Avancement du cours MU4MA022 - 2019

• Cours 1 - 10/09
  - Présentation du cours
  - Rappels de calcul différentiel: différentielle d'une fonction, exemples, formule de composition, théorème d'inversion locale, théorème des fonctions implicites.
• Cours 2 - 12/09
  - Immersions, submersions et leurs formes normales.
  - Les quatre définitions équivalentes des sous-variétés: forme normale, équation, graphe, paramétrage.
  - Exemples: sphéres, tore de révolution.
• Cours 3 - 17/09
  - Suite des exemples: surfaces de genre g.
  - Rappels de topologie générale: espace topologiques, ouverts, topologie induite sur une partie, topologie induite par une distance. Espaces séparés.
  - Notion de point/valeur critique, Lemme de Sard, Notion de plongement.
  - Démonstration de l'équivalence entre les différentes notions de sous-variété.
  - Espace tangent des sous-variétés.
  
• Cours 4 - 19/09
  - Cartes, atlas, atlas maximaux, notion de variété différentiable: un espace topologique séparé à base dénombrable muni d'un atlas maximal.
  - L'exemple de la sphère munie des projections stéréographiques.
  - Les sous-variétés sont en particulier des variétés.
  
• Cours 5 - 24/09
  - Applications lisses entre variétés, idée qu'il suffit de "lire dans les cartes".
  - Enoncé du principe général: toutes les propriétés locales du calcul différentiel se tranfèrent aux variétés. Illustration sur la notion d'immersion, de submersion.
  - Sous-variété des variétés différentiables. Elles héritent d'une structure différentielle naturelle.
  - Plongement d'une variété dans une autre.
  
• Cours 6 - 26/09
  - Somme disjointe et produit de variétés.
  - Parenthèse topologique: notion de quotient, topologie quotient, utilisation pour recoller deux espaces topologiques.
  - Somme connexe de variétés.
  - Rappels sur les actions de groupes. Actions de groupes discrets sur des espaces topologiques.
  - Notion d'action propre.
• Cours 7 - 01/10
  - Notions d'action libre.
  - Démonstration du fait que le quotient d'un espace séparé par une action propre est séparé.
  - Si l'action est libre et propre, la projection sur le quotient est un homéomorphisme local (nous n'avons pas utilisé la terminologie "revêtement"). - Théorème: si un groupe discret agit par difféomorphisme, de manière libre et propre sur une variété, alors le quotient admet une unique structure de variété différentielle telle que la projection canonique soit un difféomorphisme local.
  - Exemples: tores, ruban de Moebius, bouteille de Klein.
  - Le cercle est difféomorphe au quotient R/Z.
• Cours 8 - 03/10
  - Espace projectif: construction d'un atlas par les "cartes affines", coordonnées homogènes.
  - Enoncé du théorème du plongement de Whitney: toute variété se plonge dans un R^n
  - Début de la démonstration
• Cours 9 - 08/10
  - Existence des partitions de l'unité.
  - Démonstration du théorème de plongement de Whitney dans le cas d'une variété compacte.
  - Définition de l'espace tangent comme ensemble de classes d'équivalence de chemins.
  - Structure d'espace vectoriel de l'espace tangent.
  - Différentielle d'une application entre variétés.
  - Définition des fibrés vectoriels
• Cours 10 - 10/10
  - Exemples de fibrés vectoriels: fibrés triviaux, fibré tangent à une sous-variété, fibré tautologique de l'espace projectif.
  - Morphismes de fibré, sections d'un fibré. - Un fibré vectoriel est isomorphe au fibré trivial si et seulement s'il admet une famille de sections qui forment une base de chacune des fibres. Application: le fibré tangent au cercle est trivial, le fibré tautologique d'un espace projectif n'est pas trivial.
  
• Cours 11 - 15/10
  - Fibrés tangents et cotangents à une variété abstraite.
  - Champ de vecteurs, formes différentielles de degré 1.
  - Dérivation associé à un champ de vecteurs. Bijections entre dérivations sur l'algèbre des fonctions lisses et champs de vecteurs.
• Cours 12 - 17/10
  - Fin de la preuve de l'équivalence entre dérivations et champ de vecteurs
  - Expression en coordonnées locales des formes différentielles de degré 1 et des champs de vecteurs.
  - Equation différentielle associée à un champ de vecteurs dépendant du temps: théorème de Cauchy Lipschitz.
• Cours 13 - 22/10
  - Dépendance en les conditions initiales, solutions maximales, un champ de vecteurs sur une variété compacte est complet.
  - Flot d'un champ de vecteurs, règles de composition, cas d'un champ autonome.
  - Correspondance bijective entre champs de vecteurs et chemins lisses de difféomorphismes.
  
