INFINI CATÉGORIES NON STRICTES, UNE NOUVELLE DÉFINITION

par

Georges MALTSINIOTIS

Résumé. — On introduit une nouvelle définition des infini catégories non strictes inspirée par la définition de Grothendieck des infini groupoïdes non stricts. Abstract. — We introduce a new definition of weak infinite categories inspired by Grothendieck’s definition of weak groupoids.

1. Introduction

Le but de ce texte est de montrer qu’une légère variante de la définition introduite par Grothendieck d’un ∞-groupoïde non strict [3], que j’ai décrite dans [5], permet de définir une notion d’∞-catégorie non stricte, très proche, voire équivalente, à celle de Batanin [1], [2]. Cette comparaison sera étudiée dans un prochain article.

2. La définition d’une ∞-catégorie non stricte

Dans la définition de Grothendieck d’un ∞-groupoïde non strict, un rôle important est joué par la notion de � produits fibrés itérés standard �, ou le concept dual de � sommes amalgamées itérées standard �. Pour la définition d’une ∞-catégorie non stricte, une notion plus restrictive de produits fibrés itérés doit être utilisée, celle de � produits fibrés itérés standard ordonnés �, qu’on appellera plus simplement � produits globulaires �. Dans ce papier, on mettra l’accent sur la notion duale de � sommes amalgamées itérées standard ordonnées �, alias � sommes globulaires �.

Rappel de la définition de la catégorie 𝔻. — On rappelle que la catégorie � globulaire � 𝔻 est la sous-catégorie (non pleine) de la catégorie Top, des espaces topologiques et applications continues, dont les objets sont les disques (ou boules) D_{i}, i ≥ 0,

D_{i} = {x ∈ ℝ^{i} | ∥x∥ ≤ 1} ,

où ∥x∥ désigne la norme euclidienne de x, et dont les morphismes sont les composés itérés des inclusions

σ_{i}, τ_{i} : D_{i−1} [figure]D_{i} , i ≥ 1 ,

définies par

σ_{i}(x) = (x, −\sqrt{1 − ∥x∥^{2}} ) ,  τ_{i}(x) = (x, \sqrt{1 − ∥x∥^{2}} ) ,  x ∈ D_{i−1} .

Les applications σ_{i} et τ_{i} se factorisent par

S_{i−1} = ∂D_{i} = {x ∈ ℝ^{i} | ∥x∥ = 1} ,

et identifient D_{i−1} à l’hémisphère inférieur, respectivement supérieur de S_{i−1}. On a les relations

σ_{i}σ_{i−1} = τ_{i}σ_{i−1} ,  σ_{i}τ_{i−1} = τ_{i}τ_{i−1} ,  i ≥ 2 ,

de sorte que si l’on pose

[figure: σ_{l}^{i} = σ_{i}σ_{i−1} ⋯ σ_{i−l+1} : D_{i−l}; D_{i} ,; 1 ≤ l ≤ i ,; τ _{l}^{i} = τ_{i}τ_{i−1} ⋯ τ_{i−l+1} : D_{i−l}; D_{i} ,]

on ait

Hom_{𝔻}(D_{i}, D_{i′}) = \{ \begin{matrix}\{σ_{i′−i}^{i′} , τ _{i′−i}^{i′}\} ,  0 ≤ i < i′ \\ \{1_{D_{i}}\}  ,  i′ = i \\ ∅  sinon . \end{matrix}

Sommes globulaires. — Soit 𝔻 → B un foncteur à valeurs dans une catégorie B, et notons D_{i}, σ_{i}, τ_{i}, σ_{l}^{i}, τ_{l}^{i} les images de D_{i}, σ_{i}, τ_{i}, σ_{l}^{i}, τ _{l}^{i} dans B. Une somme amalgamée itérée standard ordonnée, ou plus simplement somme globulaire, de longueur m dans B est une somme amalgamée itérée de la forme

(D_{i_{1}}, σ_{i_{1}−i′_{1}}^{i_{1}}) ⨿_{D_{i′_{1}}} (τ_{i_{2}−i′_{1}}^{i_{2}}, D_{i_{2}}, σ_{i_{2}−i′_{2}}^{i_{2}}) ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} (τ_{i_{m}−i′_{m−1}}^{i_{m}}, D_{i_{m}}) ,

où m ≥ 1, et pour tout j, 1 ≤ j < m, on a i′_{j} < i_{j} et i′_{j} < i_{j+1}. Une telle somme amalgamée est déterminé à isomorphisme canonique près par son tableau de dimensions

(\begin{matrix}i_{1} & & i_{2} & & ⋯ & & i_{m} \\ & i′_{1} & & i′_{2} & ⋯ & i′_{m−1} \end{matrix}) ,

et elle peut donc être notée plus simplement

D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}} ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}} .

Le plus souvent, on adoptera cette notation simplifiée.

