Université Pierre et Marie Curie Paris 6 , UFR 921
Enseignement 2003/2004
Cours
de Maîtrise Mathématiques Pures 2004
Algèbre et Géométrie
22111
Théorie
des Nombres et Applications
Note : les exercices téléchargeables sur le site sont au format PDF
Cours du 16 février.
Introduction - cryptographie, algorithmes de factorisation et tests de primalité. Algorithme RSA (Rivest-Shamir-Adleman).
Division euclidienne (dans
Z),
Rappels
- sur les groupes: sous-groupes, homomorphismes, noyau, quotient
- sur les anneaux (commutatifs unitaires): homomorphismes, idéaux, quotients.
Deux démonstrations du petit théorème de Fermat. Corollaires (application à RSA).
Cours du 20 février.
Rappels d'arithmétique: pgcd, ppcm, relation de Bézout dans
Z.
Rappels sur la théorie des groupes: groupes cycliques, sous-groupes, quotients.
Ordre d'un élément d'un groupe, indicatrice d'Euler.
Rappels sur les anneaux (commutatifs unitaires): groupe des éléments inversibles.
Anneaux de polynômes. Division euclidienne des polynômes. Racines de polynômes.
Tout sous-groupe fini du groupe multiplicatif d'un corps est cyclique.
Cours du 19 mars.
Corps finis. Caractéristique d'un anneau. Extensions de corps, éléments algébriques, transcendants, extensions algébriques, extensions finies. Corps de rupture d'un polynôme irréductible.
Cours du 22 mars.
Corps de décomposition d'un polynôme. Construction des corps finis.
Cours du 9 avril
Symbole de Legendre. Loi de réciprocité quadratique.
Cours du 26 avril.
Polynômes cyclotomiques.
Cours du 30 avril.
Polynômes cyclotomiques (suite et fin).
Cours du 3 mai.
Factorisation de polynômes à coefficients dans Z ou dans un corps fini.
Cours du 7 mai.
Tests de primalité.