UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT

U.F.R. de Mathématiques

Année : 2002 N^{∘}

Thèse de Doctorat

Spécialité : Mathématiques

Sur les A_{∞}-Catégories

présentée par

Kenji Lefèvre-Hasegawa

pour obtenir le grade de

Docteur de l’Université Paris 7

Table des matières

Abstract/Résumé 7

Introduction 9

1 Théorie de l’homotopie des A_{∞}-algèbres 17

1.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.1 Objets différentiels gradués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.1.2 Algèbres et cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2 A_{∞}-algèbres et A_{∞}-cogèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2 Constructions bar et cobar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Cogc comme catégorie de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.1 Le théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.2 Démonstration du théorème principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.3.3 Alg_{∞} comme “catégorie de modèles sans limites” . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.3.4 Homotopie au sens classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.3.5 Equivalences faibles et quasi-isomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4 Transfert de structures le long d’équivalences d’homotopie . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.1 Modèle minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 1.4.2 Lien avec le lemme de perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2 Théorie de l’homotopie des polydules 59

2.1 Rappels et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.1 Modules augmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.1.2 Comodules co-augmentés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

2.2 Comc C comme catégorie de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.1 Cochaîne tordante et produits tensoriels tordus . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2.2.2 Comc C comme catégorie de modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.3 Structure triangulée sur Ho Comc C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.2.4 Caractérisation de l’acyclicité des cochaînes tordantes . . . . . . . . . . . . 75

2.3 Polydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.3.2 Unités strictes, augmentations et réductions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.3.3 Construction bar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.3.4 Algèbre Enveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

2.4 Catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre augmentée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4.1 Objets fibrants de Comc B^{+}A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.4.2 Catégorie dérivée D_{∞}A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.4.3 Structure triangulée sur D_{∞}A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

2.5 Catégorie dérivée des bipolydules (le cas augmenté) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 2.5.1 Définitions des bipolydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 2.5.2 Catégorie dérivée des A_{∞}-bimodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3 Unités à homotopie près et unités strictes 95 3.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 3.2 A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.2.1 Strictification unitaire des A_{∞}-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.2.2 Strictification unitaire des A_{∞}-morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.2.3 Strictification unitaire des homotopies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.2.4 Modèle minimal d’une A_{∞}-algèbre strictement unitaire . . . . . . . . . . . 103

3.3 Strictification unitaire des polydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.1 Polydules homologiquement unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.3.2 Bipolydules homologiquement unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4 Catégorie dérivée 109

4.1 La catégorie dérivée des polydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.1 Les foncteurs standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 4.1.2 La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 4.1.3 La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre strictement unitaire . . . . . . . . . 120

4.2 La catégorie dérivée des bipolydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

5 A_{∞}-catégories et A_{∞}-foncteurs 131

5.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.1 Les catégories de base C(𝕆, 𝕆′) et C(𝕆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.2 Catégories différentielles graduées des polydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 5.3 Lemme clef . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6 Torsion d’A_{∞}-structures 143

6.1 Le cas tensoriellement nilpotent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.1 Eléments tordants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 6.1.2 Torsion des A_{∞}-catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 6.1.3 Torsion des A_{∞}-foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 6.1.4 Torsion des A-B-bipolydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

6.2 Le cas topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 6.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 6.2.2 Eléments tordants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.3 Algèbres locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 6.2.4 Torsion des A_{∞}-catégories . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 6.2.5 Torsion des A_{∞}-foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.2.6 Torsion des A-B-bipolydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 7 L’A_{∞}-foncteur de Yoneda et les objets tordus 159

7.1 Le plongement de Yoneda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 7.2 L’A_{∞}-catégorie des objets tordus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 7.3 L’A_{∞}-foncteur y′′ : twA → C_{∞}A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 7.4 L’équivalence entre les catégories tria A et H^{0}twA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 7.5 Modèle différentiel gradué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 7.6 Catégories stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

8 L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs 173

8.1 L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.1 L’A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 8.1.2 Fonctorialité de Nunc_{∞}(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 8.1.3 L’A_{∞}-catégorie Func_{∞}(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.2 Théorie de l’homotopie des A_{∞}-foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2.1 L’A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 8.2.2 Equivalences faibles d’A_{∞}-foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

9 Les A_{∞}-équivalences 193 9.1 L’A_{∞}-isomorphie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 9.2 La caractérisation des A_{∞}-équivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

A Catégories de modèles 199

B Théorie de l’obstruction 205 B.1 Théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-algèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 B.2 Théorie de l’obstruction pour les polydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 B.3 Théorie de l’obstruction pour les bipolydules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 B.4 Cohomologie de Hochschild et théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-structures mini-

males . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212

Bibliographie 214

Notations 221

6  TABLE DES MATIÈRES

Abstract/Résumé

Abstract

We study (not necessarily connected) Z-graded A_{∞}-algebras and their A_{∞}-modules. Using the cobar and the bar construction and Quillen’s homotopical algebra, we describe the localisation of the category of A_{∞}-algebras with respect to A_{∞}-quasi-isomorphisms. We then adapt these methods to describe the derived category D_{∞}A of an augmented A_{∞}-algebra A. The case where A is not endowed with an augmentation is treated differently. Nevertheless, when A is strictly unital, its derived category can be described in the same way as in the augmented case. Next, we compare two different notions of A_{∞}-unitarity : strict unitarity and homological unitarity. We show that, up to homotopy, there is no difference between these two notions. We then establish a formalism which allows us to view A_{∞}-categories as A_{∞}-algebras in suitable monoidal categories. We generalize the fundamental constructions of category theory to this setting : Yoneda embeddings, categories of functors, equivalences of categories... We show that any algebraic triangulated category T which admits a set of generators is A_{∞}-pretriangulated, that is to say, T is equivalent to H^{0}twA, where twA is the A_{∞}-category of twisted objets of a certain A_{∞}-category A.

Thus we give detailed proofs of a part of the results on homological algebra which M. Kontsevich stated in his course “Triangulated categories and geometry” [Kon98].

Résumé

Nous étudions les A_{∞}-algèbres Z-graduées (non nécessairement connexes) et leurs A_{∞}-modules. En utilisant les constructions bar et cobar ainsi que les outils de l’algèbre homotopique de Quillen, nous décrivons la localisation de la catégorie des A_{∞}-algèbres par rapport aux A_{∞}-quasi-isomorphismes. Nous adaptons ensuite ces méthodes pour décrire la catégorie dérivée D_{∞}A d’une A_{∞}-algèbre augmentée A. Le cas où A n’est pas muni d’une augmentation est traité différemment. Néanmoins, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée peut être décrite de la même manière que dans le cas augmenté. Nous étudions ensuite deux variantes de la notion d’unitarité pour les A_{∞}-algèbres : l’unitarité stricte et l’unitarité homologique. Nous montrons que d’un point de vue homotopique, il n’y a pas de différence entre ces deux notions. Nous donnons ensuite un formalisme qui permet de définir les A_{∞}-catégories comme des A_{∞}-algèbres dans certaines catégories monoïdales. Nous généralisons à ce cadre les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories... Nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique engendrée par un ensemble d’objets est A_{∞}-prétriangulée, c’est-à-dire qu’elle est équivalente à H^{0}twA, où twA est l’A_{∞}-catégorie des objets tordus d’une certaine A_{∞}-catégorie A.

Nous démontrons ainsi une partie des énoncés d’algèbre homologique presentés par M. Kont- \underline{8}

sevich pendant son cours “Catégories triangulées et géométrie” [Kon98]. l’associaèdre K_{5}

Introduction

Nous renvoyons à [Kel01a] et [Kel01b] pour une introduction aux A_{∞}-algèbres et leurs modules. Cette thèse contient, entre autres, les démonstrations détaillées des énoncés de [Kel01a]. Hormis [Kon98] et [Kel01a], nous nous sommes appuyés principalement sur l’article de V. Hinich [Hin01] et sur les travaux suivants : [Sta63a], [Pro85], [GJ90], [HK91], [GLS91], [Mar96], [Hin97]. Certains des résultats de cette thèse ont été obtenus récemment et de manière indépendante par K. Fukaya [Fuk01a], P. Seidel [Sei], A. Lazarev [Laz02], V. Lyubashenko [Lyu02] et M. Kontsevich et Y. Soibelmann [KS02b], [KS02a].

Structures strictes et structures à homotopie près

Les structures de l’algèbre classique que l’on appelle strictes, par exemple les algèbres associatives, commutatives ou les algèbres de Lie, se sont révélées insuffisantes en topologie car elles ne sont pas compatibles avec l’homotopie. Ainsi, si X est un espace de lacets et Y est un espace topologique homotope à X, il n’est pas toujours possible de transférer la structure de H-espace (qui est stricte) de X vers Y. C’est pour pallier ce défaut que J. Stasheff [Sta63a] a introduit la notion de structure A_{∞}, qui est un assouplissement de celle de semigroupe topologique. Les structures A_{∞} font partie des structures à homotopie près, c’est à dire des structures dont “le défaut de strictitude” est contrôlé de manière cohérente par des homotopies d’ordre supérieur. Pour certaines structures à homotopie près, des homotopies d’ordre supérieur sont connues de longue date comme les opérations de Steenrod [Ste47], [Ste52] ou les produits de Massey. Les structures à homotopie près se comportent bien relativement aux équivalences d’homotopie : si un objet (topologique ou différentiel gradué) est muni d’une structure à homotopie près, on peut sous certaines conditions la translater sur un autre objet quand ce dernier est homotope à l’objet de départ. La première partie de cette thèse traitera des A_{∞}-structures algébriques, c’est-à-dire des A_{∞}-structures dans le cadre de l’algèbre différentielle graduée. Dans la deuxième partie nous étudierons leurs généralisations au cadre catégorique.

A_{∞}-structures algébriques

Soit 𝕂 un corps. Une A_{∞}-algèbre [Sta63b] est un 𝕂-espace vectoriel Z-gradué A muni de morphismes gradués

m_{i} : A^{⊗i} → A, i ≥ 1,

de degré 2−i, vérifiant des équations dont la première dit que m_{1} est une différentielle, la deuxième que m_{1} est une dérivation pour la multiplication m_{2} et la troisième

m_{2}(m_{2} ⊗ 1) − m_{2}(1 ⊗ m_{2}) = δ(m_{3})

que le défaut d’associativité de m_{2} est mesuré par le bord de m_{3} dans l’espace différentiel gradué Hom(A^{⊗3}, A). Intuitivement, une A_{∞}-algèbre est donc une “algèbre différentielle graduée dont le défaut d’associativité est contrôlé (au sens fort) par des homotopies d’ordre supérieur”. Si A et A′ sont deux A_{∞}-algèbres, un A_{∞}-morphisme f : A → A′ est une suite de morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → A′, i ≥ 1,

de degré 1 − i, vérifiant des équations dont les premières affirment que f_{1} est un morphisme de complexes qui est compatible aux multiplications m_{2} et m′_{2} à une homotopie f_{2} près. De la même manière, si f et g sont des A_{∞}-morphismes A → A′, une homotopie h entre f et g est une suite de morphismes

h_{i} : A^{⊗i} → A′, i ≥ 1,

de degré −i, qui vérifient des équations dont les deux premières affirment que h_{1} est une homotopie entre les “morphismes d’algèbres différentielles graduées”

f_{1} et g_{1} : (A, m_{1}, m_{2}) → (A′, m′_{1}, m′_{2}).

Soit A une A_{∞}-algèbre. Un A-polydule (appelé A_{∞}-module sur A dans la littérature) est un 𝕂espace vectoriel Z-gradué M muni de morphismes gradués

m_{i}^{M} : M ⊗ A^{⊗i−1} → M, i ≥ 1,

de degré 2 − i, vérifiant des équations dont les premières affirment que m_{1}^{M} est une différentielle et que m_{2}^{M} définit une action de l’algèbre (fortement homotopiquement) associative A dont la compatibilité à la multiplication de A est contrôlée par l’homotopie d’ordre supérieur m_{3}^{M}. Comme pour les A_{∞}-algèbres, on a des A_{∞}-morphismes entres A-polydules et des homotopies entre les A_{∞}-morphismes.

Lien avec la théorie des opérades

Certains arguments de la thèse sont liés à la théorie des opérades (par exemple, la théorie de l’obstruction des A_{∞}-algèbres (B.1)). Nous n’utiliserons pas explicitement le formalisme des opérades dans nos énoncés (et leurs démonstrations), lui préférant une approche naïve. Rappelons néanmoins quelques faits et références sur ce sujet.

Les complexes cellulaires de Stasheff {K_{i} × Σ_{i}}_{i≥2} (voir [Sta63a]) forment une opérade topologique [May72]. Les complexes de chaînes qui leur sont associés forment donc une opérade différentielle graduée. C’est l’opérade des A_{∞}-algèbres. Les opérades différentielles graduées ont été étudiée abondamment au début des années 90 [HS93], [GJ94], [GK94] pour expliciter le lien entre les structures strictes et les structures à homotopie près [GK94], [Mar96], [Mar99], [Mar00]. En ce qui concerne les structures A_{∞}, on retiendra des opérades deux résultats : l’opérade des A_{∞}- algèbres est le modèle minimal cofibrant au sens de M. Markl [Mar96] de l’opérade des algèbres associatives Ass ; le dual de Koszul Ass^{!} de Ass est la co-opérade des cogèbres co-associatives.

Chapitre 1 : une théorie de l’homotopie des A_{∞}-algèbres.

Sur les A_{∞}-catégories  11

Rappelons pour commencer un résultat de H. J. Munkholm. Soit DA la catégorie des algèbres différentielles graduées (vérifiant certaines conditions sur la graduation et sur la connexité) et Ho DA la localisation de DA par rapport aux quasi-isomorphismes. Soit DASH la catégorie des algèbres différentielles graduées dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes. Utilisant les idées de J. Stasheff et S. Halperin [SH70], H. J. Munkholm [Mun78] (voir aussi [Mun76]) a montré, premièrement, que la relation d’homotopie sur Hom_{DA}(A, A′), A, A′ ∈ DA, (qui n’est pas une relation d’équivalence en général) s’étend en une relation sur les espaces de morphismes Hom_{DASH}(A, A′) qui est une relation d’équivalence quelles que soient A et A′, et deuxièmement, que la catégorie Ho DA est équivalente au quotient de DASH par cette relation d’équivalence. En d’autres termes, quitte à augmenter le nombre de morphismes entre algèbres différentielles graduées, la localisation par rapport aux quasi-isomorphismes est équivalente au passage au quotient par rapport à l’homotopie. Dans la première partie de ce chapitre, nous généraliserons les résultats de [Mun78] aux A_{∞}-algèbres. Un A_{∞}-quasi-isomorphisme f est un A_{∞}-morphisme tel que f_{1} est un quasi-isomorphisme. Nous montrons les résultats suivants :

(Théorème de l’homotopie) La relation d’homotopie sur les A_{∞}-morphismes est une relation d’équivalence (1.3.1.3 a).

(Théorème des A_{∞}-quasi-isomorphismes) Tout A_{∞}-quasi-isomorphisme d’A_{∞}-algèbres est inversible à homotopie près (1.3.1.3 b).

L’analogue topologique du théorème des A_{∞}-quasi-isomorphismes est dû à M. Fuchs [Fuc76] (voir aussi [Fuc65]). Dans sa thèse [Pro85], A. Prouté a montré les deux théorèmes sous des conditions sur la graduation ou la connexité (voir aussi [Kad87]). La nécéssité de généraliser ces résultats est due fait que dans les constructions de K. Fukaya et al. de A_{∞}-algèbres (A_{∞}-catégories), des composantes non nulles peuvent apparaître en tout degré entier. Dans le cas général, nous déduirons les théorèmes ci-dessus des résultats suivants : la construction bar B est une équivalence de catégories entre Alg_{∞}, la catégorie des A_{∞}-algèbres, et la sous-catégorie des objets cofibrants et fibrants d’une catégorie de modèles Cogc de cogèbres (1.3.1.2). La construction bar fait correspondre l’homotopie des A_{∞}-morphismes à l’homotopie à gauche de Cogc entre morphismes entre objets cofibrants et fibrants (1.3.4.1) et les A_{∞}-quasi-isomorphismes aux équivalences faibles (1.3.3.5).

La catégorie Cogc en question est la catégorie des cogèbres différentielles graduées cocomplètes. Soit Alg la catégorie des algèbres différentielles graduées et Ω : Cogc → Alg la construction cobar. La structure de catégorie de modèles de Cogc (1.3.1.2. a) est telle que le couple de foncteurs adjoints

(Ω, B) : Cogc → Alg,

est une équivalence de Quillen (1.3.1.2. b). L’utilisation de ce couple de foncteurs adjoints pour étudier la catégorie Alg[Qis^{−1}] remonte aux années 70 avec les travaux de D. Husemoller, J. C. Moore et J. Stasheff [HMS74] (voir aussi [EM66]). Ils considèrent les algèbres augmentées différentielles, graduées positivement d’une part et les cogèbres co-augmentées différentielles, graduées positivement et connexes d’autre part, et montrent que la localisation de la catégorie des algèbres par rapport aux quasi-isomorphismes est équivalente à la localisation de la catégorie des cogèbres par rapport aux quasi-isomorphismes. Sans les hypothèses sur la graduation ou la connexité, leur énoncé n’est plus vrai. Dans le cas général (1.3.1.2), nous devons remplacer la classe des quasiisomorphismes de Cogc par une classe de morphismes (appelés équivalences faibles) qui est strictement contenue dans celle des quasi-isomorphismes (1.3.5.1. c). Nous montrons qu’entre deux cogèbres graduées positivement, les équivalences faibles sont exactement les quasi-isomorphismes (voir 1.3.5.1. e). Nos résultats généralisent donc [HMS74, Chap. II, Thm. 4.4 et Thm. 4.5].

Notre démonstration du fait que Cogc admet une structure de catégorie de modèles (1.3.1.2) suit les idées de V. Hinich [Hin01] inspirées de celles de Quillen [Qui67], [Qui69]. Nous relevons la structure de catégorie de modèles de Alg le long de l’adjonction (Ω, B). Cette adjonction est du même type que l’adjonction entre la catégorie des algèbres de Lie différentielles graduées et la catégorie des cogèbres cocommutatives différentielles graduées en homotopie rationnelle. Elle provient de la dualité de Koszul entre l’opérade Ass et la co-opérade des cogèbres co-associatives.

La caractérisation des objets fibrants de Cogc peut être interprétée comme une conséquence du fait que l’opérade des A_{∞}-algèbres est le modèle minimal cofibrant au sens de M. Markl [Mar96] de l’opérade des algèbres associatives. Ce fait implique que l’obstruction à la construction par récurrence des morphismes gradués m_{i}, i ≥ 1, définissant une A_{∞}-structure sur un objet gradué A est de la forme “m_{n+1} doit tuer un certain cocycle (construit à partir des m_{i}, 1 ≤ i ≤ n)” (voir B.1.2). La condition qui mesure l’obstruction à la construction par récurrence des A_{∞}-morphismes est du même type (B.1.5). Nous appelons l’étude de ces obstructions la théorie de l’obstruction des A_{∞}-algèbres. Cette théorie est l’objet de l’appendice (B.1).

A la fin du chapitre 1, nous redémontrerons (1.4.1.1) la “compatibilité des structures A_{∞} à l’homotopie” : soit A une A_{∞}-algèbre et

g : (V, d) → (A, m_{1}^{A})

une équivalence d’homotopie de complexes. Il existe une structure d’A_{∞}-algèbre sur V telle que m_{1}^{V} est égale à d et telle que V et A sont homotopes en tant qu’A_{∞}-algèbres. Ce résultat est bien connu. T. Kadeishvili [Kad80] et A. Prouté [Pro85] l’ont montré dans le cas où d = 0 et sous des hypothèses sur la graduation et la connexité en utilisant la méthode des obstructions. Le cas général est dû à V. K. A. M. Gugenheim, L. A. Lambe et J. Stasheff [GLS91] qui utilisent “l’astuce du tenseur” inventée par J. Huebschmann [Hue86]. Le point essentiel de leur démonstration est que le lemme de perturbation [Gug72] est compatible à une structure additionnelle (de cogèbre dans notre cas). Sur ce sujet, voir aussi [HK91], [GL89] et les rappels historiques de la section 1.4. Notre démonstration de la “compatibilité à l’homotopie” (section 1.4.1.1) sera basée sur la théorie des obstructions (B.1). La “compatibilité à l’homotopie” implique que toute A_{∞}-algèbre A admet un modèle minimal, i. e. une structure A_{∞} sur l’homologie H^{∗}A telle que H^{∗}A et A sont homotopes en tant qu’A_{∞}-algèbres (1.4.1.4). Le lien entre un certain modèle minimal obtenu par notre méthode et celui obtenu par le lemme de perturbation [GLS91] est décrit en (1.4.2.1).

La “minimalité” du modèle H^{∗}A ci-dessus se réfère au fait que la cogèbre tensorielle B(H^{∗}A) est un modèle minimal (au sens de H. J. Baues et J.-M. Lemaire [BL77]) de la cogèbre BA.

Chapitre 2 : une théorie de l’homotopie des polydules.

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Rappelons que dans cette thèse les structures communément appelées A_{∞}-modules sur A sont appelées A-polydules (“poly” car la structure est donnée par plusieurs multiplications).

Le but de ce chapitre est de décrire la catégorie dérivée D_{∞}A dont les objets sont les A-polydules strictement unitaires. On adapte pour cela les méthodes d’algèbre homotopique du chapitre 1 aux A-polydules. La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre qui n’est pas munie d’une augmentation sera étudiée au chapitre 4.

Soit C une cogèbre différentielle graduée co-augmentée cocomplète et Comc C la catégorie des Ccomodules différentiels gradués co-unitaires cocomplets. Nous construisons (2.2.2.2) une structure de catégorie de modèles sur Comc C qui est telle que, si A est une algèbre différentielle graduée augmentée et τ : C → A une cochaîne tordante admissible acyclique, le couple de foncteurs adjoints “produits tensoriels tordus” (2.2.1)

( ⊗_{τ} A,? ⊗_{τ} C) : Comc C → Mod A

est une équivalence de Quillen. Les foncteurs “produits tensoriels tordus” remplacent ici les constructions bar et cobar du chapitre précédent. La catégorie homotopique Ho Comc C (voir appendice A) est donc équivalente à la catégorie dérivée

DA = Ho Mod A.

Dans [HMS74], D. Husemoller, J. C. Moore et J. Stasheff ont démontré un résultat (le théorème 5.15) un peu plus général mais sous des hypothèses sur la graduation et la connexité. Nous ne considérerons pas ici les algèbres et les cogèbres étendues (voir [HMS74]), nous restreignant à l’étude séparée des (co)algèbres et de leurs (co)modules. Remarquons juste que notre résultat (2.2.2.2) généralise la spécialisation du théorème 5.15 de [HMS74] à la sous-catégorie formée des algèbres étendues (M, A, 0), où A est une algèbre fixée et M un A-module, et à son image dans la catégorie des cogèbres étendues.

Nous étudions ensuite les objets fibrants de Comc C pour une certaine classe de cogèbres C. Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée et Mod_{∞} A la catégorie des A-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes strictement unitaires. Notons B^{+}A la construction bar co-augmentée de la réduction \overline{A} de A. Lorsque C est une cogèbre isomorphe à B^{+}A, nous montrons (2.4.1.3) à l’aide de la théorie de l’obstruction (B.2) qu’un objet de Comc C est fibrant si et seulement si il est facteur direct d’un objet presque colibre. Comme tous les objets de Comc C sont cofibrants, la sous-catégorie des objets cofibrants et fibrants est l’image essentielle de la construction bar des A-polydules strictement unitaires. Nous en déduisons (2.4.2.2) que la catégorie dérivée

D_{∞}A = Mod_{∞} A[{Qis}^{−1}]

est équivalente au quotient de la catégorie Mod_{∞} A par la relation d’homotopie (ceci montre le théorème des A_{∞}-quasi-isomorphismes pour les A-polydules). La structure triangulaire de D_{∞}A sera étudiée dans la section (2.4.3).

Dans la section 2.5, nous étudions, par les mêmes méthodes, la catégorie dérivée des bipolydules (appelés A_{∞}-bimodules dans la littérature) strictement unitaires sur deux A_{∞}-algèbres augmentées. Nous utiliserons les résultats de cette section dans la seconde partie de la thèse qui concerne les A_{∞}-catégories.

Chapitre 3 : les unités.

Une 𝕂-algèbre associative (A, μ) est unitaire si elle est munie d’un morphisme η : 𝕂 → A vérifiant les relations

μ(η ⊗ 1) = 1 et μ(1 ⊗ η) = 1.

Il existe plusieurs relèvements de la notion d’unitarité aux A_{∞}-algèbres. Nous en étudions deux : l’unitarité stricte (déjà présente dans la version topologique de J. Stasheff [Sta63a]) et l’unitarité homologique. L’unitarité stricte est la notion qui nous permettra de généraliser certaines propriétés classiques des algèbres unitaires aux A_{∞}-algèbres. L’unitarité homologique, plus générale, apparaît dans les exemples géométriques [Fuk93]. Nous montrons que d’un point de vue homotopique il n’y a pas de différence entre ces deux relèvements possibles de la notion d’unitarité. Plus précisément, nous montrerons le résultat suivant : soit (Alg_{∞})_{hu} la catégorie des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes homologiquement unitaires et (Alg_{∞})_{su} la catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes strictement unitaires. Les catégories (Alg_{∞})_{hu} et (Alg_{∞})_{su} deviennent équivalentes après passage à l’homotopie (3.2.4.4). La démonstration de ce résultat sera basée sur une théorie de l’obstruction des A_{∞}-structures minimales (B.4) et sur l’existence d’un modèle minimal strictement unitaire pour les A_{∞}-algèbres strictement unitaires (3.2.4.1).

Récemment, K. Fukaya [FOOO01], [Fuk01b], P. Seidel [Sei], A. Lazarev [Laz02] et V. Lyubashenko [Lyu02] ont étudié le problème des unités de manière indépendante. Le relèvement de la notion d’unitarité de V. Lyubashenko se spécialise à notre notion d’unitarité homologique si on travaille sur un corps (V. Lyubashenko travaille sur un anneau commutatif quelconque).

Chapitre 4 : la catégorie dérivée.

Ici, nous définissons la catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre quelconque A (non nécessairement strictement unitaire). Nous montrerons que, lorsque A est strictement unitaire, sa catégorie dérivée admet les quatre descriptions suivantes (4.1.3.1) :

D1. la sous-catégorie triangulée Tria A de la catégorie dérivée D_{∞}(A^{+}) (où A^{+} est l’augmentation de A et D_{∞}(A^{+}) est définie dans le chapitre 2),

D2. la catégorie

H_{∞}A = Mod_{∞} A/∼

où Mod_{∞} A est la catégorie des A-polydules strictement unitaires et ∼ est la relation d’homotopie,

D3. la catégorie localisée

( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}]

où Qis est la classe des A_{∞}-quasi-isomorphismes de Mod_{∞} A,

D4. la catégorie localisée

( Mod_{∞}^{strict} A)[Qis^{−1}]

où Mod_{∞}^{strict} A est la sous-catégorie non pleine de Mod_{∞} A dont les morphismes sont les A_{∞}- morphismes stricts.

Nous montrerons (4.1.3.8) que si A est une algèbre différentielle graduée unitaire, la catégorie dérivée DA (voir par exemple [Kel94a]) est équivalente aux catégories définies ci-dessus.

Chapitre 5 : préliminaires sur les A_{∞}-catégories.

La notion d’A_{∞}-catégorie est une généralisation naturelle de celle d’A_{∞}-algèbre. Au début des années 90, les travaux de K. Fukaya [Fuk93] (voir aussi [Fuk01b]) ont montré qu’elle apparaît naturellement dans l’étude de l’homologie de Floer. Inspiré par ces travaux, M. Kontsevich, dans son exposé [Kon95] au congrès international, a donné une interprétation conjecturale de la symétrie miroir comme l’“ombre” d’une équivalence entre les catégories dérivées de deux A_{∞}-catégories d’origine géométrique (voir aussi [PZ98] où cette conjecture a été démontrée pour les courbes elliptiques). Dans la suite de cette thèse, nous généralisons au cadre A_{∞}-catégorique les constructions fondamentales de la théorie des catégories : le foncteur de Yoneda, les catégories de foncteurs, les équivalences de catégories, etc. , et démontrons certains des résultats énoncés ou implicites dans [Kon98]. Nous utiliserons ou adapterons pour cela certaines méthodes de la première partie de la thèse.

Une A_{∞}-catégorie est une A_{∞}-algèbre avec plusieurs objets, et réciproquement, une A_{∞}-algèbre est une A_{∞}-catégorie avec un objet. Les problèmes soulevés par l’augmentation du nombre d’objets sont nombreux et la généralisation des résultats des chapitres précédents est parfois très technique (par exemple pour l’homotopie entre A_{∞}-morphismes). Nous introduisons une bicatégorie C dont les objets sont les ensembles. Comme C est une bicatégorie, pour tout ensemble 𝕆, la catégorie des morphismes C(𝕆, 𝕆) est une catégorie monoïdale (voir [ML98, Chap. XII, §6]). Nous définissons (5.1.2.1) une petite A_{∞}-catégorie dont l’ensemble des objets est en bijection avec un ensemble 𝕆 comme une A_{∞}-algèbre dans C(𝕆, 𝕆). Nous définissons ensuite les A_{∞}-foncteurs et les catégories différentielles graduées C_{∞}A et C_{∞}(A, B) de A-polydules et A-B-bipolydules strictement unitaires (A et B sont des A_{∞}-catégories strictement unitaires). Un lemme clef qui sera utile pour la construction de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda (chapitre 7) est démontré en (5.3.0.1).

Chapitre 6 : la torsion d’A_{∞}-catégories.

Dans ce chapitre, nous généralisons aux A_{∞}-algèbres une technique de torsion bien connue en théorie des déformations (pour un panorama, voir par exemple [Hue99]). Soit A une A_{∞}-catégorie. Considérons l’équation de Maurer-Cartan généralisée

∑_{i=1}^{∞} m_{i}(x ⊗ … ⊗ x) = 0.

Nous montrons (6.1.2 et 6.2.4) qu’une solution x de cette équation (lorsqu’elle a un sens) donne une nouvelle A_{∞}-catégorie A_{x} appelée la torsion de A par x. La torsion des A_{∞}-algèbres est due à K. Fukaya qui l’a introduite (ainsi que celle des L_{∞}-algèbres) dans [Fuk01b] et [Fuk01a] pour l’étude des A_{∞}-déformations. Nos formules pour les compositions tordues m_{i}^{x}, i ≥ 1, de A_{x} sont les mêmes (à des signes équivalents près) que dans [Fuk01b] mais la démonstration du fait qu’elles définissent bien une structure d’A_{∞}-catégorie est différente. Nous décrivons ensuite la torsion des A_{∞}-foncteurs (6.1.3 et 6.2.5) et des (bi)polydules (6.1.4 et 6.2.6) par des solutions de l’équation de Maurer-Cartan. Nous montrons aussi que si un A_{∞}-foncteur f induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes, sa torsion f_{x} induit elle aussi un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes (6.1.3.4).

La torsion sera utile dans les chapitres 7 et 8.

Chapitre 7 : l’A_{∞}-foncteur de Yoneda et les objets tordus.

Soit A une catégorie. Rappelons que le foncteur de Yoneda est le foncteur

A → Mod A, A ↦ Hom_{A}( , A).

Dans ce chapitre, nous relevons ce foncteur en un A_{∞}-foncteur (7.1.0.1)

y : A → C_{∞}A, A ↦ Hom_{A}( , A),

où A est une A_{∞}-catégorie. Si A est strictement unitaire, nous montrons que l’A_{∞}-foncteur y est strictement unitaire et qu’il se factorise par l’A_{∞}-catégorie des objets tordus twA (7.1.0.4). Les compositions de l’A_{∞}-catégorie twA sont obtenues par torsion (chapitre 6).

Si G est une catégorie différentielle graduée unitaire, la catégorie (différentielle graduée) des objets tordus est due à A. I. Bondal et M. M. Kapranov [BK91] (ils la notent Pr-Tr^{+}G). Le but de [BK91] est de pallier un défaut des axiomes des catégories triangulées pour décrire les catégories dérivées [Ver77] : le cône n’est pas fonctoriel. Plutôt que les catégories triangulées, ils considèrent les catégories pré-triangulées décrites à l’aide de la catégorie des objets tordus et montrent l’équivalence de catégories suivante : soit E une catégorie pré-triangulée (H^{0}E est alors triangulée). Soit G une sous-catégorie pleine de E. La sous-catégorie triangulée tria G ⊂ H^{0}E engendrée par G est équivalente à la catégorie triangulée H^{0}(Pr-Tr^{+}G). Dans le cas A_{∞}, on a les mêmes résultats : nous montrons (7.4) que si A est une A_{∞}-catégorie strictement unitaire, les catégories

H^{0}twA et tria A ⊂ D_{∞}A

sont équivalentes (comme annoncé dans [Kon95]). De plus, nous montrons (section 7.6) que toute catégorie triangulée algébrique qui est engendrée par un ensemble d’objets est A_{∞}-pré-triangulée, i. e. elle est équivalente à H^{0}twA, pour une certaine A_{∞}-catégorie A.

Soit A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire. La catégorie C_{∞}A est différentielle graduée et l’A_{∞}-foncteur de Yoneda y : A → C_{∞}A induit (7.4.0.1) un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes. Nous en déduisons que l’image y(A) ⊂ C_{∞}A est une catégorie différentielle graduée unitaire qui est quasi-isomorphe à A. Ceci montre que d’un point de vue homologique, l’étude des A_{∞}-catégories strictement unitaires (et même homologiquement unitaires, par le chapitre 3) revient à l’étude des catégories différentielles graduées unitaires. Concernant les catégories différentielles graduées et leurs catégories dérivées, on renvoie à [Kel94a], [Kel99].

Chapitre 8 : l’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs.

Soit A et B deux A_{∞}-catégories strictement unitaires. Nous définissons (8.1.1 et 8.1.3) une A_{∞}- catégorie Func_{∞}(A, B) dont les objets sont les A_{∞}-foncteurs strictement unitaires A → B. La difficulté consiste à définir les compositions supérieures des morphismes entre A_{∞}-foncteurs. Nous utiliserons pour cela la méthode de la torsion du chapitre 6. Cette A_{∞}-catégorie est fonctorielle en A et B (8.1.2). Nous en déduisons une 2-catégorie cat_{∞} dont les objets sont les petites A_{∞}-catégories strictement unitaires et les espaces de morphismes A → B sont les catégories

cat_{∞}(A, B) = H^{0}Func_{∞}(A, B), A, B ∈ Obj cat_{∞}.

Nous caractérisons (8.2.2.3) ensuite les éléments

H ∈ Hom_{Func_{∞}(A,B)}(f, g), f, g : A → B

qui deviennent des isomorphismes f → g dans la catégorie cat_{∞}(A, B). La démonstration de cette caractérisation utilisera l’existence d’un A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé (8.2.1)

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B)

qui induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.

L’A_{∞}-catégorie Func_{∞}(A, B) a été construite indépendamment par K. Fukaya [Fuk01b], V. Lyubashenko [Lyu02] et M. Kontsevich et Y. Soibelman [KS02a], [KS02b]. Bien qu’obtenues par des méthodes différentes, les compositions de Func_{∞}(A, B) de [Lyu02] sont les mêmes que les nôtres.

Chapitre 9 : les A_{∞}-équivalences.

Soit A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire. Dans (9.1), nous relevons la notion d’isomorphisme de H^{0}A à A. Nous montrons ensuite qu’un A_{∞}-foncteur f : A → B est une A_{∞}-équivalence si et seulement si f_{1} est un quasi-isomorphisme et s’il induit une équivalence de catégories (au sens classique) entre H^{0}A et H^{0}B (9.2). D’autres démonstrations de cette caractérisation (annoncée dans [Kon98]) se trouvent dans [Fuk01b] et [Lyu02].

Chapitre 1

Théorie de l’homotopie des A_{∞}-algèbres

Introduction

Rappelons trois résultats classiques sur les A_{∞}-algèbres :

1. (Relation d’homotopie) La relation d’homotopie sur les A_{∞}-morphismes est une relation d’équivalence (1.3.1.3 a).

2. (A_{∞}-quasi-isomorphisme) Tout A_{∞}-quasi-isomorphisme d’A_{∞}-algèbres est inversible à homotopie près (1.3.1.3 b).

3. (Modèle minimal) Toute A_{∞}-algèbre admet un modèle minimal (1.4.1.4).

Dans la littérature, les résultats 1 et 2 sont démontrés pour les A_{∞}-algèbres vérifiant certaines conditions sur leur graduation ou leur connexité (voir les références figurant dans le corps du chapitre). Le but de ce chapitre est de les généraliser aux A_{∞}-algèbres quelconques.

Plan du chapitre

Le chapitre est divisé en quatre sections. Dans la section 1.1, on fixe les notations et on définit les algèbres libres et les cogèbres tensorielles.

Dans la section 1.2, on définit les A_{∞}-algèbres, les A_{∞}-morphismes et les homotopies entre A_{∞}-morphismes. On rappelle les constructions bar et cobar (1.2.2).

Dans la section 1.3, nous montrons le résultat principal (1.3.1.2) de ce chapitre :

La catégorie Cogc des cogèbres différentielles graduées cocomplètes admet une structure de catégorie de modèles qui la rend Quillen-équivalente à la catégorie de modèles Alg des algèbres différentielles graduées. Tous les objets de Cogc sont cofibrants et les objets fibrants de Cogc sont ceux qui, en tant que cogèbres graduées, sont isomorphes à des cogèbres tensorielles réduites.

18  Chapitre 1 : Théorie de l’homotopie des A_{∞}-algèbres

La démonstration du fait que la catégorie Cogc admet une telle structure nous a été inspirée du travail de V. Hinich [Hin01]. Nous considérons des objets filtrés et étudions dans ce cadre les propriétés des constructions bar et cobar. La caractérisation des objets cofibrants sera immédiate car les cofibrations sont les injections. La caractérisation des objets fibrants sera un résultat plus profond, conséquence du théorème (1.3.3.1) : la catégorie des A_{∞}-algèbres Alg_{∞} admet une structure de “catégorie de modèles sans limites” dont la classe des équivalences faibles est formée des A_{∞}-quasi-isomorphismes.

Notre démonstration de ce résultat sera entièrement basée sur la théorie de l’obstruction (voir appendice B.1). Elle peut donc être interprétée comme une conséquence du fait que l’opérade des A_{∞}-algèbres est un modèle cofibrant minimal au sens de M. Markl [Mar96] pour l’opérade des algèbres associatives.

Les A_{∞}-algèbres s’identifient par la construction bar aux objets fibrants et cofibrants de Cogc. Les résultats 1 et 2 cités plus haut apparaîtront alors comme des cas particuliers de résultats fondamentaux de l’algèbre homotopique de Quillen (voir appendice A).

Dans la section 1.4, nous remontrons (1.4.1.4) le résultat 3 (modèle minimal). Notre démonstration utilisera la théorie de l’obstruction. Ensuite, nous comparons (1.4.2.1) un modèle minimal obtenu ainsi avec celui obtenu grâce au lemme de perturbation (voir par ex. [HK91]).

1.1 Rappels et notations

1.1.1 Objets différentiels gradués

Nous fixons des notations que nous utiliserons tout au long de ce chapitre.

La catégorie de base

Soit 𝕂 un corps. Soit C une catégorie 𝕂-linéaire abélienne, semi-simple, cocomplète, aux colimites filtrantes exactes (i.e. une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple). Nous supposons en outre que C est munie d’une structure de catégorie monoïdale 𝕂-bilinéaire donnée par un foncteur

⊗ : C × C → C,

un objet neutre e, et des contraintes d’associativité et d’unitarité

X ⊗ (Y ⊗ Z) ≃ (X ⊗ Y) ⊗ Z,  X ⊗ e ≃ X ≃ e ⊗ X,  X, Y, Z ∈ C.

Nous supposons que pour tout objet X de C, les foncteurs X⊗ et ⊗X sont exacts et commutent aux colimites filtrantes.

La catégorie des 𝕂-espaces vectoriels vérifie bien sûr ces hypothèses. La raison pour laquelle nous travaillons dans un cadre plus général est l’apparition naturelle d’autres exemples dans l’étude des A_{∞}-catégories (voir le chapitre 5).

Objets gradués

Un objet gradué (sur C) est une suite M = (M^{p})_{p∈Z} d’objets de C. Soit deux objets gradués M et L. La catégorie GrC des objets gradués a pour espace des morphismes de M dans L l’espace vectoriel Z-gradué de composantes

Hom_{GrC}(M, L)^{r} = ∏_{p} Hom_{C}(M^{p}, L^{p+r}), r ∈ Z.

On appelle morphismes gradués de degré r les éléments de la r-ième composante. Le produit tensoriel de deux objets gradués M et L a pour composantes

(M ⊗ L)^{n} = ⨁_{p+q=n} M^{p} ⊗ L^{q}, n ∈ Z.

Soit f : M → M′ et g : L → L′ deux morphismes gradués de degré r et s. Le produit tensoriel

f ⊗ g : M ⊗ L → M′ ⊗ L′

est le morphisme de degré r + s dont la n-ième composante est induite par les morphismes

(−1)^{ps}f^{p} ⊗ g^{q} : M^{p} ⊗ L^{q} → M^{′p+r} ⊗ L^{′q+s}, p + q = n.

L’élément neutre pour le produit tensoriel gradué est l’objet gradué dont toutes les composantes sont nulles sauf la 0-ième, qui vaut e. Nous le notons aussi e. La catégorie GrC est ainsi munie d’une structure de catégorie monoïdale. On définit le foncteur suspension S : GrC → GrC par

(SM)^{i} = M^{i+1}, i ∈ Z.

Nous notons

s_{M} : M → SM

le morphisme gradué fonctoriel de degré −1 de composantes

s_{M}^{i} = 1_{M^{i}} : M^{i} → (SM)^{i−1}, i ∈ Z.

Le morphisme s^{−1} est noté ω. Remarquons l’égalité

ω^{⊗i} ∘ s^{⊗i} = (−1)^{\frac{i(i−1)}{2}} 1_{M^{⊗i}}.

Objets différentiels gradués

Un objet différentiel gradué (ou complexe) est un couple (M, d), où M est un objet gradué et d est une différentielle, c’est-à-dire un endomorphisme de M de degré +1, tel que d^{2} = 0. Le sous-objet Z^{i}M = ker d^{i} de M^{i} est l’objet des cycles de degré i du complexe M. Le sous-objet B^{i}M = Im d^{i−1} de Z^{i}M est l’objet des bords de degré i du complexe M. Si (M, d_{M}) et (L, d_{L}) sont deux complexes, nous munissons l’espace des morphismes gradués Hom_{GrC}(M, L) de la différentielle δ dont les composantes sont

δ^{r} : Hom_{GrC}(M, L)^{r} → Hom_{GrC}(M, L)^{r+1},  r ∈ Z.
f  ↦ d_{L} ∘ f − (−1)^{r}f ∘ d_{M}

La catégorie CC a pour objets les complexes et pour espaces de morphismes

Hom_{CC}(M, L) = Z^{0}(Hom_{GrC}(M, L), δ).

Si M et L sont deux complexes, on munit le produit tensoriel gradué M ⊗ L de la différentielle

d_{M⊗L} = d_{M} ⊗ 1_{L} + 1_{M} ⊗ d_{L}.

Nous avons ainsi muni CC d’une structure de catégorie monoïdale d’objet neutre l’objet gradué e muni de la différentielle nulle. Si M est un complexe, nous munissons sa suspension SM de la différentielle

d_{SM} = −s_{M} ∘ d_{M} ∘ s_{M}^{−1}.

Le foncteur homologie H : CC → GrC envoie un complexe M sur l’objet gradué HM de composantes

H^{i}M = Z^{i}M/B^{i}M, i ∈ Z.

Un quasi-isomorphisme de CC est un morphisme qui induit un isomorphisme en homologie. Un complexe est acyclique s’il est quasi-isomorphe à l’objet nul. Deux morphismes de complexes f, g : M → L sont homotopes s’il existe un morphisme r : M → L de degré −1 tel que δ(r) = f − g. L’homotopie est une relation d’équivalence. La catégorie HC a pour objets les complexes et pour espaces de morphismes de M dans L les classes d’homotopie de morphismes de la catégorie CC :

Hom_{HC}(M, L) = H^{0}(Hom_{GrC}(M, L), δ).

Nous notons encore H : HC → GrC le foncteur induit par le foncteur homologie.

1.1.2 Algèbres et cogèbres

Algèbres

Soit M l’une des catégories C, GrC ou CC. Une algèbre (A, μ) dans M est un objet A muni d’une multiplication μ : A ⊗ A → A associative (et de degré 0 si M = GrC). Définissons μ^{(2)} = μ, et pour tout n ≥ 3, μ^{(n)} : A^{⊗n} → A par

μ^{(n)} = μ(1 ⊗ μ^{(n−1)}).

Pour n ≥ 1, on appelle cok μ^{(n+1)} l’algèbre des n-irréductibles de A.

Soit f, g : A → B deux morphismes d’algèbres. Une (f, g)-dérivation est un morphisme D : A → B vérifiant la règle de Leibnitz

D ∘ μ = μ ∘ (f ⊗ D + D ⊗ g).

Une dérivation de l’algèbre A est une (1_{A}, 1_{A})-dérivation.

Soit V un objet gradué de M. L’algèbre tensorielle réduite sur V est l’objet

\overline{T} V = ⨁_{i≥1} V^{⊗i}

muni de la multiplication μ dont les composantes

V^{⊗i} ⊗ V^{⊗j} → V^{⊗i+j} → \overline{T} V

sont données par la contrainte d’associativité de la catégorie monoïdale M. Une algèbre A de M est libre si elle est isomorphe à \overline{T} V pour un objet V de M. Nous avons alors V ≃ cok μ_{A}.

Lemme 1.1.2.1 (propriété universelle de l’algèbre tensorielle) Soit (A, μ) une algèbre. Pour n ≥ 1, nous notons j_{n} : V^{⊗n} → \overline{T} (V) l’injection canonique. a. L’application f ↦ f ∘j_{1} est une bijection de l’ensemble des morphismes d’algèbres \overline{T} (V) → A

sur l’ensemble des morphismes V → A de M (de degré 0 si M = GrC). L’application inverse associe à g : V → A le morphisme d’algèbres mor(g) : \overline{T} V → A dont la n-ième composante est

V^{⊗n} ⟶^{g^{⊗n}} A^{⊗n} ⟶^{μ^{(n)}} A, n ≥ 1.

b. Soit f, g : A → B deux morphismes d’algèbres. L’application D ↦ D ∘ j_{1} est une bijection de l’ensemble des (f, g)-dérivations sur l’ensemble des morphismes V → A de M. L’application inverse associe à h : V → A la (f, g)-dérivation der(h) : \overline{T} V → A dont dont la n-ième composante est

μ^{(n)} ∘ ( ∑_{l+1+j=n}(f^{⊗l} ⊗ h ⊗ g^{⊗j})) , n ≥ 1.

□

Une algèbre graduée (resp. différentielle graduée) est une algèbre de la catégorie GrC (resp. de la catégorie CC). Nous notons Alg la catégorie des algèbres différentielles graduées. Un morphisme de Alg est un quasi-isomorphisme s’il induit un isomorphisme en homologie. Une algèbre différentielle graduée est presque libre si elle est libre en tant qu’algèbre graduée. Deux morphismes f, g : A → B de Alg sont homotopes s’il existe une (f, g)-dérivation H : A → B graduée de degré −1 telle que

f − g = dH + Hd.

Il résultera de la proposition A.13 appliquée à l’exemple 1.3.1.1 que, si l’algèbre A est presque libre, la relation d’homotopie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des morphismes d’algèbres de A dans B.

Cogèbres

Une cogèbre dans M est la donnée d’un objet C muni d’une comultiplication Δ : C → C ⊗C coassociative, i. e. (Δ ⊗ 1)Δ = (1 ⊗ Δ)Δ. Définissons Δ^{(2)} = Δ et, pour tout n ≥ 3, Δ^{(n)} : C → C^{⊗n} par

Δ^{(n)} = (1^{⊗n−2} ⊗ Δ) ∘ Δ^{(n−1)}.

Soit n ≥ 1. Le noyau C_{[n]} = ker Δ^{(n+1)} est une sous-cogèbre de C; nous l’appelons la sous-cogèbre des n-primitifs de C. La suite croissante de sous-cogèbres

C_{[1]} ⊂ C_{[2]} ⊂ C_{[3]} ⊂ ⋯

est la filtration primitive de la cogèbre C. La cogèbre C est cocomplète si l’on a

colim C_{[i]} = C.

Soit f et g : C → B deux morphismes de cogèbres. Une (f, g)-codérivation est un morphisme D : C → B vérifiant l’identité duale de la règle de Leibniz

Δ ∘ D = (f ⊗ D + D ⊗ g) ∘ Δ.

Une codérivation de C est une (1_{C}, 1_{C})-codérivation.

Soit V un objet de M. La cogèbre tensorielle réduite sur V est l’objet

\overline{T^{c}}V = ⨁_{i≥1} V^{⊗i}

muni de la comultiplication dont la n-ième composante

V^{⊗n} ⟶ ⊕_{i+j=n}V^{⊗i} ⊗ V^{⊗j} ⟶ \overline{T^{c}}V ⊗ \overline{T^{c}}V,

est la somme des morphismes V^{⊗n} → V^{⊗i} ⊗ V^{⊗j} donnés par la contrainte d’associativité de la structure monoïdale de M. Remarquons que si C est isomorphe à une cogèbre tensorielle réduite, elle est isomorphe à \overline{T^{c}}(C_{[1]}). Les cogèbres tensorielles réduites sont cocomplètes.

Lemme 1.1.2.2 (propriété universelle de la cogèbre tensorielle) Soit C une cogèbre cocomplète. Pour n ≥ 1, nous notons p_{n} : \overline{T^{c}}(V) → V^{⊗n} la projection canonique.

a. L’application f ↦ p_{1} ∘ f est une bijection de l’ensemble des morphismes de cogèbres sur l’ensemble des morphismes C → V de M (de degré 0 si M = GrC). L’application inverse associe à g : C → V le morphisme de cogèbres mor(g) : C → \overline{T^{c}}V dont la n-ième composante est

C ⟶^{Δ^{(n)}} C^{⊗n} ⟶^{g^{⊗n}} V^{⊗n}, n ≥ 1.

b. Soit f, g : C → \overline{T^{c}}V deux morphismes de cogèbres. L’application D ↦ p_{1} ∘ D est une bijection de l’ensemble des (f, g)-codérivations C → \overline{T^{c}}V sur l’ensemble des morphismes C → V. L’application inverse associe à h : C → V la (f, g)-codérivation cod(h) : C → \overline{T^{c}}V dont la n-ième composante est

( ∑_{l+1+j=n}(f^{⊗l} ⊗ h ⊗ g^{⊗j})) ∘ Δ^{(n)}, n ≥ 1.

□

Remarque 1.1.2.3 L’isomorphisme canonique

e ⟶^{∼} e ⊗ e

fait de C = e une cogèbre. Elle n’est pas cocomplète. Aucun morphisme non nul C → V ne se relève en un morphisme de cogèbres C → \overline{T^{c}}V.

Nous notons Cog la catégorie des cogèbres différentielles graduées et Cogc la sous-catégorie de Cog formée des cogèbres cocomplètes. Deux morphismes f, g : C → B de cogèbres différentielles graduées sont homotopes s’il existe une (f, g)-codérivation graduée H : C → B de degré −1 telle que

f − g = dH + Hd.

Il résultera du théorème 1.3.1.2 et du lemme A.12 que, si la cogèbre graduée sous-jacente à B est isomorphe à une cogèbre graduée tensorielle réduite, l’homotopie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des morphismes de cogèbres de C dans B.

1.2 : A_{∞}-algèbres et A_{∞}-cogèbres  23

1.2 A_{∞}-algèbres et A_{∞}-cogèbres

1.2.1 Définitions

Définition 1.2.1.1 Soit n un entier ≥ 1. Une A_{n}-algèbre est un objet A de GrC muni d’une famille de morphismes gradués

m_{i} : A^{⊗i} → A, 1 ≤ i ≤ n,

de degré 2 − i vérifiant, pour tout 1 ≤ m ≤ n, l’équation

(∗_{m}) ∑(−1)^{jk+l}m_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = 0

dans Hom_{GrC}(A^{⊗m}, A), où les entiers i, j, k, l sont tels que j + k + l = m et i = j + 1 + l. Une A_{∞}-algèbre (ou algèbre fortement homotopiquement associative) est un objet A de GrC muni de morphismes gradués m_{i} : A^{⊗i} → A, i ≥ 1, de degré 2−i vérifiant l’équation (∗_{m}) pour tout m ≥ 1.

Définition 1.2.1.2 Un A_{n}-morphisme d’A_{n}-algèbres f : A → B est une famille de morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → B, 1 ≤ i ≤ n,

de degré 1 − i vérifiant, pour tout 1 ≤ m ≤ n, l’équation

(∗∗_{m}) ∑(−1)^{jk+l}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = ∑(−1)^{s}m_{r}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}})

dans Hom_{GrC}(A^{⊗m}, B), où les entiers i, j, k, l dans la somme de gauche sont tels que j + k + l = m et i = j + 1 + l et

s = ∑_{2≤u≤r} ((1 − i_{u}) ∑_{1≤v≤u} i_{v}).

Un A_{n}-morphisme f est strict si f_{i} = 0 pour tout i ≥ 2. La composition d’un A_{n}-morphisme f : A → B avec un A_{n}-morphisme g : B → C est définie par

(gf)_{m} = ∑_{r} ∑_{i_{1}+..+i_{r}=m}(−1)^{s}g_{r}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}})

en tant que morphisme de A^{⊗m} sur C, où s est le même signe que précédemment. L’identité de l’A_{n}-algèbre A est le A_{n}-morphisme tel que f_{1} = 1_{A} et f_{i} = 0 si 2 ≤ i ≤ m. Un A_{∞}-morphisme est une famille de morphismes gradués f_{i} : A^{⊗i} → B, i ≥ 1, de degré 1 − i vérifiant l’équation (∗∗_{m}) pour tout m ≥ 1. Pour les A_{∞}-algèbres, les composantes de la composition et de l’identité sont définies par les mêmes formules que pour les A_{n}-algèbres..

Il résultera de la section 1.2.2 qu’on obtient ainsi une catégorie. Notons Alg_{∞} la catégorie des A_{∞}-algèbres. De même, pour tout n ≥ 1, on obtient la catégorie Alg_{n} des A_{n}-algèbres.

Remarque 1.2.1.3 La définition des A_{∞}-algèbres implique les formules suivantes qui expliquent l’autre appellation d’une A_{∞}-algèbre: algèbre fortement homotopiquement associative. L’égalité

(∗_{1}) m_{1} m_{1} = 0

montre que (A, m_{1}) est un complexe. L’égalité

(∗_{2}) m_{1} m_{2} = m_{2} (m_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{1})

de morphismes A^{⊗2} → A signifie que la différentielle m_{1} est une dérivation pour la multiplication m_{2}. L’égalité

(∗_{3}) m_{2}(m_{2} ⊗ 1 − 1 ⊗ m_{2}) = m_{1}m_{3} + m_{3} (m_{1} ⊗ 1 ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ 1 ⊗ m_{1})

de morphismes A^{⊗3} → A exprime que le défaut d’associativité de m_{2} est égal au bord de m_{3} dans le complexe

Hom_{GrC}((A, m_{1})^{⊗3}, (A, m_{1})).

Ceci signifie que l’objet gradué A muni de la multiplication m_{2} est une algèbre dont la multiplication est associative à homotopie près.

De même, la définition d’un A_{∞}-morphisme f : A → B implique les formules suivantes. L’égalité

(∗∗_{1}) f_{1}m_{1} = m_{1}f_{1}

signifie que le morphisme gradué f_{1} est un morphisme de complexes. L’égalité

(∗∗_{2}) f_{1}m_{2} = m_{2} (f_{1} ⊗ f_{1}) + m_{1}f_{2} + f_{2} (m_{1} ⊗ 1 + 1 ⊗ m_{1})

signifie que le défaut de compatibilité de f_{1} aux multiplications de A et B est mesuré par le bord de f_{2} dans

Hom_{GrC}((A, m_{1})^{⊗2}, (B, m_{1})).

Remarque 1.2.1.4 Si (V, d) est un complexe, les morphismes

m_{1} = d, m_{i} = 0 pour i ≥ 2

définissent une structure d’A_{∞}-algèbre sur V. La catégorie CC des complexes est une sous-catégorie non pleine de Alg_{∞}.

Remarque 1.2.1.5 Si ((A, d), m) est une algèbre différentielle graduée, les morphismes

m_{1} = d,  m_{2} = m,  m_{i} = 0 pour i ≥ 3

définissent une structure d’A_{∞}-algèbre sur A. Réciproquement, si dans une A_{∞}-algèbre A, les multiplications m_{i} sont nulles pour i ≥ 3, le complexe (A, m_{1}) muni de la multiplication m_{2} : A ⊗ A → A est une algèbre différentielle graduée. La catégorie Alg des algèbres différentielles graduées est une sous-catégorie non pleine de Alg_{∞}.

Définition 1.2.1.6 Un A_{∞}-quasi-isomorphisme f est un A_{∞}-morphisme tel que f_{1} est un quasiisomorphisme de complexes.

Définition 1.2.1.7 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres. Soit f et g deux A_{∞}-morphismes A → A′. Une homotopie entre f et g est une famille de morphismes

h_{i} : A^{⊗i} → B, 1 ≤ i,

de degré −i vérifiant, pour tout 1 ≤ n, l’équation (∗ ∗ ∗_{n})

\begin{aligned}f_{n} − g_{n} & = & ∑(−1)^{s}m_{r+1+t}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}} ⊗ h_{k} ⊗ g_{j_{1}} ⊗ … ⊗ g_{i_{t}}) \\ & & + ∑(−1)^{jk+l}h_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) \end{aligned}

dans Hom_{GrC}(A^{⊗n}, B), où la somme des entiers i_{1}, … i_{r}, k, j_{1}, … j_{t} vaut n, où j + k + l = n et où

s = t + ∑_{1≤α≤t}(1 − j_{α})(n − ∑_{u≥α} j_{u}) + k ∑_{1≤u≤r} i_{u} + ∑_{2≤α≤r}(1 − i_{α}) ∑_{u<α} i_{u}.

Deux A_{∞}-morphismes d’A_{∞}-algèbres f et g sont homotopes si il existe une homotopie entre f et g.

Définition 1.2.1.8 Une A_{∞}-cogèbre (ou cogèbre fortement homotopiquement co-associative) est un objet C de GrC muni d’une famille de morphismes gradués

Δ_{i} : C → C^{⊗i}, i ≥ 1,

de degré 2 − i telle que le morphisme

S^{−1}C ⟶ ∏_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i}

dont les composantes sont les

−ω^{⊗i} ∘ Δ_{i} ∘ s (où ω = s^{−1})

se factorise par le monomorphisme

⨁_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i} ⟶ ∏_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i}

et que, pour tout m ≥ 1, on a

∑(−1)^{i+jk}(1^{⊗i} ⊗ Δ_{j} ⊗ 1^{⊗k})Δ_{l} = 0,

où les les entiers i, j, k, l dans la somme de gauche sont tels que i + j + k = m et l = i + 1 + k. La construction cobar ci-dessous permettra de mieux comprendre cette définition.

1.2.2 Constructions bar et cobar

La construction bar est due à S. Eilenberg et S. Mac Lane [EML53] pour les algèbres différentielles graduées (voir aussi [Car55]) et à J. Stasheff [Sta63b] pour les A_{∞}-algèbres. Elle permet, entre autres, de reformuler la définition des A_{∞}-structures. Elle donne aussi une explication (1.2.2.2) des signes apparaissant dans les équations (∗_{m}) de la définition des A_{∞}-algèbres. La construction cobar est l’analogue de la construction bar dans le cas des A_{∞}-cogèbres [Ada56].

Construction bar

Soit A un objet gradué. Soit une famille de morphismes gradués

m_{i} : A^{⊗i} → A, i ≥ 1,

de degré 2 − i. Pour tout i ≥ 1, nous définissons une bijection

Hom_{GrC}(A^{⊗i}, A) → Hom_{GrC}((SA)^{⊗i}, SA)
m_{i} ↦ b_{i}

par la relation

b_{i} = −s ∘ m_{i} ∘ ω^{⊗i}  où  ω = s^{−1}.

Remarquons que le morphisme b_{i} est de degré +1.

Soit \overline{T^{c}}(SA) la cogèbre tensorielle réduite graduée sur SA. En vertu du lemme 1.1.2.2, le morphisme

⨁_{i≥1}(SA)^{⊗i} → SA

de composantes les b_{i} se relève en une unique codérivation

b : \overline{T^{c}}(SA) ⟶ \overline{T^{c}}(SA).

Lemme 1.2.2.1 (J. Stasheff [Sta63b]) Les propositions suivantes sont équivalentes :

a. Les m_{i} définissent une structure de A_{∞}-algèbre sur A.

b. Pour chaque m ≥ 1, l’équation suivante est vérifiée

∑_{\begin{matrix}j+k+l=m \\ j+1+l=i \end{matrix}} b_{i}(1^{⊗j} ⊗ b_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = 0.

c. La codérivation b est une différentielle, i. e. b^{2} = 0.

Démonstration : L’équivalence entre les deux premiers points résulte des égalités suivantes dans Hom_{GrC}(A^{⊗i}, SA)

b_{i} ∘ (1^{⊗j} ⊗ b_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = sm_{i}ω^{⊗i} ∘ (1^{⊗j} ⊗ sm_{k}ω^{⊗k} ⊗ 1^{⊗l})
= (−1)^{l} sm_{i} ∘ (ω^{⊗j} ⊗ (m_{k} ∘ ω^{⊗k}) ⊗ ω^{⊗l})
= (−1)^{l+jk} sm_{i} ∘ (1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) ∘ ω^{⊗n}.

Comme la codérivation b est de degré impair, son carré est encore une codérivation. Par le lemme 1.1.2.2, nous avons donc b^{2} = 0 si et seulement si p_{1}b^{2} = 0. Ceci montre l’équivalence des deux derniers points. □

Remarque 1.2.2.2 (signes) Le choix de la bijection m_{i} ↔ b_{i} n’est pas canonique. Un autre choix donnerait d’autres signes dans les équations (∗_{m}) de la définition 1.2.1.1.

Définition 1.2.2.3 La cogèbre différentielle graduée (\overline{T^{c}}(SA), b) associée à une A_{∞}-algèbre A est notée BA et s’appelle la construction bar de A.

Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres. Pour tout i ≥ 1, nous définissons une bijection

Hom_{GrC}(A^{⊗i}, A′) → Hom_{GrC}((SA)^{⊗i}, SA′)

par la relation

ω ∘ F_{i} = (−1)^{|F_{i}|}f_{i} ∘ ω^{⊗i}

où F_{i} est un morphisme gradué de degré |F_{i}|. Soit une famille de morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → A′, i ≥ 1,

de degré 1 − i. Soit

F : BA ⟶ BA′

le morphisme de cogèbres graduées qui relève le morphisme

⨁_{i≥1}(SA)^{⊗i} ⟶ SA′

de composantes les F_{i}. Une démonstration similaire à celle du lemme 1.2.2.1 montre que les f_{i} définissent un morphisme d’A_{∞}-algèbres si et seulement si F est compatibles aux différentielles. Ainsi, les équations (∗∗_{m}) sont la traduction du fait que la (F, F)-codérivation F ∘ b_{BA} − b_{BA′} ∘ F s’annule.

Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres. Soit f et g deux A_{∞}-morphismes d’A_{∞}-algèbres. Notons F et G les morphismes de cogèbres BA → BA′ correspondant à f et g. Soit H : BA → BA′ une (F, G)-codérivation de degré −1. Elle est déterminée (1.1.2.2) par sa composée avec la projection sur SA′

p_{1} ∘ H : BA → SA′.

dont les composantes sont notées

H_{i} : (SA)^{⊗i} → SA′, i ≥ 1.

Les bijections F_{i} ↔ f_{i} envoient les morphismes H_{i} sur des morphismes h_{i} : A^{⊗i} → A′, i ≥ 1. Ceci définit une bijection de l’ensemble des (F, G)-codérivations de degré −1 vers le produit des espaces de morphismes gradués A^{⊗i} → A′, i ≥ 1, de degré −i. Cette bijection envoie une homotopie H : BA → BA′ entre les morphismes de cogèbres F et G sur l’homotopie entre les A_{∞}-morphismes f et g définie par la famille

h_{i} : A^{⊗i} → A′, i ≥ 1.

Les équations (∗ ∗ ∗_{m}) de la définition 1.2.1.7 sont la traduction de l’équation F − G = δ(H).

On obtient ainsi un foncteur B : Alg_{∞} → Cogc appelé le foncteur construction bar. Il envoie des A_{∞}-morphismes homotopes sur des morphismes homotopes de cogèbres. La construction bar induit une équivalence entre la catégorie des A_{∞}-algèbres et la sous-catégorie pleine de Cogc formée des cogèbres différentielles graduées dont la cogèbre graduée sous-jacente est isomorphe à une cogèbre graduée tensorielle réduite.

Soit V un objet gradué et n ≥ 1. La sous-cogèbre des n-primitifs de \overline{T^{c}}V a pour espace gradué sous-jacent

⨁_{1≤i≤n} V^{⊗i}.

Nous notons \overline{T_{[n]}^{c}}V cette cogèbre. Un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire pour les A_{∞}-algèbres permet de construire un foncteur pleinement fidèle

B_{n} : Alg_{n} → Cogc

qui envoie une A_{n}-algèbre A sur la cogèbre différentielle graduée (\overline{T_{[n]}^{c}}(SA), b), où b est la différentielle construite à l’aide de la bijection b_{i} ↔ m_{i}.

Construction cobar

Soit C un objet gradué. Pour i ≥ 1, définissons la bijection

Hom_{GrC}(C, C^{⊗i}) ⟶^{∼} Hom_{GrC}(S^{−1}C, (S^{−1}C)^{⊗i})
Δ_{i} ↦ D_{i}

par la relation

D_{i} = −ω^{⊗i} ∘ Δ_{i} ∘ s.

Soit une famille de morphismes gradués

Δ_{i} : C → C^{⊗i}, i ≥ 1,

de degré 2 − i telle que le morphisme

S^{−1}C ⟶ ∏_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i}

dont les composantes sont les D_{i}, i ≥ 1, se factorise par le monomorphisme

⨁_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i} ⟶ ∏_{i≥1}(S^{−1}C)^{⊗i}.

Grâce au lemme 1.1.2.1, le morphisme gradué S^{−1}C → \overline{T} S^{−1}C obtenue ainsi s’étend en une unique dérivation d’algèbres de \overline{T} S^{−1}C. A l’aide du lemme 1.1.2.1, nous montrons qu’on a D^{2} = 0 si et seulement si les Δ_{i} définissent une structure d’A_{∞}-cogèbre sur C. Ainsi, les différentielles de l’algèbre \overline{T} S^{−1}C sont en bijection avec les structures d’A_{∞}-cogèbre sur l’objet gradué C.

Définition 1.2.2.4 On note ΩC l’algèbre différentielle graduée (\overline{T} S^{−1}C, D) associée à une A_{∞}- cogèbre C. Elle s’appelle la construction cobar de C.

La catégorie Cog_{∞} des A_{∞}-cogèbres a pour objets les A_{∞}-cogèbres. On définit ses morphismes de telle manière que la construction cobar

Ω : Cog_{∞} ⟶ Alg

devienne un foncteur pleinement fidèle. La catégorie des cogèbres différentielles graduées s’identifie alors à une sous-catégorie (non pleine) de la catégorie des A_{∞}-cogèbres.

On note encore B (resp. Ω) la restriction de la construction bar (resp. cobar) aux algèbres (resp. cogèbres cocomplètes) différentielles graduées.

Lemme 1.2.2.5 Le foncteur Ω : Cogc → Alg est adjoint à gauche au foncteur B : Alg → Cogc.

Démonstration : Ce lemme est bien connu. Soit A une algèbre et C une cogèbre cocomplète. Il s’agit de montrer que nous avons un isomorphisme fonctoriel

Hom_{Cogc}(C, BA) ⟶^{∼} Hom_{Alg}(ΩC, A).

Soit F : C → BA un morphisme de cogèbres. Comme BA est une cogèbre tensorielle réduite en tant que cogèbre graduée, la donnée de F équivaut (1.1.2.2) à celle de

f = p_{1}F : C → SA.

Posons τ = ω ∘ f. La condition d_{BA} ∘ F − F ∘ d_{C} = 0 se traduit par le fait que τ est une cochaîne tordante, c’est-à-dire que l’on a

d_{A} ∘ τ + τ ∘ d_{C} + m ∘ τ^{⊗2} ∘ Δ = 0.

Le morphisme gradué f′ = τ ∘ s s’étend de manière unique (1.1.2.1) en un morphisme d’algèbres F′ : ΩC → A car ΩC est libre sur S^{−1}C en tant qu’algèbre graduée. La compatibilité de F′ à la différentielle est équivalente au fait que τ est une cochaîne tordante. □

1.3 Cogc comme catégorie de modèles

Plan de la section

Cette section est divisée en cinq sous-sections.

Dans la première sous-section (1.3.1), nous rappelons [Hin97] la structure de catégorie de modèles sur la catégorie Alg des algèbres différentielles graduées. Nous énonçons le théorème principal (1.3.1.2) et en déduisons théorème des A_{∞}-quasi-isomorphismes (1.3.1.3. a) et le théorème de l’homotopie (1.3.1.3. b).

Dans la deuxième sous-section 1.3.1, nous montrons le théorème principal (1.3.1.2). Pour la caractérisation des objets fibrants de Cogc, nous aurons besoin de certains résultats de la soussection suivante.

Dans la sous-section 1.3.3, nous montrons que la catégorie Alg_{∞} admet une structure de “catégorie de modèles sans limites” (1.3.3.1). Nous montrons ensuite que la construction bar B : Alg_{∞} → Cogc est compatible aux structures de catégorie de modèles (“sans limites”) de Alg_{∞} et Cogc (1.3.3.5).

Dans la sous-section 1.3.4, nous comparons l’homotopie à gauche (au sens des catégories de modèles) avec l’homotopie “au sens classique” sur les morphismes de cogèbres différentielles graduées cocomplètes.

Dans la sous-section 1.3.5, nous comparons les équivalences faibles de Cogc avec les quasiisomorphismes de Cogc.

1.3.1 Le théorème principal

Le lecteur qui n’est pas familier avec les catégories de modèles au sens de Quillen trouvera dans l’appendice A quelques rappels de certains énoncés clefs et les références classiques.

La catégorie de modèles Alg

Dans la catégorie Alg des algèbres différentielles Z-graduées (1.1.2), considérons les trois classes de morphismes suivantes :

- la classe Qis des quasi-isomorphismes,

- la classe Fib des morphismes f : A → B tels que f^{n} est un épimorphisme pour tout n ∈ Z,

- la classe Cof des morphismes qui ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux morphismes appartenant à Qis ∩ Fib.

Soit E l’une des sous-catégories pleines de Alg dont les objets sont respectivement (I) les algèbres A telles que A^{p} = 0 pour tout p > 0, (II) les algèbres A telles que A^{p} = 0 pour tout p ≤ 0. H. Munkholm a démontré dans [Mun78] que E devient une catégorie de modèles si on la munit de E ∩ Qis, E ∩ Fib et de la classe des morphismes de E qui ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux morphismes de E ∩ Qis ∩ Fib. Le résultat de H. Munkholm a été renforcé par V. Hinich :

Théorème 1.3.1.1 (Hinich [Hin97]) La catégorie Alg munie des classes de morphismes définies ci-dessus est une catégorie de modèles. Les algèbres cofibrantes sont les algèbres qui sont isomorphes à une algèbre presque libre. Toutes les algèbres sont fibrantes. □

Le cas plus général où l’anneau de base n’est pas un corps est dû à J. F. Jardine [Jar97]. S. Schwede et B. Shipley [SS00] ont généralisé ces résultats à des catégories d’algèbres dans des catégories de modèles monoïdales^{1}.