Extensions globulaires. — On dit qu’un foncteur 𝔻 → B est une extension globulaire si les sommes globulaires existent dans B. Par exemple, tout foncteur de 𝔻 vers une catégorie admettant des limites inductives finies est une extension globulaire. Plus généralement, toute extension cellulaire [5] est une extension globulaire. Un morphisme d’une extension globulaire 𝔻 → B vers une autre 𝔻 → B′ est un foncteur B → B′ commutant aux sommes globulaires tel que le triangle

\xymatrix{ & B \ar[dd] \\ 𝔻 \ar[ur] \ar[dr] \\  & B′}

soit commutatif. La catégorie des extensions cellulaires s’identifie à une sous-catégorie (non pleine) de celle des extensions globulaires. Il existe une extension globulaire universelle 𝔻 → Θ_{0}, appelée enveloppe globulaire de 𝔻, satisfaisant à la propriété universelle suivante. Pour toute extension globulaire 𝔻 → B, il existe un morphisme d’extensions globulaires de 𝔻 → Θ_{0} vers 𝔻 → B, unique à isomorphisme de foncteurs unique près. En particulier, il existe un morphisme d’extensions globulaires Θ_{0} → B_{0}, unique à isomorphisme de foncteurs unique près, de 𝔻 → Θ_{0} vers l’enveloppe cellulaire 𝔻 → B_{0} de 𝔻 [loc. cit.]. On peut montrer que le foncteur Θ_{0} → B_{0} est fidèle et conservatif, et que l’image dans B_{0} de toute flèche de Θ_{0} est un monomorphisme de B_{0}.

Définition topologique de la catégorie Θ_{0}. — L’enveloppe globulaire Θ_{0} de 𝔻 admet une description topologique simple, analogue à celle de l’enveloppe cellulaire B_{0}. Un objet de Θ_{0} est une somme globulaire

X = D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}} ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}}

dans Top, munie des applications canoniques D_{i_{k}} → X, 1 ≤ k ≤ m. Pour définir les morphismes dans la catégorie Θ_{0}, il suffit de définir les flèches d’un disque D_{i} vers X. Par définition, c’est les applications continues D_{i} → X telles qu’il existe k, 1 ≤ k ≤ m, et une flèche D_{i} → D_{i_{k}} dans 𝔻, telle que D_{i} → X soit le composé de cette flèche et de l’application canonique D_{i_{k}} → X. On verra plus loin une définition purement combinatoire de la catégorie Θ_{0}.

Notions duales. — La notion de produit fibré itéré standard ordonné, ou produit globulaire, se définit de façon duale, ainsi que les notions d’extension coglobulaire de 𝔾 = 𝔻^{∘} et d’enveloppe coglobulaire.

Rappels sur les ∞-catégories strictes. — On rappelle qu’une ∞-catégorie stricte consiste en la donnée :

– des ensembles des i-flèches F_{i}, i ≥ 0 (F_{0} = objets) ; – des applications source et but s_{i}, t_{i} : F_{i} → F_{i−1}, i > 0, satisfaisant aux égalités

(∗)  s_{i−1}s_{i} = s_{i−1}t_{i} ,  t_{i−1}s_{i} = t_{i−1}t_{i} ,  i ≥ 2 ,

[figure: •; •] ,

de sorte que D_{i} ↦ F_{i}, σ_{i} ↦ s_{i}, τ_{i} ↦ t_{i} définisse un préfaisceau sur la catégorie globulaire 𝔻, et qu’on puisse définir par composition exactement deux applications

\begin{matrix}s_{l}^{i} : F_{i} → F_{i−l} ,  t_{l}^{i} : F_{i} → F_{i−l} ,  1 ≤ l ≤ i , \\ s_{l}^{i} = s_{i−l+1} ⋯ s_{i−1}s_{i} ,  t_{l}^{i} = t_{i−l+1} ⋯ t_{i−1}t_{i} , \end{matrix}

les applications source et but itérés, images des morphismes σ_{l}^{i} et τ _{l}^{i} de 𝔻;

– des compositions

[figure: (F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}); F_{i}; (u, v); u ∗_{l}^{i} v]

satisfaisant à

(1)  \begin{aligned}s_{i}(u ∗_{l}^{i} v) & = \{ \begin{matrix}s_{i}(v) ,  l = 1 \\ s_{i}(u) ∗_{l−1}^{i−1} s_{i}(v) , l ≥ 2 \end{matrix} \\ t_{i}(u ∗_{l}^{i} v) & = \{ \begin{matrix}t_{i}(u) ,  l = 1 \\ t_{i}(u) ∗_{l−1}^{i−1} t_{i}(v) , l ≥ 2 \end{matrix} \end{aligned}

[figure: i = 2; l = 1; •; •] , [figure: i = 2; l = 2; •; •; •] ;

– des unités k_{i} : F_{i} → F_{i+1}, i ≥ 0, satisfaisant aux égalités

(2)  s_{i+1}k_{i} = 1_{F_{i}} = t_{i+1}k_{i} ,  i ≥ 0 .

Pour tout i ≥ 0 et tout l ≥ 1, on pose k_{l}^{i} = k_{i+l−1} ⋯ k_{i+1}k_{i} : F_{i} → F_{i+l}. Ces données (en plus des égalités (∗), (1), (2) ci-dessus, traduisant la structure globulaire et exprimant la compatibilité de la composition et des unités à cette structure) doivent satisfaire aux relations suivantes.

A) Associativité : pour tous i, l, 1 ≤ l ≤ i et tout triplet (u, v, w) appartenant au produit fibré (F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}), on a

(u ∗_{l}^{i} v) ∗_{l}^{i} w = u ∗_{l}^{i} (v ∗_{l}^{i} w) .

B) Unité : pour tous i, l, 1 ≤ l ≤ i et tout u ∈ F_{i}, on a

u ∗_{l}^{i} k_{l}^{i−l}s_{l}^{i}(u) = u = k_{l}^{i−l}t_{l}^{i}(u) ∗_{l}^{i} u .

