EQUIVALENCES DERIVEES

ET K-THEORIE

d’après Thomason-Trobaugh

par J. Dalpayrat-Glutron Mémoire de D.E.A.

sous la direction de B. Keller

Université Denis Diderot — Paris 7 Mai 1999

Introduction

Deux algèbres sur un corps sont équivalentes par dérivation si leurs catégories dérivées de modules sont équivalentes en tant que catégories triangulées ([10] [11]). Dans ce cas, elles partagent de nombreux invariants homologiques, tels que l’homologie et la cohomologie de Hochschild, les différentes homologies cycliques([4] [11] [5]). Il est connu que de telles algèbres partagent aussi leur K-théorie. Pour des algèbres noethériennes de dimension globale finie, ceci est un corollaire de la construction de A. Neeman d’une K-théorie pour les catégories triangulées ([6] [7] [8]). La construction de A. Neeman occupe une centaine de pages. Par ailleurs, R. W. Thomason et T. Trobaugh donnent le résultat mais dans le cas particulier où l’équivalence est induite par un foncteur complicial ([12] section 1.2.16). De nombreuses équivalences dérivées ne sont pas induites par des foncteurs compliciaux; comme le produit tensoriel dérivé par un complexe de bimodules non concentré en un seul degré. Dans ce mémoire, nous exposons la démonstration de Thomason-Trobaugh dans un cadre légèrement modifié et sans faire appel à l’hypothèse de complicialité.

L’ingrédient principal de la démonstration est le théorème d’approximation de Waldhausen; en invoquant aussi le théorème d’additivité de Waldhausen, nous montrons que la K-théorie supérieure est même préservée par équivalence K-théorique [5], comme l’homologie de Hochschild et les homologies cycliques, et à la différence de la cohomologie de Hochschild.

Table des matières

1 Equivalences dérivées et K-théorie 1

2 Catégories de complexes 2 2.1 Notations, rappels sur les catégories stables et triangulées . . . . . . . . . . . . . . 2 2.2 Cadre (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.3 Réduction du théorème 2 au théorème 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3 K-théorie de Waldhausen 5 3.1 Catégories de Waldhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.2 K-théorie de Waldhausen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.3 Cas particulier: cadre (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.4 Théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5 Théorème d’additivité et équivalence K-théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.5.1 Théorème d’additivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.5.2 Invariance par équivalence K-théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Un corollaire du théorème 3 et d’un théorème de Beilinson 16

5 Démonstration du théorème 3 18

1 Equivalences dérivées et K-théorie

Soit k un anneau commutatif, et A et B deux k-algèbres. On suppose que A et B sont plates en tant que k-modules. Notons 𝒟 Mod A la catégorie dérivée de Mod A, la catégorie des A-modules à droite, 𝒟^{b}(Mod A) la catégorie dérivée bornée, et par A la sous-catégorie pleine de 𝒟 Mod A formée des complexes parfaits, i.e. (quasi-)isomorphes à des complexes bornés dont les composantes sont des A-modules projectifs de type fini. Définition Les algèbres A et B sont équivalentes par dérivation et on note A ∼^{der} B, s’il existe une équivalence de catégories triangulées 𝒟 Mod A → 𝒟 Mod B.

Théorème 1 (Rickard [10]) Les propriétés suivantes sont équivalentes

(i) A et B sont équivalentes par dérivation.

(ii) Il existe un complexe de A-B-bimodules X tel que le foncteur dérivé total ?⊗_{A}^{𝕃} X : 𝒟 Mod A → 𝒟 Mod B soit une équivalence de catégories.

(iii) Il existe une équivalence de catégories triangulées 𝒟^{b}(Mod A) → 𝒟^{b}(Mod B).

(iv) Il existe une équivalence de catégories triangulées par A → par B .

(v) Il existe un complexe T de 𝒟 Mod B tel que

a) Le complexe T est dans par B ,

b) On a Hom_{𝒟 Mod B} (T, T) ≅ A et Hom_{𝒟 Mod B} (T, T [n]) = 0 pour tout n ≠ 0,

c) La sous-catégorie par B est la plus petite sous-catégorie triangulée strictement pleine de 𝒟 Mod B contenant T et stable par facteurs directs.

T est un complexe basculant et X un complexe basculant bilatère. Notons (K_{i}(A))_{i∈ℕ} la K-théorie de A (selon Quillen [9]).

Théorème 2 Soit A et B deux k-algèbres plates en tant que k-modules. Si A et B sont équivalentes par dérivation, alors leurs K-théories sont isomorphes :

K_{∗}(A) ≅ K_{∗}(B).

2 Catégories de complexes

2.1 Notations, rappels sur les catégories stables et triangulées

Soit 𝒜 une catégorie additive, 𝒞 𝒜 la catégorie des complexes sur 𝒜 , ℋ𝒜 sa catégorie homotopique. La catégorie 𝒞𝒜 munie des suites exactes courtes scindées en chaque degré est exacte au sens de Quillen. Une conflation est une suite exacte pour cette structure, le mono scindé en chaque degré y apparaissant est une inflation, l’épi scindé en chaque degré est une déflation; on les notera ↣ (resp. ↠). Soit f : X → Y un morphisme de 𝒞𝒜. Le foncteur cône est défini de la catégorie des morphismes de 𝒞𝒜 dans la catégorie 𝒞𝒜 : le complexe C(f) est défini par :

C^{·}(f) = Y^{·} ⊕ X^{·+1},

où la différentielle est

d_{C(f)}^{n} = ( \begin{matrix}d_{Y} & f^{n+1} \\ 0 & −d_{X} \end{matrix} ) ,

et si un morphisme de 𝒞𝒜 est représenté par le diagramme commutatif

\begin{matrix}X & →^{f} & Y \\ a ↓ & & ↓ b \\ X′ & →^{f′} & Y′ , \end{matrix}

le cône de ce diagramme est le morphisme

\begin{matrix}C(f) \\ ↓ \\ C(f′) \end{matrix}

de composante b ⊕ a[1]. Posons IX = C(1_{X}). Cela définit un foncteur de 𝒞𝒜 dans 𝒞𝒜. Pour un complexe A, notons SA = A[1] le complexe tel que A[1]^{n} = A^{n+1} et d_{A[1]} = −d_{A}, et notons Ω et P les foncteurs de 𝒞𝒜 dans 𝒞𝒜 tels que Ω A = S^{−1}A et P A = IS^{−1}A ≃ S^{−1}IA. On dispose alors de deux conflations

A↣^{i_{A}}IA ↠^{p_{A}} SA , où i_{A} = [ \begin{matrix}1 \\ d \end{matrix} ] et p_{A} = [−d 1].

et

ΩA↣^{j_{A}}P A ↠^{q_{A}} A où j_{A} = i_{S^{−1}A} et q_{A} = p_{S^{−1}A}.

Le cône C(f) est l’objet unique à isomorphisme près rendant cocartésien le diagramme

\begin{matrix}X & →^{i_{A}} & IX \\ f ↓ & & ↓ \\ Y & → & C(f) \end{matrix} .

L’objet IA est injectif, c’est-à-dire possède la propriété d’extension par rapport aux inflations. On a les propriétés équivalentes suivantes:

• A est injectif

• A est projectif

• A↣IA↠SA se scinde

• A est contractile

Donc la catégorie 𝒞𝒜 a assez d’injectifs et les injectifs coïncident avec les projectifs, c’est-à-dire 𝒞𝒜 est de Frobenius. Soit A et C deux complexes. Une extension de C par A est un objet B apparaissant dans une conflation A ↣ B ↠ C. Un foncteur exact est un foncteur entre catégories exactes préservant les conflations. Une sous-catégorie exacte ℬ d’une catégorie exacte 𝒜 est pleinement exacte si les conflations de ℬ sont exactement les conflations de 𝒜 dont les objets sont dans ℬ.

La catégorie stable \underline{𝒜} d’une catégorie 𝒜 de Frobenius a pour objets les objets de 𝒜, et pour morphismes les classes d’équivalence de morphismes de 𝒜 modulo les morphismes se factorisant par un injectif.

