Algébre/Algebra C. R. Acad. Sci. Paris 307 (1988), 543-546.

Dualité de Grothendieck-Roos et basculement

Bernhard Keller et Dieter Vossieck

Résumé^{1} - Nous étudions les relations entre les coeurs de deux t-struc-tures d’une même catégorie triangulée. Des conditions de compatibilité appropriées nous permettent de généraliser à la fois la théorie de dualité développée par Grothendieck et Roos [10] et la théorie du basculement [3] [6] [4] utilisée dans l’étude des algèbres de dimension finie [5].

Grothendieck-Roos-Duality and Tilting

Abstract^{1} - We investigate the relations between the hearts of two tstructures on one triangulated category. Under suitable compatibility conditions, we obtain a common generalization of the duality theory developed by Grothendieck and Roos [10] for regular commutative rings and the tilting theory [3] [6] [4] used in the investigation of finite-dimensional algebras [5].

1. Soient T une catégorie triangulée [2] [7] de foncteur suspension S et (V^{<1}, V^{≥0}) une t-structure au sens de Beilinson-Bernstein-Deligne [2] [8]. L’ inclusion de V^{≥n} := S^{−n} V^{≥0} (resp. de V^{<n} = S^{−n+1} V^{<1}) dans T possède un adjoint à gauche τ^{≥n} : T → V^{≥n} (resp. à droite τ^{<n} : T → V^{<n}) et donne naissance à des triangles de la forme

τ^{<n}X → X → τ^{≥n}X → Sτ^{<n}X, X ∈ T .

Nous nous proposons de comparer (V^{<1}, V^{≥0}) à une deuxième t-structure notée (U_{≥0} , U_{<1}). Nous désignons par τ_{≥n} : T → U_{≥n} et τ_{<n} : T → U_{<n} les adjoints à droite et à gauche des inclusions de U_{≥n} := S^{n} U_{≥0} et U_{<n} = S^{n−1} U_{<1} dans T . Ceux-ci donnent naissance à des triangles

τ_{≥n}X → X → τ_{<n}X → Sτ_{≥n}X, X ∈ T .

Les coeurs [2] des deux t-structures sont les catégories abéliennes A = U_{≥0} ∩ U_{<1} et B = V^{≥0} ∩ V^{<1}. Ils sont reliés à T par les foncteurs “homologie”

H_{n} = τ_{<1}τ_{≥0}S^{−n} : T → A

et “cohomologie”

H^{n} = τ^{<1}τ^{≥0}S^{n} : T → B

qui transforment des triangles X → Y → Z → SX de T en suites exactes longues [2]

… → H_{n+1}Z → H_{n}X → H_{n}Y → H_{n}Z → H_{n−1}X → …

et … → H^{n−1}Z → H^{n}X → H^{n}Y → H^{n}Z → H^{n+1}X → …

2. Afin d’examiner les liens entre les coeurs A et B, nous posons

A^{≥n} := A ∩ V^{≥n} et B_{≥n} := B ∩ U_{≥n} ,

obtenant ainsi des filtrations de A et B par des sous-catégories pleines stables par extensions

… ⊂ A^{≥n+1} ⊂ A^{≥n} ⊂ … ⊂ A et B ⊃ … ⊃ B_{≥n} ⊃ B_{≥n+1} ⊃ …

Nous disons que l’aile [8] U_{≥0} est compatible avec la co-aile V^{≥0} si τ^{<n} U_{≥0} ⊂ U_{≥0} pour tout n ∈ Z. Ceci implique τ^{≥n} U_{≥0} ⊂ U_{≥0}, H^{n} U_{≥0} ⊂ B_{≥n} et H_{m} H^{n}| A = 0 pour tous m, n tels que m < n.

Proposition - Si U_{≥0} est compatible avec V^{≥0}, la filtration (B_{≥n}) de B a la propriété (*) qui suit: Pour tout morphisme g : N → N′ de B tel que N ∈ B_{≥n} et N′ ∈ B_{≥n+1}, on a Ker g ∈ B_{≥n} et Coker g ∈ B_{≥n+1}.

En effet, considérons l’octaèdre suivant où K = Ker g, I = Im g, C = Coker g.

[figure: I; N′; C; Y; SK; N]

Le triangle N → N′ → Y → SN montre que Y ∈ U_{≥n+1}. Le triangle SK → Y → C → S^{2}K fournit des suites exactes 0 = H^{−2}C → K → H^{−1}Y → H^{−1}C = 0 et 0 = H^{1}K → H^{0}Y → C → H^{2}K = 0. La condition de compatibilité implique que K →^{∼} H^{−1}Y ∈ B_{≥n} et que C →^{∼} H^{0}Y ∈ B_{≥n+1}.