C) Règle de Godement, ou d’échange, ou fonctorialité de la composition : pour tous i, l, l′, 1 ≤ l < l′ ≤ i, et tous u, u′, v, v′ ∈ F_{i} tels que

s_{l}^{i}(u) = t_{l}^{i}(u′) , s_{l}^{i}(v) = t_{l}^{i}(v′) et s_{l′}^{i}(u) = s_{l′}^{i}(u′) = t_{l′}^{i}(v) = t_{l′}^{i}(v′)

[figure: •; v′; v; •; u′; u; •] ,

autrement dit, tels que

(u, u′, v, v′) ∈ (F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}, s_{l′}^{i}) ×_{F_{i−l′}} (t_{l′}^{i}, F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}) ,

on a

(u ∗_{l}^{i} u′) ∗_{l′}^{i} (v ∗_{l}^{i} v′) = (u ∗_{l′}^{i} v) ∗_{l}^{i} (u′ ∗_{l′}^{i} v′) .

D) Fonctorialité des unités : pour tous i, l, 1 ≤ l ≤ i et tout couple (u, v) appartenant au produit fibré (F_{i}, s_{l}^{i}) ×_{F_{i−l}} (t_{l}^{i}, F_{i}), on a

k_{i}(u ∗_{l}^{i} v) = k_{i}(u) ∗_{l+1}^{i+1} k_{i}(v) .

La catégorie Θ.— La catégorie Θ est l’extension globulaire de 𝔻 � engendrée par les générateurs duaux à ∗_{l}^{i} et k_{i}, soumis aux relations duales �. De façon plus précise, on a une extension globulaire 𝔻 → Θ, et en notant D_{i}, σ_{i}, τ_{i}, σ_{l}^{i}, τ_{l}^{i} les images dans Θ de D_{i}, σ_{i}, τ_{i}, σ_{l}^{i}, τ _{l}^{i}, on a des flèches de Θ

[figure: ∇_{l}^{i} : D_{i}; (D_{i}, σ_{l}^{i}) ⨿_{D_{i−l}} (τ_{l}^{i}, D_{i}) ,  1 ≤ l ≤ i ,; κ_{i} : D_{i+1}; D_{i} ,  i ≥ 0 ,]

telles que

κ_{i}σ_{i+1} = 1_{D_{i}} = κ_{i}τ_{i+1} , i ≥ 0 ,

6 GEORGES MALTSINIOTIS

et rendant commutatifs les diagrammes

\xymatrix{D_{i−1} \ar[r]^{σ_{i}} \ar[d]_{σ_{i}} & D_{i} \ar[d]^{ε_{2}} &  & D_{i−1} \ar[r]^{τ_{i}} \ar[d]_{τ_{i}} & D_{i} \ar[d]^{ε_{1}} \\ D_{i} \ar[r]_{∇_{1}^{i}} & D_{i} ⨿_{D_{i−1}} D_{i} & , & D_{i} \ar[r]_{∇_{1}^{i}} & D_{i} ⨿_{D_{i−1}} D_{i} & ,}

i ≥ 1, où ε_{1}, ε_{2} : D_{i} → D_{i} ⨿_{D_{i−1}} D_{i} désignent les flèches canoniques,

\xymatrix{D_{i−1} \ar[r]^{∇_{l−1}^{i−1}} \ar[d]_{σ_{i}} & D_{i−1} ⨿_{D_{i−l}} D_{i−1} \ar[d]^{σ_{i}⨿_{D_{i−l}} σ_{i}} &  & D_{i−1} \ar[r]^{∇_{l−1}^{i−1}} \ar[d]_{τ_{i}} & D_{i−1} ⨿_{D_{i−l}} D_{i−1} \ar[d]^{τ_{i}⨿_{D_{i−l}} τ_{i}} \\ D_{i} \ar[r]_{∇_{l}^{i}} & D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i} & , & D_{i} \ar[r]_{∇_{l}^{i}} & D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i} & ,}

2 ≤ l ≤ i, ainsi que les diagrammes

A)  [figure: D_{i}; ∇_{l}^{i}; ∇_{l}^{i}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}; 1_{D_{i}} ⨿_{D_{i−l}} ∇_{l}^{i}  1 ≤ l ≤ i; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}; ∇_{l}^{i}⨿_{D_{i−l}} 1_{D_{i}}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}]

B) [figure: D_{i}; ∼; ∇_{l}^{i}; ∼; 1 ≤ l ≤ i; D_{i−l} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}; κ_{l}^{i−l}⨿_{D_{i−l}} 1_{D_{i}}; 1_{D_{i}} ⨿_{D_{i−l}} κ_{l}^{i−l}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i−l}] C) [figure: D_{i}; ∇_{l′}^{i}; ∇_{l}^{i}; 1 ≤ l < l′ ≤ i; D_{i} ⨿_{D_{i−l′}} D_{i}; ∇_{l}^{i}⨿_{D_{i−l′}}∇_{l}^{i}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}; ∇_{l′}^{i} ⨿_{∇{i−l \atop l′−l}}∇_{l′}^{i}; (D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}) ⨿_{D_{i−l′}} (D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}); ∼; (D_{i} ⨿_{D_{i−l′}} D_{i}) ⨿_{D_{i−l}⨿_{D_{i−l′}} D_{i−l}}(D_{i} ⨿_{D_{i−l′}} D_{i})]

la somme amalgamée en bas à droite étant

(D_{i} ⨿_{D_{i−l′}} D_{i}, σ_{l}^{i} ⨿_{D_{i−l′}} σ_{l}^{i}) ⨿_{D_{i−l}⨿_{D_{i−l′}} D_{i−l}}(τ_{l}^{i} ⨿_{D_{i−l′}} τ_{l}^{i}, D_{i} ⨿_{D_{i−l′}} D_{i})