Dans la catégorie \underline{𝒜}, un prétriangle est un diagramme de la forme A → B → C → SA, un morphisme de prétriangles est un diagramme commutatif

A → B → C → SA
↓ a ↓ ↓ ↓ Sa
A′ → B′ → C′ → SA′.

Un morphisme de prétriangles est un isomorphisme si les quatre flèches verticales du diagramme précédent sont des isomorphismes. Appelons triangle standard de \underline{𝒜} un prétriangle de la forme A →^{\underline{i}} B →^{\underline{p}} C →^{\underline{e}} SA, oú \underline{i}, \underline{p}, \underline{e} sont les images dans \underline{𝒜} des morphismes provenant du diagramme dans 𝒜 :

A ↣^{i} B ↠^{p} C
∥  ↓  ↓ e
A ↣^{i_{A}} IA ↠^{p_{A}} SA.

Appelons triangle un prétriangle isomorphe à un triangle standard. Munie de ces triangles, \underline{𝒜} porte une structure triangulée dont la suspension est le foncteur {A ↦ SA}. La catégorie homotopique ℋ𝒜 := \underline{𝒞𝒜} porte donc par exemple une structure triangulée, qui coïncide avec la structure triangulée standard. Un foncteur entre deux catégories triangulées ℱ et 𝒢 est triangulé si c’est un foncteur additif muni d’un morphisme de foncteurs φ : F · S → S · F tel que

F X →^{F u} F Y →^{F v} F Z ⟶^{φX·F w} SF X

soit un triangle pour tout triangle X →^{u} Y →^{v} Z →^{w} SX de ℱ.

Si 𝒜 et ℬ sont des catégories de Frobenius, tout foncteur exact F : 𝒜 → ℬ préservant l’injectivité induit un foncteur triangulé entre les catégories stables associées.

2.2 Cadre (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩)

Un 𝒟-triplet consiste en

• une petite catégorie additive ℬ_{0}

• une sous-catégorie pleine ℬ de 𝒞 ℬ_{0}, stable par extensions (scindées en chaque degré) et translations

• une sous-catégorie pleine 𝒩 de ℬ, stable par extensions (scindées en chaque degré) et translations.

Soit (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) un 𝒟-triplet: ℬ est une sous-catégorie pleinement exacte de 𝒞 ℬ_{0}, et 𝒩 une souscatégorie pleinement exacte de ℬ. Alors \underline{ℬ} est une sous-catégorie triangulée de ℋℬ_{0}, et \underline{𝒩} une sous-catégorie triangulée de \underline{ℬ}. Soient (𝒜_{0}, 𝒜, ℳ) et (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) deux 𝒟-triplets. Soit F : 𝒜 → ℬ un foncteur additif. Alors on a équivalence entre:

• F admet un isomorphisme de foncteurs F · C ≃ C · F, où C est le foncteur cône défini au 2.1

• F est exact et admet un isomorphisme de foncteurs F · I ≃ I · F.

En outre, si F est exact, alors tout isomorphisme F · I ≃ I · F s’étend en un unique isomorphisme F · C ≃ C · F. On appelle 𝒟-foncteur un foncteur exact F : 𝒜 → ℬ muni d’un isomorphisme de foncteurs F · C ≃ C · F et tel que F ℳ ⊆ 𝒩. Notons qu’un 𝒟-foncteur préserve les injectifs.

Pour tout 𝒟-triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), notons Σ\underline{𝒩} l’ensemble des morphismes s de \underline{ℬ} apparaissant dans un triangle X →^{s} Y → N → SX où N est dans 𝒩. Puisque \underline{𝒩} est une sous-catégorie triangulée de \underline{ℬ}, l’ensemble Σ\underline{𝒩} admet [13] un calcul des fractions à gauche et à droite, et la catégorie localisée

\underline{ℬ} [Σ−1 ; \underline{𝒩}] munie du foncteur induit par S et des triangles isomorphes à des images de triangles de \underline{ℬ} par le foncteur localisation, porte une unique structure triangulée telle que le foncteur localisation can commute à la translation et que (can, 1) soit un foncteur triangulé. On appelle \underline{ℬ} [Σ−1 ; \underline{𝒩}] la catégorie triangulée associée au 𝒟-triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) et on la note 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) ou 𝒯ℬ.

Si F est un 𝒟-foncteur entre (𝒜_{0}, 𝒜, ℳ) et (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), alors F (ℳ) ⊆ 𝒩, puis F (\underline{ℳ}) ⊆ \underline{𝒩} puisque F préserve les injectifs. Alors F (Σ\underline{ℳ} ) ⊆ Σ\underline{𝒩} ; puisque F induit un foncteur triangulé \underline{𝒜} → \underline{ℬ}, il s’ensuit que F induit un foncteur triangulé entre les catégories localisées: 𝒯(𝒜_{0}, 𝒜, ℳ) → 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩).

La K-théorie de Waldhausen permettra de définir (3.2) la K-théorie d’un triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), que l’on notera K_{∗}(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) ou K_{∗}ℬ.

Théorème 3 Soit F un 𝒟-foncteur du triplet (𝒜_{0}, 𝒜, ℳ) dans le triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩). Si F induit une équivalence des catégories triangulées associées

𝒯𝒜 →^{∼} 𝒯ℬ,

alors F induit un isomorphisme en K-théorie:

K_{∗}𝒜 →^{∼} K_{∗}ℬ.

2.3 Réduction du théorème 2 au théorème 3

Pour un anneau A, on note strparc A la sous-catégorie pleine des complexes strictement parfaits de 𝒞Mod A c’est-à-dire des complexes bornés de modules (à droite) projectifs de type fini, et parc A sa fermeture par quasi-isomorphismes, i.e. la sous-catégorie pleine de 𝒞 Mod A dont l’image dans 𝒟 Mod A est par A (section 1). Soient A et B deux k-algèbres, plates en tant que k-modules. Supposons-les équivalentes par dérivation. Soit X un complexe basculant bilatère donné par le théorème de Rickard (section 1). Le foncteur dérivé ? ⊗_{A}^{𝕃} X de par A dans par B est une équivalence de catégories qui se relève en un foncteur ? ⊗_{A} X de strparc A dans parc B. On a alors le diagramme suivant :

strparc A ⟶^{?⊗_{A}X} parc B ↓  ↓ par A ⟶^{?⊗_{A}^{𝕃}X} par B .

Par définition du foncteur dérivé ? ⊗_{A}^{𝕃} X, ce diagramme est commutatif (à isomorphisme de foncteurs près). Notons 𝒩_{A} et 𝒩_{B} les sous-catégories des complexes acycliques de 𝒞 Mod A et 𝒞 Mod B.

Lemme 2.3.1 • les triplets (Mod A, strparc A, 𝒩_{A} ∩ strparc A) et (Mod B, parc B, 𝒩_{B} ∩ parc B) sont des 𝒟-triplets, dont les catégories triangulées associées s’identifient à par A (resp. par B).

• le foncteur ? ⊗_{A} X est un 𝒟-foncteur de

(Mod A, strparc A, 𝒩_{A} ∩ strparc A) dans (Mod B, parc B, 𝒩_{B} ∩ parc B).

Dans les catégories triangulées associées, il induit le foncteur dérivé ?⊗_{A}^{L} X : par A → par B.

Remarque La deuxième assertion de ce lemme immédiat permet d’éviter l’hypothèse de complicialité de R. W. Thomason, puisque nous verrons en effet dans le lemme 3.3.1 qu’un 𝒟-foncteur conserve les produits fibrés homotopiques (définis dans la section 3.3), unique propriété demandée aux foncteurs requiérant l’hypothèse de complicialité.

On applique le théorème 3 au foncteur ? ⊗_{A} X pour conclure à un isomorphisme en K-théorie :

K_{∗}(strparc A) →^{∼} K_{∗}(parc B)

D’autre part, le foncteur strparc B ↪^{i} parc B est un 𝒟-foncteur et satisfait les hypothèses du théorème 3, d’où l’isomorphisme :

K_{∗}(strparc B) →^{∼} K_{∗}(parcℬ).

