Avancement du cours 4M022 - 2017

• Cours 1 - 12/09
  - Présentation du cours
  - Rappels de calcul différentiel: différentielle d'une fonction, exemples, formule de composition, théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites.
• Cours 2 - 14/09
  - Immersions, submersions et leurs formes normales. (section 1.4)
  - Les quatre définitions équivalentes des sous-variétés: forme normale (Def 1.1), submersion (Def 1.2), graphe (exercice 5), paramétrage (Def 1.5)
  - Exemples: sphéres, tores ...
• Cours 3 - 19/09
  - Rappels de topologie générale: espace topologiques, ouverts, topologie induite sur une partie, topologie induite par une distance. Espaces séparés.
  - Notion de plongement (Def 1.4).
  - Fin de la démonstration de l'équivalence entre les différentes notions de sous-variété.
  - Espace tangent des sous-variétés (p.46-47, ici)
  
• Cours 4 - 21/09
  - Cartes, atlas, atlas maximaux, notion de variété différentiable: un espace topologique séparé à base dénombrable muni d'un atlas maximal. (p.13-14 ici)
  Attention: dans les notes de cours d'A. Oancea, les variétés ne sont pas supposées séparées ni à base dénombrable en général. Ces hypothèses apparaissent plus tard dans les notes. Nous ferons cette hypothèse dès le début du cours.
  - L'exemple de la sphère munie des projections stéréographiques. (p.19)
  - Les sous-variétés sont en particulier des variétés. (p.23-24 ici)
  - Applications lisses entre variétés, idée qu'il suffit de "lire dans les cartes"! (p.20)
• Cours 5 - 26/09
  - Enoncé du principe général: toutes les propriétés locales du calcul différentiel se tranfèrent aux variétés. Illustration sur la notion d'immersion, de submersion. (Exo 9 p.20)
  - Sous-variété des variétés différentiables. Elles héritent d'une structure différentielle naturelle.(p.23 ici)
  - Plongement d'une variété dans une autre (p.24 ici).
  - Somme disjointe et produit de variétés. (p.49)
  - Parenthèse topologique: notion de quotient, topologie quotient, utilisation pour recoller deux espaces topologiques. (p.51)
  