D)  [figure: D_{i+1}; ∇_{l+1}^{i+1}; κ_{i}; D_{i+1} ⨿_{D_{i−l}} D_{i+1}; κ_{i}⨿_{D_{i−l}} κ_{i}  1 ≤ l ≤ i; D_{i}; ∇_{l}^{i}; D_{i} ⨿_{D_{i−l}} D_{i}]

et cette extension est universelle : pour toute extension globulaire 𝔻 → B, et toute famille de flèches

\xymatrix{D_{i} \ar[r] & D_{i} ⨿_{D_{i−1}}D_{i} , 1 ≤ l ≤ i ,  D_{i+1} \ar[r] & D_{i} , i ≥ 0 ,}

(où on note aussi D_{i} l’image de D_{i} dans B) satisfaisant aux � mêmes � relations que ci-dessus, il existe un morphisme d’extensions globulaires

\xymatrix{ & Θ \ar[dd] \\ 𝔻 \ar[ur] \ar[dr] \\  & B}

unique à isomorphisme de foncteurs unique près. Ainsi, une ∞-catégorie stricte est exactement un préfaisceaux F : Θ^{∘} → Ens sur Θ tel que le foncteur F transforme les sommes globulaires en produits globulaires.

En vertu de la propriété universelle de l’enveloppe globulaire 𝔻 → Θ_{0}, il existe un morphisme d’extensions globulaires

\xymatrix{ & Θ_{0} \ar[dd] \\ 𝔻 \ar[ur] \ar[dr] \\  & Θ}

unique à isomorphisme de foncteurs unique près. On peut montrer que le foncteur Θ_{0} → Θ est fidèle, conservatif et induit même une bijection des ensembles des classes d’isomorphisme des objets de Θ_{0} et Θ. En particulier, on peut supposer que Θ_{0} et Θ ont même ensemble d’objets.

Définition combinatoire de la catégorie Θ_{0}. — La catégorie Θ_{0} admet une description combinatoire simple en termes d’arbres planaires finis. Voici un exemple d’arbre planaire.

[figure: •; •; •; •; •; •; •; •; •; •]

Formellement un arbre est un couple

X = ((X_{i})_{i≥0}, (d_{i})_{i≥0}) ,

où pour tout i ≥ 0, X_{i} est un ensemble, d_{i} : X_{i+1} → X_{i} une application, et l’ensemble X_{0} est un singleton, dont l’unique élément est la racine de l’arbre. À l’arbre X on associe un graphe dont l’ensemble des sommets est la somme disjointe X = ⨿_{i≥0}X_{i}, deux sommets x et x′ étant reliés par une arête s’il existe i ≥ 0 tel que x ∈ X_{i+1} et x′ = d_{i}(x). On dit qu’un sommet x ∈ X est de dimension i si x appartient à X_{i}. L’arbre X est fini si l’ensemble X est fini, autrement dit si le graphe associé est fini. La dimension d’un arbre fini est le maximum des dimensions de ses sommets. Dans la suite, tous les arbres considérés seront finis. Pour tout i ≥ 0 et tout x ∈ X_{i}, la fibre de x est l’ensemble des x′ ∈ X_{i+1} tels que d_{i}(x′) = x. On dit qu’un sommet x est maximal si sa fibre est vide. Une structure d’arbre planaire sur X est la donnée pour tout i ≥ 0 et tout x ∈ X_{i}, d’un ordre total sur la fibre de x. On démontre que l’ensemble des structures d’arbre planaire sur X est en bijection avec l’ensemble des plongements du graphe associé à X dans un plan orienté, à difféomorphisme orienté près.

Dans l’exemple ci-dessus

[figure: X_{3} =; d_{2}; •; •; •; •; X_{2} =; d_{1}; •; x_{1}^{3}; x_{3}^{3}; x_{2}^{3}; •; •; x_{4}^{3}; X_{1} =; d_{0}; •; •; x_{1}^{2}; x_{3}^{2}; x_{2}^{2}; X_{0} =; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}]

l’ensemble des sommets est

X = {x_{1}^{0}, x_{1}^{1}, x_{2}^{1}, x_{1}^{2}, x_{2}^{2}, x_{3}^{2}, x_{1}^{3}, x_{2}^{3}, x_{3}^{3}, x_{4}^{3}} ,

la dimension d’un sommet, indiquée par l’indice du haut, étant égale au nombre des arêtes qu’on doit parcourir pour aller de ce sommet à la racine de l’arbre. Si x est un sommet de dimension i + 1, d_{i}(x) est l’unique sommet de dimension i relié par une arête à x. La relation d’ordre total sur la fibre d’un sommet x de dimension i est définie en convenant que si x_{1} et x_{2} sont deux sommets de dimension i + 1 tels que d_{i}(x_{1}) = d_{i}(x_{2}) = x, on a x_{1} ≤ x_{2} si (\overrightarrow{xx_{2}}, \overrightarrow{xx_{1}}) est un repère direct du plan orienté. Dans notre exemple, cet ordre correspond à l’ordre défini par l’indice du bas.

