Cours 1 - 12/01
- Définition du dual, le fait que c'est un espace vectoriel, sa dimension.
- Notion de base duale d'une base donnée, représentation matricielle de ses éléments.
- Matrice de changement de base d'une base duale à une autre
- Définition de la codimension, justification de l'idée que la codimension correspond au nombre d'équations linéairement indépendantes qu'il faut pour décrire un sous-espace.
- Le tout entrecoupé de rappels...
Cours 2 - 14/01
- Fin du cours sur le dual: notion d'orthogonal d'un sous-ev de l'espace ou de son dual, sa dimension, orthogonal de l'orthogonal. Exemples de calcul de l'orthogonal dans R^3.
- Retour sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes: comment les réaliser à l'aide d'un produit matriciel. (pas de rappels sur l'algorithme du pivot).
- Méthode pour calculer le noyau d'une matrice, et mise en pratique sur un exemple.
Cours 3 - 19/01
- généralités sur les formes multilinéaires: définition, formes symétriques et anti-symétriques, quelques exemples.
- les formes antisymétriques s'annulent sur les familles liées.
- Question pour motiver l'étude du groupe symétrique: comment calculer une forme symétrique ou antisymétrique après permutation des variables? (la définition nous le dit seulement dans le cas d'une transposition)
- Définition du groupe symétrique, notation des permutations sur deux lignes.
- transpositions, cycles.
- Toute permutation est produit de cycles à supports disjoints. Explications sur comment décomposer en pratique.
- Toute permutation est produit de transpositions. Démonstration.
Cours 4 - 21/01
- Définition de la signature, le fait que c'est un morphisme, comment la calculer: en comptant les inversions, en décomposant en transpositions ou en décomposant en cycles, cette dernière méthode étant la plus efficace.
- Les formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n sont toutes multiples les unes des autres. Parmi celles-ci le déterminant d'une famille de vecteur dans une base donnée. Formule de changement de base.
- Interprétation du déterminant comme une aire en dimension, un volume en dimension 3.
- Définition du déterminant d'une matrice par sa formule explicite faisant apparaître la signature des permutations. Exemple des matrices de taille 2 et 3.
Cours 5 - 26/01
- Le déterminant d'une matrice et celui de sa transposée sont égaux, le déterminant est donc à la fois une forme n-linéaire alternée sur les lignes et sur les colonnes.
- Multiplicativité du déterminant, déterminant de l'inverse, les déterminants des matrices semblables sont égaux.
- Déterminant d'une matrice triangulaire par bloc.
- Effet des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes sur le déterminant.
Cours 6 - 28/01
- Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
- Formule de la comatrice pour calculer l'inverse. Le cas d'une matrice 2x2. Estimations de la complexité d'un algorithme qui utiliserait cette formule pour calculer une inverse et comparaison avec l'algorithme du pivot de Gauss: ce dernier est largement plus efficace.
- Déterminant d'un endomorphisme, interprétation en terme de volume.
- Définitions des valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres, polynomes caractéristiques, espaces stables par un endomorphisme. Les liens entre toutes ces définitions.
Cours 7 - 02/02
- Définition du polynome caractéristique.
- Mémo sur ce qu'il faut savoir sur les polynomes (première partie): notions de racine, de multiplicité, de polynome scindé, le théorème de d'Alembert-Gauss.
- Calcul des deux coefficients dominants du polynome caractéristique (le deuxième faisant apparaître la trace).
- La dimension de l'espace propre (multiplicité géométrique) est inférieure à la multiplicité vue comme racine du polynome caractéristique (multiplicité algébrique)
- Les sous-espaces propres sont en somme directe.
Cours 8 - 04/02
- Diagonalisation, trigonalisation: definition, formulations equivalentes.
- Théorème: un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé. Démonstration.
- Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynome caractéristique est scindé et le multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension de l'espace propre correspondant.
- Cas particulier où le polynome est scindé à racine simple, cas particulier où le corps de base est C.
- Exemple de diagonalisation d'une matrice 3x3.
Cours 9 - 09/02
- Exemple de trigonalisation d'une matrice 3x3 explicite.
- Définition des polynomes d'endomorphismes. Le noyau de P(u) est stable par u. Si a est valeur propre de u alors P(a) est valeur propre de P(u).
- En particulier, si P annule u, alors les valeurs propres de u sont racines de P. Application aux projections et aux symétries.
- Enoncé et démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
- Prérequis d'arithmétique des polynomes: polynomes premiers entre eux et lemme de Bezout.
- Enoncé du lemme de décomposition des noyaux: si un produit de polynomes premiers entre eux annule un endomorphisme, alors on a une décomposition de l'espace en une somme directe de sous-espaces stables.
Cours 10 - 11/02
- Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il annule un polynome scindé à racines simples.
- Application à la description des projecteurs et des symétries.
- Enoncé de la réduction de Jordan (Version soft, c'est à dire simplement le fait que tout endomorphisme peut être représenté par une matrice avec que des 0 sauf éventuellement sur la diagonale et la diagonale juste au-dessus où l'on peut mettre des 0 ou des 1. En particulier, on n'a rien dit sur l'unicité).