Le théorème principal et ses conséquences

Dans la catégorie Cogc des cogèbres cocomplètes différentielles graduées, nous considérons les trois classes de morphismes suivantes :

- la classe Eq des équivalences faibles est formée des morphismes f : C → D tels que ΩF : ΩC → ΩD est un quasi-isomorphisme d’algèbres,

- la classe Cof des cofibrations est formée des morphismes f : C → D qui, en tant que morphismes de complexes, sont des monomorphismes,

- la classe Fib des fibrations est formée des morphismes qui ont la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales.

Il s’avère que la classe des équivalences faibles est strictement incluse dans la classe des quasiisomorphismes de cogèbres (voir 1.3.5). De l’autre côté, il est bien connu (et nous le redémontrerons, voir la proposition 1.3.5.1) qu’un quasi-isomorphisme entre cogèbres cocomplètes est une équivalence faible si les deux cogèbres sont concentrées en degrés < −1 ou en degrés ≥ 0.

Théorème 1.3.1.2 a. La catégorie Cogc munie des trois classes de morphismes ci-dessus est une catégorie de modèles. Tous ses objets sont cofibrants. Un objet de Cogc est fibrant si et seulement si sa cogèbre graduée sous-jacente est isomorphe à une cogèbre tensorielle réduite.

b. Munissons la catégorie Alg de la structure de catégorie de modèles du théorème 1.3.1.1. La paire de foncteurs adjoints (Ω, B) de Cogc dans Alg est une équivalence de Quillen.

1“monoïdales” se rapporte à “catégories” (”modèle” est masculin).

Démonstration : Voir la section suivante 1.3.2. □

Le point b du théorème renforce des théorèmes classiques (voir [Moo71], [HMS74, th. 4.4 et 4.5]). Il semble être nouveau sous la forme que nous donnons. Notre démonstration est une adaptation de celle de Hinich [Hin01], basée à son tour sur celle de Quillen [Qui69]. Le fait que les foncteurs bar et cobar induisent des équivalences inverses l’une de l’autre dans les catégories homotopiques est non trivial mais sa démonstration n’est pas très difficile. Déduisons maintenant, grâce aux techniques d’algèbre homotopique de Quillen (voir appendice A) le théorème des A_{∞}-quasi-isomorphismes, le théorème de l’homotopie et la généralisation du théorème [Mun78, Thm. 6.2] de H. J. Munkholm.

Corollaire 1.3.1.3 a. La relation d’homotopie (voir 1.2.1.7) dans Alg_{∞} est une relation d’équivalence.

b. Un quasi-isomorphisme d’A_{∞}-algèbres est une équivalence d’homotopie (i. e. un isomorphisme dans la catégorie quotient de Alg_{∞} par la relation d’homotopie).

c. Soit dash la sous-catégorie pleine de Alg_{∞} formée des algèbres différentielles graduées. Notons ∼ la relation d’homotopie sur dash. L’inclusion Alg ↪ dash induit une équivalence

Alg[Qis^{−1}] ⟶^{∼} dash/∼ .

L’idée du point c remonte à J. Stasheff et S. Halperin [SH70]. Il a été démontré sous les conditions (I) ou (II) (voir en haut de cette section) par H. J. Munkholm [Mun78]. Les points a et b sont connus (surtout parmi les spécialistes de l’homotopie rationnelle) depuis le début des années 80, au moins pour des A_{∞}-algèbres connexes (i. e. concentrées en degrés homologiques ≥ 1), voir par exemple A. Prouté [Pro85, chap. 4] ou T. V. Kadeishvili [Kad87].

Démonstration : Par la section 1.2.2, nous savons que deux morphismes d’A_{∞}-algèbres

f, g : A → A′

sont homotopes si et seulement si Bf et Bg sont des morphismes de cogèbres homotopes. Par le théorème principal (1.3.1.2), la cogèbre BA′ est fibrante dans Cogc et tout objet de Cogc est cofibrant. Acceptons provisoirement (voir 1.3.4.1 plus bas) le résultat suivant : la relation d’homotopie au sens classique sur Hom_{Cogc}(BA, BA′) est égale à la relation d’homotopie à gauche pour la catégorie de modèles Cogc.

a. C’est le lemme A.12 appliqué à la catégorie de modèles fermée Cogc.

b. Un A_{∞}-quasi-isomorphisme f : A → A′ induit (voir 1.3.3.5 plus bas) un morphisme

Bf : BA → BA′,

qui est une équivalence faible de Cogc entre objets fibrants et cofibrants. Il est donc inversible à homotopie près dans Cogc (voir la proposition A.13).

c. Par le théorème principal 1.3.1.2, le foncteur B induit une équivalence

Alg[Qis^{−1}] = Ho Alg ⟶^{∼} Ho Cogc.

Nous avons l’équivalence (voir A.13)

Cogc_{cf}/∼ ⟶^{∼} Ho Cogc.

Le foncteur B prend ses valeurs dans Cogc_{cf}. Il induit donc une équivalence

Alg[Qis^{−1}] ⟶^{∼} Cogc_{cf}/∼ .

Son image est isomorphe à dash/∼. □

1.3.2 Démonstration du théorème principal

Notre démonstration du théorème principal 1.3.1.2 nécessite l’étude préalable des algèbres et des cogèbres filtrées.

Objets filtrés

Soit M l’une des catégories GrC ou CC. Une filtration d’un objet X de M est une suite croissante

X_{0} ⊂ X_{1} ⊂ ⋯ ⊂ X_{i} ⊂ X_{i+1} ⊂ ⋯, i ∈ N

de sous-objets de X. Elle est exhaustive si l’on a

colim X_{i} = X.

Elle est admissible si elle est exhaustive et si X_{0} = 0. Un objet filtré de M est un objet de M muni d’une filtration. Soit X et Y deux objets filtrés. L’objet gradué GrX associé à X est défini par la suite d’objets de M

Gr_{0} = X_{0}, Gr_{i}X = X_{i}/X_{i−1}, i ≥ 1.

Un morphisme f : X → Y de M est un morphisme d’objets filtrés si on a

f(X_{i}) ⊂ Y_{i}

pour tout i ∈ N. Le produit tensoriel X ⊗ Y est muni de la filtration définie par la suite

(X ⊗ Y)_{i} = ∑_{p+q=i} X_{p} ⊗ Y_{q}, i ∈ N.

Ceci munit la catégorie des objets filtrés de M d’une structure de catégorie monoïdale dont l’élément neutre est l’objet e muni de la filtration e_{i} = e, i ∈ N. La suspension SX de l’objet de M sousjacent à X est munie de la filtration donnée par (SM)_{i} = SM_{i}, i ∈ N.

Un complexe filtré est un objet filtré de CC.

Définition 1.3.2.1 Soit X et Y deux complexes filtrés. Un morphisme f : X → Y est un quasiisomorphisme filtré si les morphismes

Gr_{i}C → Gr_{i}D, i ∈ N,

induits par f sont des quasi-isomorphismes de complexes.

Une algèbre filtrée (resp. cogèbre filtrée) est une algèbre (resp. cogèbre) dans la catégorie des complexes filtrés. Une cogèbre filtrée admissible est une cogèbre C munie d’une filtration admissible. Notons qu’on a alors

ΔC_{i+1} ⊂ C_{i} ⊗ C_{i}, i ∈ N.

Nous montrerons (1.3.2.2) que tout quasi-isomorphisme filtré entre cogèbres filtrées admissibles est une équivalence faible de Cogc.

Soit C une cogèbre filtrée, cocomplète en tant que cogèbre. La filtration de C induit une filtration sur chaque puissance tensorielle de S^{−1}C. Nous obtenons ainsi une filtration d’algèbre sur la construction cobar ΩC. Soit C et D deux cogèbres filtrées cocomplètes. Munissons les constructions cobar ΩC et ΩD des filtrations induites par celles de C et D. La construction cobar envoie un morphisme de cogèbres filtrées f : C → D sur un morphisme d’algèbres filtrées Ωf : ΩC → ΩD.

Soit A une algèbre filtrée. La filtration de A induit une filtration de cogèbre sur la construction bar BA de A. Soit A et A′ deux algèbres filtrées. Munissons les constructions bar BA et BA′ des filtrations induites par celles de A et de A′. La construction bar envoie un morphisme d’algèbres filtrées f : A → A′ sur un morphisme de cogèbres filtrées Bf : BA → BA′.

Soit C une cogèbre cocomplète. La filtration primitive de la cogèbre C est définie par la suite des sous-cogèbres des i-primitifs C_{[i]}, i ≥ 1, complétée par C_{[0]} = 0. Comme la catégorie de base C est semi-simple, la filtration primitive de C est une filtration de cogèbre. Elle est admissible et induit une filtration sur ΩC, qui induit une filtration sur la construction bar BΩC. Nous appelons cette dernière filtration la filtration C-primitive de BΩC.

Lemme 1.3.2.2 Un quasi-isomorphisme filtré de cogèbres filtrées admissibles est une équivalence faible.

Démonstration : Soit C et D deux cogèbres admissibles et f : C → D un quasi-isomorphisme filtré. Nous allons montrer que le morphisme d’algèbre

Ωf : ΩC → ΩD

est un quasi-isomorphisme filtré pour les filtrations de ΩC et ΩD induites par celles de C et D. On rappelle que la différentielle de ΩC est l’unique codérivation d qui relève le morphisme

S^{−1}C → ΩC

de composantes non nulles ωd_{C}s et ωΔs^{⊗2}. Munissons ΩC de la filtration induite par celle de C. Soit i ≥ 1. Comme la filtration de C est admissible, Gr_{i}(C^{⊗j}) = 0 si j > i. Munissons

Gr_{i}ΩC = Gr_{i}( ⨁_{1≤j≤i} C^{⊗j})

de la filtration

F_{l} = Gr_{i}( ⨁_{i−l≤j≤i} C^{⊗j}), l ≥ 0.

La contribution de ωΔs^{⊗2} dans la différentielle d de Gr_{i}ΩC fait décroître la filtration. Ainsi, seul le morphisme ωd_{C}s contribue à la différentielle de l’objet gradué associé au F_{l}, l ≥ 1. Le morphisme

Gr_{i}ΩC ⟶ Gr_{i}ΩD

est filtré pour cette filtration et il induit clairement un quasi-isomorphisme dans les objets gradués. □ Lemme 1.3.2.3 a. Soit A et A′ deux algèbres différentielles graduées. La construction bar

envoie un quasi-isomorphisme d’algèbres f : A → A′ sur un quasi-isomorphisme filtré f : BA → BA′ pour la filtration primitive.

b. Soit A une algèbre différentielle graduée. Le morphisme d’adjonction

ϕ : ΩBA ⟶ A

est un quasi-isomorphisme d’algèbres.

c. Soit C une cogèbre cocomplète. Munissons C de la filtration primitive et BΩC de la filtration C-primitive. Le morphisme d’adjonction

ψ : C ⟶ BΩC

est un quasi-isomorphisme filtré.

Démonstration : a. La filtration primitive de BA a pour objet gradué associé

Gr_{i}(BA) = (SA)^{⊗i}, i ∈ N.

Par le théorème de Künneth, un quasi-isomorphisme f : A → A′ induit un quasi-isomorphisme dans ces sous-quotients.

b. Nous allons donner des filtrations exhaustives sur A et ΩBA de façon à ce que le morphisme d’adjonction devienne un quasi-isomorphisme filtré. Soit la filtration de A définie par A_{i} = A, i ≥ 1 et A_{0} = 0. Munissons ΩBA de la filtration induite par la filtration primitive de BA. Le morphisme d’adjonction

ϕ : ΩBA ⟶ A

est clairement un morphisme filtré. Il induit un morphisme

Gr_{i}(ΩBA) ⟶ Gr_{i}A, i ∈ N,

dans les objets gradués qui est l’identité de A si i = 1, et qui est nul si i ≥ 2. Pour montrer que le morphisme d’adjonction est un quasi-isomorphisme, il suffit donc de montrer que, pour i ≥ 2, le complexe Gr_{i}(ΩBA) est contractile. Soit le complexe V = SA. Remarquons que nous avons un isomorphisme de complexes

⨁_{i≥1} Gr_{i}(ΩBA) ⟶^{∼} Ω\overline{T^{c}}V

qui identifie à la composante Gr_{i}(ΩBA), i ≥ 1, à la somme des

S^{−1}V^{⊗i_{1}} ⊗ … ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{k}} ⊂ (S^{−1}\overline{T^{c}}V)^{⊗k},

où k ≥ 1 et où i_{1} + … + i_{k} = i. Soit i ≥ 2. Soit le morphisme gradué r : Gr_{i}(ΩBA) → Gr_{i}(ΩBA) de degré −1 donné par les morphismes

S^{−1}V^{⊗i_{1}} ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{k}} → S^{−1}V^{⊗i_{1}+i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{k}}

que nous définissons comme nuls si i_{1} ≠ 1 et valant η ∘ (s ⊗ 1^{⊗k}) sinon ; ici η est l’isomorphisme naturel

V ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{k}} ⟶^{∼} S^{−1}V^{⊗1+i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}V^{⊗i_{k}}.

Nous vérifions que le morphisme gradué r est une homotopie contractante du complexe Gr_{i}(ΩBA). c. Nous devons montrer que le morphisme de complexes

ψ : GrC → Gr(BΩC)

est un quasi-isomorphisme. Posons W = Gr(S^{−1}C). Comme C est admissible, la comultiplication de GrC est nulle et

Gr(BΩC) ⟶^{∼} BΩ(GrC)

est la somme des complexes

V_{i} = ⨁ SW^{⊗i_{1}} ⊗ … ⊗ SW^{⊗i_{k}}, i ≥ 1,

où k ≥ 1 et i_{1} + … + i_{k} = i. La composée du morphisme

GrC → GrBΩC

avec la projection sur les V_{i} est nulle si i ≥ 2 et c’est l’identité de GrC si i = 1. Il reste à montrer que V_{i} est contractile pour i ≥ 2. Soit i ≥ 2. Soit r : V_{i} → V_{i} le morphisme gradué de degré −1 défini par les morphismes

\xymatrix{SW^{⊗i_{1}+i_{2}} ⊗ … ⊗ SW^{⊗i_{k}} \ar[r] & SW^{⊗i_{1}} ⊗ SW^{⊗i_{2}} ⊗ … ⊗ SW^{⊗i_{k}}}

que nous définissons comme nuls si i_{1} ≠ 1 et, comme η ∘(s⊗1^{⊗i−1}) sinon ; ici η est l’isomorphisme naturel

S^{−1}W^{⊗1+i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}W^{⊗i_{k}} ⟶^{∼} W ⊗ S^{−1}W^{⊗i_{2}} ⊗ … ⊗ S^{−1}W^{⊗i_{k}}.

Nous vérifions que le morphisme r est une homotopie contractante de V_{i}. □

Démonstration du théorème principal 1.3.1.2

Commençons par quelques lemmes préliminaires.

Lemme 1.3.2.4 Soit C une cogèbre et C′ une sous-cogèbre de C telle que ΔC ⊂ C′ ⊗ C′. La construction cobar envoie l’inclusion C′ ↪ C sur une cofibration standard (1.3.2.5).

Pour démontrer ce lemme et le suivant, nous aurons besoin de la description suivante [Hin97] des cofibrations de Alg : notons A^{♯} le complexe sous-jacent à une algèbre différentielle graduée A et F V = \overline{T} V l’algèbre différentielle graduée libre sur le complexe V. Soit A une algèbre différentielle graduée et M un complexe. Soit α : M → A^{♯} un morphisme de complexes. On note C(α) le cône de α dans la catégorie CC. Notons A⟨M, α⟩ la colimite dans Alg du diagramme

A ← F (A^{♯}) → F C(α).

Définition 1.3.2.5 Un morphisme f : A → B est une cofibration standard s’il est la colimite d’une suite de morphismes composés

A = A_{0} → A_{1} → … → A_{n−1} → A_{n}, n ≥ 1,

où toutes les flèches A_{i} → A_{i+1} sont données par les morphismes canoniques

A_{i} → A_{i}⟨M_{i}, α_{i}⟩ = A_{i+1}

pour des morphismes de complexes α_{i} : M_{i} → A_{i}^{♯}. Une cofibration standard triviale est une cofibration standard telle que tous les complexes M_{i} sont contractiles (i. e. isomorphes à 0 dans HC.)

Les faits suivants sont démontrés dans [Hin97] : Toute cofibration est rétract d’une cofibration standard. De même, toute cofibration triviale est rétract d’une cofibration standard triviale.

Démonstration du lemme 1.3.2.4 : Soit E le conoyau dans la catégorie des complexes de l’inclusion C′ ↪ C. Choisissons une section de C → E dans la catégorie graduée pour obtenir un isomorphisme

C′ ⊕ E ⟶^{∼} C

d’objets gradués. En tant qu’algèbre graduée, la construction cobar ΩC = Ω(C′⊕E) est isomorphe au coproduit d’algèbres graduées

F S^{−1}C′ ⨿ F S^{−1}E,

où F = \overline{T} comme dans (1.3.1). La différentielle de ΩC est induite par la comultiplication de C et la différentielle du complexe C. Selon la décomposition C = C′ ⊕ E, la comultiplication de C est donnée par deux composantes

Δ_{C′} : C′ → C′ ⊗ C′ et Δ_{E} : E → C′ ⊗ C′,

et la différentielle de C est donnée par la différentielle de C′, celle de E et un morphisme gradué d : E → C′ de degré +1. Soit le morphisme de complexes

[D_{1}, D_{2}] : S^{−2}E ⟶ S^{−1}C′ ⊕ (S^{−1}C′ ⊗ S^{−1}C′)

dont les composantes sont définies par s^{⊗2} ∘ D_{2} = Δ_{E} ∘ s^{2} et par s ∘ D_{1} = d ∘ s^{2}. Nous notons

D : S^{−2}E ⟶ F S^{−1}C′ ⨿ F S^{−1}E

sa composition avec l’injection de S^{−1}C′ ⊕ (S^{−1}C′ ⊗ S^{−1}C′) dans F S^{−1}C′ ⨿ F S^{−1}E. Par construction, l’algèbre différentielle graduée

ΩC′⟨S^{−2}E, D⟩

est l’algèbre graduée F S^{−1}C′ ⨿ F S^{−1}E dont la différentielle est induite par la comultiplication de C′, les différentielles des complexes C′ et E, le morphisme Δ_{E} et le morphisme d. Elle est donc isomorphe à ΩC en tant qu’algèbre différentielle graduée. □

Lemme 1.3.2.6 a. La construction cobar préserve les cofibrations et les équivalences faibles.

b. La construction bar préserve les fibrations et les équivalences faibles.

Démonstration : a. Soit i : C ↣ D une cofibration de cogèbres. Soit la filtration de D définie par la suite des D_{i} = i(C) + D_{[i]}, i ∈ N. Remarquons que D_{0} est isomorphe à C et que, pour tout i ≥ 1, on a

Δ(D_{i+1}) ⊂ D_{i} ⊗ D_{i}.

Nous pouvons donc appliquer le lemme 1.3.2.4. Il certifie que ΩD_{i} → ΩD_{i+1} est une cofibration standard. Le morphisme ΩC → ΩD est la composition dénombrable des cofibrations standard ΩD_{i} ↣ ΩD_{i+1}. Il est donc aussi une cofibration standard. La construction cobar préserve les équivalences faibles par définition des équivalences faibles de Cogc.

b. Soit p : A ↠ A′ une fibration d’algèbres. Le morphisme Bf est une fibration s’il vérifie la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales i : C → D de cogèbres.

Grâce à l’adjonction entre les constructions bar et cobar, cette propriété est équivalente au fait que Ωi ait la propriété de relèvement à gauche par rapport à p. Mais ceci est toujours vrai par le point a. Le morphisme Bf est donc une fibration de Cogc.

Soit f : A ⟶^{∼} A′ un quasi-isomorphisme d’algèbres. Nous voulons montrer que Bf est une équivalence faible, c’est-à-dire que ΩBf est un quasi-isomorphisme. Grâce au point b du lemme 1.3.2.3, les flèches verticales du diagramme commutatif

\xymatrix{A \ar[r]^{f} & A′ \\ ΩBA \ar[u] \ar[r] & ΩBA′ \ar[u]}

sont des quasi-isomorphismes. Par la propriété de saturation des quasi-isomorphismes, le morphisme ΩBf est aussi un quasi-isomorphisme. □

Démonstration du point a du théorème 1.3.1.2 :

(CM1) Les colimites de diagrammes finis de cogèbres sont données par les colimites des diagrammes de complexes sous-jacents. Les constructions de produits et d’égalisateurs dans la catégorie des cogèbres cocomplètes sont duales de celles de coproduits et de co-égalisateur dans la catégorie des algèbres, qui sont décrites dans [Mun78, 3.3].

(CM2) Ceci est une conséquence de la définition des équivalences faibles et de l’axiome (CM2) pour la structure de catégorie de modèles sur Alg.

(CM3) Les cofibrations sont stables par rétract car elles sont les monomorphismes. Les équivalences faibles aussi car le foncteur Ω envoie un rétract sur un rétract. Pour les fibrations, on rappelle qu’un morphisme p est une fibration s’il a la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales. On vérifie qu’un rétract d’un tel morphisme p a la même propriété de relèvement.

(CM4) Après (CM5).

(CM5) factorisation : Soit f : C → D un morphisme de Cogc. Par l’axiome (CM5) pour la structure de catégorie de modèles sur Alg, nous avons une factorisation de Ωf en

[figure: ΩC; i; f; ΩD; A,; p]

où la cofibration i (resp. la fibration p) de Alg est un quasi-isomorphisme. Ainsi, le morphisme BΩf : BΩC → BΩD se factorise en Bp ∘ Bi. Soit le diagramme suivant dans Cogc

[figure: BA ∏_{BΩD} D; q; cart.; C; f; ∈Eq; D; ∈Eq; BA; Bp; BΩC; Bi; BΩf; BΩD.]

Comme il est commutatif, le morphisme f : C → D et la composition

C → BΩC ⟶^{Bi} BA

déterminent un morphisme ĩ: C → BA ∏_{BΩD} D. Nous allons montrer que

\xymatrix{ & BA ∏_{BΩD} D \ar[dr]^{q} \\ C \ar[ur]^{ĩ} \ar[rr]_{f} &  & D}

fournit une factorisation du morphisme f dans Cogc, où ĩ est une cofibration et q est une fibration. Nous montrerons ensuite que la cofibration ĩ (resp. la fibration q) est triviale.

D’après le point b du lemme 1.3.2.6, le morphisme Bp est une fibration dans Cogc. La projection q : BA ∏_{BΩD} D → D est aussi une fibration car les fibrations sont stables par changement de base. Admettons pour l’instant que nous savons que BA ∏_{BΩD} D → BA est cofibration (voir le lemme 1.3.2.7 ci-dessous). Le morphisme ĩ est un monomorphisme (c’est-à-dire une équivalence faible dans Cogc) puisque la composition

C → BΩC ⟶^{Bi} BA

en est une. Il reste à montrer que la cofibration ĩ(resp. la fibration q) est une équivalence faible dans Cogc. Admettons pour l’instant que nous savons que BA ∏_{BΩD} D → BA est équivalence faible (voir le lemme 1.3.2.7 ci-dessous). Nous savons par le point b du lemme 1.3.2.6 que le morphisme Bi (resp. Bp) est une équivalence faible. Comme le morphisme C → BΩC (resp. D → BΩD) est une équivalence faible, ĩ (resp. q) en est aussi une par la propriété de saturation de la classe des équivalences faibles de Cogc.

(CM4) relèvement : a. Soit le diagramme commutatif dans Cogc

[figure: E; u; C; t; F; D]

où t est une fibration triviale et u une cofibration. Nous cherchons un morphisme α tel que les deux triangles du diagramme

[figure: E; u; C; t; F; α; D]

soient commutatifs. En utilisant la construction de la démonstration de (CM5), nous factorisons t en q ∘ ĩ, où le morphisme q : BA ∏_{BΩD} D → D est une fibration et où le morphisme ĩ : C → BA ∏_{BΩD} D est une cofibration. Par la propriété de saturation de la classe Eq, les morphismes ĩ et q sont tous les deux des équivalences faibles. Les fibrations étant les morphismes ayant la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales, il existe un relèvement r : BA ∏_{BΩD} D → C dans le diagramme de Cogc

[figure: C; ĩ; 1; C; t; BA ∏_{BΩD} D; q; D.]

Il nous suffit donc de trouver un relèvement dans le diagramme

[figure: E; u; BA ∏_{BΩD} D; q; F; D,]

ou de manière équivalente dans le diagramme.

[figure: E; u; BA ∏_{BΩD} D; BA; Bp; F; D; cart.; BΩD.]

Un tel relèvement existe grâce à l’adjonction entre Ω et B et grâce à l’axiome de relèvement (CM4) de la structure de catégorie de modèles fermée sur Alg.

Objets cofibrants et fibrants

Tous les objets de Cogc sont cofibrants puisque les cofibrations sont les monomorphismes.

Montrons qu’un objet de Cogc est fibrant si et seulement si il est isomorphe, en tant que cogèbre graduée, à une cogèbre tensorielle réduite.

Soit C un objet fibrant de Cogc. Par l’axiome de relèvement (CM4), la cofibration triviale ψ : C → BΩC admet une rétraction r dans Cogc. Notons p_{1} : BΩC → (BΩC)_{[1]} la projection canonique et posons p_{1}^{C} = r_{[1]} ∘ p_{1} ∘ ψ. nous vérifions facilement que le morphisme p_{1}^{C} : C → C_{[1]} est universel parmi les morphismes d’objets gradués C′ → C_{[1]}, où C′ est une cogèbre graduée cocomplète. Ainsi p_{1}^{C} induit un isomorphisme de cogèbres graduées

C ⟶^{∼} \overline{T^{c}}(C_{[1]}).

La réciproque utilise les résultats de la section 1.3.3. Enonçons les deux résultats de cette section qui nous seront utiles ici. (1.3.3.1) La catégorie Alg_{∞} peut être munie d’une structure de catégorie de modèles dont la classe des équivalences faibles est exactement celle des A_{∞}-quasi-isomorphismes et dont la classe des cofibrations (resp. des fibrations) est formée des morphismes f : A → A′, où A, A′ sont des A_{∞}- algèbres, tel que f_{1} est un monomorphisme (resp. un épimorphisme). (1.3.3.5. a) Un morphisme f est une équivalence faible de Alg_{∞} si et seulement si sa construction bar Bf est une équivalence faible de Cogc. Notre démonstration de (1.3.3.1) est basée sur la théorie de l’obstruction (voir B.1). On peut donc interpréter la réciproque que nous allons montrer comme une conséquence du fait que l’opérade des A_{∞}-algèbres est le modèle minimal cofibrant au sens de M. Markl [Mar96] de celle des algèbres associatives (voir l’introduction à l’appendice B.1).

Supposons que C est une cogèbre isomorphe, en tant que cogèbre graduée, à une cogèbre tensorielle réduite. Nous voulons montrer qu’elle est fibrante. On rappelle que la sous-catégorie de Cogc formée de telles cogèbres est équivalente à la catégorie Alg_{∞} des A_{∞}-algèbres. La cogèbre BΩC appartient elle aussi à cette sous-catégorie. Le morphisme C → BΩC est une équivalence faible de Cogc. Par la proposition (1.3.3.5. a), il induit un quasi-isomorphisme dans les primitifs. L’axiome (CM4) du théorème (1.3.3.1) nous donne un relèvement dans le diagramme

[figure: C; 1; C; BΩC; 0.]

La cogèbre C est donc un rétract de BΩC. Comme la construction bar conserve les fibrations et comme ΩC est une algèbre fibrante, la cogèbre BΩC est une cogèbre fibrante. Le rétract d’une cogèbre fibrante étant aussi fibrant, la cogèbre C est fibrante.

Démonstration du point b du théorème 1.3.1.2 :

C’est un corollaire du lemme 1.3.2.3 qui nous dit que les morphismes d’adjonction C → BΩC, où C est une cogèbre, et ΩBA → A, où A est une algèbre, sont des équivalences faibles dans Cogc et dans Alg. □

Le lemme suivant complète la démonstration ci-dessus.

Lemme 1.3.2.7 Soit A une algèbre et D une cogèbre. Soit une fibration p : A ↠ ΩD de Alg. Le morphisme j : BA ∏_{BΩD} D → BA de cogèbres du diagramme cartésien

\xymatrix{BA ∏_{BΩD} D \ar[d]_{j} \ar[r] & D \ar[d] \\ BA \ar[r]^{cart.}_{Bp} & BΩD.}

est une cofibration triviale de Cogc.

Démonstration : Nous allons donner des filtrations sur les cogèbres

BA ∏_{BΩD} D  et  BA

telles qu’elles soient des cogèbres filtrées admissibles et telles que j soit un quasi-isomorphisme filtré.

Soit la suite exacte de complexes

0 → K → A ↠^{p} ΩD → 0.

Comme l’algèbre ΩD est libre, nous avons un scindage de p dans la catégorie des algèbres graduées. La différentielle de

A ⟶^{∼} K ⊕ ΩD

est alors donnée par une matrice

[ \begin{matrix}d_{K} & d′ \\ 0 & d_{ΩD} \end{matrix} ] .

Le scindage nous donne des isomorphismes de cogèbres graduées

BA ⟶^{∼} BK ∏ BΩD,

BA ∏_{BΩD} D ⟶^{∼} BK ∏ D.

Munissons la cogèbre BΩD de la filtration D-primitive. Nous définissons des filtrations sur BA et BA ∏_{BΩD} D par les suites

(BA)_{j} = ∑_{p+q=j}(BK)_{[p]} ∏(BΩD)_{q}, j ∈ N,

(BA ∏_{BΩD} D)_{j} = ∑_{p+q=j}(BK)_{[p]} ∏ D_{[q]}, j ∈ N.

Elles sont admissibles et respectent les différentielles des cogèbres BA et BA ∏_{BΩD} D. Pour ces filtrations, le morphisme j est un morphisme filtré. Soit j ≥ 1. En tant qu’objet gradué, le complexe Gr(BA) est la somme des

(I) Gr(BΩD) ⊗ K^{⊗p_{1}} ⊗ … ⊗ Gr(BΩD) ⊗ K^{⊗p_{k}} , k ≥ 1.

La différentielle de Gr(BA) est construite à partir des différentielles de K, GrD et du morphisme d′ : ΩD → K. En tant qu’objet gradué, le complexe

Gr(BA ∏_{BΩD} D) ⟶^{∼} Gr(BA) ∏ GrD

est la somme des

(II) GrD ⊗ K^{⊗p_{1}} ⊗ … ⊗ GrD ⊗ K^{⊗p_{k}} , k ≥ 1.

La différentielle de Gr(BA ∏_{BΩD} D) est construite à partir des différentielles de K, Gr(BΩD) et du morphisme d′ : ΩD → K. Ainsi, la différentielle “naïve” sur la somme des termes (I), respectivement (II), est perturbée par la contribution de d′ : ΩD → K. Pour montrer que j induit néanmoins un quasi-isomorphisme entre les sommes, nous introduisons une filtration supplémentaire telle que dans les objets gradués associés, la contribution de d′ : ΩD → K s’annule. Soit la filtration F_{l}Gr(BA), l ∈ N, de Gr(BA) induite par la suite

(BA)_{l} = BK ∏(BΩD)_{[l]}, l ∈ N.

Soit la filtration F_{l}Gr(BA ∏_{BΩD} D), l ∈ N, de Gr(BA ∏_{BΩD} D) dont le l-ième sous-objet, l ∈ N, est la somme des objets de type (II) comprenant un nombre de termes GrD inférieur ou égal à l. Le morphisme

Grj : Gr(BA ∏_{BΩD} D) → Gr(BA)

induit des morphismes

F_{l}Gr(BA ∏_{BΩD} D) → F_{l}Gr(BA), l ∈ N.

Il induit donc un morphisme entre les objets gradués associés aux filtrations selon l’indice l. Ce dernier a pour composantes les morphismes de complexes (avec les différentielles “naïves”)

Gr_{q_{1}}D ⊗ K^{⊗p_{1}} ⊗ … ⊗ Gr_{q_{k−1}}D ⊗ K^{⊗p_{k}}

Gr_{q_{1}}(BΩD) ⊗ K^{⊗p_{1}} ⊗ … ⊗ Gr_{q_{k−1}}(BΩD) ⊗ K^{⊗p_{k}}

qui sont des quasi-isomorphismes (voir 1.3.2.3). Le morphisme

Grj : Gr(BA ∏_{BΩD} D) ⟶^{∼} Gr(BA)

est donc un quasi-isomorphisme. Nous venons ainsi de montrer que j est un quasi-isomorphisme filtré de cogèbres admissibles. Par le lemme 1.3.2.2, le morphisme j est une équivalence faible. Il est une cofibration car il est clairement un monomorphisme. □

1.3.3 Alg_{∞} comme “catégorie de modèles sans limites”

Dans la catégorie Alg_{∞} des A_{∞}-algèbres, nous considérons les trois classes de morphismes suivantes :

- la classe Eq est formée des équivalences faibles, c’est-à-dire des morphismes f : A → A′ tels que f_{1} est un quasi-isomorphisme,

- la classe Cof est formée des cofibrations, c’est-à-dire des morphismes f : A → A′ tels que f_{1} un monomorphisme,

- la classe Fib est formée des fibrations, c’est-à-dire des morphismes f : A → A′ tels que f_{1} un épimorphisme.

Théorème 1.3.3.1 La catégorie Alg_{∞}, munie des trois classes définies ci-dessus, vérifie l’axiome (A) ci-dessous et les axiomes (CM2) – (CM5) de la définition A.7. Tous les objets sont fibrants et cofibrants.

(A) Soit q : A ↠ A′ une fibration et f : A′′ → A′ un morphisme. Il existe un produit fibré au-dessus de

\xymatrix{A \ar@{->>}[r]^{q} & A′ & A′′ \ar[l]_{f}} .

L’axiome (A) est un affaiblissement de l’axiome (CM1) de la définition A.7. Notre démonstration de ce théorème est entièrement basée sur la théorie de l’obstruction (B.1).

Lemme 1.3.3.2 Soit A une A_{∞}-algèbre et K un complexe considéré comme A_{∞}-algèbre (1.2.1.4). Supposons que le complexe K est contractile. Soit g : (A, m_{1}^{A}) → (K, m_{1}^{K}) un morphisme de complexes. Il existe un morphisme d’A_{∞}-algèbres

f : A ⟶ K

tel que f_{1} = g.

Démonstration : Nous construisons par récurrence les morphismes

f_{i} : A^{⊗i} → K, i ≥ 1.

Soit f_{1} = g. Supposons que nous avons déjà construit des morphismes f_{i}, 1 ≤ i ≤ n, qui définissent un A_{n}-morphisme A → K. Nous cherchons un morphisme f_{n+1} dont le bord est le cycle −r(f_{1}, …, f_{n}), i. e.

δ(f_{n+1}) + r(f_{1}, …, f_{n}) = 0 (voir B.1.5).

Comme (K, m_{1}^{K}) est contractile, il existe bien un tel morphisme f_{n+1}. □

Lemme 1.3.3.3 a. Soit j : A → D une cofibration de Alg_{∞}. Il existe une A_{∞}-algèbre D′ et un isomorphisme d’A_{∞}-algèbres k : D → D′ tels que la composition k ∘ j : A → D′ est un morphisme strict.

b. Soit q : C → E une fibration de Alg_{∞}. Il existe une A_{∞}-algèbre C′ et un isomorphisme l : C′ → C tels que la composition q ∘ l : C′ → E est un morphisme strict.

Démonstration :

a. Nous construisons par récurrence des morphismes

k_{i} : D^{⊗i} → D, i ≥ 1,

homogènes de degré 1 − i tels que k ∘ j est un morphisme strict. Posons k_{1} = 1_{D}. Supposons que nous avons déjà construit des morphismes k_{i}, 1 ≤ i ≤ n, tels que l’équation

(eq_{m}) ∑_{1≤l≤m} ∑ ; ∑ i_{r}=m(−1)^{s}k_{l} ∘ (j_{i_{1}} ⊗ … ⊗ j_{i_{l}}) = 0, 2 ≤ m ≤ n,

où s est le signe apparaissant dans 1.2.1.2, est vérifiée pour tout 2 ≤ m ≤ n. Soit r une rétraction dans GrC de j_{1} : A → D. Soit k_{n+1} le morphisme défini par la somme

− [ ∑_{1≤l≤n} ∑ ; ∑ i_{r}=n+1(−1)^{s}k_{l} ∘ (j_{i_{1}} ⊗ … ⊗ j_{i_{l}})] ∘ r^{⊗n+1}.

La suite (k_{1}, …, k_{n+1}) vérifie l’équation (eq_{m}) pour 2 ≤ m ≤ n+1. Comme k_{1} est un isomorphisme d’objets gradués, les morphismes k_{i}, i ≥ 1, induisent un isomorphisme

K : \overline{T^{c}}(SD) ⟶^{∼} \overline{T^{c}}(SD).

Nous définissons D′ comme l’A_{∞}-algèbre dont l’objet gradué sous-jacent est D et dont les multiplications m′_{i}, i ≥ 1, sont définies grâce aux bijections m′_{i} ↔ b′_{i} (voir 1.2.2), par les égalités

b′_{i} = (K ∘ b ∘ K^{−1})_{i}, i ≥ 1.

Alors le morphisme k : D → D′ est clairement un isomorphisme de Alg_{∞} et la composée k ∘ j est stricte par construction de k.

b. La démonstration est similaire. Il faut utiliser une section de q_{1} au lieu d’une rétraction de j_{1}. □

Démonstration du théorème 1.3.3.1 :

(A) : Soit q : A ↠ A′ une fibration et f : A′′ → A′ un morphisme de Alg_{∞}. La construction bar envoie les morphismes q et f sur les morphismes Q : BA → BA′ et F : BA′′ → BA′. Nous allons montrer que le produit fibré de Cogc au-dessus de

\xymatrix{BA \ar@{->>}[r]^{Q} & BA′ & BA′′ \ar[l]_{F}}

est encore une cogèbre tensorielle réduite dans GrC. Une section de Q_{1} dans GrC induit un isomorphisme

SA ⟶^{∼} SA′ ⊕ K,

où K est le noyau de Q_{1}. Le produit fibré BA ∏_{BA′} BA′′ est isomorphe, en tant que cogèbre graduée, à

\overline{T^{c}}K ∏ \overline{T^{c}}(SA′′) ⟶^{∼} \overline{T^{c}}(K ⊕ SA′′).

(CM2) et (CM3) : immédiat.

(CM4) relèvement : Soit un diagramme d’A_{∞}-algèbres

(I) [figure: A; f; j; C; q; D; g; E,]

où q est une fibration et j est une cofibration. Par le lemme 1.3.3.3, quitte à remplacer ce diagramme par un diagramme isomorphe, nous pouvons supposer que les morphismes j et q sont stricts. Supposons que la fibration q (resp. la cofibration j) est triviale. Nous cherchons un relèvement α qui rend commutatifs les deux triangles du diagramme

(I^{+}) [figure: A; f; j; C; q; D; g; α; E.]

Nous allons construire par récurrence les morphismes correspondants

α_{i} : D^{⊗i} → C, i ≥ 1.

Grâce au point a de l’axiome (CM4) pour la catégorie de modèles CC, il existe un relèvement α_{1} qui rend commutatifs les deux triangles

(II) [figure: (A, m_{1}^{A}); f_{1}; j_{1}; (C, m_{1}^{C}); q_{1}; (D, m_{1}^{D}); α_{1}; g_{1}; (E, m_{1}^{E}).]

Supposons que nous avons déjà construit des morphismes α_{i}, 1 ≤ i ≤ n, tels que le diagramme (I^{+}) commute dans la catégorie des A_{n}-algèbres. Nous devons trouver un α_{n+1} tel que

\begin{matrix}(1) & δ(α_{n+1}) + r(α_{1}, …, α_{n}) = 0, (voir B.1.5) \\ (2) & α_{n+1} · j_{1}^{⊗n+1} = f_{n+1}, \\ (3) & q_{1} · α_{n+1} = g_{n+1}. \end{matrix}

Choisissons une solution β de (2) et (3). Par exemple, si ρ est une rétraction de j_{1} et σ une section de q_{1} dans GrC, nous pouvons choisir

β = f_{n+1}ρ^{⊗n+1} + σg_{n+1} − σq_{1}f_{n+1}ρ^{⊗n+1}.

Le morphisme j est strict. Par le lemme B.1.6, nous avons donc

(δ(β) + r(α_{1}, …, α_{n})) ∘ j_{1} = δ(β ∘ j_{1}) + r(α_{1} ∘ j_{1}, …, α_{n} ∘ j_{1}^{⊗n}),

et le terme de droite est égal à

δ(f_{n+1}) + r(f_{1} ∘ j_{1}, …, f_{n}) = 0.

De même, nous avons q_{1} ∘ (δ(β) + r(α_{1}, …, α_{n})) = 0. Le cycle δ(β) + r(α_{1}, …, α_{n}) se factorise donc en

D^{⊗n+1} ⟶^{p} cok j_{1}^{⊗n+1} ⟶^{c′} ker q_{1} ⟶^{i} C,

où p est la projection canonique et i l’injection canonique. Comme ker q_{1} (resp. cok(j_{1}^{⊗n+1})) est contractile, le cycle c′ est le bord d’un morphisme h′. Le morphisme α_{n+1} = β − i ∘ h′ ∘ p vérifie alors les équations (1), (2) et (3).

Remarque 1.3.3.4 La démonstration de l’axiome de relèvement (CM4) montre que pour tout relèvement α_{1} dans la catégorie CC du diagramme (II), on a un relèvement α : D → C dans le diagramme (I).

(CM5) factorisation : Soit f : A → B un morphisme d’A_{∞}-algèbres.

a. Soit C = B ⊕ S^{−1}B le cône de l’identité de S^{−1}B. Considérons le complexe C comme une A_{∞}-algèbre (voir 1.2.1.4). Soit j : A → A ∏ C le morphisme d’A_{∞}-algèbres de composantes 1_{A} et 0. Le morphisme q_{1} : A ⊕ C → B de composantes le morphisme f et la projection canonique C → B est un relèvement du diagramme de CC

[figure: A; f_{1}; j_{1}; B; A ⊕ C; 0.]

La remarque 1.3.3.4 appliquée au point a de l’axiome (CM4) nous donne un relèvement dans le diagramme de Alg_{∞}

[figure: A; f; j; B; A ∏ C; q; 0.]

Dans la factorisation f = q ∘ j, j est une cofibration triviale et q est une fibration.

b. Soit C = SA ⊕ A le cône de l’identité du complexe (A, m_{1}). Considérons C comme une A_{∞}-algèbre. Par le lemme 1.3.3.2, il existe un morphisme d’A_{∞}-algèbres i : A → C tel que i_{1} est l’injection canonique A → C. Soit j : A → B ∏ C le morphisme d’A_{∞}-algèbres de composantes f et i. C’est une cofibration triviale. Notons q la projection canonique B ∏ C → B. C’est une fibration et le morphisme f se factorise en q ∘ j.

□

Liens entre la “catégories de modèles sans limites” Alg_{∞} et la catégorie de modèles Cogc

Soit Cogtr la sous-catégorie de Cogc formée des cogèbres qui sont tensorielles réduites en tant que cogèbres graduées. La construction bar induit un isomorphisme de catégories Alg_{∞} → Cogtr. Munissons Cogtr de la structure de “catégorie de modèles sans limites” donnée par cet isomorphisme. Les équivalences faibles (resp. les cofibrations, resp. les fibrations) sont donc les morphismes F : (\overline{T^{c}}V, b) → (\overline{T^{c}}V′, b′) qui induisent dans les primitifs un quasi-isomorphisme F_{1} : (V, b_{1}) → (V′, b′_{1}) (resp. un monomorphisme, resp. un épimorphisme).

Proposition 1.3.3.5 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres.

a. Un morphisme f : BA → BA′ est une équivalence faible de Cogtr si et seulement si c’est une équivalence faible de Cogc.

b. Un morphisme j : BA → BA′ est une cofibration de Cogtr si et seulement si c’est une cofibration de Cogc.

c. Un morphisme q : BA → BA′ est une fibration de Cogtr si et seulement si c’est une fibration de Cogc.

Commençons par un lemme.

Lemme 1.3.3.6 Soit A une A_{∞}-algèbre. Le morphisme ϕ : BA → BΩBA est une équivalence faible de Cogtr.

Démonstration : Il s’agit de montrer que le morphisme ϕ_{[1]} est un quasi-isomorphisme ou, de façon équivalente, que le morphisme

S^{−1}ϕ_{[1]} : (A, m_{1}) → ΩBA

est un quasi-isomorphisme. Le morphisme S^{−1}ϕ_{[1]} est l’injection canonique de A dans ΩBA. Munissons ΩBA de la filtration induite par la filtration primitive de BA. Tout comme à la fin de la démonstration du point b du lemme 1.3.2.3, nous montrons que

Gr_{0}(ΩBA) = A et Gr_{i}(ΩBA) = 0 pour i ≥ 1.

□

Démonstration de la proposition 1.3.3.5

a. Soit f : BA → BA′ une équivalence faible de Cogtr. Le morphisme f est clairement un quasi-isomorphisme filtré pour la filtration primitive. Il est donc une équivalence faible de Cogc. Supposons que f est une équivalence faible de Cogc. Par définition des équivalences faibles de Cogc, le morphisme Ωf est un quasi-isomorphisme et, par suite, le morphisme BΩf est une équivalence faible de Cogtr. Par le lemme 1.3.3.6, les deux flèches horizontales du diagramme commutatif

\xymatrix{BA \ar[r] \ar[d]_{f} & BΩBA \ar[d]^{BΩf} \\ BA′ \ar[r] & BΩB′A′,}

sont des équivalences faibles de Cogtr, et f est donc aussi une équivalence faible de Cogtr.

b. Comme les cofibrations de Cogc sont les monomorphismes, une cofibration de Cogtr est une cofibration de Cogc. Réciproquement, si j : BA → BA′ est une cofibration de Cogc, sa restriction aux primitifs (BA)_{[1]} = SA est un monomorphisme. Comme nous avons f((BA)_{[1]}) ⊂ (BA′)_{[1]}, le morphisme j_{[1]} : SA → SA′ est un monomorphisme et j est donc une cofibration de Cogtr.

c. On rappelle que les fibrations d’une catégorie de modèles sont les morphismes ayant la propriété de relèvement par rapport aux cofibrations triviales. Ce fait résulte des axiomes (CM5) et (CM3) et vaut donc aussi pour Cogtr. Par les points a et b, une fibration de Cogc est une fibration de Cogtr. Supposons que q est fibration de Cogtr. Soit le diagramme de Cogc

[figure: C; j; f; BA; q; C′; g; BA′,]

où j est une cofibration triviale de Cogc. Nous cherchons un relèvement de g relatif à f. Dans le diagramme de Cogc ci-dessous

[figure: C; j; f; ϕ; BA; q; BΩC; C′; g; BA′,; BΩC′]

ϕ est une cofibration triviale de Cogc et BA est fibrant dans Cogc. Nous avons donc une factorisation de f en f′ ∘ ϕ pour un morphisme f′ : BΩC → BA. Comme Ωj est un monomorphisme et un quasi-isomorphisme, le morphisme BΩj est une cofibration triviale de Cogtr. L’objet BA′ étant cofibrant dans Cogtr, le morphisme q ∘ f′ se factorise en g′ ∘ BΩf pour un morphisme g′ : BΩC′ → BA′. Il suffit donc de trouver un relèvement de g′ relatif à f′. Par l’axiome (CM4) pour la catégorie Cogtr, il en existe un. □

1.3.4 Homotopie au sens classique

Soit C et C′ deux cogèbres cocomplètes. Soit f et g deux morphismes de cogèbres C → C′. Ils sont homotopes au sens classique s’il existe une (f, g)-codérivation h : C → C′ de degré −1 tel que δ(h) = f − g. Nous comparons cette notion à la notion d’homotopie au sens des catégories de modèles (voir l’appendice A).

Proposition 1.3.4.1 Soit C et C′ deux cogèbres cocomplètes et f, g deux morphismes C → C′.

a. Si f et g sont homotopes au sens classique, ils sont homotopes à gauche (voir la définition A.9).

b. Si la cogèbre C′ est fibrante, alors f et g sont homotopes au sens classique si et seulement si ils sont homotopes à gauche.

Démonstration : a. Nous allons construire un cylindre C ∧ I pour la cogèbre C, puis nous allons montrer que la notion d’homotopie classique est équivalente à la notion de C ∧ I-homotopie à gauche.

Nous notons I le complexe dont la composante de degré 0 est e ⊕ e, la composante de degré −1 est e, toutes les autres composantes sont nulles. Nous notons e_{0} et e_{1} les composantes de I_{0}. La différentielle d : I → I est donnée par

d_{1} = [\begin{matrix}1 \\ −1 \end{matrix}] : e → e_{0} ⊕ e_{1}.

Soit Δ : I → I ⊗ I le morphisme dont les composantes non nulles sont les morphismes

e_{0} ⟶^{∼} e_{0} ⊗ e_{0}, e_{1} ⟶^{∼} e_{1} ⊗ e_{1}, e ⟶^{∼} e_{0} ⊗ e, e ⟶^{∼} e ⊗ e_{1}

donnés par la contrainte d’unitarité de la catégorie monoïdale de base (1.1.1). Ceci définit sur I une structure de cogèbre co-associative différentielle graduée.

Soit C une cogèbre cocomplète. Le produit tensoriel C ⊗ I de complexe hérite naturellement d’une structure de cogèbre différentielle graduée par la comultiplication C ⊗ I → (C ⊗ I) ⊗ C ⊗ I ≃ C ⊗ C ⊗ I ⊗ I. Elle est cocomplète. Nous notons C_{0} et C_{1} les composantes de C ∐ C. Nous définissons le cylindre C ∧ I = C ⊗ I pour C par les deux morphismes de cogèbres différentielles graduées i et p

C_{0} ∐ C_{1} ⟶^{i} C ⊗ I ⟶^{p} C,

où le morphisme i a pour composantes non nulles

C_{0} ⟶^{∼} C ⊗ e_{0}, C_{1} ⟶^{∼} C ⊗ e_{1},

et où le morphisme p a pour composantes non nulles

C ⊗ e_{0} ⟶^{∼} C, C ⊗ e_{1} ⟶^{∼} C,

données par les contraintes d’unitarité de la catégorie de base. Le morphisme i est une cofibration et le morphisme p une équivalence faible. Soit C′ une cogèbre cocomplète. Soit f, g et h trois morphismes gradués C → C′ respectivement de degré zéro, zéro et -1. Soit le morphisme gradué de degré nul H : C ⊗ I → B dont les composantes sont les trois morphismes gradués

C ⊗ e_{0} ≃ C ⟶^{f} C′, C ⊗ e_{1} ≃ C ⟶^{g} C′

et C ⊗ e ≃ C ⟶^{h} C′.

Le morphisme H : C ⊗ I → C′ est un morphisme de cogèbres si et seulement si

- les morphismes f et g sont des morphismes de cogèbres C → C′,

- le morphisme h : C → C′ est une (f, g)-codérivation.

Il est compatible aux différentielles si et seulement si

- les morphismes f et g sont des morphismes de complexes C → C′

- le morphisme h : C → C′ réalise une homotopie entre les morphismes de complexes f et g.

Pour finir, nous vérifions que le morphisme H est bien une C ∧ I-homotopie entre f et g.

b. Soit C′ une cogèbre fibrante. Soit f et g : C → C′ deux morphismes homotopes au sens des catégories de modèles. Notons toujours C ∧ I le cylindre construit ci-dessus. Par le lemme A.12, il existe une C ∧ I-homotopie à gauche H : C ∧ I → C′ entre f et g. Par la démonstration du point a, il existe une homotopie h : C → C′ au sens classique entre f et g. □

1.3.5 Equivalences faibles et quasi-isomorphismes

Nous notons Qis la classe des quasi-isomorphismes de Cogc et Qisf la classe des morphismes f : C → D de Cogc tels que C et D admettent des filtrations admissibles pour lesquelles f est un quasi-isomorphisme filtré.

Cette section est consacrée à la comparaison des trois classes Eq, Qis et Qisf . Nous allons montrer en particulier les inclusions suivantes

Qisf ⊆ Eq ⊂ Qis.

Proposition 1.3.5.1 a. Nous avons l’inclusion Qisf ⊆ Eq. De l’autre côté, le foncteur canon-

ique

Cogc[Qisf^{−1}] ⟶ Cogc[Eq^{−1}] = Ho Cogc

est une équivalence.

b. Les équivalences faibles de Cogc sont des quasi-isomorphismes.

c. La classe Eq est strictement incluse dans la classe Qis.

d. Soit C et D deux objets de Cogc concentrés en degrés < −1. Tout quasi-isomorphisme de cogèbres C → D est une équivalence faible.

e. Soit C et D deux objets de Cogc concentrés en degrés ≥ 0. Tout quasi-isomorphisme de cogèbres C → D est une équivalence faible.

Démonstration :

a. On rappelle (1.3.2.2) qu’un quasi-isomorphisme filtré de cogèbres est une équivalence faible de Cogc. Il nous faut donc montrer que les équivalences faibles deviennent des isomorphismes dans la catégorie localisée Cogc[Qisf^{−1}]. Soit f : C → C′ une équivalence faible de Cogc. Le morphisme

Ωf : ΩC → ΩC′

est donc un quasi-isomorphisme d’algèbre. Par le lemme 1.3.2.3, le morphisme BΩf : BΩC → BΩC′ est un quasi-isomorphisme filtré. On rappelle (1.3.2.3) que les morphismes d’adjonction C → BΩC et D → BΩD sont des quasi-isomorphismes filtrés. Nous déduisons du diagramme commutatif de Cogc

\xymatrix{C \ar[r] \ar[d]_{f} & BΩC \ar[d]^{BΩf} \\ C′ \ar[r] & BΩC′}

que le morphisme f devient un isomorphisme dans la catégorie Cogc[Qisf^{−1}].

b. Les quasi-isomorphismes filtrés sont des quasi-isomorphismes. La propriété de saturation de la classe Qis, appliqué au diagramme ci-dessus montre qu’une équivalence faible est un quasiisomorphisme.

c. Nous allons construire un exemple de cogèbre qui est acyclique mais qui n’est pas faiblement équivalente à la cogèbre nulle.

Soit A une algèbre unitaire non nulle de la catégorie de base C. Considérons A comme une algèbre associative (dont on oublie l’unité), c’est-à-dire comme un objet de la catégorie Alg du théorème (1.3.1.2) Comme A n’est pas quasi-isomorphe à l’algèbre nulle, la cogèbre BA = (\overline{T^{c}}SA, b) n’est pas faiblement équivalente à la cogèbre nulle (1.3.1.2, b). Or, elle est bien quasi-isomorphe à la cogèbre nulle : en effet, le complexe sous-jacent à S^{−1}BA est le complexe

⋯ → A ⊗ A ⊗ A → A ⊗ A → A → 0,

qui est isomorphe à la résolution bar de l’algèbre A. Ce complexe est acyclique car A est unitaire (voir [CE99, IX.6] où ce complexe se nomme “résolution standard”).

d. Soit C et D deux cogèbres cocomplètes concentrées en degrés < −1. Nous allons montrer que le morphisme Ωf : ΩC → ΩD est un quasi-isomorphisme de Alg. Munissons ΩC (resp. ΩD) de la filtration décroissante donnée par

F_{l}ΩC = ⨁_{p≥l}(S^{−1}C)^{⊗p} (resp. F_{l}ΩD = ⨁_{p≥l}(S^{−1}D)^{⊗p}) , l ∈ N.

Par notre hypothèse, le morphisme Ωf induit des quasi-isomorphismes dans les sous-quotients de ces filtrations. Il en résulte que, pour tout n ∈ N, il induit un isomorphisme en H^{−n}, car nous avons

(F_{l}ΩC)^{n} = (F_{l}ΩD)^{n} = 0 pour l > n,

d’après l’hypothèse sur C et D.

e. La démonstration est la même que pour le point d. Il suffit de remarquer que le complexe S^{−1}C est concentré en degrés > 0 (au lieu de < 0). □

1.4 Transfert de structures le long d’équivalences d’homotopie

Le but de cette section est de (re)montrer le théorème du modèle minimal (1.4.1.4).

1.4.1 Modèle minimal

Théorème 1.4.1.1 Soit A une A_{∞}-algèbre. Soit une équivalence d’homotopie dans CC

g : (V, d) → (A, m_{1}^{A}),

où (V, d) est un complexe. Il existe une structure d’A_{∞}-algèbre sur V telle que m_{1}^{V} = d et un morphisme d’A_{∞}-algèbres

f : V → A

telle que f_{1} = g.

Ce résultat est connu depuis les années 70 dans le cas d’une A_{∞}-algèbre connexe (i. e. concentrées en degrés homologiques ≥ 1) et d’un complexe (V, d) où la différentielle d est nulle (V est alors isomorphe à H^{∗}A). Il y a deux méthodes pour montrer ce théorème, celle utilisant la “méthode des obstructions” [Che77a], [Che77b], [Kad80], [Smi80], [Gug82] et celle utilisant “l’astuce du tenseur” [Hue86], [GS86], [GL89], [GLS91], [HK91], [Mer99], [KS01]. L’article [JL01] présente l’unification de ces différentes méthodes. Nous donnons ici une démonstration utilisant les obstructions.

Démonstration : Par l’axiome (CM5) pour la catégorie de modèles CC, le morphisme g se factorise en q ∘ j, où q est une fibration triviale et où j est une cofibration triviale. Il suffit donc de montrer le théorème dans le cas où l’équivalence d’homotopie est un épimorphisme et dans le cas où elle est un monomorphisme.

Supposons que g est une fibration triviale de CC. Soit K le noyau de g. Comme K est contractile, nous pouvons scinder g dans la catégorie des complexes. Ce scindage induit un isomorphisme de complexes

V ⟶^{∼} K ⊕ A

par lequel le morphisme g s’identifie à la projection K ⊕ A → A. Considérons K comme une A_{∞}- algèbre (voir 1.2.1.4). Munissons l’objet gradué sous-jacent à V de la structure d’A_{∞}-algèbre de K ∏ A. Le morphisme f est le morphisme canonique K ∏ A → A de Alg_{∞}.

Supposons que g est une cofibration triviale de CC. Soit K le conoyau de g. Comme il est contractile, on peut scinder g dans la catégorie des complexes. Ce scindage induit un isomorphisme de CC

A ⟶^{∼} K ⊕ V

par lequel le morphisme g s’identifie à l’injection V → K ⊕ V. Considérons K comme une A_{∞}- algèbre. Par le lemme 1.3.3.2, il existe un morphisme d’A_{∞}-algèbres h : A → K tel que h_{1} est la projection K ⊕ V → K dans CC. Grâce à l’axiome (A) du théorème 1.3.3.1, morphisme h admet un noyau dans la catégorie Alg_{∞}. L’objet gradué sous-jacent à ker h est V. Nous avons ainsi muni V d’une structure d’A_{∞}-algèbre telle que m_{1}^{V} est la différentielle de V. Le morphisme canonique V → A est tel que f_{1} = g. □

Modèle minimal Définition 1.4.1.2 Une A_{∞}-algèbre est minimale si m_{1} = 0. Soit A une A_{∞}-algèbre. Un modèle minimal pour A est un A_{∞}-quasi-isomorphisme d’A_{∞}-algèbres A′ → A où A′ est minimale.

Remarque 1.4.1.3 Cette utilisation du terme “modèle minimal”, due à M. Kontsevich, est différente de l’usage conventionnel en homotopie rationnelle (modèle minimal de Sullivan). On peut la justifier par le fait que la construction bar BA′ est un modèle minimal au sens de H. J. Baues et J.-M. Lemaire [BL77] de la cogèbre BA. Remarquons qu’un modèle minimal de BA ne donne pas en général un modèle minimal de A : soit (\overline{T^{c}}SV, b) une cogèbre tensorielle réduite sur SV dont la différentielle b induit zéro dans les 1-primitifs ; si (\overline{T^{c}}SV, b) est un modèle minimal de BA, c’est-à-dire si on a un quasi-isomorphisme de cogèbres

F : (\overline{T^{c}}SV, b) → BA,

l’A_{∞}-algèbre V telle que BV = (\overline{T^{c}}SV, b) n’est pas en général un modèle minimal pour l’A_{∞}- algèbre A. Cependant, si F est une équivalence faible de Cogc, V est un modèle minimal de l’A_{∞}-algèbre A.

Corollaire 1.4.1.4 Soit A une A_{∞}-algèbre. Il existe une structure d’A_{∞}-algèbre sur son homologie H^{∗}A telle que

a. m_{1} = 0 et m_{2} est induite par m_{2}^{A},

b. il existe un morphisme d’A_{∞}-algèbres H^{∗}A → A relevant l’identité de H^{∗}A.

Cette structure est unique à un isomorphisme (non unique) près.

Démonstration : Comme la catégorie de base C est semi-simple, nous avons un isomorphisme dans la catégorie des complexes

(A, m_{1}^{A}) ⟶^{∼} H^{∗}A ⊕ K

pour un complexe contractile K. Le résultat est déduit du théorème 1.4.1.1 appliqué à l’injection canonique

g : H^{∗}A ⟶ A.

L’unicité de la structure provient du fait qu’un morphisme f entre A_{∞}-algèbres minimales est un quasi-isomorphisme si et seulement si f_{1} est un isomorphisme si et seulement si f est un isomorphisme. □

1.4.2 Lien avec le lemme de perturbation

Une perturbation δ de la différentielle d d’un complexe filtré W est un morphisme gradué δ : W → W de degré +1 qui diminue la filtration et tel que d + δ est encore une différentielle, c’est-à-dire, tel que

d ∘ δ + δ ∘ d + δ^{2} = 0.

Une contraction [EML53] (voir aussi [HK91] et les références données dans [HK91])

( \xymatrix{V \ar[r]_{i} & W \ar[l]_{ρ}} , H)

est donnée par deux complexes V et W, deux morphismes de complexes i : V → W et ρ : V → W et un morphisme gradué H : W → W de degré −1 tels que

ρ ∘ i = 1_{V} , i ∘ ρ = 1_{W} + δ(H), H ∘ i = 0, ρ ∘ H = 0 et H^{2} = 0.

On dit aussi que W se contracte sur V. Si les complexes sont filtrés, la contraction est filtrée si les morphismes sont filtrés relativement à ces filtrations.

Soit V et W des complexes munis de filtrations exhaustives et soit

( \xymatrix{(V, d_{V}) \ar[r]_{i} & (W, d_{W}) \ar[l]_{ρ}} , H)

une contraction filtrée et δ une perturbation de la différentielle d_{W} . Le lemme de perturbation ([Gug72], [HK91]) donne une nouvelle différentielle d_{V}^{δ} de V et des morphismes i^{δ}, ρ^{δ} et H^{δ} tels que

( \xymatrix{(V, d_{V}^{δ}) \ar[r]_{i^{δ}} & (W, d_{W} + δ) \ar[l]_{ρ^{δ}}} , H^{δ})

est une contraction filtrée. Supposons que la contraction filtrée ci-dessus est une contraction filtrée de cogèbres : les objets V et W sont des cogèbres différentielles graduées filtrées, les morphismes i et ρ sont des morphismes de cogèbres filtrées, H est une 1-(iρ)-codérivation filtrée de W. Supposons aussi que la perturbation δ est une perturbation d’une différentielle de cogèbres, i. e. δ est une 1-1-codérivation de W. Le lemme de perturbation produit alors une contraction de cogèbres ([HK91], [GS86], [GL89], [GLS91], [Mer99]).

Soit A une A_{∞}-algèbre et soit

\xymatrix{0 \ar[r] & (V, d_{V}) \ar[r]_{i} & (A, m_{1}) \ar[r]_{p} \ar[l]_{ρ} & (K, d_{K}) \ar[l]_{σ} \ar[r] & 0}

une suite exacte scindée de complexes telle que

ρ ∘ σ = 0 et i ∘ ρ + σ ∘ p = 1_{A}.

Soit h une homotopie contractante de K telle que h^{2} = 0. A partir de ces données, nous avons deux manières naturelles de définir une structure d’A_{∞}-algèbre sur V et un A_{∞}-morphisme

V → A

dont le première composante est i.

Première méthode : le lemme de perturbation Nous appliquons le lemme de perturbation à la contraction filtrée et à la perturbation de cogèbres

\xymatrix{(\overline{T^{c}}S(V, d_{V}) \ar[r]_{F} & \overline{T^{c}}S(A, m_{1}) \ar[l]_{R}} , H) et δ : \overline{T^{c}}SA → \overline{T^{c}}SA,

où F = \overline{T^{c}}Si, R = \overline{T^{c}}Sρ, H est l’unique 1-(F R)-codérivation relevant σ ∘ h ∘ p et δ = b − b_{1} (ici b est la différentielle de BA). Nous obtenons une nouvelle différentielle b′ sur \overline{T^{c}}SV et un morphisme de cogèbres

F^{δ} : (\overline{T^{c}}SV, b′) → (\overline{T^{c}}SA, b).

Nous obtenons une structure d’A_{∞}-algèbre sur V (notons cette A_{∞}-algèbre V^{δ}) et un A_{∞}-morphisme

f^{δ} : V^{δ} → A.

Deuxième méthode : le noyau d’un A_{∞}-morphisme g Définissons par récurrence des morphismes

g_{i} : A^{⊗i} → K, i ≥ 1,

en posant

g_{1} = p et g_{i} = −h ∘ r(g_{1}, …, g_{i−1}), i ≥ 2,

où r(g_{1}, …, g_{i−1}) est le cycle du lemme (B.1.5). Le lemme (B.1.5) montre qu’ils définissent un A_{∞}-morphisme g : A → K (où K est le complexe K considéré comme A_{∞}-algèbre). L’axiome (A) du théorème (1.3.3.1) montre qu’il existe un noyau de g dans la catégorie Alg_{∞}

V^{g} = ker g → A.

Comme l’objet gradué sous-jacent de l’A_{∞}-algèbre V^{g} est V, cela définit une A_{∞}-structure sur V et un A_{∞}-morphisme

f^{g} : V^{g} → A.

Lemme 1.4.2.1 Nous avons un isomorphisme θ : V^{δ} → V^{g} tel que θ_{1} = 1 et f^{δ} = f^{g} ∘ θ.

Démonstration : Rappelons les descriptions de l’A_{∞}-structure de V^{δ} et de f^{δ} en terme d’arbres due à M. Kontsevich et Y. Soibelman [KS01, 6.4].

L’A_{∞}-structure de V^{δ} est définie par les formules suivantes :

m_{1}^{δ} = 0, m_{2}^{δ} = ρ ∘ m_{2} ∘ (i ⊗ i), m_{i}^{δ} = ∑_{T ∈T} (−1)^{s}m_{i,T} , i ≥ 3,

où s et T, T et m_{i,T} sont définis ainsi : Considérons l’ensemble T des arbres planaires orientés T avec i + 1 sommets terminaux (la racine et les feuilles), tels que l’arité |v| de tout sommet interne v ∈ T (i. e. le nombre de flèches arrivant à v) est ≥ 2. Pour décrire le morphisme

m_{i,T} : (V^{δ})^{⊗i} → V^{δ}, i ≥ 3, T ∈ T ,

on a besoin de considérer l’arbre \overline{T} construit à partir de T en rajoutant un sommet interne au milieu de chaque arête interne. L’arbre \overline{T} est ainsi constitué de deux types de sommets internes : les anciens qui correspondent aux sommets internes de T et les nouveaux que l’on vient de rajouter. On colorie les sommets de \overline{T} par les morphismes suivants :

- ρ sur la racine,

- i sur les feuilles,

- m_{|v|} sur les sommets internes anciens v (dont l’arité est |v|),

- H sur les sommets internes nouveaux.

A chaque arbre \overline{T} ainsi colorié, on associe le morphisme m_{i,T} qui consiste à composer les coloriages en descendant le long de l’arbre des feuilles vers la racine. Voici un exemple :

T  i i i m_{3} m_{2} m_{3} H H i i  i ρ \overline{T} colorié  .

Le morphisme m_{6,T} vaut

ρ ∘ m_{2} ∘ (H ⊗ 1) ∘ (m_{3} ⊗ 1) ∘ (1 ⊗ H ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (1 ⊗ m_{3} ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (i^{⊗6}).

Le signe (−1)^{s} associé à T est donné par l’égalité

\begin{matrix}ρ ∘ m_{2} ∘ (H ⊗ 1) ∘ (m_{3} ⊗ 1) ∘ (1 ⊗ H ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (1 ⊗ m_{3} ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (i^{⊗6}) ∘ (ω^{⊗6}) = \\ (−1)^{s}ω ∘ ρ′ ∘ b_{2} ∘ (H′ ⊗ 1) ∘ (b_{3} ⊗ 1) ∘ (1 ⊗ H′ ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (1 ⊗ b_{3} ⊗ 1^{⊗2}) ∘ (i^{⊗6}), \end{matrix}

où

ρ′ = s ∘ ρ ∘ ω, H′ = −s ∘ H ∘ ω et i′ = s ∘ i ∘ ω.

Le signe dans le cas général s’obtient de la même manière.

Le morphisme f^{δ} : V^{δ} → A est donné par les formules

f_{1}^{δ} = i, f_{i}^{δ} = ∑_{T ∈T} (−1)^{s}f_{i,T} , i ≥ 2,

où les morphismes f_{i,T} et le signe s sont construits de la même manière en coloriant la racine de l’arbre \overline{T} par H au lieu de ρ. La remarque (1.4.2.2) ci-dessous montrera que les morphismes m_{i}^{δ}, i ≥ 1, et f_{i}^{δ}, i ≥ 1, définissent bien des A_{∞}-structures.

Remarquons que les signes ci-dessus sont tels que

b_{i}^{δ} = ∑_{T ∈T} b_{i,T} et F_{i}^{δ} = ∑_{T ∈T} F_{i,T} , i ≥ 1,

où b_{i,T} et F_{i,T} sont obtenus en coloriant les sommets des arbres \overline{T} par des b_{i} (resp. i′, ρ′, H′) sur les sommets qui étaient précédemment de couleur m_{i} (resp. i, ρ, H).

Nous allons maintenant expliciter l’A_{∞}-morphisme

g : A → K

en terme d’arbres. Un calcul facile (nous utilisons le fait que h^{2} = 0) montre que le morphisme g_{i}, i ≥ 1, est donné par les formules

g_{1} = p et g_{i} = −p ∘ h ∘ m_{i}, i ≥ 2.

Comme h ∘ p = p ∘ H, les morphismes g_{i} correspondent aux arbres coloriés (ils n’appartiennent pas nécessairement à T )

p 1 ^{1 1 1 1 H m_{i} p}.

Le signe intervenant dans la formule pour g implique les égalités

G_{1} = p′ et G_{i} = −p′ ∘ H′ ∘ b_{i}, i ≥ 2,

où p′ = s ∘ p ∘ ω.

Montrons que la composition g ∘ f^{δ} est nulle. Il suffit de montrer les égalités

∑ ; ∑ α_{k}=n G_{i}(F_{α_{1}}^{δ} ⊗ … ⊗ F_{α_{i}}^{δ}) = 0, n ≥ 1.