Un morphisme f : X′ → X d’un arbre X′ = ((X′_{i})_{i≥0}, (d′_{i})_{i≥0})) vers un arbre X = ((X_{i})_{i≥0}, (d_{i})_{i≥0})) est une famille d’applications f = (f_{i})_{i≥0}, f_{i} : X′_{i} → X_{i}, telle que pour tout i ≥ 0, d_{i}f_{i+1} = f_{i}d′_{i}. Si X et X′ sont des arbres planaires on dit que f est un morphisme d’arbres planaires si les applications f_{i} induisent des applications croissantes dans les fibres. On vérifie facilement qu’un arbre planaire n’admet pas d’automorphismes non triviaux. Un sous-arbre d’un arbre X = ((X_{i})_{i≥0}, (d_{i})_{i≥0})) est un arbre X′ = ((X′_{i})_{i≥0}, (d′_{i})_{i≥0})) tel que pour tout i ≥ 0, X′_{i} soit un sousensemble de X_{i} et l’application d′_{i} : X′_{i+1} → X′_{i} soit induite par d_{i} : X_{i+1} → X_{i}. Les inclusions X′_{i} ↪ X_{i} définissent alors un morphisme de X′ vers X. Si X est un arbre planaire, on en déduit une structure d’arbre planaire sur X′ faisant de ce morphisme un morphisme d’arbres planaires. On dit alors que X′ est un sous-arbre planaire de X. Un sous-arbre planaire X′ de X est plein si l’inclusion de X′ dans X identifie la fibre de tout sommet de X′ à un segment de la fibre de ce sommet dans X, autrement dit, si pour tout i ≥ 0, et tous x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ X_{i+1} tels que d_{i}(x_{1}) = d_{i}(x_{2}) = d_{i}(x_{3}) et x_{1} ≤ x_{2} ≤ x_{3}, si x_{1} et x_{3} sont dans X′_{i+1}, il en est de même de x_{2}. Voici deux sous-arbres planaires pleins de l’exemple ci-dessus

[figure: •; •; •; x_{2}^{3}; •; •; x_{4}^{3}; •; •; x_{1}^{2}; x_{3}^{2}; x_{2}^{2}; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; •; •; •; •; x_{1}^{3}; x_{3}^{3}; x_{2}^{3}; •; •; x_{1}^{2}; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; ,]

et deux sous-arbres planaires non pleins

[figure: •; •; •; •; x_{1}^{3}; x_{3}^{3}; •; •; x_{4}^{3}; •; •; x_{1}^{2}; x_{3}^{2}; x_{2}^{2}; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; •; •; •; •; •; x_{1}^{3}; x_{3}^{3}; x_{2}^{3}; •; x_{4}^{3}; •; •; x_{1}^{2}; x_{3}^{2}; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; .]

Si X est un arbre planaire de dimension n > 0, l’ensemble de ses sommets de dimension strictement plus petite forme un sous-arbre planaire plein noté ∂^{1/2}X, qui est un arbre planaire de dimension n − 1. Si X est l’arbre planaire de notre exemple, qui est de dimension n = 3, on a

[figure: •; •; •; ∂^{1/2}X =; •; •; x_{1}^{2}; x_{3}^{2}; x_{2}^{2}; •; x_{1}^{1}; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}]

Si X est un arbre planaire et x un sommet de dimension i de X, ayant une fibre de cardinal n, alors les n arêtes reliant x à un sommet de dimension i + 1 déterminent n + 1 secteurs de dimension i.

[figure: •; •; •; n = 3; •; 1; 2; 3; 4; x]

Voici les dix neuf secteurs de notre exemple indiqués par un point.

[figure: •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •]

On peut maintenant poser la définition combinatoire de Θ_{0}. Les objets de Θ_{0} sont les arbres planaires (finis). Si X et X′ sont deux arbres planaires, un morphisme de Θ_{0} de X′ vers X est la donnée d’un morphisme d’arbres planaires identifiant X à un sous-arbre planaire plein de X, et pour chaque sommet maximal de X′ d’un secteur de son image dans X. Par exemple, si X est notre arbre planaire fétiche et

[figure: •; •; X′ =; •; •; ,]

alors il y a exactement six morphismes de Θ_{0} de X′ vers X, correspondant aux deux sous-arbres planaires pleins

[figure: •; •; •; x_{1}^{2}; x_{2}^{2}; •; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; •; •; •; x_{3}^{2}; x_{2}^{2}; •; x_{1}^{0}; x_{2}^{1}; .]

de X, et au choix d’un des quatre secteurs du sommet x_{1}^{2} dans X, pour le premier, et d’un des deux secteurs du sommet x_{3}^{2}, pour le second (le sommet x_{2}^{2} n’ayant qu’un seul secteur).

Pour tout arbre planaire X de dimension strictement positive, on définit deux morphismes de Θ_{0}

σ_{X}, τ_{X} : ∂^{1/2}X [figure] X

par le sous-arbre planaire plein ∂^{1/2}X de X et le choix, pour chaque sommet maximal de ∂^{1/2}X, de la région la plus à droite, respectivement la plus à gauche, du sommet correspondant de X. Ci-dessous on indique par un point les régions définissant respectivement σ_{X} et τ_{X} pour X notre arbre préféré.