- Décomposition en espaces caractéristiques
- Décomposition de Dunford (diagonalisable+nilpotent)
Cours 11 - 16/02
- Parenthèse sur l'exponentielle des matrices, définition, justification de la convergence, propriétés de base, comment la décomposition de Dunford peut aider à la calculer.
- Calcul d'une réduction de Jordan et d'une exponentielle de matrice sur un exemple 3x3.
Cours 12 - 18/02
- Début du chapitre sur les formes quadratiques: formes bilinéaires symétriques et leurs matrices, changement de base, dimension de l'espace des formes bilinéaires symétriques.
- Noyau d'une forme bilinéaire symétrique (noté N(f) et non ker(f)). Notion de forme bilinéaire non-dégénérée.
- Définition d'une forme quadratique, exemples, formules de polarisation, expression matricielle.
Cours 13 - 23/02
- Lien entre noyau et cône isotrope.
- Enoncé et démonstration l'existence de bases orthogonales pour toute forme bilinéaire symétrique. Interprétation matricielle.
- Définition de la signature d'une forme quadratique réelle, démonstration du fait que cela ne dépend pas du choix de la base.
Cours 14 - 25/02
- Décomposition en sommes de carrés de formes linéaires indépendantes par la méthode de Gauss: deux exemples puis la méthode générale.
- Pour la culture, deux applications de la notion de signature et la décomposition en carrés: étude des fonctions de plusieurs variables au voisinge de leurs points critiques, classification des coniques du plan et des quadriques en dimension 3.
Cours 15 - 02/03
- Début du chapitre sur les espaces euclidiens: formes quadratiques définies positives, produit scalaire, définition des espaces euclidiens. Exemples.
- Norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire, théorème de Pythagore, identité de la médiane.
- Orthogonal d'un sous-espace: définition, dimension, orthogonal de l'orthogonal, somme directe d'un espace et de son orthogonal.
Cours 16 - 04/03
- Définition de la notion de famille orthonormée. De telles familles sont toujours libres.
- Projection orthogonale: formule explicite en présence d'une base orthonormée de l'espace sur lequel on projette.
- Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
- Endomorphismes orthogonaux: définition, le fait qu'ils préservent le produit scalaire et donc aussi les bases orthonormées. Réciproquement l'endomorphisme qui permet de passer d'une base orthonormée à une autre est orthogonal.
- Interprétation matricielle des endomorphismes orthogonaux: matrices orthogonales.
- Groupe orthogonal: définition, le fait que c'est un groupe.
Cours 17 - 09/03
- Interprétation de Gram-Schmidt comme le fait que l'on peut décomposer toute matrice inversible comme produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire supérieure.
- Adjoint d'un endomorphisme: définition, existence et unicité. Interprétation matricielle comme matrice transposée dans une base orthonormée.
- Endomorphismes autoadjoints: définition, exemples des projections et des symétries orthogonales.
- Les endomorphismes autoadjoints sont diagonalisables dans une base orthonormée.
Cours 18 - 11/03
- Reformulations du théorème de diagonalisation des auto-adjoints en termes de matrices puis de formes bilinéaires symétriques (réduction simultanée d'une telle forme et d'un produit scalaire).
- Orientations d'un espace vectoriel. Isométries directes/indirectes. Groupe SO(n).
Cours 19 - 16/03
- Etude détaillée des isométries du plan: les éléments de SO_2 sont des rotations, ceux du complémentaire de SO_2 sont les symétries orthogonales.
- Composition de tous ces objets, plein de belles formules!
Cours 20 - 18/03
- Les isométries directes de R^3 sont les rotations, déterminées par leur axe orienté et leur angle.
- Les isométries indirectes de R^3 sont les "rotations gauches", c'est à dire les composées d'une rotation et d'une réflexion par rapport au plan de la rotation.
- Toute rotation est produit de deux réflexions, toute rotation gauche de trois réflexions.
Cours 21 - 23/03
- Produit vectoriel: définition et toutes ses propriétés.
- Début du chapitre sur les formes hermitiennes: rappels sur les complexes, notion de forme hermitienne, de forme quadratique hermitienne et de matrice hermitienne. Tous ces objets forment des espaces vectoriels sur le corps des réels et non des complexes!
Cours 22 - 25/03
- Matrice des formes hermitiennes.
- Décomposition en somme de carrés de modules d'une forme quadratique hermitienne.
- Produit scalaire hilbertien, norme hilbertienne.
Cours 23 - 30/03
- Démonstration de Cauchy-Schwarz.
- Orthogonal d'un sous espace.
- Existence de bases orthonormées.
- Projection orthogonale. Lien avec les séries de Fourier.
- Endomorphismes et matrices unitaires.
Cours 24 - 01/04
- Définition de l'adjoint d'un endomorphisme, interprétation matricielle.
- Définition des endomorphismes normaux. Les endomorphismes autoadjoints, unitaires, anti-hermitiens en sont des exemples.
- Théorème: les endomorphismes normaux sont diagonalisables dans une base orthonormée.
- Application à la réduction des endomorphismes orthogonaux des espaces euclidiens.