Soit n ≥ 1. Comme les G_{i} et les F_{α_{k}}^{δ} sont des sommes de compositions associées à des arbres coloriés, la somme ci-dessus est la somme de compositions associées aux arbres coloriés concaténés. Nous vérifions que les arbres coloriés concaténés intervenant dans les sommes

∑ ; ∑ α_{k}=n, i≥2 G_{i}(F_{α_{1}}^{δ} ⊗ … ⊗ F_{α_{i}}^{δ}) et G_{1} ∘ F_{n}^{δ}

sont les mêmes. Dans la première somme, le signe intervenant devant chaque composition associée à un arbre colorié concaténé est négatif car, pour i ≥ 2, nous avons G_{i} = −p′ ∘ H′ ∘ b_{i}. Dans la seconde somme, il est positif car G_{1} = p′. Nous avons donc G ∘ F^{δ} = 0. Le morphisme f^{δ} se factorise en f^{g} ∘ θ. Comme f_{1}^{δ} = f_{1}^{g}, nous avons θ_{1} = 1_{V}. Il s’ensuit que θ : V^{δ} → V^{g} est un isomorphisme. □

Remarque 1.4.2.2 La démonstration montre que les morphismes m_{i}^{δ}, i ≥ 1, et f_{i}^{δ}, i ≥ 1, définis en terme d’arbres définissent bien des A_{∞}-structures (voir [KS01, 6.4] pour une autre preuve).

Remarque 1.4.2.3 Si A est une algèbre différentielle graduée, l’A_{∞}-morphisme

g : A → K

n’a que deux composantes non nulles g_{1} et g_{2}. La complexité des formules pour les m_{i}^{δ}, i ≥ 1, provient donc de la complexité des formules des f_{i}^{δ}, i ≥ 1, définissant le noyau de g dans Alg_{∞}

f^{δ} : V^{δ} ↪ A.

Remarque 1.4.2.4 Le lemme de perturbation nous donne, outre V^{δ} et f^{δ}, une contraction d’A_{∞}- algèbres

( \xymatrix{V^{δ} \ar[r]_{f^{δ}} & A \ar[l]_{q^{δ}}} , H^{δ}).

Remarquons que l’A_{∞}-morphisme q^{δ} est le conoyau de l’A_{∞}-morphisme

j : K → A

donné par les formules

j_{1} = σ, j_{i} = −m_{i} ∘ (σ^{⊗i}) ∘ (h ⊗ 1^{⊗i−1}), i ≥ 2.
□

Remarque 1.4.2.5 Soit V et W des complexes munis de filtrations exhaustives et soit

( \xymatrix{(V, d_{V}) \ar[r]_{i} & (W, d_{W}) \ar[l]_{ρ}} , H)

une contraction filtrée de complexes. Alors il existe une suite exacte scindée de complexes

\xymatrix{0 \ar[r] & (V, d_{V}) \ar[r]_{i} & (W, d_{W}) \ar[r]_{p} \ar[l]_{ρ} & (K, d_{K}) \ar[l]_{σ} \ar[r] & 0}

telle que

ρ ∘ σ = 0 et i ∘ ρ + σ ∘ p = 1_{A}

et une homotopie contractante h de K telle que

h^{2} = 0 et H = σ ∘ h ∘ p.

Le complexe contractile K est donc un facteur direct de W. Soit δ une perturbation de la différentielle d_{W} . Le lemme de perturbation produit une contraction filtrée de complexes

( \xymatrix{(V, d_{V}^{δ}) \ar[r]_{i^{δ}} & (W, d_{W} + δ) \ar[l]_{ρ^{δ}}} , H^{δ}).

Un calcul montre que les morphismes

(p − pHδ) : (W, d_{W} + δ) → (K, d_{K}) et (σ − δHσ) : (K, d_{K}) → (W, d_{W} + δ)

sont des morphismes de complexes et qu’ils sont le conoyau et le noyau de i^{δ} et ρ^{δ}. La composition

(p − pHδ) ∘ (σ − δHσ) : (K, d_{K}) → (K, d_{K})

induit un isomorphisme dans les objets gradués associés à la filtration. C’est donc un isomorphisme. Le complexe contractile(K, d_{K}) est donc aussi un facteur direct du complexe perturbé (W, d_{W} + δ) et l’inclusion

σ : K → W

est “perturbée” en σ − δHσ pour devenir compatible à d_{W} + δ.

58  Chapitre 1 : Théorie de l’homotopie des A_{∞}-algèbres

Théorie de l’homotopie des polydules

Introduction

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Rappelons que dans cette thèse les structures communément appelées A_{∞}-modules sur A sont appelées A-polydules (“poly” car la structure est donnée par plusieurs multiplications). Le but de ce chapitre est de décrire la catégorie dérivée D_{∞}A dont les objets sont les A-polydules strictement unitaires. Nous utiliserons pour cela les outils de l’algèbre homotopique de Quillen (voir l’appendice A) en adaptant les méthodes du chapitre 1 aux polydules. La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre quelconque sera étudiée au chapitre 4.

Plan du chapitre

Ce chapitre est divisé en deux parties.

La première partie qui composée des sections (2.1) et (2.2) ne traitera pas des A_{∞}-structures proprement dites. Dans la première section (2.1), on définit les (co)modules différentiels gradués (co)unitaires. Dans la section 2.2, nous démontrons le théorème (2.2.2.2) : Soit C une cogèbre différentielle graduée cocomplète co-augmentée. La catégorie Comc C des Ccomodules différentiels gradués co-unitaires cocomplets admet une unique structure de catégorie de modèles telle que, pour toute algèbre différentielle graduée augmentée A et toute cochaîne tordante admissible acyclique τ : C → A, le couple de foncteurs adjoints

(? ⊗_{τ} A, ⊗_{τ} C) : Comc C → Mod A

est une équivalence de Quillen. Tous les objets de Comc C sont cofibrants. Nous caractérisons ensuite l’acyclicité des cochaînes tordantes (2.2.4.1).

La deuxième partie est consacrée aux A_{∞}-structures concernées par ce chapitre : les (bi)polydules strictement unitaires sur des A_{∞}-algèbres augmentées. Dans la section 2.3, on définit les polydules, leurs suspensions, les A_{∞}-morphismes et les homotopies entre A_{∞}-morphismes. Nous définissons ensuite la notion d’unitarité stricte pour les A_{∞}-structures. Cette notion sera étudiée plus précisément dans le chapitre 3. On rappelle ensuite les constructions bar et cobar et l’algèbre enveloppante. Dans la section 2.4, nous affinons le théorème (2.2.2.2) précité. Nous montrons que, si la cogèbre C est isomorphe, en tant que cogèbre graduée, à une cogèbre tensorielle co-augmentée, les objets fibrants de Comc C sont exactement les facteurs directs des C-comodules presque colibres. En particulier, dans le cas où C est égale à la construction bar d’une A_{∞}-algèbre augmentée A, la catégorie des objets fibrants et cofibrants de Comc C est l’image essentielle par la construction bar des A-polydules strictement unitaires. Nous déduirons de ce résultat plusieurs descriptions de la catégorie dérivée

D_{∞}A = Mod_{∞} A[Qis^{−1}],

où Mod_{∞} A désigne la catégorie des A-polydules strictement unitaires.

Dans la section 2.5, nous étudions la catégorie dérivée D_{∞}(A, A′) des bipolydules strictement unitaires sur A et A′, deux A_{∞}-algèbres augmentées. Les méthodes étant similaires, les détails seront omis. Les bipolydules seront utiles dans l’étude des A_{∞}-catégories.

2.1 Rappels et notations

Soit (C, ⊗, e) une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple monoïdale et C′ une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple (non nécessairement monoïdale). Nous supposons que la catégorie monoïdale C agit à droite sur C′, i. e. C′ est munie d’un foncteur

C′ × C → C′, (M, A) ↦ M ⊗ A

tel que

Hom_{C′}(M, M′) × HomC(A, A′) → Hom_{C′}(M ⊗ A, M′ ⊗ A′),

où A, A′ sont dans C et M, M′ sont dans C′, est 𝕂-bilinéaire. Nous demandons en outre que cette action soit associative et unitaire à des isomorphismes donnés près (voir [ML98, chap. XI]).

2.1.1 Modules augmentés

Soit M (resp. M′) l’une des catégories GrC ou CC (resp. GrC′ ou CC′) définies à la section 1.1.1. La catégorie M est monoïdale et agit clairement sur M′.

Algèbres augmentées, réduites

Une algèbre (A, μ) dans M est unitaire si elle est munie d’un morphisme η : e → A tel que μ(1 ⊗ η) = μ(η ⊗ 1) = 1. On appelle le morphisme η l’unité de A. Si A et A′ sont des algèbres unitaires, un morphisme d’algèbres unitaires f : A → A′ est un morphisme d’algèbres f tel que fη_{A} = η_{A′}. Le morphisme e ⊗ e → e donné par la contrainte d’unitarité de la catégorie de base (1.1.1) définit une structure d’algèbre unitaire sur l’objet neutre e. Une algèbre A est augmentée si elle est unitaire et munie d’un morphisme d’algèbres unitaires

ε : A → e.

Le morphisme ε s’appelle l’augmentation de A. Si A et A′ sont des algèbres augmentées, un morphisme d’algèbres augmentées f : A → A′ est un morphisme d’algèbres unitaires f tel que ε_{A′}f = ε_{A}.

Si A est une algèbre augmentée de M, l’algèbre réduite \overline{A} associée à A est le noyau de l’augmentation. Si A est une algèbre de M, l’algèbre augmentée associée à A est l’algèbre A^{+} dont l’objet sous-jacent est e ⊕ A, et dont la multiplication est définie par les morphismes

e ⊗ e → e, e ⊗ A → A, A ⊗ e → A et A ⊗ A ⟶^{μ} A,

où les trois premiers morphismes sont donnés par la contrainte d’unitarité de la catégorie de base. L’augmentation de A^{+} est la projection canonique A^{+} → e. On note Alga la catégorie des algèbres augmentées de CC. Le foncteur

Alg ⟶ Alga, A ↦ A^{+},

est une équivalence dont le quasi-inverse est le foncteur A ↦ \overline{A}.

Modules

Soit A une algèbre dans M. Un A-module (à droite) dans M′ est un objet M de M′ muni d’un morphisme μ^{M} : M ⊗ A → M (de degré 0 si M′ = GrC′) tel que

μ^{M}(μ^{M} ⊗ 1) = μ^{M}(1 ⊗ μ^{A}).

On appelle μ^{M} la multiplication de M. Si M et N sont deux modules, un morphisme de modules f : M → N est un morphisme f tel que

fμ^{M} = μ^{N}(f ⊗ 1).

Si l’algèbre A est unitaire, un A-module M est unitaire si on a

μ^{M}(1 ⊗ η^{A}) = 1_{M}.

Soit A une algèbre graduée (resp. différentielle graduée). Un A-module gradué (resp. différentiel gradué) est un A-module dans la catégorie GrC′ (resp. CC′). Si A est une algèbre différentielle graduée, un A-module différentiel gradué est donc un objet M de GrC′, muni d’une multiplication μ^{M} : M ⊗ A → M et d’une différentielle d^{M} : M → M telle que

d^{M}(μ^{M}) = μ^{M}(d^{M} ⊗ 1_{A} + 1_{M} ⊗ d^{A}).

Si (M, μ^{M}) est un A-module gradué, une dérivation de modules est un morphisme d^{M} : M → M vérifiant l’équation ci-dessus. Une différentielle de module est une dérivation de degré +1 et de carré nul. Si A est une algèbre différentielle graduée unitaire, on note Mod A la catégorie des A-modules différentiels gradués unitaires.

Soit f : A → A′ un morphisme de Alg. La restriction le long de f d’un A′-module M est le A-module dont l’objet sous-jacent est M et dont la multiplication est μ^{M}(f ⊗ 1). Le A′-module induit par f d’un A-module M a pour objet sous-jacent M ⊗_{A} A′ et pour multiplication 1 ⊗ μ^{A′}. Soit A une algèbre augmentée et soit i : \overline{A} → A l’injection canonique. Le foncteur restriction est une équivalence de Mod A sur la catégorie des modules différentiels gradués sur \overline{A}, son quasi-inverse est le foncteur induction.

Soit A une algèbre différentielle graduée et M et N deux modules différentiels gradués. Si f et g sont deux morphismes M → N, une homotopie entre f et g est un morphisme gradué de A-modules h : M → N de degré −1 tel que h ∘ d + d ∘ h = f − g. Deux morphismes f et g sont homotopes s’il existe une homotopie entre f et g.

Modules libres

Soit A une algèbre de M. Soit V un objet de M′. Le morphisme 1_{V} ⊗ μ^{A} définit une structure de A-module sur V ⊗ A. Un A-module M est libre sur V s’il existe un isomorphisme de A-modules M ⟶^{∼} V ⊗ A. Un module différentiel gradué est presque libre s’il est libre en tant que module gradué.

Lemme 2.1.1.1 Soit A un objet de Alga. Soit M un objet de Mod A et V un objet de GrC′.

a. L’application f ↦ f(1⊗η) est une bijection de l’ensemble des morphismes de modules gradués V ⊗ A → M vers l’ensemble des morphismes gradués V → M. L’application inverse associe à g : V → M le morphisme de modules

V ⊗ A ⟶^{g⊗1} M ⊗ A ⟶^{μ^{M}} M.

b. L’application d ↦ d(1 ⊗ η) est une bijection de l’ensemble E des dérivations du modules gradués V ⊗ A vers l’ensemble des morphismes gradués g : V → V ⊗ A. L’application inverse associe à g : M → N la différentielle

1 ⊗ d^{A} + (1 ⊗ μ^{A})(g ⊗ 1).

Cette bijection fait correspondre le sous-ensemble de E formé des différentielles de modules au morphismes de degré +1 tel que

(1_{V} ⊗ μ^{A})(g ⊗ 1)g + (1 ⊗ d^{A})g = 0.
□

2.1.2 Comodules co-augmentés

Cogèbres co-augmentées, réduites

Une cogèbre (C, Δ) de M est co-unitaire si elle est munie d’un morphisme η : C → e tel que (1⊗η)Δ = (η ⊗1)Δ = 1. Le morphisme η s’appelle la co-unité de C. Si C et C′ sont deux cogèbres co-unitaires, un morphisme de cogèbres co-unitaires f : C → C′ est un morphisme de cogèbres f tel que η_{C′}f = η_{C}. Le morphisme e → e⊗e donné par la contrainte d’unitarité de la catégorie de base définit une structure de cogèbre co-unitaire sur l’objet neutre e. Une cogèbre C est co-augmentée si elle est munie d’un morphisme de cogèbres co-unitaires

ε : e → C.

Le morphisme ε s’appelle la co-augmentation de la cogèbre C. Si C et C′ sont deux cogèbres coaugmentées, un morphisme de cogèbres co-augmentées f : C → C′ est un morphisme de cogèbres unitaires f tel que fε_{C} = ε_{C′}.

Si C est une cogèbre co-augmentée de M, la cogèbre réduite \overline{C} est le conoyau de la coaugmentation. Si C est une cogèbre de M, la cogèbre co-augmentée C^{+} est la cogèbre dont l’objet sous-jacent est C ⊕ e et dont la comultiplication est le morphisme défini par les composantes

e → e ⊗ e, C → e ⊗ C, C → C ⊗ e et C ⟶^{Δ} C ⊗ C,

où les trois premiers morphismes sont définis par la contrainte d’unitarité de la catégorie de base. La co-augmentation de C^{+} est l’injection canonique e → C^{+}. Si V est un objet gradué de C, on note T^{c}V la cogèbre (\overline{T^{c}}V)^{+}. Soit Cogca la catégorie des cogèbres co-augmentées de CC dont les cogèbres réduites sont cocomplètes. Le foncteur

Cogc → Cogca, C ↦ C^{+},

est une équivalence dont le quasi-inverse est le foncteur C → \overline{C}.

Comodules

Soit C une cogèbre de M. Un C-comodule (à droite) dans M′ est un objet gradué N de M′ muni d’un morphisme Δ^{N} : N → N ⊗ C (de degré 0 si M′ = GrC′) tel que

(1 ⊗ Δ^{C})Δ^{N} = (Δ^{N} ⊗ 1)Δ^{N}.

Si N et N′ sont deux C-comodules, un morphisme de C-comodules f : N → N′ est un morphisme de M′ tel que Δ^{N′}f = (f ⊗1)Δ^{N}. Si la cogèbre C est co-unitaire, un C-comodule N est co-unitaire si Δ^{N}(1 ⊗ η) = 1_{N}.

Soit C une cogèbre graduée (resp. différentielle graduée). Un C-comodule gradué (resp. différentiel gradué) est un C-comodule dans la catégorie GrC′ (resp. CC′). Si C est une cogèbre différentielle graduée, un comodule différentiel gradué est donc un objet N de GrC′, muni d’une comultiplication Δ^{N} : N → N ⊗ C et d’une différentielle d^{N} : N → N telle que

Δ^{N}d^{N} = (d^{N} ⊗ 1_{A} + 1_{N} ⊗ d^{A})Δ^{N}.

Si (N, Δ^{N}) est un C-comodule gradué, une codérivation de comodules est un morphisme d^{N} : N → N vérifiant l’équation ci-dessus. Une différentielle de comodule est une codérivation de degré +1 et de carré nul. Si la cogèbre C est co-unitaire, on note Com C la catégorie des comodules différentiels gradués co-unitaires.

Soit f : C → C′ un morphisme de Cog. La corestriction le long de f d’un C-comodule N est le C′-comodule dont l’objet sous-jacent est N et dont la comultiplication est (1 ⊗ f)Δ^{N}. Le C-comodule co-induit par f associé à un C′-comodule N a pour objet sous-jacent le noyau

ker(N ⊗ C ⟶^{u} N ⊗ C′ ⊗ C),

où u = Δ^{N} ⊗ 1_{C} − (1_{N} ⊗ f ⊗ 1_{C})(1_{N} ⊗ Δ^{C}), et pour comultiplication le morphisme induit par 1^{N} ⊗ Δ^{C} : N ⊗ C → N ⊗ C ⊗ C.

Soit C une cogèbre co-augmentée et soit p : C → \overline{C} la projection canonique. Le foncteur corestriction est une équivalence de la catégorie Com C sur la catégorie des \overline{C}-comodules différentiels gradués. Son quasi-inverse est le foncteur co-induction.

Soit C une cogèbre différentielle graduée et soit N et N′ deux comodules différentiels gradués. Si f et g sont deux morphismes N → N′, une homotopie entre f et g est un morphisme gradué de C-comodules h : N → N′ de degré −1 tel que h ∘ d + d ∘ h = f − g. Deux morphismes f et g sont homotopes s’il existe une homotopie entre f et g.

Comodules cocomplets

Soit C une cogèbre co-augmentée de M et N un C-comodule co-unitaire dans M′. On définit Δ^{(2)} = Δ^{N} et, pour tout n ≥ 3, on définit Δ^{(n)} : N → N ⊗ C^{⊗n−1} par

Δ^{(n)} = (1^{⊗n−2} ⊗ Δ^{C})Δ^{(n−1)}.

Soit n ≥ 1. Le noyau N_{[n]} du morphisme

N ⟶^{Δ^{(n+1)}} N ⊗ C^{⊗n} ⟶^{1⊗p^{⊗n}} N ⊗ \overline{C}^{⊗n}

(où p : C → \overline{C} est la projection canonique) est un sous-comodule de N. Il s’appelle le souscomodule des n-primitifs de N. Pour n = 1, on obtient le sous-comodule des primitifs de N. La suite croissante de sous-comodules

N_{[1]} ⊂ N_{[2]} ⊂ N_{[3]} ⊂ ⋯

est la filtration primitive du comodule N. Si C est un objet de Cogca, un C-comodule différentiel gradué co-unitaire N est cocomplet si sa filtration primitive est exhaustive. On note Comc C la catégorie des comodules cocomplets.

Comodules colibres

Soit C une cogèbre co-augmentée dans M. Soit V un objet de M′. Le morphisme

1 ⊗ Δ^{C} : V ⊗ C → V ⊗ C ⊗ C

munit V ⊗C d’une structure de C-comodule. Son sous-comodule des primitifs est le comodule V ⊗e. Pour n ≥ 2, son sous-comodule des n-primitifs est le C-comodule V ⊗C_{[n−1]}. Le C-comodule V ⊗C est donc cocomplet si C est un objet de Cogca. Un C-module N est colibre sur V s’il existe un isomorphisme de C-comodules N ⟶^{∼} V ⊗ C. Si C est un objet de Cogca, un comodule différentiel gradué est presque colibre s’il est libre en tant que comodule gradué. La sous-catégorie de Comc C formée des objets presque colibres est notée prcol C.

Lemme 2.1.2.1 Soit C une cogèbre différentielle graduée co-unitaire, N un objet dans Com C et V un objet gradué.

a. L’application f ↦ (1 ⊗ η^{C})f est une bijection de l’ensemble des morphismes de comodules gradués N → V ⊗ C sur l’ensemble des morphismes gradués N → V. L’application inverse envoie g : N → V sur le morphisme de C-comodules

N ⟶^{Δ} N ⊗ C ⟶^{g⊗1} V ⊗ C.

b. L’application d ↦ (1 ⊗ η^{C})d est une bijection de l’ensemble

coder(V ⊗ C)

des codérivations du comodules V ⊗C sur l’ensemble des morphismes gradués g : V ⊗C → V. L’application inverse envoie g sur la codérivation

(g ⊗ 1)(1_{V} ⊗ Δ^{C}) + 1_{V} ⊗ d^{C}.

Cette bijection fait correspondre les différentielles de comodules aux morphismes gradués de degré +1 tels que

g(1_{V} ⊗ d^{C}) + g(g ⊗ 1_{C})(1_{V} ⊗ Δ^{C}) = 0.
□

2.2 : Comc C comme catégorie de modèles  65

2.2 Comc C comme catégorie de modèles

2.2.1 Cochaîne tordante et produits tensoriels tordus

Définition 2.2.1.1 Soit C une cogèbre différentielle graduée et A une algèbre différentielle graduée. Une cochaîne tordante est un morphisme gradué τ : C → A de degré +1 tel que

d_{A}τ + τd_{C} + m(τ ⊗ τ)Δ = 0.

Si f : A → A′ est un morphisme dans Alg (resp. si g : C′ → C est un morphisme dans Cog) la composition f ∘ τ (resp. τ ∘ g) est encore une cochaîne tordante. Ainsi, une cochaîne tordante τ : C → A induit une cochaîne tordante τ^{+} = i ∘ τ ∘ p : C^{+} → A^{+}, où i est l’injection canonique A → A^{+} et p la projection canonique C^{+} → C. Soit A un objet de Alga et C un objet de Coga. Une cochaîne tordante C → A est admissible si elle est induite par une cochaîne tordante \overline{C} → \overline{A}.

Soit A une algèbre différentielle graduée augmentée et C une cogèbre différentielle graduée coaugmentée. Soit τ : C → A une cochaîne tordante admissible. Soit M un objet de Mod A. Soit le morphisme t_{τ} : M ⊗ C → M ⊗ C défini comme la composition

M ⊗ C ⟶^{1⊗Δ} M ⊗ C ⊗ C ⟶^{1⊗τ⊗1} M ⊗ A ⊗ C ⟶^{μ^{M} ⊗1} M ⊗ C.

Comme τ est une cochaîne tordante, la somme

b_{τ} = b + t_{τ} : M ⊗ C ⟶ M ⊗ C

où b est la différentielle du produit tensoriel M ⊗ C, donne une différentielle sur le C-comodule gradué co-unitaire M ⊗ C. Le produit tensoriel M ⊗ C muni de la différentielle tordue (par τ) b_{τ} est noté M ⊗_{τ} C. Si M et M′ sont deux objets de Mod A, un morphisme f : M → M′ induit un morphisme de C-comodules gradués co-unitaires f ⊗ 1_{C} : M ⊗_{τ} C → M′ ⊗_{τ} C compatible aux différentielles. Nous obtenons ainsi un foncteur

R_{τ} : Mod A → Com C, M ↦ M ⊗_{τ} C.

Lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité nous noterons ce foncteur R.

De manière duale, si N est C-comodule différentiel gradué co-unitaire, le morphisme T_{τ} est défini comme la composition

N ⊗ A ⟶^{Δ^{N} ⊗1} N ⊗ C ⊗ A ⟶^{1⊗τ⊗1} N ⊗ A ⊗ A ⟶^{1⊗μ^{A}} N ⊗ C.

La somme de la différentielle D du produit tensoriel N ⊗ A et du morphisme T_{τ} définit une nouvelle différentielle sur le A-module gradué unitaire N ⊗ A. Le produit tensoriel N ⊗ A muni de la différentielle tordue (par τ) D_{τ} = D + T_{τ} est noté N ⊗_{τ} A. Si N et N′ sont deux objets de Comc C, un morphisme f : N → N′ induit un morphisme de A-modules gradués unitaires f ⊗ 1_{A} : N ⊗_{τ} A → N′ ⊗_{τ} A compatible aux différentielles. Nous obtenons ainsi un foncteur

L_{τ} : Com C → Mod A, N → N ⊗_{τ} A

que nous noterons L lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguité.

Lemme 2.2.1.2 Le foncteur L : Com C → Mod A est adjoint à gauche au foncteur R : Mod A → Com C.

Démonstration : Soit N un objet de Com C et M un objet de Mod A. Nous allons donner la bijection fonctorielle

ϕ : Hom_{Mod A}(LN, M) ⟶ Hom_{Com C}(N, RM).

Soit f : LN → M un morphisme de Mod A. Par le lemme 2.1.1.1, il est déterminé par sa composition α = f ∘ (1_{N} ⊗ η^{A}) : N → M. Par le lemme 2.1.2.1, le morphisme α détermine à son tour un morphisme gradué de C-comodules co-unitaires ϕ(f) : N → RM tel que (1 ⊗ η^{C})ϕ(f) = α. On vérifie que la condition b_{τ} ϕ(f) − ϕ(f)d_{N} = 0 équivaut à la condition d_{M}f − fD_{τ} = 0. □

Définition 2.2.1.3 Une cochaîne tordante admissible τ : C → A est acyclique si, pour tout objet M de Mod A, le morphisme d’adjonction

ϕ : LRM → M

est un quasi-isomorphisme (voir la proposition 2.2.4.1 ci-dessous pour des conditions équivalentes).

Notation 2.2.1.4 (Construction bar et cobar) Soit A un objet de Alga. Nous notons B^{+}A la cogèbre co-augmentée (B\overline{A})^{+}, où \overline{A} est l’algèbre réduite associée à A. Attention à ne pas confondre les cogèbres co-augmentées B^{+}A et (BA)^{+}. Soit C un objet de Cogca. Nous notons Ω^{+}C l’algèbre augmentée (Ω\overline{C})^{+}, où \overline{C} est le cogèbre réduite associée à C. Elle n’est pas isomorphe à (ΩC)^{+}.

Lemme 2.2.1.5 a. Soit A un objet de Alga. Soit p : B\overline{A} → S\overline{A} la projection canonique. La

composition

τ_{A} : B^{+}A → B\overline{A} ⟶^{ω∘p} \overline{A} → A,

où la première flèche est la projection canonique et la dernière l’injection canonique, est une cochaîne tordante admissible. La cochaîne τ_{A} est universelle parmi les cochaînes tordantes admissibles de but A, i. e. si C est un objet de Coga et τ : C → A est une cochaîne tordante admissible, il existe un unique morphisme g_{τ} tel que τ_{A} ∘ g_{τ} = τ.

b. De façon duale, nous associons à un objet C de Cogca une cochaîne tordante admissible

τ_{C} : C → \overline{C} ⟶^{i∘ω} Ω\overline{C} → Ω^{+}C

où i : S^{−1}\overline{C} → Ω\overline{C} est l’injection canonique. La cochaîne τ_{C} est universelle parmi les cochaînes tordantes admissibles de source C, i. e. si τ : C → A est une cochaîne tordante admissible, il existe un unique morphisme f_{τ} tel que f_{τ} ∘ τ_{C} = τ.

Démonstration : Soit C un objet de Cogca et A un objet de Alga. Soit τ : C → A un morphisme gradué de degré +1 dont la composition avec la co-augmentation de C et l’augmentation de A est nulle. Soit

f_{τ} : Ω^{+}C → A

le morphisme gradué d’algèbres augmentées relevant (1.1.2.1) la composition τ ∘ s et

g_{τ} : C → B^{+}A

le morphisme gradué de cogèbres co-augmentées relevant (1.1.2.2) la composition s ∘ τ. Par la démonstration du lemme 1.2.2.5, le morphisme gradué τ est une cochaîne tordante si et seulement si f_{τ} est compatible aux différentielles si et seulement si g_{τ} est compatible aux différentielles.

a. La composition ω ∘ p : B\overline{A} → \overline{A} est une cochaîne tordante car le relèvement (1.1.2.2) de p : B\overline{A} → S\overline{A} est l’identité de la cogèbre B\overline{A} (et cette dernière commute évidemment à la différentielle de B\overline{A}). L’universalité est immédiate.

b. Idem. □

Définition 2.2.1.6 On appelle τ_{A} la cochaîne tordante universelle de A et τ_{C} la cochaîne tordante universelle de C.

Remarque 2.2.1.7 Dans [HMS74], le foncteur

R_{τ_{A}} : Mod A → Comc B^{+}A, M ↦ M ⊗_{τ_{A}} B^{+}A,

est noté B_{A}M. □

Notons

Res : Mod A → Mod Ω^{+}C

le foncteur restriction le long de f_{τ} et

Ind : Mod Ω^{+}C → Mod A

le foncteur induction. On sait que (Ind, Res) est une paire de foncteurs adjoints de la catégorie Mod Ω^{+}C vers la catégorie Mod A. Notons

Res^{op} : Comc C → Comc B^{+}A

le foncteur corestriction le long de g_{τ} et

Ind^{op} : Comc B^{+}A → Comc C

le foncteur co-induction. On sait que (Res^{op}, Ind^{op}) est une paire de foncteurs adjoints de la catégorie Comc C vers la catégorie Comc B^{+}A.

Lemme 2.2.1.8 a. La paire de foncteurs adjoints (L_{τ} , R_{τ}) de la catégorie Mod A vers la catégorie Comc C est la composition de la paire (Ind, Res) avec la paire (L_{τ_{C}} , R_{τ_{C}}).

b. La paire de foncteurs adjoints (L_{τ} , R_{τ}) de la catégorie Mod A vers la catégorie Comc C est la composition de la paire (L_{τ_{A}}, R_{τ_{A}}) avec la paire (Res^{op}, Ind^{op}). □

Lemme 2.2.1.9 a. Soit A un objet de Alga. La cochaîne tordante universelle τ_{A} est acyclique.

b. Soit C un objet de Cogca. La cochaîne tordante universelle τ_{C} est acyclique.

Démonstration : a. Soit M un objet de Mod A. Montrons que LRM = (M ⊗ B^{+}A ⊗ A, d) est une résolution (dite résolution bar normalisée) de M

bar_{A}(M) = ⋯ → M ⊗ \overline{A}^{⊗i} ⊗ A → ⋯ → M ⊗ \overline{A} ⊗ A → M ⊗ A,

et que le morphisme Φ correspondant au morphisme bar_{A}(M) → M est un quasi-isomorphisme. Comme dans le cas où M est concentré en degré 0, (voir [CE99, IX.6] où ce complexe se nomme le complexe standard normalisé) les morphismes

h_{i−1} = 1^{⊗i} ⊗ p ⊗ ε : M ⊗ \overline{A}^{⊗i−1} ⊗ A → M ⊗ \overline{A}^{⊗i} ⊗ A,

où p est la projection canonique, définissent une homotopie contractante du complexe

⋯ → M ⊗ \overline{A}^{⊗i} ⊗ A → ⋯ → M ⊗ \overline{A} ⊗ A → M ⊗ A → M → 0.

b. Soit M un objet de Mod Ω^{+}C. Montrons que Φ : LRM → M est un quasi-isomorphisme filtré. Munissons Ω\overline{C} de la filtration induite par la filtration primitive de \overline{C} considéré comme cogèbre. Nous avons alors une filtration de Ω^{+}C définie par la suite

(Ω^{+}C)_{i} = (Ω\overline{C})_{i} ⊕ e, i ≥ 0.

Munissons C, considéré comme objet de Com C, de sa filtration primitive de C-module (nous la complétons par C_{[0]} = e). Munissons M de la filtration définie par la suite M_{i} = M, i ≥ 0. Ces filtrations induisent sur LRM = (M ⊗ C ⊗ Ω^{+}C) une filtration de complexes. Le morphisme Φ : LRM → M devient un morphisme filtré pour ces filtrations. Il induit un morphisme

Gr_{0}(LRM) → Gr_{0}M

qui est l’identité de M. Comme Gr_{i}M = 0 pour tout i ≥ 1, il nous suffit de montrer que

Gr_{i}(LRM), i ≥ 1,

est contractile. Soit i ≥ 1. Par construction, nous avons un isomorphisme d’objets gradués

Gr_{i}(LRM) = M ⊗ e ⊗ Gr_{i}Ω^{+}C ⊕ ( ⨁_{{i_{1}+i_{2}=i \atop i_{1}≠0}} M ⊗ Gr_{i_{1}}C ⊗ Gr_{i_{2}}Ω^{+}C).

La différentielle a pour matrice

[ \begin{matrix}0 & ρ \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

où ρ est le morphisme induit par T_{τ_{C}}

⨁_{{i_{1}+i_{2}=i \atop i_{1}≠0}} M ⊗ Gr_{i_{1}}C ⊗ Gr_{i_{2}}Ω^{+}C ⟶ M ⊗ e ⊗ Gr_{i}Ω^{+}C.

Ce dernier est un isomorphisme car il est induit par l’isomorphisme

⨁_{{i_{1}+i_{2}=i \atop i_{1}≠0}} Gr_{i_{1}}C ⊗ Gr_{i_{2}}Ω^{+}C ⟶ Gr_{i}Ω^{+}C

□

2.2.2 Comc C comme catégorie de modèles

Soit C un objet de Cogca. Dans cette section, nous allons munir Comc C d’une structure de catégorie de modèles. Nous commençons par rappeler la structure de catégorie de modèles sur Mod A, où A est un objet de Alga et nous énonçons ensuite le théorème principal (2.2.2.2). Nous ne détaillerons pas toute sa démonstration car elle est similaire à celle de (1.3.1.2). Seul les points qui diffèrent seront développés.

Rappels sur la catégorie Mod A

Soit A une algèbre différentielle graduée unitaire. Dans la catégorie Mod A, considérons les trois classes de morphismes suivantes - la classe Qis des quasi-isomorphismes,

- la classe Fib des morphismes f : M → M′ tels que f^{n} est un épimorphisme pour tout n ∈ Z,

- la classe Cof des morphismes qui ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux morphismes appartenant à Qis ∩ Fib.

Théorème 2.2.2.1 (Hinich [Hin97]) La catégorie Mod A munie des classes de morphismes définies ci-dessus est une catégorie de modèles. Tous les objets sont fibrants. Les objet cofibrants sont décrits dans la remarque 2.2.2.10 ci-dessous.

Le théorème principal

Soit A un objet de Alga et C un objet de Cogca. Soit τ : C → A une cochaîne tordante admissible acyclique. Dans la catégorie Comc C des comodules différentiels gradués co-unitaires cocomplets, nous considérons les trois classes de morphismes suivantes :

- la classe Eq des équivalences faibles est formée des morphismes f : N → N′ tels que Lf : LN → LN′ est un quasi-isomorphisme de modules,

- la classe Cof des cofibrations est formée des morphismes f : N → N′ qui, en tant que morphismes de complexes, sont des monomorphismes,

- la classe Fib des fibrations est formée des morphismes qui ont la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales.

Théorème 2.2.2.2 a. La catégorie Comc C munie des trois classes de morphismes ci-dessus est une catégorie de modèles. Tous ses objets sont cofibrants. Un objet de Comc C est fibrant si et seulement si il est un facteur direct d’un objet RM, où M est un objet de Mod A.

b. Munissons la catégorie Mod A de la structure de catégorie de modèles du théorème 2.2.2.1. La paire de foncteurs adjoints (L, R) de Comc C dans Mod A est une équivalence de Quillen.

c. La structure de catégorie de modèles sur Comc C ne dépend pas de la cochaîne tordante admissible acyclique τ.

Ce théorème et le lemme 2.2.1.9 implique le corollaire suivant :

Corollaire 2.2.2.3 La catégorie Comc C admet une unique structure de catégorie de modèles telle que pour toute cochaîne tordante admissible acyclique τ : C → A, où A est un objet de Alga, le couple de foncteurs adjoints (L, R) est une équivalence de Quillen. □

Définition 2.2.2.4 Nous appelons la structure de catégorie de modèles sur Comc C du corollaire la structure canonique.

Pour montrer le théorème 2.2.2.2, nous avons besoin (comme pour la démonstration du théorème 1.3.1.2) d’introduire des filtrations.

Si l’algèbre A (resp. la cogèbre C) est filtrée, un A-module différentiel gradué filtré (resp. Ccomodule différentiel gradué filtré) est un A-module (resp. C-comodule) dans la catégorie des complexes filtrés. Un C-comodule filtré M est admissible si sa filtration est exhaustive et si M_{0} = 0. Par définition, tous les objets de Comc C, munis de leur filtration primitive sont admissibles.

Lemme 2.2.2.5 Si C est munie d’une filtration exhaustive de cogèbres telle que C_{0} = e, un quasiisomorphisme filtré de C-comodules admissibles est une équivalence faible.

Démonstration : Soit f : N → N′ un quasi-isomorphisme filtré de C-comodules admissibles. La filtration de N induit une filtration de A-module définie par la suite

(LN)_{i} = N_{i} ⊗ A, i ≥ 0.

La différentielle de (LN)_{i}, i ≥ 0, est la somme de la différentielle du produit tensoriel N_{i} ⊗ A et de la contribution de D_{τ}. Comme la filtration de N est admissible et que la cochaîne τ : C → A est admissible, la contribution de D_{τ} fait décroître la filtration de LN. Ainsi, la différentielle de

GrLN ⟶^{∼} GrN ⊗ A

est celle du produit tensoriel GrN ⊗ A et le morphisme Lf est bien un quasi-isomorphisme de A-modules. □

Lemme 2.2.2.6 a. Soit M et M′ deux objets de Mod A. Le foncteur R envoie un quasiisomorphisme f : M → M′ sur une équivalence faible Rf : RM → RM′ dans Comc C.

b. Soit M un objet de Mod A. Le morphisme d’adjonction

Φ : LRM ⟶ M

est un quasi-isomorphisme de A-modules.

c. Soit N un objet de Comc C. Le morphisme d’adjonction

Ψ : N ⟶ RLN

est une équivalence faible de Comc C.

Démonstration :

b. La cochaîne τ est acyclique.

a. Le morphisme Rf est une équivalence faible si et seulement si LRf est un quasi-isomorphisme. Par le point b, Φ est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, on a

Φ_{M} ∘ f = LRf ∘ Φ_{M′}.

La saturation des quasi-isomorphismes dans Mod A nous donne le résultat.

c. Nous voulons montrer que Ψ est une équivalence faible, c’est-à-dire que LΨ : LN → LRLN est un quasi-isomorphisme. Nous savons que

Φ_{LN} ∘ LΨ_{N} = 1_{LN}

et que Φ est un quasi-isomorphisme. Le morphisme LΨ est donc aussi un quasi-isomorphisme. □

Rappelons la description de [Hin97] des cofibrations de Mod A. Les cofibrations standard (resp. triviales) de Mod A sont définies comme dans la définition 1.3.2.5, à la différence près que M^{♯} désigne le complexe sous-jacent à un objet M de Mod A et que F V désigne le module différentiel gradué libre sur un complexe V. Nous avons alors la même description (voir juste dessous 1.3.2.5) des cofibrations (resp. triviales) de Mod A à partir des cofibrations standard (resp. triviales).

Lemme 2.2.2.7 Soit N un objet de Comc C et N′ un sous-objet de N tel que ΔN ⊂ N ⊗e⊕N′⊗C. Le foncteur L envoie l’inclusion N′ ↪ N sur une cofibration standard.

Démonstration : Soit E le conoyau de l’inclusion N′ ↪ N. Choisissons un scindage dans la catégorie des objets gradués

N ⟶^{∼} N′ ⊕ E.

Selon cette décomposition, la comultiplication Δ^{N} est donnée par deux composantes

Δ^{N′} : N′ → N′ ⊗ C et Δ^{E} = [ \begin{matrix}Δ_{1}^{E} \\ Δ_{2}^{E} \end{matrix} ] : E ⟶ N ⊗ e ⊕ N′ ⊗ C,

et la différentielle est donnée par la différentielle de N′, celle de E et un morphisme

d′ : E ⟶ N′.

Nous avons un isomorphisme d’objets gradués

LN ⟶^{∼} LN′ ⊕ LE.

La différentielle est la somme de celle de LN′ ⊕ LE, du morphisme

d′ ⊗ 1 : E ⊗ A → N′ ⊗ A

et du morphisme d′_{τ} qui est la composition

E ⊗ A ⟶^{Δ_{2}^{E}⊗1} N′ ⊗ C ⊗ A ⟶^{1⊗τ⊗1} N′ ⊗ A ⊗ A ⟶^{1⊗μ^{A}} N′ ⊗ A.

Remarquons qu’il n’y a pas de contribution de Δ_{1}^{E} car la cochaîne τ est admissible. Posons

D′ = (d′ ⊗ 1 + d′_{τ})s : S^{−1}E → N′ ⊗ A.

Nous vérifions que LN est isomorphe à

LN′⟨S^{−1}E, D′⟩.
□

Lemme 2.2.2.8 a. Le foncteur L préserve les cofibrations et les équivalences faibles.

b. Le foncteur R préserve les fibrations et les équivalences faibles.

Démonstration :

a. Soit j : N′ ↣ N une cofibration de Comc C. Soit la filtration de N donnée par la suite

N_{i} = j(N′) + N_{[i]}, i ≥ 0,

où N_{[i]}, i ≥ 1, est la filtration primitive de N (complétée par N_{0} = 0). Remarquons que, pour tout i ≥ 1, nous avons

ΔN_{i} ⊂ N_{i} ⊗ e ⊕ N_{i−1} ⊗ C.

Nous pouvons donc appliquer le lemme 2.2.2.7. Il certifie que LN_{i} → LN_{i+1} est une cofibration standard. Le morphisme Lj : LN′ → LN est ainsi la composition dénombrable des cofibrations standard LN_{i} → LN_{i+1}, il est donc une cofibration. Par définition des équivalences faibles dans Comc C, le foncteur L préserve les équivalences faibles.

b. Par le point a et l’adjonction (L, R, ϕ) de Comc C dans Mod A, le foncteur R conserve les fibrations. Le fait qu’il conserve les équivalences faibles est le point a du lemme 2.2.2.6. □

Lemme 2.2.2.9 Soit M un objet de Mod A et N un objet de Comc C. Soit une fibration p : M ↠ LN de Mod A. Le morphisme j : RM ∏_{RLN} N → RM de comodules du diagramme cartésien

\xymatrix{RM ∏_{RLN} N \ar[d]_{j} \ar[r] & N \ar[d]^{Ψ} \\ RM \ar[r]^{cart.}_{Rp} & RLN.}

est une cofibration triviale de Comc C.

Démonstration : Soit K le noyau de p. Nous avons des isomorphismes d’objets gradués

RM ⟶^{∼} RK ⊕ RLN, RM ∏_{RLN} N ⟶^{∼} RK ⊕ N.

Le morphisme j s’écrit alors

[ \begin{matrix}1 & ∗ \\ 0 & Ψ \end{matrix} ] .

Nous avons donc un diagramme de Mod A

\xymatrix{0 \ar[r] & LRK \ar[r] \ar[d]_{L1} & L(RM ∏_{RLN} N) \ar[d]^{Lj} \ar[r] & LN \ar[d]^{LΨ} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & LRK \ar[r] & RM \ar[r] & LRLN \ar[r] & 0,}

où les lignes sont exactes et où la flèche verticale de droite et celle de gauche sont des quasiisomorphismes. Le morphisme Lj est donc un quasi-isomorphisme, et j est une équivalence faible de Comc C. Il est clairement un monomorphisme, donc une cofibration de Comc C. □

Démonstration du théorème 2.2.2.2

Par les lemmes ci-dessus, la démonstration du fait que les classes Eq, Cof et Fib définissent une structure de catégorie de modèles est la même que celle du théorème 1.3.1.2.

Objets cofibrants et objets fibrants de Comc C

Tous les objets de Comc C sont cofibrants puisque les cofibrations sont les monomorphismes. Montrons qu’un objet de Comc C est fibrant si et seulement si il est un facteur direct d’un objet

RM, où M est un objet de Mod A. Nous rappelons (2.2.2.1) que tous les objets de Mod A sont fibrants. Par le lemme 2.2.2.8, l’image du foncteur R est donc formé d’objets fibrants de Comc C. Ainsi, tous les objets de la forme RM et leurs facteurs directs sont fibrants. Réciproquement si N est fibrant, par l’axiome (CM4), le morphisme Ψ : N → RLN (qui est une cofibration triviale) est scindé. L’objet N est donc un facteur direct de RLN

Remarque 2.2.2.10 La dualisation de cette démonstration montre que les objets cofibrants de Mod A sont les facteurs directs des LN, N ∈ Comc C.

Le point b du théorème 2.2.2.2 est un corollaire du lemme 2.2.2.5. Il nous reste à montrer le point c.

Unicité de la structure de catégorie de modèles sur Comc C

Soit A′ un objet de Alga. Soit τ′ : A′ → C une cochaîne tordante admissible acyclique. Nous voulons montrer que la structure de catégorie de modèles sur Comc C (définie au point a de 2.2.2.2) relative à τ est la même que celle relative à τ′.

Il suffit de le montrer dans le cas où τ′ est la cochaîne universelle τ_{C}. Nous allons montrer que les classes des cofibrations et les classes des équivalences faibles relatives aux deux structures coïncident. C’est vrai pour les cofibrations puisqu’elles sont les monomorphismes. Nous rappelons (2.2.1.8) que la paire de foncteurs adjoints (L_{τ} , R_{τ}) de Mod A vers Comc C est la composition de la paire (Ind, Res) avec la paire (L_{τ_{C}} , R_{τ_{C}}). Comme le foncteur Res induit une équivalence entre les localisations de Mod A et Mod Ω^{+}C par rapport aux quasi-isomorphismes (voir [Kel94a, exple 6.1]), les équivalences faibles des deux structures sur Comc C coïncident par le point b du théorème 2.2.2.2. □

Quasi-isomorphismes filtrés et équivalences faibles

Nous notons Qisf la classe des morphismes f : N → N′ tels que C admet une filtration exhaustive de cogèbre telle que C_{0} = e et tels que N et N′ admettent des filtrations admissibles de C-comodules pour lesquelles f est un quasi-isomorphisme filtré. Le lemme 2.2.2.5 montre que nous avons une inclusion

Qisf ⊂ Eq.

On rappelle (voir appendice A) que la catégorie homotopique Ho Comc C est la localisation

( Comc C)[Eq^{−1}].

Lemme 2.2.2.11 Le foncteur canonique

( Comc C)[Qisf^{−1}] ⟶^{∼} Ho Comc C

est une équivalence.

Démonstration : La démonstration est similaire à celle du point a de la proposition 1.3.5.1. Nous vérifions que le morphisme d’adjonction

Ψ : N → R_{τ_{C}} L_{τ_{C}} N

est un morphisme quasi-isomorphisme filtré pour la filtration primitive sur N et la filtration sur R_{τ_{C}} L_{τ_{C}} N induite par les filtrations primitives de N et C. Le morphisme R_{τ_{C}} L_{τ_{C}} f est clairement un quasi-isomorphisme filtré. La propriété de saturation des quasi-isomorphismes filtrés appliquée à l’égalité RLf ∘ Ψ_{N} = Ψ_{N′} ∘ f nous donne le résultat. □

2.2.3 Structure triangulée sur Ho Comc C

Rappel sur la structure triangulée sur Ho Mod A

Rappelons qu’une catégorie de Frobenius est une catégorie exacte au sens de Quillen [Qui73] qui possède assez d’injectifs et assez de projectifs et dont la classe des projectifs coïncide avec celle des injectifs. Il est connu [Hel60], [Hap87], [KV87] que le quotient d’une catégorie de Frobenius A par l’idéal des morphismes se factorisant par un projectif est une catégorie triangulée [Ver77]. On l’appelle la catégorie stable associée à A.

Soit A une algèbre différentielle graduée unitaire. La catégorie Mod A, munie de la classe E formée des suites exactes

0 → M′ ⟶^{f} M ⟶^{g} M′′ → 0

qui sont scindées dans la catégorie de modules gradués, est une catégorie exacte. La classe des objets injectifs est formée des complexes de la forme

IM = (M ⊕ SM, [ \begin{matrix}0 & ω \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ), M ∈ Mod A.

Elle coïncide avec la classe des objets projectifs. La catégorie Mod A est donc une catégorie de Frobenius. Nous notons HA la catégorie stable associée à Mod A. Elle est une catégorie triangulée. Son foncteur suspension est le foncteur M ↦ SM. Ses triangles standard proviennent des suites exactes de E. Les quasi-isomorphismes de Mod A sont exactement les morphismes f dont l’image \overline{f} par le foncteur canonique Mod A → HA s’insère dans un triangle

N → M ⟶^{\overline{f}} M′ → SN,

où N est acyclique. La catégorie dérivée DA est la localisation de la catégorie HA par rapport aux quasi-isomorphismes. Les triangles standard de DA sont l’image par le foncteur

Q : HA ⟶ DA

des triangles standard de HA. La catégorie dérivée DA, munie de l’endofoncteur suspension est triangulée pour la classe des triangles distingués, i. e. les triangles isomorphes à des triangles standard. Si f est un morphisme de Mod A, on note C(f) son cône. Si

0 → M′ ⟶^{i} M ⟶^{p} M′′ → 0

est une suite exacte (non nécessairement scindée) de Mod A, le morphisme [p, 0] : C(i) → M′′ est un quasi-isomorphisme et la suite

M′ ⟶^{Q\overline{i}} M ⟶^{Q\overline{p}} M′′ ⟶^{δ} SM′,

où le morphisme δ est le morphisme de DA défini par

M′′ ⟵^{[p,0]} C(i) ⟶^{[−1,0]} SM′,

est un triangle distingué de DA.

Structure triangulée sur Ho Comc C

Soit C un objet de Cogca. La catégorie Comc C, munie de la classe F des suites exactes courtes qui sont scindées dans la catégorie des comodules gradués, est une catégorie de Frobenius dont la classe des objets injectifs est formée des objets

IN = (N ⊕ SN, [ \begin{matrix}0 & ω \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ), N ∈ Comc C.

Nous notons HC la catégorie stable associée. Elle est triangulée. Son foncteur suspension est N ↦ SN. Les suites exactes de F donnent lieu aux triangles standard. Les triangles distingués sont les triangles isomorphes aux triangles standard.

Soit τ : C → A une cochaîne tordante admissible acyclique où A est un objet de Alga. Les foncteurs L et R forment un couple de foncteurs exacts entre les catégories Comc C et Mod A et préservent l’injectivité. Ils induisent donc un couple de foncteurs adjoints triangulés entre les catégories stables HC et HA. La catégorie dérivée DC est la catégorie localisée (HC)[Eq^{−1}]. Rappelons (thm 1.3.1.2) que les foncteurs R et L (définis en 2.2.1) induisent des équivalences inverses l’une de l’autre entre les catégories localisées

DA = (HA)[Qis^{−1}] et (HC)[Eq^{−1}] = DC.

En particulier, le système multiplicatif Eq est compatible aux triangles de HC car il est l’image réciproque du système multiplicatif des isomorphismes de DA par le foncteur triangulé composé

HC ⟶^{L} HA ⟶ DA.

Il en résulte que DC porte une structure triangulée canonique et que les équivalences induites entre DA et DC sont des foncteurs triangulés.

2.2.4 Caractérisation de l’acyclicité des cochaînes tordantes

Nous rappelons que le foncteur ^{+} : Cogc → Cogca est une équivalence de catégories (2.1.2). Munissons Cogca de la structure de catégorie de modèles induite par celle de Cogc (voir 1.3.1.2).

Proposition 2.2.4.1 Soit A un objet de Alga et C un objet de Cogca. Soit τ : C → A une cochaîne tordante admissible. Les conditions suivantes sont équivalentes.

a. La cochaîne tordante τ est acyclique, i. e. si M est un objet de Mod A, le morphisme

d’adjonction

Φ : LRM → M

est un quasi-isomorphisme de Mod A.

b. Si N est un objet de Comc C, le morphisme d’adjonction

Ψ : N → RLN

est une équivalence faible de Comc C.

c. Le morphisme d’adjonction

LRA = A ⊗_{τ} C ⊗_{τ} A ⟶^{Φ_{A}} A

est un quasi-isomorphisme de Mod A.

d. Le morphisme

η_{A} ⊗ ε_{C} : e → A ⊗_{τ} C

est une équivalence faible de Comc C.

e. Le morphisme d’algèbres f_{τ} (2.2.1.5) est un quasi-isomorphisme. f. Le morphisme de cogèbres g_{τ} (2.2.1.5) est une équivalence de Cogca.

Démonstration :

a ⇒ b. C’est une conséquence du point b du théorème 2.2.2.2.

a ⇒ c. C’est clair.

b ⇒ d. Nous avons l’égalité Ψ_{e} = η_{A} ⊗ ε_{C}.

c ⇒ a. La sous-catégorie de DA formée des objets M tel que

Φ : LRM → M

est un quasi-isomorphisme est une sous-catégorie triangulée aux sommes infinies contenant A par hypothèse. Elle coïncide donc (voir [Kel94a, 4.2]) avec DA.

d ⇒ e. Rappelons que τ_{C} : C → Ω^{+}C est acyclique (2.2.1.9). Cela implique que le morphisme

L_{τ_{C}} e = Ω^{+}C ⟶ L_{τ_{C}} (A ⊗_{τ} C) = L_{τ_{C}} R_{τ_{C}} Res A

et le morphisme d’adjonction

L_{τ_{C}} R_{τ_{C}} Res A → Res A

sont des quasi-isomorphismes. Le morphisme f_{τ} est un quasi-isomorphisme car il est égal à la composée

Ω^{+}C ⟶ L_{τ_{C}} R_{τ_{C}} Res A ⟶ Res A.

e ⇔ f. C’est le point b du théorème 1.3.1.2.

e ⇒ a. Comme la cochaîne τ_{C} est acyclique, le morphisme d’adjonction

L_{τ_{C}} R_{τ_{C}} M = M ⊗_{τ} C ⊗_{τ_{C}} Ω^{+}C → M

est un quasi-isomorphisme. Par ailleurs, il est égal à la composée

M ⊗_{τ} C ⊗_{τ_{C}} Ω^{+}C ⟶^{ϕ_{M}} M ⊗_{τ} C ⊗_{τ} A ⟶^{Φ_{M}} M.

Il nous suffit donc de montrer que le morphisme ϕ_{M} induit par le morphisme f_{τ} est un quasiisomorphisme. Munissons le comodule M ⊗_{τ} C de sa filtration primitive. Nous avons alors

Gr(M ⊗_{τ} C) = M ⊗ GrC

et des filtrations induites sur M ⊗_{τ} C ⊗_{τ} A et M ⊗_{τ} C ⊗_{τ} Ω^{+}C qui vérifient

Gr(M ⊗_{τ} C ⊗_{τ} A) = M ⊗ GrC ⊗ A et Gr(M ⊗_{τ} C ⊗_{τ_{C}} Ω^{+}C) = M ⊗ GrC ⊗ Ω^{+}C.

Pour ces filtrations, le morphisme ϕ_{M} est un morphisme filtré et il induit des quasi-isomorphismes dans les objets gradués car f_{τ} est un quasi-isomorphisme. Il est donc un quasi-isomorphisme. □

2.3 Polydules

2.3.1 Définitions

Définition 2.3.1.1 Soit A une A_{n}-algèbre. Un A_{n}-module sur A dans la catégorie GrC′ est un objet gradué M dans GrC′ muni d’une famille de morphismes gradués

m_{i}^{M} : M ⊗ A^{⊗i−1} → M, 1 ≤ i ≤ n,

de degré 2 − i, telle qu’une équation (∗′_{m}) de la même forme que l’équation (∗_{m}) de la définition 1.2.1.1 est vérifiée pour tout 1 ≤ m ≤ n. Dans l’équation (∗′_{m}), pour j > 0, les termes

m_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l})

de l’équation (∗_{m}) doivent être interprétés comme

m_{i}^{M}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) : M ⊗ A^{⊗m−1} → M,

et, pour j = 0, comme

m_{i}^{M}(m_{k}^{M} ⊗ 1^{⊗l}) : M ⊗ A^{⊗m−1} → M.

Définition 2.3.1.2 Soit A une A_{∞}-algèbre. Un A-polydule dans GrC′ (dans la littérature, cette structure est communément appelée un A_{∞}-module sur A) est un objet gradué M muni d’une famille de morphismes gradués

m_{i}^{M} : M ⊗ A^{⊗i−1} → M, 1 ≤ i,

de degré 2 − i, telle que l’équation (∗′_{m}) est vérifiée pour tout 1 ≤ m.

Définition 2.3.1.3 La suspension SM d’un A-polydule est le A-polydule dont l’objet gradué sous-jacent est la suspension SM et dont les multiplications sont définies par

m_{i}^{SM} = (−1)^{i}s ∘ m_{i}^{M} ∘ (ω ⊗ 1^{⊗i−1}), i ≥ 1.

La section 2.3.3 nous certifiera que ceci définit bien un A-polydule.

Définition 2.3.1.4 Soit A une A_{n}-algèbre, et M et N deux A_{n}-modules sur A. Un A_{n}-morphisme de A_{n}-modules f : M → N est une famille de morphismes gradués de C′

f_{i} : M ⊗ A^{⊗i−1} → N, 1 ≤ i ≤ n,

de degré 1 − i, vérifiant, pour tout 1 ≤ m ≤ n, l’égalité

(∗∗′_{m}) ∑(−1)^{jk+l}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = ∑ m_{s+1}(f_{r} ⊗ 1^{⊗s})

dans Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗m−1}, N), où j + k + l = m, i = j + k + 1 et r + s = m. Un A_{n}-morphisme f est strict si f_{i} = 0 pour tout i ≥ 2. Soit M, N et T trois A_{n}-modules sur A. Soit g : M → N et f : N → T deux A_{n}-morphismes de A_{n}-modules. La composition f ∘ g : M → T est définie par la suite

(f ∘ g)_{i} = ∑_{k+l=i} f_{1+l}(g_{k} ⊗ 1^{⊗l}), 1 ≤ i ≤ n.

Définition 2.3.1.5 Soit A une A_{∞}-algèbre et M et N deux A-polydules Un A_{∞}-morphisme f : M → N est une famille de morphismes gradués

f_{i} : M ⊗ A^{⊗i−1} → N, 1 ≤ i,

de degré 1 − i, telle que l’équation (∗∗′_{m}) est vérifiée pour tout 1 ≤ m. La composition des A_{∞}- morphismes est définie par les mêmes formules que celle de la composition d’A_{n}-morphismes. Un A_{∞}-morphisme f est strict si f_{i} = 0 pour tout i ≥ 2.

Il résultera de la section 2.3.3 que nous obtenons bien ainsi une catégorie. Nous la notons Nod_{∞} A. La lettre N remplace la lettre M de Mod et se rapporte au Non dans “A_{∞}-module Non unitaires”. Notons Nod_{∞}^{strict} A la sous-catégorie de Nod_{∞} A dont les objets sont les A-polydules et dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts.

Remarque 2.3.1.6 Soit A une A_{∞}-algèbre. De manière analogue à la remarque 1.2.1.3, si M est un A-polydule,

- (M, m_{1}) est un complexe;

- le morphisme m_{2}^{M} : M ⊗ A → M définit une action à homotopie près de l’algèbre fortement homotopiquement associative (1.2.1.3) A sur M. Le défaut de compatibilité de la multiplication m_{2}^{A} et de l’action m_{2}^{M} est égal au bord de m_{3}^{M} dans

(Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗2}, M), δ),

où δ est défini à l’aide de m_{1}^{M} et m_{1}^{A}.

- Si f : M → N est un A_{∞}-morphisme de A-polydules, le morphisme f_{1} est un morphisme de complexes (M, m_{1}^{M}) → (N, m_{1}^{N}).

Remarque 2.3.1.7 Soit A une A_{∞}-algèbre. Les morphismes m_{i}^{A}, i ≥ 1, définissent une structure de A-polydule sur l’objet sous-jacent à A.

Remarque 2.3.1.8 Soit A un objet de Alg et (M, d^{M}, Δ^{M}) un A-module différentiel gradué. Les morphismes

m_{1}^{M} = d^{M}, m_{2}^{M} = Δ^{M}, m_{i}^{M} = 0 pour i ≥ 3

définissent sur l’objet sous-jacent à M une structure de A-polydule. La catégorie des A-modules différentiels gradués est une sous-catégorie non pleine de la catégorie des A-polydules.

Définition 2.3.1.9 Soit A une A_{∞}-algèbre et M et N deux A-polydules. Un A_{∞}-morphisme de A-polydules f : M → N est un A_{∞}-quasi-isomorphisme si f_{1} est un quasi-isomorphisme de complexes.

Définition 2.3.1.10 Soit A une A_{∞}-algèbre et M et N deux A-polydules. Soit f et g deux A_{∞}-morphismes M → N. Une homotopie entre f et g est une famille de morphismes

h_{i} : M ⊗ A^{⊗i−1} → N, 1 ≤ i,

de degré −i vérifiant, pour tout 1 ≤ m, l’équation

(∗ ∗ ∗′_{m})  \begin{aligned}f_{m} − g_{m} & = & ∑(−1)^{s}m_{1+s}(h_{r} ⊗ 1^{⊗s}) \\ & & + ∑(−1)^{jk+l}h_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) \end{aligned}

dans Hom_{GrC′}(M ⊗A^{⊗m−1}, N), où r+s = m et j+k+l = m. Deux A_{∞}-morphismes d’A_{∞}-algèbres f et g sont homotopes s’il existe une homotopie entre f et g.

2.3.2 Unités strictes, augmentations et réductions

Dans ce chapitre, nous étudierons les polydules strictement unitaires sur des A_{∞}-algèbres augmentées. Nous définirons donc ici un type d’unitarité pour les A_{∞}-structures : l’unitarité stricte. Cette structure nous permettra de généraliser certaines propriétés des modules unitaires aux polydules. La pertinence de cette notion d’unitarité relativement à l’homotopie des A_{∞}-structures fera l’objet du chapitre 3.

Définition 2.3.2.1 Une A_{∞}-algèbre A est strictement unitaire si elle est munie d’un morphisme gradué η : e → A de degré 0 tel que m_{i}(1 … 1 ⊗ η ⊗ 1 … 1) = 0 pour tout i ≠ 2 et

m_{2}(1_{A} ⊗ η) = m_{2}(η ⊗ 1_{A}) = 1_{A}.

Le morphisme η s’appelle l’unité (stricte) de A. Si A et A′ sont deux A_{∞}-algèbres strictement unitaires, un A_{∞}-morphisme f : A → A′ est strictement unitaire si f_{1}η^{A} = η^{A′} et f_{i}(1 … 1 ⊗ η ⊗ 1 … 1) = 0 pour tout i ≥ 2.

Par la remarque 1.2.1.5, une algèbre différentielle graduée unitaire est une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. En particulier, l’algèbre e est une A_{∞}-algèbre strictement unitaire.

Définition 2.3.2.2 Une A_{∞}-algèbre A est augmentée si elle est strictement unitaire et munie d’un A_{∞}-morphisme strict d’A_{∞}-algèbres strictement unitaires ε : A → e. Le morphisme ε s’appelle l’augmentation de A.

L’A_{∞}-algèbre réduite \overline{A} est le noyau de ε. Soit A une A_{∞}-algèbre. L’A_{∞}-algèbre augmentée A^{+} a pour objet sous-jacent A ⊕ e, ses multiplications m_{i}, i ≥ 1, sont telles que l’injection canonique e → A⊕e est l’unité stricte et telles qu’elles coïncident avec m_{i}^{A}, i ≥ 1, sur A. Son augmentation est la projection canonique A ⊕ e → e. Nous notons Alga_{∞} la catégorie des A_{∞}-algèbres augmentées. Le foncteur augmentation Alg_{∞} → Alga_{∞} est une équivalence dont le quasi-inverse est le foncteur réduction.

Définition 2.3.2.3 Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. Un A-polydule M est strictement unitaire si m_{i}^{M}(1_{M} ⊗ 1 … 1 ⊗ η ⊗ 1 … 1) = 0 pour tout i ≥ 3 et

m_{2}^{M}(1_{M} ⊗ η) = 1_{M}.

Un morphisme strictement unitaire de A-polydules strictement unitaires est un A_{∞}-morphisme f de A-polydules tel que

f_{i}(1_{M} ⊗ 1 … 1 ⊗ η ⊗ 1 … 1) = 0, i ≥ 2.

Si f et g sont deux morphismes strictement unitaires, une homotopie h entre f et g est strictement unitaire si

h_{i}(1_{M} ⊗ 1 … 1 ⊗ η ⊗ 1 … 1) = 0, i ≥ 2.

Si h est une homotopie strictement unitaire entre deux morphismes strictement unitaires f et g, on dit que f et g sont homotopes (relativement à h) et on note f ∼ g. Nous notons Mod_{∞} A la catégorie des A-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les morphismes strictement unitaires et Mod_{∞}^{strict} A la catégorie des A-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts et strictement unitaires.

Si A est une A_{∞}-algèbre et M un A-polydule, M^{+} est l’A^{+}-polydule (strictement unitaire) qui a pour objet sous-jacent M et dont la multiplication m_{i}^{M^{+}}, i ≥ 1, est telle que, restreinte à A, elle coïncide avec m_{i}^{M}, i ≥ 1 (en particulier le m_{1} ne change pas). Ceci définit un isomorphisme

+ : Nod_{∞} A ⟶^{∼} Mod_{∞} A^{+}

compatible à l’homotopie. Le quasi-inverse est donné par le foncteur qui envoie M sur le \overline{A}-polydule \overline{M} dont l’objet sous-jacent est M et dont la multiplication m\overline{M} ; i, i ≥ 2, est la restriction de m_{i}^{M}, i ≥ 2, à M ⊗ A^{⊗i−1}.

2.3.3 Construction bar

Les démonstrations de cette section étant presque identiques à celles de la section 1.2.2, nous nous contentons d’énoncer les résultats.

Construction bar des polydules

Soit A et M deux objets gradués. Pour chaque i ≥ 1, nous définissons une bijection

Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗i−1}, M) → Hom_{GrC′}(SM ⊗ (SA)^{⊗i−1}, SM)
m_{i}^{M} ↦ b_{i}^{M}

par la relation

ω ∘ b_{i}^{M} = −m_{i}^{M} ∘ ω^{⊗i} (où ω = s^{−1}).

Soit A une A_{∞}-algèbre. Nous rappelons (2.1.2.1) qu’une différentielle b^{M} sur le (BA)^{+}-comodule (co-unitaire) gradué SM ⊗ (BA)^{+} est déterminée par la composition

(1 ⊗ η^{(BA)^{+}}) ∘ b^{M} : SM ⊗ (BA)^{+} → SM

dont nous notons les composantes b_{i}^{M}, i ≥ 1. Les bijections m_{i}^{M} ↔ b_{i}^{M} induisent une bijection de l’ensemble des structures de A-polydule sur M sur l’ensemble des différentielles b^{M} sur le (BA)^{+}- comodule gradué SM ⊗ (BA)^{+}.

Soit A, M et N trois objets gradués. Pour chaque i ≥ 1, nous définissons une bijection

Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗i−1}, M) → Hom_{GrC′}(SM ⊗ (SA)^{⊗i−1}, SM)
f_{i} → F_{i}

par les relations

ω ∘ F_{i} = (−1)^{|F_{i}|}f_{i} ∘ ω^{⊗i}, i ≥ 1,

où F_{i} est un morphisme gradué de degré |F_{i}|. Soit A une A_{∞}-algèbre. On rappelle (2.1.2.1) qu’un morphisme gradué de (BA)^{+}-comodules (co-unitaires)

F : SM ⊗ (BA)^{+} → SN ⊗ (BA)^{+}

est déterminé par la composition

(1 ⊗ η^{(BA)^{+}}) ∘ F : SM ⊗ (BA)^{+} → SM

dont nous notons les composantes F_{i}, i ≥ 1. Les bijections f_{i} ↔ F_{i} induisent une bijection du produit des ensembles de morphismes gradués

f_{i} : M ⊗ A^{⊗i−1} → N, i ≥ 1,

de degré 1−i+n, sur l’ensemble des morphismes gradués de (BA)^{+}-comodules F : SM ⊗(BA)^{+} → SN ⊗ (BA)^{+} de degré n. Si M et N sont des A-polydules, cette bijection envoie bijectivement l’ensemble des familles définissant un A_{∞}-morphisme f : M → N sur l’ensemble des morphismes différentiels gradués de (BA)^{+}-comodules

F : SM ⊗ (BA)^{+} → SN ⊗ (BA)^{+}.

Si f et g sont deux A_{∞}-morphismes de A-polydules, la même bijection envoie bijectivement l’ensemble des homotopies entre f et g sur l’ensemble des homotopies entre les morphismes de (BA)^{+}-comodules F et G correspondant à f et g.

Ceci nous donne un foncteur

Nod_{∞} A → Comc(BA)^{+}, M ↦ (SM ⊗ (BA)^{+}, b^{M}).

Construction bar des polydules strictement unitaires sur une A_{∞}-algèbre augmentée

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Nous notons B^{+}A la cogèbre co-augmentée (B\overline{A})^{+}, où \overline{A} est l’A_{∞}-algèbre réduite associée à A. Attention à ne pas confondre les cogèbres co-augmentées B^{+}A et (BA)^{+}.

Par la section 2.3.2, le foncteur N ↦ \overline{N} est un isomorphisme de catégories

Mod_{∞} A ⟶^{∼} Nod_{∞} \overline{A}.

Le foncteur composé

B_{A} : Mod_{∞} A ⟶^{∼} Nod_{∞} \overline{A} → Comc B^{+}A

est appelé le foncteur construction bar. Nous le noterons souvent B. La suspension SM d’un polydule est envoyée par le construction bar sur BSN = (S^{2}N ⊗ B^{+}A, b^{SN}). Nous vérifions que ce dernier est isomorphe à SBN. Le foncteur construction bar envoie des A_{∞}-morphismes homotopes sur des morphismes homotopes de comodules et il induit une équivalence entre la catégorie Mod_{∞} A et la sous-catégorie prcol B^{+}A de Comc B^{+}A formée des objets presque colibres.

2.3.4 Algèbre Enveloppante

Dans cette section, nous définissons l’algèbre enveloppante UA d’une A_{∞}-algèbre augmentée A puis montrons que la catégorie Mod UA est isomorphe à la catégorie Mod_{∞}^{strict} A.

Soit V un espace gradué (resp. différentiel gradué). L’algèbre tensorielle (augmentée) T V est l’augmentation (\overline{T} V)^{+} de l’algèbre tensorielle réduite. Soit i : V → T V l’injection canonique.

Lemme 2.3.4.1 Soit M un objet gradué. L’application μ^{M} ↦ μ^{M}(1 ⊗ i) est une bijection de l’ensemble des structures de T V -module unitaire sur M sur l’ensemble des morphismes gradués

M ⊗ V → M

de degré 0. L’application inverse associe à g la multiplication

μ : M ⊗ T V → M

dont la composante M ⊗ e → M est l’identité et la composante M ⊗ V^{⊗i} → M est le morphisme g ∘ (g ⊗ 1) ∘ ⋯ ∘ (g ⊗ 1^{⊗i−1}).

Définition 2.3.4.2 Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. L’algèbre enveloppante de A est l’algèbre différentielle graduée UA = Ω^{+}B^{+}A, c’est-à-dire l’algèbre (ΩB\overline{A})^{+}.