[figure: •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •; •]

On vérifie facilement que pour tout arbre planaire de dimension au moins égale à 2, on a les égalités

σ_{X} σ_{∂^{1/2}X} = τ_{X} σ_{∂^{1/2}X}  et  σ_{X} τ_{∂^{1/2}X} = τ_{X} τ_{∂^{1/2}X}

Pour tout i ≥ 0, on note D_{i} l’arbre

• •^{i}_{i−1} D_{i} =  • •_{2} •_{0}_{1}

et pour tout i ≥ 1, on pose

σ_{i} = σ_{D_{i}} : D_{i−1} = ∂^{1/2}D_{i}  [figure] D_{i}  et  τ_{i} = τ_{D_{i}} : D_{i−1} = ∂^{1/2}D_{i}  [figure] D_{i} .

Pour tout i ≥ 2, on a

σ_{i}σ_{i−1} = τ_{i}σ_{i−1}  et  σ_{i}τ_{i−1} = τ_{i}τ_{i−1} ,

et la catégorie 𝔻 s’identifie ainsi à une sous-catégorie pleine de Θ_{0}. On démontre que la catégorie Θ_{0} ainsi définie est une enveloppe globulaire de 𝔻 (ce qui justifie la notation adoptée).

De façon plus précise, soit X un arbre planaire. On vérifie facilement que pour tout i ≥ 0, l’ensemble des morphismes de D_{i} vers X est en bijection avec les régions de dimension i de X. En particulier, chaque sommet maximal x de dimension i de X définit un unique morphisme j_{x} : D_{i} → X. D’autre part, l’orientation du plan définit un ordre total sur l’ensemble des sommets maximaux de X (en prenant le sens trigonométrique inverse). Cet ordre total peut être défini également de façon purement combinatoire à l’aide des relations d’ordre total sur les fibres des sommets de X. Soit donc {x_{1} ≤ x_{2} ≤ ⋯ ≤ x_{m}} l’ensemble des sommets maximaux de X ainsi ordonné, et soit i_{k} la dimension du sommet x_{k}. Pour tout k, 1 ≤ k < m, soit x′_{k} le sommet de dimension maximale appartenant à la fois au sous-arbre de X définissant le morphisme j_{x_{k}} : D_{i_{k}} → X et celui définissant j_{x_{k+1}} : D_{i_{k+1}} → X, et notons i′_{k} sa dimension. Alors X est la somme globulaire

X = D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}} ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}}

dont le tableau des dimensions est

(\begin{matrix}i_{1} & & i_{2} & & ⋯ & & i_{m} \\ & i′_{1} & & i′_{2} & ⋯ & i′_{m−1} \end{matrix}) ,

et pour tout 1 ≤ k ≤ m, j_{x_{k}} : D_{i_{k}} → X est le morphisme canonique. L’arbre X de notre exemple favori

X = [figure: •; •; •; •; •; x_{2}; x_{4}; x_{3}; •; •; x_{6}; •; •; x′_{2}=x′_{3}; x_{5}; •; x_{1}; x′_{1}; x′_{4}=x′_{5}]

est donc la somme globulaire

X = D_{1} ⨿_{D_{0}} D_{3} ⨿_{D_{2}} D_{3} ⨿_{D_{2}} D_{3} ⨿_{D_{1}} D_{2} ⨿_{D_{1}} D_{3}

dont le tableau de dimensions est

( 1 0 3 2 3 2 3 1 2 1 3 ) .

Il est facile de montrer que l’application associant à un tableau d’entiers positifs ou nuls de la forme

(\begin{matrix}i_{1} & & i_{2} & & ⋯ & & i_{m} \\ & i′_{1} & & i′_{2} & ⋯ & i′_{m−1} \end{matrix}) ,

où pour tout k, 1 ≤ k < m, i′_{k} < i_{k} et i′_{k} < i_{k+1}, la somme globulaire dans Θ_{0}

X = D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}} ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}}

établit une bijection entre l’ensemble de ces tableaux et les classes d’isomorphisme d’objets de Θ_{0}. Ainsi, quitte à remplacer Θ_{0} par une catégorie équivalente, on peut supposer que les objets de Θ_{0} sont les tableaux de ce type, et alors les seuls isomorphismes de Θ_{0} sont les identités.

Théories globulaires. — Une théorie algébrique globulaire, ou plus simplement théorie globulaire, est une extension globulaire 𝔻 → B de 𝔻 telle que le morphisme d’extensions globulaires Θ_{0} → B, défini par la propriété universelle de l’enveloppe globulaire Θ_{0}, est un foncteur fidèle induisant une bijection des ensembles des classes d’isomorphisme des objets de Θ_{0} et de B. Quitte à remplacer B par une catégorie équivalente, on peut supposer, sans perte de généralité, que ce foncteur induit une bijection des ensembles des objets, ce qu’on fera toujours dans la suite. On dira parfois plus simplement que B est une théorie globulaire. Par exemple, la catégorie universelle Θ pour l’espèce de structure d’∞-catégorie stricte est une théorie globulaire. Un morphisme de théories globulaires est un morphisme des extensions globulaires sousjacentes, autrement dit, si 𝔻 → B et 𝔻 → B′ sont deux théories globulaires, un morphisme de la première vers la seconde est un foncteur B → B′ commutant aux sommes globulaires et rendant commutatif le triangle suivant

[figure: B; 𝔻; B′; .]