On conclut grâce au théorème de Gillet:

Théorème 4 (Gillet [2]) On a un isomorphisme canonique :

K_{∗}(A) →^{∼} K_{∗}(strparc A) .

3 K-théorie de Waldhausen

3.1 Catégories de Waldhausen

Définition: On appelle catégorie de Waldhausen la donnée suivante:

i) une catégorie 𝒜, munie d’un objet 0

ii) une sous-catégorie co(𝒜) de 𝒜, dont les morphismes sont appelés cofibrations et notés ↣, vérifiant:

– tout isomorphisme est une cofibration

– pour tout A dans 𝒜, l’unique morphisme 0 → A est une cofibration

– tout diagramme

\begin{matrix}A & ↣ & B \\ ↓ \\ C \end{matrix} ,

où A↣B est une cofibration, se complète en un diagramme cocartésien:

A →  B
↓  ↓
C → B ∪_{A} C ,

où B ∪_{A} C est dans 𝒜 et C → B ∪_{A} C est une cofibration;

iii) une sous-catégorie w(𝒜) de 𝒜, dont les morphismes sont les équivalences faibles, notées →^{∼}, qui vérifie:

– tout isomorphisme est dans w(𝒜)

– pour tout diagramme

\begin{aligned}B & ↢ & A & → & C \\ ↓≀ & & ↓≀ & & ↓≀ \\ B′ & ↢ & A′ & → & C′ \end{aligned} ,

le morphisme induit B ∪_{A} C →^{∼} B′ ∪_{A′} C′ est une équivalence faible.

La donnée seule de i) et ii) définit une catégorie avec cofibrations.

Soit A↣B une cofibration de 𝒜 catégorie avec cofibrations; alors le quotient B/A de B par A est l’objet unique à isomorphisme près qui apparaît dans le carré cocartésien

\begin{matrix}A & ↣ & B \\ ↓ & & ↓ \\ 0 & ↣ & B/A \end{matrix}

Une suite A↣B → C est cofibrante si C ≃ B/A. On appelle B → C un morphisme quotient, et on le note B ↠C.

Une catégorie avec cofibrations 𝒜 est avec bifibrations si les conditions suivantes sont réalisées:

• les morphismes quotients sont les morphismes d’une sous-catégorie quot(𝒜),

• la catégorie opposée 𝒜^{op} est une catégorie avec cofibrations, de cofibrations co(𝒜^{op}) := quot(𝒜)^{op},

• le produit et le coproduit de deux objets sont isomorphes,

• pour tous A, B, C dans 𝒜, la suite A ↣ B ↠ C est cofibrante dans 𝒜 si et seulement si C ↣B ↠A est une suite cofibrante de 𝒜^{op},

Une catégorie avec bifibrations est de biWaldhausen si (𝒜, co(𝒜) , w(𝒜) ) et (𝒜^{op}, quot(𝒜)^{op}, w(𝒜)^{op}) sont deux catégories de Waldhausen .

Une catégorie de Waldhausen 𝒜 est saturée si pour tous morphismes composables A →^{f} B →^{g} C, les morphismes f, g, f.g sont dans w(𝒜) dès que deux d’entre eux le sont.

Elle est stable par extension si pour tout morphisme de suites cofibrantes

A ↣ B ↠ C
↓ a ↓ b ↓ c
A′ ↣ B′ ↠ C′,

b est dans w(𝒜) dès que a et c le sont.

Une catégorie de biWaldhausen est saturée (resp. stable par extension) si elle l’est en tant que catégorie de Waldhausen .

Un foncteur entre deux catégories de Waldhausen 𝒜 et ℬ est exact s’il conserve les cofibrations, les équivalences faibles, et la formation des carrés cocartésiens le long des cofibrations, i.e. le morphisme canonique

F C ∪_{F A} F B →^{∼} F (C ∪_{A} B)

est un isomorphisme de ℬ pour tout C de 𝒜 et toute cofibration A↣B. Si les catégories sont de biWaldhausen , il est exact si F : (𝒜, co(𝒜) , w(𝒜) ) → (ℬ, co(ℬ), w(ℬ)) et

F^{op} : (𝒜^{op}, quot(𝒜)^{op}, w(𝒜)^{op}) → (ℬ^{op}, quot(ℬ)^{op}, w(ℬ)^{op})

sont exacts.

Un foncteur cylindre sur une catégorie de Waldhausen est la donnée suivante:

• un foncteur T de la catégorie Mor(𝒜) des morphismes de 𝒜 vers 𝒜

• trois morphismes de foncteurs p, j_{1}, j_{2}, tels que pour f : A → B: – j_{1}(f) : source(f) → T (f)

– j_{2}(f) : but(f) → T (f)

– p(f) : T (f) → but(f)

– p · j_{1} = f

– p · j_{2} = 1 i.e. le diagramme

[figure: A; j_{1}; f; T (f); p; B; j_{2}; B]

est commutatif; de plus:

– j_{1} ∪ j_{2} : A ∪_{0} B ↣T (f) est une cofibration

– si f : 0 → A, T (f) = A, et p et j_{2} sont l’identité. Un foncteur cylindre vérifie l’axiome du cylindre si, de plus, p(f) : T (f) → B est une équivalence faible pour tout f : A → B (si 𝒜 est saturée, on a donc j_{2} ∈ w(𝒜) ).

Un foncteur cocylindre sur une catégorie dont la catégorie opposée est de Waldhausen est défini par dualité : c’est un foncteur M de Mor(𝒜) vers 𝒜, muni de trois morphismes de foncteurs k_{1}, k_{2}, q tels que, pour f : A → B, on a :

• k_{1}(f) : M(f) → but(f)

• k_{2}(f) : M(f) → source(f)

• q(f) : source(f) → M(f) tels que (M, k_{1}, k_{2}, q) soit un foncteur cylindre sur (𝒜^{op}, quot(𝒜)^{op}, w(𝒜)^{op}). Il vérifie l’axiome du cocylindre si de plus A →^{q(f)} M(f) est une équivalence faible pour tout f : A → B.

3.2 K-théorie de Waldhausen

Soit 𝒞 une (petite) catégorie de Waldhausen . Soit [n] la catégorie dont les objets sont 0, 1, ⋯, n et l’ensemble des morphismes de i vers j est formé d’un unique morphisme si i ≤ j et vide sinon. Soit Mor[n] la catégorie dont les objets sont les morphismes de la catégorie [n] , et l’ensemble des morphismes de (i → j) vers (i′ → j′) est formé d’un unique morphisme si i ≤ i′ et j ≤ j′, et vide sinon. Soit S_{n}𝒞 la catégorie

• d’objets les foncteurs

A : \begin{matrix}Mor[n] & → & 𝒞 \\ \{i → j\} & ↦ & A_{i,j} \end{matrix}

tels que:

– A_{i,i} = 0, l’objet initial et final de 𝒞

– Le morphisme A_{i,j} → A_{i,k} est une cofibration quels que soient i ≤ j ≤ k,

– le diagramme

A_{i,j} ↣ A_{i,k}
↓  ↓
0 = A_{j,j} → A_{j,k}

est un carré cocartésien, i.e. A_{i,j} ↣A_{i,k} ↠A_{j,k} est une suite cofibrante quels que soient i ≤ j ≤ k,

• et de morphismes les morphismes de foncteurs.

Pour chaque n, la catégorie S_{n}𝒞 est équivalente à la catégorie S′_{n}𝒞 dans laquelle

• un objet est la donnée d’une suite de cofibrations A_{0} ↣A_{1} ↣⋯↣A_{n}, où A_{0} = 0,

• un morphisme est un diagramme commutatif

A_{0} ↣ A_{1} ↣ ⋯ ↣ A_{n}
↓ ↓ ↓
A′_{0} ↣ A′_{1} ↣ ⋯ ↣ A′_{n}

Appelons une cofibration de S_{n}𝒞 un morphisme de foncteurs A → A′ tel que pour tout i, A_{0,i} → A′_{0,i} est une cofibration et pour tout i, A′_{0,i} ∪_{A_{0,i}} A_{0,i+1} ↣ A′_{0,i+1} est une cofibration. Appelons équivalence faible un morphisme A → A′ tel que pour tout i, A_{0,i} → A′_{0,i} est une équivalence faible (On a alors A_{i,j} →^{∼} A′_{i,j} pour tout i, j par l’axiome de recollement).