Lemme 2.3.4.3 L’A_{∞}-morphisme A → UA donné par le morphisme d’adjonction

B^{+}A → B^{+}UA = B^{+}Ω^{+}B^{+}A

est un A_{∞}-quasi-isomorphisme. Il est universel parmi les A_{∞}-morphismes de A vers une algèbre différentielle graduée. □

Démonstration : C’est un A_{∞}-quasi-isomorphisme par le lemme 1.3.3.6. L’universalité est immédiate grâce à l’adjonction (Ω, B). □

Lemme 2.3.4.4 Nous avons un isomorphisme de catégories

i : Mod UA → Mod_{∞}^{strict} A, M → S^{−1}M.

Démonstration : Soit M un objet gradué. Nous allons montrer que les structures de UAmodule unitaire sur SM sont les structures de A-polydule strictement unitaire sur M. Soit m_{1}^{M} une différentielle sur M et soit

m_{i}^{M} : M ⊗ A^{⊗i−1} → M, i ≥ 2,

des morphismes gradués de degré 2 − i. Nous définissons à l’aide des bijections m_{i}^{M} ↔ b_{i}^{M} de la section 1.2.2, un morphisme

g : SM ⊗ (B\overline{A}) → SM.

Par le lemme 2.3.4.1, le morphisme

SM ⊗ S^{−1}(B\overline{A}) ⟶^{1⊗s} SM ⊗ (B\overline{A}) ⟶^{g} SM

se relève en une structure μ^{U} de Ω^{+}B^{+}A-module gradué unitaire sur SM. Nous vérifions que (SM, μ^{U}, Sm_{1}) définit un module différentiel gradué unitaire si et seulement si les m_{i}^{M}, i ≥ 1, définissent une structure de A-polydule strictement unitaire sur M. Si SM et SN sont deux UAmodules, les morphismes de UA-modules SM → SN s’identifient clairement aux A_{∞}-morphismes stricts de A-polydules M → N. □

2.4 : Catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre augmentée  83

2.4 Catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre augmentée

Introduction

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Le but de cette section est de montrer que la catégorie dérivée

D_{∞}A = Mod_{∞} A[Qis^{−1}]

est équivalente aux catégories

H_{∞}A = Mod_{∞} A/∼ et ( Mod_{∞}^{strict} A)[Qis^{−1}]

où ∼ est la relation d’homotopie. La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre quelconque est étudiée au chapitre 4.

Plan de la section

Cette section est divisée en trois sous-sections. Dans la sous-section 2.4.1, nous démontrons le théorème de l’homotopie et celui des A_{∞}-quasi-isomorphismes pour les polydules. Pour cela, nous caractériserons les objets fibrants de la catégorie de modèles Comc B^{+}A : ils sont exactement les facteurs directs des objets presque colibres et nous montrons que les théorèmes ci-dessus apparaissent alors comme des cas particuliers de résultats fondamentaux de l’algèbre homotopique de Quillen (voir appendice A). Dans la sous-section 2.4.2, nous montrons les équivalences annoncées dans l’introduction ci-dessus (toujours grâce à l’algèbre homotopique de Quillen). Dans la section 2.4.3, nous étudions la structure triangulée de D_{∞}A.

2.4.1 Objets fibrants de Comc B^{+}A

Soit A un objet de Alga_{∞}. Le but de cette section est de montrer la proposition suivante :

Proposition 2.4.1.1 a. La relation d’homotopie (2.3.2.3) dans Mod_{∞} A est une relation d’équivalence compatible à la composition.

b. Un A_{∞}-quasi-isomorphisme de A-polydules est une équivalence d’homotopie.

c. Soit A′ un objet de Alga. Soit Modsh A′ la sous-catégorie pleine de Mod_{∞} A′ formée des A′-modules différentiels gradués unitaires. Notons ∼ la relation d’homotopie sur Modsh A′. L’inclusion Mod A′ ↪ Modsh A′ induit une équivalence

DA′ ⟶^{∼} Modsh A′/∼ .

Remarque 2.4.1.2 Le point c reste vrai même dans le cas où l’algèbre différentielle graduée unitaire A′ n’est pas augmentée (voir 4.1.3.8).

Démonstration : La démonstration est identique à celle du corollaire 1.3.1.3. Elle procède de la même manière en utilisant (à la place du théorème principal 1.3.1.2) le théorème 2.2.2.2 et la proposition 2.4.1.3 ci-dessous. □

Un raffinement de la caractérisation des objets fibrants du théorème 2.2.2.2

Soit C un objet de Cogca. Munissons la catégorie Comc C de sa structure canonique de catégorie de modèles (2.2.2.4). Soit τ : C → A′ une cochaîne tordante admissible acyclique, où A′ est un objet de Alga (il existe toujours une telle cochaîne grâce au lemme 2.2.1.9). Le théorème 2.2.2.2 dit que les objets fibrants de Comc C sont les facteurs directs d’objets de la forme R_{τ} M, où M est un objet de Mod A′. En particulier, les objets fibrants sont facteurs directs d’objets presque colibres de Comc C. Montrons que la réciproque est vrai pour certaines cogèbres :

Proposition 2.4.1.3 Soit C un objet de Cogca qui est isomorphe, en tant que cogèbre graduée, à une cogèbre tensorielle. Les objets fibrants de Comc C sont exactement les facteurs directs d’objets presque colibres.

En particulier, puisque la cogèbre C est isomorphe à la construction bar B^{+}A d’un objet A de Alga_{∞} les objets fibrants de Comc C sont exactement les facteurs directs de comodules qui sont l’image par la construction bar d’un A-polydule. La démonstration de ce résultat est reportée à la fin de cette section. Nous démontrons au préalable quelques propositions.

Mod_{∞} A comme “catégorie de modèles sans limites”

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Dans la catégorie Mod_{∞} A, nous considérons les trois classes de morphismes suivantes :

- la classe Eq est formée des équivalences faibles, c’est-à-dire des A_{∞}-quasi-isomorphismes,

- la classe Cof est formée des cofibrations, c’est-à-dire des A_{∞}-morphismes j : M → M′ tels que j_{1} est un monomorphisme,

- la classe Fib est formée des fibrations, c’est-à-dire des A_{∞}-morphismes q : M → M′ tels que q_{1} est un épimorphisme.

Théorème 2.4.1.4 La catégorie Mod_{∞} A, munie des trois classes définies ci-dessus, vérifie l’axiome (A) du théorème 1.3.3.1 et les axiomes (CM2) – (CM5) de la définition A.7. Tous les objets sont fibrants et cofibrants.

Démonstration : Elle est identique à celle de 1.3.3.1 car basée sur les lemmes d’obstruction (voir appendice B.2). □

Liens entre la “catégorie de modèles sans limites” Mod_{∞} A et la catégorie de modèles Comc B^{+}A

Proposition 2.4.1.5 Soit M et M′ deux objets de Mod_{∞} A.

a. Un A_{∞}-morphisme f : M → M′ est un A_{∞}-quasi-isomorphisme de Mod_{∞} A si et seulement si le morphisme Bf : BM → BM′ est une équivalence faible de Comc B^{+}A.

b. Un A_{∞}-morphisme j : M → M′ est une cofibration de Mod_{∞} A si et seulement si Bj : BM → BM′ est une cofibration de Comc B^{+}A. c. Un A_{∞}-morphisme q : M → M′ est une fibration de Mod_{∞} A si et seulement si Bq : BM →

BM′ est une fibration de Comc B^{+}A.

Démonstration : Soit UA l’algèbre enveloppante de A. Rappelons (2.2.1.5) que la cochaîne tordante universelle

τ : B^{+}A → Ω^{+}B^{+}A = UA

est acyclique. Par le corollaire 2.2.2.3, nous avons une équivalence de Quillen

(L, R) : Comc B^{+}A → Mod UA.

a. Si f est un A_{∞}-quasi-isomorphisme, le morphisme Bf est un quasi-isomorphisme filtré pour les filtrations primitives. Par le lemme 2.2.2.5, il est une équivalence faible de Comc B^{+}A. Supposons que Bf est une équivalence faible de Comc B^{+}A. Soit le diagramme de Comc B^{+}A

\xymatrix{BM \ar[d]_{Bf} \ar[r] & RLBM \ar[d]^{RLBf} \\ BM′ \ar[r] & RLBM′.}

Comme R = Bi, ce diagramme est l’image par B d’un diagramme

\xymatrix{M \ar[d]_{f} \ar[r] & iLBM \ar[d]^{iLBf} \\ M′ \ar[r] & iLBM′.}

Comme Bf est une équivalence faible de Comc B^{+}A, le morphisme LBf est un quasi-isomorphisme de Mod UA. Le morphisme (strict) iLBf est donc un A_{∞}-quasi-isomorphisme dans Mod_{∞} A. Le lemme 2.4.1.6 ci-dessous montre que les flèches horizontales du diagramme ci-dessus représentent des A_{∞}-quasi-isomorphismes. Par la propriété de saturation des A_{∞}-quasi-isomorphismes dans Mod_{∞} A, f est donc un A_{∞}-quasi-isomorphisme.

b et c. Même démonstration que pour la proposition 1.3.3.5. □

Lemme 2.4.1.6 Soit M un objet de Mod_{∞} A. Le morphisme d’adjonction BM → RLBM induit un quasi-isomorphisme dans les primitifs.

Démonstration : Il s’agit de montrer que le morphisme

SM → SM ⊗ B^{+}A ⊗ UA

est un quasi-isomorphisme. Notons C la cogèbre B^{+}A. Nous rappelons que par définition Ω^{+}C = Ω\overline{C}. Il faut montrer que

SM → SM ⊗ C ⊗ Ω^{+}C

est un quasi-isomorphisme. Munissons Ω^{+}C de la filtration induite par la filtration primitive de \overline{C} considéré comme cogèbre. Nous avons alors une filtration de Ω^{+}C définie par la suite

(Ω^{+}C)_{i} = (Ω\overline{C})_{i} ⊕ e, i ≥ 0.

Munissons C, considéré comme objet de Com C, de sa filtration primitive de C-module (on la complète par C_{[0]} = e). Munissons M de la filtration définie par la suite M_{i} = M, i ≥ 0. Ces filtrations induisent sur SM ⊗ C ⊗ Ω^{+}C une filtration de complexes. Tout comme à la fin de la démonstration du point b du lemme 2.2.1.9, nous montrons que

Gr_{0}(SM ⊗ C ⊗ Ω^{+}C) = SM, Gr_{i}(SM ⊗ C ⊗ Ω^{+}C) = 0 pour i ≥ 1.
□

Démonstration de la proposition 2.4.1.3 : Nous pouvons supposer que C est égal à B^{+}A, pour A une A_{∞}-algèbre augmentée. Soit τ la cochaîne tordante universelle de B^{+}A. Nous savons que les objets fibrants de Comc B^{+}A sont les facteurs directs d’objets de la forme RM = M ⊗_{τ} B^{+}A, où M est un objet de Mod Ω^{+}B^{+}A. Ils sont donc des facteurs directs des objets presque colibres. Réciproquement, si N est un objet presque colibre, il est isomorphe à l’image par la construction bar d’un objet M de Mod_{∞} A. Ce dernier étant fibrant dans Mod_{∞} A, l’objet N est fibrant dans Comc B^{+}A par le point c de la proposition 2.4.1.5. □

2.4.2 Catégorie dérivée D_{∞}A

Dans cette section, nous définissons la catégorie dérivée D_{∞}A et en donnons plusieurs descriptions.

Le point a. de la proposition 2.4.1.1 montre que la définition suivante a un sens.

Définition 2.4.2.1 Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Nous notons H_{∞}A la catégorie Mod_{∞} A/∼ , où ∼ est la relation d’homotopie (voir 2.3.2.3). La catégorie dérivée D_{∞}A de Mod_{∞} A est la localisation par rapport aux A_{∞}-quasi-isomorphismes de la catégorie Mod_{∞} A.

La proposition (2.4.1.1) entraîne le résultat suivant :

Corollaire 2.4.2.2 La projection canonique

H_{∞}A → D_{∞}A

est un isomorphisme.

Démonstration : Les A_{∞}-quasi-isomorphismes étant des équivalences d’homotopie, la projection canonique

H_{∞}A → (H_{∞}A)[Eq^{−1}] ≃ D_{∞}A

est une équivalence. □

Lemme 2.4.2.3 La composition des foncteurs (voir 2.3.4.4)

J : Mod UA ⟶^{i} Mod_{∞}^{strict} A ↪ Mod_{∞} A

induit un isomorphisme DUA → D_{∞}A.

Démonstration : Nous avons un diagramme commutatif

\xymatrix{Mod UA \ar[r]^{J} \ar[d]_{R} & Mod_{∞}^{strict} A \ar[d]^{incl.} \\ Comc B^{+}A & Mod_{∞} A \ar[l]^{B}}

et les foncteurs J, R et B induisent des équivalences entre les catégories

DUA, DC, (Mod_{∞}^{strict} A)[Eq^{−1}] et D_{∞}A.
□

2.4.3 Structure triangulée sur D_{∞}A

Suites exactes de Mod_{∞} A

Le foncteur

i : Mod UA → Mod_{∞} A, SM ↦ M,

identifie (voir 2.3.4.4) la catégorie Mod UA à la sous-catégorie Mod_{∞}^{strict} A de Mod_{∞} A. Il envoie la suspension d’un UA-module sur la suspension d’un A-polydule (voir 2.3.1.3). Il identifie les suites exactes courtes de Mod UA qui sont scindées dans la catégorie des modules gradués aux suites de Mod_{∞} A formées d’A_{∞}-morphismes stricts

(∗) M′ ⟶^{j} M ⟶^{q} M′′,

telles que

0 → M′ ⟶^{j_{1}} M ⟶^{q_{1}} M′′ → 0

est une suite exacte de CC′ et telles qu’il existe une rétraction ρ de j_{1} dans GrC′ telle que, pour tout i ≥ 2,

ρm_{i}^{M} = m_{i}^{M′}(ρ ⊗ 1^{⊗i−1}).

Structure triangulée sur D_{∞}A

Nous munissons la catégorie dérivée D_{∞}A de l’unique structure triangulée (unique à équivalence triangulée près) pour laquelle l’équivalence

J : DUA → D_{∞}A

du lemme 2.4.2.3 est triangulée. Comme les foncteurs

R : DUA → DB^{+}A et B : D_{∞}A → DB^{+}A

sont des foncteurs triangulés nous en déduisons le théorème suivant.

Théorème 2.4.3.1 La structure triangulée sur D_{∞}A a pour endofoncteur suspension celui défini en 2.3.1.3. Les triangles distingués sont exactement ceux qui sont isomorphes aux triangles provenant de suites exactes de la forme (∗) de Mod_{∞} A. □

Cône d’un A_{∞}-morphisme.

Si f : M → M′ est un A_{∞}-morphisme de A-polydules, son cône C(f) est le A-polydule M′⊕SM dont les multiplications

m_{i}^{C(f)} : (M′ ⊕ SM) ⊗ A^{⊗i−1} → M′ ⊕ SM, i ≥ 1,

sont données par les morphismes

m_{i}^{M′}, m_{i}^{SM} (voir 2.3.1.3) et f_{i} ∘ (ω ⊗ 1^{⊗i−1}).

La construction bar envoie C(f) sur le cône de Bf.

Lemme 2.4.3.2 Soit A un objet de Alga. L’inclusion

Mod A ↪ Mod_{∞} A

induit une équivalence triangulée

DA → D_{∞}A.

Démonstration : Comme A → UA (voir 1.3.3.6) est un quasi-isomorphisme, nous avons une équivalence triangulée entre la catégorie DA et la catégorie DUA. L’inclusion (2.3.4.4)

i : Mod UA → Mod_{∞} A

induisant une équivalence triangulée de DUA sur D_{∞}A, nous en déduisons le résultat. □

2.5 Catégorie dérivée des bipolydules (le cas augmenté)

Introduction

Soit A et A′′ deux A_{∞}-algèbres augmentées. Dans cette section, nous définissons la catégorie dérivée D_{∞}(A, A′′) des A-A′′-bipolydules strictement unitaires et nous en donnons plusieurs descriptions. Le cas où A et A′′ sont quelconques sera traité au chapitre 4.

Notations

Soit (C, ⊗, e) et (C′′, ⊗, e) deux 𝕂-catégories de Grothendieck semi-simples monoïdales et C′ une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple (non nécessairement monoïdale). Nous supposons que C est tressée (voir [ML98, Chap. XI]). Nous notons ⊗^{op} le produit tensoriel de C défini par

A ⊗^{op}B = B ⊗ A.

Supposons que la catégorie monoïdale C agit à gauche sur C′ et la catégorie monoïdale C′′ agit à droite sur C′ de manière compatible, i. e. C′ est munie de deux foncteurs (𝕂-bilinéaires sur les espaces de morphismes)

\begin{matrix}C′ × C′′ & → & C′, \\ (M′, A′′) & ↦ & M′ ⊗ A′′ \end{matrix} et \begin{matrix}C × C′ & → & C′, \\ (A, M′) & ↦ & A ⊗ M′ \end{matrix}

associatifs et unitaires à des isomorphismes donnés près (voir [ML98, Chap. XI]) et tels que

(A ⊗ M′) ⊗ A′′ = A ⊗ (M′ ⊗ A′′).

Nous supposons en outre qu’on a une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple monoïdale C ⊗ C′′, munie d’un foncteur monoïdal

(C, ⊗^{op}) × (C′′, ⊗) → C ⊗ C′′, (A, A′′) ↦ A ⊗ A′′,
Hom_{C}(A, B) × Hom_{C′′}(A′′, B′′) → Hom_{C⊗C′′}((A ⊗ A′′), (B ⊗ B′′)),

bilinéaire sur les espaces de morphismes, d’une action sur C′ et d’un isomorphisme

M ⊗ (A ⊗ A′′) = A ⊗ M ⊗ A′′.

L’exemple suivant apparaît naturellement dans l’étude des A_{∞}-catégories (5.1.1).

Exemple 2.5.0.1 Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles considérés comme des catégories discrètes. Nous notons C(𝔸, 𝔹) la catégorie des foncteurs

𝔹^{op} × 𝔸 → Vect𝕂.

Posons

C = C(𝔸, 𝔸), C′ = C(𝔸, 𝔹) et C′′ = C(𝔹, 𝔹).

Les produits tensoriels au-dessus de 𝔸 et de 𝔹 définissent les structures de catégories monoïdales (tressées) sur C et C′′ et les actions de C et C′′ sur C′. La catégorie C ⊗ C′′ est la catégorie C(𝔸 × 𝔹, 𝔸 × 𝔹) des foncteurs

(𝔸 × 𝔹)^{op} × (𝔸 × 𝔹) → Vect𝕂.

Le foncteur

C(𝔸, 𝔸) × C(𝔹, 𝔹) → C(𝔸 × 𝔹, 𝔸 × 𝔹)

envoie (L, M) sur le foncteur

(A, B, A′, B′) ↦ L(A, A′) ⊗_{𝕂} M(B, B′).

2.5.1 Définitions des bipolydules

Soit A et A′′ deux A_{∞}-algèbres de C et C′′.

Définition 2.5.1.1 Un A_{n}-A_{n′}-bimodule sur A et A′′ est un objet de GrC′ muni d’une famille de morphismes gradués dans GrC′

m_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M, 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n′,

de degré 1−i−j, telles qu’une équation (∗′′_{r,t}) de la même forme que l’équation (∗_{r+1+t}), r+1+t ≥ 1, de la définition 1.2.1.1 est vérifiée pour tous 0 ≤ r ≤ n et 0 ≤ t ≤ n′. Si M et M′ sont deux A_{n}- A_{n′}-bimodule sur A et A′′, un morphisme

f : M → M′

est une famille de morphismes gradués dans GrC′

f_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M′, 0 ≤ i ≤ n, 0 ≤ j ≤ n′,

de degré −i − j, vérifiant les égalités (∗∗′′)_{r,t}, 0 ≤ r ≤ n et 0 ≤ t ≤ n′, des morphismes

A^{⊗r} ⊗ M ⊗ A^{′′⊙t} → M′, 0 ≤ r ≤ n, 0 ≤ t ≤ n′,

\begin{matrix}∑(−1)^{α(−i−j)}m_{α,β}(1^{⊗α} ⊗ f_{k,l} ⊗ 1^{⊗β}) = \\ ∑(−1)^{j+i(|m_{•}|)}f_{•,•}(1^{⊗i} ⊗ m_{•} ⊗ 1^{⊗j}) \end{matrix}

où |m_{•}| est le degré de m_{•}; il faut interpréter convenablement les m_{•} par des m_{•}^{A}, m_{•}^{A′′} ou m_{•,•} selon leur place. La composition g ∘ f de deux morphismes f et g est définie par la suite

(g ∘ f)_{n} = ∑(−1)^{α(−i−j)}g_{i,j}(1^{⊗α} ⊗ f_{k,l} ⊗ 1^{⊗β}), n ≥ 1.

Définition 2.5.1.2 Un A-A′′-bipolydule dans C′ (appelé communément A_{∞}-bimodule sur A et A′′ dans la littérature) est un objet de GrC′ muni d’une famille de morphismes gradués dans GrC′

m_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M, i, j ≥ 0,

de degré 1 − i − j, telles que l’équation (∗′′_{n,n′}), n, n′ ≥ 0 est vérifiée. Si M et M′ sont deux A-A′′-polydules, un morphisme

f : M → M′

est une famille de morphismes gradués dans GrC′ tels que l’égalité (∗∗′′)_{n,n′}, n + 1 + n′ ≥ 1, est vérifiée. La composition g∘f de deux A_{∞}-morphismes f et g est définie par les mêmes formules que dans le cas des morphismes de A_{n}-A_{n′}-bimodules sur A et A′′. Nous obtenons ainsi une catégorie Nod_{∞}(A, A′′). La lettre N de Nod_{∞} remplace la lettre M dans Mod_{∞} et se rapporte au N dans “A_{∞}-bimodules Non (nécessairement) unitaires”.

Nous supposons désormais que A et A′′ sont augmentées.

Définition 2.5.1.3 Un A-A′′-bipolydule est strictement unitaire si pour tous i, j ≥ 0, on a

m_{i,j}(1^{⊗α} ⊗ η ⊗ 1^{⊗β}) = 0, α ≠ i, (i, j) ∉ {(0, 1), (1, 0)}

et

m_{1,0} ∘ (η ⊗ 1) = m_{0,1} ∘ (1 ⊗ η) = 1.

Nous notons Mod_{∞}(A, A′′) la catégorie des A-A′′-bipolydules strictement unitaires. Elle est isomorphe à la catégorie des \overline{A}-\overline{A′′}-bipolydules, où \overline{A} et \overline{A′′} sont les réductions de A et A′′.

Construction bar

Nous définissons des bijections

\begin{matrix}Hom((S\overline{A})^{⊗i} ⊗ SM ⊗ (S\overline{A′′})^{⊗j}, SM) & ⟶^{∼} & Hom(\overline{A}^{⊗i} ⊗ M ⊗ \overline{A′′}^{⊗j}, M), \\ m_{i,j} & ↦ & b_{i,j} \end{matrix}

\begin{matrix}Hom((S\overline{A})^{⊗i} ⊗ SM ⊗ (S\overline{A′′})^{⊗j}, SM) & ⟶^{∼} & Hom(\overline{A}^{⊗i} ⊗ M ⊗ \overline{A′′}^{⊗j}, M), \\ f_{i,j} & ↦ & F_{i,j} \end{matrix}

par les relations

ω ∘ b_{i,j} = −m_{i,j} ∘ ω^{⊗i+1+j} et ω ∘ F_{i,j} = (−1)^{|F_{i,j}|}f_{i,j} ∘ ω^{⊗i+1+j}.

Ces bijections définissent le foncteur construction bar, pleinement fidèle,

B : Mod_{∞}(A, A′′) ⟶ Comc(B^{+}A, B^{+}A′′),

où Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) est la catégorie des objets de GrC′ munis de structures de B^{+}A-B^{+}A′′- bicomodule co-unitaire différentiel gradué cocomplet. Son image est formée des objets qui sont presque colibres.

2.5.2 Catégorie dérivée des A_{∞}-bimodules

Soit A et A′′ deux A_{∞}-algèbres augmentées dans C et C′′. Dans cette section, nous définissons la catégorie dérivée des A-A′′-bipolydules strictement unitaires, puis nous en donnons plusieurs descriptions.

Structure de catégorie de modèles sur Comc(B^{+}A, B^{+}A′′)

Notons (B^{+}A)^{op} la cogèbre opposée de B^{+}A définie à l’aide du tressage de C. L’objet (B^{+}A)^{op}⊗ B^{+}A′′ de C ⊗ C′′ est une cogèbre différentielle graduée cocomplète. Notons qu’elle n’est pas cotensorielle en général. La catégorie Comc((B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′) est munie de sa structure canonique de catégorie de modèles (2.2.2.4). La catégorie Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) devient une catégorie de modèles grâce à l’isomorphisme de catégories

Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) → Comc((B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′).

Nous allons maintenant montrer que les objets fibrants de Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) sont exactement les facteurs directs d’objets presque colibres.

Une cochaîne tordante acyclique

Notons (UA)^{op} l’algèbre opposée de UA définie à l’aide du tressage de C. L’objet (UA)^{op} ⊗ UA′′ de C ⊗ C′′ est une algèbre différentielle graduée. Munissons la catégorie Mod((UA)^{op} ⊗ UA′′) de la structure de catégorie de modèles du théorème 2.2.2.1. Soit Mod(UA, UA′′) la catégorie des bimodules différentiels gradués unitaires. La catégorie Mod(UA, UA′′) devient une catégorie de modèles grâce à l’isomorphisme de catégories

Mod(UA, UA′′) → Mod((UA)^{op} ⊗ UA′′).

Nous allons construire une cochaîne tordante admissible acyclique

τ : (B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′ → (UA)^{op} ⊗ UA′′.

Il s’ensuivra (2.2.2.3) que le couple de foncteurs adjoints associé à τ (voir 2.2.1)

(L, R) : Comc ((B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′) → Mod ((UA)^{op} ⊗ UA′′)

est une équivalence de Quillen .

La cochaîne tordante universelle (2.2.1.5)

τ_{B^{+}A} : B^{+}A → Ω^{+}B^{+}A = UA

induit une cochaîne tordante

τ′_{B^{+}A} : (B^{+}A)^{op} → (UA)^{op}.

Nous vérifions que

τ = τ_{B^{+}A} ⊗ η ∘ η + η ∘ η ⊗ τ{B^{+} \atop A′′} : (B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′ → (UA)^{op} ⊗ UA′′,

où les symboles η désignent les (co)unités de B^{+}A, B^{+}A′′, UA et UA′′, est une cochaîne tordante admissible. Par le critère d’acyclicité des cochaînes tordantes (2.2.4.1), l’objet de C ⊗ C′′

\begin{matrix}((B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′) ⊗_{τ} ((UA)^{op} ⊗ UA′′) = \\ ((B^{+}A)^{op} ⊗_{τ′_{B^{+}A}} (UA)^{op} ⊗ (B^{+}A′′)^{op} ⊗_{τ{B^{+} \atop A′′}} UA′′) \end{matrix}

est quasi-isomorphe à e_{C} ⊗ e_{C′′} = e_{C⊗C′′}. La cochaîne tordante τ est donc acyclique.

Objets fibrants de Comc ((B^{+}A)^{op} ⊗ B^{+}A′′)

Comme dans le cas des polydules sur une A_{∞}-algèbre augmentée (voir 2.4.1.4), nous montrons grâce à la théorie de l’obstruction (B.3) que la catégorie des A-A′′-bipolydules est munie d’une structure de “catégorie de modèles sans limites” : les équivalences faibles, les cofibrations et les fibrations sont définies de la même manière que dans le cas des A-polydules (2.4.1.4). Par le même raisonnement que celui de la preuve de la proposition 2.4.1.3, nous montrons que les objets fibrants de la catégorie de modèles Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) sont exactement les facteurs directs des comodules presque colibres.

La catégorie dérivée

La construction bar

B : Mod_{∞}(A, A′′) → Comc(B^{+}A, B^{+}A′′)

est un foncteur pleinement fidèle. La clôture par rétracts de son image est la sous-catégorie des objets fibrants et cofibrants. La proposition A.13 et la compatibilité de la construction bar à l’homotopie et aux équivalences faibles montre que la définition suivante a un sens.

Définition 2.5.2.1 La catégorie H_{∞}(A, A′′) est la catégorie Mod_{∞}(A, A′′)/ ∼, où ∼ est la relation d’homotopie. La catégorie dérivée D_{∞}(A, A′′) est la localisation par rapport aux A_{∞}-quasi-isomorphismes de la catégorie Mod_{∞}(A, A′′).

Par la proposition A.13, nous avons un isomorphisme

H_{∞}(A, A′′) → D_{∞}(A, A′′).

Nous avons un foncteur pleinement fidèle

I : Mod(UA, UA′′) → Mod_{∞}^{strict}(A, A′′), M → S^{−1}M,

où Mod_{∞}^{strict}(A, A′′) est la catégorie des A-A′′-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts. L’image de ce foncteur est formée des A-A′′-bipolydules M dont les morphismes

m_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M, i, j ≥ 0,

sont nuls si les deux entiers i et j sont différents de 0. Rappelons que le foncteur analogue dans le cas des polydules est un isomorphisme (2.3.4.4).

Lemme 2.5.2.2 La composition des foncteurs

J : Mod(UA, UA′′) ⟶^{I} Mod_{∞}^{strict}(A, A′′) ↪ Mod_{∞}(A, A′′)

induit une équivalence D(UA, UA′′) → D_{∞}(A, A′′).

Démonstration : Nous avons un diagramme commutatif

\xymatrix{Mod(UA, UA′′) \ar[r]^{I} \ar[d]_{R} & Mod_{∞}^{strict}(A, A′′) \ar@{^{(}->}[d] \\ Comc(B^{+}A, B^{+}A′′) & Mod_{∞}(A, A′′) \ar[l]^{B}}

où R et B induisent des équivalences dans les catégories dérivées. Cela montre que le foncteur induit par J est pleinement fidèle. Montrons qu’il est essentiellement surjectif. Soit M un A-A′′- bipolydule. Le morphisme d’adjonction

BM → RLBM = B^{+}A ⊗_{τ_{B^{+}A}} UA ⊗_{τ_{B^{+}A}} BM ⊗_{τ_{B^{+}A′′}} UA′′ ⊗_{τ_{B^{+}A′′}} B^{+}A′′

est une équivalence faible. Le bicomodule RLBM est la construction bar du A-A′′-polydule

M′ = S^{−1}(UA ⊗_{τ_{B^{+}A}} BM ⊗_{τ_{B^{+}A′′}} UA′′).

Nous avons alors un A_{∞}-quasi-isomorphisme de A-A′′-bipolydules

M → M′

et, comme M′ est dans l’image de J, nous avons le résultat. □

94  Chapitre 2 : Théorie de l’homotopie des polydules

Unités à homotopie près et unités strictes

Introduction

Les A_{∞}-espaces de [Sta63a] sont munis d’unités strictes. Dans le cadre algébrique, la notion correspondante a été définie en (2.3.2.1). Lorsque A est une A_{∞}-algèbre strictement unitaire, certaines propriétés des algèbres associatives unitaires pourront être généralisée à A. Par exemple, nous montrerons l’analogue de l’isomorphisme

M ⊗_{B} B → M,

lorsque B est une algèbre associative unitaire et M un B-module unitaire (voir la généralisation en 4.1.1.6 dans le chapitre 4). Cependant, les A_{∞}-algèbres (en fait A_{∞}-catégories) apparaissant en géométrie [Fuk93] ne sont pas strictement unitaires mais homologiquement unitaires, i. e. H^{∗}A munie de la multiplication induite par m_{2} est une algèbre graduée unitaire. Le but de ce chapitre est de montrer que d’un point de vue homotopique, il n’y a pas de différence entre les unités strictes et les unités homologiques. Plus précisément, nous montrerons que la sous-catégorie des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes homologiquement unitaires et la sous-catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes strictement unitaires deviennent équivalentes après passage à l’homotopie (3.2.4.4).

Plan du chapitre

Ce chapitre est divisé en trois sections. Dans la section 3.1, nous définissons les unités homologiques relatives aux A_{∞}-structures. Dans la section 3.2, nous montrons le résultat énoncé ci-dessus. Dans la section 3.3, nous comparons les différents types de compatibilités aux unités des (bi)polydules.

3.1 Définitions

Soit C une catégorie de base telle que dans le chapitre 1. Soit A une A_{∞}-algèbre sur C et soit

μ : H^{∗}A ⊗ H^{∗}A → H^{∗}A

le morphisme induit par m_{2}.

Définition 3.1.0.1 Un morphisme η^{A} : e → A dans GrC est une unité homologique si m_{1} ∘ η = 0 et s’il induit une unité pour l’algèbre graduée associative (H^{∗}A, μ). Si A est munie d’une unité homologique, nous dirons qu’elle est homologiquement unitaire. Si A et A′ sont deux A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires, un A_{∞}-morphisme f : A → A′ est homologiquement unitaire si f_{1} induit un morphisme unitaire

H^{∗}A ⟶^{∼} H^{∗}A′.

Remarque 3.1.0.2 L’unité e → A d’une A_{∞}-algèbre strictement unitaire (2.3.2.1) est clairement une unité homologique. Un morphisme strictement unitaire d’A_{∞}-algèbre strictement unitaire est homologiquement unitaire.

On trouve dans les travaux de K. Fukaya [FOOO01] et V. Lyubashenko [Lyu02] d’autres relèvements de la notion d’unitarité. Une A_{∞}-algèbre munie d’une “unité homotopique” (définie dans [FOOO01] à l’aide d’homotopies supérieures, voir aussi [Fuk01b]) donne une “A_{∞}-algèbre unitale” au sens de [Lyu02]. Le relèvement de la notion d’unitarité de V. Lyubashenko [Lyu02] se spécialise à notre notion d’unitarité homologique si on travaille sur un corps (V. Lyubashenko travaille sur un anneau commutatif quelconque). Remarquons que l’unitarité homologique n’est pas du type “à homotopie près” : elle n’est pas définie à l’aide d’homotopies supérieures vérifiant des conditions de cohérence. Elle est cependant une notion valide puisque (comme nous le verrons dans ce chapitre) la localisation de la catégorie des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires par rapport aux A_{∞}-quasi-isomorphismes est équivalente à la localisation de la catégorie des algèbres unitaires par rapport aux quasi-isomorphismes.

Définition 3.1.0.3 Si f et f′ sont deux morphismes homotopiquement unitaires A → A′, une homotopie h entre f et f′ est strictement unitaire si

h_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗l}) = 0, i ≥ 1 et j + 1 + l = i.

Remarque 3.1.0.4 Si A est une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire et H^{∗}A est un modèle minimal pour A (1.4.1.4), l’unité homologique η^{A} induit une unité homologique η^{H^{∗}A} : e → H^{∗}A qui vérifie en outre

m_{2}^{H^{∗}A}(η^{H^{∗}A} ⊗ 1) = m_{2}^{H^{∗}A}(1 ⊗ η^{H^{∗}A}) = 1.

Soit f : A → A′ un morphisme homologiquement unitaire et H^{∗}A et H^{∗}A′ des modèles minimaux de A et A′. Nous rappelons (1.4.1.4) qu’il existe des A_{∞}-quasi-isomorphismes

i : H^{∗}A → A et i′ : H^{∗}A′ → A′.

Par le point b du corollaire 1.3.1.3, il existe un inverse à homotopie près p′ de i′. Le morphisme g = p′ ∘ f_{1} ∘ i vérifie en outre g_{1}η_{H^{∗}A} = η_{H^{∗}A′}.

3.2 A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires

Cette section est divisée en quatre sous-sections.

3.2 : A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires  97

Dans la sous-section 3.2.1, nous donnons deux démonstrations du fait que toute A_{∞}-algèbre minimale homologiquement unitaire est isomorphe à une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. La première de ces démonstrations est inspirée de la théorie des déformations des algèbres graduées et n’est valable qu’en caractéristique nulle. La seconde est basée sur la théorie de l’obstruction des A_{∞}- algèbres minimales (voir l’appendice B.4).

Dans les sous-sections 3.2.2 et 3.2.3, nous démontrons, à l’aide de la théorie de l’obstruction, qu’on peut rendre strictement unitaire tout A_{∞}-morphisme homologiquement unitaire entre A_{∞}- algèbres strictement unitaires et toute homotopie entre A_{∞}-morphismes.

Dans la sous-section 3.2.4, nous montrons que toute A_{∞}-algèbre strictement unitaire A admet un modèle minimal strictement unitaire A′ et des A_{∞}-quasi-isomorphismes strictement unitaires

A′ → A et A → A′.

Nous déduirons de ce résultat et des sous-sections précédentes le résultat principal de ce chapitre (3.2.4.4) : la catégorie (Alg_{∞})_{hu} des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes homologiquement unitaires et sa sous-catégorie non pleine (Alg_{∞})_{su} des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes strictement unitaires deviennent équivalentes après passage à l’homotopie.

3.2.1 Strictification unitaire des A_{∞}-algèbres

Théorème 3.2.1.1 (A. Lazarev [Laz02], P. Seidel [Sei]) Toute A_{∞}-algèbre minimale homologiquement unitaire est isomorphe à une A_{∞}-algèbre minimale strictement unitaire.

Le théorème a été démontré de façon indépendante par P. Seidel [Sei], qui utilise la même méthode que nous, ainsi que par A. Lazarev [Laz02]. Notre première démonstration utilisera les déformations et n’est valable qu’en caractéristique zéro. Elle nous donne l’existence de l’A_{∞}-algèbre minimale strictement unitaire. La seconde démonstration est basée sur les lemmes d’obstruction de l’appendice B.4. Elle précise les choix possibles de l’A_{∞}-algèbre minimale strictement unitaire.

Les deux démonstrations sont liées : pour un m_{2} donné, le complexe de Hochschild C^{∗}(A, A) (voir l’appendice B.4) contrôle l’obstruction à la construction par récurrence des m_{i}, i ≥ 3, d’une structure d’A_{∞}-algèbre minimale sur A et il est aussi l’algèbre de Lie différentielle graduée qui décrit le problème des déformations de l’algèbre (A, m_{2}). Nous renvoyons aux articles [SS85] et

[KS00] concernant ce point.

Corollaire 3.2.1.2 Toute A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire est homotopiquement équivalente à une A_{∞}-algèbre strictement unitaire.

Démonstration : Soit A une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire et soit A′ un modèle minimal de A. Nous savons que A et A′ sont homotopiquement équivalents. Le résultat se déduit alors du théorème 3.2.1.1 appliqué à A′. □

Remarque 3.2.1.3 Nous montrerons à la fin de ce chapitre (3.2.4.1) que toute A_{∞}-algèbre strictement unitaire A admet un modèle minimal strictement unitaire A′ tel que l’A_{∞}-quasi-morphisme

A′ → A

est strictement unitaire.

Première démonstration du théorème 3.2.1.1 :

Rappel sur les déformations

Supposons que la caractéristique de 𝕂 est nulle. Soit (𝔤, δ, [ , ]) une 𝕂-algèbre de Lie différentielle graduée nilpotente, i. e. il existe un entier N ≥ 1 tel que

adX_{1}adX_{2} … adX_{N} = 0, X_{1}, …, X_{N} ∈ 𝔤.

On note MC(𝔤) les éléments X ∈ 𝔤 de degré +1 qui sont solutions de l’équation de Maurer-Cartan

δ(X) + \frac{1}{2}[X, X] = 0.

Soit Γ le groupe nilpotent associé à 𝔤^{0}. Il agit sur 𝔤^{1} par transformations affines, c’est-à-dire, par l’exponentiation de l’action de son algèbre de Lie

g.x = δ(g) + [g, x], g ∈ 𝔤^{0}, x ∈ 𝔤^{1}.

Cette action conserve MC(𝔤) et on a l’ensemble

MC(𝔤)/∼ = MC(𝔤)/Γ.

On rappelle [GM90] le résultat suivant.

Théorème 3.2.1.4 Si 𝔥 est une algèbre de Lie différentielle graduée nilpotente, une équivalence d’homotopie f : 𝔥 → 𝔤 induit une bijection

MC(𝔥)/∼ ⟶^{∼} MC(𝔤)/∼ .

□

Si 𝔤′ est une algèbre de Lie pronilpotente (i. e. qui est la limite d’algèbres nilpotentes 𝔤_{𝔦}, i ≥ 0) on définit

MC(𝔤′) = lim MC(𝔤_{i}) et MC(𝔤′)/∼ = lim (MC(𝔤_{i})/Γ_{i}).

Lien avec les A_{∞}-algèbres

Soit (A, μ) une 𝕂-algèbre graduée associative unitaire. L’application

(D, D′) ↦ [D, D′] = D ∘ D′ − (−1)^{pq}D′ ∘ D,

où D et D′ sont homogènes de degré p et q, munit le complexe (coder(BA)^{+}, δ) d’une structure d’algèbre de Lie différentielle graduée. Notons LA cette algèbre de Lie. Nous avons un isomorphisme de complexes

LA → SC(A, A),

où C(A, A) est le complexe de Hochschild (voir l’appendice B.4). Il envoie le crochet de Lie de LA sur le crochet de Gerstenhaber [Ger63]. Soit L^{≥n}A ⊂ LA, n ≥ 3, la sous-algèbre de Lie

S( ∏_{i≥n} Hom_{GrC}(A^{⊗i}, A)).

Les sous-algèbres L^{≥n}A, n ≥ 4, sont des idéaux de L^{≥3}A et nous avons

L^{≥3}A = lim_{n≥4} 𝔤_{n},

où 𝔤_{n} est l’algèbre L^{≥3}A/L^{≥n}A. Comme nous avons

[L^{≥n}A, L^{≥n′}A] ⊂ L^{≥n+n′−1}A, n, n′ ≥ 1,

les algèbres de Lie 𝔤_{n} sont nilpotentes et L^{≥3}A est pronilpotente. Le sous-complexe réduit S\overline{C}(A, A) est une sous-algèbre de Lie de LA pour le crochet de Gerstenhaber. Nous la notons \overline{L}A. Rappelons que l’inclusion \overline{L}A ↪ LA est une équivalence d’homotopie (voir [CE99, Chap. IX]). Par le théorème 3.2.1.4, nous avons une bijection

Θ : MC(\overline{L}^{≥3}A)/∼ ⟶^{∼} MC(L^{≥3}A)/∼ ,

où \overline{L}^{≥3}A = \overline{L}A ∩ L^{≥3}A. Un élément b′ ∈ L^{≥3}A est dans MC(L^{≥3}A) si et seulement si b = b′ + b_{2} (où b_{2} correspond à m_{2} = μ) est une différentielle de (BA)^{+}. En d’autres termes, nous avons une bijection entre MC(L^{≥3}A) et l’ensemble des structures d’A_{∞}-algèbre minimale sur A dont la multiplication m_{2} vaut μ. Sous cette bijection, les classes d’équivalence de MC(L^{≥3}A) correspondent aux classes d’isomorphie de structures A_{∞} minimales tel que m_{2} vaut μ. Remarquons qu’un élément b′′ ∈ MC(L^{≥3}A) appartient à la sous-algèbre \overline{L}^{≥3}A si et seulement si l’A_{∞}-structure correspondant à b′′ est strictement unitaire sur A. Nous déduisons alors de la bijection Θ que toute A_{∞}-structure (dont le m_{2} vaut μ) homologiquement unitaire sur A est isomorphe à une A_{∞}-structure strictement unitaire.

Deuxième démonstration du théorème 3.2.1.1 :

La caractéristique de 𝕂 est quelconque.

Lemme 3.2.1.5 Soit A une A_{∞}-algèbre minimale. Soit n un entier ≥ 2 et

f_{n} : A^{⊗n} → A

un morphisme gradué de degré 1 − n. Il existe une A_{∞}-algèbre minimale A′, A_{∞}-isomorphe à A, dont l’objet gradué sous-jacent est A et dont les multiplications m′_{i}, i ≥ 2, sont telles que

m′_{i} = m_{i} si i ≤ n et m′_{n+1} = m_{n+1} + δ_{Hoch}(f_{n}).

Démonstration : Soit le morphisme de cogèbres graduées

F : BA → BA

déterminé par la suite

(1_{SA}, 0, …, 0, F_{n}, 0 …),

où F_{n} est donné par la bijection F_{n} ↔ f_{n} de la section 1.2.2. Le morphisme F est un isomorphisme. Posons

b′ = F ∘ b^{A} ∘ F^{−1}.

C’est une différentielle sur \overline{T^{c}}SA. La cogèbre (\overline{T^{c}}SA, b′) est donc la construction bar d’une A_{∞}- algèbre A′, A_{∞}-isomorphe à A, dont l’objet gradué sous-jacent est A. Il reste à vérifier les conditions sur les multiplications. La matrice du morphisme de cogèbres graduées

F : \overline{T^{c}}(SA) = ⨁_{p≥1}(SA)^{⊗p} ⟶^{∼} \overline{T^{c}}(SA) = ⨁_{q≥1}(SA)^{⊗q}

est triangulaire supérieure et sa diagonale est formée d’identités. La matrice de F^{−1} est donc de la même forme. De plus la restriction de F à

\overline{T_{[n−1]}^{c}}SA = ⨁_{1≤p≤n−1}(SA)^{p}

est l’identité. Il en est donc de même pour son inverse. La matrice de la différentielle b^{A} est strictement triangulaire supérieure puisque b_{1}^{A} est nul. Le calcul montre alors que

b′_{i} = F_{1}b_{i}^{A}(F^{−1})_{1}, pour i ≤ n,
b′_{n+1} = F_{1}b_{n+1}^{A}(F^{−1})_{1} + F_{1}b_{2}^{A}(F^{−1})_{n} + F_{n}b_{2}^{A}(F^{−1})_{1}.

Nous déduisons le résultat des égalités

(F^{−1})_{n} = −F_{n} et F_{1} = F_{1}^{−1} = 1_{SA}.
□

Démontrons maintenant le théorème 3.2.1.1. Nous raisonnons par récurrence sur n. Soit n ≥ 2. Supposons que A est une A_{∞}-algèbre telle que, pour tout 3 ≤ i ≤ n, on a

m_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}) = 0, j + k = n.

Ceci est équivalent à demander que les m_{i}, 3 ≤ i ≤ n, soient des éléments du sous-complexe de Hochschild réduit \overline{C}(A, A) (voir B.4). Montrons que nous pouvons construire une A_{∞}-algèbre A′, A_{∞}-isomorphe à A, dont l’objet gradué sous-jacent est A et dont les multiplications m′_{i}, 3 ≤ i ≤ n + 1, sont des éléments de \overline{C}(A, A). Par hypothèse sur les m_{i}, 3 ≤ i ≤ n, le cycle de Hochschild r(m_{3}, ⋯, m_{n−1}) du lemme B.4.1 appartient à \overline{C}(A, A). Comme A est une A_{∞}-algèbre, nous savons par le lemme B.4.1 que

δ_{Hoch}(m_{n+1}) + r(m_{3}, ⋯, m_{n}) = 0

et que l’élément r(m_{3}, ⋯, m_{n}) est un cycle de Hochschild. Ainsi, l’élément

(m_{n+1}, sr(m_{3}, ⋯, m_{n}))

du cône C sur l’inclusion \overline{C}(A, A) ↪ C(A, A) est un cycle. Comme C est acyclique, cet élément est le bord d’un élément (f_{n}, sm′_{n+1}). En d’autres termes, il existe des éléments

m′_{n+1} ∈ Hom_{GrC}(\overline{A}^{⊗n+1}, A) et f_{n} ∈ Hom_{GrC}(A^{⊗n}, A)

tels que

δ_{Hoch}(f_{n}) + m′_{n+1} = m_{n} et δ_{Hoch}(m′_{n+1}) + r(m_{3}, ⋯, m_{n}) = 0.

Par le lemme précédent appliqué à l’A_{∞}-algèbre A et au morphisme −f_{n}, il existe une A_{∞}-algèbre A′, A_{∞}-isomorphe à A, telle que nous avons, pour tout 3 ≤ i ≤ n + 1,

m′_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}) = 0, j + k = n.
□

3.2.2 Strictification unitaire des A_{∞}-morphismes

Théorème 3.2.2.1 Un morphisme d’A_{∞}-algèbres minimales strictement unitaires qui est homologiquement unitaire est homotope à un morphisme strictement unitaire.

Lemme 3.2.2.2 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales et f : A → A′ un A_{∞}-morphisme. Soit n un entier ≥ 2 et

h_{n} : A^{⊗n} → A

un morphisme gradué de degré −n. Il existe un A_{∞}-morphisme f′ : A → A′ homotope à f tel que

f′_{i} = f_{i} si i ≤ n et f′_{n+1} = f_{n+1} − δ_{Hoch}(h_{n}).

Démonstration : Nous allons construire un morphisme f′ tel que la suite

(0, …, 0, h_{n}, 0, …)

définisse une homotopie h entre f et f′. Nous construisons les f′_{i} par récurrence sur i. Soit i ≥ 1. Supposons qu’il existe un A_{i}-morphisme f′ : A → A′ tel que h définit une homotopie entre f et f′ en tant que A_{i}-morphisme. Posons

\begin{aligned}f′_{i+1} & = & f_{i+1} − ∑(−1)^{s}m_{r+1+t}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}} ⊗ h_{k} ⊗ f′_{j_{1}} ⊗ … ⊗ f′_{i_{t}}) \\ & & − ∑(−1)^{jk+l}h_{z}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}), \end{aligned}

où s est le signe apparaissant dans 1.2.1.7. Par construction, la suite des

(f′_{1}, …, f′_{i}, f′_{i+1})

définit un A_{i+1}-morphisme homotope à f. Le morphisme f′ ainsi construit vérifie clairement les conditions souhaitées sur les f′_{i}, 1 ≤ i ≤ n + 1. □

Démonstration du théorème 3.2.2.1 :

Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales strictement unitaires et

f : A → A′

un A_{∞}-morphisme homologiquemement unitaire. Nous cherchons un morphisme f′ homotope à f tel que les morphismes f′_{i}, i ≥ 1, vérifient

f′_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗l}) = 0, i ≥ 2 et j + 1 + l = i.

Construisons les f′_{i}, 1 ≤ i ≤ n, par récurrence sur n. Soit n ≥ 1. Supposons qu’on a un morphisme f, tel que les morphismes f_{i}, 2 ≤ i ≤ n, vérifient la condition précitée. En utilisant les mêmes arguments que pour le théorème 3.2.1.1 dans lesquels nous remplaçons le complexe C(A, A) par le complexe C(A, A′) et le lemme d’obstruction B.4.1 par le lemme B.4.2, nous trouvons qu’il existe deux éléments

f′_{n+1} ∈ Hom_{GrC}(\overline{A}^{⊗n+1}, A′) et h_{n} ∈ Hom_{GrC}(A^{⊗n}, A′)

tels que

δ_{Hoch}(h_{n}) + f′_{n+1} = f_{n} et δ_{Hoch}(f′_{n+1}) + r(f_{2}, ⋯, f_{n}) = 0.

Par le lemme 3.2.2.2 appliqué à f et h_{n}, il existe un morphisme f′ homotope à f dont les morphismes f_{i}, 2 ≤ i ≤ n + 1, vérifient les équations

f_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗l}) = 0, i ≥ 2 et j + 1 + l = i.
□

3.2.3 Strictification unitaire des homotopies

Théorème 3.2.3.1 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales strictement unitaires. Si f et g sont deux A_{∞}-morphismes strictement unitaires homotopes A → A′ il existe une homotopie strictement unitaire entre f et g.

Lemme 3.2.3.2 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales. Soit f et g sont deux A_{∞}-morphismes homotopes A → A′ et h une homotopie de f vers g. Soit n ≥ 2 et

ρ_{n} : A^{⊗n} → A′

un morphisme gradué de degré −n − 1. Il existe une homotopie h′ entre f et g telle que

h′_{i} = h_{i} si 1 ≤ i ≤ n et h_{n+1} = h′_{n+1} + δ_{Hoch}(ρ_{n}).

Démonstration : Nous raisonnons comme dans le lemme 3.2.2.2. Posons F = Bf, G = Bg et H = Bh : BA → BA′ l’homotopie entre F et G. Soit R la (F,G)-codérivation de degré −2 qui est donnée (1.1.2.2) par la suite

(0, …, 0, sρ_{n}ω^{⊗n}, 0, …).

Soit H′ défini par l’égalité

H′ = H − b^{A′}R + Rb^{A}.

C’est une (F,G)-codérivation qui est clairement une homotopie entre F et G. Nous vérifions qu’elle correspond à une homotopie h′ entre f et g telle que

h′_{i} = h_{i} si 1 ≤ i ≤ n et h_{n+1} = h′_{n+1} + δ_{Hoch}(ρ_{n}).
□

Démonstration du théorème 3.2.3.1 :

Nous cherchons une homotopie h entre f et g telle que les morphismes h_{i}, i ≥ 1, vérifient

h_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗l}) = 0, i ≥ 2 et j + 1 + l = i.

Construisons les h_{i}, 1 ≤ i ≤ n, par récurrence sur n. Soit n ≥ 1. Supposons qu’on a un morphisme h, tel que les morphismes h_{i}, 2 ≤ i ≤ n, vérifient la condition précitée. En utilisant les mêmes arguments que pour le théorème 3.2.1.1 dans lesquels nous remplaçons le complexe C(A, A) par le complexe C(A, A′) (voir B.4) et le lemme d’obstruction B.4.1 par le lemme B.4.3, nous trouvons qu’il existe deux éléments

h′_{n+1} ∈ Hom_{GrC}(\overline{A}^{⊗n+1}, A′) et ρ_{n} ∈ Hom_{GrC}(A^{⊗n}, A′)

tels que

δ_{Hoch}(ρ_{n}) + h_{n+1} = h′_{n} et δ_{Hoch}(h′_{n+1}) + r(h_{2}, ⋯, h_{n}) = 0.

Par le lemme 3.2.3.2, il existe une homotopie h′ entre f et g telle que nous avons les équations

h′_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗l}) = 0, i ≥ 2 et j + 1 + l = i.
□

Nous déduisons des théorèmes 3.2.1.1, 3.2.2.1 et 3.2.3.1 le corollaire suivant :

Corollaire 3.2.3.3 Soit A et A′ des A_{∞}-algèbres minimales strictement unitaires et f : A → A′ une équivalence d’homotopie strictement unitaire. Il existe un inverse à homotopie près g de f qui est strictement unitaire et des homotopies h et h′ strictement unitaires entre 1_{A′} et f ∘ g, et entre 1_{A} et g ∘ f. □

3.2.4 Modèle minimal d’une A_{∞}-algèbre strictement unitaire

Le corollaire (3.2.1.2) montre que toute A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire A admet un modèle minimal strictement unitaire A′ tel que l’A_{∞}-quasi-isomorphisme

f : A′ → A

vérifie f ∘ η = η. Le but de cette section est de montrer la proposition suivante :

Proposition 3.2.4.1 Toute A_{∞}-algèbre strictement unitaire A admet un modèle minimal strictement unitaire A′ tel que l’A_{∞}-quasi-isomorphisme

f : A′ → A

est strictement unitaire.

Notre démonstration est basée sur le lemme de perturbation (voir [HK91], [GS86], [GL89], [GLS91], [Mer99] et [KS01]).

Démonstration : Posons V = H^{∗}A. Soit i : (V, 0) → (A, m_{1}) un morphisme de complexes qui induit l’identité en homologie et tel que i ∘ η = η. Soit p : A → K le conoyau de i. Le complexe K est contractile. La suite de complexes (i, p) est donc scindable. Choisissons une rétraction ρ et une section σ telles que

ρ ∘ σ = 0 et i ∘ ρ + σ ∘ p = 1_{A}.

Soit h une homotopie contractante de K tel que h^{2} = 0. Soit A′ = V^{δ} l’A_{∞}-algèbre (de complexe sous-jacent V) et f = f^{δ} le morphisme d’A_{∞}-algèbres construits à partir de ces données dans (1.4.2.1). Montrons que A′ est une A_{∞}-algèbre strictement unitaire et que l’A_{∞}-morphisme f est strictement unitaire. Nous utilisons les notations de la démonstration de (1.4.2.1). Nous avons clairement les égalités

m′_{1} ∘ η = 0, m′_{2}(η ⊗ 1) = m′_{2}(1 ⊗ η) = 1 et f_{1} ∘ η = η.

Il reste à montrer que la composition de f_{i}, i ≥ 2, et m′_{i}, i ≥ 3, par

η_{α} = (1^{⊗α} ⊗ η ⊗ 1^{⊗i−1−α}), 0 ≤ α < i,

est nulle. Il suffit de montrer que les compositions

m_{i,T} ∘ η_{α} et f_{i,T} ∘ η_{α}, T ∈ T ,

sont nulles. Remarquons que ces compositions proviennent d’arbres \overline{T}, coloriés comme pour m_{i,T} (resp. f_{i,T}) sauf en une feuille qui est maintenant de couleur η. Comme A est strictement unitaire, nous avons

m_{j} ∘ η_{β} = 0, j ≥ 3, 0 ≤ β < j.

Il suffit donc de vérifier la nullité des compositions provenant d’arbres coloriés dont un sous-arbre colorié est de la forme

H m_{2} H  H H ⋮  ⋮ ⋮ ⋮ η  η m_{2}  ⋮  ⋮ η  η i i m_{2} H  H m_{2} .

Dans les deux premiers cas, m′_{i,T} ∘ η_{α} et f_{i,T} ∘ η_{α}, s’annulent car H^{2} = 0, dans les autres cas, car i ∘ H = 0. □

Remarque 3.2.4.2 Nous vérifions de la même manière que le morphisme q^{δ} et l’homotopie H^{δ} de la remarque (1.4.2.4) sont aussi strictement unitaires. Le lemme de perturbation produit donc une contraction dans la catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires.

Soit (Alg_{∞})_{u} (resp. (Alg_{∞})_{su}) la catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les espaces de morphismes sont formés des morphismes homologiquement unitaires (resp. strictement unitaires). Notons ∼_{u} (resp. ∼_{u}) la relation d’homotopie relativement aux homotopies au sens de 1.2.1.7 (resp. aux homotopies strictement unitaires).

Proposition 3.2.4.3 L’inclusion

(Alg_{∞})_{su} ↪ (Alg_{∞})_{u}

induit une équivalence

J : (Alg_{∞})_{su}/∼_{su} → (Alg_{∞})_{u}/∼_{u} .

Démonstration : La remarque (3.2.4.2) montre qu’il suffit de montrer que J induit un isomorphisme dans les espaces de morphismes dont le but et la source sont des A_{∞}-algèbres minimales strictement unitaires. Nous strictifions les A_{∞}-morphismes, puis les homotopies entre A_{∞}- morphismes strictement unitaires grâce aux théorèmes (3.2.2.1) et (3.2.3.1). □

Corollaire 3.2.4.4 La sous-catégorie (Alg_{∞})_{hu} ⊂ Alg_{∞} des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes homologiquement unitaires et la catégorie (Alg_{∞})_{su} deviennent équivalentes après passage à l’homotopie. □

(Co)fibrations triviales strictement unitaires

Nous finissons cette section par des résultats qui nous seront utiles dans la section (4.1.3).

Lemme 3.2.4.5 Soit A et A′ des A_{∞}-algèbres strictement unitaires.

a. Soit i : A → A′ une cofibration triviale strictement unitaire. Il existe un A_{∞}-morphisme p : A′ → A strictement unitaire tel que p ∘ i = 1_{A}.

b. Soit q : A′ → A une fibration triviale strictement unitaire. Il existe un A_{∞}-morphisme j : A → A′ strictement unitaire tel que q ∘ j = 1_{A}.

Démonstration : Les arguments de la démonstration des deux points étant duaux nous ne prouvons que le point a. Supposons donné un A_{∞}-morphisme strictement unitaire p′ tel que la composition α = p′ ∘ i est un automorphisme de A. Comme α est la composée d’A_{∞}-morphismes strictement unitaires, il est strictement unitaire. Le lemme (3.2.4.6) ci-dessous montre l’A_{∞}- morphisme α^{−1} est aussi strictement unitaire. Posons p = α^{−1} ∘ p′ et nous avons le résultat car p ∘ i = 1_{A}.

Nous devons donc trouver un A_{∞}-morphisme p′ strictement unitaire tel que p′ ∘ i est un automorphisme de A.

Premier cas : l’unité η est un bord de A′. Dans cette situation, l’unité est nulle dans la cohomologie. Il en résulte que A et A′ sont faiblement équivalentes à 0. Définissons p′_{1} comme un scindage de i_{1}. Il vérifie l’égalité p′_{1} ∘ η = η. Les morphismes p′_{i}, i ≥ 2, sont définis par récurrence sur i. Soit h une homotopie contractante de A. Posons

p′_{i} = −h ∘ r(p′_{1}, …, p′_{i−1}), i ≥ 2,

où r(p′_{1}, …, p′_{i−1}) est le cycle du lemme (B.1.5). Nous vérifions (par récurrence) que r(p′_{1}, …, p′_{i−1}) composé avec

1^{⊗α} ⊗ η ⊗ 1^{⊗β}, α + 1 + β = i + 1,

est nul. Les morphismes p′_{i}, i ≥ 1, ainsi construits définissent bien un A_{∞}-morphisme grâce au lemme (B.1.5). Il est strictement unitaire et, comme nous avons l’égalité

(p′ ∘ i)_{1} = p′_{1} ∘ i_{1} = 1

p′ ∘ i est un automorphisme de A.

Deuxième cas : l’unité η n’est pas un bord de A′. Comme i est une cofibration triviale, l’axiome (CM4) de la catégorie Alg_{∞} (voir 1.3.3.1) nous donne un A_{∞}-morphisme q : A′ → A tel que q ∘ i = 1_{A}. L’A_{∞}-morphisme q est clairement homologiquement unitaire qui vérifie l’égalité q_{1}∘η = η. Comme A et A′ sont strictement unitaires, il existe (3.2.4.3) un A_{∞}-morphisme strictement unitaire q′ : A′ → A homotope à q. Comme l’unité η n’est pas un bord de A′, il existe une rétraction de complexes de de η : e → A′. Il induit un scindage A′ = e ⊕ \overline{A}′. Nous savons que le morphisme q_{1} − q′_{1} est homotope à zéro et qu’il s’annule sur e. Il se factorise en z ∘ t, où t est la projection A′ → \overline{A}′. Comme cette projection est scindée dans la catégorie des complexes, z est homotope à zéro. Il existe donc une homotopie h_{1} entre q_{1} et q′_{1} telle que h_{1} ∘ η = 0 et nous avons l’égalité q′_{1} ∘ i_{1} = 1_{A} + δ(h_{1}) ∘ i_{1}.

Construisons les morphismes p′_{i}, i ≥ 1, à partir des morphismes q′_{j}, j ≥ 1, par récurrence sur i : Posons

p′_{1} = q′_{1} − δ(h_{1})

et, pour i ≥ 2,

p′_{i} = q′_{i} − ∑(−1)^{s}m_{r+1+t}(p′_{i_{1}} ⊗ … ⊗ p′_{i_{r}} ⊗ h_{1} ⊗ q′_{j_{1}} ⊗ … ⊗ q′_{i_{t}}) + ∑ h_{1} ∘ m_{i},

où s est défini en (1.2.1.7). Les morphismes p′_{i} , i ≥ 1, définissent ainsi un A_{∞}-morphisme strictement unitaire A′ → A tel que la suite

(h_{1}, 0, …)

est une homotopie entre q′ et p′. La composition p′ ∘ i est un automorphisme car

(p′ ∘ i)_{1} = (q′_{1} − δ(h_{1})) ∘ i_{1} = q′_{1} ∘ i_{1} − δ(h_{1}) ∘ i_{1} = 1_{A} + δ(h_{1}) ∘ i_{1} − δ(h_{1}) ∘ i_{1} = 1_{A}.
□

Lemme 3.2.4.6 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres strictement unitaires. Soit α : A → A′ un A_{∞}- isomorphisme strictement unitaire. L’A_{∞}-morphisme β = α^{−1} est strictement unitaire.

Démonstration : On note η l’unité des A_{∞}-algèbres. Comme α_{1} ∘ η = η, nous avons l’égalité β_{1} ∘ η = η. Nous savons que le morphisme

α_{2} ∘ (β_{1} ⊗ β_{1}) + α_{1} ∘ β_{2} : A′^{⊗2} → A

est nul. Si nous le composons avec η ⊗ 1 (resp. 1 ⊗ η), nous trouvons que

α_{1} ∘ β_{2}(η ⊗ 1), (resp. α_{1} ∘ β_{2}(1 ⊗ η))

est nul. Comme α_{1} est un isomorphisme, ceci implique que

β_{2}(η ⊗ 1) = 0 et β_{2}(1 ⊗ η) = 0.

Nous continuons par récurrence sur n. Supposons que β_{1}η = η et

β_{i}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}) = 0, j + 1 + k = i, 2 ≤ i ≤ n.

Nous en déduisons l’égalité

(α ∘ β)_{n+1}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}) = α_{1} ∘ β_{n+1}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}), j + 1 + k = n + 1.

Comme le terme définissant (α ∘ β)_{n+1} est nul, nous en déduisons que

β_{n+1}(1^{⊗j} ⊗ η ⊗ 1^{⊗k}) = 0, j + 1 + k = n + 1.
□

3.3 Strictification unitaire des polydules

Cette section traite des différents types de compatibilité aux unités des A_{∞}-(bi)polydules. Les démonstrations sont omises car elles sont similaires à celles de la section 3.2.

3.3.1 Polydules homologiquement unitaires

Définition 3.3.1.1 Soit A une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire. Un A-polydule M est homologiquement unitaire si H^{∗}M est un H^{∗}A-module unitaire. Si M et M′ sont deux A-polydules homologiquement unitaires, un A_{∞}-morphisme f : M → M′ est toujours homologiquement unitaire, i. e. f_{1} induit un morphisme de H^{∗}A-modules unitaires

H^{∗}M → H^{∗}M′.

Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. Un A-polydule strictement unitaire (2.3.2.3) est clairement homologiquement unitaire.

Les résultats

Soit A une A_{∞}-algèbre minimale et strictement unitaire.

Théorème 3.3.1.2 Tout A-polydule minimal homologiquement unitaire est isomorphe à un Apolydule strictement unitaire. □

Corollaire 3.3.1.3 Tout A-polydule homologiquement unitaire est homotopiquement équivalent à un A-polydule strictement unitaire. □

Théorème 3.3.1.4 Soit M et M′ deux A-polydules minimaux strictement unitaires. Tout A_{∞}- morphisme f : M → M′ est homotope à un A_{∞}-morphisme strictement unitaire. □

Théorème 3.3.1.5 Soit M et M′ deux A-polydules minimaux strictement unitaires. Si f et g sont deux A_{∞}-morphismes strictement unitaires homotopes M → M′ il existe une homotopie strictement unitaire entre f et g. □

Corollaire 3.3.1.6 Soit M et M′ des A-polydules strictement unitaires et f : M → M′ une équivalence d’homotopie strictement unitaire. Il existe un inverse à homotopie près g de f qui est strictement unitaire et des homotopies h et h′ strictement unitaires entre 1_{M′} et f ∘ g, et entre 1_{M} et g ∘ f. □

Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire.

Proposition 3.3.1.7 Tout A-polydule strictement unitaire M admet un modèle minimal strictement unitaire M′ tel que l’A_{∞}-quasi-isomorphisme

f : M′ → M

est strictement unitaire. □

Soit ( Nod_{∞} A)_{u} la sous-catégorie pleine de Nod_{∞} A formée des A-polydules strictement unitaires.

Proposition 3.3.1.8 L’inclusion

Mod_{∞} A ↪ ( Nod_{∞} A)_{u}

induit une équivalence

Mod_{∞} A/∼ ⟶^{∼} ( Nod_{∞} A)_{u}/∼ ,

où les symboles ∼ désignent la relation d’homotopie (2.3.2.3) et (2.3.1.10). □

3.3.2 Bipolydules homologiquement unitaires

Soit C et C′ deux cogèbres différentielles graduées et soit N et N′ deux C-C′-bicomodules différentiels gradués. Notons Δ^{R} et Δ^{L} la comultiplication à droite et à gauche de ces bicomodules.

Définition 3.3.2.1 Une codérivation de bicomodules est un morphisme

K : N → N′

tel que

Δ^{L} ∘ K = (1 ⊗ K) ∘ Δ^{L} et Δ^{R} ∘ K = (K ⊗ 1) ∘ Δ^{R}.

Soit A et A′ deux algèbres graduées associatives unitaires et M un A-A′-bimodules gradués. Considérons les comme des A_{∞}-algèbres et comme un A-A′-bipolydule. L’espace de codérivations de B^{+}A-B^{+}A′-bicomodules

coder(BM, BM)

joue dans cette section le rôle de l’espace

coder((BA)^{+}, (BA)^{+})

de la section B.4.

Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres strictement unitaires. Soit ( Nod_{∞}(A, A′))_{u} la sous-catégorie pleine de Nod_{∞}(A, A′) formée des A-A′-bipolydules strictement unitaires. Nous montrons de la même manière que précédemment la proposition suivante :

Proposition 3.3.2.2 L’inclusion

Mod_{∞}(A, A′) ↪ ( Nod_{∞}(A, A′))_{u}

induit une équivalence

Mod_{∞}(A, A′)/∼ ⟶^{∼} ( Nod_{∞}(A, A′))_{u}/∼ ,

où les symboles ∼ désignent les relations d’homotopies. □

Catégorie dérivée

Introduction

Soit A une A_{∞}-algèbre augmentée. Dans le chapitre 2, nous avons montré que la catégorie dérivée D_{∞}A admet trois descriptions :

( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}], H_{∞}A = Mod_{∞} A/∼ et ( Mod_{∞}^{strict} A)[Qis^{−1}]

où ∼ est la relation d’homotopie. Dans ce chapitre, nous définissons la catégorie dérivée D_{∞}A d’une A_{∞}-algèbre A quelconque. Nous montrons que les trois descriptions ci-dessus restent valables si A est strictement unitaire.

Plan du chapitre

Soit B, B′ deux 𝕂-algèbres associatives et X un B-B′-bimodule. Les foncteurs standard associés à X sont les foncteurs adjoints

Hom_{B′}(X, ) et ? ⊗_{B} X.

Maintenant, soit A et A′ des A_{∞}-algèbres et X un A-A′-bipolydule. Dans la section 4.1.1, nous définissons les foncteurs standard

Hom^{∞}_{A′}(X, ) et ? ⊗^{∞}_{A} X

et nous montrons qu’ils forment une paire de foncteurs adjoints.

Dans la section 4.1.2, nous définissons la catégorie D_{∞}A d’une A_{∞}-algèbre quelconque et nous la décrivons dans le cas où A est H-unitaire (4.1.2.10). Dans la section 4.1.3, nous montrons (4.1.3.1) que si A est strictement unitaire, la catégorie D_{∞}A telle que définie dans la section précédente est équivalente aux catégories

( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}], H_{∞}A et ( Mod_{∞}^{strict} A)[Qis^{−1}].

En particulier, si A est une A_{∞}-algèbre augmentée, les définitions de la catégorie dérivée du chapitre 2 et de celui-ci sont équivalentes. Dans la section 4.2, nous étudions la catégorie dérivée D_{∞}(A, A′), où A et A′ sont deux A_{∞}-algèbres.

4.1 La catégorie dérivée des polydules

4.1.1 Les foncteurs standard

Notations

Soit C une bicatégorie (voir [ML98, Chap. XII, §6]). Supposons que, pour tous 𝕆, 𝕆′ ∈ Obj C, la catégorie

C(𝕆, 𝕆′) = Hom_{C}(𝕆, 𝕆′)

est une k-catégorie de Grothendieck semi-simple et que le foncteur de composition (associatif à un isomorphisme donné près)

C(𝕆′, 𝕆′′) × C(𝕆, 𝕆′) → C(𝕆, 𝕆′′), (M, N) ↦ M ∘ N,

où 𝕆, 𝕆′, 𝕆′′ ∈ Obj C, est k-bilinéaire dans les espaces de morphismes. Nous appelons produit tensoriel au-dessus de 𝕆′ ce foncteur et notons

M ⊗_{𝕆′} N = M ∘ N.