• Cours 6 - 28/09
  - Somme connexe de variétés. (section 3.2)
  - Rappels sur les actions de groupes. Actions de groupes discrets sur des espaces topologiques. Notions d'action libre, d'action propre. (section 3.5)
  - Démonstration du fait que le quotient d'un espace séparé par une action propre est séparé. (Théorème 3.1)
  - Enoncé du fait que si l'action est libre et propre, la projection sur le quotient est un homéomorphisme local (en partie le Théorème 3.1, mais nous n'avons pas utilisé la terminologie "revêtement").
• Cours 7 - 03/10
  - Théorème: si un groupe discret agit par difféomorphisme, de manière libre et propre sur une variété, alors le quotient admet une unique structure de variété différentielle telle que la projection canonique soit un difféomorphisme local (Théorème 3.1).
  - Exemples: tores, ruban de Moebius, bouteille de Klein.
  - Le cercle est difféormorphe au quotient R/Z.
• Cours 8 - 05/10
  - Espace projectif: construction d'un atlas par les "cartes affines", coordonnées homogènes. (p.34 ici)
  - Théorème du plongement de Whitney: toute variété se plonge dans un R^n. Démonstration dans le cas d'une variété compacte. Au passage, construction de fonctions de troncature. (Section 1.6)
  - Existence des partitions de l'unité.
• Cours 9 - 10/10
  - Définition de l'espace tangent de manières différentes: par les cartes et par les chemins. Equivalence des deux définitions. Nous ne traiterons pas l'approche par les dérivations. (Section 2.1)
  - Structure d'espace vectoriel de l'espace tangent.
  - Application linéaire tangente.
  - Définition des fibrés vectoriels (Définition 2.17)
• Cours 10 - 12/10
  - Retour rapide sur la linéarité de l'application linéaire tangente.
  - Exemples de fibrés vectoriels: fibrés triviaux, fibré tangent à une sous-variété, fibré tautologique de l'espace projectif.
  - Morphismes de fibré, sections d'un fibré.
• Cours 11 - 17/10
  - Un fibré vectoriel est isomorphe au fibré trivial si et seulement s'il admet une famille de sections qui forment une base de chacune des fibres. Application: le fibré tangent au cercle est trivial, le fibré tautologique d'un projectif n'est pas trivial.
  - Fibrés tangents et cotangents à une variété abstraite. (Sections 2.2, 2.3, 5.1)
  - Champ de vecteurs, formes différentielles de degré 1. (Sections 2.2, 5.1)
  - Dérivation associé à un champ de vecteurs.
• Cours 12 - 19/10
  - Expression en coordonnées locales des formes différentielles de degré 1 et des champs de vecteurs. (Section 2.2, Section 5.1)
  - Equation différentielle associée à un champ de vecteurs dépendant du temps: théorème de Cauchy Lipschitz, dépendance en les conditions initiales, solutions maximales, un champ de vecteurs sur une variété compacte est complet. (Section 4.1)
• Cours 13 - 24/10
  - Flot d'un champ de vecteurs, règles de composition, cas d'un champ autonome. (Section 4.2)
  - Correspondance bijective entre champs de vecteurs et chemins lisses de difféomorphismes. (Section 4.2)
  - Poussé en avant d'un champ de vecteur par un difféomorphisme et son flot.
  - Redressement d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point où il ne s'annule pas. (Théorème 4.12)
• Cours 14 - 26/10
  - Une trajectoire d'un champ de vecteur est soit un point, soit une courbe injectivement immergée, soit l'image d'un plongement du cercle.
  - Exemples (rotations sur la sphère, champs de vecteurs constant sur le tore).
  - Dérivée de Lie d'une fonction dans la direction d'un champ de vecteurs.
  - Dérivée de Lie d'un champ de vecteurs dans la direction d'un autre champ de vecteurs. Lien avec le crochet de Lie. Interprétation du crochet de Lie comme défaut de commutation des flots. (Section 4.3)
• Cours 15 - 7/11
  - Espace des formes multilinéaires alternées/antisymétriques, dimension, base.
  - Produit extérieur de formes multilinéaires alternées. Propriétés.
  - Tiré en arrière de formes par une application linéaire, produit intérieur d'une forme par un vecteur.
• Cours 16 - 9/11
  - Formes différentielles sur un ouvert de IR^n.
  - Produit extérieur, tiré en arrière de formes.
  - Différentielle extérieure, existence et unicité, invariance par tirés en arrière.
• Cours 17 - 14/11
  - Relation entre la différentielle extérieure et les opérateurs gradient, rotationnel et divergence.
  - Fibré des formes alternées, formes différentielles de degré quelconque, différentielle extérieure.
  - Produit intérieur, dérivé de Lie, Formule de Cartan.
• Cours 18 - 21/11
  - Orientation des variétés: définition par les atlas orientés, équivalence avec le point de vue "famille d'orientations localement constante sur l'espace tangent".
  - Orientation d'un quotient d'une variété par une action libre et propre d'un groupe discret.
  - Application: la bouteille de Klein, le ruban de Moebius, les projectifs de dimension paire ne sont pas orientables.
• Cours 19 - 23/11
  - Une variété est orientable si et seulement si elle admet une forme volume.
  - Intégration d'une forme différentielle de degré maximal à support compact sur une variété, définition.
  - Formule de changement de variable.
• Cours 20 - 28/11
  - Exemple de calcul d'intégrale d'une forme différentielle.
  - Domaines à bord lisse. Orientation de leur bord.
  - Enoncé de la formule de Stokes. Cas particuliers remarquables: formule de Green-Riemann, de Gauss-Ostrogradski.
• Cours 21 - 30/11
  - Démonstration de la formule de Stokes.
  - Application de la formule de Stokes: théorème du point fixe de Brouwer.
  - Formes fermées, formes exactes.
  - Définition des groupes de cohomologie de de Rham.
• Cours 22 - 5/12
  - Le produit extérieur induit le produit "cup" sur la cohomologie de de Rham.
  - Tirés en arrière de classes de cohomologie par une application lisse.
  - Définition: homotopies (lisses ou non) entre applications, équivalence d'homotopie.
  - Théorème admis: toute application continue entre variétés est homotope à une application lisse, qui est unique à homotopie lisse près.
  - Deux applications homotopes induisent la même application en cohomologie.
  - Une variété contractile a une cohomologie nulle sauf en degré zéro.
• Cours 23 - 7/12
  - Bases d'algèbre homologique: complexes de cochaines et leur cohomologie, morphismes de complexes.
  - Suite exacte longue en cohomologie associée à une suite exacte courte de complexes.
  - Suite exacte de Mayer-Vietoris.
  - Calcul de la cohomologie des sphères.
• Cours 24 - 14/12
  - Calcul de la cohomologie des surfaces compactes orientées.
  - Théorème admis: l'intégration des formes de degré maximal induit un isomorphisme entre cohomologie en degré maximal et la droite réelle.
  - Dégré d'une application lisse. Application: tout polynôme complexe admet une racine.