Université Paris Diderot
Je suis responsable de la préparation à l'agrégation.
Je ferai aussi une partie du cours d'algèbre, du cours d'analyse,
de la modélisation en calcul formel,
des séances de préparation à l'oral (exercices, leçons), et un ou deux écrits blancs.
Emploi du temps
Analyse
Feuilles d'exercices :
Analyse,
Analyse complexe
Résumé des séances
- 13 septembre
- Le corps $\mathbf R$ des nombres réels :
caractérisation comme corps ordonné tel que toute partie majorée possède une borne supérieure. Topologie de $\mathbf R$ (rappels de définitions de topologie générale : ouverts, fermés, voisinages, intérieur, adhérence...),
droite numérique achevée $\overline{\mathbf R}$.
Sous-groupes additifs de $\mathbf R$.
- 19 septembre
- Sous-groupes additifs de $\mathbf R$ (fin de la preuve). Suites, convergence, valeurs d'adhérences, limites inférieure et supérieure. Suites de Cauchy, complétude. Théorème de Bolzano-Weierstrass ; compacité de $\overline{\mathbf R}$ ;
les parties compactes de $\mathbf R$ sont les parties fermées bornées.
Les parties connexes de $\mathbf R$ sont les intervalles.
- 25 septembre
- 10 octobre
- Fonctions d'une variable réelle à valeurs réelles. Continuité, théorème des valeurs intermédiaires, image d'une partie compacte,...
- 23 octobre
- Dérivabilité. Formule de Taylor-Lagrange.
- 13 novembre
-
Formule de Taylor avec reste intégral. Développements limités, formule de Taylor–Young. Fonctions exponentielle, logarithme, trigonométriques. Fonctions convexes.
- 8 janvier
-
Fonctions analytiques (développables en série entière au voisinage de tout point). Principe des zéros isolés. Principe du maximum.
- 16 janvier
-
Fonctions holomorphes (dérivables au sens complexe), relations de Cauchy-Riemann. Intégrale d'une fonction le long d'un chemin, cas des dérivées.
- 6 février
-
Indice d'un point par rapport à un lacet ; définition, propriétés, exemple, méthode pratique de calcul. Formule de Cauchy et applications :
analyticité des fonctions holomorphes, inégalités de Cauchy, limites de fonctions holomorphes, théorème de Liouville. Singularités, fonctions méromorphes,
théorème des résidus.
- 12 février
- Théorème des résidus. Application : théorème de Rouché,
théorème de D'Alembert–Gauss. Holomorphie des intégrales à paramètre.
- 13 février
- Théorème des résidus. Application au calcul d'intégrales
et de sommes de séries (exercices 7, 8, 9, 10 de la feuille d'exercices).
Modélisation, calcul formel
Feuilles de travaux pratiques
Textes de modélisation
- 7 février
- Cours sur les correcteurs d'erreurs
- 14 février
- Discussion du texte 527
Pages intéressantes concernant l'épreuve de modélisation (calcul formel)
Antoine Chambert-Loir—
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