$ et $i\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial z_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$ sur $\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial x_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$ et $\Bigl(\!\frac{\partial}{\partial y_k}\!\Bigr)_{\!\!a}$,% ~$1 \!\leq\! k \!\leq\! m$. $\bullet$ Une application $f_0 \colon X_{\!(\R)} \to Y_{\!(\R)}$ de classe C\textsuperscript{$\infty$} est égale à une application $\widetilde{f}_0 \colon X \to Y$ holomorphe si et seulement si l'application composée $\; T_x X \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T_x (X_{\!(\R)}) \surrel{\longrightarrow}{T_x \widetilde{f}_0} T_x (Y_{\!(\R)}) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} T_{f(x)} Y \;$ est $\C$-linéaire pour tout $\, x \in X$. Dans ce cas~: $\; T_x \widetilde{f}_0 = T_x f_0 \;$ pour $\, x \in X$. \newpage %=============================================================================== % \section{Champs de vecteurs} % %============================================================================== \smallskip\quad On fixe des variétés $X$ et $Y$ de dimensions $m$ et $n$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Champs de vecteurs} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On appelle \emph{champ de vecteurs sur $X$} un morphisme de variétés $A$ de $X$ dans $TX$ tel que $\;\, A(x) \in T_x X \;\,$ pour tout $\, x \in X$. Dans ce cas, pour toute carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$, on a~:\\[1mm] \hspace*{\fill}% $\restriction{A}{U} = \Sum_{k=1}^{m} a_k \; \frac{\partial}{\partial x_k} \;\;$ où $\;\; \restriction{A}{U} \colon \;\; \composantes{x}{\varphi}{x_1 \\ \smash{\vdots} \\ x_m} \; \mapsto \;\; \petitescomposantes{A(x)}{T\psi} { x_1 \qquad\qquad \\ \cdots\qquad\qquad \\ x_m \qquad\qquad \\ \widetilde{A}_1(x_1,...,x_m) \egdef a_1(x) \\ \cdots \\ \widetilde{A}_m(x_1,...,x_m) \egdef a_m(x) }\!$. \hspace*{\fill}% \medskip $\bullet$ L'image d'un champ de vecteurs $A$ sur $X$ par un difféomorphisme $\, \phi \colon X \to Y \,$ est le champ de vecteurs $\, \phi_* A \,$ sur $Y$ défini par~: $\;\, (\phi_* A)(y) = T_{\phi^{-1}(y)} \phi \cdot A(\phi^{-1}(y)) \;\,$ pour tout $\, y \in Y$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Crochet} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ On appelle \emph{crochet} de deux champs de vecteurs $A$ et $B$ sur $X$ l'unique champ de vecteurs $[A,B]$ sur $X$ vérifiant en chaque point~:\\[1mm] \hspace*{\fill}% $[A,B] \cdot s = A \cdot (B \cdot s) - B \cdot (A \cdot s) \;\;$ pour tout morphisme de variétés $\;\, s \colon \quad\precisesous{V}{ouvert de $X$}\quad \to \; \K $. \hspace*{\fill}% \smallskip Pour toute carte $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ de $X$ dans laquelle $\restriction{A}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_k \; \frac{\partial}{\partial x_k} \;$ et $\restriction{B}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} b_k \; \frac{\partial}{\partial x_k} \;$ \designesous{\textrm{se lisent}}{cf. ci-dessus} en $\widetilde{A}$ et $\widetilde{B}$, $\restriction{[A,B]}{U} \surrel{=}{\textrm{\tiny prop}} \sum\limits_{i=1}^{m} (\sum\limits_{j=1}^{m} (a_j \; \frac{\partial b_i}{\partial x_j} - b_j \; \frac{\partial a_i}{\partial x_j})) \frac{\partial}{\partial x_i} \;$ se lit (en chaque point) en $\; \diff \widetilde{B} \cdot \widetilde{A} - \diff \widetilde{A} \cdot \widetilde{B}$. \medskip $\bullet$ Le $\K $-espace vectoriel des champs de vecteurs sur $X$ muni de $[~,~]$ est une $\K $-algèbre de Lie.\\ Les applications $\,\phi_*\,$ avec $\, \phi \colon X \to Y \,$ difféomorphisme sont des morphismes d'algèbres de Lie. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Cas des sous-variétés et des variétés produit} %------------------------------------------------------------------------------ $\bullet$ Si des champs de vecteurs $A$ et $B$ sur $X$ envoient une sous-variété $S$ de $X$ dans $TS$, alors~: $[A,B]$ envoie $S$ dans $TS$ et $\; [\restriction{A}{S},\restriction{B}{S}] = \restriction{[A,B]}{S}$. \medskip $\bullet$ Si $A_X$, $B_X$ sont des champs de vecteurs sur $X$ et $A_Y$, $B_Y$ sont des champs de vecteurs sur $Y$, alors l'identification $\, T(X \!\times\! Y) \surrel{\simeq}{\textrm{\tiny can}} TX \!\times\! TY \,$ donne~: $[(A_X,A_Y),(B_X,B_Y)] = ([A_X,B_X],[A_Y,B_Y])$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Équations différentielles} %------------------------------------------------------------------------------ On suppose que $\K = \R$ et fixe un champ de vecteurs $A$ sur $X$. $\bullet$ Il existe un ouvert $\Omega$ de $\R \times X$ et une application C\textsuperscript{$\infty$} $\; \Phi \colon \Omega \to X \;$ («~flot de $A$~») tels que~: $\, \Phi(.,x_0) \,$ est pour chaque $x_0 \in X$ la \emph{plus grande} solution de $\, x' = A(x) \,$ en $x_0$ à $t=0$. Donc les parties $\, \Im \Phi(.,x_0) \,$ de $X$ («~orbite de $x_0$~») avec $x_0 \in X$ forment une partition de $X$. \medskip $\bullet$ Soit $(U,\designesous{\varphi}{$(x_1,...,x_m)$}\,)$ une carte de $X$. On pose~: $\restriction{A}{U} = \sum\limits_{k=1}^{m} a_k \; \frac{\partial}{\partial x_k}$. Une application C\textsuperscript{$\infty$} $\;\gamma \colon \quad\precisesous{I}{intervalle ouvert}\quad \to \; X\;$ est une solution dans $\gamma^{-1}(U)$ de $\, x' = A(x) \,$ si et seulement~si\\[1mm] \hspace*{\fill}% $\composantes{\gamma}{\varphi}{\gamma_1 \\ \smash{\vdots} \\ \gamma_m} \;$ avec $\; \left\{\!\! \begin{array}{c} \displaystyle \frac{\diff \gamma_1 (t)}{\diff t} = a_1(\gamma(t)) \\ \smash{\vdots} \\ \displaystyle \frac{\diff \gamma_m (t)}{\diff t} = a_m(\gamma(t)) \end{array} \right. \;\;\;$ pour tout $\, t \in \gamma^{-1}(U)$. \hspace*{\fill}% \end{document}