Supposons en outre que, pour tout objet X de C(𝕆′, 𝕆′′), le foncteur

? ⊗_{𝕆′} X : C(𝕆, 𝕆′) → C(𝕆, 𝕆′′)

admet un adjoint à droite

Hom_{𝕆′′}(X,?) : C(𝕆, 𝕆′′) → C(𝕆, 𝕆′).

Remarquons que le produit tensoriel au-dessus de 𝕆

C(𝕆, 𝕆) × C(𝕆, 𝕆) → C(𝕆, 𝕆), (M, N) ↦ M ⊗_{𝕆} N,

où 𝕆 ∈ Obj C, munit la catégorie C(𝕆, 𝕆) d’une structure de catégorie monoïdale. Notons e_{𝕆} l’élément neutre pour le produit tensoriel. Soit 𝕆′, 𝕆′′ des objets de C. La catégorie C(𝕆, 𝕆) agit à droite sur la catégorie C(𝕆′, 𝕆) et à gauche sur la catégorie C(𝕆, 𝕆′) par le produit tensoriel ⊗_{𝕆}.

L’exemple suivant apparaît naturellement dans l’étude des A_{∞}-catégories (5.1.1).

Exemple 4.1.1.1 La bicatégorie C a pour objets les ensembles considérés comme des catégories discrètes. Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles. Nous définissons C(𝔸, 𝔹) comme la catégorie des foncteurs

𝔹^{op} × 𝔸 → Vect𝕂.

La composition de C est donnée par les produits tensoriels au-dessus des catégories. Le foncteur adjoint au foncteur

𝔸?_{𝔹} ⊗_{𝔹} (_{𝔹}X_{ℂ}) : C(𝔸, 𝔹) → C(𝔸, ℂ)

se récrit plus naturellement

Hom_{ℂ}(_{𝔹}X_{ℂ},_{𝔸}?_{ℂ}) : C(𝔸, ℂ) → C(𝔸, 𝔹).

Plan de la section

Soit ℙ, 𝕆 et 𝕆′ des objets de C. Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres dans C(𝕆, 𝕆) et C(𝕆′, 𝕆′) et X un A-A′-bipolydule dans C(𝕆, 𝕆′). Nous allons construire un couple de foncteurs adjoints

(? ⊗^{∞}_{A} X, Hom^{∞}_{A′}(X, )) : Nod_{∞} A → Nod_{∞} A′.

où Nod_{∞} A est la catégorie des A-polydules dans C(ℙ, 𝕆) et Mod_{∞} A′ est la catégorie des A′- polydules dans C(ℙ, 𝕆′).

Le foncteur Hom^{∞}_{A′}(X, ) : Nod_{∞} A′ → Nod_{∞} A

Soit N′ un A′-polydule. Remarquons que SX ⊗ T^{c}SA′ est un objet de la catégorie C(𝕆, 𝕆′) et que SN′ ⊗ T^{c}SA′ est un objet de C(ℙ, 𝕆′). Nous définissons l’objet gradué de C(ℙ, 𝕆) sous-jacent à Hom^{∞}_{A′}(X, N′) comme

Hom_{Comc T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′),

où Hom désigne le foncteur adjoint Hom_{𝕆′}. Sa différentielle est le morphisme

δ : F ↦ b^{BN′} ∘ F − (−1)^{|F |}F ∘ b^{BX_{A′}}

où BX_{A′} = SX ⊗T^{c}SA′ est la construction bar de X en tant que A′^{+}-polydule et où le morphisme F est de degré |F |. C’est un module différentiel gradué sur l’algèbre différentielle graduée

End(BX_{A′}) = (Hom_{GrT^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SX ⊗ T^{c}SA′), δ).

La structure de A-polydule est donnée par la restriction du End(BX_{A′})-module différentiel gradué Hom^{∞}_{A′}(X, N′) le long de l’A_{∞}-morphisme

A → End(BX_{A′})

défini dans le lemme clef (5.3.0.1). Explicitons cette structure. Le morphisme

m_{i}^{H} : Hom^{∞}_{A′}(X, N′) ⊗ A^{⊗i−1} → Hom^{∞}_{A′}(X, N′), i ≥ 1,

est donné par la différentielle de l’espace si i = 1 et, sinon, par le morphisme

SHom_{Comc T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′) ⊗ (SA)^{⊗i−1}
b_{i}^{H}
SHom_{Comc T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′)

qui envoie un élément sΓ ⊗ ϕ ∈ SHom_{Comc T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′) ⊗ (SA)^{⊗i−1} sur

b_{2}^{Comc}(sΓ ⊗ sΦ) ∈ SHom_{Comc T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′),

où le morphisme b_{2}^{Comc} correspond à la composition de la catégorie Comc T^{c}SA′ et Φ est défini dans le lemme clef (5.3.0.1). Un morphisme f : N′ → N′′ dans Nod_{∞} A′ induit un morphisme de End(BX_{A′})-modules différentiels gradués

F_{∗} : Hom(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′ ⊗ T^{c}SA′) → Hom(SX ⊗ T^{c}SA′, SN′′ ⊗ T^{c}SA′),

où F_{∗} est induit par la construction bar F de f. Ainsi, le morphisme F_{∗} est strict en tant que morphisme de A-polydules. Ceci nous fournit un foncteur

Hom^{∞}_{A′}(X, ) : Nod_{∞} A′ → Nod_{∞}^{strict} A ↪ Nod_{∞} A.

Remarque 4.1.1.2 Si A sont strictement unitaire et si X est un A-A′-bipolydule strictement unitaire pour A, i. e. si la composition

m_{i,j}(1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β} ⊗ 1_{M} ⊗ 1^{⊗j}), i, j ≥ 0,

est nulle si (i, j) ≠ (1, 0), égale à 1 sinon, le A-polydule Hom^{∞}_{A′}(X, N) est strictement unitaire. Nous obtenons alors un foncteur

Hom^{∞}_{A′}(X, ) : Nod_{∞} A′ → Mod_{∞}^{strict} A ↪ ( Nod_{∞} A)_{u},

où ( Nod_{∞} A)_{u} est la sous-catégorie pleine de Nod_{∞} A formée des objets strictement unitaires.

Le foncteur ? ⊗^{∞}_{A} X : Nod_{∞} A → Nod_{∞} A′

Soit N un A-polydule. L’objet gradué de C(ℙ, 𝕆′) sous-jacent à N ⊗^{∞}_{A} X est

N ⊗ T^{c}SA ⊗ X.

La structure de A′-polydule sur N ⊗ T^{c}SA ⊗ X est donnée par une différentielle b sur S(N ⊗ T^{c}SA ⊗ X) ⊗ T^{c}SA′. La suspension de ce T^{c}SA′-comodule différentiel gradué s’identifie au produit cotensoriel

(SN ⊗ T^{c}SA) □_{T^{c}SA}(T^{c}SA ⊗ SX ⊗ T^{c}SA′),

c’est-à-dire au noyau

ker (BN ⊗ BX ⟶^{Δ⊗1−1⊗Δ^{L}} BN ⊗ T^{c}SA ⊗ BX),

où BX = T^{c}SA ⊗ SX ⊗ T^{c}SA′ est la construction bar de X en tant que A^{+}-A′^{+}-bipolydule strictement unitaire. Un morphisme de A-polydules f : N → N′ induit un morphisme strict

(ω ∘ F ∘ s) ⊗ 1_{X} : N ⊗ T^{c}SA ⊗ X → N′ ⊗ T^{c}SA ⊗ X.

Nous obtenons ainsi un foncteur

? ⊗^{∞}_{A} X : Nod_{∞} A → Nod_{∞}^{strict} A′ ↪ Nod_{∞} A′.

Remarque 4.1.1.3 Si A′ sont strictement unitaire et si X est un A-A′-bipolydule strictement unitaire pour A′, i. e. si la composition

m_{i,j}(1^{⊗i} ⊗ 1_{M} ⊗ 1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β}), i, j ≥ 0,

est nulle si (i, j) ≠ (0, 1), égale à 1 sinon, le A′-polydule N ⊗^{∞}_{A} X est strictement unitaire. Nous obtenons alors un foncteur

? ⊗^{∞}_{A} X : Nod_{∞} A → Mod_{∞}^{strict} A′ ↪ ( Nod_{∞} A′)_{u}.

Lemme 4.1.1.4 Le foncteur ? ⊗^{∞}_{A} X est adjoint à gauche au foncteur Hom^{∞}_{A′}(X,?)

Démonstration : Soit L un objet de Nod_{∞} A et R un objet de Nod_{∞} A′. Soit des morphismes gradués dans C(𝕆′, 𝕆′) de degré 2 − i

f_{j} : L ⊗ T^{c}SA ⊗ X ⊗ A′^{⊗j} → R, j ≥ 0.

Soit F_{j}, j ≥ 0, les morphismes donnés par les bijections F_{j} ↔ f_{j}. Ils sont donnés par des morphismes de degré 0

F_{i,j} : SL ⊗ (SA)^{⊗i} ⊗ X ⊗ (SA′)^{⊗j} → SR, i, j ≥ 0.

Soit i ≥ 0. Soit g_{i} le morphisme gradué de C(ℙ, 𝕆) de degré 1 − i

g_{i} : L ⊗ A^{⊗i} → Hom_{T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SR ⊗ T^{c}SA′))

défini par l’équation

G_{i}(λ ⊗ ϕ) = s(Γ) ∈ SHom_{T^{c}SA′}(SX ⊗ T^{c}SA′, SR ⊗ T^{c}SA′))

où λ ⊗ ϕ est un élément de SL ⊗ (SA)^{⊗i} de degré r = |λ ⊗ ϕ|, où G_{i} est donné par les bijections g_{i} ↔ G_{i} et où le morphisme Γ est l’unique morphisme (voir 2.1.2.1) tel que la composition p_{1} ∘ Γ a pour composantes les morphismes

\xymatrix{SX ⊗ (SA′)^{⊗j} \ar[r]^{(−1)^{|r|}λ⊗ϕ⊗1} & SN ⊗ (SA)^{⊗i} ⊗ SX ⊗ (SA′)^{⊗j} \ar[r]^{F′_{i,j}} & SR;}

ici le morphisme F′_{i,j} est le morphisme F_{i,j}ω. Nous devons montrer l’équivalence entre les deux points suivants.

a. Les morphismes g_{j} définissent un A_{∞}-morphisme d’A-polydules

L → Hom^{∞}_{A′}(X, R).

b. Les morphismes f_{j} définissent un A_{∞}-morphisme d’A′-polydules

L ⊗^{∞}_{A} X → R.

Supposons que l’énoncé a est vrai : on a les égalités

∑_{k+l+m=n} G_{k+1+m}(1^{⊗k} ⊗ b_{l} ⊗ 1^{⊗m}) = ∑_{k+m=n} b_{1+m}^{H}(G_{k} ⊗ 1^{⊗m}), n ≥ 1,

où les symboles b_{l} doivent être interprétés convenablement. Nous allons montrer que cela est équivalent aux équations dans les espaces de morphismes

Hom_{C(ℙ,𝕆′)}(S(L ⊗^{∞}_{A} X) ⊗ (SA′)^{⊗n−1}, SR), n ≥ 0,

∑_{k+l+m=t} F_{k+1+m}(1^{⊗k} ⊗ b_{l} ⊗ 1^{⊗m}) = ∑_{k+m=t} b_{1+m}(F_{k} ⊗ 1^{⊗m}), t ≥ 1.

Soit λ ⊗ ϕ ∈ SL ⊗ (SA)^{⊗n−1} et κ ⊗ ϕ′ ∈ SX ⊗ (SA′)^{⊗t−1}. Calculons

G_{k+1+m}(1^{⊗k} ⊗ b_{l} ⊗ 1^{⊗m})(λ ⊗ ϕ)(κ ⊗ ϕ′).

Dans le cas où k = 0, on a

G_{1+m}(b_{l}^{R} ⊗ 1^{⊗m})(λ ⊗ ϕ)(κ ⊗ ϕ′)
= G_{1+m}(b_{l}^{R}(λ ⊗ ϕ_{l−1}) ⊗ ϕ_{m})(κ ⊗ ϕ′))
= sΓ(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ⊗ϕ_{l−1}|+1+|ϕ_{m}|}F′_{1+m,t−1}(b_{l}^{R}(λ ⊗ ϕ_{l−1}) ⊗ ϕ_{m} ⊗ κ ⊗ ϕ′))
= (−1)^{|λ⊗ϕ|+1}F′_{1+m,t−1}(b_{l}^{R} ⊗ 1^{⊗m} ⊗ 1 ⊗ 1^{⊗t−1})(λ ⊗ ϕ_{l−1} ⊗ ϕ_{m} ⊗ κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ⊗ϕ|+1}F′_{1+m,t−1}(b_{l}^{R} ⊗ 1^{⊗m} ⊗ 1 ⊗ 1^{⊗t−1})(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′),

où ϕ_{1} ⊗ ϕ_{2} = ϕ et dans le cas où k ≠ 0, on a

G_{k+1+m}(1^{⊗k} ⊗ b_{l}^{A} ⊗ 1^{⊗m})(λ ⊗ ϕ)(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ|+|ϕ_{k−1}|}G_{k+1+m}(λ ⊗ ϕ_{k−1} ⊗ b_{l}^{A}(ϕ_{l}) ⊗ ϕ_{m})(κ ⊗ ϕ′))
= (−1)^{|λ|+|ϕ_{k−1}|}sΓ(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ|+|ϕ_{k−1}|+|λ⊗ϕ|+1}F′_{k+1+m,t−1}(λ ⊗ ϕ_{k−1} ⊗ b_{l}^{A}(ϕ_{l}) ⊗ ϕ_{m} ⊗ κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ|+|ϕ_{k−1}|+|λ⊗ϕ|+1}F′_{k+1+m,t−1}(1^{⊗k} ⊗ b_{l}^{A} ⊗ 1^{⊗m} ⊗ 1 ⊗ 1^{⊗t−1})
(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ⊗ϕ|+1}F′_{k+1+m,t−1}(1^{⊗k} ⊗ b_{l}^{A} ⊗ 1^{⊗m} ⊗ 1 ⊗ 1^{⊗t−1})(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′),

où ϕ_{1} ⊗ ϕ_{2} ⊗ ϕ_{3} = ϕ. Le terme

b_{1}^{H}(G_{n})(λ ⊗ ϕ)(κ ⊗ ϕ′)

vaut

b_{1}^{H}(G_{n}(λ ⊗ ϕ))(κ ⊗ ϕ′)
= b_{1}^{H}(sΓ)(κ ⊗ ϕ′)
= −sm_{1}^{H}(Γ)(κ ⊗ ϕ′)
= −s[b ∘ Γ − (−1)^{|λ+ϕ|+1}Γ ∘ b](κ ⊗ ϕ′)
= (b^{L} ∘ sΓ)(κ ⊗ ϕ′) − (−1)^{|λ+ϕ|+1}(sΓ ∘ b^{X_{A′}})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ|+1} ∑ b_{β+1}^{L}(F′_{n−1,α}(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′_{α}) ⊗ ϕ′_{β})
+sΓ ∑(I^{⊗γ_{1}} ⊗ b_{γ_{2}} ⊗ 1^{⊗γ_{3}})(κ ⊗ ϕ′_{γ_{1}} ⊗ ϕ′_{γ_{2}} ⊗ ϕ′_{γ_{3}})
= (−1)^{|λ+ϕ|+1} ∑ b_{β+1}^{L}(F′_{n−1,α} ⊗ 1^{⊗β})(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′)
∑ F′_{n−1,γ_{1}+γ3}(λ ⊗ ϕ ⊗ 1^{⊗γ_{1}} ⊗ b_{γ_{2}} ⊗ 1^{⊗γ_{3}})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ|+1} ∑ b_{β+1}^{L}(F′_{n−1,α} ⊗ 1^{⊗β})(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′)
+(−1)^{|λ+ϕ|} ∑ F′_{n−1,γ_{1}+γ3}(1 ⊗ 1^{⊗n−1} ⊗ 1^{⊗γ_{1}} ⊗ b_{γ_{2}} ⊗ 1^{⊗γ_{3}})(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′),

où ϕ′_{α} ⊗ ϕ′_{β} = ϕ et les indices de la première somme sont tels que α + β = t − 1, où les indices de la seconde somme sont tels que γ_{1} + γ_{2} + γ_{3} = t et les symboles b_{γ_{2}} doivent être interprétés selon leur place par b_{0,γ_{2}−1}^{X} ou par b_{γ_{2}}^{A′}. Le terme

b_{1+m}^{H}(G_{k} ⊗ 1^{⊗m})(λ ⊗ ϕ)(κ ⊗ ϕ′)

vaut

b_{1+m}^{H}(G_{k}(λ ⊗ ϕ_{k−1}) ⊗ ϕ_{m})(κ ⊗ ϕ′)
= b_{1+m}^{H}(sΓ_{k−1} ⊗ ϕ_{m})(κ ⊗ ϕ′)
= b_{2}^{Comc}(sΓ_{k−1} ⊗ sΦ_{m})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ_{k−1}|+1}b_{2}^{Comc}(s ⊗ s)(Γ_{k−1} ⊗ Φ_{l})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ_{k−1}|+1}sm_{2}^{Comc}(Γ_{k−1} ⊗ Φ_{l})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ_{k−1}|+1}(sΓ_{k−1} ∘ Φ_{l})(κ ⊗ ϕ′)
= (−1)^{|λ+ϕ_{k−1}|+1+|λ+ϕ_{k−1}|+|ϕ_{m}|} ∑ F′_{k,β}(λ ⊗ ϕ_{k−1} ⊗ b_{m,α}^{X}(ϕ_{m} ⊗ κ ⊗ ϕ′_{m′}) ⊗ ϕ′_{β})
= (−1)^{1+|ϕ_{m}|} ∑ F′_{k,β}(λ ⊗ ϕ_{k−1} ⊗ b_{m,α}^{X}(ϕ_{m} ⊗ κ ⊗ ϕ′_{α}) ⊗ ϕ′_{β})
= (−1)^{|λ|+|ϕ|+1} ∑ F′_{k,β}(1 ⊗ 1^{⊗k−1} ⊗ b_{m,α}^{X}(1^{⊗m} ⊗ 1 ⊗ 1^{⊗α}) ⊗ 1^{⊗β})
(λ ⊗ ϕ ⊗ κ ⊗ ϕ′),

où les indices de la somme sont tels que α+β = t−1. L’égalité F′_{i,j} = F_{i,j}ω nous donne l’équivalence entre les points a et b. □

Remarque 4.1.1.5 Si A et A′ sont strictement unitaires et si X est un A-A′-bipolydule strictement unitaire, l’adjonction

(? ⊗^{∞}_{A} X, Hom^{∞}_{A′}(X,?) : Nod_{∞} A → Nod_{∞} A′

ne se restreint pas aux sous-catégories Mod_{∞} A et Mod_{∞} A′. Cependant, la proposition (3.3.1.8) montre que les foncteurs restreints

? ⊗^{∞}_{A} X : Mod_{∞} A → Mod_{∞} A′ et Hom^{∞}_{A′}(X,?) : Mod_{∞} A′ → Mod_{∞} A

induisent des foncteurs adjoints dans les catégories dérivées D_{∞}A et D_{∞}A′ (définies en 4.1.3).

Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. Considérons A comme un A-A-bipolydule strictement unitaire. Notons aussi

? ⊗^{∞}_{A} X et Hom^{∞}_{A}(X,?)

les foncteurs standard restreints à la sous-catégorie ( Nod_{∞} A)_{u} (voir la définition en 3.3.1.8).

Lemme 4.1.1.6 Considérons la catégorie des endofoncteurs de la catégorie (Nod_{∞} A)_{u}.

a. Il existe un morphisme canonique de foncteurs ? ⊗^{∞}_{A} A → 1 qui est un quasi-isomorphisme.

b. Il existe un morphisme canonique de foncteurs 1 → Hom^{∞}_{A}(A,?) qui est un quasi-isomorphisme.

Démonstration : Par l’adjonction

(? ⊗^{∞}_{A} A, Hom^{∞}_{A}(A,?)) : ( Nod_{∞} A)_{u} → ( Nod_{∞} A)_{u},

il suffit de montrer le point a. Soit M un A-polydule strictement unitaire. Nous avons un A_{∞}- morphisme de A-polydules

g : M ⊗^{∞}_{A} A → M

dont les g_{j}, j ≥ 1, sont définis par les morphismes

m_{i+2+j−1}^{M}(1 ⊗ ω^{⊗i} ⊗ 1^{⊗j}) : M ⊗ (SA)^{⊗i} ⊗ A ⊗ A^{⊗j−1} → M, i ≥ 0, j ≥ 1.

Montrons que le cône du morphisme

g_{1} : M ⊗^{∞}_{A} A → M

est acyclique. Nous vérifions que le morphisme de degré −1

r : M ⊗ T^{c}SA ⊗ SA → M ⊗ T^{c}SA ⊗ SA

donné par le morphisme

1 ⊗ sη : M ⊗ (SA)^{⊗i} ⊗ SA → M ⊗ (SA)^{⊗i+1} ⊗ SA, i ≥ 0,

où η est l’unité de A, est une homotopie contractante du cône de g_{1}. □

Remarque 4.1.1.7 Le morphisme de A-polydules g est clairement strictement unitaire. Le morphisme de A-polydules

f : M → Hom^{∞}_{A}(A, M)

correspondant par l’adjonction au morphisme g est défini de manière analogue au morphisme

f : A → End = Hom^{∞}_{A}(A, A)

du lemme clef (5.3.0.1) du chapitre 5. Il est aussi strictement unitaire.

4.1.2 La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre

Soit 𝕆 et ℙ deux objets de C. Soit A une A_{∞}-algèbre dans C(𝕆, 𝕆). On rappelle que la catégorie Nod_{∞} A des A-polydules dans C(ℙ, 𝕆) est isomorphe à la catégorie Mod_{∞} A^{+} des A^{+}-polydules strictement unitaires où A^{+} est l’augmentation de A. Considérons l’objet e = e_{𝕆} comme une A_{∞}- algèbre augmentée dans C(𝕆, 𝕆). Considérons l’objet e comme un A^{+}-e-bipolydule strictement unitaire grâce à l’augmentation A^{+} → e. Par la section 4.1.1, nous avons un foncteur

? ⊗^{∞}_{A^{+}} e : Mod_{∞} A^{+} → Mod_{∞} e.

Il induit un foncteur dans les catégories dérivées que nous notons de la même manière.

Définition 4.1.2.1 La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre est le noyau du foncteur

? ⊗^{∞}_{A^{+}} e : D_{∞}A^{+} → D_{∞}e.

Remarque 4.1.2.2 Nous montrerons en (4.1.3.5) qu’un A^{+}-polydule strictement unitaire est dans le noyau si et seulement si sa construction bar est acyclique.

Remarque 4.1.2.3 Le théorème (4.1.3.1) ci-dessous montrera que cette définition étend la définition de la catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre augmentée (voir 2.4.2.1). En particulier, nous montrerons que si A est elle-même augmentée, nous avons une suite exacte de catégories triangulées

D_{∞}A → D_{∞}A^{+} → D_{∞}e.

Théorème 4.1.2.4 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres et f : A → A′ un A_{∞}-quasi-isomorphisme. La restriction le long de f induit une équivalence de catégories

D_{∞}A′ → D_{∞}A.

Démonstration : Soit f^{+} : A^{+} → A′^{+} le morphisme augmenté associé à f. C’est un A_{∞}-quasi-isomorphisme. Les foncteurs

(Res^{f^{+}}?) ⊗^{∞}_{A^{+}} e et ? ⊗^{∞}_{A′^{+}} e : Mod_{∞} A′^{+} → Mod_{∞} e

sont donc quasi-isomorphes. Il suffit donc de montrer que la restriction le long de f^{+} induit une équivalence

D_{∞}A′^{+} → D_{∞}A^{+}.

Le lemme (2.3.4.3) implique que le morphisme entre les algèbres enveloppantes

U(f^{+}) : U(A^{+}) → U(A′^{+})

est un quasi-isomorphisme. Il s’ensuit [Kel94a, 6.1] que la restriction de long de U(f^{+}) est une équivalence de catégories

DU(A′^{+}) → DU(A^{+}).

Nous déduisons le résultat du lemme (2.4.2.3). □

Cas des A_{∞}-algèbres H-unitaires

Définition 4.1.2.5 Une A_{∞}-algèbre H-unitaire est une A_{∞}-algèbre dont la construction bar non augmentée est quasi-isomorphe à 0.

La notion d’algèbre H-unitaire est due à M. Wodzicki [Wod88]. Il montre qu’une algèbre est H-unitaire si et seulement si elle satisfait la propriété d’excision (voir [Wod88], [Wod89]).

Lemme 4.1.2.6 Une A_{∞}-algèbre minimale (i. e. m_{1} = 0) strictement unitaire est H-unitaire.

Démonstration : Soit (A, η) une A_{∞}-algèbre minimale strictement unitaire. Le morphisme de degré −1

h : BA → BA

donné par les morphismes

1 ⊗ (sη) : (SA)^{⊗i} → (SA)^{⊗i} ⊗ SA

définit une homotopie contractante de BA. □

Corollaire 4.1.2.7 Une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire (voir la définition dans la section 3.1) est H-unitaire.

Démonstration : Soit A une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire. Le corollaire (3.2.1.2) montre que A admet un modèle minimal strictement unitaire A′. Comme BA′ est faiblement équivalent à BA et comme les équivalences faibles sont des quasi-isomorphismes, nous avons le résultat. □

La sous-catégorie Tria A

Soit x : ℙ → 𝕆 un morphisme de C. Le morphisme x induit un foncteur

x^{∗} : C(ℙ, 𝕆) → C(ℙ, ℙ), M ↦ M(x).

On suppose que ce foncteur admet un adjoint à gauche

x_{!} : C(ℙ, ℙ) → C(ℙ, 𝕆).

Exemple 4.1.2.8 Regardons l’exemple apparaissant dans l’étude des A_{∞}-catégories (5.1.1). Soit ℙ et 𝕆 deux ensembles et soit

x : ℙ → 𝕆, p ↦ x(p)

une application. Le foncteur x^{∗} envoie M ∈ C(ℙ, 𝕆) sur

(p, p′) ↦ M(x(p), p′).

Le foncteur x_{!} envoie un objet V de C(ℙ, ℙ) sur le ℙ-𝕆-bimodule

(o, p) ↦ V (?, p) ⊗_{ℙ} e_{𝕆}(o, x(?)).

Supposons maintenant que ℙ est un ensemble à un élément. L’application x est déterminé par l’élément de o = x(p) de 𝕆. Soit V = e_{ℙ}. L’adjonction nous donne alors un isomorphisme

Hom_{C(ℙ,𝕆)}(e_{𝕆}(?, o), M) ⟶^{∼} M(o).

□

Soit x : ℙ → 𝕆 un morphisme de C. Soit V un objet de C(ℙ, ℙ). Munissons l’objet x_{!}(V) ⊗_{𝕆} A de la structure de A-polydule donnée par les multiplications de A. Comme nous avons un isomorphisme

Hom_{C(ℙ,ℙ)}(x_{!}(V), M) ⟶^{∼} Hom_{Nod_{∞} A}(x_{!}(V) ⊗_{𝕆} A, M), M ∈ Nod_{∞} A,

nous avons une adjonction

(x_{!}(?) ⊗_{𝕆} A, x^{∗}) : C(ℙ, ℙ) → Nod_{∞} A.

Notons Tria A la plus petite sous-catégorie triangulée aux sommes infinies de D_{∞}A^{+} contenant les

x^{∧} = x_{!}(e_{ℙ}) ⊗_{𝕆} A, x ∈ C(ℙ, 𝕆).

Remarque 4.1.2.9 Cette notation est justifiée par le fait suivant. Dans l’exemple apparaissant dans l’étude des A_{∞}-catégories (5.1.1), si ℙ est un ensemble à un élément, et x est l’application donné par un élément x de 𝕆, le A-polydule x^{∧} est l’A_{∞}-foncteur représenté par x

x^{∧} = A(?, x).

Proposition 4.1.2.10 Soit A une A_{∞}-algèbre H-unitaire. Nous avons une suite exacte de catégories triangulées

Tria A ↪ D_{∞}A^{+} → D_{∞}e.

En particulier, la catégorie dérivée D_{∞}A est égale à Tria A.

Dans le cas des algèbres différentielles graduées cette proposition est démontrée dans [Kel94b]. Dans la démonstration ci-dessous, nous utilisons une filtration qui est adaptée de celle de J. A. Guccione et J. J. Guccione [GG96]. Elle leur permet de montrer astucieusement la propriété d’excision des algèbres différentielles graduées H-unitaires.

Démonstration : Montrons que la composition

Tria A ↪ D_{∞}A^{+} → D_{∞}e

est nulle. Comme x^{∧} est le A-polydule x_{!}(e) ⊗_{𝕆} A, il suffit de montrer que A ⊗^{∞}_{A^{+}} e est quasiisomorphe à 0 dans la catégorie C(𝕆, 𝕆). Nous définissons une filtration de A ⊗^{∞}_{A^{+}} e = A ⊗ T^{c}(SA^{+}) ⊗ e par

F_{p} = [ ⨁_{0≤i<p} A ⊗ (SA^{+})^{⊗i}] ⊕ [ ⨁_{0≤r} A ⊗ (SA)^{⊗r} ⊗ (SA^{+})^{⊗p}], p ≥ 0.

Les F_{p}, p ≥ 0, sont des sous-complexes de A ⊗^{∞}_{A^{+}} e. Les objets gradués

Gr_{p}A ⊗^{∞}_{A^{+}} e = A ⊗ T^{c}(SA^{+}) ⊗ e = ⨁_{0≤r} A ⊗ (SA)^{⊗r} ⊗ (Se)^{⊗p}, p ≥ 0,

sont isomorphes en tant que complexes à

S^{−1}BA ⊗ (Se)^{⊗p}, p ≥ 0.

Ils sont donc acycliques, ce qui montre que A ⊗^{∞}_{A^{+}} e est acyclique.

Pour démontrer qu’on a une suite exacte de catégories triangulées, nous allons montrer que l’inclusion de Tria A dans D_{∞}A^{+} a pour adjoint à droite le foncteur

? ⊗^{∞}_{A^{+}} A : D_{∞}A^{+} → Tria A.

Ceci revient à montrer que pour chaque X ∈ Mod_{∞} A^{+}, le triangle

X ⊗^{∞}_{A^{+}} A → X → X ⊗^{∞}_{A^{+}} e → S(X ⊗^{∞}_{A^{+}} A)

est tel que l’objet X ⊗^{∞}_{A^{+}} e ∈ Tria e est (Tria A)-local, i. e.

Hom_{D_{∞}A^{+}}(L, X ⊗^{∞}_{A^{+}} e) = 0, L ∈ Tria A.

Comme A ⊗^{∞}_{A^{+}} e est quasi-isomorphe à 0, la seconde flèche du triangle de 𝕆-𝕆-bimodules

A ⊗^{∞}_{A^{+}} e → A^{+} ⊗^{∞}_{A^{+}} e → e ⊗^{∞}_{A^{+}} e → S(A ⊗^{∞}_{A^{+}} e)

est un isomorphisme dans la catégorie dérivée des A^{+}-polydules dans C(𝕆, 𝕆). Par ailleurs, le morphisme

A^{+} ⊗^{∞}_{A^{+}} e → e

est un quasi-isomorphisme car son cône, qui est la construction bar BA^{+} = T^{c}(SA^{+}), est acyclique (4.1.2.7). Ceci implique que

e → e ⊗^{∞}_{A^{+}} e

est un isomorphisme de A^{+}-A^{+}-bipolydules dans C(𝕆, 𝕆). Soit X ∈ D_{∞}A^{+}. Montrons que l’objet X ⊗^{∞}_{A^{+}} e ∈ Tria e est (Tria A)-local. Soit L un objet de Tria A et un morphisme

f : L → X ⊗^{∞}_{A^{+}} e.

Nous avons un diagramme commutatif

\xymatrix{L \ar[r] \ar[d] & X ⊗^{∞}_{A^{+}} e \ar[d]^{∼} \\ L ⊗^{∞}_{A^{+}} e \ar[r] & X ⊗^{∞} e_{A^{+}} ⊗^{∞}_{A^{+}} e,}

où la flèche verticale de droite représente un isomorphisme de D_{∞}A^{+} et où L ⊗^{∞}_{A^{+}} e est quasiisomorphe à 0. Le morphisme f est donc nul. □

4.1.3 La catégorie dérivée d’une A_{∞}-algèbre strictement unitaire

Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. Dans cette section, nous donnons plusieurs descriptions de la catégorie dérivée D_{∞}A de (4.1.2.1). Plus précisément, nous allons montrer le théorème suivant :

Théorème 4.1.3.1 Les catégories suivantes sont équivalentes :

D1. la catégorie dérivée D_{∞}A de (4.1.2.1), c’est-à-dire, la sous-catégorie triangulée Tria A de D_{∞}A^{+} (4.1.2.10),

D2. la catégorie (dont nous montrerons qu’elle est bien définie)

H_{∞}A : Mod_{∞} A/∼

où ∼ est la relation d’homotopie (2.3.2.3),

D3. la catégorie localisée

( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}]

où Qis est la classe des A_{∞}-quasi-isomorphismes de Mod_{∞} A,

D4. la catégorie homotopique

Ho Mod_{∞}^{strict} A

de la catégorie de modèles Mod_{∞}^{strict} A (définie plus bas).

Il en résulte de ce théorème que si A est augmentée, la définition de D_{∞}A donnée dans (2.4.2.1) est équivalente à celle de (4.1.2.1).

Remarque 4.1.3.2 Les différentes descriptions de D_{∞}A montrent que les résultats de la proposition (2.4.1.1) restent valides.

L’équivalence entre les catégories de D1 et D2

Comme A est strictement unitaire, nous avons un A_{∞}-morphisme strictement unitaire d’A_{∞}- algèbres

r = [ \begin{matrix}i \\ η \end{matrix} ] : A^{+} = A ⊕ e → A

où η est l’unité de A. On a un foncteur restriction

Res : Mod_{∞} A → Mod_{∞} A^{+}

qui est fidèle. Nous savons que l’isomorphisme de catégories (2.3.2)

Nod_{∞} A ⟶^{∼} Mod_{∞} A^{+}

est compatible à l’homotopie. La proposition (3.3.1.8) montre que le foncteur restriction induit un isomorphisme

Hom_{Mod_{∞} A}(M, M′)/∼ ⟶ Hom_{Mod_{∞} A^{+}}(Res M, Res M′)/∼, M, M′ ∈ Mod_{∞} A,

où ∼ est la relation d’homotopie (2.3.2.3). Le corollaire (2.4.1.1) dit que la relation d’homotopie (2.3.2.3) dans Mod_{∞} A^{+} est une relation d’équivalence compatible à la composition. Ceci montre que la relation d’homotopie dans dans Mod_{∞} A est une relation d’équivalence compatible à la composition. Nous avons donc une catégorie bien définie

H_{∞}A = Mod_{∞} A/∼

et un foncteur pleinement fidèle

J : H_{∞}A ↪ H_{∞}A^{+} ≃ D_{∞}A^{+}.

Proposition 4.1.3.3 Le foncteur restriction

Res : Mod_{∞} A → Mod_{∞} A^{+}

induit une équivalence de catégorie

H_{∞}A → Tria A.

Commençons par introduire quelques notions.

Définition 4.1.3.4 Un A^{+}-polydule est H-unitaire si son image par le foncteur

B : Mod_{∞} A^{+} → Comc B^{+}A^{+}

est quasi-isomorphe à 0.

Remarque 4.1.3.5 Un A^{+}-polydule M est H-unitaire si et seulement si l’objet M ⊗^{∞}_{A^{+}} e est quasi-isomorphe à 0. La sous-catégories des A^{+}-polydules H-unitaires est donc égale à la catégorie Tria A par la proposition (4.1.2.10).

Remarque 4.1.3.6 Dans le cas où A est une algèbre associative unitaire et M un module unitaire, le complexe BM est le cône de l’augmentation pM → M, où pM est la résolution bar de M (voir par exemple [CE99, IX.6]). En particulier, tout A-module unitaire est un A^{+}-module H-unitaire.

Lemme 4.1.3.7 Un A^{+}-polydule est H-unitaire si et seulement si il est homologiquement unitaire en tant que A-polydule.

Démonstration : Soit M un A-polydule homologiquement unitaire. Il existe une structure de A-polydule (nécessairement homologiquement unitaire) sur H^{∗}M et un A_{∞}-quasi-isomorphisme H^{∗}M → M. Par le corollaire 3.3.1.2, nous pouvons choisir H^{∗}M strictement unitaire. Nous avons alors une équivalence faible

B(H^{∗}M) → BM.

Comme les équivalences faibles sont des quasi-isomorphismes, il nous suffit de montrer que B(H^{∗}M) est quasi-isomorphe à 0. Nous vérifions que le morphisme

r : SH^{∗}M ⊗ B^{+}(A^{+}) → SH^{∗}M ⊗ B^{+}(A^{+}),

défini par les morphismes

(I ⊗ sη) : SH^{∗}M ⊗ (SA)^{⊗i} → SH^{∗}M ⊗ (SA)^{⊗i} ⊗ SA, i ≥ 0,

où η : e → A est l’unité stricte de A, est une homotopie contractante de B(H^{∗}M).

Pour démontrer la réciproque nous introduisons quelques notions supplémentaires.

Les cochaînes tordantes généralisées

Soit C un objet de Cogca et A′ un objet de Alga_{∞}. Une cochaîne tordante généralisée τ : C → A′ est un morphisme gradué de degré +1 qui s’annule sur la co-augmentation ε^{C}, qui se factorise par ker(A^{+} → e) et qui vérifie

∑_{i≥1} m_{i} ∘ (τ^{⊗i}) ∘ Δ^{(i)} = 0.

Remarquons que la somme infinie est bien définie car τ s’annule sur la co-augmentation et C est cocomplète.

Soit M un objet de Mod_{∞} A′. Nous munissons le produit tensoriel M ⊗ C du morphisme de degré +1 qui est la somme (bien définie) de la différentielle du produit tensoriel et des morphismes

M ⊗ C ⟶^{1⊗Δ^{(i)}} M ⊗ C^{⊗i} ⟶^{1⊗τ^{⊗i−1}⊗1} M ⊗ A′^{⊗i−1} ⊗ C ⟶^{m_{i}⊗1} M ⊗ C, i ≥ 1.

Nous vérifions que ce morphisme de degré +1 est une différentielle de M ⊗C. Nous notons M ⊗_{τ} C le produit tensoriel muni de cette différentielle. Soit N un objet de Comc C. Nous munissons le produit tensoriel N ⊗ A de la différentielle qui est la somme (bien définie) de la différentielle du produit tensoriel et des morphismes

(1 ⊗ m_{i}) ∘ (1 ⊗ τ^{⊗i−1} ⊗ 1) ∘ (Δ^{(i)} ⊗ 1) : N ⊗ A′ → N ⊗ A′, i ≥ 1.

Nous munissons N ⊗ A′ du morphisme m_{1} donnée par la différentielle ci-dessus et des morphismes m_{i}, i ≥ 2, valant 1_{N} ⊗ m_{i}^{A′}. Ces morphismes définissent une structure de A′-polydule sur N ⊗ A′. Notons ce A′-polydule N ⊗_{τ} A′. Ceci nous donne deux foncteurs

⊗_{τ} A′ : Comc C → Mod_{∞} A′ et ⊗_{τ} C : Mod_{∞} A′ → Comc C

appelés les produits tensoriels tordus généralisés.

Fin de la démonstration du lemme (4.1.3.7) : Soit M un A^{+}-polydule H-unitaire. Nous voulons montrer qu’il est homologiquement unitaire en tant que A-polydule. Nous vérifions que la composition

B^{+}A^{+} = T^{c}SA ⟶^{p_{1}} SA ⟶^{ω} A ↪ A^{+}

est un élément tordant généralisé. Nous avons un morphisme de A^{+}-polydules

η^{B^{+}A^{+}} ⊗ ε^{A^{+}} : B^{+}A^{+}⊗_{τ} A^{+} → e

donné par l’unité de B^{+}A^{+} et la co-augmentation de A^{+}. Le morphisme

M ⊗_{τ} (η^{B^{+}A^{+}} ⊗ ε^{A^{+}}) : M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} A^{+} → M = M ⊗_{τ} e

est un quasi-isomorphisme (l’homotopie contractante de la démonstration du lemme 2.2.1.9 définit une homotopie contractante de son cône). La co-augmentation A^{+} → e induit une suite exacte

0 → M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} A ⟶^{i} M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} A^{+} → M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} e → 0.

Le A^{+}-polydule M étant H-unitaire, l’objet M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} e est quasi-isomorphe à 0 car isomorphe à S^{−1}BM. Il en résulte que le morphisme i est un quasi-isomorphisme. Le A^{+}-polydule M qui est quasi-isomorphe à M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} A^{+} est donc quasi-isomorphe à M ⊗_{τ} B^{+}A^{+}⊗_{τ} A. Comme ce dernier est strictement unitaire sur A, M est homologiquement unitaire sur A. □

Démonstration de la proposition (4.1.3.3) Nous savons que le foncteur

J : H_{∞}A ↪ H_{∞}A^{+} ≃ D_{∞}A^{+}

est pleinement fidèle. Il faut montrer que son image est formée des objets de Tria A. Le lemme (4.1.3.7) montre que tout objet de Mod_{∞} A est dans Tria A. Réciproquement, si un A^{+}-polydule M est dans Tria A, il est homologiquement unitaire sur A. Il est donc (3.3.1.3) quasi-isomorphe à un objet strictement unitaire. □

Nous munissons la catégorie H_{∞}A de la structure triangulée induite par l’équivalence

H_{∞}A → Tria A.

Equivalence entre les catégories de D2 et D3

Le foncteur

J : H_{∞}A → H_{∞}A^{+}

est pleinement fidèle et nous avons un isomorphisme de catégories (2.4.2.2)

H_{∞}A^{+} ⟶^{∼} D_{∞}A^{+}.

Les A_{∞}-quasi-isomorphismes sont donc les isomorphismes dans H_{∞}A. Comme

Mod_{∞} A → H_{∞}A

est un foncteur localisation (par rapport aux équivalences d’homotopie), nous avons un isomorphisme

( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}] ⟶^{∼} H_{∞}A.

Equivalence entre les catégories de D3 et D4

Commençons par montrer quelques résultats sur la catégorie dérivée d’une algèbre différentielle graduée.

Lemme 4.1.3.8 Soit A une algèbre différentielle graduée unitaire. L’inclusion

J : Mod A → Mod_{∞} A

induit une équivalence

DA → ( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}].

L’inverse est donné par le foncteur ? ⊗^{∞}_{A} A.

Démonstration : Considérons A comme un A-A-bipolydule. Nous lui associons (4.1.1.3) le foncteur

? ⊗^{∞}_{A} A : Mod_{∞} A → Mod A.

Nous savons par le lemme (4.1.1.6) que l’A_{∞}-morphisme

g_{M} : M ⊗^{∞}_{A} A → M, M ∈ Mod_{∞} A,

est un A_{∞}-quasi-isomorphisme. Si M est un module différentiel gradué sur A, les multiplications m_{i}^{M}, i ≥ 3, sont nulles et l’A_{∞}-morphisme g_{M} (construit dans la démonstration du lemme (4.1.1.6)) est strict. L’A_{∞}-morphisme g_{M} est alors un morphisme de A-modules différentiels gradués. Ceci montre que les foncteurs J et ? ⊗^{∞}_{A} A induisent des foncteurs quasi-inverses l’un de l’autre entre les catégories

DA et ( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}].
□

Définition 4.1.3.9 Soit A une algèbre différentielle graduée (non nécessairement unitaire). La catégorie dérivée DA est le noyau de

? ⊗^{L} e : DA^{+} → De.

Remarque 4.1.3.10 Dans le cas où A est unitaire, la catégorie dérivée définie ci-dessus est équivalente à la catégorie dérivée définie en (2.2.3).

Corollaire 4.1.3.11 Soit A une algèbre différentielle graduée (non nécessairement unitaire). Les catégories dérivées D_{∞}A et DA sont équivalentes.

Démonstration : C’est une conséquence du lemme (4.1.3.8) et du fait que le foncteur ? ⊗^{L} e est exactement le foncteur ? ⊗^{∞}_{A} e. □

La catégorie de modèles Mod_{∞}^{strict} A

Nous utilisons ci-dessous les notations et la terminologie standard des opérades différentielles graduées (voir par exemple [Hin97]).

Une opérade asymétrique est une suite d’objets O(n), n ≥ 0, de CC munie d’une composition μ vérifiant les mêmes conditions d’associativité que la composition d’une opérade au sens habituel. Notons 𝔖_{n}, n ≥ 1, le groupe symétrique. La suite 𝕂𝔖_{n} ⊗_{𝕂} O(n), n ≥ 0, est un S-module dans CC et μ induit une structure d’opérade sur ce S-module. L’opérade Ass des algèbres associative est égale à 𝕂𝔖_{n} ⊗_{𝕂} Ass′(n), n ≥ 0, où Ass′ est une opérade asymétrique.

Soit O l’opérade asymétrique des A_{∞}-algèbres strictement unitaires. On note U(O, A) = U(A) l’algèbre enveloppante de A relativement à l’opérade O. La catégorie Mod_{∞}^{strict} A des A-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts est bien sûr isomorphe à la catégorie des modules (à droite) sur la O-algèbre A. Nous avons donc un isomorphisme de catégories

Mod U(A) ⟶^{∼} Mod_{∞}^{strict} A.

Nous déduisons du théorème (2.2.2.1) le résultat suivant.

Proposition 4.1.3.12 Les trois classes de morphismes ci-dessous définissent une structure de catégorie de modèles sur Mod_{∞}^{strict} A :

- la classe Eq formée des A_{∞}-quasi-isomorphismes stricts,

- la classe Fib formée des morphismes f : M → M′ tels que f^{n} est un épimorphisme pour tout n ∈ Z,

- la classe Cof formée des morphismes qui ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux morphismes appartenant à Qis ∩ Fib.

□

Nous rappelons que la catégorie dérivée DU(A) est isomorphe à la catégorie localisée

Ho ( Mod_{∞}^{strict} A).

Remarque 4.1.3.13 Si A est une A_{∞}-algèbre augmentée, l’algèbre enveloppante U(A) est isomorphe à Ω^{+}B^{+}A (voir 2.3.4.2).

Proposition 4.1.3.14 Soit A une A_{∞}-algèbre strictement unitaire. L’inclusion

J : Mod_{∞}^{strict} A → Mod_{∞} A

induit une équivalence

Ho ( Mod_{∞}^{strict} A) → ( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}].

Démonstration :

Premier cas : A est une algèbre différentielle graduée unitaire. La suite d’inclusions

Mod A ↪ Mod_{∞}^{strict} A ↪ Mod_{∞} A

induit une suite de foncteurs fidèles

DA → Ho ( Mod_{∞}^{strict} A) → ( Mod_{∞} A)[Qis^{−1}].

Le lemme (4.1.3.8) nous donne la pleine fidélité de la composition. Le second foncteur est donc plein et nous avons le résultat.

Deuxième cas : A est une A_{∞}-algèbre strictement unitaire quelconque. D’après la proposition (7.5.0.2), il existe un modèle différentiel gradué unitaire A′ et une cofibration triviale

i : A → A′

strictement unitaire. Le lemme (3.2.4.5) montre qu’il existe une fibration triviale q : A′ → A telle que q ∘ i = 1_{A} et i ∘ q est homotope à 1_{A′}. Les foncteurs restriction Res^{i} et Res^{q} induisent des foncteurs i^{∗} et q^{∗} entre les catégories homotopiques

Ho ( Mod_{∞}^{strict} A) et Ho ( Mod_{∞}^{strict} A′).

Nous avons clairement i^{∗} ∘ q^{∗} = 1. Montrons que q^{∗} ∘ i^{∗} est isomorphe au foncteur identité de Ho ( Mod_{∞}^{strict} A′).

Soit A′^{+} l’augmentation de A′. Son algèbre enveloppante U(A′^{+}) est l’algèbre différentielle graduée Ω^{+}B^{+}A′^{+} (voir 2.3.4.4). Soit j : A′^{+} → U(A′^{+}) l’A_{∞}-morphisme universel construit en 2.3.4.3. Comme il est un A_{∞}-quasi-isomorphisme strictement unitaire augmenté, il induit une équivalence

D_{∞}U(A′^{+}) → D_{∞}A′^{+}

compatible aux foncteurs

D_{∞}A′^{+} → D_{∞}e et D_{∞}U(A′^{+}) → D_{∞}e.

La sous-catégorie D_{∞}A′ = Tria A′ est ainsi équivalente à la sous-catégorie D_{∞}\overline{U}(A′^{+}) = Tria \overline{U}(A′^{+}) (l’algèbre \overline{U}(A′^{+}) = ΩB^{+}A′^{+} est la réduction de U(A′^{+})). Notons f l’A_{∞}-morphisme composé i ∘ q. Soit f^{+} : A′^{+} → A′^{+} le morphisme augmenté associé à f. Notons g le morphisme

Ω^{+}B^{+}f^{+} : U(A′^{+}) → U(A′^{+}).

Le morphisme g est un morphisme d’algèbres différentielles graduées unitaires. Pour montrer que Res^{f} induit un endofoncteur de Ho Mod_{∞}^{strict} A′ qui est isomorphe au foncteur identité, il suffit de montrer que Res^{g} induit un endofoncteur de DU(A′^{+}) isomorphe au foncteur identité. Le morphisme g est clairement homotope à 1 dans la catégorie Alg_{∞}. Les morphismes g et 1 deviennent donc égaux dans Alg[Qis^{−1}] (voir 1.3.1.3). Comme Ω^{+}B^{+}A′^{+} est une algèbre presque libre co-augmentée, elle est un objet fibrant et cofibrant de la catégorie de modèles Alg (voir 1.3.1). Il existe donc une homotopie à droite entre 1 et g. Le lemme (4.1.3.15) ci-dessous montre que l’endofoncteur g^{∗} de D\overline{U}(A′^{+}) induit par Res^{g} est isomorphe à l’identité. □

Lemme 4.1.3.15 Soit A et B deux algèbres différentielles graduées unitaires. Soit g et g′ deux morphismes A → B unitaires homotopes à droite. Les foncteurs restriction le long de g et g′ induisent des foncteurs isomorphes

DB → DA.

Démonstration : On rappelle qu’une algèbre de chemins B^{I}, c’est-à-dire un objet de chemins pour B dans la catégorie de modèles Alg, est un objet de Alg muni de morphismes

B ⟶^{i} B^{I} ⟶^{p} B_{0} × B_{1},

où B_{0} et B_{1} sont égales à B, tels que i est une équivalence faible et p ∘ i est une factorisation de la diagonale B → B_{0} × B_{1}. Notons p_{0} et p_{1} les morphismes composés

B^{I} ⟶^{p} B_{0} × B_{1} → B_{0} et B^{I} ⟶^{p} B_{0} × B_{1} → B_{1}.

Nous avons les égalités p_{0} ∘ i = p_{1} ∘ i = 1.

Les morphismes g et g′ sont homotopes à droite relativement à l’algèbre de chemins B^{I}, il existe donc un morphisme H : A → B^{I} tel que p_{0} ∘ H = g et p_{1} ∘ H = g′. Ceci montre que

Res^{g} = Res^{H} ∘ Res^{p_{0}} et Res^{g′} = Res^{H} ∘ Res^{p_{1}} .

Pour montrer que Res^{g} et Res^{g′} induisent des foncteurs isomorphes dans les catégories dérivées, il suffit de montrer que Res^{p_{0}} et Res^{p_{1}} induisent des foncteurs isomorphes dans les catégories dérivées. Nous avons les égalités

1 = Res^{i} ∘ Res^{p_{0}} = Res^{i} ∘ Res^{p_{1}} .

Comme i est un quasi-isomorphisme, Res^{i} induit une équivalence dans les catégories dérivées. Nous en déduisons que Res^{p_{0}} et Res^{p_{1}} induisent des foncteurs isomorphes dans les catégories dérivées. □

4.2 La catégorie dérivée des bipolydules

Les démonstrations de cette section sont omises car similaires à celles de la section 4.1.

Le foncteur M ⊗^{∞}? ⊗^{∞} M′′

Soit 𝕆, 𝕆′, 𝕆′′ et 𝕆′′′ des objets de C. Soit A (resp. A′, A′′, A′′′) une A_{∞}-algèbre dans C(𝕆, 𝕆) (resp. C(𝕆′, 𝕆′), C(𝕆′′, 𝕆′′), C(𝕆′′′, 𝕆′′′)). Soit M (resp. M′′) un A-A′-bipolydule (resp. A′′-A′′′- bipolydule) dans C(𝕆, 𝕆′) (resp. C(𝕆′′, 𝕆′′′)). On définit le foncteur

Nod_{∞}(A′, A′′) → Nod_{∞}(A, A′′′), M′ ↦ M ⊗^{∞} M′ ⊗^{∞} M,

par l’égalité de B^{+}A-B^{+}A′′′-bicomodules différentiels gradués

B(M ⊗^{∞} M′ ⊗^{∞} M) = BM □_{B^{+}A′}BM′ □_{B^{+}A′′}BM,

où □ désigne le produit cotensoriel (voir 4.1.1).

La catégorie dérivée D_{∞}(A, A′)

Soit e_{𝕆} et e_{𝕆′} les éléments neutres de C(𝕆, 𝕆) et C(𝕆′, 𝕆′) considérés comme des A_{∞}-algèbres augmentées. Considérons e_{𝕆} et e_{𝕆′} comme un e_{𝕆}-A^{+}-bipolydule et un A′^{+}-e_{𝕆′}-bipolydule.

Définition 4.2.0.1 La catégorie dérivée D_{∞}(A′, A′′) est le noyau du foncteur

e_{𝕆} ⊗^{∞}_{A′^{+}} ? ⊗^{∞}_{A′′^{+}} e_{𝕆′} : D_{∞}(A′^{+}, A′′^{+}) → D_{∞}(e_{𝕆}, e_{𝕆′}).

La sous-catégorie Tria(A, A′)

Supposons que la catégorie C admet un objet final ℙ. Soit x : ℙ → 𝕆 un morphisme de C. Le morphisme x induit un foncteur

x_{∗} : C(𝕆, ℙ) → C(ℙ, ℙ), M ↦ M(x).

Nous supposons que ce foncteur admet un adjoint à gauche

!x : C(ℙ, ℙ) → C(ℙ, 𝕆).

Nous avons un A-polydule à gauche

x^{∨} = A ⊗_{𝕆} _{!}x(e_{ℙ}),

dont la structure est donnée par les multiplications de A.

Remarque 4.2.0.2 Cette notation est justifiée par le fait suivant. Dans l’exemple apparaissant dans l’étude des A_{∞}-catégories (5.1.1), un objet final est un ensemble à un élément. Soit ℙ un tel ensemble et 𝕆 un ensemble. Soit x une l’application ℙ → 𝕆 donnée par un élément (noté aussi x) de 𝕆. le A-polydule x^{∨} est l’A_{∞}-foncteur coreprésenté par x

x^{∨} = A(x,?).
□

Soit x : ℙ → 𝕆 et y : ℙ → 𝕆′ des morphismes de C. Le 𝕆-𝕆′-bimodule

x^{∨} ⊗_{ℙ} y^{∧} = A ⊗_{𝕆′} _{!}x(e_{ℙ}) ⊗_{ℙ} y_{!}(e_{ℙ}) ⊗_{𝕆′} A′

est un A-A′-bipolydule. La catégorie Tria(A, A′) est la sous-catégorie triangulée de D_{∞}(A^{+}, A′^{+}) engendrée par les

x^{∨} ⊗_{ℙ} y^{∧}, x ∈ C(ℙ, 𝕆), y ∈ C(ℙ, 𝕆′).

Proposition 4.2.0.3 Soit A et A′ des A_{∞}-algèbres H-unitaires. Nous avons une suite exacte de catégories triangulées

Tria(A, A′) ↪ D_{∞}(A^{+}, A′^{+}) → D_{∞}(e_{𝕆}, e′_{𝕆}).

En particulier, la catégorie dérivée D_{∞}A est égale à Tria(A, A′). □

Théorème 4.2.0.4 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres strictement unitaires. Les catégories suivantes sont équivalentes :

D1. la catégorie dérivée D_{∞}(A, A′) de (4.2.0.1), c’est-à-dire, la sous-catégorie triangulée Tria(A, A′) de D_{∞}(A^{+}, A′^{+}) (4.1.2.10),

D2. la catégorie (bien définie)

H_{∞}(A, A′) = Mod_{∞}(A, A′)/∼

où ∼ est la relation d’homotopie,

D3. la catégorie localisée

( Mod_{∞}(A, A′))[Qis^{−1}]

où Qis est la classe des A_{∞}-quasi-isomorphismes de Mod_{∞}(A, A′), D4. la catégorie localisée

( Mod_{∞}^{strict}(A, A′))[Qis^{−1}]

de la catégorie Mod_{∞}^{strict}(A, A′).

Démonstration : Les équivalences entre les catégories de D1, D2 et D3 se montrent de la même manière que dans le théorème (4.1.3.1). L’équivalence entre les catégories de D3 et D4 dans le cas où A et A′ sont des algèbres différentielles graduées unitaires se prouve comme dans la proposition (4.1.3.14). Si A et A′ dont des A_{∞}-algèbres strictement unitaires quelconques, nous procédons de la manière suivante. On montre comme dans la proposition (4.1.3.14) que l’inclusion

Mod(U(A), U(A′)) ↪ Mod_{∞}(A, A′)

induit une équivalence

Ho ( Mod(U(A), U(A′))) → ( Mod_{∞}(A, A′))[Qis^{−1}].

Comme cette équivalence est la composition des foncteurs fidèles

Ho ( Mod(U(A), U(A′))) → ( Mod_{∞}^{strict}(A, A′))[Qis^{−1}] ⟶^{K} ( Mod_{∞}(A, A′))[Qis^{−1}]

le foncteur K est plein. Il est donc une équivalence. □

130  Chapitre 4 : Catégorie dérivée

A_{∞}-catégories et A_{∞}-foncteurs

Plan du chapitre

Une A_{∞}-catégorie est une A_{∞}-algèbre avec plusieurs objets, et réciproquement, une A_{∞}-algèbre est une A_{∞}-catégorie avec un objet. Les problèmes soulevés par l’augmentation du nombre d’objets sont nombreux et la généralisation des résultats des chapitres précédents est parfois très technique.

Dans la section 5.1, nous fixons des notations qui codent la variation des ensembles d’objets des petites A_{∞}-catégories. Nous introduisons pour cela une bicatégorie C dont les objets sont les ensembles, puis nous définissons une petite A_{∞}-catégorie dont l’ensemble des objets est en bijection avec un ensemble 𝕆 comme une A_{∞}-algèbre dans la catégorie (monoïdale) C(𝕆, 𝕆). Nous définissons ensuite les A_{∞}-foncteurs.

Dans la section 5.2, nous définissons les catégories différentielles graduées des (bi)polydules sur des A_{∞}-catégories.

Dans la section 5.3, nous établissons un lemme (dit lemme clef) qui sera fondamental dans la construction de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda (7.1.0.1) et celle de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé (8.2.1).

5.1 Définitions

5.1.1 Les catégories de base C(𝕆, 𝕆′) et C(𝕆)

Nous fixons des notations que nous utiliserons tout au long de cette partie. Nous construisons une bicatégorie C dont les objets sont les ensembles (voir [ML98, Chap. XII, §6] pour les bicatégories).

Soit 𝕂 un corps. Le produit tensoriel au-dessus de 𝕂 est noté ⊗. Soit 𝕆 un ensemble. Considérons le comme la petite catégorie dont les objets sont en bijection avec 𝕆 et dont l’espace des morphismes o → o′ est vide si o ≠ o′, et contient uniquement le morphisme identité I_{o} sinon.

Soit 𝕆, 𝕆′ et 𝕆′′ trois ensembles. Un 𝕆′-𝕆-bimodule (resp. un 𝕆-module à droite) est un foncteur

M : 𝕆^{op} × 𝕆′ → Vect𝕂, (resp. M : 𝕆^{op} → Vect𝕂)

132  Chapitre 5 : A_{∞}-catégories et A_{∞}-foncteurs

où Vect𝕂 est la catégorie des 𝕂-espaces vectoriels. Un morphisme de bimodules (resp. de modules) est un morphisme de foncteurs. Nous notons C(𝕆, 𝕆′) et C(𝕆) ces catégories. Soit M un objet de C(𝕆, 𝕆′) et N un objet de C(𝕆′, 𝕆′′). Le produit tensoriel M ⊙_{𝕆′} N au-dessus de 𝕆′ est l’objet de C(𝕆, 𝕆′′) défini par

(M ⊙_{𝕆′} N)(o′′, o) = ⨁_{o′∈𝕆′} M(o′, o) ⊗ N(o′′, o′).

Nous noterons simplement ⊙ le tenseur au-dessus de 𝕆′ lorsque cela ne prêtera pas à confusion. Le produit tensoriel au-dessus de 𝕆′ nous donne un foncteur

C(𝕆′, 𝕆) × C(𝕆′′, 𝕆′) → C(𝕆′′, 𝕆′), (M, N) ↦ M ⊙_{𝕆′} N,

et si 𝕆′′′ est un ensemble et T un objet de C(𝕆′′, 𝕆′′′), on a des contraintes d’associativité

(M ⊙_{𝕆′} N) ⊙_{𝕆′′} T ⟶^{∼} M ⊙_{𝕆′} (N ⊙_{𝕆′′} T).

Soit f : 𝕆 → 𝕆′ une application. On a un foncteur

C(𝕆′′, 𝕆′) ⟶ C(𝕆′′, 𝕆),

qui envoie le 𝕆′-𝕆′′-bimodule M sur le 𝕆-𝕆′′-bimodule

\begin{matrix}M_{f} : 𝕆^{op} × 𝕆′′ & → & Vect𝕂 \\ o × o′′ & ↦ & M(fo, o′′). \end{matrix}

De manière similaire, si g : 𝕆 → 𝕆′′ est une application, on a un foncteur

C(𝕆′′, 𝕆′) ⟶ C(𝕆, 𝕆′), M ↦ _{g}M.

La catégorie C(𝕆, 𝕆′) est 𝕂-linéaire abélienne, semi-simple, cocomplète, aux colimites filtrantes exactes (i.e. c’est une 𝕂-catégorie de Grothendieck semi-simple). Par la section 1.1.1, nous avons les catégories GrC(𝕆, 𝕆′) des bimodules gradués et CC(𝕆, 𝕆′) des bimodules différentiels gradués. Remarquons que le produit tensoriel ⊙_{𝕆} et le bimodule

e_{𝕆}( , ) = 𝕂Hom_{𝕆}( , )

définissent une structure de catégorie monoïdale sur (C(𝕆, 𝕆), ⊙, e_{𝕆}). Le foncteur

C(𝕆′, 𝕆′) → C(𝕆, 𝕆), M ↦ _{f}M_{f},

est compatible à la structure monoïdale. Comme la catégorie C(𝕆) est isomorphe à C({∗}, 𝕆), où {∗} est un ensemble à un élément, nous obtenons une action à droite de la catégorie monoïdale C(𝕆, 𝕆) sur C(𝕆)

C(𝕆) × C(𝕆, 𝕆) → C(𝕆), (M, N) ↦ M ⊙ N.

Remarque 5.1.1.1 Soit A une petite 𝕂-catégorie dont l’ensemble des objets est en bijection avec un ensemble 𝔸. Le 𝔸-𝔸-bimodule

Hom_{A} : A × A′ ↦ Hom_{A}(A, A′),

muni des morphismes

μ : Hom_{A} ⊙ Hom_{A} → Hom_{A} et η : e_{𝔸} → Hom_{A}, I_{A} ↦ 1_{A},

donnés par la composition de A et par les morphismes identité 1_{A} de A, est une algèbre unitaire dans la catégorie des 𝔸-𝔸-bimodules. Réciproquement, une algèbre unitaire dans la catégorie des 𝔸-𝔸-bimodules définit une petite 𝕂-catégorie dont l’ensemble des objets est en bijection avec 𝔸.

Soit A et B deux petites 𝕂-catégories dont les ensembles des objets sont en bijection avec des ensembles 𝔸 et 𝔹. Soit f : A → B un foncteur. On note

ḟ : Obj A → Obj B

l’application qui envoie A sur son image par le foncteur f. Le foncteur f induit un morphisme d’algèbres unitaires

Hom_{A} → ḟHom_{B}ḟ, x ↦ f(x),

Réciproquement, si Λ et Λ′ sont deux algèbres unitaires dans les catégories des 𝔸-𝔸-bimodules et des 𝔹-𝔹-bimodules, une application ḟ : 𝔸 → 𝔹 et un morphisme d’algèbres unitaires Λ → ḟΛ′ḟ dans la catégorie C(𝔸, 𝔸) définissent un foncteur entre les 𝕂-catégories correspondantes.

Définition 5.1.1.2 Soit 𝔸 un ensemble. Une (petite) catégorie différentielle graduée sur 𝔸 est une algèbre différentielle graduée unitaire dans C(𝔸, 𝔸).

5.1.2 Définitions

Définition 5.1.2.1 Soit 𝔸 un ensemble. Une A_{∞}-catégorie sur 𝔸 est une A_{∞}-algèbre dans la catégorie

(GrC(𝔸, 𝔸), ⊙, e_{𝔸}).

Remarque 5.1.2.2 Soit A une A_{∞}-catégorie. Elle est déterminée par - un ensemble d’objets Obj A = 𝔸,

- pour tout couple (A, A′) d’objets de A, un espace gradué de morphismes

Hom_{A}(A, A′) = A(A, A′),

- pour toute suite (A_{0}, …, A_{n}) d’objets de A, des compositions

m_{n} : A(A_{n−1}, A_{n}) ⊗ … ⊗ A(A_{0}, A_{1}) → A(A_{0}, A_{n}),

vérifiant les équations (∗_{n}), n ≥ 1, de la définition 1.2.1.1, Si A est homologiquement unitaire (en tant que A_{∞}-algèbre dans GrC(𝔸, 𝔸)) alors, pour tout objet A ∈ A, nous avons un morphisme identité I_{A} ∈ A(A, A) tel que sa classe [I_{A}] dans H^{∗}A(A, A) vérifie

μ(f, [I_{A}]) = f, f ∈ H^{∗}A(A, A′) et μ([I_{A}], g) = g, g ∈ H^{∗}A(A′, A),

où μ est la composition de H^{∗}A induite par m_{2}.

Remarque 5.1.2.3 La composition m_{2} induit une composition associative

μ : H^{0}A ⊙ H^{0}A → H^{0}A.

Si A est homologiquement unitaire alors H^{0}A est une catégorie au sens classique. Le morphisme identité d’un objet A ∈ H^{0}A est la classe [I_{A}].

Lemme 5.1.2.4 Soit 𝔹 un ensemble, B une A_{∞}-catégorie sur 𝔹 homologiquement unitaire et

f : 𝔸 → 𝔹

une application. Le 𝔸-𝔸-bimodule gradué _{f}B_{f} est une A_{∞}-catégorie homologiquement unitaire pour les compositions et les morphismes identité induits par ceux de A. □

Définition 5.1.2.5 Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles et A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Un A_{∞}-foncteur

f : A → B

est la donnée d’un couple (ḟ, f_{Hom}) formé d’une application

ḟ : 𝔸 → 𝔹

et d’un A_{∞}-morphisme dans la catégorie GrC(𝔸, 𝔸)

f_{Hom} : A → ḟBḟ.

Nous noterons souvent ce dernier f au lieu de f_{Hom}. L’A_{∞}-foncteur identité de A est noté

1_{A} : A → A.

Attention à ne pas confondre ce symbole avec I_{A}, le morphisme identité d’un objet A ∈ A.

Remarque 5.1.2.6 Soit A et B deux petites A_{∞}-catégories. Un A_{∞}-foncteur f : A → B est déterminé par

- une application

ḟ : Obj A → Obj B,

- pour toute suite (A_{0}, …, A_{n}) d’objets de A, des morphismes

f_{n} : A(A_{n−1}, A_{n}) ⊗ … ⊗ A(A_{0}, A_{1}) → B(ḟA_{0}, ḟA_{n}),

vérifiant les équations (∗∗_{n}), n ≥ 1, de la définition 1.2.1.2.

Remarque 5.1.2.7 Soit A et B deux petites A_{∞}-catégories sur 𝔸. Un A_{∞}-morphisme f : A → B dans C(𝔸, 𝔸) donne un A_{∞}-foncteur

(1_{𝔸}, f) : A → B, x ↦ f(x).

Réciproquement, un A_{∞}-foncteur (ḟ, f) dont l’application sous-jacente ḟ est égale à 1_{𝔸} donne un A_{∞}-morphisme f : A → B.

Rappel sur la construction bar

Soit A et B deux A_{∞}-catégories et f : A → B un A_{∞}-foncteur. Rappelons que les bijections de la section 1.2.2,

m_{i} ↔ b_{i} (resp. f_{i} ↔ F_{i}), i ≥ 1,

entre les espaces de morphismes

Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(A^{⊙i}, A) et Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}((SA)^{⊙i}, SA)

(resp. Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(A^{⊙i}, ḟBḟ) et Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}((SA)^{⊙i}, ḟBḟ))

sont définies par les relations

ω ∘ b_{i} = −m_{i} ∘ ω^{⊙i} (resp. ω ∘ F_{i} = (−1)^{|F_{i}|}f_{i} ∘ ω^{⊙j}),

où F_{i} est un morphisme gradué de degré |F_{i}| et ω = s^{−1}. Un foncteur f : A → B est la donnée d’une application ḟ : Obj A → Obj B et d’un morphisme différentiel gradué

F = Bf : BA → BḟBḟ

dans la catégorie Cogc(𝔸, 𝔸) des cogèbres cocomplètes différentielles graduées de C(𝔸, 𝔸).

Définition 5.1.2.8 Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie sur 𝔸. Un A-polydule est un Apolydule dans GrC(𝔸) (voir 2.3.1.2). Il est donné par un 𝔸-module à droite

M : 𝔸^{op} → GrC

muni de morphismes gradués de 𝔸-modules à droite

m_{i} : M ⊙ A^{⊙i−1} → M, i ≥ 1,

de degré 2 − i, tels qu’une équation (∗′_{n}), n ≥ 1, de la même forme que l’équation (∗_{n}), n ≥ 1, de la définition 1.2.1.1 est vérifiée.

Remarque 5.1.2.9 Soit V un objet de C(𝔸). Le 𝔸-module V ⊙ A muni des morphismes

1_{V} ⊗ m_{i} : (V ⊙ A) ⊙ A^{⊙i−1} → V ⊙ A, i ≥ 1,

est un A-polydule. En particulier, si A est un objet de A, le 𝔸-module

A( , A) = e( , A) ⊙ A

est un A-polydules dans C(𝔸). On le notera A^{∧}.

Définition 5.1.2.10 Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles et A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Un A-B-bipolydule est un A-B-bipolydule dans GrC(𝔸, 𝔹) (voir 2.5.1.3).