Le foncteur

S_{.}𝒞 : Δ^{op} → Cat.de Waldhausen [n] ↦ S_{n}𝒞

est une catégorie de Waldhausen simpliciale.

La structure simpliciale de S_{.}𝒞 correspond, dans la traduction en termes de suites de cofibrations, aux opérateurs faces et dégénérescences suivants : en degré n, si δ_{i} : [n] → [n + 1] est le morphisme “face” strictement croissant qui “oublie” i, alors δ_{i}^{∗} : S′_{n+1}𝒞 → S′_{n}𝒞 envoie la suite de cofibrations

A_{0} ↣^{a_{0}}A_{1} ↣^{a_{1}}⋯↣A_{i−1} ↣^{a_{i−1}} A_{i} ↣^{a_{i}}A_{i+1} ↣^{a_{i+1}} ⋯↣^{a_{n}}A_{n},

sur

A_{1}/A_{0} ↣A_{2}/A_{0} ↣⋯↣⋯↣A_{n}/A_{0},

si i = 0 et sur

A_{0} ↣^{a_{0}}A_{1} ↣^{a_{1}}⋯↣A_{i−1} ↣^{a_{i}·a_{i−1}} A_{i+1} ↣⋯↣A_{n},

si i > 0. Si σ_{i} : [n + 1] → [n] est le morphisme croissant qui prend deux fois la valeur i, alors σ_{i}^{∗} : S_{n}𝒞 → S_{n+1}𝒞 envoie la suite de cofibrations

A_{0} ↣^{a_{0}}A_{1} ↣^{a_{1}}⋯↣A_{i−1} ↣^{a_{i−1}} A_{i} ↣^{a_{i}}A_{i+1} ↣^{a_{i+1}} ⋯↣^{a_{n}}A_{n},

sur

A_{0} ↣^{a_{0}}A_{1} ↣^{a_{1}}⋯↣A_{i−1} ↣^{a_{i−1}} A_{i} ↣^{1}A_{i} ↣^{a_{i}}A_{i+1} ↣^{a_{i+1}} ⋯↣^{a_{n}}A_{n}.

Notons que le foncteur

S_{.}𝒞 : Δ^{op} → Cat.de Waldhausen [n] ↦ S_{n}𝒞

est un foncteur simplicial strict, à l’avantage du foncteur S′_{.}𝒞 qui ne vérifie les identités simpliciales qu’à isomorphismes près.

Appelons catégorie d’équivalences faibles une catégorie dont les objets sont les mêmes que ceux d’une catégorie de Waldhausen donnée et les morphismes les équivalences faibles entre les objets. Le foncteur

wS_{.}𝒞 : Δ^{op} → Cat. d’équivalences faibles [n] ↦ w(S_{n}𝒞)

est une catégorie d’équivalences faibles simpliciale. Prenons le nerf en chaque degré de wS.𝒞 : 𝒩_{p}wS_{q}𝒞 est l’ensemble

{W_{0} →^{f_{0}} W_{1} →^{f_{1}} ⋯ →^{f_{p−1}} W_{p} | W_{i} ∈ wS_{q}𝒞, f_{i} ∈ Mor(wS_{q}𝒞)}.

On a alors un ensemble bisimplicial 𝒩.wS.𝒞 :

Δ^{op} × Δ^{op} →  Ens
([p], [q]) ↦ 𝒩_{p}wS_{q}𝒞.

Soit |𝒩.wS.𝒞| sa réalisation géométrique et Ω|𝒩.wS.𝒞| l’espace des lacets de la réalisation.

Définition : La K-théorie d’une (petite) catégorie de Waldhausen 𝒞 est :

K_{∗}𝒞 = π_{∗}(Ω|𝒩.wS.𝒞|).

3.3 Cas particulier: cadre (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩)

Si (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) est un 𝒟-triplet, la catégorie ℬ munie du complexe nul pour objet initial, des monos scindés en chaque degré comme cofibrations et de l’ensemble Σ_{𝒩} des morphismes de cône dans 𝒩 (section 2.2) pour équivalences faibles, est une catégorie de Waldhausen, saturée, stable par extension.

On peut munir une telle catégorie d’un foncteur cylindre en utilisant le cylindre habituel dans une catégorie de complexes: si on a un morphisme f : A^{.} → B^{.} le cylindre est défini par:

[figure: A; ^{[ \begin{matrix}i_{A} \\ f \end{matrix} ]}; f; IA ⊕ B; [0 1]; B; ^{[ \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} ]}; B]

Soit un coin

\begin{matrix}A & →^{b} & B \\ c ↓ \\ C \end{matrix} (∗)

Pour tout objet D, on considère l’ensemble F D formé des triplets (c′, b′, h) où c′ : B → D et b′ : C → D sont des morphismes et h : A → D est une homotopie, tels que c′b − b′c = dh + hd. Clairement, D → F D est un foncteur représentable de 𝒞𝒜 vers la catégorie des groupes abéliens. La somme amalgamée homotopique (ou colimite homotopique) du coin (*) est le représentant de F. En d’autres termes, c’est un objet P muni d’un triplet (c′_{0}, b′_{0}, h_{0}) ∈ F P universel parmi tous les triplets (c′, b′, h) :

[figure: A; b; c; h_{0}; B; b′_{0}; C; c′_{0}; P; D]

On note cet objet B ∪_{A}^{h} C = P.

C’est aussi l’objet unique à isomorphisme près qui rend cocartésien (strictement) le diagramme de ℬ :

[figure: A; ^{[ \begin{matrix}b \\ i_{A} \end{matrix} ]}; c; B ⊕ IA; C] .

On définit le produit fibré homotopique (ou limite homotopique) d’un coin

\begin{aligned}& & B \\ & & ↓ \\ C & → & A \end{aligned}

de manière duale et on le note B ×_{A}^{h} C. Alors le cylindre d’un morphisme f : A → B est la somme amalgamée homotopique du coin

[figure: A; f; A.; B]

Ce cylindre vérifie l’axiome du cylindre. On peut définir le cocylindre du morphisme f : A → B, produit fibré homotopique du coin

[figure: A; f; B; B,]

par le diagramme

[figure: A; _{[\begin{matrix}1 \\ g \end{matrix} ]}; f; A; A ⊕ P B; [ 1 0 ]; [ 0 q_{B} ]; B]

où q_{B} provient de la conflation ΩB ↣^{j_{B}} P B ↠^{q_{B}} B (2.1), et où g est donné en degré n par :

A^{n} \underrightarrow{\left[{0 \atop f}\right]} B^{n−1} ⊕ B^{n}. Ce cocylindre vérifie l’axiome du cocylindre.

Lemme 3.3.1 Un 𝒟-foncteur préserve les sommes amalgamées homotopiques et les produits fibrés homotopiques.

Démonstration La somme amalgamée homotopique du diagramme

\begin{matrix}A & →^{b} & B \\ c ↓ \\ C \end{matrix}

dans ℬ, où ℬ appartient au 𝒟-triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), est aussi la somme amalgamée stricte du diagramme

[figure: A; ^{[ \begin{matrix}b \\ i_{A} \end{matrix} ]}; c; B ⊕ IA; C] .

Un 𝒟-foncteur est muni d’ un isomorphisme de foncteurs F ·I ≃ I ·F (section 2.2), et il conserve les

sommes amalgamées strictes de diagrammes admissibles : \begin{matrix}· & ↣ & · \\ ↓ \\ · \end{matrix} . Il conserve donc les sommes

amalgamées homotopiques.