En vertu de la propriété universelle de Θ_{0}, on en déduit un triangle commutatif

\xymatrix{ & B \ar[dd] \\ _{Θ_{0}} \ar[ur] \ar[dr] \\  & B′}

de théories globulaires. La terminologie de théorie algébrique globulaire est inspirée par celle de Lawvere [4].

Morphismes globulaires, algébriques. — Soit 𝔻 → B une théorie globulaire, et Θ_{0} → B le foncteur défini par la propriété universelle de Θ_{0} (qui est fidèle et induit une bijection des ensembles des objets). On identifiera Θ_{0} à une sous-catégorie (non pleine) de B. On dit qu’une flèche f de B est globulaire si elle appartient à Θ_{0}. On dit qu’elle est algébrique si pour toute décomposition de la forme f = gf′, avec g morphisme globulaire, g est un isomorphisme (une identité, si on a choisi un modèle de Θ_{0} sans isomorphismes non triviaux).

Couples de flèches admissibles. — En gardant les notations du paragraphe précédent, on dit qu’un couple (f, g) de flèches de B

\xymatrix{D_{i} \ar[r]^{f} \ar[r]_{g} & X}

est admissible pour une théorie d’∞-catégories, ou plus simplement admissible si les deux conditions suivantes sont satisfaites

a) si i ≥ 1, on a

fσ_{i} = gσ_{i} et fτ_{i} = gτ_{i} ;

b) ou bien f et g sont des flèches algébriques, ou bien il existe des décompositions

f = σ_{X}f′  et  g = τ_{X}g′
\xymatrix{D_{i} \ar[rr]^{f} \ar[dr]_{f′} &  & X & D_{i} \ar[rr]^{g} \ar[dr]_{g′} &  & X \\  & ∂^{1/2}X \ar[ur]_{σ_{X}} &  &  & ∂^{1/2}X \ar[ur]_{τ_{X}}}

avec f′ et g′ algébriques.

On dit que le couple (f, g) est admissible pour une théorie d’∞-groupoïdes si seulement la première de ces deux conditions est satisfaite. Un relèvement du couple de flèches (f, g) est un morphisme h : D_{i+1} → X de B tel que

f = hσ_{i+1}  et  g = hτ_{i+1} .

Un couple strictement admissible pour une théorie d’∞-catégories ou d’∞-groupoïdes est un couple admissible qui n’admet pas de relèvement.

Cohérateurs globulaires. — Un cohérateur globulaire d’∞-catégorie (resp. d’∞-groupoïde) est une théorie globulaire Θ telle qu’il existe une tour de théories globulaires

\xymatrix{𝔻 \ar[r] & Θ_{0} \ar[r] & Θ_{1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & Θ_{n} \ar[r] & Θ_{n+1} \ar[r] & ⋯ \ar[r] & Θ ≃ \underrightarrow{lim} Θ_{n}} ,

où pour tout n ≥ 0, Θ_{n} est une petite catégorie et Θ_{n} → Θ_{n+1} un morphisme de théories globulaires, satisfaisant aux conditions suivantes :

a) tout couple de flèches de Θ admissible pour une théorie d’∞-catégories (resp. d’∞-groupoïdes) admet un relèvement ;

b_{0}) 𝔻 → Θ_{0} est une enveloppe globulaire ;

b) pour tout n ≥ 0, il existe un ensemble de couples de flèches de Θ_{n} strictement admissibles pour une théorie d’∞-catégories (resp. d’∞-groupoïdes) tel que Θ_{n+1} soit l’extension globulaire obtenue de Θ_{n} par adjonction formelle d’un relèvement pour chaque couple appartenant à cet ensemble.

La condition (b) signifie exactement qu’il existe un ensemble E de couples de flèches de Θ_{n}, strictement admissibles pour une théorie d’∞-catégories (resp. d’∞-groupoïdes), et pour tout couple e = (f, g) appartenant à E, un relèvement h_{e} du couple (f, g) dans Θ_{n+1} (où on note aussi f, g l’image de f, g par le foncteur Θ_{n} → Θ_{n+1}) satisfaisant à la propriété universelle suivante. Pour toute extension globulaire 𝔻 → B, et tout morphisme d’extensions globulaires Θ_{n} → B, si pour tout e = (f, g) appartenant à E, h_{e} est un relèvement du couple (f, g), image de (f, g) dans B, alors il existe un unique morphisme d’extensions globulaires F : Θ_{n+1} → B tel que pour tout e dans E, h_{e} = F (h_{e}) et rendant commutatif le triangle

\xymatrix{Θ_{n} \ar[r] \ar[dr] & Θ_{n+1} \ar[d]^{F} \\  & B & .}

Une construction catégorique très générale permet d’affirmer que pour tout ensemble E, comme ci-dessus, une telle extension globulaire Θ_{n+1} existe, Θ_{n} → Θ_{n+1} induit une bijection sur les ensembles des objets, et on peut montrer que ce foncteur est fidèle. Ainsi, en prenant de proche en proche pour E l’ensemble de tous les couples strictement admissibles pour une théorie d’∞-catégories (resp. d’∞-groupoïdes), on déduit l’existence de cohérateurs globulaires d’∞-catégorie (resp. d’∞-groupoïde).

La définition d’une ∞-catégorie. — Soit Θ un cohérateur globulaire d’∞-caté-gorie (resp. d’∞-groupoïde). Une ∞-catégorie (resp. ∞-groupoïde) de type Θ est un préfaisceau F : Θ^{∘} → Ens transformant les sommes globulaires en produits globulaires.