5.2 Catégories différentielles graduées des polydules

La catégorie C_{∞}B^{+}A

Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie sur 𝔸. La catégorie C_{∞}B^{+}A a pour objets ceux de Comc B^{+}A. Si N et N′ sont deux objets de Comc B^{+}A, l’espace de morphismes

Hom_{C_{∞}B^{+}A}(N, N′)

est l’espace des morphismes unitaires gradués de comodules N → N′ muni de la différentielle

δ : F ↦ b^{N′} ∘ F − (−1)^{|F |}F ∘ b^{N},

où F est de degré |F |. C’est une catégorie différentielle graduée. Remarquons que la catégorie Comc B^{+}A est isomorphe à la catégorie Z^{0}C_{∞}B^{+}A, i. e. la catégorie dont les objets sont ceux de C_{∞}B^{+}A et dont les morphismes sont les zéro-cycles des complexes de morphismes de C_{∞}B^{+}A.

La catégorie N_{∞}A

La catégorie N_{∞}A est la catégorie différentielle graduée dont les objets sont les A-polydules et dont les espaces de morphismes sont définis par

Hom_{N_{∞}A}(M, M′) = Hom_{C_{∞}B^{+}A}(BM, BM′), M, M′ ∈ N_{∞}A.

Un morphisme f : M → M′ de degré n est donc donné par une suite de morphismes gradués de 𝔸-module

f_{i} : M ⊙ A^{⊙i−1} → M′

de degré 1 − i + n. Les A_{∞}-morphismes f : M → M′ sont les zéro-cycles de Hom_{C_{∞}A}(M, M′). (La lettre N se rapporte au “N on” dans “A-polydules non unitaires”.)

Remarque 5.2.0.1 Soit B une A_{∞}-catégorie et X un B-A-bipolydules. Nous avons un isomorphisme de complexes

Hom^{∞}_{A}(X, M) = Hom_{N_{∞}A}(X_{A}, M), M ∈ N_{∞}A,

où Hom^{∞}_{A}(X, M) est défini en (4.1.1).

La catégorie C_{∞}A

Supposons désormais que A est strictement unitaire. Si M et M′ sont deux A-polydules strictement unitaires, un morphisme f : M → M′ de degré n est strictement unitaire s’il vérifie les équations

f_{i}(1^{⊗α} ⊗ η ⊗ 1^{⊗β}) = 0, i ≥ 2.

Nous notons (N_{∞}A)_{u} la sous-catégorie pleine de N_{∞}A formée des A-polydules strictement unitaires et C_{∞}A la sous-catégorie non pleine de N_{∞}A formée des A-polydules strictement unitaires dont les morphismes sont les morphismes strictement unitaires. Remarquons que si A est augmentée, nous avons un isomorphisme de catégories

C_{∞}A ⟶^{∼} N_{∞}\overline{A}.

Remarque 5.2.0.2 La catégorie H^{0}C_{∞}A est clairement isomorphe à H_{∞}A (voir la définition 4.1.2.1). Elle est équivalente à la catégorie D_{∞}A par le corollaire 2.4.2.2.

Proposition 5.2.0.3 L’inclusion

C_{∞}A → N_{∞}A

induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.

Démonstration : La démonstration est la même que celle de la proposition (3.3.1.8). Au lieu de considérer uniquement les A_{∞}-morphismes, i. e. les morphismes de N_{∞}A qui sont des cycles de degré zéro et les homotopies entre A_{∞}-morphismes, nous considérons les morphismes de degré quelconque qui sont des cycles. □

La catégorie C_{∞}(A, B)

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles et A et B des A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. La catégorie N_{∞}(A, B) est construite de manière strictement analogue à N_{∞}A. Soit la catégorie différentielle graduée C_{∞}(B^{+}A, B^{+}B) dont les objets sont ceux de Comc(B^{+}A, B^{+}B). La catégorie N_{∞}(A, B) est la catégorie différentielle graduée qui a les mêmes objets que que Nod_{∞}(A, B) et dont les espaces de morphismes sont définis par le sous-espaces

Hom_{N_{∞}(A,B)}(M, M′) = Hom_{C_{∞}(B^{+}A,B^{+}B)}(BM, BM′), M, M′ ∈ C_{∞}(A, B).

Si A et B sont strictement unitaires, on définit les catégories (N_{∞}(A, B))_{u} et C_{∞}(A, B) de manière analogue aux catégories (N_{∞}A)_{u} et C_{∞}A. La catégorie Mod_{∞}(A, B) est isomorphe à Z^{0}C_{∞}(A, B).

Proposition 5.2.0.4 L’inclusion

C_{∞}(A, B) → N_{∞}(A, B)

induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes. □

5.3 Lemme clef

Le lemme ci-dessous sera utile pour la construction de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda (voir 7.1.0.1).

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles, M un objet gradué de C(𝔸, 𝔹) et A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Soit une famille de morphismes gradués de 𝔸-𝔹-bimodules

m_{i,j} : A^{⊙_{𝔸}i} ⊙_{𝔸} M ⊙_{𝔹} B^{⊙_{𝔹}j} → M, i, j ≥ 0,

de degré 1−i−j. Munissons les cogèbres tensorielles co-augmentées T^{c}SB et T^{c}SA des différentielles b^{A} et b^{B} des constructions bar co-augmentées. Les morphismes

b_{0,j} : SM ⊙_{𝔹} (SB)^{⊙_{𝔹}j} → SM, j ≥ 0,

donnés par les bijections m_{0,j} ↔ b_{0,j} de la section 2.5.1, se relèvent (voir 2.1.2.1) en une unique codérivation de comodules gradués dans C(𝔸, 𝔹)

D : SM ⊙_{𝔹} T^{c}(SB) → SM ⊙_{𝔹} T^{c}(SB).

Notons End = End((SM ⊙_{𝔹} T^{c}(SB)) l’algèbre des endomorphismes gradués de B^{+}B-comodules dans la catégorie C(𝔸, 𝔹). Remarquons que cet un objet de la catégorie C(𝔸, 𝔸) est aussi défini par

End(A, A′) = Hom^{∞}_{B}(M, M( , A′))(A), A, A′ ∈ 𝔸,

où Hom^{∞} est le foncteur défini en (4.1.1). Nous munissons End des trois morphismes

m_{0} : e_{𝔸} → End,  1 ↦ −D^{2}
m_{1} : End → End,  f ↦ D ∘ f − (−1)^{r}f ∘ D
m_{2} : End ⊙_{𝔸} End → End, f ⊙ g ↦ f ∘ g,

où f est un morphisme de degré r. Ils vérifient les équations

m_{1} · m_{0} = 0, m_{2}(m_{0} ⊙ 1 + 1 ⊙ m_{0}) + m_{1}^{2} = 0
m_{2}(m_{1} ⊙ 1 + 1 ⊙ m_{1}) − m_{1}m_{2} = 0 et m_{2}(1 ⊙ m_{2} − m_{2} ⊙ 1) = 0.

Une algèbre différentielle graduée (A, d, μ) vérifie clairement ces équations pour m_{0} = 0, m_{1} = d et m_{2} = μ. Réciproquement, si M est un objet gradué muni de morphismes m_{0}, m_{1} et m_{2} vérifiant ces équations, (M, m_{1}, m_{2}) est une algèbre différentielle gradué si m_{0} est nul.

Soit les morphismes gradués de 𝔸-𝔸-bimodules

f_{i} : A^{⊙i} → End, i ≥ 1,

de degré 2 − i, définis par l’équation

F_{i}(ϕ) = s(Φ) ∈ SEnd,

où F_{i} est donné par la bijection f_{i} ↔ F_{i}, où ϕ est un élément de (SA)^{⊙i} de degré |ϕ| et où le morphisme Φ est l’unique morphisme (voir 2.1.2.1) tel que la composition p_{1}∘Φ a pour composantes les morphismes

\xymatrix{SM ⊙ (SB)^{⊙j} \ar[r]^{(−1)^{|ϕ|}ϕ⊙1} & (SA)^{⊙i} ⊙ SM ⊙ (SB)^{⊙j} \ar[r]^{b_{i,j}} & SM,} j ≥ 0.

Lemme 5.3.0.1 Les énoncés suivants sont équivalents.

a. Le triplet (End, m_{1}, m_{2}) est une algèbre différentielle graduée et les morphismes f_{i}, i ≥ 1,

définissent un A_{∞}-morphisme

f : A → End,

où End est munie de l’A_{∞}-structure de la remarque 1.2.1.5.

b. Les morphismes m_{i,j}, i, j ≥ 0, définissent une structure de A-B-bipolydule sur M.

Démonstration : Supposons que l’énoncé a est vrai. Nous allons montrer qu’il est équivalent aux équations

∑_{k+•+m=n} b_{•}(1^{⊙k} ⊙ b_{•} ⊙ 1^{⊙m}) = 0, n ≥ 0,

où les symboles b_{•} doivent être interprétés convenablement. Ces équations sont équivalentes aux équations (∗′′_{n}), n + 1 + n′ ≥ 1, de la définition 2.5.1.3.

Comme (End, m_{1}, m_{2}) est une algèbre différentielle graduée, le morphisme m_{0} est nul. Ceci veut dire que D est une différentielle de comodules. L’équation D^{2} = 0 est équivalente aux équations

∑_{1+j+k=n} b_{0,l}(b_{0,j} ⊙ 1^{⊙k}) + ∑_{k+j+m=n} b_{0,l}(1^{⊙k} ⊙ b_{j}^{B} ⊙ 1^{⊙m}) = 0, n ≥ 0.

En vertu de la section 1.2.2, le fait que f est un A_{∞}-morphisme se traduit par le fait que la suite des morphismes F_{i}, i ≥ 1, définit un morphisme de cogèbres différentielles graduées

F : B^{+}A → B^{+}End.

Ceci équivaut aux équations (∗∗_{n}), n ≥ 1:

∑_{i+j+k=n} F_{l}(1^{⊙i} ⊙ b_{j}^{A} ⊙ 1^{⊙k}) − b_{1}^{End}(F_{n}) − ∑_{i+j=n} b_{2}^{End}(F_{i} ⊙ F_{j}) = 0.

On rappelle que la définition des bijections m_{i}^{End} ↔ b_{i}^{End}, i ≥ 2, implique que

b_{1}^{End} ∘ s = −s ∘ m_{1}^{End} et b_{2}^{End} ∘ s^{⊙2} = s ∘ m_{2}^{End}.

Soit m ⊙ y un élément de de SM ⊙ (SB)^{⊙n}. Calculons l’image de m ⊙ y par b_{2}^{End}(F_{i} ⊙ F_{j})(ϕ) où ϕ = ϕ_{j} ⊙ ϕ_{i} :

b_{2}^{End}(F_{i} ⊙ F_{j})(ϕ)(m ⊙ y) = b_{2}^{End}(sΦ_{i} ⊙ sΦ_{j})(m ⊙ y) = (−1)^{|Φ_{i}|}b_{2}^{End}(s ⊙ s)(Φ_{i} ⊙ Φ_{j})(m ⊙ y) = (−1)^{|Φ_{i}|}sm_{2}^{End}(Φ_{i} ⊙ Φ_{j})(m ⊙ y) = ∑_{k+l=n}(−1)^{|Φ_{i}|+|ϕ_{i}|+|ϕ_{j}|}sb_{i,l}(ϕ_{i} ⊙ b_{j,k}(ϕ_{j} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊗k}) ⊙ 1^{⊙l})(m ⊙ y) = ∑_{k+l=n}(−1)^{|ϕ_{j}|+1}sb_{i,l}(ϕ_{i} ⊙ b_{j,k}(ϕ_{j} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙k}) ⊙ 1^{⊙l})(m ⊙ y) = ∑_{k+l=n}(−1)^{|ϕ|+1}sb_{i,l}(1_{SA}^{⊙i} ⊙ b_{j,j}(1_{SA}^{⊙j} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙k}) ⊙ 1^{⊗l})(ϕ ⊙ m ⊙ y),

puis b_{1}^{End}(F_{n})(ϕ)(m ⊙ y) :

b_{1}^{End}(F_{n})(ϕ)(y) = b_{1}^{End}(sΦ)(m ⊙ y) = −sm_{1}^{End}(Φ)(m ⊙ y) = −s(b · Φ − (−1)^{|Φ|}Φ · b)(m ⊙ y) = −s[ ∑_{k+l=n}(−1)^{|ϕ|}b_{0,l}(b_{i+j,k}(ϕ ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙k}) ⊙ 1^{⊙l}) +

∑_{u+v+l=n} −(−1)^{|ϕ|}b_{i+j,u+1+l}(ϕ ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙u} ⊙ b_{v}^{B} ⊙ 1^{⊙l}) + − (−1)^{|ϕ|}b_{i+j,u+1+l}(ϕ ⊙ b_{0,n}(1_{SM} ⊙ 1^{⊙n})](m ⊙ y)

= (−1)^{|ϕ|+1}s[ ∑_{k+l=n} b_{0,l}(b_{i+j,k}(1_{SA}^{⊙i+j} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙k}) ⊙ 1^{⊙l}) + ∑_{u+v+l=n} b_{i+j,u+1+l}(1_{SA}^{⊙i+j} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{⊙u} ⊙ b_{v}^{B} ⊙ 1^{⊙l}) + b_{i+j,u+1+l}(1_{SA}^{⊙i+j} ⊙ b_{0,n}(1_{SM} ⊙ 1^{⊙n})](ϕ ⊙ m ⊙ y)

et enfin F_{l}(1^{⊙i} ⊙ b_{j}^{A} ⊙ 1^{⊙k})(ϕ)(m ⊙ y) :

F_{l}(1^{⊙i} ⊙ b_{j}^{A} ⊙ 1^{⊙k})(ϕ)(m ⊙ y) = ∑_{u+v+t=i+j}(−1)^{|ϕ|+1}b_{u+1+t,n}(1_{SA}^{⊙u} ⊙ b_{v}^{A} ⊙ 1_{SA}^{⊙t} ⊙ 1_{SM} ⊙ 1^{n})(ϕ ⊙ m ⊙ y).

Les équations (∗∗_{n}), n ≥ 1, et le fait que la codérivation D est une différentielle sont donc équivalents aux équations

∑ b_{•}(1^{⊙u} ⊙ b_{•} ⊙ 1^{⊙v}) = 0

où les b_{•} et les 1 doivent être interprétés convenablement. □

Soit M un A-B-bipolydule. Soit A un objet de A. On munit le 𝔸-module M( , A) de la structure de B-polydule donnée par les morphismes m_{j}, j ≥ 1, de 𝔹-modules

m_{0,j−1}( , A) : (M ⊙ B^{⊗j−1})( , A) → M( , A), j ≥ 1.

Corollaire 5.3.0.2 L’application

θ̇_{M} : 𝔸 → Obj N_{∞}B, A ↦ M( , A)

se complète de manière canonique en un A_{∞}-foncteur

θ_{M} : A → N_{∞}B.

Démonstration : Le 𝔸-𝔸-bimodule

Hom_{N_{∞}B}(θ̇_{M} , θ̇_{M} )

est par définition l’algèbre des endomorphismes

End_{N_{∞}B^{+}B}((?, ) ⊗ T^{c}SB),

c’est-à-dire, l’algèbre End du lemme clef. Le foncteur canoniquement associé à M est donné par les morphismes

f_{i} : A^{⊙i} → Hom_{N_{∞}B}(θ̇_{M} , θ̇_{M} ), i ≥ 1,

du lemme 5.3.0.1. Ils définissent un A_{∞}-foncteur car

f : A → End

est un A_{∞}-morphisme. □

Corollaire 5.3.0.3 L’application M ↦ θ_{M} de la classe des A-B-bipolydules sur la classe des A_{∞}-foncteurs A → N_{∞}B est une bijection. Son application inverse associe à un A_{∞}-foncteur

(ġ, g) : A → N_{∞}B

le 𝔸-𝔹-bimodule

M(A, B) = (ġ(A))(B)

muni des multiplications m_{i,j}, i, j ≥ 0, données par

m_{i,j−1} = (g_{i})_{j}.
□

Le cas strictement unitaire

Supposons désormais que A et B sont des A_{∞}-catégories strictement unitaires.

Remarque 5.3.0.4 Soit M un A-B-bipolydule. L’A_{∞}-morphisme

f : A → End

du lemme clef (5.3.0.1) est strictement unitaire si et seulement si les compositions

m_{i,j}^{M}(1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β} ⊗ 1_{M} ⊗ 1^{⊗j}), i, j ≥ 0,

sont nulles pour (i, j) ≠ (1, 0) et si elle est l’identité si (i, j) = (1, 0).

Remarque 5.3.0.5 Si M est un A-B-bipolydule strictement unitaire, le B-polydules M( , A), A ∈ 𝔸, est strictement unitaire et l’A_{∞}-foncteur

A → N_{∞}B

du corollaire (5.3.0.2) se factorise par un foncteur

A → C_{∞}B.

Remarque 5.3.0.6 La bijection M ↦ θ_{M} du corollaire (5.3.0.3) se restreint en une bijection de la classe des A-B-bipolydules strictement unitaires sur la classe des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires A → C_{∞}B.

142  Chapitre 5 : A_{∞}-catégories et A_{∞}-foncteurs

Torsion d’A_{∞}-structures

Dans les chapitres 7 et 8, nous allons construire des A_{∞}-catégories dont les compositions sont construites par un processus de torsion que nous décrivons dans ce chapitre.

En théorie des déformations des algèbres de Lie différentielles graduées (ou algèbres associatives différentielles graduées), la technique de la torsion est bien connue (pour un panorama, voir par exemple [Hue99]). La version A_{∞} (et L_{∞}) a été introduite dans [FOOO01, Chap. 4] (voir aussi [Fuk01a]). Notre démonstration du fait que les compositions tordues définissent bien une structure A_{∞} est différente. La torsion d’une A_{∞}-algèbre A par une solution à l’équation de Maurer-Cartan généralisée modifie non seulement la différentielle m_{1} mais aussi toutes les multiplications supérieures.

Ce chapitre est divisé en deux sections. Nous traitons d’abord le cas simple où la torsion est tensoriellement nilpotente, puis le cas où les A_{∞}-structures sont topologiques. Nous montrons que si f : A → B est un A_{∞}-foncteur qui induit des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes, sa torsion induit aussi des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes (6.1.3.4).

6.1 Le cas tensoriellement nilpotent

6.1.1 Eléments tordants

Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie sur 𝔸. Munissons l’élément neutre e = e_{𝔸} pour le produit tensoriel ⊙_{𝔸} de la structure de cogèbre donnée par la contrainte d’unitarité de la catégorie monoïdale de base C(𝔸, 𝔸) (voir 5.1.1 et 1.1.1)

e ⟶^{∼} e ⊙ e.

Considérons e comme une cogèbre différentielle graduée concentrée en degré 0.

Définition 6.1.1.1 Un élément tordant (tensoriellement nilpotent) est un morphisme gradué x : e → A de degré +1 tel que

(1) la composée s ∘ x se relève en un morphisme de cogèbres

X : e → BA,

(2) et ce morphisme X est compatible aux différentielles.

144  Chapitre 6 : Torsion d’A_{∞}-structures

Remarque 6.1.1.2 Notons p_{1} la projection BA → SA. La composition avec la projection donne une bijection

Hom_{Cog}(e, BA) ⟶^{∼} Hom_{nil}(e, SA),

où Hom_{nil}(e, SA) est l’ensemble des morphismes gradués ϕ : e → SA de degré 0 tels que, pour tout A ∈ 𝔸, il existe un N tel que ϕ^{⊗n}Δ^{n−1}(I_{A}) = 0 pour n ≥ N. Nous en déduisons qu’un morphisme gradué x : e → A de degré +1 est un élément tordant si et seulement si

(1) il est tensoriellement nilpotent : pour tout objet A ∈ 𝔸, l’élément x(I_{A}) ∈ A(A, A) de degré 1 est tel que x(I_{A})^{⊙n} est nul pour un certain n > 0,

(2) il vérifie l’équation de Maurer-Cartan

∑_{i=1}^{∞} m_{i}(x(I_{A}) ⊙ … ⊙ x(I_{A})) = 0, A ∈ 𝔸.

(La somme est finie grâce à la propriété de nilpotence tensorielle).

6.1.2 Torsion des A_{∞}-catégories

Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie sur 𝔸. Soit x un élément tensoriellement nilpotent de A. Soit

g : T^{c}SA = e ⊕ \overline{T^{c}}SA → SA

le morphisme de composantes [sx, p_{1}], où p_{1} est la projection \overline{T^{c}}SA → SA. Soit le morphisme de 𝔸-𝔸-bimodules

ϕ_{x} : T^{c}SA → T^{c}SA = ⨁_{i≥0}(SA)^{⊙i}

dont la composée avec la projection sur (SA)^{⊙i} est le morphisme

(g^{⊙i}) ∘ Δ^{(i)} si i ≥ 1, 1_{e} sinon.

Il est clairement un morphisme de cogèbres co-unitaire et il est bien défini car sa restriction au sous-objet (SA)^{⊙i} ∈ C(𝔸, 𝔸) est égale à la somme (bien définie par la propriété de nilpotence tensorielle)

∑_{l≥0} ∑((sx)^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i}}),

où l_{0} + … + l_{i} = l. Remarquons que la composition

ϕ_{x} ∘ ε : e → T^{c}SA = e ⊕ \overline{T^{c}}SA,

où ε est la co-augmentation de T^{c}SA, a pour composantes le morphisme 1_{e} et le relèvement X de s ∘ x. La matrice de

ϕ_{x} : ⨁_{j≥0}(SA)^{⊙j} → ⨁_{i≥0}(SA)^{⊙i}

est triangulaire inférieure et sa diagonale est celle de l’identité. Le morphisme ϕ_{x} est donc un automorphisme co-unitaire (non co-augmenté) de la cogèbre graduée co-augmentée T^{c}SA. La différentielle de la construction bar BA nous donne une différentielle

b : T^{c}SA → T^{c}SA

qui s’annule sur la co-augmentation. Soit la composée

D_{x} = ϕ_{x}^{−1} ∘ b ∘ ϕ_{x} : T^{c}SA → T^{c}SA.

Supposons que x vérifie l’équation de Maurer-Cartan. Le relèvement X : e → \overline{T^{c}}SA de s ∘ x est différentiel gradué. La composition

b ∘ ϕ_{x} ∘ ε = b ∘ [ \begin{matrix}1_{e} \\ X \end{matrix} ] : e → T^{c}SA = e ⊕ \overline{T^{c}}SA

est donc nulle et on a D_{x} ∘ ε = 0. Posons b_{x} le morphisme donné par la flèche verticale de droite du diagramme de suites exactes

[figure: 0; e; ε; 0; T^{c}SA; D_{x}; \overline{T^{c}}SA; b_{x}; 0; 0; e; ε; T^{c}SA; \overline{T^{c}}SA; 0.]

Comme D_{x} est une (1, 1)-codérivation de T^{c}SA, le morphisme b_{x} est une (1, 1)-codérivation de \overline{T^{c}}SA. Comme D_{x}^{2} = 0, la codérivation b_{x} est une différentielle de la cogèbre \overline{T^{c}}SA. Elle est déterminée (1.1.2.2) par les composantes

(b_{x})_{i} : (SA)^{⊙i} → SA

de sa composition avec la projection sur SA.

Lemme 6.1.2.1 Soit i ≥ 1. Le morphisme (b_{x})_{i} est la somme

∑_{l} ∑ b_{l+m}((sx)^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i}}),

où l_{0} + … + l_{i} = l.

Démonstration : Remarquons que D_{x} restreint au sous-objet \overline{T^{c}}SA de T^{c}SA est égal à b_{x}. Nous devons calculer

(p_{1} ∘ D_{x})|_{(SA)^{⊙i}} = (p_{1} ∘ ϕ_{x}^{−1} ∘ b ∘ ϕ_{x})|_{(SA)^{⊙i}} i ≥ 1.

Comme la matrice des coefficients de

ϕ_{x} : ⨁_{j≥0}(SA)^{⊙j} → ⨁_{i≥0}(SA)^{⊙i}

est triangulaire inférieure et comme sa diagonale est celle de l’identité, la matrice de ϕ_{x}^{−1} est de la même forme. Ainsi, les morphisme p_{1} ∘ ϕ_{x}^{−1} ∘ b ∘ ϕ_{x} et p_{1} ∘ b ∘ ϕ_{x} restreints à (SA)^{⊙i} sont égaux. Ceci démontre le lemme. □

Définition 6.1.2.2 (K. Fukaya [FOOO01] (voir aussi [Fuk01a])) L’A_{∞}-catégorie tordue A_{x} sur 𝔸 est le 𝔸-𝔸-bimodule A_{x} = A dont la construction bar BA_{x} est la cogèbre tensorielle réduite différentielle graduée

(\overline{T^{c}}SA, b_{x}).

Ses compositions

m_{i}^{x} : A_{x}^{⊙i} → A_{x}, i ≥ 1,

sont donc définies par la somme

∑_{l} ∑(−1)^{s}m_{l+i}^{A}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}}),

où l’exposant du signe est s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t} (Cette somme infinie définit bien un morphisme grâce à la propriété de nilpotence tensorielle de x).

6.1.3 Torsion des A_{∞}-foncteurs

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles, A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Soit

(ḟ, f) : A → B

un A_{∞}-foncteur et x et x′ des éléments tordants de A et B vérifiant une relation de compatibilité avec f qui sera précisée plus bas. Cette relation dit approximativement que l’image de x par f est x′. Le but de cette section est de construire un A_{∞}-foncteur tordu

A_{x} → B_{x′}.

Munissons le 𝔸-𝔸-bimodule ḟBḟ de la structure de A_{∞}-catégorie sur 𝔸 du lemme 5.1.2.4. Nous notons B′ cette A_{∞}-catégorie sur 𝔸. L’élément tordant

x′ : e_{𝔹} → B

donne un élément tordant de B′

e_{𝔸} → B′, I_{A} ↦ x′(ḟA).

Nous le notons aussi x′. Soit

F : B^{+}A → B^{+}B′

la construction bar co-augmentée de l’A_{∞}-morphisme f : A → B′. Nous allons construire l’A_{∞}- foncteur tordu de façon à ce que le morphisme

G = ϕ_{x′}^{−1} ∘ F ∘ ϕ_{x} : T^{c}SA ⟶ T^{c}SB′

soit sa construction bar co-augmentée. Remarquons que pour des éléments tordants x et x′ quelconques, le morphisme G est bien un morphisme différentiel gradué

G : B^{+}A_{x} → B^{+}B′_{x′}.

Il n’y a cependant aucune raison pour qu’il soit co-augmenté car ϕ_{x} et ϕ_{x′} ne le sont pas. Demander qu’il le soit nous donne des relations de compatibilités entre x et x′ : Supposons que G est augmenté. Nous avons l’égalité

ϕ_{x′}^{−1} ∘ F ∘ ϕ_{x} ∘ ε = ε,

ou en d’autre terme, nous avons

F ∘ ϕ_{x} ∘ ε = ϕ_{x′} ∘ ε.

Comme les compositions ϕ_{x} ∘ ε et ϕ_{x′} ∘ ε sont égales aux morphismes

1_{e} + X : e → e ⊕ \overline{T^{c}}SA et 1_{e} + X′ : e → e ⊕ \overline{T^{c}}SB′

où X et X′ sont les relèvements de x : e → A et x′ : e → B′, la compatibilité entre x et x′ affirme que la somme (bien définie par la propriété de nilpotence tensorielle de x)

∑_{i≥1} f_{i}(x^{⊙i}) : e → B′

est égale à l’élément tordant x′.

Comme le morphisme G est co-augmenté, il est la co-augmentation d’un morphisme des cogèbres différentielles graduées réduites

F_{x} : BA_{x} → BB′_{x′}.

Lemme 6.1.3.1 Soit i ≥ 1. Le morphisme (F_{x})_{i} : (SA)^{⊙i} → SB′ est la somme

∑_{l} ∑ F_{l+m}((sx)^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{SA} ⊙ (sx)^{⊙l_{i}}),

où l_{0} + … + l_{i} = l.

Démonstration : Similaire à celle du lemme 6.1.2.1.

Remarquons que l’A_{∞}-catégorie B′_{x′} est égale à ḟ(B_{x′})ḟ.

Définition 6.1.3.2 L’A_{∞}-foncteur tordu

(ḟ, f^{x}) : A_{x} → B_{x′}

est le foncteur dont la construction bar est F_{x}.

Il est donc défini par des morphismes

f_{i}^{x} : A_{x}^{⊙i} → ḟ(B_{x′})ḟ, i ≥ 1,

définis par les sommes

∑_{l} ∑(−1)^{s}f_{l+i}^{A}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}}),

où l’exposant du signe est s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}.

Torsion et équivalences faibles

Lemme 6.1.3.3 Soit A une A_{∞}-catégorie et x un élément tordant tensoriellement nilpotent. Soit A une A_{∞}-catégorie faiblement équivalente à zéro, i. e. le morphisme dans C(𝔸, 𝔸)

A → 0

est un A_{∞}-quasi-isomorphisme. La catégorie tordue A_{x} est faiblement équivalente à zéro.

Démonstration : La catégorie ambiante du raisonnement ci-dessous est C(𝔸, 𝔸). Nous rappellons (5.1.2.7) qu’un A_{∞}-morphisme f entre deux A_{∞}-algèbres de C(𝔸, 𝔸) est un A_{∞}-foncteur dont l’application sous-jacente ḟ est l’identité de 𝔸. Soit K le complexe contractile (A, m_{1}). Considérons le comme une A_{∞}-algèbre (1.2.1.4). Le lemme (1.3.3.2) montre qu’il existe un A_{∞}-(iso)morphisme

f : A → K

tel que f_{1} = 1_{K}. Munissons l’A_{∞}-algèbre K de l’élément tordant

x′ = ∑_{i≥1} f_{i}(x^{⊙i}).

Le diagramme commutatif

\xymatrix{B^{+}A \ar[r]^{F} \ar[d]_{ϕ_{x}} & B^{+}K \ar[d]^{ϕ_{x′}} \\ B^{+}A_{x} \ar[r]_{G} & B^{+}K_{x′}}

montre que G est un isomorphisme. En particulier, A_{x} est A_{∞}-quasi-isomorphe à K_{x′}. Il suffit donc de montrer que K_{x′} est faiblement équivalent à zéro. Par construction, les multiplications m_{i}^{K}, i ≥ 2, sont nulles. Nous en déduisons que

m_{1}^{K_{x′}} = m_{1}^{K} et m_{i}^{K_{x′}} = 0 i ≥ 2.

Ainsi, l’A_{∞}-catégorie tordue K_{x′} est égale à K et elle est faiblement équivalente à zéro. □.

Proposition 6.1.3.4 Soit A et B des A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Soit

(ḟ, f) : A → B

un A_{∞}-foncteur qui induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes, i. e. les morphismes

f_{1} : A(A, A′) → B(ḟA, ḟA′), A, A′ ∈ 𝔸,

sont des quasi-isomorphismes. Soit x et x′ des éléments tordant nilpotents de A et B compatibles à f. L’A_{∞}-foncteur tordu

(ḟ, f^{x}) : A_{x} → B_{x′}

induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.

Démonstration : Notons B′ l’A_{∞}-catégorie ḟBḟ sur 𝔸 (voir 5.1.2.4). L’A_{∞}-foncteur f induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes si et seulement si l’A_{∞}-morphisme dans la catégorie des A_{∞}-algèbres dans C(𝔸, 𝔸)

f′ : A → B′

induit par f est une équivalence faible. Supposons donc que f est un A_{∞}-quasi-isomorphisme dans C(𝔸, 𝔸). La démonstration de l’axiome de factorisation (CM5) a. de la catégorie Alg_{∞} (1.3.3.1) nous donne une factorisation de f en

[figure: A; i; A ∏ C; B,]

où A ∏ C est le produit dans Alg_{∞} de A du cône C de l’identité du complexe (B, m_{1}) (considéré comme A_{∞}-algèbre), et i a pour composantes 1_{A} et 0. Il suffit de montrer le résultat dans le cas où f est égal à i et dans le cas où il est une fibration triviale. Commençons par la cofibration triviale i. Munissons A ∏ C de l’élément tordant

x′′ = ∑_{j≥1} i_{j}(x^{⊙j}).

Nous avons les égalités

(A ∏ C)_{x′′} = A_{x} ∏ C et i^{x} = [ \begin{matrix}1_{A_{x}} \\ 0 \end{matrix} ] : A_{x} → A_{x} ∏ C.

Il en résulte que i^{x} est une équivalence faible. Supposons maintenant que f est une fibration triviale. Un scindage de f_{1} dans la catégorie des complexes nous donne un isomorphisme de complexes

j : A → B ⊕ K,

où K est un complexe contractile. Soit B ∏ K le produit dans Alg_{∞} de l’A_{∞}-algèbre B et du complexe K considéré comme A_{∞}-algèbre. La projection canonique p : B ∏ K → B est une fibration triviale. La remarque (1.3.3.4) appliquée à l’axiome de relèvement (CM4) a nous donne un A_{∞}- isomorphisme

f̃: A → B ∏ K

tel que f̃_{1} = j et p ∘ f̃ = f. Munissons B ∏ K de l’élément tordant

x′′ = ∑_{j≥1} f̃_{j}(x^{⊙j}).

Nous avons l’égalité

(B ∏ K)_{x′′} = B_{x′} ∏ K

et l’A_{∞}-morphisme tordu p^{x′′} s’identifie à la projection canonique

B_{x′} ∏ K → B_{x′}.

Comme K est contractile, p^{x′′} est une équivalence faible. L’égalité f^{x} = p^{x′′} ∘ f̃^{x} montre que f^{x} est une équivalence faible. □

6.1.4 Torsion des A-B-bipolydules

Les détails sont omis car ils sont similaires aux deux dernières sections.

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles, A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹 et M un A-B-bipolydule. Soit x et x′ des éléments tordants de A et B.

Définition 6.1.4.1 Le A_{x}-B_{x′}-bipolydule _{x}M_{x′} a pour multiplications les morphismes

m_{i,j}^{x,x′} : A_{x}^{⊙i} ⊙_{x}M_{x′} ⊙ B_{x′} → _{x}M_{x′}, i, j ≥ 0,

définis par les sommes

∑_{l,k≥0} ∑(−1)^{s}m_{i+l,j+k}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} … 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}} ⊙ 1_{M} ⊙ x′^{⊙k_{o}} ⊙ 1_{B} … 1_{B} ⊙ x′^{⊙k_{j}}),

où l’exposant du signe est

s = ( ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}) + ( ∑_{1≤t≤j}(j + t) × l_{t})

(Les sommes infinies définissent bien des morphismes grâce à la propriété de nilpotence tensorielle de x et x′).

Remarque 6.1.4.2 La différentielle b_{x,x′} de la construction bar du A_{x}-B_{x′}-bipolydule _{x}M_{x′} est la composée

(ϕ_{x}^{−1} ⊙ 1 ⊙ ϕ_{x′}^{−1}) ∘ b ∘ (ϕ_{x} ⊙ 1 ⊙ ϕ_{x′})

où

b : T^{c}SA ⊙ SM ⊙ T^{c}SB → T^{c}SA ⊙ SM ⊙ T^{c}SB

est la différentielle de la construction bar du A-B-bipolydule M.

Remarque 6.1.4.3 Soit f : A → B un A_{∞}-foncteur. Supposons que les éléments tordants x et x′ sont compatibles à f (voir 6.1.3). Soit

y : B → C_{∞}B

l’A_{∞}-foncteur de Yoneda qui sera défini en 7.1.0.1. Par le corollaire 5.3.0.3, les deux compositions de A_{∞}-foncteurs

A ⟶^{f} B ⟶^{y} C_{∞} et A_{x} ⟶^{f_{x}} B_{x′} ⟶^{y} C_{∞}B_{x′}

sont données par un A-B-bipolydule M et un A_{x}-B_{x′}-bipolydule N. Nous vérifions qu’on a

xM_{x′} = N.

6.2 Le cas topologique

Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie sur 𝔸. Nous traitons ici de la torsion de A par un morphisme x : e → A qui n’est pas tensoriellement nilpotent. La somme de gauche dans l’équation de Maurer-Cartan (voir 6.1.1.2)

∑_{i≥1} m_{i}(x^{⊙i}) = 0

appliquée à I_{A} n’est plus finie mais l’égalité a encore un sens : si A est munie d’une topologie, nous interprétons l’équation ci-dessus comme la convergence de la série vers 0. Nous montrons à l’aide d’un artifice algébrique que les formules donnant les structures tordues dans le cas où x est un élément tordant tensoriellement nilpotent donnent aussi des structures tordues dans le cas où A est topologique et x vérifie l’équation de Maurer-Cartan.

6.2.1 Définitions

La terminologie des objets topologiques

Soit (M, ⊗, e) une 𝕂-catégorie abélienne monoïdale. Une topologie sur un objet V ∈ M est une filtration décroissante

V_{0} ⊃ V_{1} ⊃ V_{2} ⊃ ⋯ ⊃ V_{i} ⊃ ⋯

(voir [Bou61, Chap. III §2 n^{∘}5]). La topologie est séparée si ∩_{i∈N}V_{i} = 0. On dira alors que les sous-objets V_{i}, i ≥ 1, sont un système de voisinages de 0. Un objet topologique de M est un objet M muni d’une topologie. Sa complétion est la limite

V̂ = lim_{i≥0} V/V_{i}.

Un objet V est complet si V = V̂. Soit V et V′ deux objets topologiques. Un morphisme f : V → V′ est un morphisme continu. Il est contractant s’il vérifie

f(V_{i}) ⊂ V′_{i}, i ≥ 1.

L’élément neutre e pour le produit tensoriel est muni de la topologie discrète. Le produit tensoriel V ⊗ V′ est topologique pour le système de voisinages

(V ⊗ V′)_{i} = ∑_{i_{1}+i_{2}≥i} V_{i_{1}} ⊗ V_{i_{2}}, i ≥ 0.

La catégorie des objets topologiques de M, munie du produit tensoriel topologique et de l’objet neutre e est une catégorie monoïdale. Le produit tensoriel complet V ˆ⊗V′ est la limite

V ˆ⊗V′ = lim_{i≥0}(V ⊗ V′)/(V ⊗ V′)_{i}.

La catégorie des objets complets de M, munie du produit tensoriel complet et de l’objet neutre e est une catégorie monoïdale.

A_{∞}-structures topologiques

Soit C une catégorie de base (voir 1.1.1).

Définition 6.2.1.1 Une A_{∞}-algèbre A dans C est topologique si A est muni d’une topologie séparée et si les multiplications m_{i} : A^{⊗i} → A, i ≥ 1, sont des morphismes continus contractants. Soit A et A′ des A_{∞}-algèbres topologiques. Un A_{∞}-morphisme topologique f : A → A′ est un A_{∞}-morphisme tel que les morphismes f_{i}, i ≥ 1, sont des morphismes continus contractants. Nous définissons de manière similaire les homotopies entre A_{∞}-morphismes.

Soit C′ une catégorie de Grothendieck munie d’une action à droite de la catégorie monoïdale C. Cette action s’étend aux catégories des objets topologiques de C′ et C.

Définition 6.2.1.2 Un A-polydule topologique dans C′ est un objet topologique séparé M dans C′ muni d’une structure de A-polydule dont les multiplications m_{i}^{M}, i ≥ 1, sont des morphismes continus contractants. On définit de manière similaire les A_{∞}-morphismes et les homotopies entre A_{∞}-morphismes.

6.2.2 Eléments tordants

Définition 6.2.2.1 Soit A une A_{∞}-algèbre topologique. Un morphisme gradué x : e → A de degré +1 est un élément tordant (topologique) si son image est dans le voisinage A_{1} et si la somme

∑_{i≥1} m_{i}(x^{⊗i})

converge vers 0.

Remarque 6.2.2.2 Cette somme converge vers une limite bien définie car la topologie de A est séparée, l’image de x est dans A_{1} et les multiplications m_{i}, i ≥ 1, sont contractantes.

6.2.3 Algèbres locales

Soit R la catégorie des 𝕂-algèbres commutatives locales R de corps résiduel 𝕂 et dont l’idéal maximal 𝔪 est nilpotent. Soit R un objet de R. Nous notons E la catégorie des modules sur R. Soit 𝕆, 𝕆′ et 𝕆′′ trois ensembles. Nous notons C^{R}(𝕆, 𝕆′) la catégorie des foncteurs

𝕆′^{op} × 𝕆 → E

et C^{R}(𝕆′) la catégorie C^{R}({∗}, 𝕆′). Si M et N sont des objets de C^{R}(𝕆, 𝕆′) et C^{R}(𝕆′, 𝕆′′), nous notons ⊙_{R} le produit tensoriel

(M ⊙_{R} N)(o′′, o) = ⨁_{o′∈𝕆′} M(o′, o) ⊗_{R} N(o′′, o′).

Définition 6.2.3.1 Soit 𝔸 un ensemble. Une R-A_{∞}-catégorie est un objet M de C^{R}(𝔸, 𝔸), muni de morphismes

m_{i} : M^{⊙_{R}i} → M, i ≥ 1,

vérifiant l’équation (∗_{n}), n ≥ 1, de la définition 1.2.1.1 Les R-A_{∞}-foncteurs sont définis comme en 5.1.2.5.

Soit M et M′ des objets de C(𝔸, 𝔸) et i un entier ≥ 1. Soit

φ : M^{⊙i} → M′

un morphisme gradué. Soit

φ^{R} : (M ⊗_{𝕂} 𝔪)^{⊙_{R}i} → M′ ⊗_{𝕂} 𝔪

le morphisme de C^{R}(𝔸, 𝔸) défini par la composition

φ ⊗ μ^{(i)} : (M ⊗_{𝕂} 𝔪)^{⊙_{R}i} ≃ (M^{⊙i}) ⊗_{𝕂} (𝔪)^{⊗_{R}i} → M′ ⊗_{𝕂} 𝔪.

Remarquons que, comme 𝔪 est nilpotent, il existe un entier N_{0} tel que 𝔪^{N_{0}} = 0. Donc le morphisme φ^{R} est nul dès que i ≥ N_{0}.

Remarque 6.2.3.2 Soit A un objet de C(𝔸, 𝔸) et

m_{i} : A^{⊙i} → A, i ≥ 1,

des morphismes gradués de degré 2 − i. Nous vérifions que les morphismes m_{i}, i ≥ 1, définissent une structure de A_{∞}-catégorie sur A si et seulement si, pour tout R ∈ R, les morphismes m_{i}^{R}, i ≥ 1, définissent une structure de R-A_{∞}-catégorie sur A ⊗_{𝕂} 𝔪.

Soit A une A_{∞}-catégorie et R un objet de R. Nous notons A^{R} la R-A_{∞}-catégorie A ⊗_{𝕂} 𝔪 sur 𝔸 associée à A.

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles et A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Nous vérifions que des morphismes gradués f_{i}, i ≥ 1, de degré 1 − i, définissent un A_{∞}-foncteur

f : A → B

si et seulement si, pour tout R ∈ R, les morphismes f_{i}^{R}, i ≥ 1, définissent un R-A_{∞}-foncteur

f^{R} : A^{R} → B^{R}.

Notons que les morphismes m_{i}^{R} et f_{i}^{R} sont nuls dès que i excède le degré de nilpotence de l’idéal maximal de R.

Construction bar B^{R}

Soit R un objet de R. Le lemme 1.1.2.2 reste valable dans la catégorie C^{R}(𝔸, 𝔸). En particulier la construction bar définit un foncteur pleinement fidèle

B^{R} : Alg_{∞}^{R} → Cogc^{R},

où Alg_{∞}^{R} et Cogc^{R} sont les catégories Alg_{∞} et Cogc dans C^{R}(𝔸, 𝔸).

Rappel sur la complétion

Soit R un objet de R. Soit V et W des 𝔸-𝔸-R-bimodules. Nous munissons la R-cogèbre tensorielle réduite

\overline{T^{c}}V = ⨁_{i≥1} V^{⊙_{R}i}

de la topologie canonique dont la base de voisinages de 0 est

⨁_{i≥n} V^{⊙_{R}i}, n ≥ 1.

La comultiplication est un morphisme continu pour cette topologie. Rappelons que T^{c}V désigne la cogèbre co-augmentée (\overline{T^{c}}V)^{+}. Nous la munissons des voisinages définis de la même manière.

Remarque 6.2.3.3 Un morphisme de C^{R}(𝔸, 𝔸)

T^{c}V → T^{c}W (resp.\overline{T^{c}}V → \overline{T^{c}}W )

est continu si et seulement si sa matrice des composantes

⨁_{j≥0} V^{⊙_{R}j} → ⨁_{i≥0} W^{⊙_{R}i} (resp. ⨁_{j≥1} V^{⊙_{R}j} → ⨁_{i≥1} W^{⊙_{R}i})

a un nombre fini de coefficients non nuls sur chaque ligne. En particulier, un morphisme de cogèbres f (resp. une (f′, f′′)-codérivation h, où f′ et f′′ sont des morphismes de cogèbres)

\overline{T^{c}}V → \overline{T^{c}}W

est continu si et seulement si les morphismes f_{i}, i ≥ 0, (resp. les morphismes f′_{i}, f′′_{i} et h_{i}, i ≥ 0,) sont presque tous nuls.

La R-cogèbre tensorielle complète réduite T̂^{c}V est la complétion de \overline{T^{c}}V. Elle a pour espace topologique sous-jacent

∏_{i≥1} V^{⊙_{R}i}.

Chaque morphisme continu φ : \overline{T^{c}}V → \overline{T^{c}}W de C^{R}(𝔸, 𝔸) donne un morphisme

f̂: T̂^{c}V → T̂^{c}W.

La cogèbre tensorielle complète co-augmentée T̂^{c}^{+}V est la co-augmentation de T̂^{c}V.

Lemme 6.2.3.4 Soit V un objet de GrC^{R}(𝔸, 𝔸) et C une cogèbre graduée topologique topologique dans C^{R}(𝔸, 𝔸). Soit f′ et f′′ deux morphismes continus de cogèbres

C → T̂^{c}^{+}V.

Un morphisme continu co-unitaire de cogèbres complètes (resp. une (f′, f′′)-codérivation) C → T̂^{c}^{+}V est déterminé par sa composition avec la projection T̂^{c}^{+}V → V. □

6.2.4 Torsion des A_{∞}-catégories

Torsion de la différentielle de BA^{R}

Soit 𝔸 un ensemble. Soit A une A_{∞}-catégorie topologique sur 𝔸, i. e. une A_{∞}-algèbre topologique dans C(𝔸, 𝔸). Soit x : e → A un élément tordant (topologique) de A.

Soit R un objet de R. Notons N_{0} l’indice de nilpotence de son idéal maximal 𝔪. Soit A^{R} la R-A_{∞}-catégorie sur 𝔸 associée à A. Soit \overline{T^{c}}SA^{R} la R-cogèbre tensorielle réduite et T̂^{c}^{+}SA^{R} la R-cogèbre co-augmentée associée à sa complétion. La différentielle de la construction bar B^{R}A^{R}

b^{R} : \overline{T^{c}}SA^{R} → \overline{T^{c}}SA^{R}

est continue car les morphismes m_{i}^{R} sont nuls pour i ≥ N_{0}. Notons b̂^{R} la différentielle de T̂^{c}^{+}SA^{R} induite par b^{R}. Soit

x^{R} : e^{R} → A^{R}

le morphisme induit par x et

g : e ⊕ T̂^{c}SA^{R} = T̂^{c}^{+}SA^{R}^{+} → SA^{R}.

le morphisme de composantes le morphisme x^{R} et la projection p_{1} sur SA^{R}. Soit le morphisme de 𝔸-𝔸-R-bimodules

ϕ_{x}^{R} : T̂^{c}^{+}A^{R} → T̂^{c}^{+}A^{R}

dont la composition avec la projection sur (SA^{R})^{⊙n} vaut

g^{⊙n} ∘ Δ^{(n)} : T̂^{c}^{+}SA^{R} → (SA^{R})^{⊙n}

si n ≥ 1 et 1_{e} sinon. Comme le morphisme ϕ_{x} de la section 6.1.2, le morphisme ϕ_{x}^{R} est un automorphisme continu co-unitaire (non co-augmenté) de cogèbres graduées et la matrice de ses coefficients

∏_{j≥0}(SA^{R})^{⊙_{R}j} → ∏_{i≥0}(SA^{R})^{⊙_{R}i}

est triangulaire inférieure ; sa diagonale est celle de l’identité. Soit la composée

D_{x}^{R} = (ϕ_{x}^{R})^{−1} ∘ b̂^{R}^{+}∘ ϕ_{x}^{R}.

Comme x est un élément tordant, nous avons

∑_{1≤i≤N_{0}} b̂_{i}^{R}((x^{R})^{⊙_{R}i}) = 0.

Notons que le défaut de nilpotence tensorielle est pallié par l’annulation des morphismes b_{i}^{R} pour i ≥ N_{0}. Comme dans la section 6.1.2, la composée D_{x}^{R} ∘ ε est nulle. Soit b_{x}^{R} le morphisme donné par la flèche verticale de droite du diagramme de suites exactes

[figure: 0; e; ε; 0; T̂^{c}^{+}SA^{R}; D_{x}^{R}; T̂^{c}SA^{R}; b_{x}^{R}; 0; 0; e; ε; T̂^{c}^{+}SA^{R}; T̂^{c}SA^{R}; 0.]

C’est une différentielle de la cogèbre T̂^{c}SA^{R}.

Lemme 6.2.4.1 La sous-cogèbre T^{c}SA^{R} de T̂^{c}SA^{R} est stable par la différentielle b_{x}^{R}. La composée p_{1}^{R} ∘ b_{x}^{R} restreinte à (SA^{R})^{⊙i} est égale à la somme

∑_{l} ∑ b_{l+m}^{R}((sx)^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{SA^{R}} ⊙ (sx)^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{SA^{R}} ⊙ (sx)^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{SA^{R}} ⊙ (sx)^{⊙l_{i}}),

où l_{0} + … + l_{i} = l.

Démonstration : Identique à celle du lemme 6.1.2.1 □

A_{∞}-catégorie tordue par x

Soit 𝔸 un ensemble, A une A_{∞}-catégorie topologique sur 𝔸 et x : e → A un élément tordant. Soit les morphismes

m_{i}^{x} : A^{⊙i} → A, i ≥ 1,

définis par la somme

∑_{l} ∑(−1)^{s}m_{l+i}^{A}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}}),

où l’exposant du signe est s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}. Remarquons que ces sommes convergent vers des limites bien définies car A est topologiquement séparé, l’image de x est dans le voisinage A_{1} et les compositions m_{i}, i ≥ 1, sont des morphismes continus contractants.

Lemme 6.2.4.2 Les morphismes m_{i}^{x}, i ≥ 1, définissent une structure d’A_{∞}-catégorie sur le 𝔸-𝔸-bimodule sous-jacent à A.

Démonstration : Le lemme sera valide si, pour tout objet R ∈ R, les morphismes (m_{i}^{x})^{R}, i ≥ 1, définissent une structure de R-A_{∞}-catégories sur le R-𝔸-𝔸-bimodule sous-jacent à A^{R}.

Soit R un objet de R. Nous vérifions que le morphisme b_{x}^{R} du lemme 6.2.4.1 est la codérivation

T^{c}(SA^{R}) → T^{c}(SA^{R})

construite à partir des (m_{i}^{x})^{R}, i ≥ 1. Comme elle est une différentielle nous avons le résultat. □

Définition 6.2.4.3 L’A_{∞}-catégorie (topologique) tordue A_{x} est le 𝔸-𝔸-bimodule A_{x} = A munie des compositions

m_{i}^{x} : A_{x}^{⊙i} → A_{x}, i ≥ 1,

définies ci-dessus.

6.2.5 Torsion des A_{∞}-foncteurs

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles, A et B deux A_{∞}-catégories topologiques sur 𝔸 et 𝔹 et x et x′ des éléments tordants de A et B tel que pour tout A ∈ 𝔸,

∑_{i≥1} f_{i}(x^{⊙i})(I_{A}) = I_{ḟA}.

Remarquons que la somme de gauche converge vers une limite bien définie car B′ est topologiquement séparé, l’image de x est dans le voisinage A_{1} et car les morphismes f_{i}, i ≥ 1, sont contractants. L’égalité ci-dessus exprime la compatibilité de x et x′ à f (voir 6.1.3). Reprenons les notations B′, B′_{x′} de la section 6.1.3. Soit les morphismes

f_{i}^{x} : A^{⊙i} → B′, i ≥ 1,

définis par la somme (convergente)

∑_{l} ∑(−1)^{s}f_{l+i}^{A}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i−1}} ⊙ 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}}),

où l’exposant du signe est s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}.

Lemme 6.2.5.1 Les morphismes f_{i}^{x} i ≥ 1, définissent un A_{∞}-foncteur

(ḟ, f_{x}) : A_{x} → B_{x′}.

Démonstration : Nous allons montrer que, pour tout objet R ∈ R, les morphismes f_{i}^{R}, i ≥ 1, définissent un A_{∞}-foncteur

f_{x}^{R} : A_{x}^{R} → B′_{x′}^{R},

ou, de façon équivalente, un morphisme différentiel gradué de cogèbres

F_{x}^{R} : B^{R}A_{x}^{R} → B^{R}B′_{x′}^{R}.

Soit R ∈ R. Grâce à la compatibilité de x et x′ à f, le morphisme différentiel gradué de cogèbres complètes co-unitaires

G^{R} = (ϕ_{x′}^{R})^{−1} ∘ F̂^{+}∘ ϕ_{x}^{R} : T̂^{c}^{+}SA_{x}^{R} → T̂^{c}^{+}SB′_{x′}^{R}

est co-augmenté. Il induit donc un morphisme différentiel gradué

F_{x} : (T̂^{c}SA_{x}^{R}, b̂_{x}^{R}) → (T̂^{c}SB′_{x′}^{R}, b̂′_{x′}^{R}).

Soit i ≥ 1. Nous montrons de manière similaire à la démonstration du lemme 6.2.4.1 que la restriction de F_{x} au sous-objet (SA_{x}^{R})^{⊙i} est égale à la somme

∑_{l} ∑ F_{l+m}^{R}((sx)^{⊙l_{0}} ⊙ sa_{1} ⊙ (sx)^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ sa_{i−1} ⊙ (sx)^{⊙l_{i−1}} ⊙ sa_{i} ⊙ (sx)^{⊙l_{i}}),

où l_{0} + … + l_{i} = l. Cette somme est finie car les morphismes F_{i}^{R} sont nuls si i excède le degré de nilpotence de l’idéal maximal de R. Nous obtenons ainsi un morphisme de cogèbres

F_{x}^{R} : (\overline{T^{c}}SA_{x}^{R}, b_{x}^{R}) → (\overline{T^{c}}SB′_{x′}^{R}, b′_{x′}^{R})

qui est différentiel gradué. Nous avons donc le résultat. □

Définition 6.2.5.2 L’A_{∞}-foncteur tordu

(ḟ, f^{x}) : A_{x} → B_{x′}

est donné par les morphismes f_{i}^{x}, i ≥ 1, définis ci-dessus.

La proposition (6.1.3.4) reste clairement valide dans le cas topologique.

6.2.6 Torsion des A-B-bipolydules

Les détails sont omis car ils sont similaires aux deux dernières sections.

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles, A et B deux A_{∞}-catégories topologiques sur 𝔸 et 𝔹 et M un A-B-bipolydules topologiques. Soit x et x′ des éléments tordants de A et B.

Définition 6.2.6.1 Le A_{x}-B_{x′}-bipolydule _{x}M_{x′} a pour multiplications

m_{i,j}^{x,x′} : A_{x}^{⊙i} ⊙_{x}M_{x′} ⊙ B_{x′} → _{x}M_{x′}, i, j ≥ 0,

définies par la somme (convergente)

∑_{l,k≥0} ∑(−1)^{s}m_{i+l,j+k}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{A} … 1_{A} ⊙ x^{⊙l_{i}} ⊙ 1_{M} ⊙ x′^{⊙k_{o}} ⊙ 1_{B} … 1_{B} ⊙ x′^{⊙k_{j}}),

où l’exposant du signe est

s = ( ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}) + ( ∑_{1≤t≤j}(j + t) × l_{t})

158  Chapitre 6 : Torsion d’A_{∞}-structures

L’A_{∞}-foncteur de Yoneda et les objets tordus

Introduction

Soit 𝔸 un ensemble et A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire sur 𝔸. Notons Gr(H^{∗}A) la catégorie des H^{∗}A-modules gradués dont les morphismes sont les morphismes gradués. Dans cette section, nous relevons le foncteur de Yoneda

H^{∗}A → Gr(H^{∗}A), A ↦ (H^{∗}A)( , A),

en un A_{∞}-foncteur

y : A → C_{∞}A, A ↦ A( , A).

Nous montrons ensuite le résulat principal de ce chapitre (7.1.0.4) : l’A_{∞}-foncteur y se factorise en

A ⟶^{y′} twA ⟶^{y′′} C_{∞}A

où twA est l’A_{∞}-catégorie des objets tordus, y′ est un A_{∞}-foncteur strict et pleinement fidèle et y′′ induit une équivalence

H^{0}twA ⟶^{∼} tria A ⊂ D_{∞}A.

La contruction des objets tordus dans le cas où A est différentielle graduée est due à A. I. Bondal et M. M. Kapranov [BK91], sa généralisation aux A_{∞}-catégories à M. Kontsevich [Kon95]. Récemment, K. Fukaya a construit indépendamment l’A_{∞}-foncteur de Yoneda [Fuk01b].

Plan du chapitre

160  Chapitre 7 : L’A_{∞}-foncteur de Yoneda et les objets tordus

Dans la section 7.1, nous définissons l’A_{∞}-foncteur de Yoneda et nous énonçons le théorème principal (7.1.0.4). Le reste du chapitre (sauf la section 7.5) est dédié à la démonstration de ce théorème. Dans la section 7.2, nous construisons l’A_{∞}-catégorie twA des objets tordus. Les compositions de l’A_{∞}-catégorie twA sont obtenues par torsion (voir chapitre 6). Nous montrons ensuite que l’A_{∞}- catégorie twA jouit d’une propriété universelle. Nous en déduirons l’existence de la factorisation y′′ ∘ y′ de y. Dans la section 7.3, nous construisons explicitement l’A_{∞}-foncteur y′′. Dans la section 7.4, nous montrons que l’A_{∞}-foncteur de Yoneda y induit des quasi-isomorphismes entre les espaces de morphismes et nous en déduisons l’équivalence

H^{0}twA ≃ tria A ⊂ D_{∞}A.

Dans la section 7.5, nous montrons que toute A_{∞}-catégorie homologiquement unitaire A admet un modèle différentiel gradué strictement unitaire, c’est-à-dire un A_{∞}-quasi-isomorphisme homologiquement unitaire f : A → A′ vers une catégorie différentielle graduée strictement unitaire.

Dans la section 7.6, nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique qui est engendrée par un ensemble d’objets est A_{∞}-pré-triangulée, i. e. elle est équivalente à H^{0}twA, pour une certaine A_{∞}-catégorie A.

7.1 Le plongement de Yoneda

Comme A est une A_{∞}-catégorie, le 𝔸-𝔸-bimodule A, muni des morphismes m_{i,j} = m_{i+1+j}^{A}, i, j ≥ 0, est un A-A-bipolydule. Par la remarque 5.3.0.5, nous avons un A_{∞}-foncteur

y : A → C_{∞}A,

dont l’application sous-jacente

ẏ : 𝔸 → C_{∞}A

envoie un objet A ∈ A sur le A-polydule

A^{∧} = A( , A).

Pour tout i ≥ 1, le morphisme gradué

y_{i} : A^{⊙i} → ḟ(C_{∞}A)ḟ,

envoie un élément x ∈ (A^{⊙i})(A, A′) sur la suite de morphismes de 𝔸-modules gradués

\begin{matrix}A( , A) ⊙ A^{⊙j−1} & → & A( , A′), & j ≥ 1. \\ x′ ⊙ x′′ & ↦ & (−1)^{|x|+1}m_{i+1+j}(x′ ⊙ x ⊙ x′′) \end{matrix}

Définition 7.1.0.1 L”A_{∞}-foncteur de Yoneda est l’A_{∞}-foncteur y : A → C_{∞}A.

Définition 7.1.0.2 Un A_{∞}-foncteur strict f est pleinement fidèle si

f_{1} : A → ḟBḟ

est un isomorphisme de complexes.

Définition 7.1.0.3 Soit T une catégorie triangulée et 𝕋′ un sous-ensemble de l’ensemble 𝕋 des objets de T . Notons tria 𝕋′ la plus petite sous-catégorie triangulée de T qui contient les objets de 𝕋′. Elle est stable par sommes finies. Soit A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire et D_{∞}A sa catégorie dérivée (voir 4.1.2). Notons tria A la plus petite sous-catégorie triangulée de D_{∞}A qui contient tous les A-polydules A^{∧}, A ∈ Obj A.

Dans ce chapitre, nous allons montrer l’énoncé de M. Kontsevich [Kon95], [Kon98] suivant :

7.2 : L’A_{∞}-catégorie des objets tordus  161

Théorème 7.1.0.4 (voir aussi K. Fukaya [Fuk01b]) Soit une A_{∞}-catégorie A avec des identités strictes. Il existe une A_{∞}-catégorie twA et une factorisation de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda

A ⟶^{y′} twA ⟶^{y′′} C_{∞}A

telle que l’A_{∞}-foncteur y′ est strict et pleinement fidèle et l’A_{∞}-foncteur y′′ induit une équivalence

H^{0}twA ≃ tria A ⊂ D_{∞}A.

Démonstration : Voir les trois sections suivantes.

7.2 L’A_{∞}-catégorie des objets tordus

Soit Λ une algèbre associative unitaire (non graduée). Nous notons C^{b}(free Λ) la sous-catégorie de CΛ formée des complexes bornés de Λ-modules libres de rang fini. L’image D^{b}(free Λ) de la catégorie C^{b}(free Λ) par le foncteur

CΛ → DΛ

est équivalente à la catégorie tria Λ. Les objets de C^{b}(free Λ) sont fibrants et cofibrants dans la catégorie des complexes CΛ. Si M et M′ sont des objets de D^{b}(free Λ), les morphismes M → M′ dans tria Λ sont donc en bijection avec les classes d’homotopie de morphismes M → M′ de Mod Λ. Cette description des morphismes permet de faire des calculs dans tria Λ. Le but de cette section est de généraliser la construction

Λ ⇝ C^{b}(free Λ)

aux A_{∞}-catégories. Soit A une A_{∞}-catégorie. Le rôle de la catégorie C^{b}(free Λ) sera joué par l’A_{∞}- catégorie twA des objets tordus. L’équivalence entre D^{b}(free Λ) et tria Λ sera remplacée par une équivalence

H^{0}twA ⟶^{∼} tria A ⊂ D_{∞}A.

La construction A ⇝ twA est la généralisation aux A_{∞}-catégories [Kon95] de la construction due à A. I. Bondal et M. M. Kapranov [BK91] qui associe à une catégorie différentielle graduée la catégorie de ses objets tordus (voir 7.2.0.4).

Pour rendre la construction qui suit plus intuitive, commençons par réinterpréter les objets de C^{b}(free Λ). Un complexe borné M de Λ-modules libres de rang fini est donné par ses composantes

(M_{r}, M_{r+1}, …, M_{l−1}, M_{l}), r ≤ l, r, l ∈ Z,

où chaque M_{i}, r ≤ i ≤ l, est la suspension itérée d’un Λ-module libre de rang fini, et par un morphisme de degré +1

δ : ⨁_{r≤j≤l} M_{j} → ⨁_{r≤i≤l} M_{i}

dont la matrice est strictement triangulaire inférieure et telle que δ ∘ δ = 0.

Supposons maintenant que Λ est une algèbre différentielle graduée. Les extensions itérées dans la catégorie des complexes munie de la structure exacte donnée par les suites de complexes qui se scindent en tant que suites de Λ-modules gradués sont décrites de la manière suivante. Soit M_{i}, r ≤ i ≤ l, des objets de Mod Λ qui sont des sommes finies de suspensions itérées de Λ. Notons d la différentielle de la somme des M_{i}, r ≤ i ≤ l. Une extension itérée des objets M_{i}, r ≤ i ≤ l, est donnée par une matrice de la même forme que ci-dessus qui vérifie l’équation de Maurer-Cartan

d ∘ δ + δ ∘ d + δ^{2} = 0.

La différentielle de l’extension itérée M = ⨁_{r≤j≤l} M_{j} est la somme d + δ.

Saturation par décalages de A

Soit ZA l’A_{∞}-catégorie dont les objets sont des couples (A, n), où A est un objet de A et n un entier. Les espaces de morphismes sont définis par

ZA((A, n), (B, m)) = S^{m−n}A(A, B).

Les compositions m_{i}^{ZA}, i ≥ 1,

ZA((A_{i−1}, n_{i−1}), (A_{i}, n_{i})) ⊗ … ⊗ ZA((A_{0}, n_{0}), (A_{1}, n_{1}))
m_{i}^{ZA}
ZA((A_{0}, n_{0}), (A_{i}, n_{i}))

sont définies par

(−1)^{i(n_{i}−n_{0})}s^{n_{i}−n_{o}} ∘ m_{i} ∘ ((s^{n_{i}−n_{i−1}})^{−1} ⊙ … ⊙ (s^{n_{1}−n_{0}})^{−1})

(un calcul montre que ces compositions définissent bien une A_{∞}-catégorie).

Saturation par extensions de ZA

Définition 7.2.0.1 Une extension itérée M d’objets de ZA est une suite

(M_{r}, M_{r+1}, …, M_{l−1}, M_{l}), r ≤ l, r, l ∈ Z,

munie d’une matrice à coefficients dans ZA de degré +1

δ^{M} : ⨁_{r≤j≤l} M_{j} → ⨁_{r≤i≤l} M_{i}

qui est strictement triangulaire inférieure et vérifie l’équation de Maurer-Cartan

∑_{i≥1} m_{i}^{ZA}((δ^{M})^{⊙i}) = 0.

Ici, le produit tensoriel ⊙ est l’extension du produit tensoriel de C(𝔸, 𝔸) aux espaces de matrices à coefficients dans ZA. L’entier l − n + 1 s’appelle la hauteur de l’extension. Une extension itérée M est dégénérée ou scindée si δ^{M} = 0. Les extensions itérées dégénérées peuvent être considérées comme les sommes formelles d’objets de ZA. Nous notons 𝔼 l’ensemble des extensions itérées de ZA.

Définition 7.2.0.2 Soit M et M′ deux extensions itérées de ZA. Notons Mat^{ZA}(M, M′) l’espace gradué des matrices à coefficients dans ZA

f : ⨁_{r≤j≤l} M_{j} → ⨁_{r′≤i≤l′} M′_{i}.

Les compositions m_{i}^{ZA}, i ≥ 1, de ZA s’étendent clairement en des compositions de matrices à coefficients dans ZA. Notons E_{A} l’A_{∞}-catégorie dont les objets sont les extensions itérées d’objets de ZA et dont les espaces de morphismes sont

Hom_{E_{A}}(M, M′) = Mat^{ZA}(M, M′).

Nous avons clairement une suite d’inclusions de A_{∞}-catégories

A ⊂ ZA ⊂ E_{A}.

L’élément tordant nilpotent de l’A_{∞}-catégorie E_{A}

Nous rappelons (5.1.1) que I_{M} est le générateur de l’espace e_{𝔼}(M, M). Soit

x : e_{𝔼} → E_{A}

le morphisme de 𝔼-𝔼-bimodules qui envoie I_{M}, M ∈ 𝔼, sur

δ^{M} ∈ Mat^{ZA}(M, M).

Le morphisme x est de degré +1. Il vérifie la condition de nilpotence tensorielle (6.1.1.2) car les matrices δ^{M} sont strictement triangulaires inférieures. Comme les morphismes δ^{M}, M ∈ 𝔼, vérifient l’équation de Maurer-Cartan, le morphisme x est un élément tordant tensoriellement nilpotent.

La catégorie twA

Définition 7.2.0.3 Un objet tordu est une extension itérée d’objets de ZA. Notons 𝕋𝕎A l’ensemble de objets tordus. Il est égal à l’ensemble 𝔼. La catégorie twA des objets tordus est la catégorie tordue (E_{A})_{x} (voir 6.1.2), où x est l’élément tordant ci-dessus.

Si M et M′ sont des objets tordus, l’espace de morphismes M → M′ est donc

Hom_{twA}(M, M′) = Mat^{ZA}(M, M′).

Remarquons que sur la sous-A_{∞}-catégorie formée des extensions dégénérées, les compositions tordues m_{i}^{E_{x}} = m_{i}^{twA}, i ≥ 1, sont égales aux compositions m_{i}^{E}, i ≥ 1. Soit 𝔼_{1} l’ensemble des extensions (forcément dégénérée) de hauteur 1 et soit

ẏ′ : 𝔸 → 𝔼_{1},

l’application qui envoie A sur l’extension dégénérée de hauteur 1 dont la suite sous-jacente est le 1-uplet ((A, 0)). C’est une bijection et nous avons un isomorphisme

y′_{1} : A ⟶^{∼} _{}_{ẏ′}Mat^{ZA} _{}_{ẏ′} = _{}_{ẏ′}twA_{}_{ẏ′}

qui donne clairement un A_{∞}-foncteur strict et pleinement fidèle

y′ : A → twA.

La propriété universelle de twA

Nous nous inspirons de l’article [BK91].

Soit f : A → B un A_{∞}-foncteur. Il induit clairement un A_{∞}-foncteur

f : E_{A} → E_{B}

tel que les éléments tordants x_{A} et x_{B} des A_{∞}-catégories E_{A} et E_{B} sont compatibles à f (voir 6.1.3). Nous obtenons donc un A_{∞}-foncteur tordu (voir 6.1.3)

twf : twA → twB.

La construction qui associe à une A_{∞}-catégorie A la catégorie des objets tordus twA est un foncteur

tw : cat_{∞} → cat_{∞},

où cat_{∞} est la catégorie des petites A_{∞}-catégories. Nous allons construire un morphisme de foncteurs

Tot : tw ∘ tw → tw.

Soit A une petite A_{∞}-catégorie. L’A_{∞}-foncteur strict Tot(A) associe à un objet N de tw ∘ twA, donné par une suite d’objets de twA

(N_{r}, …, N_{l}), r ≤ l, r, l ∈ Z,

et une matrice δ^{N} à coefficients dans ZtwA, l’objet tordu de A dont la suite sous-jacente est la concaténation des suites définissant les N_{i}, r ≤ i ≤ l, et dont la matrice

δ^{Tot} : Tot(N) = ⨁ (N_{j})_{k} → Tot(N) = ⨁ (N_{i})_{l}

est construite à partir de la matrice δ^{N} en remplaçant les coefficients δ_{i,j}^{N} par les blocs donnés par les matrices δ^{N_{i}}. Nous vérifions que les morphismes de foncteurs de cat_{∞}

η = y′ : 1_{cat_{∞}} → tw et Tot : tw ∘ tw → tw

définissent une monade de la catégorie des A_{∞}-catégories au sens de Quillen et Mac Lane [May72]. On rappelle qu’une tw-algèbre G est une A_{∞}-catégorie munie d’un A_{∞}-foncteur

twG → G

compatible à la structure de monade. La catégorie twA est clairement la tw-algèbre libre sur A. En particulier, l’A_{∞}-foncteur y′ : A → twA est universel parmi les A_{∞}-foncteurs

A → G

où G est une algèbre sur la monade.

7.3 : L’A_{∞}-foncteur y′′ : twA → C_{∞}A  165

Remarque 7.2.0.4 Si G est une catégorie différentielle graduée, twG est une catégorie différentielle graduée. La construction G ⇝ twG correspond à la construction de A. I. Bondal et M. M. Kapranov qui associe à G la catégorie Pr-Tr^{+}G des objets tordus unilatéraux [BK91, §4].

Existence de l’A_{∞}-foncteur y′′

Soit A une petite A_{∞}-catégorie. Soit

twC_{∞}A → C_{∞}A

l’A_{∞}-foncteur strict qui associe à une extension itérée M la somme des M_{i}, r ≤ i ≤ l, munie de la différentielle d + δ_{M}, où d est la différentielle de la somme des M_{i}. Cet A_{∞}-foncteur définit une structure de tw-algèbre sur C_{∞}A. En particulier, l’A_{∞}-foncteur

y : A → C_{∞}A

se factorise en y = y′′ ∘ y′, où y′′ est l’A_{∞}-foncteur

twA → C_{∞}A

donné par la propriété universelle de twA.