Lemme 3.3.2 Soit un 𝒟-triplet (ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) et le diagramme dans ℬ

\xymatrix{ & B^{1} \ar[rrr]^{∼} \ar[dr] & & & B′^{1} \ar[dr] \\ & & B^{0} \ar[rrr]^{∼} & & & _{B′_{0}} \\ B^{2} \ar[urr] \ar[rrr]^{∼} & & & _{B′_{2}} \ar[urr]} .

où chaque rectangle est commutatif à homotopie près et chaque flèche horizontale est un morphisme de cône dans 𝒩 (donc une équivalence faible). On a alors un diagramme

[figure: B^{1}; ∼; B′^{1}; B^{3}; ∼; _{B′_{3}}; B^{0}; ∼; _{B′_{0}}; B^{2}; ∼; _{B′_{2}}]

où le morphisme entre les produits fibrés homotopiques B^{3} et B′^{3} est une équivalence faible, et où chaque rectangle est commutatif à homotopie près.

Démonstration Par définition du produit fibré homotopique, on a deux triangles dans ℬ

S^{−1}B^{0} → B^{3} → (B^{1} ⊕ B^{2}) → B^{0} et S^{−1}B′^{0} → B′^{3} → (B′^{1} ⊕ B′^{2}) → B′^{0}.

Le morphisme partiel de triangles

S^{−1}B^{0} → B^{3} → (B^{1} ⊕ B^{2}) → B^{0}
↓ ≀ ↓ ≀ ↓ ≀
S^{−1}B′^{0} → B′^{3} → (B′^{1} ⊕ B′^{2}) → B′^{0}

se complète dans ℬ en un morphisme

S^{−1}B^{0} → B^{3} → (B^{1} ⊕ B^{2}) → B^{0}
↓ ≀ ↓ ≀ ↓ ≀ ↓ ≀
S^{−1}B′^{0} → B′^{3} → (B′^{1} ⊕ B′^{2}) → B′^{0}

où B^{3} → B′^{3} est une équivalence faible (par un diagramme des neuf

V).

3.4 Théorème d’approximation

Théorème 5 (d’approximation) : Soient 𝒜 et ℬ deux catégories de Waldhausen saturées telles que 𝒜 possède un foncteur cylindre vérifiant l’axiome du cylindre. Soit F : 𝒜 → ℬ un foncteur exact tel que:

a) f est une équivalence faible si et seulement si F f est une équivalence faible

b) pour tout A dans 𝒜 et tout x : F A → B morphisme de ℬ, il existe a : A → A′ morphisme de 𝒜 et une équivalence faible x′ : F A′ →^{∼} B factorisant x:

\xymatrix{F A \ar[dr]^{x} \ar[d]_{F a} \\ F A′ \ar@{-->}[r]_{x′}^{∼} & B.}

Alors F induit un isomorphisme: K_{∗}(𝒜) →^{∼} K_{∗}(ℬ).

3.5 Théorème d’additivité et équivalence K-théorique

3.5.1 Théorème d’additivité

Soient 𝒜 , ℬ , 𝒞, trois catégories de Waldhausen, munies de deux foncteurs inclusions des catégories sous-jacentes :

i : 𝒜 → 𝒞 et j : ℬ → 𝒞.

On suppose ces foncteurs exacts en tant que foncteurs entre catégories de Waldhausen. Soit E(𝒜, 𝒞, ℬ) la catégorie des suites cofibrantes A↣C ↠B de 𝒞, où A est l’image par i d’un objet de 𝒜, B est l’image par j d’un objet de ℬ. Choisissons pour cofibrations de E(𝒜, 𝒞, ℬ) les morphismes

(a, b, c) : \begin{matrix}A & ↣^{f} & C & ↠^{g} & B \\ a ↓ & & c ↓ & & ↓ b \\ A′ & ↣^{f′} & C′ & ↠^{g′} & B′ \end{matrix}

tels que a et b soient images de cofibrations de 𝒜 et ℬ et tels que A′ ∪_{A} C → C′ soit une cofibration de 𝒞. Choisissons pour équivalences faibles les morphismes (a, b, c) tels que a et b proviennent d’équivalences faibles de 𝒜 et ℬ, et tels que c soit une équivalence faible de 𝒞. La catégorie E(𝒜, 𝒞, ℬ) porte alors une structure de catégorie de Waldhausen.

On dispose de quatre foncteurs exacts:

E(𝒜, 𝒞, ℬ) →^{s} 𝒜 E(𝒜, 𝒞, ℬ) →^{t} ℬ

(A↣C ↠B) ↦ A (A↣C ↠B) ↦ B

E(𝒜, 𝒞, ℬ) →^{q} 𝒞 𝒜 × ℬ →^{∪} E(𝒜, 𝒞, ℬ)

(A↣C ↠B) ↦ C (A, B) ↦ (A↣A ∪ B ↠B).

Ce dernier scinde le foncteur

E(𝒜, 𝒞, ℬ) →^{s,t} 𝒜 × ℬ

(A↣C ↠B) ↦ (A, B).

Théorème 6 (d’additivité) Le foncteur

(s, t) : E(𝒜, 𝒞, ℬ) → 𝒜 × ℬ

induit un isomorphisme en K-théorie :

K_{∗}(s, t) : K_{∗}(E(𝒜, 𝒞, ℬ)) ≃ K_{∗}(𝒜) × K_{∗}(ℬ).

Un inverse est donné par le foncteur induit par

∪ : 𝒜 × ℬ → E(𝒜, 𝒞, ℬ).

Corollaire 6.1 Soient 𝒜 et ℬ deux catégories de Waldhausen. Considérons les trois foncteurs exacts F, F′, F′′ munis de morphismes de foncteurs tels que

• pour tout A dans 𝒜, la suite

F′A↣F A↠F′′A

est une suite cofibrante dans ℬ,

• pour toute cofibration A′ ↣A de 𝒜, l’application induite

F′A ∪_{F′A′} F A′ → F A

est une cofibration.

Alors K_{∗}F : K(𝒜) → K(ℬ) s’écrit

K_{∗}F = K_{∗}F′ + K_{∗}F′′.

3.5.2 Invariance par équivalence K-théorique

Soit 𝒜 une catégorie exacte (au sens de Quillen [9]), et 𝒯 une catégorie triangulée.

Définition Le groupe de Grothendieck K_{0} 𝒜 de la catégorie exacte 𝒜 est le groupe libre engendré par les classes d’isomorphisme [A] d’objets A de 𝒜, quotienté par le sous-groupe engendré par les différences [A]−[B]+[C], où A, B et C apparaissent dans une conflation A↣B ↠C. Le groupe de Grothendieck K_{0} 𝒯 de la catégorie triangulée 𝒯 est le groupe libre engendré par les classes d’isomorphisme [A] d’objets A de 𝒯, quotienté par le sous-groupe engendré par les différences [A] − [B] + [C], où A, B et C apparaissent dans un triangle A → B → C → SA de 𝒯.

Soit ALG la catégorie dont les objets sont les k-algèbres projectives sur k, et dont les morphismes de A vers B sont en bijection avec les classes d’isomorphisme d’objets _{A}X_{B} de la sous-catégorie triangulée 𝒮_{A,B} de 𝒟(A^{op} ⊗ B) donnée par

𝒮_{A,B} = {_{A}X_{B} ∈ 𝒟(A^{op} ⊗ B) | X_{B} ∈ par B}.

Soient deux morphismes _{A}X_{B} : A → B et _{B}Y_{C} : B → C de ALG, soient \underline{p}^{(A^{op}⊗_{k}B)} _{A}X_{B} une résolution de X par des (A^{op} ⊗_{k} B)-modules projectifs (qui est donc cofibrante sur A^{op} ⊗_{k} B ) et \underline{p}^{(B^{op}⊗_{k}C)} _{B}Y_{C} une résolution de Y par des (B^{op} ⊗_{k} C)-modules projectifs . Alors la composition

(_{B}Y_{C}) ∘ (_{A}X_{B}) := _{A}X_{B} ⊗_{B}^{L} _{B}Y_{C}

est donnée par l’un des objets du diagramme

X ⊗_{B}\underline{p}^{(B^{op}⊗_{k}C)} _{B}Y_{C} ⟵^{qis} \underline{p}^{(A^{op}⊗_{k}B)} _{A}X_{B} ⊗_{B} \underline{p}^{(B^{op}⊗_{k}C)} _{B}Y_{C} ⟶^{qis} \underline{p}^{(A^{op}⊗_{k}B)} _{A}X_{B} ⊗_{B} _{B}Y_{C}

où la dernière flêche est un quasi-isomorphisme car la résolution de X est cofibrante sur (A^{op} ⊗_{k} B) donc sur B ( en effet, A est projectif sur k implique (A^{op} ⊗_{k} B) est projectif sur B ).