Quelques flèches structurales. — On se fixe un cohérateur globulaire d’∞-ca-tégorie 𝔻 → Θ. On identifie Θ_{0} à une sous-catégorie de Θ ayant les mêmes objets, autrement dit, les arbres planaires. Pour tout arbre planaire X, on note i_{X} sa dimension. Il existe une famille de flèches algébriques de Θ,

(∇_{i_{X}} : D_{i_{X}} [figure] X)_{X∈Ob Θ} ,

telle que pour tout arbre planaire X de dimension i strictement positive, on ait

\xymatrix{D_{i} \ar[r]^{∇_{X}} & X \\  &  & ∇_{X}σ_{i} = σ_{X}∇_{∂^{1/2}X} et ∇_{X}τ_{i} = τ_{X}∇_{∂^{1/2}X} . \\ D_{i−1} \ar[r]_{∇_{∂1/2X}} \ar[uu]^{_{σ_{i}}} \ar[uu]_{_{τ_{i}}} & ∂^{1/2}X \ar[uu]^{σ_{X}} \ar[uu]_{τ_{X}}}

On peut construire les flèches ∇_{X} par récurrence sur la dimension de X. Pour le seul arbre de dimension 0, X = D_{0}, on pose ∇_{D_{0}} = 1_{D_{0}}. Soit i ≥ 0, supposons qu’on ait construit ces flèches pour tout arbre de dimension i, et soit X un arbre de dimension i + 1. Le couple de flèches

\xymatrix{D_{i} \ar[r]^{σ_{X}∇_{∂^{1/2}X}} \ar[r]_{τ_{X}∇_{∂^{1/2}X}} & X}

est admissible pour une théorie d’∞-catégories. En effet, par hypothèse de récurrence ∇_{∂^{1/2}X} est une flèche algébrique, et si i > 0, on a

σ_{X}∇_{∂^{1/2}X}σ_{i} = σ_{X}σ_{∂^{1/2}X}∇_{∂^{1/2}∂^{1/2}X} = τ_{X}σ_{∂^{1/2}X}∇_{∂^{1/2}∂^{1/2}X} = τ_{X}∇_{∂^{1/2}X}σ_{i} ,

σ_{X}∇_{∂^{1/2}X}τ_{i} = σ_{X}τ_{∂^{1/2}X}∇_{∂^{1/2}∂^{1/2}X} = τ_{X}τ_{∂^{1/2}X}∇_{∂^{1/2}∂^{1/2}X} = τ_{X}∇_{∂^{1/2}X}τ_{i} .

On en déduit l’existence d’un relèvement ∇_{X} : D_{i+1} → X tel que

∇_{X}σ_{i+1} = σ_{X}∇_{∂^{1/2}X} et ∇_{X}τ_{i+1} = τ_{X}∇_{∂^{1/2}X} ,

ce qui prouve l’assertion, modulo la vérification non triviale que ce relèvement est une flèche algébrique de Θ. On remarque facilement que pour tout i ≥ 0, la flèche ∇_{D_{i}} peut être choisie comme étant l’identité de D_{i}.

Les arbres planaires peuvent être considérés comme des � schémas de composition � (“pasting schemes”), et si F : Θ → Ens est une ∞-catégorie de type Θ, et pour tout i ≥ 0, F_{i} = F (D_{i}) l’ensemble des i-flèches, alors pour tout arbre planaire de dimension i,

X = D_{i_{1}} ⨿_{D_{i′_{1}}} D_{i_{2}} ⨿_{D_{i′_{2}}} ⋯ ⨿_{D_{i{′ \atop m−1}}} D_{i_{m}} ,

l’application

F (∇_{X}) : F_{i_{1}} ×_{F_{i′_{1}}} F_{i_{2}} ×_{F_{i′_{2}}} ⋯ ×_{F_{i{′ \atop m−1}}}F_{i_{m}} [figure] F_{i}

peut être vue comme l’application de composition, suivant le � schéma � défini par l’arbre X. Par exemple, si X est l’arbre planaire de notre paradigme :

[figure: •; •; •; •; •; Ψ; θ; η; Φ; ε; Δ; •; •; α; β; Γ; •; •; k; h; γ; δ; g; f; •; u; C; B; A; ,]

alors le schéma de composition correspondant est

[figure: β; α; Γ; γ; C; B; u; A; f; g; h; k; θ; η; ε; δ; Ψ; Φ; Δ; .]

Références

[1] M. A. Batanin – � Monoidal globular categories as natural environment for the theory of weak n-categories �, Advances in Mathematics 136 (1998), p. 39–103.

[2] C. Berger – � A cellular nerve for higher categories �, Advances in Mathematics 169 (2002), p. 118–175.

[3] A. Grothendieck – � Pursuing stacks �, Manuscrit, 1983, à paraître dans Documents Mathématiques.

[4] F. W. Lawvere – � Functional semantics of algebraic theories �, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 50 (1963), p. 869–872.

[5] G. Maltsiniotis – � Infini groupoïdes d’après Grothendieck �, Preprint, 2007, www.math.jussieu.fr/ maltsin.

Georges MALTSINIOTIS, Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris 7 Denis Diderot,

Case Postale 7012, 2, place Jussieu, F-75251 PARIS cedex 05, FRANCE

E-mail : maltsin@math.jussieu.fr • Url : http://www.math.jussieu.fr/ maltsin/