7.3 L’A_{∞}-foncteur y′′ : twA → C_{∞}A

Dans cette section, nous construisons explicitement l’A_{∞}-foncteur

y′′ : twA → C_{∞}A.

Par la remarque 5.3.0.6, les A_{∞}-foncteurs

twA → C_{∞}A

sont en bijection avec les twA-A-bipolydules strictement unitaires. Le twA-A-bipolydule N′′ associé à y′′ est construit en tordant (voir la section 6.1.4) un E-A-bipolydule N. L’A_{∞}-foncteur

f : E → C_{∞}A

associé à N est l’extension de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda y : A → C_{∞}A. Nous donnons les formules explicites pour les A_{∞}-foncteurs f et y′′.

Construction de f : E → C_{∞}A

Nous rappelons (7.2.0.2) que nous avons une suite d’inclusions de A_{∞}-catégories

A ⊂ ZA ⊂ E

et que y : A → C_{∞}A désigne l’A_{∞}-foncteur de Yoneda (7.1.0.1). Ce dernier s’étend en un A_{∞}- foncteur

ZA → C_{∞}A, (A, n) ↦ S^{n}(ẏA) = S^{n}A^{∧}

qui envoie un élément

x ∈ ZA((A_{i−1}, n_{i−1}), (A_{i}, n_{i})) ⊗ … ⊗ ZA((A_{0}, n_{0}), (A_{1}, n_{1}))

sur le morphisme de A-polydules S^{n_{0}}A_{0}^{∧} → S^{n_{i}}A_{i}^{∧} défini par l’élément de

Hom_{C_{∞}A}(S^{n_{0}}A_{0}^{∧}, S^{n_{i}}A_{i}^{∧}) ≃ S^{n_{i}−n_{0}}Hom_{C_{∞}A}(A_{0}^{∧}, A_{i}^{∧})

donné par

s^{n_{i}−n_{o}} ∘ y_{i} ∘ ((s^{n_{i}−n_{i−1}})^{−1} ⊙ … ⊙ (s^{n_{1}−n_{0}})^{−1})(x).

Nous notons aussi y cet A_{∞}-foncteur. Nous l’étendons maintenant en un A_{∞}-foncteur

E → C_{∞}A.

Nous définissons une application

ḟ : 𝔼 → Obj C_{∞}A

qui envoie une extension itérée M, donnée par une suite M_{i}, r ≤ i ≤ l, et une matrice δ^{M}, sur le 𝔸-module qui est la somme

∑_{r≤i≤l} ẏM_{i}.

Sa structure de A-polydule est induite par celle de la remarque 5.1.2.9. Notons que la matrice δ^{M} n’intervient pas dans la définition de l’image de M. Les morphismes y_{i} : (ZA)^{⊙i} → C_{∞}A s’étendent clairement en des morphismes

(Mat^{ZA})^{⊙i} → C_{∞}A.

Ceci nous fournit un A_{∞}-foncteur que nous notons f : E → C_{∞}A et nous avons clairement la factorisation y = f ∘ y′. Par la remarque 5.3.0.6, l’A_{∞}-foncteur f est donné par un E-A-bipolydule N qui, en tant que 𝔼-𝔸-bimodule, est

(A, M) ↦ ⨁_{r≤i≤l} S^{n_{i}}A(A, A_{i}),

où M_{i} = (A_{i}, n_{i}), r ≤ i ≤ l. Notons

m_{i,j}^{N} : E^{⊙i} ⊙ N ⊙ A^{⊙j} → N, i, j ≥ 0.

les multiplications du E-A-bipolydule N. Elles sont clairement induites par l’extension à ZA, puis à E, des compositions

m_{i,j}^{A} = m_{i+1+j}^{A} : A^{⊙i} ⊙ A ⊙ A^{⊙j} → A, i, j ≥ 0.

L’A_{∞}-foncteur y′′ : twA → C_{∞}A

Nous rappelons (7.2.0.2) que x désigne l’élément tordant (nilpotent) de E. Par la section 6.1.4, nous pouvons tordre N en un E_{x}-A-polydule _{x}N = N′′. Comme l’A_{∞}-catégorie twA est par définition l’A_{∞}-catégorie tordue E_{x}, nous obtenons ainsi un twA-A-bipolydule N′′ et par la remarque (5.3.0.6), un A_{∞}-foncteur

y′′ : twA → C_{∞}A.

Nous donnons ci-dessous les formules explicites le définissant. Le 𝕋𝕎A-𝔸-bimodule N′′ est donné par

(A, M) ↦ ⨁_{r≤i≤l} S^{n_{i}}A(A, A_{i}).

Comme 𝕋𝕎A = 𝔼, il est isomorphe en tant que 𝔼-𝔸-bimodule à N. En tant que E_{x}-A-bipolydule, ses multiplications m_{i,j}^{N′′}, i, j ≥ 0 sont données (6.1.4.1) par la somme

∑_{l,k≥0} ∑(−1)^{s}m_{i+l,j+k}^{N}(x^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{E} ⊙ x^{⊙l_{1}} ⊙ … ⊙ 1_{E} ⊙ x^{⊙l_{i}} ⊙ 1_{N} ⊙ 1_{A} … ⊙ 1_{A}),

où 1_{E} désigne l’identité de l’espace des matrices Mat^{ZA} et l’exposant du signe est

s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}.

Détaillons maintenant l’application sous-jacente à l’A_{∞}-foncteur y′′

ẏ′′ : twA → C_{∞}A.

Elle envoie une extension itérée M, donnée par une suite M_{i}, r ≤ i ≤ l, et une matrice δ^{M}, sur le 𝔸-module qui est la somme

ẏ′′M = ∑_{r≤i≤l} ẏM_{i}.

Les multiplications m_{j}^{ẏ′′M}, j ≥ 1, définissant sa structure de A-polydule sont les morphismes m_{0,j−1}^{N′′}, j ≥ 1, c’est-à-dire la somme

∑_{l≥0} m_{l,j−1}^{N}(x^{⊙l} ⊙ 1_{ẏ′′M} ⊙ 1_{A}^{⊙j−1}) = ∑_{l≥0} m_{l,j−1}^{N}([y(δ^{M})]^{⊙l} ⊙ 1_{ẏ′′M} ⊙ 1_{A}^{⊙j−1}).

Remarquons que même si ẏ′′M et ḟM sont isomorphes en tant que 𝔸-modules, ils diffèrent en tant que A-polydules. Le A-polydule ẏ′′M doit être considéré comme la torsion de fM par y(δ^{M}). Regardons maintenant les morphismes y′′_{i}, i ≥ 1, de l’A_{∞}-foncteur y′′. Ils sont définis (5.3.0.3) par la relation

(y′′_{i})_{j} = m_{i,j−1}^{N′′}.

En d’autre termes, le morphisme y′′_{i}, i ≥ 1, envoie un élément de

twA(M_{i−1}, M_{i}) ⊗ … ⊗ twA(M_{0}, M_{1})

sur le morphisme de A-polydules φ : (ẏ′′M_{0}) → (ẏ′′M_{i}) donné par la suite des morphismes φ_{j} : (ẏ′′M_{0}) ⊙ A^{⊙j−1} → (ẏ′′M_{i}) valant

∑_{l≥0} ∑(−1)^{s}m_{i+l,j−1}^{N}([y(δ^{M_{i}})]^{⊙l_{0}} ⊙ 1_{twA} … ⊙ 1_{twA} ⊙ [y(δ^{M_{0}})]^{⊙l_{i}} ⊙ 1_{ẏ′′M_{0}} ⊙ 1_{A}^{⊙j−1}),

où 1_{twA} désigne l’identité de l’espace des matrices Mat^{ZA} et l’exposant du signe est

s = ∑_{1≤t≤i} t × l_{t}.

Remarquons que l’unitarité stricte de A n’est pas intervenue dans la démonstration de la factorisation du théorème 7.1.0.4. Elle joue un rôle essentiel dans la prochaine section.

7.4 L’équivalence entre les catégories tria A et H^{0}twA

Nous rappelons (5.2.0.2) que les catégories H^{0}C_{∞}A et D_{∞}A sont équivalentes. Nous montrons ci-dessous que l’A_{∞}-foncteur y′′ : twA → C_{∞}A induit un foncteur pleinement fidèle

H^{0}twA → D_{∞}A.

dont l’image est la catégorie tria A.

Il s’agit de montrer que le foncteur H^{0}y′′ est pleinement fidèle. Nous devons donc montrer que, pour tous M, M′ objets de twA, nous avons

H^{0}Hom_{twA}(M, M′) ⟶^{∼} H^{0}Hom_{C_{∞}A}(ẏ′′M, ẏ′′M′).

Une extension M, donnée par une suite

(M_{r}, …, M_{i}, …, M_{l}), r ≤ i ≤ l,

et une matrice δ^{M}, est clairement filtrée dans la catégorie des objets tordus twA par

F_{k} = (M_{r+k}, …, M_{l}), 0 ≤ k ≤ l − r,

(Le morphisme δ^{M} : M → M est compatible à cette filtration). Les objets gradués de cette filtration sont des extensions tordues dégénérées, i. e. des sommes formelles finies de ZA considérée comme objets de twA. Il nous suffit donc de montrer qu’on a un isomorphisme

H^{0}Hom_{twA}(M, M′) = H^{0}Hom_{C_{∞}A}(ẏ′′M, ẏ′′M′).

où M et M′ sont des objets de ZA considérés comme objets de twA. Nous devons donc montrer le lemme suivant

Lemme 7.4.0.1 Pour toute paire d’objets A et A′ dans A, l’A_{∞}-foncteur de Yoneda y : A → C_{∞}A induit un isomorphisme

H^{∗}Hom_{A}(A, A′) = H^{∗}Hom_{C_{∞}A}(A^{∧}, A′^{∧}).

Démonstration : Le foncteur pleinement fidèle (4.1.2.10)

D_{∞}A → D_{∞}A^{+}

induit un isomorphisme

H^{∗}Hom_{C_{∞}A}(A^{∧}, A′^{∧}) ⟶^{∼} H^{∗}Hom_{C_{∞}A^{+}}(A^{∧}, A′^{∧}).

Il suffit donc de montrer l’isomorphisme

H^{∗}A(A, A′) ⟶^{∼} H^{∗}Hom_{C_{∞}A^{+}}(A^{∧}, A′^{∧}).

Nous avons les égalités

A(A, A′) = A′^{∧}(A) et Hom^{∞}_{A}(A, A′^{∧})(A) = Hom_{C_{∞}A^{+}}(A^{∧}, A′^{∧}).

Nous déduisons alors le résultat du lemme (4.1.1.6) et de la remarque (4.1.1.7) qui montrent que

A′^{∧} → Hom^{∞}_{A}(A, A′^{∧})

est un quasi-isomorphisme. □

7.5 Modèle différentiel gradué

Dans cette section, la catégorie de base C est égale à C(𝔸, 𝔸).

Définition 7.5.0.1 Soit A une A_{∞}-algèbre dans C. Un modèle differentiel gradué de A est une algèbre différentielle graduée A′ munie d’un A_{∞}-quasi-isomorphisme

A → A′.

Proposition 7.5.0.2 Toute A_{∞}-algèbre strictement unitaire A admet un modèle différentiel gradué unitaire tel que l’A_{∞}-morphisme

A → A′

est strictement unitaire.

Remarquons que dans le cas où A est une A_{∞}-algèbre augmentée, son algèbre enveloppante UA (2.3.4.3) est un modèle différentiel gradué unitaire de A qui est augmenté.

Démonstration : Nous définissons A′ comme le 𝔸-𝔸-bimodule

(A_{0}, A_{1}) ↦ Hom_{C_{∞}A}(A_{0}^{∧}, A_{1}^{∧}).

La structure différentielle graduée est celle induite par la composition et la différentielle de la catégorie différentielle graduée C_{∞}A. Grâce au théorème (7.1.0.4), l’A_{∞}-foncteur de Yoneda nous donne un A_{∞}-quasi-isomorphisme d’A_{∞}-algèbres dans C(𝔸, 𝔸)

A → A′

qui est strictement unitaire. □

Corollaire 7.5.0.3 Toute A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire A admet un modèle différentiel gradué unitaire tel que l’A_{∞}-morphisme

f : A → A′

est unitaire, i. e. f ∘ η = η.

Démonstration : Soit A une A_{∞}-algèbre homologiquement unitaire. Nous rappelons (3.2.1.2) qu’on peut munir H^{∗}A d’une structure d’A_{∞}-algèbre strictement unitaire. Comme l’A_{∞}-morphisme

A → H^{∗}A

est unitaire et il est A_{∞}-quasi-isomorphisme, nous avons le résultat. □

7.6 Catégories stables

Dans cette section, nous montrons que toute catégorie triangulée algébrique qui est engendrée par un ensemble d’objets est A_{∞}-pré-triangulée, i. e. elle est équivalente à H^{0}twA, pour une certaine A_{∞}-catégorie A.

Définition 7.6.0.1 Une 𝕂-catégorie triangulée est algébrique si elle est équivalente à la catégorie stable d’une 𝕂-catégorie de Frobenius (voir 2.2.3).

Définition 7.6.0.2 Soit T une catégorie triangulée aux sommes infinies. Un objet X ∈ T est compact si le foncteur Hom_{T} (X, ) commute aux sommes infinies.

Définition 7.6.0.3 Soit T une catégorie triangulée et 𝔸 un sous-ensemble de l’ensemble 𝕋 des objets de T . Nous notons tria 𝔸 la plus petite sous-catégorie triangulée strictement pleine de T qui contient la sous-catégorie pleine formée des objets de 𝔸. Elle est stable par sommes finies. Les objets de 𝔸 engendrent T en tant que catégorie triangulée si T = tria 𝔸. Si T admet des sommes infinies, nous notons Tria 𝔸 plus petite sous-catégorie triangulée stables par sommes infinies de T qui contient la sous-catégorie pleine formée des objets de 𝔸. Les objets de 𝔸 engendrent T en tant que catégorie triangulée aux sommes infinies si T = Tria 𝔸.

Théorème 7.6.0.4 Soit T une 𝕂-catégorie triangulée algébrique aux sommes infinies qui est engendrée, en tant que catégorie triangulée aux sommes infinies, par un ensemble 𝔸 d’objets compacts. Il existe une A_{∞}-catégorie A strictement unitaire et minimale sur 𝔸 et une équivalence triangulée

D_{∞}A → T , A^{∧} ↦ A.

Démonstration : Par définition des catégories triangulées algébriques, T est la catégorie stable \underline{E} d’une catégorie de Frobenius E. Nous rappelons [Kel94a, 4.3] qu’il existe une catégorie différentielle graduée unitaire A′ sur 𝔸 et une équivalence triangulée

DA′ → \underline{E}, A^{∧} ↦ A.

Nous rappelons que DA′ est engendrée par les A-modules libres A′( , A), A ∈ 𝔸. Choisissons un modèle minimal A de A′ qui est strictement unitaire (3.2.4.1). Nous déduisons du théorème (4.1.2.4) que la restriction le long de A′ → A induit une équivalence de catégories

D_{∞}A → DA′.

Comme, pour tout A ∈ 𝔸, le A′-polydule restreint A^{∧} = A( , A) est A_{∞}-quasi-isomorphe à A′( , A), nous avons une équivalence

D_{∞}A → \underline{E}, A^{∧} ↦ A.
□

Remarque 7.6.0.5 Par construction de la catégorie A′ dans [Kel94a, 4.3], le 𝔸-𝔸-bimodule sousjacent à A est donné par

(A, A′) ↦ A(A, A′) = ⨁_{n∈Z} Hom_{T} (A, S^{n}A′), A, A′ ∈ 𝔸,

et m_{2}^{A} par la composition de T .

Théorème 7.6.0.6 Soit T une 𝕂-catégorie triangulée algébrique qui est engendrée par un ensemble d’objets 𝔸. Il existe une A_{∞}-catégorie A strictement unitaire et minimale sur 𝔸 et une équivalence triangulée

tria A → T , A^{∧} ↦ A,

où tria A est la sous-catégorie de D_{∞}A engendrée par les objets libres A^{∧}, A ∈ 𝔸.

Démonstration : Par définition des catégories triangulées algébriques, T est la catégorie stable \underline{E} d’une catégorie de Frobenius E. La construction de [Kel94a, 4.3] nous donne une catégorie différentielle graduée unitaire A′ sur 𝔸 telle que nous avons une équivalence triangulée

tria A′ → \underline{E}, A^{∧} ↦ A,

où tria A′ est la sous-catégorie de DA′ engendrée par les A-modules libres A′( , A), A ∈ 𝔸. Choisissons un modèle minimal A de A′ qui est strictement unitaire (3.2.4.1). L’équivalence de catégories

DA′ → D_{∞}A.

induit une équivalence tria A′ → tria A

car le A-polydule A^{∧} = A( , A), A ∈ 𝔸 est A_{∞}-quasi-isomorphe à la restriction de A′( , A). Nous en déduisons qu’on a une équivalence (triangulée)

tria A → \underline{E}, A^{∧} ↦ A.
□

Corollaire 7.6.0.7 Soit T une 𝕂-catégorie triangulée algébrique telle que dans le théorème (7.6.0.6). Il existe une A_{∞}-catégorie A strictement unitaire et minimale sur 𝔸 et une équivalence triangulée

H^{0}(twA) → T , A ↦ A.

Démonstration : Immédiat par les théorèmes (7.1.0.4) et (7.6.0.6). □

172  Chapitre 7 : L’A_{∞}-foncteur de Yoneda et les objets tordus

L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs

Introduction

Le but de ce chapitre est de construire l’analogue A_{∞} de la 2-catégorie cat des petites catégories. Nous construisons une 2-catégorie cat_{∞} dont les objets sont les A_{∞}-catégories strictement unitaires. La catégorie des espaces de morphismes

cat_{∞}(A, B), A, B ∈ Obj cat_{∞},

sera définie comme l’homologie H^{0}Func_{∞}(A, B) d’une A_{∞}-catégorie dont les objets sont les A_{∞}- foncteurs strictement unitaires.

La catégorie Func_{∞}(A, B) a été construite indépendamment par K. Fukaya [Fuk01b], V. Lyubashenko [Lyu02] et M. Kontsevich et Y. Soibelman [KS02a], [KS02b]. Les compositions de Func_{∞}(A, B) de V. Lyubashenko, bien qu’obtenues par une méthode différente, sont les mêmes que les nôtres.

Plan du chapitre

Soit A et B deux petites A_{∞}-catégories (non nécessairement unitaires). Dans la section 8.1.1, nous construisons une A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B) dont les objets sont les A_{∞}-foncteurs A → B. Les compositions de Nunc_{∞}(A, B) seront construites par un processus de torsion (voir le chapitre 6). Dans la section 8.1.2, nous montrons que Nunc_{∞}(A, B) est fonctoriel en A et B et nous définissons la catégorie nat_{∞} dont les objets sont les A_{∞}-catégories. Dans la section 8.1.3, nous montrons que toutes les constructions des deux sections précédentes sont compatibles aux A_{∞}-structures strictement unitaires (A_{∞}-catégories, A_{∞}-foncteurs...) et nous définissons la 2-catégorie cat_{∞} comme une sous-catégorie non pleine de nat_{∞}.

Dans la section (8.2), nous construisons un A_{∞}-foncteur

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B), A, B ∈ cat_{∞},

où C_{∞}(A, B) est la catégorie différentielle graduée des A-B-bipolydules strictement unitaires (8.2.1). Ce foncteur généralise l’A_{∞}-foncteur de Yoneda construit en (7.1.0.1). Nous montrerons que’il induit des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes. Dans la section 8.2.2, nous définissons les équivalences faibles d’A_{∞}-foncteurs strictement unitaires (elles sont l’analogue A_{∞}-catégorique des homotopies entre A_{∞}-morphismes) et nous les caractériserons à l’aide de leurs images par l’A_{∞}-foncteur z.

174  Chapitre 8 : L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs

8.1 L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs

8.1.1 L’A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B)

Soit 𝔸 et 𝔹 deux ensembles et A et B des A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Nous construisons dans cette section, l’A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B) des A_{∞}-foncteurs non nécessairement strictement unitaires. La lettre N remplace la lettre F dans Func_{∞} et se rapporte au N de “Non unitaires”.

Soit f_{1} et f_{2} deux A_{∞}-foncteurs A → B. Nous rappelons que ḟ_{2}Bḟ_{1} est le 𝔸-𝔸-bimodule

(A′, A) ↦ B(ḟ_{1}A′, ḟ_{2}A).

Définition 8.1.1.1 Nous posons

Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1}).

Nous obtenons ainsi un objet gradué dans la catégorie de base Vect𝕂.

Remarque 8.1.1.2 Soit H un élément de degré r de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}). Pour tout entier i ≥ 0, nous notons incl l’inclusion de (SA)^{⊙i} dans T^{c}SA. Soit H_{i}, i ≥ 0, la composition

(SA)^{⊙i} ⟶^{incl} T^{c}SA ⟶^{h} ḟ_{2}Bḟ_{1}.

Nous définissons les morphismes

h_{i} : A^{⊙i} → ḟ_{2}Bḟ_{1}, i ≥ 0,

par les relations

H_{i} ∘ (ω^{⊙i})^{−1} = (−1)^{r}h_{i}, i ≥ 0.

Les applications H_{i} ↦ h_{i}, i ≥ 0, sont clairement des bijections. Le morphisme H est donc déterminé par des morphismes gradués

h_{i} : A(A_{i−1}, A_{i}) ⊗ … ⊗ A(A_{0}, A_{1}) → B(ḟ_{1}A_{0}, ḟ_{2}A_{i}), i ≥ 0.

de degré r − i, pour toute suite (A_{0}, …, A_{i}) d’objets de A. En particulier, si i = 0, nous avons un morphisme

h_{0} : e_{𝔸} → ḟ_{2}Bḟ_{1}, I_{A} ↦ h_{0}(I_{A}).

Nous noterons souvent h_{A} ∈ Hom_{B}(ḟ_{1}A, ḟ_{2}A) l’élément h_{0}(I_{A}).

Remarque 8.1.1.3 Soit f : A → B un A_{∞}-foncteur. Posons h_{i} = f_{i} si i ≥ 1 et h_{0} = 0. Ceci nous fournit un élément H de degré +1 de Hom_{Nunc_{∞}}(f, f). Nous avons alors un diagramme commutatif

\xymatrix{(SA)^{⊙i} \ar@{^{(}->}[r] \ar[dr]_{H_{i}} & B^{+}A \ar[r]^{F} \ar[d]^{H} & B^{+}ḟBḟ \ar[d]^{p_{1}} \\  & ḟBḟ & SḟBḟ \ar[l]^{ω}}

dont nous déduisons les égalités H_{i} = ω ∘ F_{i}, où F est la construction bar co-augmentée de f.

8.1 : L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs  175

Compositions naïves de morphismes d’A_{∞}-foncteurs

Nous construisons dans ce paragraphe une A_{∞}-catégorie F(A, B) = F dont les objets sont les A_{∞}-foncteurs A → B et dont les espaces gradués de morphismes sont les

Hom_{F}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1}).

Nous montrons que F est munie d’une topologie pour laquelle elle est une A_{∞}-catégorie topologique. Nous construisons ensuite un élément tordant topologique de F (voir 6.2).

Au lieu de construire les compositions m_{i}^{F}, i ≥ 1, nous allons construire des morphismes (voir les bijections m_{i} ↔ b_{i} dans la section 1.2.2)

b_{i}^{F} : SF^{⊙i} → SF, i ≥ 1,

puis nous vérifions que cela définit bien une A_{∞}-catégorie. Remarquons que nous avons un isomorphisme

SF(f_{1}, f_{2}) ⟶^{∼} Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, Sḟ_{2}Bḟ_{1}).

Le morphisme

b_{1}^{F} : Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, Sḟ_{2}Bḟ_{1}) → Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, Sḟ_{2}Bḟ_{1})

est la différentielle de l’espaces de morphismes gradués entre complexes : elle est définie par

φ ↦ b_{1}^{B} ∘ φ − (−1)^{|φ|}φ ∘ b^{B^{+}A},

où φ est de degré |φ|. Soit i ≥ 2 et (f_{0}, …, f_{i}) une suite d’A_{∞}-foncteurs A → B. Le morphisme b_{i}^{F} envoie un élément

g_{i} ⊙ … ⊙ g_{1} ∈ Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, Sḟ_{i}Bḟ_{i−1}) ⊙ … ⊙ Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, Sḟ_{1}Bḟ_{0})

sur la composition

B^{+}A ⟶^{Δ^{(i)}} (B^{+}A)^{⊙i} ⟶^{g_{i}⊙...⊙g_{1}} Sḟ_{i}Bḟ_{i−1} ⊙ … ⊙ Sḟ_{1}Bḟ_{0} ⟶^{b_{i}^{B}} Sḟ_{i}Bḟ_{0}.

Lemme 8.1.1.4 Les morphismes m_{i}^{F}, i ≥ 1, définissent une structure de A_{∞}-catégorie sur F.

Démonstration : Nous avons clairement b_{1}^{F} ∘ b_{1}^{F} = 0. Soit n ≥ 2 et soit g_{i}, 1 ≤ i ≤ n, des éléments de SF de degré |g_{i}|. Les termes de la somme

[ ∑_{j+k+l=n} b_{i}^{F}(I^{⊙j} ⊙ b_{k}^{F} ⊙ I^{⊙l})](g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})

sont des trois types : ceux où i = n et k = 1, ceux où i = 1 et k = n et ceux où i, j ≠ 1.

– Lorsque i = n et k = 1 nous trouvons

[b_{n}^{F}(I^{⊙j} ⊙ b_{1}^{F} ⊙ I^{⊙l})](g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})

= (−1)^{∑_{r<l+1} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ b_{1}^{F}(g_{l+1}) ⊙ … ⊙ g_{1})
= (−1)^{∑_{r<l+1} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ b_{1}^{B}g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})

−(−1)^{∑_{r≤l+1} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{l+1}b^{B^{+}A} ⊙ … ⊙ g_{1})

= b_{n}^{B}(I^{⊙j} ⊙ b_{1}^{B} ⊙ I^{⊙l})(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)}

−(−1)^{∑_{r} |g_{r}|}b_{n}^{B}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})(I^{⊙j} ⊙ b^{B^{+}A} ⊙ I^{⊙l})Δ^{(n)}

= b_{n}^{B}(I^{⊙j} ⊙ b_{1}^{B} ⊙ I^{⊙l})(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)}

−(−1)^{∑_{r} |g_{r}|}b_{n}^{B}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)}b^{B^{+}A}

= b_{n}^{B}(I^{⊙j} ⊙ b_{1}^{B} ⊙ I^{⊙l})(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)}

−(−1)^{∑_{r} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})b^{B^{+}A}

– Lorsque i = 1 et k = n nous trouvons

b_{1}^{F} · b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})
= b_{1}^{B}(b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1}))
−(−1)^{1+∑_{r} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})b^{B^{+}A}
= b_{1}^{B}(b_{n}^{B}(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)})
−(−1)^{1+∑_{r} |g_{r}|}b_{n}^{F}(g_{n} ⊙ … g_{l+1} ⊙ … ⊙ g_{1})b^{B^{+}A}

– Lorsque i ≠ 1 et k ≠ n nous trouvons

[b_{i}^{F}(I^{⊙j} ⊙ b_{k}^{F} ⊙ I^{⊙l})](g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})

= (−1)^{∑_{r<l+1} |g_{r}|}b_{i}^{F}(g_{n} ⊙ … b_{j}^{F}(g_{l+j+1} ⊙ … ⊙ g_{l+1}) ⊙ … ⊙ g_{1})
= (−1)^{∑_{r<l+1} |g_{r}|}b_{i}^{F}(g_{n} ⊙ … (b_{j}^{B}(g_{l+j+1} ⊙ … ⊙ g_{l+1})Δ^{(k)}) ⊙ … ⊙ g_{1})
= (−1)^{∑_{r<l+1} |g_{r}|}b_{i}^{B}(g_{n} ⊙ … (b_{j}^{B}(g_{l+j+1} ⊙ … ⊙ g_{l+1})Δ^{(k)}) ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(i)}
= b_{i}^{B}(I^{⊙j} ⊙ b_{j}^{B} ⊙ I^{⊙l})(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})(I^{⊙j} ⊙ Δ^{(k)} ⊙ I^{⊙l})Δ^{(i)}
= b_{i}^{B}(I^{⊙j} ⊙ b_{j}^{B} ⊙ I^{⊙l})(g_{n} ⊙ … ⊙ g_{1})Δ^{(n)}

Les dernières lignes des deux premiers cas se compensent grâce aux signes et la somme de ce qui reste est nulle car B est une A_{∞}-catégorie. □

Remarque 8.1.1.5 L’A_{∞}-catégorie F(A, B) ainsi construite est clairement fonctorielle en A et B. Si f : A → A′ est un A_{∞}-foncteur, l’A_{∞}-foncteur induit F(A′, B) → F(A, B) est strict. Il envoit H ∈ Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) sur sa composition avec Bf. Si f : B → B′ est un A_{∞}-foncteur, l’A_{∞}- foncteur induit F(A′, B) → F(A, B) n’est plus strict. Notons le g. Soit G sa construction bar. Le morphisme G_{1} envoie H ∈ Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) sur sa composition avec F_{1}. Les formules définissant les G_{i}, i ≥ 2, sont obtenues à partir des formules définissant les b_{i}^{F}, i ≥ 2, en remplacant les b_{i}^{B} par des F_{i}. Les problèmes de fonctorialité seront étudiés plus en détails dans la section 8.1.2.

Description concrète

Regardons ce que sont les compositions de morphismes d’A_{∞}-catégories du point de vue de la remarque 8.1.1.2.

Soit H un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) de degré |H|. Le morphisme m_{1}^{F}(H) est déterminé par des morphismes

h′_{i} : A^{⊙i} → _{f_{2}}B_{f_{1}}, i ≥ 0.

Nous vérifions que h′_{i} est égal à la somme

m_{1}^{B} ∘ h_{i} − (−1)^{|H|} ∑(−1)^{l+kj}h_{j+1+l}(1^{⊙j} ⊙ m_{k}^{A} ⊙ 1^{⊙l}).

Soit i ≥ 2. Soit f_{0}, …, f_{i} des A_{∞}-foncteurs A → B. Pour tout 1 ≤ t ≤ i, soit H_{t} un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{t−1}, f_{t}) de degré |H_{t}|. Notons |H| la somme des degrés |H_{t}|. Soit H′ l’élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{0}, f_{i}) égal à m_{i}^{F}(H_{n} ⊙ … ⊙ H_{1}). Alors H′ est donné par des morphismes gradués

h′_{n} : A(A_{n−1}, A_{n}) ⊗ … ⊗ A(A_{0}, A_{1}) → B(ḟ_{0}A_{0}, ḟ_{i}A_{n}), n ≥ 0.

de degré |H| − n, pour toute suite (A_{0}, …, A_{n}) d’objets de A. Soit x_{k} ∈ A(A_{k−1}, A_{k}), 1 ≤ k ≤ n. Nous notons incl l’inclusion de (SA)^{⊙i} dans B^{+}A. L’élément h′_{n}(x_{n} ⊙ … ⊙ x_{1}) est égal à

−ω ∘ b_{i}^{B} ∘ [(ω^{⊙i})^{−1}(H_{i} ⊙ … ⊙ H_{1})] ∘ Δ^{(i)} ∘ incl ∘ (ω^{⊙n})^{−1}(x_{n} ⊙ … ⊙ x_{1})

Prenons un exemple simple.

Exemple 8.1.1.6 Supposons que i = 3 et n = 2. La composition Δ^{(3)} ∘ incl ∘ (ω^{⊙2})^{−1}(x_{2} ⊙ x_{1}) est égale à la somme dans B^{+}A^{⊙3}

[I_{A_{2}} ⊙ I_{A_{2}} ⊙ (ω^{⊙2})^{−1} − I_{A_{2}} ⊙ (ω)^{−1} ⊙ (ω)^{−1}−
(ω)^{−1} ⊙ I_{A_{1}} ⊙ (ω)^{−1} + I_{A_{2}} ⊙ (ω^{⊙2})^{−1} ⊙ I_{A_{0}}
−(ω)^{−1} ⊙ (ω)^{−1} ⊙ I_{A_{0}} + (ω^{⊙2})^{−1} ⊙ I_{A_{0}} ⊙ I_{A_{0}}](x_{2} ⊙ x_{1}).

Nous trouvons donc que m_{3}^{F}(h_{3} ⊙ h_{2} ⊙ h_{1})(x_{2} ⊙ x_{1}) est égal à la somme des éléments

m_{3}^{B}( ± (h_{3})_{A_{2}} ⊙ (h_{2})_{A_{2}} ⊙ (h_{1})_{2} ± (h_{3})_{A_{2}} ⊙ (h_{2})_{1} ⊙ (h_{1})_{1}
±(h_{3})_{1} ⊙ (h_{2})_{A_{1}} ⊙ (h_{1})_{1} ± (h_{3})_{A_{2}} ⊙ (h_{2})_{2} ⊙ (h_{1})_{A_{0}}
±(h_{3})_{1} ⊙ (h_{2})_{1} ⊙ (h_{1})_{A_{0}} ± (h_{3})_{2} ⊙ (h_{2})_{A_{0}} ⊙ (h_{1})_{A_{0}})(x_{2} ⊙ x_{1}).

Le morphisme

h′_{2}(x_{2} ⊙ x_{1}) : f_{0}A_{0} → f_{3}A_{2}

est donc la somme des compositions (au signes près) des suites de morphismes représentées par un chemin de flèches menant de f_{0}A_{0} à f_{3}A_{2} dans le diagramme ci-dessous

f_{0} A_{2} x_{1} x_{2}A_{0} A_{1}  f_{3}A_{2} h_{3} h_{2} h_{1}  f_{2}A_{0} f_{1}  f_{2}  f_{3} f_{0}A_{0}  (h_{3})_{2}(x_{2} ⊙ x_{1}) f_{1}A_{2} (h_{2})_{A_{2}} f_{2}A_{2}  .

Remarquons qu’il n’y a aucune flèche verticale (qui correspondrait à un (f_{j})_{1}(x_{i}) ou un (f_{j})_{2}(x_{2} ⊗ x_{1})) dans ces chemins de flèches.

De façon générale, nous trouvons que l’élément H′ de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{0}, f_{n}) est donné par

h′_{n} = ∑_{j_{1}+..+j_{l}=n}(−1)^{s}m_{l}^{B}((h_{i})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (h_{1})_{j_{l}}), n ≥ 0,

où les entiers j_{α} sont ≥ 0, et où le signe est donné par l’égalité

(−1)^{s}((H_{i})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (H_{1})_{j_{l}}) ∘ (ω^{⊙n}) = ((h_{i})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (h_{1})_{j_{l}}).

Remarque 8.1.1.7 Soit H l’élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f, f) construit à la remarque (8.1.1.3). Si f_{t} = f, 0 ≤ t ≤ i, et H_{t} = H, 1 ≤ t ≤ i, le signe (−1)^{s} ci-dessus est le même que le signe (−1)^{s} de l’équation (∗∗_{n}), n ≥ 1, dans la définition des A_{∞}-foncteurs (5.1.2.5).

Topologie sur F

Nous munissons l’espace

Hom_{F}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, ḟ_{2}Bḟ_{1})

de la topologie définie par la filtration décroissante F_{i}, i ≥ 0, où

F_{i} = Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}( ⨁_{j≥i}(SA)^{⊙j}, ḟ_{2}Bḟ_{1}).

Cette topologie est séparée. La description ci-dessus montre que les compositions de F sont des morphismes continus contractants (voir 6.2.1). L’A_{∞}-catégorie F est donc topologique (6.2.1.1).

Elément tordant de F

Notons 𝔽 l’ensemble des A_{∞}-foncteurs A → B. L’élément tordant

x : e_{𝔽} → F

envoie le générateur I_{f} de e_{𝔽}(f, f) sur l’élément H de degré +1 de Hom_{Nunc_{∞}}(f, f) construit à partir de f (voir 8.1.1.3).

Vérifions maintenant que x est un élément tordant topologique. Comme le morphisme h_{0} est nul, l’image de x est dans le voisinage F_{1}. La restriction de la somme

∑_{i≥1} m_{i}^{F}(H^{⊙i})(I_{f}) : B^{+}A → ḟBḟ

à (SA)^{⊙n} est la somme

− ∑(−1)^{jk+l}h_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) + ∑_{j_{1}+..+j_{l}=n}(−1)^{s}m_{l}^{B}(h_{j_{1}} ⊙ … ⊙ h_{j_{l}})

Rappelons que h_{i} = f_{i}, i ≥ 1. L’équation de Maurer-Cartan appliquée à I_{f} est donc équivalente à l’ensemble de équations (∗∗_{n}), n ≥ 1, de la définition d’un A_{∞}-foncteur (5.1.2.5).

L’A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B)

Définition 8.1.1.8 (Voir aussi [Fuk01b], [Lyu02] et [KS02a], [KS02b]) L’A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B) est la catégorie tordue F_{x} (voir 6.2.4.3 pour la torsion).

Remarquons que les compositions m_{i}^{Nunc_{∞}}, i ≥ 1, de [Fuk01b], [Lyu02] sont les mêmes mais obtenues de manière différentes.

Description concrète

Donnons maintenant une description du morphisme

m_{1}^{Nunc_{∞}} : Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) → Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}).

Soit H un élément de degré |H| de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}). Le morphisme H′ = m_{1}^{Nunc_{∞}}(H) est déterminé par des morphismes

h′_{i} : A^{⊙i} → _{f_{2}}B_{f_{1}}, i ≥ 0.

Nous vérifions que h′_{i} est égal à la somme

\begin{matrix}∑_{j_{1}+..+j_{l}=n}(−1)^{s}m_{l}^{B}((f_{2})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (f_{2})_{j_{t}} ⊙ h_{j_{t+1}} ⊙ (f_{1})_{j_{t+1}} … ⊙ (f_{1})_{j_{l}}) \\ −(−1)^{|h|+l+kj}h_{j+1+l}(1^{⊙j} ⊙ m_{k}^{A} ⊙ 1^{⊙l}), \end{matrix}

où l’exposant du signe s est la somme du signe apparaissant dans la torsion (6.1.2) et du signe donné par l’égalité

\begin{matrix}(−1)^{∗}((ωF_{2})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (ωF_{2})_{j_{t}} ⊙ H_{j_{t+1}} ⊙ (ωF_{1})_{j_{t+1}} … ⊙ (ωF_{1})_{j_{l}}) ∘ (ω^{⊙n}) \\ = ((f_{2})_{j_{1}} ⊙ … ⊙ (f_{2})_{j_{t}} ⊙ h_{j_{t+1}} ⊙ (f_{1})_{j_{t+1}} … ⊙ (f_{1})_{j_{l}}). \end{matrix}

La description des compositions supérieures m_{i}^{Nunc_{∞}}, i ≥ 2, se fait de façon similaire. Reprenons l’exemple 8.1.1.6 et posons

H′′ = m_{3}^{Nunc_{∞}}(h_{3} ⊙ h_{2} ⊙ h_{1}) ∈ Hom_{Nunc_{∞}}(f_{0}, f_{3}).

Le morphisme

h′′_{2}(x_{2} ⊙ x_{1}) : f_{0}A_{0} → f_{3}A_{2}

est la somme des compositions (au signes près) des suites de morphismes représentées par un chemin de flèches menant de f_{0}A_{0} à f_{3}A_{2} dans le diagramme ci-dessous

f_{0} A_{2} x_{1} x_{2}A_{0} A_{1}  h_{3} h_{2} h_{1} f_{1}  f_{2}  f_{3} f_{0}A_{0}  f_{3}A_{2}(f_{3})_{2}(x_{2} ⊙ x_{1}) f_{3}(x_{2})  f_{3}A_{0}  .

Graphiquement, la torsion consiste donc à autoriser les flèches verticales dans les chemins.

Remarque 8.1.1.9 Si B est une catégorie différentielle graduée, la catégorie Nunc_{∞}(A, B) est aussi une catégorie différentielle graduée car les compositions m_{i}^{Nunc_{∞}}, i ≥ 3 sont nulles.

8.1.2 Fonctorialité de Nunc_{∞}(A, B)

Fonctorialité en A

Soit A, A′, B des petites A_{∞}-catégories. Soit g ∈ A′ → A, f_{1}, f_{2} : A → B des A_{∞}-foncteurs. Soit H un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}). Nous définissons l’élément

H ⋆ g ∈ Hom_{Nunc_{∞}}((f_{1} ∘ g), (f_{2} ∘ g))

comme la composition

B^{+}A′ ⟶^{G} B^{+}ġAġ → _{ḟ_{2}ġ}B_{ḟ_{1}ġ}

où la seconde flèche est induite par H. Comme G est un morphisme de cogèbres différentielles graduées, le morphisme de 𝔽-𝔽-bimodules

? ⋆ g : Nunc_{∞}(f_{1}, f_{2}) → Nunc_{∞}((f_{1} ∘ g), (f_{2} ∘ g))

est un A_{∞}-foncteur strict.

Fonctorialité en B

Soit A, B et B′ des petites A_{∞}-catégories. Soit g ∈ B → B′, f_{1}, f_{2} : A → B des A_{∞}-foncteurs. Soit H un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}). Nous allons construire un élément

g ⋆ H ∈ Hom_{Nunc_{∞}}((g ∘ f_{1}), (g ∘ f_{2})).

Cela nous fournira un A_{∞}-foncteur strict

g ⋆? : Nunc_{∞}(f_{1}, f_{2}) → Nunc_{∞}((g ∘ f_{1}), (g ∘ f_{2}))

Commençons par introduire quelques notions.

Soit M un 𝔸-𝔸-bimodule différentiel gradué. Soit C, C_{1} et C_{2} des cogèbres cocomplètes dans la catégorie des cogèbres différentielles graduées de la catégorie de base C(𝔸, 𝔸). Nous munissons le 𝔸-𝔸-bimodule C_{2} ⊙ M ⊙ C_{1} de la structure de C_{2}-C_{1}-bicomodule (cocomplet) induite par les comultiplications de C_{2} et C_{1}. Soit

F_{1} : C → C_{1} et F_{2} : C → C_{2}

des morphismes de cogèbres.

Définition 8.1.2.1 Une (F_{1},F_{2})-codérivation est un morphisme de 𝔸-𝔸-bimodules

K : C → C_{2} ⊙ M ⊙ C_{1}

tel que

(Δ^{C_{2}} ⊙ 1 ⊙ 1) ∘ K = (F_{2} ⊙ K) ∘ Δ^{C} et (1 ⊙ 1 ⊙ Δ^{C_{1}}) ∘ K = (K ⊙ F_{1}) ∘ Δ^{C}.

Lemme 8.1.2.2 Soit p_{1} la projection C_{2}⊙M ⊙C_{1} sur M. L’application K ∘p_{1}∘K est une bijection de l’ensemble des (F_{1}, F_{2})-codérivations sur les morphismes de 𝔸-𝔸-bimodules C → M. □

Soit C_{1}, C_{2} et C_{3} des cogèbres cocomplètes dans la catégorie des cogèbres différentielles graduées de la catégorie de base C(𝔸, 𝔸). Le produit cotensoriel d’un C_{1}-C_{2}-bicomodule M avec un C_{2}-C_{3}- bicomodule N est le noyau

M ⊡ N = ker (M ⊙ N ⟶^{Δ⊙1−1⊙Δ} M ⊙ C_{2} ⊙ N).

Reprenons la construction de H ⋆ g. Nous rappelons que les 𝔸-𝔸-bimodules ḟ_{1}Bḟ_{1} et ḟ_{2}Bḟ_{2} sont des A_{∞}-catégories sur 𝔸. Soit

F_{1} : B^{+}A → B^{+}ḟ_{1}Bḟ_{1} et F_{2} : B^{+}A → B^{+}ḟ_{2}Bḟ_{2}

les constructions bar co-augmentées de f_{1} et f_{2}. Le morphisme

H : B^{+}A → ḟ_{2}Bḟ_{1}

se relève en une (F_{1}, F_{2})-codérivation de comodules

K : B^{+}A → B^{+}ḟ_{2}Bḟ_{2} ⊙ ḟ_{2}Bḟ_{1} ⊙ B^{+}ḟ_{1}Bḟ_{1}.

L’A_{∞}-foncteur g : B → B′ induit un morphisme G de degré 0

B^{+}ḟ_{2}Bḟ_{2} ⊙ ḟ_{2}Bḟ_{1} ⊙ B^{+}ḟ_{1}Bḟ_{1} → B^{+}_{ġḟ_{2}}B_{ġḟ_{2}} ⊙_{ġḟ_{2}}B_{ġḟ_{1}} ⊙ B^{+}_{ġḟ_{1}}B_{ġḟ_{1}}.

Nous vérifions que la composition G ∘ K définit une (GF_{1}, GF_{2})-codérivation

B^{+}A → B^{+}_{ġḟ_{2}}B_{ġḟ_{2}} ⊙_{ġḟ_{2}}B_{ġḟ_{1}} ⊙ B^{+}_{ġḟ_{1}}B_{ġḟ_{1}}

et nous définissons l’élément g ⋆ H par la composition

p_{1} ∘ (G ∘ K) : B^{+}A → _{ġḟ_{2}}B_{ġḟ_{1}}.

Munissons B^{+}ḟ_{2}Bḟ_{2} ⊙ ḟ_{2}Bḟ_{1} ⊙ B^{+}ḟ_{1}Bḟ_{1} de la différentielle induite par les b_{i}^{B}, i ≥ 1, et notons D(f_{2}, f_{1}) le bicomodule différentiel gradué obtenu ainsi. Nous pouvons considéré D(f_{1}, f_{2}) comme la construction bar du ḟ_{2}Bḟ_{2}-ḟ_{1}Bḟ_{1}-bipolydule ḟ_{2}Bḟ_{1}.

Remarque 8.1.2.3 Soit H un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) et K la codérivation associée. L’élément m_{1}^{Nunc_{∞}}(H) correspond à la codérivation δ(K) dans l’espace différentiel gradué des morphismes gradués

(Hom_{GrC(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, D(f_{2}, f_{1})), δ).

Soit i ≥ 2. Soit f_{0}, …, f_{i} des A_{∞}-foncteurs A → B. Pour tout 1 ≤ t ≤ i, soit H_{t} un élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{t−1}, f_{t}) de degré |H_{t}|. Notons C_{t} la cogèbre différentielle graduée B^{+}ḟ_{t}Bḟ_{t}. Le C_{i}-C_{0}- bicomodule

D(f_{i}, f_{i−1}) ⊡ … ⊡ D(f_{1}, f_{0})

est isomorphe en tant qu’objet gradué à

C_{i} ⊙ ḟ_{i}Bḟ_{i−1} ⊙ C_{i−1} ⊙ ḟ_{i−1}Bḟ_{i−2} ⊙ C_{i−2} ⊙ … ⊙ C_{1} ⊙ ḟ_{1}Bḟ_{0} ⊙ C_{1}.

Nous le munissons de la différentielle induite par les b_{i}^{B}, i ≥ 1. L’élément

m_{i}(H_{i} ⊙ … ⊙ H_{1}) : B^{+}A → ḟ_{i}Bḟ_{0}

correspond à la F_{i}-F_{1}-codérivation

K : B^{+}A → D(f_{i}, f_{0})

qui est le relèvement

B^{+}A ⟶^{Δ^{(i)}} (B^{+}A)^{⊙i} ⟶^{K_{i}⊡...⊡K_{1}} D(f_{i}, f_{i−1}) ⊡ … ⊡ D(f_{1}, f_{0}) ⟶^{q} ḟ_{i}Bḟ_{0},

où q est induit par les b_{i}^{B}, i ≥ 1.

L’A_{∞}-foncteur g induit des morphismes

D(f_{i}, f_{i−1}) ⊡ … ⊡ D(f_{1}, f_{0}) → D(gf_{i}, gf_{i−1}) ⊡ … ⊡ D(gf_{1}, gf_{0})

et un relèvement vers D(gf_{i}, gf_{0}) de

D(f_{i}, f_{i−1}) ⊡ … ⊡ D(f_{1}, f_{0}) ⟶ _{ġḟ_{i}}B_{ġḟ_{0}}

qui sont compatibles aux différentielles. Nous en déduisons que le morphisme de 𝔽-𝔽-bimodules

g ⋆? : Nunc_{∞}(f_{1}, f_{2}) → Nunc_{∞}((g ∘ f_{1}), (g ∘ f_{2}))

définit un A_{∞}-foncteur strict.

La catégorie nat_{∞}

Soit nat_{∞} la catégorie dont les objets sont les petites A_{∞}-catégories (non nécessairement strictement unitaires), dont les espaces de morphismes sont les catégories (sans unités en général)

nat_{∞}(A, B) = H^{0}Nunc_{∞}(A, B).

Il résulte de la fonctorialité de Nunc_{∞}(A, B) que nat_{∞} est une “2-catégorie sans unités pour les 2-morphismes”. La lettre n remplace la lettre c de cat_{∞} et exprime le fait que les objets de nat_{∞} sont les A_{∞}-“cat”égories “n”on (nécessairement) strictement unitaires.

Remarque 8.1.2.4 Soit f_{1} et f_{2} in Nunc_{∞}(A, B). Soit H un morphisme de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) qui est un zéro cycle. Soit x un élément de A(A_{0}, A_{1}). Comme H est un cycle, nous avons la relation

m_{1}^{B}(h_{1}(x)) − m_{2}^{B}(h_{A_{1}} ⊙ f_{1}x) + m_{2}^{B}(f_{2}x ⊙ h_{A_{0}}) = 0.

Nous avons donc un diagramme commutatif dans H^{0}B

\xymatrix{ḟ_{1}A_{0} \ar[r]^{f_{1}x} \ar[d]_{h_{A_{0}}} & ḟ_{1}A_{1} \ar[d]^{h_{A_{1}}} \\ f_{2}A_{0} \ar[r]_{f_{2}x} & f_{2}A_{1}.}

8.1.3 L’A_{∞}-catégorie Func_{∞}(A, B)

Reprenons les notations de la section 8.1.1 mais supposons désormais que A et B sont strictement unitaires. L’A_{∞}-catégorie Func_{∞}(A, B) dont les objets sont les A_{∞}-foncteurs strictement unitaires est définie de la manière suivante :

Soit f_{1} et f_{2} deux A_{∞}-foncteurs A → B. Un élément H de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) est strictement unitaire s’il vérifie

h_{i}(1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β}) = 0, i ≥ 1.

Les A_{∞}-foncteurs strictement unitaires et les morphismes strictement unitaires d’A_{∞}-foncteurs strictement unitaires forment une sous-A_{∞}-catégorie de Nunc_{∞}(A, B). Nous la notons Func_{∞}(A, B). Nous vérifions que Func_{∞}(A, B) est fonctoriel par rapport aux A_{∞}-foncteurs strictement unitaires.

La 2-catégorie cat_{∞}

Définition 8.1.3.1 Soit cat_{∞} la catégorie dont les objets sont les petites A_{∞}-catégories strictement unitaires, dont les espaces de morphismes sont les catégories

cat_{∞}(A, B) = H^{0}Func_{∞}(A, B).

Il résulte de la fonctorialité de Func_{∞}(A, B) que cat_{∞} est une 2-catégorie.

Remarque 8.1.3.2 Soit f_{1} et f_{2} ∈ Func_{∞}(A, B). Soit H un morphisme de Hom_{Func_{∞}}(f_{1}, f_{2}) qui est un zéro cycle. Soit I_{A} le morphisme identité de A ∈ A. Comme H est un cycle, nous avons la relation

m_{1}^{B}(h_{1}(I_{A})) − m_{2}^{B}(h_{A} ⊙ f_{1}I_{A}) + m_{2}^{B}(f_{2}I_{A} ⊙ h_{A}) =
−m_{2}^{B}(h_{A} ⊙ I_{f_{1}A}) + m_{2}^{B}(I_{f_{2}A} ⊙ h_{A}) = 0.

Nous avons donc un diagramme commutatif dans H^{0}B

\xymatrix{ḟ_{1}A \ar[r]^{I} \ar[d]_{h_{A}} & ḟ_{1}A \ar[d]^{h_{A}} \\ f_{2}A \ar[r]_{I} & f_{2}A.}

8.2 Théorie de l’homotopie des A_{∞}-foncteurs

Cette section est divisée en deux sous-sections. Soit A et B deux A_{∞}-catégories strictement unitaires sur 𝔸 et 𝔹. Dans la première, nous construisons une généralisation de l’A_{∞}-foncteur de Yoneda y (7.1.0.1) : nous définissons un A_{∞}-foncteur

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B), A, B ∈ cat_{∞},

qui nous redonne l’A_{∞}-foncteur de Yoneda pour A égal à e_{𝔹}. Nous montrons ensuite que l’A_{∞}- foncteur de Yoneda généralisé z induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes. Dans la seconde partie, nous définissons les équivalences faibles de l’A_{∞}-catégorie Func_{∞}(A, B) (elles sont l’analogue A_{∞}-catégorique des homotopies entre A_{∞}-morphismes) et nous les caractérisons à l’aide de leurs images par l’A_{∞}-foncteur z.

8.2.1 L’A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé

L’A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B)

est défini comme la composition

Func_{∞}(A, B) → Func_{∞}(A, C_{∞}B) ⟶^{θ^{−1}} C_{∞}(A, B)

où la première flèche est induite par le foncteur de Yoneda y : B → C_{∞}B du chapitre 7 et où θ est définie dans la proposition ci-dessous.

Proposition 8.2.1.1 Soit A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Il existe un isomorphisme fonctoriel de catégories différentielles graduées

θ : N_{∞}(A, B) ⟶^{∼} Nunc_{∞}(A, N_{∞}B).

Il se restreint en un isomorphisme

θ : C_{∞}(A, B) ⟶^{∼} Func_{∞}(A, C_{∞}B)

si A et B sont strictement unitaires.

Démonstration de la proposition (8.2.1.1) :

Le foncteur θ

Nous rappelons (5.3.0.3) que l’application

Obj N_{∞}(A, B) → Obj Nunc_{∞}(A, N_{∞}B),
M ↦ θ_{M},

est une bijection. Nous allons étendre cette application en un isomorphisme de catégories différentielles graduées

θ : N_{∞}(A, B) → Nunc_{∞}(A, N_{∞}B).

8.2 : Théorie de l’homotopie des A_{∞}-foncteurs  185

Soit X et X′ deux A-B-bipolydules et

f : X → X′

un morphisme de N (A, B). Il est donné par des morphismes

f_{i,j} : A^{⊙i} ⊙ X ⊙ B^{⊙j} → X′, i, j ≥ 0.

Le morphisme

θ(f) ∈ Hom_{Nunc_{∞}}(θ_{X}, θ_{X′})

est donné par un morphisme

B^{+}A → _{θ_{X′}} (N_{∞}B)_{θ_{X}} = Hom_{T^{c}SB}(SX ⊙ T^{c}SB, SX′ ⊙ T^{c}SB)

qui envoie un élément ϕ de (SA)^{⊙i} de degré |ϕ| sur l’unique morphisme (voir 2.1.2.1) Υ tel que la composition p_{1} ∘ Υ a pour composantes les morphismes

\xymatrix{SX ⊙ (SB)^{⊙j} \ar[r]^{(−1)^{|ϕ|}ϕ⊙1} & (SA)^{⊙i} ⊙ SX ⊙ (SB)^{⊙j} \ar[r]^{F_{i,j}} & SX′,} j ≥ 0.

Remarquons que si i = 0, le morphisme

Υ : SX ⊙ T^{c}SB → SX′ ⊙ T^{c}SB

est le morphisme donné par les morphismes F_{0,j}, j ≥ 0. Nous avons ainsi défini un isomorphisme d’objets gradués

Hom_{N_{∞}(A,B)}(X, X′) → Hom_{Nunc_{∞}(A,N_{∞}B)}(θ_{X}, θ_{X′}).

Montrons que cet isomorphisme définit un isomorphisme de catégories différentielles graduées. Soit f de degré p. La compatibilité à la composition m_{2} est immédiate. Montrons la compatibilité à m_{1}. Soit ϕ ∈ (SA)^{⊙n} de degré |ϕ| et soit κ ⊙ ψ ∈ SX ⊙ (SB)^{⊙n′}. Nous avons les égalités (le calcul est le même que pour la démonstration du lemme clef 5.3.0.1)

m_{1}^{B}(θ(f))(ϕ)(κ ⊙ ψ)

= (−1)^{|ϕ|+1}[ ∑ b_{0,β′}^{X′}(f_{n,β} ⊙ 1^{⊙β′})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ)

−(−1)^{p} ∑ f_{i,j}(1^{⊙n} ⊙ b_{0,α}^{X} ⊙ 1^{⊙β})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ)

−(−1)^{p} ∑ f_{i,j}(1^{⊙n} ⊙ 1_{X} ⊗ 1^{⊙α} ⊙ b^{B} ⊙ 1^{⊙β})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ) −(−1)^{p} ∑ f_{i,j}(1^{⊙α} ⊙ b^{A} ⊙ 1^{⊙β} ⊙ 1_{X} ⊗ 1^{⊙n′})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ)],

\begin{aligned}& −m_{2}^{B}(θ_{X′}, θ(f))(ϕ)(κ ⊙ ψ) \\ = & (−1)^{|ϕ|+1} ∑_{α′>0} b_{α′,β′}^{X′}(1^{⊙α′} ⊙ f_{α,β} ⊙ 1^{⊙β′})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ), \end{aligned}

\begin{aligned}& m_{2}^{B}(θ(f), θ_{X})(ϕ)(κ ⊙ ψ) \\ = & −(−1)^{p+|ϕ|+1} ∑_{α>0} f_{α′,β′}(1^{⊙α′} ⊙ b_{α,β}^{X} ⊙ 1^{⊙β′})(ϕ ⊙ κ ⊙ ψ). \end{aligned}

Nous en déduisons l’égalité

d(θ(f)) = m_{1}^{F}(θ(f)) − m_{2}^{F}(θ′_{X} ⊙ θ(f)) + m_{2}^{F}(θ(f) ⊙ θ_{X}) = θ(d(f))

et nous avons le résultat.

186  Chapitre 8 : L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs

Compatibilité de θ à la fonctorialité

Si f : A′ → A et g : B → B′ sont des A_{∞}-foncteurs, ils induisent clairement des morphismes qui rendent commutatifs les carrés

\xymatrix{N_{∞}(A, B) \ar[r]^{f^{∗}} \ar[d]_{θ} & N_{∞}(A′, B) \ar[d]^{θ} & N_{∞}(A, B) \ar[r]^{g_{∗}} \ar[d]_{θ} & N_{∞}(A, B′) \ar[d]^{θ} \\ Nunc_{∞}(A, N_{∞}B) \ar[r]_{f^{∗}} & Nunc_{∞}(A′, N_{∞}B) & Nunc_{∞}(A, N_{∞}B) \ar[r]_{g_{∗}} & Nunc_{∞}(A, N_{∞}B′).}

Le cas strictement unitaire

Supposons maintenant que A et B sont des A_{∞}-catégories strictement unitaires. Nous avons les sous-catégories (5.2)

C_{∞}(A, B) ⊂ N_{∞}(A, B) et Nunc_{∞}(A, C_{∞}B) ⊂ Func_{∞}(A, N_{∞}B).

Par la remarque (5.3.0.6), la bijection

Obj N_{∞}(A, B) → Obj Nunc_{∞}(A, N_{∞}B),
M ↦ θ_{M},

se restreint en une bijection

Obj C_{∞}(A, B) → Obj Func_{∞}(A, C_{∞}B)

et il est clair que, pour X et X′ dans C_{∞}(A, B), l’application f ↦ θ(f) induit un isomorphisme

Hom_{C_{∞}(A,B)}(X, X′) ⟶^{∼} Hom_{Func_{∞}(A,C_{∞}B)}(θ_{X}, θ_{X′}).

Nous avons donc un isomorphisme de catégories différentielles graduées

θ : C_{∞}(A, B) ⟶^{∼} Func_{∞}(A, C_{∞}B).

□

Théorème 8.2.1.2 L’A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B)

induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes.

Commençons par quelques lemmes.

Soit (Nunc_{∞}(A, B))_{u} la sous-catégorie pleine de Nunc_{∞}(A, B) formée des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires. Lemme 8.2.1.3 Le foncteur fidèle

Func_{∞}(A, B) → Nunc_{∞}(A, B)

induit un isomorphisme

H^{∗}Func_{∞}(A, B) → H^{∗}(Nunc_{∞}(A, B))_{u}.

Démonstration : Dans cette démonstration, nous utilisons une filtration qui est adaptée de celle de J. A. Guccione et J. J. Guccione [GG96].

Soit f_{1} et f_{2} deux A_{∞}-foncteurs strictement unitaires A → B. Nous rappelons que l’espace des éléments strictement unitaires de

Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{C(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1})

est formé des H qui se factorisent par T^{c}S\overline{A}, où \overline{A} est le conoyau de l’unité de A. Nous avons donc l’égalité

Hom_{Func_{∞}}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{C(𝔸,𝔸)}( ⨁_{0≤p}(S\overline{A})^{⊙p}, ḟ_{2}Bḟ_{1}).

Pour tout p ≥ 0, nous posons

F_{p} = Hom_{C(𝔸,𝔸)}( ⨁_{0≤i<p}(S\overline{A})^{⊙i}, ḟ_{2}Bḟ_{1}) ⊕ Hom_{C(𝔸,𝔸)}( ⨁_{0≤j}(S\overline{A})^{⊙p} ⊙ (SA)^{⊙j}, ḟ_{2}Bḟ_{1}).

Nous avons clairement l’inclusion F_{i+1} ⊂ F_{i}, i ≥ 0. La limite inverse des F_{p}, p ≥ 0, est l’espace Hom_{Func_{∞}}(f_{1}, f_{2}) et F_{0} est l’espace Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}). Nous avons une injection d’espaces gradués

J_{p} : F_{p} ↪ Hom_{C(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1}), p ≥ 0.

Munissons Hom_{C(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1}) de la différentielle m_{1}^{Nunc_{∞}} et montrons qu’elle induit une différentielle sur F_{p}, p ≥ 1.

Soit p ≥ 1. Notons Q_{p} la projection sur le conoyau de J_{p}. Soit H ∈ Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) tel que Q_{p}(H) = 0. Cette condition est équivalente au fait que les morphismes h_{i}, i ≥ 0, (définis en 8.1.1.2) vérifient les équations

h_{i}((1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β}) ⊙ 1^{⊙γ}) = 0, α + 1 + β + γ = i, α + 1 + β ≤ p.

Nous déduisons de la description concrète (8.1.1.8) de l’élément m_{1}^{Nunc_{∞}}(H) que la composition de m_{1}^{Nunc_{∞}}(H) avec

((1^{⊙α} ⊙ η ⊙ 1^{⊙β}) ⊙ 1^{⊙γ}), α + 1 + β + γ = i, α + 1 + β ≤ p,

s’annule. Ceci montre que Q_{p}(m_{1}^{Nunc_{∞}}(H)) = 0. Nous en déduisons que la différentielle m_{1}^{Nunc_{∞}} induit une différentielle sur l’objet gradué F_{p}, p ≥ 1.

Montrons que le quotient de l’inclusion F_{p+1} ⊂ F_{p}, p ≥ 0, est contractile. Soit G_{p} le conoyau de cette inclusion. Il est isomorphe à

Hom_{C(𝔸,𝔸)}( ⨁_{0≤j}(Se)^{⊗p} ⊙ (SA)^{⊙j}, ḟ_{2}Bḟ_{1}) = Hom_{C(𝔸,𝔸)}((Se)^{⊙p} ⊙ T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1})

Soit H un élément de F_{i} de degré |H|. Nous déduisons de la description concrète (8.1.1.8) de m_{1}^{Nunc_{∞}}(H)(ϕ), où ϕ est un élément de (Se)^{⊙p} ⊙ T^{c}SA, l’égalité

m_{1}^{G_{p}}(H) = m_{1}^{F(A,B)}(H),

où F(A, B) est la catégorie munie des compositions naïves (8.1.1). Par définition, l’élément m_{1}^{F(A,B)}(H) est égal à

b^{B^{+}A} ∘ H − (−1)^{|H|}H ∘ m_{1}^{B}.

Comme l’A_{∞}-catégorie A est strictement unitaire, elle est H-unitaire (4.1.3.7). Sa construction bar est donc quasi-isomorphe à 0. Nous en déduisons que G_{p} est contractile.

Montrons que l’inclusion

J : Hom_{Func_{∞}}(f_{1}, f_{2}) ↪ Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2})

est un quasi-isomorphisme. Les complexes G_{p}, p ≥ 0, sont tous contractiles. Nous en déduisons que le conoyau de l’injection J_{p}, p ≥ 0, est isomorphe à

⨁_{0≤i≤p} G_{i}.

C’est un espace contractile. L’espace Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}) est donc isomorphe à

F_{p} ⊕ ⨁_{0≤i≤p} G_{i}, p ≥ 0.

Le conoyau de J est donc

∏_{0≤i} G_{i}.

Il est clairement contractile, d’où le résultat. □

Lemme 8.2.1.4 Soit A′ et B′ des A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹 et

g : A → A′ et g′ : B → B′

des A_{∞}-quasi-isomorphismes dans C(𝔸, 𝔸) et C(𝔹, 𝔹). Considèrons les comme des A_{∞}-foncteurs (5.1.2.7). Les A_{∞}-foncteurs

g^{∗} : Nunc_{∞}(A′, B) → Nunc_{∞}(A, B) et g′_{∗} : Nunc_{∞}(A, B) → Nunc_{∞}(A, B′)

induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes.

Nous déduisons de ce lemme et du lemme (8.2.1.3) le corollaire suivant :

Corollaire 8.2.1.5 Reprenons les hypothèses du lemme (8.2.1.4). Si les A_{∞}-catégories A, A′, B et B′ sont strictement unitaires et que les A_{∞}-morphismes g et g′ sont strictement unitaires, les A_{∞}-foncteurs restreints

Func_{∞}(A′, B) → Func_{∞}(A, B) et Func_{∞}(A, B) → Func_{∞}(A, B′)

induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes. □

Démonstration du lemme 8.2.1.4 : Par la proposition (6.1.3.4), il suffit de montrer que les A_{∞}-foncteurs induits par g et g′

F(A′, B) → F(A, B) et F(A, B) → F(A, B′),

où F(A′, B), F(A, B), F(A, B) et F(A, B′) sont les catégories munies des compositions naïves (voir 8.1.1), donnent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes. Les espaces de morphismes

Hom_{F(A,B)}(f_{1}, f_{2}) = Hom_{C(𝔸,𝔸)}(T^{c}SA, ḟ_{2}Bḟ_{1})

sont munies de la différentielle

δ : H ↦ m_{1}^{B} ∘ H − (−1)^{|H|}H ∘ b^{B^{+}A}.

Comme les morphismes g′_{1} : B → B′ et B^{+}g : B^{+}A → B^{+}A′ sont des quasi-isomorphismes, nous avons le résultat. □

Démonstration du théorème (8.2.1.2) :

Nous allons d’abord montrer que nous pouvons se ramener au cas où les A_{∞}-catégories strictement unitaires sont différentielles graduées unitaires, puis nous prouverons le résultat en utilisant des arguments d’algèbre homologique classique.

La proposition (7.5.0.2) nous donne des modèles différentiels gradués unitaires A′ et B′ munis d’A_{∞}-quasi-isomorphismes strictement unitaires

A → A′ et B → B′.

Le lemme 8.2.1.4 et son corollaire 8.2.1.5 nous donne un diagramme

\xymatrix{Func_{∞}(A, B) \ar[r]^{z} \ar[d] & C_{∞}(A, B) \ar[d] \\ Func_{∞}(A, B′) \ar[r]^{z} & C_{∞}(A, B′) \\ Func_{∞}(A′, B′) \ar[r]^{z} \ar[u] & C_{∞}(A′, B′) \ar[u]}

dont toutes les flèches verticales induisent des quasi-isomorphismes dans les espaces de morphismes. Ils nous suffit donc de montrer que

z : Func_{∞}(A, B) → C_{∞}(A, B)

est un quasi-isomorphismes dans le cas où A et B sont différentielles graduées unitaires. Le lemme (8.2.1.4) et la proposition (5.2.0.4) montrent qu’il est équivalent de montrer que

z : (Nunc_{∞}(A, B))_{u} → (N_{∞}(A, B))_{u}

est un quasi-isomorphisme. Soit f_{1} et f_{2} des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires A → B. Nous avons un isomorphisme

\xymatrix{Hom_{C(𝔸,𝔸)}(B^{+}A, ḟ_{2}Bḟ_{1}) \ar[r] & Hom_{A^{op}⊙A}(A ⊙ B^{+}A ⊙ A, ḟ_{2}Bḟ_{1}).}

Rappelons (7.4.0.1) que l’A_{∞}-foncteur de Yoneda

y : B → C_{∞}B

induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes. Nous avons donc un quasi-isomorphisme

Hom_{A^{op}⊙A}(A ⊙ B^{+}A ⊙ A, ḟ_{2}Bḟ_{1})

Hom_{A^{op}⊙A}(A ⊙ B^{+}A ⊙ A, Hom_{C_{∞}B}(y ∘ f_{1}, y ∘ f_{2})).

Notons RHom le foncteur dérivé à droite qui calcule les groupes Ext^{∗}. Le dernier terme ci-dessus se récrit

RHom_{A^{op}⊙A}(A, RHom_{B}(y ∘ f_{1}, y ∘ f_{2})).

Il est isomorphe à

RHom_{A^{op}⊙B}(y ∘ f_{1}, y ∘ f_{2})

qui est isomorphe à

Hom_{A^{op}⊙B}(A ⊙ T^{c}SA ⊙ S(y ∘ f_{1}) ⊙ T^{c}SB ⊙ B, S(y ∘ f_{2})) ≃
Hom_{C(𝔸,𝔹)}(T^{c}SA ⊙ S(y ∘ f_{1}) ⊙ T^{c}SB, S(y ∘ f_{2})) ≃
Hom_{(T^{c}SA)^{op}⊙(T^{c}SB)}(B(y ∘ f_{1}), B(y ∘ f_{2})).

Comme nous avons des égalités de A-B-bipolydules

y ∘ f = z(f), f ∈ Nunc_{∞}(A, B),

le lemme (8.2.1.1) montre que le dernier espace de morphismes ci-dessus est

Hom_{N_{∞}(A,B)}(z(f_{1}), z(f_{2})).

La composition de tous les (quasi-)isomorphismes ci-dessus étant le morphisme

z(f_{1}, f_{2}) : Hom_{Nunc_{∞}(A,B)}(f_{1}, f_{2}) → Hom_{N_{∞}(A,B)}(f_{1}, f_{2}),

nous avons le résultat. □

Remarque 8.2.1.6 Par construction, l’image de l’A_{∞}-foncteur z est formée des A-B-bipolydules qui sont de la forme

B(?, ḟ ), f ∈ Func_{∞}(A, B).

Ils sont libres en tant que B-polydules.

8.2.2 Equivalences faibles d’A_{∞}-foncteurs

Les équivalences faibles entre A_{∞}-foncteurs sont l’analogue A_{∞}-catégorique des homotopies entre A_{∞}-morphismes.

Définition 8.2.2.1 Soit A et B deux A_{∞}-catégories sur 𝔸 et 𝔹. Soit f et g deux A_{∞}-foncteurs A → B. Un élément H ∈ Z^{0}Hom_{Nunc_{∞}}(f, g) est une équivalence faible s’il devient un isomorphisme dans H^{0}Nunc_{∞}(A, B). Nous dirons alors que f et g sont faiblement équivalents et écrirons f ∼ g.