On montre son associativité grâce à :

Z∘(Y ∘X) = (_{A}X_{B} ⊗_{B}^{L} _{B}Y_{C}) ⊗_{C}^{L} _{C}Z_{D} →^{∼} (\underline{p}^{(A^{op}⊗_{k}B)} _{A}X_{B} ⊗_{B} _{B}Y_{C})⊗_{C} \underline{p}^{(C^{op}⊗_{k}D)} _{C}Z_{D}

→^{∼} \underline{p}^{(A^{op}⊗_{k}B)} _{A}X_{B} ⊗_{B} (_{B}Y_{C} ⊗_{C} \underline{p}^{(C^{op}⊗_{k}D)} _{C}Z_{D}) →^{∼} X ⊗_{B}^{L} (Y ⊗_{C}^{L} Z) →^{∼} (Z ∘ Y) ∘ X .

Soit ALG_{0} la catégorie dont les objets sont les k-algèbres projectives sur k, et dont l’espace des morphismes entre deux algèbres A et B est en bijection avec le groupe de Grothendieck de la sous-catégorie triangulée 𝒮_{A,B}. La compositon est induite par le produit tensoriel dérivé.

Définition Une équivalence K-théorique est un isomorphisme de la catégorie ALG_{0}.

On a un foncteur canonique ALG → ALG_{0} universel parmi les foncteurs F de ALG vers une catégorie additive, tels que :

(∗)siX → Y → Z → SX est un triangle de 𝒮_{A,B}, alors on a F (Y) = F (X) + F (Z).

Théorème 7 Soit k un anneau commutatif. Soient A et B deux k-algèbres projectives sur k. S’il existe une équivalence K-théorique entre les algèbres A et B, alors leurs K-théories sont isomorphes.

Démonstration Soit X un complexe de 𝒮_{A,B} . Le complexe X induit un foncteur ? ⊗_{A}^{𝕃} X : par A → par B qui se relève (2.3) en un 𝒟 -foncteur ? ⊗_{A} X de strparc A dans parc B, lequel induit un morphisme en K-théorie :

K_{∗}A ⟶^{K_{∗}(X)} K_{∗}B.

Montrons que ce morphisme K_{∗}(X) ne dépend que de la classe d’isomorphisme de X dans 𝒮_{A,B}. On montrera alors que l’on a un foncteur 𝒦 de ALG dans 𝒜b, puis que ce dernier vérifie la condition (*). L’ image de l’équivalence K-théorique par le foncteur induit entre la catégorie ALG_{0} et la catégorie 𝒜 des groupes abéliens (par la propriété universelle de ALG_{0}) sera alors l’isomorphisme K_{∗}A →^{∼} K_{∗}B voulu. On est donc ramené à montrer :

i) le morphisme K_{∗}X ne dépend que de la classe d’isomorphisme de X dans 𝒮_{A,B}, et on a donc une application induite

classe d’iso(𝒮_{A,B}) ⟶ 𝒜b
[_{A}X_{B}] ⟼ K(_{A}X_{B})

ii) les applications induites permettent de définir un foncteur 𝒦 de ALG dans 𝒜b,

iii) et si X → Y → Z → SX est un triangle de 𝒮, alors 𝒦_{∗}Y = 𝒦_{∗}X + 𝒦_{∗}Z.

i) Soit X′ un objet de 𝒮 isomorphe à X. Pour montrer que K_{∗}(X) = K_{∗}(X′), on peut supposer qu’il existe un quasi-isomorphisme s de X vers X′. Pour tout U complexe de strparc A, le morphisme

U ⊗_{A} X ⟶^{1⊗s} U ⊗_{A} X′

est un quasi-isomorphisme. On a donc un morphisme de foncteurs

μ : ? ⊗_{A} X → ? ⊗_{A} X′

tels que pour tout U de strparc A, le morphisme μU est une équivalence faible de parc B. On a alors ([14] 1.4) :

K_{∗}X = K_{∗}(? ⊗_{A} X) = K_{∗}(? ⊗_{A} X′) = K_{∗}X′.

ii) Soient _{A}X_{B} et _{B}Y_{C} deux complexes représentants de deux morphismes de ALG. On peut supposer que ces représentants sont cofibrants. On a :

𝒦_{∗}([Y] · [X]) = 𝒦_{∗}([X ⊗_{B}^{L} Y]).

Puisque les complexes X et Y sont cofibrants, c’est aussi K_{∗}(G ∘ F), où F et G sont les foncteurs :

F =? ⊗_{A} X : parc A → parc B ; G =? ⊗_{B} Y : parc B → parc C

Puisque K_{∗} est un foncteur (en effet S_{.}, w(.), 𝒩, |.|, Ω(.) et π_{∗} sont des foncteurs), on a

K_{∗}(? ⊗_{A} (X ⊗_{B} Y)) = K_{∗}(? ⊗_{A} X) · K_{∗}(? ⊗_{B} Y)

donc

𝒦_{∗}([Y] · [X]) = 𝒦_{∗}([X]) · 𝒦_{∗}([Y]).

On définit le foncteur 𝒦_{∗} de ALG dans 𝒜b par 𝒦_{∗}(A) = K_{∗}(A) et 𝒦_{∗}([_{A}X_{B}]) = K_{∗}(? ⊗ _{A}X_{B}) ; iii) Soit X → Y → Z → SX un triangle de 𝒮, où l’on suppose X, Y et Z cofibrants. Grâce au i), on se ramène à un triangle standard :

X → Y → Z → SX

provenant de la suite exacte de complexes scindée en chaque degré 0 → X → Y → Z → 0 . Considérons les trois foncteurs F′ =? ⊗_{A} X , F′ =? ⊗_{A} Y et F′′ =? ⊗_{A} Z de parc A dans parc B. Ils sont exacts (au sens de 3.1). Montrons qu’ils sont munis de morphismes de foncteurs vérifiant les hypothèses du corollaire du théorème d’additivité :

i) Pour tout U de parc A, le foncteur U⊗_{A}? est exact (au sens de 3.1) donc la suite

U ⊗_{A} X ↣U ⊗_{A} Y ↠U ⊗_{A} Z

est encore cofibrante (au sens de 3.1) .

ii) Soit une cofibration U′ ↣U de parc A. On veut montrer que le morphisme

F′U ∪_{F′U′} F U′ ↣F U

est une cofibration de parc B. Soit U′′ = U/U′ et E la somme amalgamée F′U∪_{F′U′}F U′. On a le morphisme de conflations

[figure: F′U′; F U′; F′′U′; F′U; F U; F′′U] .

On forme alors le diagramme commutatif dans parc B :

[figure: F′U; E; F′′U′; F′U; F U; F′′U; 0; F′′U′′; F′′U′′]

où le carré supérieur droit est cartésien. Le morphisme E → F U est le noyau de la déflation F U ↠F′′U′′, donc une inflation.