• Cours 14 - 24/10
  - Poussé en avant d'un champ de vecteurs par un difféomorphisme et son flot.
  - Redressement d'un champ de vecteurs au voisinage d'un point où il ne s'annule pas.
  - Une trajectoire d'un champ de vecteurs est soit un point, soit une courbe injectivement immergée, soit l'image d'un plongement du cercle.
  - Quelques exemples de champs de vecteurs et de leur flots.
  - Interprétation du crochet de Lie comme défaut de commutation des flots.
• Cours 15 - 6/11
  - Espace des formes multilinéaires alternées/antisymétriques, dimension, base.
  - Produit extérieur de formes multilinéaires alternées. Propriétés.
  - Tiré en arrière de formes par une application linéaire.
  - Produit intérieur d'une forme par un vecteur.
• Cours 16 - 8/11
  - Formes différentielles sur un ouvert de IR^n.
  - Produit extérieur, tiré en arrière de formes.
  - Différentielle extérieure, existence et unicité, invariance par tirés en arrière.
• Cours 17 - 12/11
  - Fibré des formes alternées, formes différentielles de degré quelconque, différentielle extérieure.
  - Relation entre la différentielle extérieure et les opérateurs gradient, rotationnel et divergence.
  - Produit intérieur, dérivé de Lie, Formule de Cartan.
• Cours 18 - 14/11
  - Orientation des variétés: définition par les atlas orientés, équivalence avec le point de vue "famille d'orientations localement constante sur l'espace tangent".
  - Orientation d'un quotient d'une variété par une action libre et propre d'un groupe discret.
  - Application: la bouteille de Klein, le ruban de Moebius, les projectifs de dimension paire ne sont pas orientables.
• Cours 19 - 19/11
  - Une variété est orientable si et seulement si elle admet une forme volume.
  - Intégration d'une forme différentielle de degré maximal à support compact sur une variété, définition.
  - Formule de changement de variable.
  - Exemple des formes de degré 1.
  - Exemple de calcul d'intégrale d'une forme différentielle.
• Cours 20 - 21/11
  - Domaines à bord lisse. Orientation de leur bord.
  - La formule de Stokes, énoncé et démonstration.
  - Application de la formule de Stokes: théorème du point fixe de Brouwer.
  
• Cours 21 - 28/11
  - Cas particuliers remarquables de la formule de Stokes: formule de Green-Riemann, de Gauss-Ostrogradski.
  - Formes fermées, formes exactes.
  - Exemple des 1-formes sur les ouverts du plan.
  - Définition des groupes de cohomologie de de Rham.
  - Le produit extérieur induit le produit "cup" sur la cohomologie de de Rham.
  - Tirés en arrière de classes de cohomologie par une application lisse.
• Cours 22 - 3/12
  - Définition: homotopies (lisses ou non) entre applications, équivalences d'homotopie.
  - Théorème admis: toute application continue entre variétés est homotope à une application lisse, qui est unique à homotopie lisse près.
  - Deux applications homotopes induisent la même application en cohomologie.
  - Une variété contractile a une cohomologie nulle sauf en degré zéro.
  - Vocabulaire d'algèbre homologique: complexes de cochaines et leur cohomologie, morphismes de complexes.
• Cours 23 et 24 - 10/12
  - Suite exacte longue en cohomologie associée à une suite exacte courte de complexes.
  - Suite exacte de Mayer-Vietoris.
  - Calcul de la cohomologie des sphères.
  - Calcul de la cohomologie des surfaces compactes orientées.
  - Théorème admis: l'intégration des formes de degré maximal induit un isomorphisme entre cohomologie en degré maximal et la droite réelle.
  - Degré d'une application lisse. Applications: tout champ de vecteur sur une sphère de dimension paire s'annule en au moins un point; Tout polynôme d'une variable complexe admet une racine.