Cours de M2 2023 : Introduction à l’analyse géométrique

Horaires du 6 novembre au 15 décembre

• Cours (Jussieu salle 1516-101) :
  • lundi 16h15-18h15 sauf lundi 20 novembre, cours avancé au vendredi 17 novembre 16h15-18h15
  • jeudi 16h30-18h30
• TD par Thibault Lefeuvre (Jussieu 1516-101) :
  • mercredi 16h15-18h15
• examen (Jussieu 1516-101) :
  • vendredi 22 décembre 14h-17h

Références

• Livres :
  • Jürgen Jost : Riemannian geometry and geometric analysis
  • Peter Li : Geometric analysis
  • Thierry Aubin : Some nonlinear problems in Riemannian geometry
• Référence sur les outils d’analyse utilisés dans le cours :
  • Thomas Alazard : Analyse et équations aux dérivées partielles
• Notes de cours :
  • Simon Donaldson : Geometric analysis
  • Olivier Biquard : Differential geometry and global analysis

Plan

I. Le laplacien riemannien

• 6 novembre : introduction, théorème, spectre du laplacien
• 9 novembre : inégalité de Poincaré, compacité, λ₁

II. Opérateurs elliptiques et théorie de Hodge

• 9 novembre : définition des opérateurs elliptiques, énoncé du théorème principal
• 13 novembre : théorie de Hodge

III. Formule de Bochner et applications

• 16 novembre : rappels sur la théorie des connexions, formule de Bochner, application au b₁
• 17 novembre : application aux champs de Killing, bornes sur λ₁ dans les cas Ric > 0 et Ric ≥ 0 (inégalité de Li-Yau)

IV. Théorie générale des opérateurs elliptiques

• 23 novembre : espaces de Sobolev L², introduction aux opérateurs pseudodifférentiels, régularité elliptique
• 27 novembre : autres espaces de Sobolev, espaces de Hölder, injections de Sobolev, régularité elliptique dans ces espaces

V. Exemples d’équations géométriques non linéaires : la courbure scalaire

• 30 novembre : courbure de Gauss sur les surfaces de genre > 1 ; problème de Yamabe : énoncé