4 Un corollaire du théorème 3 et d’un théorème de Beilinson

Soit k un corps algébriquement clos. Soit n > 0 et V un k-espace vectoriel de dimension n+1. Soit A = S(V) l’algèbre symétrique sur V graduée telle que le degré de v est 1 pour tout v non nul de V. Elle est nœthérienne et de dimension globale finie. Soit Grmod A la catégorie des A-modules gradués sur Z, et grmod A la sous-catégorie abélienne de Grmod A formée des modules de type fini. Soit 𝒩 la sous-catégorie pleine de grmod A formée des modules M tels qu’il existe un N tel que pour tout i > N, M_{i} = 0. C’est une sous-catégorie de Serre (stable par sous-objets, quotients, et extensions). La catégorie localisée

coh(P^{n}) = grmod A / 𝒩 ,

où grmod A / 𝒩 signifie (grmod A) [Σ_{𝒩}^{−1}], est appelée la catégorie des faisceaux algébriques cohérents sur P^{n} = P(k^{n+1}). C’est une catégorie exacte (et même abélienne). Soit B l’algèbre

End_{Grmod A}(⨁_{i>0} A_{i})

Soit 𝒪(i) l’image de A_{i} = S^{i}V dans coh(P^{n}). Soit T = ⨁_{i=0}^{n}𝒪(i). Le foncteur ? ⊗_{B} T envoie 𝒞^{b}(mod A) sur 𝒞^{b}(cohP^{n}).

Théorème 8 (Beilinson [1]) Le foncteur dérivé F =?⊗_{A}^{L}T est une équivalence :

𝒟^{b} mod A →^{∼} 𝒟^{b} coh P^{n}.

Corollaire 8.1 On a les isomorphismes :

⨁_{i=0}^{n} K_{∗}(k) →^{∼} K_{∗}A →^{∼} K_{∗}(coh P^{n}) .

Démonstration Le triplet (coh(P^{n}), 𝒞^{b}(coh(P^{n})), Acycl) est un 𝒟-triplet, et le foncteur ? ⊗_{A} T est un 𝒟-foncteur entre les 𝒟-triplets (proj A , 𝒞^{b}(proj A), Acycl) et

(coh(P^{n}), 𝒞^{b}(coh(P^{n})), Acycl).

L’algèbre A est noethérienne et de dimension globale finie, donc on a les équivalences

𝒟^{b}(mod A) ←^{∼} ℋ^{b}(proj A) →^{∼} 𝒟^{b}(proj A).

Le théorème de Beilinson donne alors l’équivalence des catégories dérivées associées aux deux 𝒟-triplets :

𝒟^{b} proj A →^{∼} 𝒟^{b} coh P^{n} .

On applique le théorème 3 qui donne l’isomorphisme en K-théorie :

K_{∗}(projA) →^{∼} K_{∗}(coh(P^{n}), 𝒞^{b}(cohP^{n}), 𝒜cycl).

Mais le théorème de Gillet ([2]) donne, pour toute catégorie exacte ℰ, l’isomorphisme en K-théorie :

K_{∗}ℰ →^{∼} K_{∗}(ℰ, 𝒞^{b}(ℰ), Acycl)

où la K-théorie du membre de gauche est celle de Quillen et celle du membre de droite est celle définie au 3.2. On a alors

K_{∗}(proj A) = K_{∗}A →^{∼} K_{∗}(coh P^{n}) .

D’autre part, on a une équivalence K-théorique entre toute algèbre A, sur un corps algébriquement clos, de dimension finie et de dimension globale finie, et son plus grand quotient semi-simple B ([5] section 2.5), donc une équivalence K-théorique :

𝒞^{b}(proj A) ⟶^{?⊗_{A}B} 𝒞^{b}(proj B)

Le théorème 7 donne alors l’isomorphisme :

K_{∗}(proj B) →^{∼} ⨁_{i=0}^{n} K_{∗}(k) →^{∼} K_{∗}A .

5 Démonstration du théorème 3

On introduit la catégorie 𝒞 suivante : les objets sont les couples (A, F A →^{∼} B) où A ∈ 𝒜, B ∈ ℬ, et F A →^{∼} B est une équivalence faible; les morphismes sont les diagrammes commutatifs:

A  F A →^{∼} B
a ↓ F a ↓ ↓ b
A′  F A′ →^{∼} B′.

Lemme 5.0.1 La catégorie 𝒞 est de Waldhausen dès qu’on la munit des cofibrations définies par les diagrammes commutatifs:

A  F A →^{∼} B
a ↓ F a ↓ ↓ b
A′  F A′ →^{∼} B′.

où a est une cofibration (et donc F a est une cofibration car F est exact), et b est une cofibration, et des équivalences faibles définies par les diagrammes commutatifs:

A  F A →^{∼} B
a ↓≀ F a ↓≀ b ↓≀
A′  F A′ →^{∼} B′.

où a (et donc F a) et b sont des équivalences faibles.

Définissons un foncteur cylindre de 𝒞 induit par ceux de 𝒜 et ℬ: si c = (a, b) :

A  F A →^{∼} B
a ↓ F a ↓ ↓ b
A′  F A′ →^{∼} B′.

est dans Mor(𝒞), définissons T_{𝒞} (c) := (T_{𝒜} (a), F T_{𝒜} (a) →^{∼} T_{ℬ} (b)), où F T_{𝒜} (a) ≃ T_{ℬ} (F a) →^{∼} T_{ℬ} (b) est une équivalence faible. Ce foncteur cylindre vérifie l’axiome du cylindre grâce au diagramme commutatif

[figure: F A; F a; F j_{2}; ∼; F T (a); F p; ∼; ∼; T (F a); B; ∼; j_{2}; T (b); p′; ≀; F A′; B′]

dans lequel F A′ → B est une équivalence faible.

On a alors la factorisation de F :

\begin{matrix}𝒜 & →^{F} ℬ \\ i ↓ & ↗ p \\ 𝒞 \end{matrix}

où i : 𝒜 → 𝒞 , A ↦ (A, F A = F A) et p : 𝒞 → ℬ , (A, F A →^{∼} B) ↦ B.

Lemme 5.0.2 Le foncteur i est exact, préserve les cylindres et vérifie les hypothèses du théorème d’approximation.

Démonstration Si A↣A′ est une cofibration, le diagramme commutatif

[figure: A; F A; F A; A′; F A′; F A′]

est une cofibration de 𝒞: i préserve les cofibrations; de même i préserve les équivalences faibles. Le foncteur i préserve les colimites, et donc la formation des carrés cocartésiens car il admet le foncteur

π : 𝒞 → 𝒜 , (B, F B →^{∼} C) ↦ B;

comme adjoint à droite. En effet, pour tout objet A de 𝒜 et C = (A′, F A′ →^{∼} B′) de 𝒞, la donnée d’un morphisme de i(A) = (A, F A = F A) vers (A′, F A′ →^{∼} B′) est exactement la donnée d’un morphisme A → A′ dans 𝒜, c’est-à-dire

Hom_{𝒜} (A, π(C)) = Hom_{𝒜} (A, π(A′, F A′ →^{∼} B′))

≅ Hom_{𝒞} (A, F A →^{∼} F A ; A′, F A′ →^{∼} B′) = Hom_{𝒞} (i(A), C).

Montrons qu’il préserve les cylindres : Soit A →^{a} A′ dans 𝒜. Par définition de i, on a

i(T (a)) = (T_{𝒜} (a), F T_{𝒜} (a) = F T_{𝒜} (a))

Donc

T (i(a)) = T ( \begin{matrix}A & F A & = & F A \\ a ↓ & F a ↓ & & ↓ F a \\ A′ & F A′ & = & F A′. \end{matrix} ) = (T_{𝒜} (a), F T_{𝒜} (a) →^{∼} T_{ℬ} (F a)).

Mais F T_{𝒜} (a) ⟶^{iso} T_{ℬ} (F a) donc on a un isomorphisme dans 𝒞:

T_{𝒜} (a)  F T_{𝒜} (a) = F T_{𝒜} (a)
↓ iso ↓ iso ↓ iso
T_{𝒜} (a)  F T_{𝒜} (a) →^{∼} T_{ℬ} (F a)

c’est-à-dire T (i(a)) ⟶^{iso} i(T (a)). Vérifions les hypothèses du théorème d’approximation:

a) si i(a) est une équivalence faible de 𝒞, alors par définition des équivalences faibles de 𝒞, le morphisme A →^{∼} A′ est une équivalence faible;

b) Soit A dans 𝒜, et

\begin{aligned}A & F A & = & F A \\ a ↓ & F a ↓ & & ↓ b \\ A′ & F A′ & →^{∼} & B \end{aligned} .

un morphisme de 𝒞. On a alors un diagramme commutatif qui est une factorisation de ce morphisme :

[figure: A; a; a; F A; F a; F A; b; F a; A′; F A′; F A′; w; ∼; A′; F A′; ∼; w; B,]

où (F (1) = 1, w) est une équivalence faible de 𝒞. Le foncteur i induit donc un isomorphisme en K-théorie.

