Cours 1 - 09/09
- Définition du dual, le fait que c'est un espace vectoriel, sa dimension.
- Notion de base duale d'une base donnée, représentation matricielle de ses éléments.
- Matrice de changement de base d'une base duale à une autre
- Le tout entrecoupé de rappels...
Cours 2 - 16/09
- Définition de la codimension, justification de l'idée que la codimension correspond au nombre d'équations linéairement indépendantes qu'il faut pour décrire un sous-espace.
- Fin du cours sur le dual: notion d'orthogonal d'un sous-ev de l'espace ou de son dual, sa dimension, orthogonal de l'orthogonal. Exemples de calcul de l'orthogonal dans R^3.
- Retour rapide sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes: comment les réaliser à l'aide d'un produit matriciel. (pas de rappels sur l'algorithme du pivot).
Cours 3 - 23/09
- Méthode pour calculer le noyau d'une matrice, et mise en pratique sur un exemple.
- Esapces affines: définition formelle.
- Premiers exemples d'espaces affines, en particulier l'ensemble des solutions d'un système linéaire avec second membre.
- Un peu d'abstraction: tout espace affine est "équivalent" à l'espace affine induit par l'espace vectoriel qui le dirige.
Cours 4 - 30/09
- Repères d'un espace affine. Coordonnées cartésiennes par rapport à un repère. Formules de changement de repère.
- Applications affines: définition, exemple des translations, exemple matriciel X->AX+B, écriture en coordonnées
- Barycentres: définition, cas particulier du barycentre de deux points, notion de segment, associativité du barycentre. Application: les médianes d'un triangle sont concourantes.
Cours 5 - 07/10
- Les applications affines préservent les barycentres
- Définition des sous-espaces affines: ce sont les parties stables par barycentre.
- Structure des sous-espaces affines: ce sont des espaces affines et ils s'écrivent toujours sous la forme "un point + l'espace vectoriel qui les dirige".
- Attention: nous n'avons pas traité et ne traiterons pas la notion de points affinement indépendants, ni d'espace affine engendré par des points, ni de coordonnées barycentriques...
- Début du cours sur le déterminant: généralités sur les formes multilinéaires: définition, formes symétriques et anti-symétriques, quelques exemples.
- Les formes antisymétriques s'annulent sur les familles liées.
Cours 6 - 14/10
- Définition du groupe symétrique, notation des permutations sur deux lignes.
- transpositions, cycles.
- Toute permutation est produit de cycles à supports disjoints. Pas de démonstration mais explications sur comment décomposer en pratique.
- Toute permutation est produit de transpositions. Démonstration.
- Définition de la signature, le fait que c'est un morphisme, comment la calculer. La méthode efficace consiste à décomposer en cycles.
Cours 7 - 21/10
- Les formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n sont toutes multiples les unes des autres. Parmi celles-ci le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée. Formule de changement de base.
- Interprétation du déterminant comme une aire en dimension 2, un volume en dimension 3.
- Définition du déterminant d'une matrice par sa formule explicite faisant apparaître la signature des permutations. Exemple des matrices de taille 2 et 3.
- Le déterminant d'une matrice et celui de sa transposée sont égaux, le déterminant est donc à la fois une forme n-linéaire alternée sur les lignes et sur les colonnes.
- Multiplicativité du déterminant, déterminant de l'inverse, les déterminants des matrices semblables sont égaux.
Cours 8 - 28/10
- Rapide introduction au calcul matriciel "par blocs", puis déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.
- Effet des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes sur le déterminant.
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
- Formule de la comatrice pour calculer l'inverse. Le cas d'une matrice 2x2. Estimations de la complexité d'un algorithme qui utiliserait cette formule pour calculer une inverse et comparaison avec l'algorithme du pivot de Gauss: ce dernier est largement plus efficace!
Cours 9 - 4/11
- Déterminant d'un endomorphisme.
- Définitions des valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres, polynomes caractéristiques, espaces stables par un endomorphisme. Interprétation matricielle et les liens entre toutes ces définitions.
- Définition du polynome caractéristique.
- Mémo sur ce qu'il faut savoir sur les polynomes (première partie): notions de racine, de multiplicité, de polynome scindé, le théorème de d'Alembert-Gauss.
- Calcul des deux coefficients dominants du polynome caractéristique (le deuxième faisant apparaître la trace).
Cours 10 - 18/11
- La dimension de l'espace propre (multiplicité géométrique) est inférieure à la multiplicité vue comme racine du polynome caractéristique (multiplicité algébrique)
- Les sous-espaces propres sont en somme directe.
- Diagonalisation, trigonalisation: definition, formulations equivalentes.
- Théorème: un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé. (La démonstration sera faite au prochain cours).
- Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé et le multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension de l'espace propre correspondant.
- Cas particulier où le polynome est scindé à racines simples, cas particulier où le corps de base est C.
Cours 11 - 25/11
- Théorème: un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé. Démonstration.
- Définition des polynomes d'endomorphismes. Le noyau de P(u) est stable par u. Si a est valeur propre de u alors P(a) est valeur propre de P(u).
- En particulier, si P annule u, alors les valeurs propres de u sont racines de P. Application aux projections et aux symétries.
- Enoncé et démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
- Prérequis d'arithmétique des polynomes: polynomes premiers entre eux et lemme de Bezout.
- Enoncé du lemme de décomposition des noyaux: si un produit de polynomes premiers entre eux annule un endomorphisme, alors on a une décomposition de l'espace en une somme directe de sous-espaces stables.
Cours 12 - 02/12
- Démonstration du lemme des noyaux.
- Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il annule un polynome scindé à racines simples.
- Application à la description des projecteurs et des symétries.
- Définition des espaces caractéristiques (à ne pas confondre avec les espaces propres).
- Décomposition en espaces caractéristiques: tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe peut être représenté par une matrice diagonale par blocs, et dont chaque bloc diagonal est triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux tous égaux.
- Mise en pratique de la décomposition en espaces caractéristiques sur une matrice 5x5.