Avancement du cours 2M270

• Cours 1 - 14/09
  - Rappels sur la notion d'espace vectoriel - Définition du dual, le fait que c'est un espace vectoriel, sa dimension.
  - Notion de base duale d'une base donnée, représentation matricielle de ses éléments.
  - Matrice de changement de base d'une base duale à une autre
  - Le tout entrecoupé de rappels...
• Cours 2 - 21/09
  - Opérations élémentaires sur les colonnes: comment les réaliser à l'aide d'un produit matriciel. Application à la recherche d'une base de l'image et du noyau d'une matrice. (pas de rappels sur l'algorithme du pivot).
  - Définition de la codimension d'un sous-espace, qui correspond au nombre d'équations linéairement indépendantes qu'il faut pour décrire ce sous-espace.
  - Définition de l'orthogonal d'un sous-ev du dual, sa dimension.
• Cours 3 - 28/09
  - Calcul de l'orthogonal en présence d'une famille génératrice d'un sous-ev du dual (utile pour les exercices).
  - Orthogonal d'un sous-ev de l'espace initial, sa dimension, orthogonal de l'orthogonal.
  - Exemples de calcul d'orthogonaux dans R³ ou (R³)^*.
  - Début du chapitre de géométrie affine: tout se déroule dans Rⁿ.
  - Notion de repère cartésien. Coordonnées cartésiennes d'un point dans un repère. Formules de changement de repère.
  - Applications affines: définition, écriture matricielle dans des repères.
  
• Cours 4 - 05/10
  - Exemples d'applications affines, en particulier les translations
  - Barycentres: définition, cas particulier du barycentre de deux points, notion de segment, associativité du barycentre. Application: les médianes d'un triangle sont concourantes. Les applications affines préservent les barycentres.
  - Sous-espaces affines: définition, le fait qu'ils sont stables par barycentre.
  - L'ensemble des solutions d'un systeme linéaire avec second membre est un sous-espace affine dirigé par l'ensemble des solutions du système linéaire sans second membre associé.
  - Attention: nous n'avons pas traité et ne traiterons pas la notion de points affinement indépendants, ni d'espace affine engendré par des points, ni de coordonnées barycentriques...
• Cours 5 - 12/10
  - Fin du cours de géométrie affine: le fait que tout espace affine peut être décrit par un système d'équation, en nombre sa codimension.
  - Projections affines, symétries affines.
  - Début du cours sur le déterminant: généralités sur les formes multilinéaires: définition, formes symétriques et anti-symétriques, quelques exemples.
• Cours 6 - 19/10
  - Les formes antisymétriques s'annulent sur les familles liées.
  - Rappels sur le groupe symétrique: notions de permutation, transpositions, cycles. Décompostion en cycles à supports disjoints. Décompostion en transpositions. Signature d'une permutation, comment la calculer.
  - Les formes n-linéaires alternées sur un espace de dimension n sont toutes multiples les unes des autres. Parmi celles-ci le déterminant d'une famille de vecteurs dans une base donnée. Formule de changement de base.
  - Interprétation du déterminant comme une aire en dimension 2, un volume en dimension 3.
• Cours 7 - 26/10
  - Définition du déterminant d'une matrice par sa formule explicite faisant apparaître la signature des permutations. Exemple des matrices de taille 2.
  - Le déterminant d'une matrice et celui de sa transposée sont égaux, le déterminant est donc à la fois une forme n-linéaire antisymétrique sur les lignes et sur les colonnes.
  - Multiplicativité du déterminant, déterminant de l'inverse, les déterminants des matrices semblables sont égaux.
  - Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs.
  - Effet des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes sur le déterminant.
  - Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
• Cours 8 - 02/11
  - Formule de la comatrice pour calculer l'inverse. Le cas d'une matrice 2x2. Ne pas utiliser cette formule pour un calcul explicite.
  - Déterminant d'un endomorphisme.
  - Début du chapitre sur la réduction des endomorphismes: Définitions des valeurs propres, vecteurs propres, espaces propres, polynômes caractéristiques, espaces stables par un endomorphisme. Interprétation matricielle et les liens entre toutes ces définitions.
  - Définition du polynôme caractéristique.
• Cours 9 - 09/11
  - Mémo sur ce qu'il faut savoir sur les polynômes (première partie): notions de racine, de multiplicité, de polynôme scindé, le théorème de d'Alembert-Gauss.
  - Calcul des deux coefficients dominants du polynôme caractéristique (le deuxième faisant apparaître la trace).
  - La dimension de l'espace propre (multiplicité géométrique) est inférieure à la multiplicité vue comme racine du polynôme caractéristique (multiplicité algébrique)
  - Les sous-espaces propres sont en somme directe.
• Cours 10 - 16/11
  - Diagonalisation, trigonalisation: definition, formulations equivalentes.
  - Théorème: un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé.
  - Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et le multiplicité de chaque valeur propre est égale à la dimension de l'espace propre correspondant.
  - Cas particulier où le polynôme est scindé à racines simples, cas particulier où le corps de base est C.
  - Un exemple de diagonalisation.
• Cours 11 - 23/11
  - Un exemple de trigonalisation. - Définition des polynômes d'endomorphismes. Le noyau de P(u) est stable par u.
  - Si P(X) annule u, alors les valeurs propres de u sont racines de P. Application aux projecteurs.
  - Enoncé et démonstration du théorème de Cayley-Hamilton.
  - Prérequis d'arithmétique des polynômes: polynômes premiers entre eux et lemme de Bezout.
  - Lemme de décomposition des noyaux: si un produit de polynômes deux à deux premiers entre eux annule un endomorphisme, alors on a une décomposition de l'espace en une somme directe de sous-espaces stables. Interprétation matricielle.
  
• Cours 12 - 30/11
  - Théorème: un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s'il annule un polynôme scindé à racines simples.
  - Application à la description des projecteurs et des symétries.
  - Définition des espaces caractéristiques (à ne pas confondre avec les espaces propres).
  - Décomposition en espaces caractéristiques: tout endomorphisme d'un espace vectoriel complexe peut être représenté par une matrice diagonale par blocs, et dont chaque bloc diagonal est triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux tous égaux.
  - Décomposition de Dunford.
  - Explications rapide sur comment utiliser Dunford pour calculer une puissance de matrice.
  - Mise en pratique de la décomposition en espaces caractéristiques sur une matrice 5x5.