Université Paris Cité
Présentation
Il s'agit d'un second cours de théorie des schémas qui fait suite à celui du cours de François Loeser en période 2.
Les faisceaux quasi-cohérents sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux, et cette analogie est exacte dans le cas des schémas affines, le foncteur section globales fournit une équivalence de catégories abéliennes.
La situation est plus subtile dans le cas général et ce foncteur (ou leur généralisation donnée par l'image directe suivant un morphisme) n'est plus forcément exact, donnant lieu à une théorie cohomologique non triviale.
Une première partie du cours sera consacrée à construire cette théorie et à en établir les propriétés fondamentales et les premières applications (caractérisation des schémas affines et de l'amplitude).
Dans une seconde partie, si le temps le permet, nous voudrions présenter trois théorèmes fondamentaux où cette cohomologie joue un rôle majeur :
-
Le théorème de comparaison de Serre entre géométrie algébrique et géométrie analytique;
-
la théorie de régularité de Castelnuovo-Mumford et la construction des schémas de Hilbert;
-
Le théorème de dualité de Serre.
Contenu
- Cohomologie des faisceaux cohérents
- Fibrés en droites et leur amplitude
- Comparaison entre géométrie algébrique et géométrie analytique
- Régularité de Castelnuovo-Mumford et schémas de Hilbert
- Dualité de Serre
Prérequis
- Cours Schémas 1 (François Loeser)
- Bases d'algèbre homologique
Bibliographie indicative
- A. Grothendieck, J. Dieudonné. « Éléments de géométrie algébrique. »
Publications math. IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. (1960-1967).
[Numdam]
- B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. Kleiman, N. Nitsure and A. Vistoli . Fundamental algebraic geometry: Grothendiecks FGA explained. Mathematical Surveys and Monographs 123, AMS, (2005)
- R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 52, Springer(1977)
- J. de Jong et. al. The Stacks Project
- D. Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Math. 1358, Springer, (1999)
- R. Vakil. Foundations of Algebraic Geometry
Les notes de cours antérieurs peuvent également être utiles sur certains passages :
Dans la mesure du possible, je mettrai à jour le texte
Algebraic Geometry of Schemes pour y adjoindre le contenu de ce qui est fait en cours :
[
PDF] (version du 29 janvier 2024).
Exercices
- Six exercices (catégories abéliennes, objets injectifs, faisceaux, un peu de cohomologie) — 17 janvier 2024 : correction de quelques typos dans l'exercice 5
- Deux suggestions pour celleux qui ont déjà fini les exercices précédents : 1) Étudier l'existence des résolutions injectives dans (Grothendieck, 1958)
via l'axiome (AB5) et l'existence d'un objet générateur ;
2) Démontrer que sur un ouvert non vide de $\mathbf R^n$,
il n'y a pas assez d'objets projectifs.
- Six autres exercices (Cohomologie des faisceaux cohérents — schémas affines et exemples)
- Et encore six autres exercices (Cohomologie des faisceaux cohérents — extensions, cohomologie, etc.)
- Sujet de l'examen de 2023
(English version)
- Sujet de l'examen de 2024
(English version)
Horaire des cours
Le cours aura lieu du 8 janvier au 16 février 2024 :
- Lundi, 11h–13h, Halle aux farines, 234C
- Mercredi, 11h–13h, Halle aux farines, 234C
- Jeudi, 11h–13h, Halle aux farines, 027C
A priori, les séances du lundi et du mercredi seront consacrées à du cours,
celle du jeudi à des exercices.
La séance du jeudi 25 janvier est reportée sine die.
Séances exceptionnelles : Jeudi 1er février, 10h–13h, Halle aux farines, 248E; jeudi 8 février, 10h–13h, Sophie Germain, 010
Examen
Lundi 19 février, 9h30–12h30, Halle aux farines, amphi 3B
Résumé des séances
- lundi 8 janvier
-
Contexte du cours : défaut d'exactitude à droite du fonction « sections globales ».
Présentation historique : approche cohomologique de la géométrie algébrique (Cartan, Serre, Grothendieck…).
Contexte historique des théories cohomologiques (cohomologie de Čech, foncteurs dérivés, catégories dérivées, catégories de modèles, ∞-catégories…) : on se tiendra aux foncteurs dérivés.
Catégories abéliennes (rappels). Objets projectifs et injectifs. Cohomologie d'un complexe. Homologies, homotopies, homéotopies.
- mercredi 10 janvier
-
Résolutions injectives, construction (lorsque la catégorie
abélienne a assez d'injectifs), fonctorialité et unicité à homotopie près.
Définition des foncteurs dérivés, suites exactes longues.
$\delta$-foncteurs, $\delta$-foncteurs universels ;
cas des foncteurs dérivés.
- jeudi 11 janvier
- Séance d'exercices : discussion de l'exercice 1
de la feuille 1, et un peu de l'exercice 3.
- lundi 15 janvier
-
Résolutions acycliques.
Cohomologie des faisceaux : existence de résolutions injectives.
Faisceaux flasques et applications (existence de résolutions flasques, acyclicité…).
- mercredi 17 janvier
- Cohomologie d'une colimite filtrante de faisceaux.
Dimension cohomologique. Caractérisation par l'annulation
de la cohomologie des faisceaux $\mathbf Z_U$.
Majoration par la dimension de Krull.
- jeudi 18 janvier
- Séance d'exercices : discussion de l'exercice 5.
- lundi 22 janvier
- Annulation de la cohomologie des schémas affines. Applications.
- mercredi 24 janvier
- Caractérisation cohomologie des schémas affines.
- jeudi 25 janvier
- Séance reportée
- lundi 29 janvier
- Schémas Proj, modules gradués et faisceaux quasi-cohérents.
Cohomologie des faisceaux $\mathscr O(d)$ sur l'espace projectif (début).
- mercredi 31 janvier
- Modules gradués et faisceaux quasi-cohérents sur les spectres homogènes.
- jeudi 1er février
- Séance d'exercices.
- lundi 5 février
- Théorème de finitude de la cohomologie des schémas projectifs.
Caractéristique d'Euler, fonction de Hilbert.
- mercredi 7 février
- Idéaux premiers associés, degré de la fonction de Hilbert
- jeudi 8 février
- Séance d'exercices : discussion de l'exercice 5 de la feuille 2 et de l'exercice 2 de l'examen 2023
- lundi 12 février
- Régularité de Castelnuovo-Mumford. Variation de la cohomologie. Énoncé du théorème principal et du premier corollaire. Rappels sur les modules plats.
- mercredi 14 février
- Modules plats de présentation finie et modules localement libres. Fin de la démonstration du premier corollaire. Modules de rang constant sur un anneau réduit. Discussion rapide des autres corollaires.
- jeudi 15 février
- Séance d'exercices : discussion de la fin de l'exercice 2 de l'examen 2023 et de l'exercice 4 de cet examen.
Antoine Chambert-Loir—
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