Remarque 8.2.2.2 Supposons que A et B sont strictement unitaires et f et g sont des A_{∞}- foncteurs strictement unitaires. D’après le lemme (8.2.1.3) f et g sont faiblement équivalents si et seulement si il existe un morphisme strictement unitaire H ∈ Z^{0}Hom_{Func_{∞}}(f_{1}, f_{2}) qui devient un isomorphisme dans H^{0}Func_{∞}(A, B).

Proposition 8.2.2.3 Soit A et B deux A_{∞}-catégories strictement unitaires sur 𝔸 et 𝔹. Soit f et g deux A_{∞}-foncteurs strictement unitaires A → B. Un élément H ∈ Z^{0}Hom_{Nunc_{∞}}(f, g) est une équivalence faible si et seulement si h_{0} : e_{𝔸} → Hom_{B}(ḟ?, ġ ) induit un isomorphisme de foncteurs H^{0}f → H^{0}g de H^{0}A dans H^{0}B.

Démonstration : D’après le théorème (8.2.1.2), nous avons un isomorphisme

H^{0}Func_{∞}(A, B) ⟶^{∼} H^{0}C_{∞}(A, B).

L’élément H est donc une équivalence faible si et seulement si le morphisme de A-B-bipolydules

z(H) : z(f) → z(g)

est une équivalence d’homotopie dans C_{∞}(A, B), c’est-à-dire (voir l’équivalence entre D2 et D3 dans 4.1.3.1) si et seulement si z(H) est un A_{∞}-quasi-isomorphisme de A-B-bipolydules. Par définition des A_{∞}-quasi-isomorphismes, ceci est équivalent au fait que le morphisme de C(𝔸, 𝔹)

S^{−1}(z(H))_{0,0} : B(?, f ) → B(?, g )

est un quasi-isomorphisme, c’est-à-dire qu’il devient un isomorphisme en cohomologie. Comme le foncteur de Yoneda au sens classique envoie la classe dans H^{∗}B de

h_{A} = h_{0}(I_{A}) : ḟA → ġA, A ∈ 𝔸,

sur

S^{−1}(z(H))_{0,0} : H^{∗}B(?, fA) → H^{∗}B(?, gA),

S^{−1}(z(H))_{0,0} est un quasi-isomorphisme si et seulement si h_{A} induit un isomorphisme dans H^{∗}B, ou de manière équivalente dans H^{0}B. □

192  Chapitre 8 : L’A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs

Les A_{∞}-équivalences

Ce chapitre est divisé en deux parties. Dans la section 9.1, nous définissons l’A_{∞}-isomorphie dans une A_{∞}-catégorie A et nous montrerons que cette notion est un relèvement A_{∞}-catégorique de l’isomorphie dans H^{0}A au sens classique. Dans la section 9.2, nous définissons les A_{∞}-équivalences et nous montrons qu’un A_{∞}-foncteur f est une A_{∞}-équivalence si et seulement si f_{1} est un quasiisomorphisme et H^{0}f_{1} : H^{0}A → H^{0}B est une équivalence de catégories au sens classique. Cette caractérisation des A_{∞}-équivalences a été énoncée par M. Kontsevich [Kon98]. K. Fukaya l’a démontré de manière indépendante [Fuk01b, thm. 8.6], ainsi que V. Lyubashenko [Lyu02].

9.1 L’A_{∞}-isomorphie

Soit 𝕆 un ensemble. Considèrons comme une catégorie de la manière suivante : les objets sont en bijection avec 𝕆 et, pour i, j ∈ O, l’espace de morphismes Hom_{𝕆}(i, j) contient un unique élément noté (i, j). La composition est alors nécessairement donnée par

(j, k) ∘ (i, j) = (i, k), i, j, k ∈ 𝕆.

En particulier, l’identité de i ∈ 𝕆 est le morphisme (i, i) et tous les morphismes (i, j) sont des isomorphismes.

Définition 9.1.0.1 Soit n ≥ 1. Considèrons l’ensemble à n éléments {1, …, n}. Soit I_{n} la 𝕂catégorie engendrée par la catégorie {1, …, n}.

Remarque 9.1.0.2 Soit n ≥ 2. Soit A une 𝕂-catégorie et des objets A_{i} ∈ Obj A, 1 ≤ i ≤ n. Ils sont isomorphes si et seulement si il existe un foncteur

f : I_{n} → A

qui envoie i sur A_{i}. Nous disons alors que f est un foncteur d’isomorphie pour les objets A_{i} ∈ Obj A, 1 ≤ i ≤ n.

Définition 9.1.0.3 Soit n ≥ 2. Soit A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire sur 𝔸 et des objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n. Les objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n, sont A_{∞}-isomorphes s’il existe un A_{∞}-foncteur strictement unitaire

f : I_{n} → A

194  Chapitre 9 : Les A_{∞}-équivalences

qui envoie i sur A_{i}. Nous disons alors que f est un A_{∞}-foncteur d’A_{∞}-isomorphie pour les objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n.

Nous prouvons maintenant un lemme énonçé dans [Kon98] :

Lemme 9.1.0.4 Soit A une A_{∞}-catégorie strictement unitaire. Soit n ≥ 1. Des objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n, sont A_{∞}-isomorphes dans A si et seulement ils sont isomorphes dans H^{0}A.

Démonstration : Comme A est strictement unitaire, il existe (3.2.4.1) un modèle minimal strictement unitaire H^{∗}A pour A et des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires (3.2.4.2)

i : H^{∗}A → A et q : A → H^{∗}A.

Nous en déduisons que des objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n, sont A_{∞}-isomorphes dans A si et seulement si ils sont A_{∞}-isomorphes dans H^{∗}A. Nous pouvons donc supposer que l’A_{∞}-catégorie A est minimale.

Soit A une A_{∞}-catégorie minimale. Montrons que l’A_{∞}-isomorphie dans A entraine l’isomorphie dans H^{0}A. Soit f : I_{n} → A un A_{∞}-foncteur d’A_{∞}-isomorphie pour A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n. Comme les A_{∞}-catégories I_{n} et A sont minimales, f_{0} : I_{n} → A^{0} = H^{0}A définit un foncteur d’isomorphie pour les objets A_{i} ∈ 𝔸, 1 ≤ i ≤ n.

Montrons que l’isomorphie dans H^{0}A implique l’A_{∞}-isomorphie dans A. Soit g : I_{n} → H^{0}A un foncteur d’isomorphie pour les objets A_{i} ∈ Obj H^{0}A, 1 ≤ i ≤ n. Nous cherchons un A_{∞}-foncteur strictement unitaire

f : I_{n} → A

tel que f_{1} = i∘g, où i est l’inclusion A^{0} ↪ A. D’après le théorème (3.2.2.1), il suffit de construire un A_{∞}-foncteur f′ (non nécessairement strictement unitaire) tel que f′_{1} = f_{1}. Nous allons construire les f′_{r}, r ≥ 2, par récurrence sur r. Supposons donné des morphismes gradués f′_{i}, 1 ≤ i ≤ r, de degré 1 − i, définissant un A_{r}-foncteur I_{n} → A. Soit f′_{r+1} un morphisme de degré −r. Le lemme (B.4.2) affirme que la suite des f′_{i}, 1 ≤ i ≤ r + 1, définit un A_{r+1}-foncteur si nous avons l’égalité

δ_{Hoch}(f′_{r+1}) = −r(f′_{2}, …, f′_{r})

où r(f′_{2}, …, f′_{r}) est un certain cycle du complexe de Hochschild C^{∗}(I_{n}, ḟ′Aḟ′). Comme la catégorie I_{n} est équivalente à la catégorie triviale I_{1}, le complexe de Hochschild C^{∗}(I_{n}, ḟAḟ) est acyclique. Il existe donc un morphisme f′_{r+1} tel que les morphismes gradués f′_{i}, 1 ≤ i ≤ r + 1, définissent un A_{r+1}-foncteur I_{n} → A. □

9.2 La caractérisation des A_{∞}-équivalences

Définition 9.2.0.1 Deux A_{∞}-catégories strictement unitaires A et B sur 𝔸 et 𝔹 sont A_{∞}-équivalentes s’il existe des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires

f : A → B et g : B → A

tels que f ∘ g et 1_{B} sont A_{∞}-isomorphes dans Func_{∞}(B, B) et g ∘ f et 1_{A} sont A_{∞}-isomorphes dans Func_{∞}(A, A). Nous dirons alors que f (ou g) est une A_{∞}-équivalence entre A et B.

9.2 : La caractérisation des A_{∞}-équivalences  195

Définition 9.2.0.2 Soit A et B deux catégories différentielles graduée unitaires sur 𝔸 et 𝔹. Elles sont équivalentes (au sens classique) s’il existe des foncteurs

f : A → B et g : B → A

et des isomorphismes des foncteurs

μ : f ∘ g → 1_{B} et ν : g ∘ f → 1_{A}.

Nous dirons alors que f (ou g) est une équivalence entre A et B.

Remarque 9.2.0.3 Soit A et B deux catégories différentielles graduée unitaires sur 𝔸 et 𝔹. Supposons qu’elles sont équivalentes. Soit f une équivalence entre A et B. Soit g, μ et ν comme dans la définition (9.2.0.2). L’élément H ∈ Hom_{Func_{∞}}(f ∘ g, 1_{B}) (resp. H′ ∈ Hom_{Func_{∞}}(g ∘ f, 1_{A})) défini par

h_{0} = μ, h_{i} = 0, i ≥ 1, (resp. h′_{0} = μ, h′_{i} = 0, i ≥ 1)

est un cycle dans Func_{∞}(B, B) (resp. dans Func_{∞}(A, A)). Il induit un isomorphisme dans H^{0}Func_{∞}(B, B) (resp. H^{0}Func_{∞}(A, A)). Ceci montre que A et B sont A_{∞}-équivalentes en tant que A_{∞}-catégories.

L’énoncé du théorème suivant est du à M. Kontsevich [Kon98].

Théorème 9.2.0.4 (Voir aussi K. Fukaya [Fuk01b] et V. Lyubashenko [Lyu02]) Soit A et B deux A_{∞}-catégories strictement unitaires sur 𝔸 et 𝔹 et f : A → B un A_{∞}-foncteur strictement unitaire. Les énoncés suivants sont équivalents :

a. f est une A_{∞}-équivalence.

b. f_{1} induit une équivalence H^{∗}A → H^{∗}B, où H^{∗}A et H^{∗}B sont la cohomologie de A et B considérées comme 𝕂-catégories graduées.

c. f_{1} est un quasi-isomorphisme et induit une équivalence H^{0}A → H^{0}B.

Démonstration :

a ⇒ b : Supposons que f est une A_{∞}-équivalence. Soit g : B → A vérifiant les conditions de la définition (9.2.0.1). D’après le lemme (9.1.0.4), l’A_{∞}-isomorphie dans Func_{∞}(B, B) (resp. dans Func_{∞}(A, A)) est équivalente à l’isomorphie dans H^{0}Func_{∞}(B, B) (resp. dans H^{0}Func_{∞}(A, A)). Comme f ∘ g et 1_{B} sont isormorphes dans H^{0}Func_{∞}(A, A), il existe donc un élément

H ∈ Z^{0}Hom_{Func_{∞}}(g ∘ f, 1_{B})

induisant un isomorphisme dans H^{0}Func_{∞}(B, B). D’après la proposition (8.2.2.3), le morphisme h_{0} induit un isomorphisme de foncteurs

H^{0}(h_{0}) : H^{∗}(g_{1} ∘ f_{1}) → H^{∗}1_{B}.

L’isomorphisme de foncteurs entre H^{∗}(f_{1} ∘ g_{1}) et 1_{H^{∗}A} est construit de la même manière.

b ⇒ c : C’est clair.

c ⇒ a : Nous allons montrer cette implication dans deux cas particuliers puis nous montrerons que cela implique le cas général.

Premier cas : l’application ḟ : 𝔸 → 𝔹 est une bijection. Nous pouvons considérer que 𝔸 est égal à 𝔹 et que ḟ est l’identité de 𝔸. L’A_{∞}-foncteur f est ainsi (5.1.2.7) un A_{∞}-morphisme dans la catégorie C(𝔸, 𝔸). D’après le point b du corollaire (1.3.1.3), il existe un A_{∞}-morphisme g : B → A et des homotopies h et h′ de f ∘ g vers 1_{B} et de g ∘ f vers 1_{A}. Grâce à la proposition (3.2.4.3), nous pouvons supposer que l’A_{∞}-morphisme g et les homotopies h et h′ sont strictement unitaires. Soit H l’élément de Hom_{Func_{∞}}(f ∘ g, 1_{B}) donné (voir 8.1.1.2) par les morphismes h_{i}, i ≥ 1, et h_{A} = 1_{A}, A ∈ 𝔸. Posons Z = m_{1}^{Func_{∞}}(H). Il est donné par des morphismes z_{i}, i ≥ 0. Montrons que H est un cycle dans Hom_{Func_{∞}}(A, B). Le morphisme z_{0} est clairement nul. Pour n ≥ 1, nous vérifions (en utilisant le fait que f ∘ g, 1_{B} et h sont strictement unitaires) que

z_{n} = (f ∘ g)_{n} − (1_{B})_{n}
− ∑(−1)^{s}m_{r+1+t}((f ∘ g)_{i_{1}} ⊗ … ⊗ (f ∘ g)_{i_{r}} ⊗ h_{k} ⊗ (1_{B})_{j_{1}} ⊗ … ⊗ (1_{B})_{i_{t}})
− ∑(−1)^{jk+l}h_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}).

où s est le signe intervenant dans l’équation (∗∗∗_{n}) de (1.2.1.7). Comme h est une homotopie entre f ∘ g et 1_{B}, le terme de droite est nul. Ceci montre que H est un cycle de Hom_{Func_{∞}}(f ∘ g, 1_{B}). Le morphisme h_{A}, A ∈ 𝔸 valant 1_{A}, la proposition (8.2.2.3) implique que H induit un isomorphisme dans H^{0}Func_{∞}(B, B). Nous en déduisons (9.1.0.4) que les A_{∞}-foncteurs 1_{B} et f ∘ g sont A_{∞}- isomorphes dans Func_{∞}(B, B). L’A_{∞}-isomorphie entre g ∘ f et 1_{A} se montre de la même manière.

Remarque 9.2.0.5 En particulier, ceci implique qu’une A_{∞}-catégorie strictement unitaire A est A_{∞}-équivalente à son modèle minimal (3.2.4.1) et à tout ses modèles différentiels gradués (7.5.0.2).

Deuxième cas : f est une inclusion A ↪ B où A est une sous-A_{∞}-catégorie pleine de B. Grâce à la remarque précédente, Nous pouvons supposer que B est différentielle graduée. Comme H^{0}f : H^{0}A → H^{0}B est une équivalence, il suffit de montrer le théorème dans le cas suivant : Choisissons dans chaque classe d’isomorphie [B] de B un représentant B_{0}. Soit 𝔸 l’ensemble de ces réprésentants. Nous posons A égale à la sous-catégorie pleine de B formée des objets A ∈ 𝔸. Soit

r : 𝔹 → 𝔸, B ↦ r(B) = B_{0}.

Soit A′ la catégorie différentielle graduée _{r}A_{r} sur 𝔹 (voir 5.1.2.4). Nous avons alors les égalités

A′(B, B′) = A(B_{0}, B′_{0}) = B(B_{0}, B′_{0})

et les catégories différentielles graduées A et A′ sont équivalentes au sens classique. Ils nous suffit donc de montrer que A′ et B sont A_{∞}-équivalentes. Soit i : A → A′ l’inclusion. Nous allons construire une A_{∞}-équivalence

g : A′ → B

tel que f = g ∘ i.

Construction de g : Posons ġ = 1_{𝔹}. L’A_{∞}-foncteur g est donc donné par un A_{∞}-morphisme A′ → B dans C(𝔹, 𝔹). Par hypothèse, tout élément B ∈ 𝔹 est A_{∞}-isomorphe à r(B). Pour chaque B ∈ 𝔹, choisissons un élément α_{B} de B(r(B), B) qui devient un isomorphisme dans H^{0}B(r(B), B). Considérons le diagramme de 𝔹-𝔹-bimodules différentiels gradués

(I) \xymatrix{ & B( ,?) \ar[d]^{α^{∗}} \\ A′( ,?) = B(r( ), r(?)) \ar[r]_{α_{∗}} & B(r( ),?).}

L’A_{∞}-foncteur de Yoneda y : B → C_{∞}B (7.1.0.1) envoie le diagramme (I) sur un diagramme quasi-isomorphe de 𝔹-𝔹-bimodules

(I′) \xymatrix{ & C_{∞}B(y , y?) \ar[d]^{(yα)^{∗}} \\ C_{∞}B(yr( ), yr(?)) \ar[r]_{(yα)_{∗}} & C_{∞}B(yr( ), y?).}

Pour chaque B ∈ 𝔹, le morphisme α_{B} devient un isomorphisme dans H^{0}B. Comme le foncteur de Yoneda induit un quasi-isomorphisme dans les espaces de morphismes (7.4.0.1), il induit un isomorphisme H^{0}B → H^{0}C_{∞}B. Nous en déduisons que le morphisme yα_{B} est une équivalence d’homotopie dans C_{∞}B. D’après l’équivalence entre les catégories de D3 et D4 (4.1.3.1), il est un quasi-isomorphisme. Ceci implique que les flèches du diagramme (I′) sont des quasi-isomorphismes. La catégorie B étant différentielle graduée, les B-bipolydules y(B), B ∈ 𝔹, sont des B-modules différentiels gradués et le morphisme yα_{B} : y(r(B)) → y(B) est un morphisme de B-modules différentiels gradués. L’axiome (CM5) de la catégorie Mod B nous donne une factorisation de yα_{B} en une cofibration triviale et une fibration triviale

[figure: yr(B); i_{B}; m(B); p_{B}; yB.]

Grâce à l’axiome (CM4) de la catégorie Mod B, il existe un quasi-isomorphisme σ_{B} tel que p_{B}∘σ_{B} = 1_{yB}. Le morphisme

C_{∞}B(y , y?) → C_{∞}B(m , m?), x ↦ σ ∘ x ∘ p,

est un quasi-isomorphisme d’algèbres différentielles graduées. Le diagramme

(I′′) \xymatrix{ & C_{∞}B(m , m?) \ar@{->>}[d]^{i^{∗}} \\ C_{∞}B(yr( ), yr(?)) \ar[r]_{(yα)_{∗}} & C_{∞}B(yr( ), y?)}

est ainsi quasi-isomorphe à (I′). Les cofibrations étant des monomorphismes, la flêche verticale du diagramme (I′′) est une surjection. Nous en déduisons que les projections canoniques

C_{∞}B(yr( ), yr(?)) ← P → C_{∞}B(m , m?),

où P est le produit fibré au-dessus du diagramme (I′′) sont des quasi-isomorphismes. Comme C_{∞}B(yr( ), yr(?)) et C_{∞}B(m , m?) sont des algèbres différentielles graduées unitaires, P est une algèbre différentielle graduée unitaire et les projections canoniques ci-dessus sont des morphismes d’algèbres différentielles graduées unitaires. Nous avons ainsi construit une suite de quasiisomorphisme d’algèbres différentielles graduées unitaires dans C(𝔹, 𝔹)

A′ → C_{∞}B(yr( ), yr(?)) ← P → C_{∞}B(m , m?) ← C_{∞}B(y , y?) ← B.

Les quasi-isomorphismes d’algèbres étant inversibles à homotopie près dans la catégorie Alg_{∞}, nous obtenons un A_{∞}-quasi-isomorphisme homologiquement unitaire

g′ : A′ → B.

D’après la proposition 3.2.4.3, il existe un A_{∞}-morphisme strictement unitaire g homotope à g′. En particulier, g est un A_{∞}-quasi-isomorphisme. C’est une A_{∞}-équivalence (voir le premier cas.)

Le cas général : Soit A et B deux A_{∞}-catégories strictement unitaires sur 𝔸 et 𝔹 et f un A_{∞}- foncteur tel que f_{1} est un quasi-isomorphisme et induit une équivalence H^{0}A → H^{0}B. Choisissons dans chaque classe d’A_{∞}-isomorphie [A] de A un représentant A_{0} et notons B_{0} son image par ḟ. Comme H^{0}f : H^{0}A → H^{0}B est une équivalence, nous déduisons du lemme (9.1.0.4) que toute classe d’A_{∞}-isomorphie [B] dans B admet un unique représentant parmi les B_{0}. Notons A′ (resp. B′) la sous-catégorie pleine de A (resp. B) formée des A_{0} (resp. des B_{0}). L’inclusion

A′ → A (resp. B′ → B)

est une A_{∞}-équivalence (voir le deuxième cas). Pour montrer que f est une A_{∞}-équivalence, il suffit donc de montrer que le foncteur

f′ : A′ → B′

induit par l’A_{∞}-foncteur f est une A_{∞}-équivalence. Son application sous-jacente ḟ′ est une bijection et f′_{1} est un quasi-isomorphisme. Nous sommes donc dans le premier cas et f′ est une A_{∞}-équivalence. □

Chapitre A

Catégories de modèles

Dans cet appendice, nous rappelons la définition, due à D. Quillen [Qui67], d’une catégorie de modèles (fermée), quelques notions fondamentales (objets fibrants, cofibrants, homotopies, foncteurs de Quillen) et quelques énoncés-clés. Nous rappelons ensuite les exemples dont nous avons besoin dans ce manuscrit. Nous renvoyons au livre de M. Hovey [Hov99] et à l’article de W. Dwyer et J. Spalinski [DS95] pour plus de détails.

Définitions et propositions

Définition A.6 Soit E une catégorie. Un relèvement (de g relatif à f) dans le diagramme

(1) \xymatrix{A \ar[d]_{i} \ar[r]^{f} & B \ar[d]^{p} \\ C \ar[r]_{g} & D}

est un morphisme α : C → B tel que les deux triangles du diagramme

\xymatrix{A \ar[d]_{i} \ar[r]^{f} & B \ar[d]^{p} \\ C \ar[r]_{g} \ar@{.>}[ur]^{α} & D}

sont commutatifs. Soit i et p deux morphismes dans E. Nous dirons que p a la propriété de relèvement à droite par rapport à i et que i a la propriété de relèvement à gauche par rapport à p si tout diagramme de la forme (1) admet un relèvement α.

Soit f : X → X′ et g : Y → Y′ deux morphismes. Le morphisme f est un rétract de g s’il existe un diagramme commutatif

\xymatrix{X \ar[d]_{f} \ar[r] & Y \ar[d]_{g} \ar[r] & X \ar[d]^{f} \\ X′ \ar[r] & Y′ \ar[r] & X′}

tel que les compositions horizontales sont l’identité de X et l’identité de X′.

Définition A.7 Une catégorie de modèles est un quadruplet

(E, Eq, Fib, Cof),

où

- E est une catégorie,

- Eq est une classe de morphismes appelés équivalences faibles,

- Fib est une classe de morphismes appelés fibrations (elles sont représentées par des flèches à double tête ↠),

- Cof est une classe de morphismes appelés cofibrations (elles sont représentées par des flèches avec une queue ↣),

tel que les axiomes (CM1) – (CM5) ci-dessous sont vérifiés. Un morphisme appartenant à Eq ∩ Cof sera appelé une cofibration triviale et un morphisme de Eq ∩ Fib sera appelé une fibration triviale . (CM1) La catégorie E admet toutes les limites finies et toutes les colimites finies. (CM2) La classe des équivalences faibles est saturée , i.e. si deux morphismes parmi f, g, fg sont

des équivalences faibles, le troisième l’est aussi. (CM3) Les trois classes de morphismes sont stables par rétracts. (CM4) relèvement :

a. Les cofibrations ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux fibrations triviales, b. Les fibrations ont la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales.

(CM5) factorisation :

a. Tout morphisme f : A → B se factorise en f = pi où i : A ↣ A′ est une cofibration triviale et p : A′ ↠ B est une fibration. b. Tout morphisme f : A → B se factorise en f = pi où i : A ↣ B′ est une cofibration et p : B′ ↠ B est une fibration triviale.

Remarque A.8 Nous nous conformons à la terminologie de [DS95] en appelant “catégorie de modèles” ce que Quillen [Qui67], [Qui69] appelle “catégorie de modèles fermée”. Notons que les axiomes sont auto-duaux.

Soit (E, Eq, Fib, Cof) une catégorie de modèles. On a les propriétés suivantes :

- La catégorie E a un objet initial ∅ et un objet final ∗.

- Les fibrations sont exactement les morphismes ayant la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations triviales.

- Les fibrations triviales sont exactement les morphismes ayant la propriété de relèvement à droite par rapport aux cofibrations.

- Les cofibrations ont les propriétés de relèvement duales.

\underline{201}

Définition A.9 Soit X un objet de E. Un cylindre pour X est un objet X ∧I muni de morphismes i : X ∐ X → X ∧ I et p : X ∧ I → X tels que 1. le morphisme p est une équivalence faible,

2. la composition p ∘ i : X ∐ X → X ∧ I → X est le morphisme

[1, 1] : X ∐ X → X.

Soit X ∧ I un cylindre pour X. Deux morphismes f, g : X → Y de E sont X ∧ I-homotopes à gauche si le morphisme [f, g] : X ∐ X → Y se factorise en

X ∐ X ⟶^{i} X ∧ I ⟶^{H} Y

pour un morphisme H. Un tel morphisme H est appelé une X ∧ I-homotopie à gauche de f à g. Les morphismes f et g sont homotopes à gauche s’ils sont X ∧ I-homotopes pour un cylindre X ∧ I pour X. Nous écrirons alors

f ∼_{l} g.

La définition d’un objet de chemins pour X est duale de celle d’un cylindre pour X. La notion d’homotopie à droite (notée ∼_{r}) est duale de celle d’homotopie à gauche.

Définition A.10 Un objet X de E est cofibrant si le morphisme ∅ → X est une cofibration. Il est fibrant si le morphisme X → ∗ est une fibration. La sous-catégorie pleine des objets fibrants est notée E_{f}, celle des objets cofibrants E_{c} et celle des objets fibrants et cofibrants est notée E_{cf}.

Définition A.11 Soit X un objet de E. Une résolution cofibrante de X est une fibration triviale X_{c} ↠ X, où X_{c} est cofibrant. Une résolution fibrante de X est une cofibration triviale Y ↣ X_{f}, où X_{f} est fibrant.

Il résulte de l’axiome (CM5) que tout objet admet une résolution cofibrante et une résolution fibrante.

Lemme A.12 Soit X un objet cofibrant et Y un objet fibrant.

a. La relation de X ∧I-homotopie à gauche ne dépend pas du choix du cylindre X ∧I. De même, la relation de P Y -homotopie à droite ne dépend pas du choix de l’objet de chemins P Y.

b. Les relations d’homotopie à gauche et d’homotopie à droite coïncident sur E(X, Y). On définit la relation d’homotopie ∼ comme égale à ces deux relations.

c. La relation d’homotopie est une relation d’équivalence sur E(X, Y).

d. Soit X′ un objet cofibrant et Y′ un objet fibrant. La relation f ∼ g implique fh ∼ gh et h′f ∼ h′g quels que soient les morphismes

h : X′ → X et h′ : Y → Y′.
□

Le quotient E_{cf}/ ∼ est donc une catégorie. On définit la catégorie homotopique Ho E comme la localisation E[Eq^{−1}] de E par rapport à la classe des équivalences faibles (voir [GZ67, I.1]).

Proposition A.13 a. L’inclusion E_{cf} → E induit une équivalence

E_{cf}/ ∼ ⟶ Ho E.

b. Soit X et Y deux objets de E. Soit X_{c} ↠ X une résolution cofibrante de X et Y ↣ Y_{f} une résolution fibrante de Y. On a une bijection canonique

Ho E (X, Y) ≃ E (X_{c}, Y_{f})/ ∼ .
□

Equivalence de Quillen

Définition A.14 Soit E et F deux catégories de modèles. Un foncteur G : E → F est un foncteur de Quillen à gauche s’il admet un adjoint à droite et s’il préserve les cofibrations et les cofibrations triviales. Un foncteur D : F → E est un foncteur de Quillen à droite s’il admet un adjoint à gauche et s’il préserve les fibrations et les fibrations triviales. Soit une paire de foncteurs adjoints (G, D, ϕ), c’est-à-dire que G est adjoint à gauche à D et que ϕ est une bijection fonctorielle

Hom_{F}(GX, Y) ⟶^{∼} Hom_{E}(X, DY).

On dira qu’elle est une adjonction de Quillen si G est un foncteur de Quillen à gauche. (Ceci implique que D est un foncteur de Quillen à droite.) Une adjonction de Quillen est une équivalence de Quillen si, pour tout objet cofibrant X de E et tout objet fibrant Y de F, un morphisme f : GX → Y est une équivalence faible si et seulement si ϕf : X → DY est une équivalence faible. Nous renvoyons à [DS95, Sect. 9] pour les détails de la définition suivante.

Définition A.15 Soit G un foncteur de Quillen à gauche. Le foncteur dérivé à gauche de G est le foncteur

LG : Ho E ⟶ Ho F

qui envoie un objet X de E sur GX_{c}, où X_{c} ↠ X est une résolution cofibrante de X. Soit D un foncteur de Quillen à droite. Le foncteur dérivé à droite de D est le foncteur

RD : Ho F ⟶ Ho E

qui envoie un objet Y de F sur GY_{f}, où Y ↣ Y_{f} est une résolution fibrante de Y.

Remarque A.16 Notons que si un foncteur G (resp. D) comme dans la définition préserve les équivalences faibles, alors il induit un foncteur entre les catégories homotopiques, et LG (resp. RD) est canoniquement isomorphe à ce foncteur induit.

Proposition A.17 Soit (G, D, ϕ) une adjonction de Quillen de E dans F. Les propositions suivantes sont équivalentes

a. (G, D, ϕ) est une équivalence de Quillen.

b. Les foncteurs LG et RD sont des équivalences inverses l’une de l’autre entre Ho E et Ho F.

Exemples de catégories de modèles

Exemple A.18 (Complexes de C) Soit C la catégorie de base (1.1.1). La catégorie CC de (1.1.1) admet une structure de catégorie de modèles telle que - la classe des équivalences faibles est la classe Qis des quasi-isomorphismes (notons que ce

sont exactement les morphismes qui sont inversibles à homotopie près),

- les fibrations sont les épimorphismes (c’est-à-dire, les morphismes dont les composantes sont des épimorphismes),

- les cofibrations sont les monomorphismes (c’est-à-dire, les morphismes dont les composantes sont des monomorphismes).

Tous les complexes sont fibrants et cofibrants pour cette structure. La catégorie homotopique associée est HC.

Exemple A.19 (Complexes de chaînes non bornés) Soit R un anneau. Soit CR la catégorie des complexes de chaînes

⋯ → M^{p−1} → M^{p} → M^{p+1} → ⋯, p ∈ Z,

de R-modules à droite. Les trois classes de morphismes suivantes définissent une structure de catégorie de modèles sur CR (voir [Hov99, Chap. 2]).

- Les équivalences faibles sont les quasi-isomorphismes.

- Les fibrations sont les morphismes f : X → Y tels que f^{n} est surjectif pour tout n ∈ Z.

- Les cofibrations sont les morphismes qui ont la propriété de relèvement à gauche par rapport aux fibrations triviales.

Tous les complexes sont fibrants pour cette structure. Si un complexe X est cofibrant, alors toutes ses composantes X^{n}, n ∈ Z, sont projectives. La réciproque est fausse. Cependant, si on suppose que le complexe X est borné à droite et que ses composantes sont toutes projectives, alors il est cofibrant.

204  Chapitre A : Catégories de modèles

Chapter B

Théorie de l’obstruction

B.1 Théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-algèbres

Nous étudions la théorie de l’obstruction des A_{∞}-algèbres. Soit C une catégorie de base telle que dans le chapitre 1. (A, m_{1}, …, m_{n}) une A_{n}-algèbre. Il s’agit de mesurer l’obstruction à l’existence d’un morphisme m_{n+1} : A^{⊗n+1} → A tel que (A, m_{1}, …, m_{n+1}) soit une A_{n+1}-algèbre (B.1.2). Soit A et A′ deux A_{n+1}-algèbres. Soit une famille de morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → B, 1 ≤ i ≤ n,

définissant un A_{n}-morphisme A → A′. Nous mesurons ensuite l’obstruction à l’existence d’un morphisme f_{n+1} : A^{⊗n+1} → A′ tel que les f_{i}, 1 ≤ i ≤ n + 1, définissent un A_{n+1}-morphisme A → A′ (B.1.5). Nous montrerons que cette obstruction est fonctorielle par rapport aux A_{n+1}- morphismes stricts (B.1.6).

L’étude des obstructions est un outil classique, voir par exemple T. Kadeishvili [Kad80], A. Prouté [Pro85]. Elle doit son existence au fait que l’opérade des A_{∞}-algèbres est un modèle cofibrant minimal au sens de M. Markl [Mar96] pour l’opérade des algèbres associatives. Nous n’adoptons pas ici ce point de vue lui préférant une approche naïve.

Les A_{∞}-algèbres

Soit V un objet gradué. Soit des morphismes gradués

b_{i} : V^{⊗i} → V, 1 ≤ i ≤ n + 1,

de degré +1. Notons b la codérivation de \overline{T_{[n+1]}^{c}}V donnée par la suite

(b_{1}, …, b_{n}, b_{n+1}).

Posons

c(b_{2}, …, b_{n}) = ∑_{2≤i≤n} b_{i}(1^{⊗j} ⊗ b_{k} ⊗ 1^{⊗l})

où les entiers j, k, l vérifient j + k + l = n + 1 et j + 1 + l = i. Rappelons que i_{1} et p_{n+1} désignent les morphismes canoniques

V ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}V  et  \overline{T_{[n+1]}^{c}}V ⟶ V^{⊗n+1}.

Lemme B.1.1 Supposons que la codérivation de la cogèbre \overline{T_{[n]}^{c}}V donnée par la suite

(b_{1}, …, b_{n})

est une différentielle.

a. La codérivation

b^{2} : \overline{T_{[n+1]}^{c}}V ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}V

est égale à i_{1} ∘ ζ ∘ p_{n+1}, où ζ : V^{⊗n+1} → V est donné par

ζ = b_{1}b_{n+1} + b_{n+1}b_{1} + c(b_{2}, …, b_{n});

ici la dernière occurrence de b_{1} désigne la différentielle de (V, b_{1})^{⊗n+1}.

b. Le morphisme gradué c(b_{2}, …, b_{n}) est un cycle de

(Hom_{GrC}(V^{⊗n+1}, V), δ),

où la différentielle δ est induite par celle du complexe (V, b_{1}).

En particulier, la codérivation b est une différentielle si et seulement si le cycle c(b_{2}, …, b_{n}) est égal au bord −δ(b_{n+1}).

Démonstration : a. Notre hypothèse implique que le carré b^{2} se factorise par p_{n+1}. L’image de la comultiplication Δ est incluse dans

\overline{T_{[n]}^{c}}V ⊗ \overline{T_{[n]}^{c}}V ⊂ \overline{T_{[n+1]}^{c}}V ⊗ \overline{T_{[n+1]}^{c}}V.

On a donc l’égalité

Δb^{2} = (1 ⊗ b^{2} + b^{2} ⊗ 1)Δ = 0.

On en déduit que l’image de b^{2} est incluse dans ker Δ = V. Ceci nous donne la factorisation par i_{1}. Un calcul direct nous donne la formule pour ζ.

b. D’après le premier point, on a

b_{1} ∘ b^{2} = b ∘ b^{2} = b^{2} ∘ b = b^{2} ∘ b_{1},

où la dernière occurrence de b_{1} désigne la différentielle de (V, b_{1})^{⊗n+1}. Ceci montre que ζ est un cycle dans le complexe

(Hom_{GrC}(V^{⊗n+1}, V), δ).

Comme nous avons

ζ = δ(b_{n+1}) + c(b_{2}, …, b_{n})

il en est de même pour c(b_{2}, …, b_{n}). □

Corollaire B.1.2 Soit (A, m_{1}) un complexe. Soit des morphismes gradués

m_{i} : A^{⊗i} → A, 2 ≤ i ≤ n + 1

B.1 : Théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-algèbres  207

de degré 2−i. Supposons que les morphismes m_{i}, 1 ≤ i ≤ n, définissent une structure de A_{n}-algèbre sur A. La sous-expression

∑_{i,k≠1}(−1)^{jk+l}m_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l})

de l’équation (∗_{n+1}) de (1.2.1.1) définit un cycle de (Hom_{GrC}(A^{⊗n+1}, A), δ). Nous le notons r(m_{2}, …, m_{n}). L’équation (∗_{n+1}) se récrit alors

r(m_{2}, …, m_{n}) + δ(m_{n+1}) = 0.

Démonstration : Nous appliquons le lemme précédent à l’espace gradué V = SA et aux morphismes gradués b_{i} définis à l’aide des bijections b_{i} ↔ m_{i}. Ces mêmes bijections envoient le morphisme r(m_{2}, …, m_{n}) sur le morphisme c(b_{2}, …, b_{n}) et le morphisme δ(m_{n+1}) sur δ(b_{n+1}). □

Les A_{∞}-morphismes d’A_{∞}-algèbres

Les lemmes suivant se montrent de manière similaire.

Soit V et W deux objets gradués. Soit b et b′ des différentielles de cogèbres sur les cogèbres \overline{T_{[n+1]}^{c}}V et \overline{T_{[n+1]}^{c}}W. Soit une famille de morphismes gradués

F_{i} : V^{⊗i} → W, 1 ≤ i ≤ n + 1,

de degré 0. Soit F le morphisme de cogèbres

\overline{T_{[n+1]}^{c}}V ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}W

qui relève les F_{i}. Posons

c(F_{1}, …, F_{n}) = ∑_{k≥2} F_{i}(1^{⊗j} ⊗ b_{k} ⊗ 1^{⊗l}) − ∑_{r≥2} b′_{r}(F_{i_{1}} ⊗ … ⊗ F_{i_{r}}),

où les entiers j, k, l de la somme de gauche vérifient j + k + l = n + 1 et j + 1 + l = i, et où la somme des entiers i_{r} de la somme de droite vaut n + 1.

Lemme B.1.3 Supposons que le morphisme

F_{[n]} : \overline{T_{[n]}^{c}}V → \overline{T_{[n]}^{c}}W

induit par F dans les n-primitifs est compatible aux différentielles.

a. La (F, F)-codérivation

b′F − F b : \overline{T_{[n+1]}^{c}}V ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}W

est égale à i_{1} ∘ ζ ∘ p_{n+1}, où ζ : V^{⊗n+1} → W est donné par

ζ = b_{1}F_{n+1} + F_{n+1}b_{1} + c(F_{1}, …, F_{n});

ici la dernière occurrence de b_{1} désigne la différentielle de (V, b_{1})^{⊗n+1}. b. Le morphisme gradué c(F_{1}, …, F_{n}) est un cycle de

(Hom_{GrC}(V^{⊗n+1}, W), δ),

où la différentielle δ est induite par celles des complexes (V, b_{1}) et (W, b′_{1}).

En particulier, le morphisme F est compatible aux différentielles de cogèbres si et seulement si on a

δ(F_{n+1}) + c(F_{1}, …, F_{n}) = 0.
□

Regardons maintenant le comportement de l’obstruction par rapport à la composition des A_{n+1}-morphismes.

Soit V′ et W′ deux objets gradués. Soit d et d′ deux différentielles de cogèbres sur les cogèbres \overline{T_{[n+1]}^{c}}V′ et \overline{T_{[n+1]}^{c}}W′. Soit deux morphismes de cogèbres différentielles graduées

G : \overline{T_{[n+1]}^{c}}V′ ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}V  et  H : \overline{T_{[n+1]}^{c}}W ⟶ \overline{T_{[n+1]}^{c}}W′.

Des calculs directs nous donnent le lemme suivant.

Lemme B.1.4 a. On a l’égalité

c(F_{1}, …, F_{n}) ∘ G_{1}^{⊗n+1} + F_{1} ∘ δ(G_{n+1}) = c((F G)_{1}, …, (F G)_{n})

de morphismes de (V′)^{⊗n+1} dans W.

b. On a l’égalité

δ(H_{n+1}) ∘ F_{1}^{⊗n+1} + H_{1} ∘ c(F_{1}, …, F_{n}) = c((HF)_{1}, …, (HF)_{n})

de morphismes de V^{⊗n+1} dans W′. □

Corollaire B.1.5 Soit A et B deux A_{n+1}-algèbres. Soit des morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → B, 1 ≤ i ≤ n + 1,

de degré 1 − i. Supposons que les morphismes f_{i}, 1 ≤ i ≤ n, définissent un A_{n}-morphisme A → B. La sous-expression

∑_{k≠1}(−1)^{jk+l}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) − ∑_{r≠1}(−1)^{s}m_{r}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}})

de l’équation (∗∗_{n+1}) de (1.2.1.2) définit un cycle dans (Hom_{GrC}(A^{⊗n+1}, B), δ). Nous le notons r(f_{1}, …, f_{n}). L’équation (∗∗_{n+1}) se récrit

r(f_{1}, …, f_{n}) + δ(f_{n+1}) = 0.
□

Corollaire B.1.6 Soit A′ et B′ deux A_{n+1}-algèbres. Soit g : A′ → A et h : B → B′ deux A_{n+1}-morphismes stricts. On a les égalités de morphismes 1. r(f_{1}, …, f_{n}) ∘ g_{1}^{⊗n+1} = r((fg)_{1}, …, (fg)_{n}),

2. h_{1} ∘ r(f_{1}, …, f_{n}) = r((hf)_{1}, …, (hf)_{n}).

L’obstruction est donc fonctorielle par rapport aux morphismes stricts.

Démonstration : C’est la traduction du lemme B.1.6 appliqué aux constructions bar des algèbres A, A′, B et B′. Les morphismes g et h étant stricts, on a H_{n+1} = 0 et G_{n+1} = 0. Les équations de (B.1.6) se traduisent alors par celles du corollaire. □

B.2 Théorie de l’obstruction pour les polydules

Les démonstrations de cette section étant presque identiques à celles de la section 1.2.2, nous nous contentons d’énoncer les résultats. Soit C et C′ les catégories de base de la section 2.1.

Lemme B.2.1 Soit A une A_{n}-algèbre. Soit (M, m_{1}^{M}) un complexe. Soit des morphismes gradués

m_{i}^{M} : M ⊗ A^{⊗i−1} → M, 2 ≤ i ≤ n + 1,

de degré 2−i. Supposons que les morphismes m_{i}, 1 ≤ i ≤ n, définissent une structure de A_{n}-module sur M. La sous-expression

∑_{i,k≠1}(−1)^{jk+l}m_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l})

de l’équation (∗′_{n+1}) de (2.3.1.2) définit un cycle de (Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗n}, M), δ), où δ est induit par m_{1}^{A} et m_{1}^{M}. Nous le notons r(m_{2}, …, m_{n}). L’équation (∗′_{n+1}) se récrit alors

r(m_{2}, …, m_{n}) + δ(m_{n+1}) = 0.
□

Lemme B.2.2 Soit A une A_{n}-algèbre. Soit M et N deux A_{n+1}-modules sur A. Soit des morphismes gradués

f_{i} : M ⊗ A^{⊗i−1} → N, 1 ≤ i ≤ n + 1,

de degré 1−i. Supposons que les morphismes f_{i}, 1 ≤ i ≤ n, définissent un A_{n}-morphisme M → N. La sous-expression

∑_{k≠1}(−1)^{jk+l}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) = ∑_{s≠0} m_{s+1}(f_{r} ⊗ 1^{⊗s})

de l’équation (∗∗′_{n+1}) de (2.3.1.5) définit un cycle dans

(Hom_{GrC′}(M ⊗ A^{⊗n}, N), δ).

Nous le notons r(f_{1}, …, f_{n}). L’équation (∗∗′_{n+1}) se récrit alors

r(f_{1}, …, f_{n}) + δ(f_{n+1}) = 0.
□

Lemme B.2.3 Soit A une A_{n}-algèbre. Soit M′ et N′ deux A_{n+1}-modules. Soit g : M′ → M et h : N → N′ deux A_{n+1}-morphismes stricts. On a les égalités de morphismes

1. r(f_{1}, …, f_{n}) ∘ g_{1} ⊗ 1^{⊗n} = r((fg)_{1}, …, (fg)_{n}),

2. h_{1} ∘ r(f_{1}, …, f_{n}) = r((hf)_{1}, …, (hf)_{n}).

□

B.3 Théorie de l’obstruction pour les bipolydules

Les démonstrations de cette section sont omises car elles sont similaires à celles de la section B.1. Soit C, C′ et C′′ les catégories de base de la section 2.5.

Soit A et A′′ deux A_{∞}-algèbres dans C et C′′. Dans ce qui suit, r et t désignent deux entiers ≥ 0 et E désigne l’ensemble des couples d’entiers (i, j) tels que 0 ≤ i ≤ r et 0 ≤ j ≤ t − 1, ou, 0 ≤ i ≤ r − 1 et 0 ≤ j ≤ t (voir le graphique ci-dessous). L’ensemble E′ est égal à E \ (0, 0).

0  r  i j 0t  r  i j t1 1
ensemble E  ensemble E′

Soit M un objet différentiel gradué de C′. On note sa différentielle m_{0,0}. Soit

m_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M → M, 0 ≤ j ≤ t, 0 ≤ i ≤ r, (i, j) ≠ (0, 0),

un morphisme gradué de degré 1 − i − j dans C′.

Lemme B.3.1 Supposons que les morphismes m_{i,j}, (i, j) ∈ E′, vérifient les équations (∗′′_{k,l}), (k, l) ∈ E, de la définition 2.5.1.1. La sous-expression

∑_{∗∉{1,(0,0),(r,t)}}(−1)^{j+i(|m_{∗}|)}m_{•,•}(1^{⊗i} ⊗ m_{∗} ⊗ 1^{⊗j})

de l’équation (∗′′_{r,t}) définit un cycle de

Hom_{GrC′}(A^{⊗r} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗t}, M).

On le note c(m_{i,j}, (i, j) ∈ E′). Les morphismes m_{i,j}, 0 ≤ j ≤ t, 0 ≤ i ≤ r, vérifient l’équation (∗′′_{r,t}) si et seulement si on a l’égalité

δ(m_{r,t}) = c(m_{i,j}, (i, j) ∈ E′).
□

Soit M et N deux A-A′′-bipolydules dans C′. Soit

f_{i,j} : A^{⊗i} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗j} → M → M, 0 ≤ j ≤ t, 0 ≤ i ≤ r,

un morphisme gradué de degré −i − j dans GrC′.

Lemme B.3.2 Supposons que les morphismes f_{i,j}, (i, j) ∈ E, vérifient les équations (∗∗′′_{k,l}), (k, l) ∈ E, de la définition 2.5.1.1. La sous-expression

\begin{matrix}∑_{(α,β)≠(0,0)}(−1)^{α(−i−j)}m_{α,β}(1^{⊗α} ⊗ f_{k,l} ⊗ 1^{⊗β}) = \\ ∑_{∗∉\{1,(0,0)\}}(−1)^{j+i(|m_{∗}|)}f_{•,•}(1^{⊗i} ⊗ m_{∗} ⊗ 1^{⊗j}) \end{matrix}

de l’équation (∗∗′′_{r,t}) est un cycle de

Hom_{GrC′}(A^{⊗r} ⊗ M ⊗ A′′^{⊗t}, N).

On le note c′(f_{i,j}, (i, j) ∈ E). Les morphismes f_{i,j}, 0 ≤ j ≤ t, 0 ≤ i ≤ r, vérifient l’équation (∗∗′′_{r,t}) si et seulement si on a l’égalité

δ(f_{r,t}) = c′(f_{i,j}, (i, j) ∈ E).
□

On regarde maintenant la compatibilté de l’obstruction aux morphismes stricts.

Soit M′ et N′ deux A-A′-bipolydules et

g : M′ → M et h : N → N′

deux A_{∞}-morphismes stricts de bipolydules donnés par des morphismes gradués de degré 0 dans GrC′

g_{0,0} : M′ → M et h_{0,0} : N → N′.

On définit les morphismes

(f ∘ g)_{i,j} et (h ∘ f)_{i,j}, 0 ≤ j ≤ t, 0 ≤ i ≤ r,

par les mêmes formules que celles donnant la compositions des morphismes de bipolydules.

Lemme B.3.3 On a les égalités suivantes :

1. c′(f_{i,j}, (i, j) ∈ E) ∘ (1^{⊗r} ⊗ g_{0,0} ⊗ 1^{⊗t}) = c′((f ∘ g)_{i,j}, (i, j) ∈ E),

2. h_{0,0} ∘ c′(f_{i,j}, (i, j) ∈ E) = c′((h ∘ f)_{i,j}, (i, j) ∈ E).

□

B.4 Cohomologie de Hochschild et théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-structures minimales

Dans cette section, on rappelle la cohomologie de Hochschild d’une algèbre graduée à coefficients dans un bimodule gradué. Nous établissons ensuite une théorie de l’obstruction des A_{∞}-algèbres minimales (resp. des A_{∞}-morphismes entre A_{∞}-algèbres minimales et des homotopies entre ces A_{∞}-morphismes).

Rappel sur la cohomologie de Hochschild

Soit C une catégorie de base telle que dans le chapitre 1. Soit A ∈ GrC une algèbre associative. On considère A comme une A_{∞}-algèbre dont m_{2} = μ^{A} et m_{i} = 0 pour tout i ≠ 2. Rappellons que (BA)^{+} est la construction bar co-augmentée de A. Soit coder((BA)^{+}) l’espace des codérivations (BA)^{+} → (BA)^{+}. Il est gradué par le degré des codérivations. L’application

δ : D ↦ b^{A} ∘ D − (−1)^{|D|}D ∘ b^{A},

où b^{A} est la différentielle de (BA)^{+} et D est de degré |D|, définit une différentielle sur coder((BA)^{+}). Nous montrons (comme dans le lemme 1.1.2.2) que nous avons une bijection naturelle

coder((BA)^{+}) ⟶^{∼} Hom_{GrC}((BA)^{+}, SA)
D ↦ p_{1} ∘ D.

Ainsi, une codérivation D est déterminée par les composantes de p_{1} ∘ D

D_{i} : (SA)^{⊗i} → SA, i ≥ 0.

Les bijections b_{i} ↔ m_{i}, i ≥ 1, de la section 1.2.2 (complétée de la bijection qui associe au morphisme b_{0} : e → SA le morphisme m_{0} = −ωb_{0} : e → A) nous donnent une bijection

Hom_{GrC}((BA)^{+}, SA) ⟶^{∼} ∏_{i≥0} Hom_{GrC}(A^{⊗i}, A).

Le complexe de Hochschild est défini par ces bijections comme

C(A, A) = S^{−1} ∏_{i≥0} Hom_{GrC}(A^{⊗i}, A).

Sa différentielle δ_{Hoch} envoie un morphisme f : A^{⊗n} → A de degré r sur le morphisme

δ_{Hoch}(f) : A^{⊗n+1} ⟶ A

donné par la somme

∑(−1)^{r+n+k}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ μ ⊗ 1^{⊗k}) + (−1)^{r+n+1}μ(1 ⊗ f_{i}) + (−1)^{r}μ(f_{i} ⊗ 1).

Si le degré de f est nul, nous retrouvons la définition habituelle (voir par exemple [CE99, Chap. IX]). Soit M ∈ GrC un A-A-bimodule. Le complexe de Hochschild à coefficients dans M est l’espace

C(A, M) = ∏_{i≥0} Hom_{GrC}(A^{⊗i}, M),

B.4 : Cohomologie de Hochschild et théorie de l’obstruction pour les A_{∞}-structures minimales  213

sa graduation est induite par la graduation de l’espace

∏_{i≥0} Hom_{GrC}((SA)^{⊗i}, SM)

et sa différentielle δ_{Hoch} est définie par la même formule que précédemment. La cohomologie de Hochschild de A à coefficients dans M est la cohomologie de C(A, M). Si A est unitaire, le complexe C(A, M) est homotopiquement équivalent au sous-complexe de Hochschild réduit (voir [CE99, Chap. IX])

\overline{C}(A, M) = ∏_{i≥0} Hom_{GrC}(\overline{A}^{⊗i}, M),

où \overline{A} est le conoyau de l’unité de A. La différentielle de \overline{C}(A, M) est induite par celle de C(A, M).

Obstruction à l’extension d’une A_{n}-algèbre minimale en une A_{n+1}-algèbre minimale

Lemme B.4.1 Soit A une algèbre graduée de GrC. Soit des morphismes gradués

m_{i} : A^{⊗i} → A, 3 ≤ i ≤ n,

de degré 2−i. Nous posons m_{2} = μ^{A}. Supposons que les morphismes m_{i}, 2 ≤ i ≤ n−1, définissent une structure de A_{n}-algèbre minimale sur A. La sous-expression

∑_{i,k∉{1,2}}(−1)^{j+kl}m_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l})

de l’équation (∗_{n+1}) de (1.2.1.1) définit un cycle de Hochschild. Nous le notons r(m_{3}, …, m_{n−1}). L’équation (∗_{n+1}) se récrit alors

δ_{Hoch}(m_{n}) + r(m_{3}, …, m_{n−1}) = 0.

Démonstration : Soit la suite des morphismes b_{i}, 2 ≤ i ≤ n, donnés par les bijections b_{i} ↔ m_{i} (voir 1.2.2). On note D la codérivation de (BA)^{+} telle que les composantes de p_{1} ∘ D sont données par la suite

(0, 0, b_{2}, …, b_{n−1}, b_{n}, 0, …).

Comme les m_{i}, 2 ≤ i ≤ n − 1, définissent une structure de A_{n}-algèbre minimale, le carré de la codérivation D restreint à la sous-cogèbre \overline{T_{[n]}^{c}}SA est nul. On en déduit que la composition

Δ ∘ D^{2} = (1 ⊗ D^{2} + D^{2} ⊗ 1) ∘ Δ

s’annule sur le sous-espace (SA)^{⊗n+1}. Il s’ensuit que l’image par D^{2} du sous-espace (SA)^{⊗n+1} est contenue dans ker Δ = SA et que celle du sous-espace (SA)^{⊗n+2} est contenue dans (SA)^{⊗2} ⊕ SA. Ainsi, sur le sous-espace (SA)^{⊗n+2}, on a l’égalité

D^{2} ∘ b_{2} = D^{3} = b_{2} ∘ D^{2}.

Ceci montre que l’élément

D^{2}|_{(SA)^{⊗n+1}} ∈ Hom((SA)^{⊗n+1}, SA)

est un cycle. La première assertion du lemme est déduite du fait que l’élément

ω(D^{2}|_{(SA)^{⊗n+1}})

correspond à l’élément r(m_{3}, …, m_{n−1}) par l’isomorphisme de complexes

S^{−1}Hom_{GrC}((BA)^{+}, SA) ⟶^{∼} C(A, A).

La dernière assertion du lemme est immédiate. □

Obstruction à l’extension d’un A_{n}-morphisme entre A_{∞}-algèbres minimales en un A_{n+1}- morphisme

Lemme B.4.2 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales. Soit

g : (A, m_{2}) → (A′, m′_{2})

un morphisme d’algèbres graduées. Soit des morphismes gradués

f_{i} : A^{⊗i} → A′, 2 ≤ i ≤ n,

de degré 1 − i. Nous posons f_{1} = g. Supposons que les morphismes f_{i}, 1 ≤ i ≤ n − 1, définissent un A_{n}-morphisme A → A′. La sous-expression

∑_{k∉{1,2}}(−1)^{jk+l}f_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) − ∑_{r∉{1,2}}(−1)^{s}m′_{r}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}})

de l’équation (∗∗_{n+1}) de (1.2.1.2) définit un cycle de Hochschild dans C(A, A′); la structure de A-bimodule sur A′ est donnée par g. Nous notons ce cycle r(f_{2}, …, f_{n−1}). L’équation (∗∗_{n+1}) se récrit alors

δ_{Hoch}(f_{n}) + r(f_{2}, …, f_{n−1}) = 0.
□

Obstruction à l’extension d’une A_{n}-homotopie entre A_{∞}-morphismes d’A_{∞}-algèbres minimales en une A_{n+1}-homotopie

Lemme B.4.3 Soit A et A′ deux A_{∞}-algèbres minimales. Soit f et g deux A_{∞}-morphismes A → A′. Soit des morphismes gradués

h_{i} : A^{⊗i} → A′, 2 ≤ i ≤ n,

de degré −i. Posons h_{1} = 0. Supposons que les morphismes h_{i}, 1 ≤ i ≤ n − 1, définissent une homotopie entre f et g considérés comme A_{n}-morphisme A → A′ (on a alors f_{1} = g_{1}). La sousexpression

( − ∑_{r+1+t∉{1,2}}(−1)^{s}m_{r+1+t}(f_{i_{1}} ⊗ … ⊗ f_{i_{r}} ⊗ h_{k} ⊗ g_{j_{1}} ⊗ … ⊗ g_{i_{t}})+

− ∑_{k∉{1,2}}(−1)^{jk+l}h_{i}(1^{⊗j} ⊗ m_{k} ⊗ 1^{⊗l}) + f_{n+1} − g_{n+1})

de l’équation (∗ ∗ ∗_{n+1}) de la définition 1.2.1.7 définit un cycle de Hochschild dans C(A, A′); la structure de A-bimodule sur A′ est donnée par f_{1} et g_{1}. Nous notons ce cycle r(h_{2}, …, h_{n−1}). L’équation (∗ ∗ ∗_{n+1}) se récrit alors

δ_{Hoch}(h_{n}) + r(h_{2}, …, h_{n−1}) = 0.
□

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220  BIBLIOGRAPHY

Notations

Les notations de base

𝕂  corps de base  18
C, C′, C(𝕆, 𝕆)  catégories monoïdales ambiantes  18, 60, 110
⊗, ⊗_{𝕆}  produit tensoriel  18, 110
e, e_{𝕆}  élément neutre pour le produit tensoriel  18, 110
GrC  catégorie des objets gradués de C  18
CC  catégorie des objets différentiels gradués de C  19
C  bicatégorie ambiante (à partir du chapitre 4)  110, 131
S  suspension des objets de GrC et CC  19
s  morphisme de foncteurs 1 → S  19
ω = s^{−1}  morphismes de foncteur S → 1  19
C(f)  cône d’un morphisme f  74
δ(f)  bord d’un morphisme gradué entre deux complexes 19

Les catégories de modèles et catégories triangulées

Eq  classe des équivalences faibles  200
Cof  classe des cofibrations  200
Fib  classe des fibrations  200

E_{c}, E_{f}, E_{cf} sous-catégories des objets cofibrants, des objets fibrants et de objets cofibrants et fibrants de E

201

Ho E  catégorie homotopique de E  201

tria 𝔸 sous-catégorie triangulée engendrée par les objets de 𝔸

170

Tria 𝔸 sous-catégorie triangulée (aux sommes infinies) engendrée par les objets de 𝔸

170

Les A_{∞}-algèbres et les algèbres

η  unité  60
ε  morphisme d’augmentation  60
A^{+}  augmentation de A  60
\overline{A}  réduction d’une algèbre augmentée  60
\overline{T} V, T V  algèbre tensorielle réduite et augmentée  20, 81
BA  construction bar réduite d’une A_{∞}-algèbre  26

B^{+}A construction bar augmentée d’une A_{∞}-algèbre augmentée

81, 66

b^{A}, b  différentielle de la construction bar  26
{(∗_{m}), (∗∗_{m}), \atop (∗ ∗ ∗_{m})}  équations de type A_{∞}  23, 23, 24
r(m_{•}, …, m_{n})  cycle mesurant les obstructions  206, 213
r(f_{•}, …, f_{n})  cycle mesurant les obstructions  208, 214
UA  algèbre enveloppante d’une A_{∞}-algèbre A  82
Alg  catégorie des algèbres différentielles graduées  21

Alga catégorie des algèbres dg augmentées dont les morphismes sont augmentés

61

Alg_{∞}  catégorie des A_{∞}-algèbres  23

Alga_{∞} catégorie formée des A_{∞}-algèbres augmentées dont les morphismes sont augmentés

79

(Alg_{∞})_{hu} catégorie des A_{∞}-algèbres homologiquement unitaires dont les morphismes sont homologiquement unitaires

104

(Alg_{∞})_{u} catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les morphismes sont homologiquement unitaires

104

(Alg_{∞})_{su} catégorie des A_{∞}-algèbres strictement unitaires dont les morphismes sont strictement unitaires

104

A ↣ A⟨M, α⟩  cofibration standard de Alg  35
C^{∗}(A, M)  complexe de Hochschild de A à coefficients dans M 212
\overline{C}^{∗}(A, M)  complexe de Hochschild réduit  213
δ_{Hoch}  bord de Hochschild  212
τ  cochaîne tordante  65
τ_{A}, τ_{C}  cochaînes tordantes universelles  67

Les A_{∞}-cogèbres et les cogèbres

C_{[n]}  n-primitifs de C  21
η  co-unité  62
ε  morphisme de co-augmentation  62
C^{+}  co-augmentation d’une cogèbre C  62
\overline{C}  réduction d’une cogèbre co-augmentée C  62
\overline{T^{c}}V, T^{c}V  cogèbre tensorielle réduite et co-augmentée  22, 62
\overline{T_{[n]}^{c}}V  n-primitifs de la cogèbre \overline{T^{c}}C  28
ΩC, Ω^{+}C  construction cobar réduite et co-augmentée  28, 66, 66
Cog  catégorie des cogèbres différentielles graduées  22
Cogc  catégorie des cogèbres dg cocomplètes  22
Qis  classe des quasi-isomorphismes  49
Qisf  classe des quasi-isomorphismes filtrés  49
Cog_{∞}  catégorie des A_{∞}-cogèbres  28

Les polydules, les bipolydules et les modules

BM  construction bar d’un A-polydule  81

R_{τ} M, RM  produit tensoriel tordu M ⊗_{τ} C  65
M ⊗_{τ} C  produit tensoriel tordu  65
r(m_{2}, …, m_{n})  cycle mesurant les obstructions  209
r(f_{1}, …, f_{n})  cycle mesurant les obstructions  209
Hom^{∞}_{A′}(X, )  foncteur standard  111
? ⊗^{∞}_{A} X  foncteur standard  112

Mod A catégorie des A-modules différentiels gradués unitaires

61

DA  catégorie dérivée de Mod A  74

Nod_{∞} A catégorie des A-polydules (non nécessairement strictement unitaires)

78

( Nod_{∞} A)_{u} sous-catégorie pleine de Nod_{∞} A formée des Apolydules strictement unitaires

107

Nod_{∞}^{strict} A catégorie ayant les mêmes objets que Nod_{∞} A et dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts

78

Mod_{∞} A  catégorie des A-polydules strictement unitaires  79
Mod_{∞}^{strict} A  Nod_{∞}^{strict} A ∩ Mod_{∞} A  79

H_{∞}A catégorie Mod_{∞} A quotientée par la relation d’homotopie

120

D_{∞}A  catégorie dérivée de Mod_{∞} A  116

N_{∞}A catégorie différentielle graduée des A-polydules (non nécessairement strictement unitaires)

136

(N_{∞}A)_{u} sous-catégorie de N_{∞}A formée des A-polydules strictement unitaires

136

C_{∞}A catégorie différentielle graduée des A-polydules strictement unitaires

136

Mod(A, A′)  catégorie des A-A′-bimodules dg unitaires  91

Nod_{∞}(A, A′) catégorie des A-A′-polydules (non nécessairement strictement unitaires)

90

( Nod_{∞}(A, A′))_{u} sous-catégorie pleine de Nod_{∞}(A, A′) formée des A-A′-bipolydules strictement unitaires

108

Mod_{∞}(A, A′)  catégorie des A-A′-polydules strictement unitaires  90

Mod_{∞}^{strict}(A, A′) catégorie ayant les mêmes objets que Nod_{∞} A et dont les morphismes sont les A_{∞}-morphismes stricts

93

H_{∞}(A, A′) catégorie Mod_{∞}(A, A′) quotientée par la relation d’homotopie

128

D_{∞}(A, A′)  catégorie dérivée de Mod_{∞}(A, A′)  128

N_{∞}(A, A′) catégorie différentielle graduée des A-A′-bipolydules (non nécessairement strictement unitaires)

137

(N_{∞}(A, A′))_{u} sous-catégorie pleine de N_{∞}(A, A′) formée des A-A′- bipolydules strictement unitaires

137

C_{∞}(A, A′) catégorie différentielle graduée des A-A′-bipolydules strictement unitaires

137

Les comodules

N_{[n]}  n-primitifs de N  63

L_{τ} N, LN  produit tensoriel tordu N ⊗_{τ} A  65
N ⊗_{τ} A  produit tensoriel tordu  65
□_{C}, □  produit cotensoriel au-dessus de C  112
Com C  catégorie des comodules dg unitaires  63
Comc C  catégorie des comodules dg cocomplets sur C  64
DC  catégorie dérivée de Comc C  75

Les A_{∞}-catégories et les A_{∞}-foncteurs

C  bicatégorie des ensembles  131
𝕆, 𝔸, 𝔹  ensembles : objets de C  131
A, B  A_{∞}-catégories  133
𝔸, 𝔹  ensembles des objets des A_{∞}-catégories A et B  133
⊙, ⊙_{𝔸}  produit tensoriel de C(𝔸, 𝔸)  132
f, g  A_{∞}-foncteurs  134
ḟ, ġ  applications sous-jacentes des A_{∞}-foncteurs  134
ḟBḟ  134
1_{A}, 1  A_{∞}-foncteur identité de A  134
I_{A}  morphisme identité d’un objet A ∈ 𝔸  134
A_{x}  A_{∞}-catégorie tordue par x  146, 156
f^{x}  A_{∞}-foncteur tordu par x  147, 157
xM_{x′}  bipolydule tordu par x et x′  149, 157
V̂  complétion d’un objet topologique  151
ˆ⊗  produit tensoriel complet  151
R  catégorie des algèbres locales commutatives  152
T̂^{c}V  cogèbre tensorielle complète réduite  154
twA  A_{∞}-catégorie des objets tordus de A  163
A^{∧}  polydule représenté A( , A)  160
y  A_{∞}-foncteur de Yoneda  160

Nunc_{∞}(A, B)

A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs A → B (non nécessairement strictement unitaires)

179

F(A, B)

A_{∞}-catégorie Nunc_{∞}(A, B) munie des compositions naïves

175

(Nunc_{∞}(A, B))_{u} sous-catégorie pleine de Nunc_{∞}(A, B) formée des A_{∞}-foncteurs strictement unitaires

186

Func_{∞}(A, B)

A_{∞}-catégorie des A_{∞}-foncteurs A → B strictement unitaires

183

⊡  produit cotensoriel  181

nat_{∞} 2-catégorie (non 2-unitaire) des petites A_{∞}- catégories (non nécessairement strictement unitaires)

182

cat_{∞} 2-catégorie des petites A_{∞}-catégories strictement unitaires

183

z  A_{∞}-foncteur de Yoneda généralisé  184
θ  184
I_{n}  193

Index

A_{∞}-algèbre, 23

topologique, 151 A_{∞}-catégorie, 133

tordue, 146, 156 A_{∞}-cogèbre, 25 A_{∞}-équivalence, 194 A_{∞}-foncteur, 134

de Yoneda, 160 de Yoneda généralisé, 184 pleinement fidèle, 160 tordu, 147, 157

A_{∞}-isomorphie, 193 A_{∞}-module, 77 A_{∞}-morphisme, 23, 77

strict, 23, 77 A_{∞}-pré-triangulée (catégorie), 169 A_{∞}-quasi-isomorphisme, 24, 78 A_{n}-algèbre, 23 A_{n}-module, 76 A_{n}-morphisme, 23, 77 acyclique (cochaîne), 66 adjonction de Quillen, 202 admissible

cochaîne, 65 cogèbre, 32 comodule, 69 filtration, 32

algèbre, 20 différentielle graduée, 21 enveloppante, 82, 125 graduée, 21 libre, 20 presque libre, 21 réduite, 60 tensorielle augmentée, 81 tensorielle réduite, 20

augmentation, 60, 79

𝔸-𝔹-bimodule, 131 bipolydule, 90, 135

tordu, 149, 157

catégorie A_{∞}-pré-triangulée, 169 de Frobenius, 74 de modèles, 200 dérivée, 74, 86, 92, 116, 124, 127 différentielle graduée, 133 homotopique, 201 stable, 74 triangulée algébrique, 170

co-augmentée (cogèbre), 62 co-augmentation, 62 co-induction, 63 co-unitaire, 62, 63 cochaîne tordante, 29, 65

acyclique, 66 admissible, 65 généralisée, 122 universelle, 67

cocomplète (cogèbre), 21 cocomplet (comodule), 64 codérivation, 21, 63, 107, 181 cofibrant, 201 cofibration, 200 cofibration standard (de Alg), 35 cofibration standard (de Mod A), 70 cogèbre, 21

admissible, 32 co-augmentée, 62 cocomplète, 21 réduite, 62 tensorielle réduite, 22

colibre (comodule), 64 comodule, 63

admissible, 69 cocomplet, 64 \underline{226 INDEX}

colibre, 64 différentiel gradué, 63 gradué, 63 presque colibre, 64

compact (objet), 170 complétion, 151 complexe, 19

filtré, 32 cône d’un A_{∞}-morphisme, 88 construction bar, 26, 66, 81, 91 construction cobar, 28, 66 contractant, 151 contraction, 52 corestriction, 63 cylindre, 200

dérivation, 20, 61 différentielle tordue, 65

élément tordant, 143, 152 équivalence de Quillen, 202 équivalence faible, 200

d’A_{∞}-foncteurs, 190 exhaustive (filtration), 32 extension, 162 extension scindée, 162

fibrant, 201 fibration, 200 filtration, 32

admissible, 32 C-primitive, 33 exhaustive, 32 primitive, 21, 33, 64

foncteur de Quillen, 202 dérivé, 202 standard, 111, 112

générateur, 170

H-unitaire, 117, 121 hauteur, 162 Hochschild

complexe, 212 complexe réduit, 213

homotopie, 20–22, 48, 61, 63 à gauche, 201

A_{∞}-morphismes, 24, 78, 79

identité d’un objet, 133 le foncteur, 134

induction, 61 irréductible, 20 isomorphie, 193

lemme clef, 138 lemme de perturbation, 52 libre

algèbre, 20 module, 61

Maurer-Cartan (équation), 98, 144 modèle différentiel gradué, 169 modèle minimal, 52, 103 module, 61

différentiel gradué, 61

gradué, 61 libre, 61 presque libre, 61

𝔸-module, 131

objet de chemins, 201 objet filtré, 32 objet gradué, 18 objet tordu, 161, 163 obstruction, 205

perturbation, 52 polydule, 77, 135

topologique, 151 presque colibre (comodule), 64 presque libre

algèbre, 21 module, 61

n-primitifs, 21, 64 produit tensoriel tordu, 65, 123

quasi-isomorphisme filtré, 32

R-A_{∞}-catégorie, 152 réduite (algèbre), 60 réduite (cogèbre), 62 résolution cofibrante, 201 résolution fibrante, 201 réduction, 79 \underline{INDEX 227}

relèvement, 199 restriction, 61

saturée (classe), 200 scindée (extension), 162 strict (A_{∞}-morphisme), 23, 77 strictement unitaire

A_{∞}-algèbre, 79 bipolydule, 90 élément de Hom_{Nunc_{∞}}(f_{1}, f_{2}), 183 homotopie, 96 polydule, 79

suspension, 19, 77

tensorielle augmentée (algèbre), 81 tensorielle réduite (algèbre), 20 tensorielle réduite (cogèbre), 22 tensoriellement nilpotent, 144 topologie, 151 torsion, 146, 147, 149, 156, 157 triviale (cofibration), 200 triviale (fibration), 200

unité homologique, 96 stricte, 79

universelle (cochaîne), 67

Yoneda (A_{∞}-foncteur de), 160 Yoneda généralisé (A_{∞}-foncteur de), 184