Lemme 5.0.3 Le foncteur p ext exact, préserve les cocylindres et vérifie les hypothèses duales de celles du théorème d’approximation.

Démonstration: Le foncteur p préserve les cofibrations, les équivalences faibles, et la formation des carrés cartésiens de manière immédiate. Montrons les hypothèses duales de celles du théorème d’approximation : Soit

A  F A →^{∼} B
a ↓ F a ↓ ↓ b
A′  F A′ →^{∼} B′.

un morphisme de 𝒞 tel que p(a, b) = b soit une équivalence faible de ℬ. Par saturation, F A →^{F a} F A′ est une équivalence faible de ℬ.

Soit le diagramme commutatif

\xymatrix{𝒜 \ar[d]_{π_{𝒜}} \ar[r]^{F} & ℬ \ar[d]_{π_{ℬ}} \\ \underline{𝒜} \ar[d]_{_{can_{ℳ}}} \ar[r]^{\overline{F}} & \underline{ℬ} \ar[d]^{_{can_{𝒩}}} \\ 𝒯𝒜 \ar[r]^{eq}_{F̃} & 𝒯ℬ}

Dans la catégorie 𝒯, le morphisme F a induit un isomorphisme F A → F A′ qui provient, puisque F induit une équivalence au niveau des catégories dérivées, d’un isomorphisme de 𝒯𝒜. La catégorie de Waldhausen 𝒜 étant saturée, la partie multiplicative π_{𝒜} (Σ_{ℳ} ) de \underline{𝒜} est saturée, donc \overline{a} est dans π_{𝒜} (Σ_{ℳ} ), c’est-à-dire a est une équivalence faible de 𝒜. On a alors que (a, b) est une équivalence faible de 𝒞, et la première hypothèse est vérifiée. Donnons-nous un morphisme de ℬ :

B′ → p(A, F A →^{∼} B) = B,

et cherchons un morphisme de 𝒞

A′′  F A′′ →^{∼} B′′
a′′ ↓ F a′′ ↓ ↓ b′′
A  F A →^{∼} B

et un morphisme B′ → B′′ tel que le diagramme

\xymatrix{p(A, F A →^{∼} B) & B′ \ar[dl] \ar[l] \\ p(A′′, F A′′ →^{∼} B′′) \ar[u]^{p(a′′,b′′)}}

commute et que B′ → B′′ soit une équivalence faible de ℬ. On veut donc, à partir d’un diagramme dans ℬ

\xymatrix{F A \ar[r]^{∼} & B \\  &  & B′, \ar[ul]_{b}}

construire un diagramme commutatif :

\xymatrix{F A \ar[r]^{∼} & B \\ F A′′ \ar[u] \ar[r]^{∼} & B′′ \ar[u] \\ & & B′, \ar[ul]^{∼} \ar[uul]_{b}} (𝔇).

Le foncteur F̃ est une équivalence donc est dense, donc il existe A^{1} dans 𝒜 tel que, dans 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), le morphisme F A^{1} → B′ soit un isomorphisme. Par calcul des fractions, ce morphisme correspond à la donnée d’une fraction

\xymatrix{F A^{1} \ar[r]^{∼} & B^{1} \\  &  & B′, \ar[ul]_{∼}}

où F A^{1} → B^{1} aussi est dans π_{ℬ} (Σ_{𝒩} ) car F A^{1} → B′ est un isomorphisme. Dans 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩), la composée F A^{1} → B′ → B suivie de l’inverse de F A →^{∼} B (qui est devenu un isomorphisme dans 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) ) donne un morphisme de F A^{1} vers F A, qui provient d’ un morphisme de 𝒯(𝒜_{0}, 𝒜, ℳ) car F̃ est une équivalence. Ce morphisme s’écrit sous la forme d’une fraction

\xymatrix{A^{1} \ar[dr] \\  & A^{2}, \\ A \ar[ur]_{∼}}

et donne par F une fraction dans 𝒯(ℬ_{0}, ℬ, 𝒩) :

\xymatrix{F A \ar[dr]^{∼} \ar[rr]^{∼} &  & B \\  & F A^{2} \\ F A^{1} \ar[ur] \ar[rr]^{∼} &  & B^{1} \\  &  &  & B′. \ar[ul]_{∼} \ar[uuul]}

Formons la somme amalgamée homotopique du coin :

\xymatrix{ & F A^{2} \\ F A^{1} \ar[ur] \ar[rr]^{∼} &  & B^{1}}

soit :

\xymatrix{ & F A^{2} \ar[rr]^{∼} & & B′^{2} \\ F A^{1} \ar[ur] \ar[rr]^{∼} & & B^{1} \ar[ur]} .

Formons la somme amalgamée homotopique du diagramme :

\xymatrix{F A \ar[rr]^{∼} \ar[dr]^{∼} \ar[drrr] & & B \\ & F A^{2} \ar[rr]^{∼} & & _{B′_{2}}} .

On obtient un diagramme dans ℬ, où les carrés sont commutatifs à homotopie près :

\xymatrix{F A \ar[rr]^{∼} \ar[dr]^{∼} &  & B \ar[dr]^{∼} \\  & F A^{2} \ar[rr]^{∼} &  & B′′^{2}. \\ F A^{1} \ar[ur] \ar[rr]^{∼} &  & B^{1} \ar[ur]}

Par une propriété du calcul des fractions, on peut choisir B′′^{2} →^{∼} B^{2} tel que

\xymatrix{B′ \ar[r] \ar[d] & B \ar[d]^{≀} \\ B^{1} \ar[r] & B^{2}}

commute à homotopie près. Formons les produits fibrés homotopiques de

\xymatrix{F A \ar[dr]^{∼} &  & et de & B \ar[dr]^{∼} \\  & F A^{2} &  &  & B^{2}, \\ F A^{1} \ar[ur] &  &  & B^{1} \ar[ur]}

que l’on notera B′^{3} (resp. B^{3}). Le foncteur F conservant les produits fibrés homotopiques, B′^{3} est l’image par F du produit fibré homotopique A^{3} de

[figure: A; ∼; A^{2} .; A^{1}]

On a un morphisme induit entre F A^{3} et B^{3} par la propriété universelle, qui est une équivalence faible par le lemme 3.3.2.

On a obtenu le diagramme :

[figure: F A; ∼; ∼; B; ∼; F A^{3}; ∼; ∼; B^{3}; ∼; F A^{2}; ∼; B^{2}; F A^{1}; ∼; B^{1}; B′; ∼] .

où toutes les faces du parallélépipède commutent à homotopie près, et où le diagramme

\xymatrix{B′ \ar[r] \ar[dr] & B^{3} \ar[d] \\  & B}

commute dans ℬ. Considérons le fragment de diagramme suivant :

\xymatrix{F A \ar[r]^{∼} & B \\ F A^{3} \ar[u] \ar[r]^{∼} & B^{3} \ar[u] \\  &  & .B′ \ar[ul]^{∼} \ar[uul]}

Soit B′′ le produit fibré homotopique du diagramme

[figure: B; B; B^{3}];

on a alors

[figure: F A; ∼; B; B; F A^{3}; ∼; B^{3}; B′′; B′; ≀; ∼]

où l’on a une flèche induite F A^{3} − −− > B′′ car les deux composées

F A^{3} → F A → B et F A^{3} →^{∼} B^{3} → B

sont homotopes. Par saturation, c’est une équivalence faible. On a obtenu le diagramme commutatif dans ℬ voulu 𝔇 :

\xymatrix{F A \ar[r]^{∼} & B \\ F A^{3} \ar[u]^{F (.)} \ar[r]^{∼} & B′′ \ar[u] \\  &  & B′. \ar[ul]^{∼} \ar[uul]}

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