Nous dirons de même que la co-aile V^{≥0} est compatible avec l’aile U_{≥0} si τ_{<n}V^{≥0} ⊂ V^{≥0} pour tout n ∈ Z. Cette nouvelle définition donne lieu à une proposition duale de la précédente.

3. Nous disons que B engendre T , si T coïncide avec la plus petite sous-catégorie triangulée de T qui soit strictement pleine et contienne B. Tout objet X ∈ T est alors obtenu par extensions successives à partir d’un nombre fini de groupes de cohomologie translatés S^{−n}H^{n} X. En particulier, la t-structure (V^{<1}, V^{≥0}) n’est pas dégénérée [2]. De plus, U_{≥0} est alors compatible avec V^{≥0} si et seulement si U_{≥0} = {X ∈ T : H^{n} X ∈ B_{≥n} pour tout n ∈ Z}.

Proposition - Supposons T engendrée d’une part par A, d’autre part par B. Pour que T_{≥0} soit compatible avec V^{≥0}, il faut alors et il suffit que H_{m}H^{n}| A = 0 si m < n, et que la filtration (B_{n}) satisfasse à la condition (*) ce dessus.

En effet, il reste à voir que les conditions formulées sont suffisantes. Comme (U_{≥0} , U_{<1}) n’est pas dégénérée, la première de ces conditions équivaut à H^{n}A ⊂ B_{≥n}, ∀n. Nous en déduisions que H^{n}X ∈ B_{≥n} pour tout X ∈ U_{≥0}: si X ≠ 0, nous procédons pour cela par récurrence sur le plus grand r tel que H_{r}X ≠ 0 (A engendre T !). Le triangle S^{r}H_{r}X → X → τ_{<r}X → S^{r+1}H_{r}X induit une suite exacte

H^{n−1}τ_{<r} X →^{f} H^{n+r}H_{r} X → H^{n}X → H^{n}τ_{<r}X →^{g} H^{n+r+1}H_{r}X ,

où H^{n+r}H_{r} X ∈ B_{≥n+r} d’après ce qui précède et H^{n−1}τ_{<r} X ∈ B_{≥n−1} par hypothèse de récurrence. La condition (*) implique Coker f ∈ B_{≥n}. De même, Ker g ∈ B_{≥n}, d’où H^{n} X ∈ B^{≥n}, puisque B_{≥n} est stable par extensions.

Comme T est également engendrée par B, nous obtenons finalement τ^{<n} U_{≥0} ⊂ U_{≥0} pour tout n.

4. Example. (cf. [10]) Soit Λ un anneau régulier, c’est-à -dire commutatif, noethérien, de dimension homologique finie. Nous rappelons que [9]:

a) Pour tout Λ-module M de type fini, la “codimension”

c (M) = inf {dimΛ_{p} : p ∈ Spec (Λ) , M_{p} ≠ 0}

coïncide avec le “grade”

g (M) = inf{i : Ext_{Λ}^{i} (M, Λ) ≠ 0}.

b) c (Ext_{Λ}^{i} (M, Λ)) ≥ n pour tous les Λ-modules de type fini M, N et tout n.

Le foncteur dérivé D = R Hom_{Λ}(?, Λ) induit une dualité sur la catégorie dérivée “bornée” T := D^{b}(mod Λ) associée à la catégorie mod Λ des Λmodules de type fini. Nous considérons la co-aile naturelle V^{≥0} = {X ∈ T : H^{n} X = 0, ∀n < 0} définie au moyen de la cohomologie usuelle, et l’aile U_{≥0} = {Y ∈ T : ∃X ∈ V^{≥0}, Y →^{∼} DX}. Nous “identifions” mod Λ avec B = V^{≥0} ∩ V^{<1}, (mod Λ)op avec A = U_{≥0} ∩ U_{<1}, et les foncteurs H_{n} : B → A et H^{n} : A → B avec Ext_{Λ}^{n} (?, Λ).

Dans ce cas, B_{≥n} est une sous-catégorie de Serre de B, formée des Λ-modules de codimension ≥ n et vérifiant (*). Il résulte de b) que H_{m} H^{n}| A = 0 si m < n, donc que U_{≥0} est compatible avec V^{≥0}, et V^{≥0} avec U_{≥0}.

5. Exemple. (cf. [3][6][4][5]) Soient k un corps commutatif, Λ une kalgèbre de dimension finie, B_{≥n} = B = mod Λ pour n < 0, B_{≥n} = 0 pour n > 0 et B_{≥0} une sous-catégorie de torsion (c’est-à -dire pleine et stable par extensions et quotients) de B. Alors U_{≥0} = {X ∈ D^{b}(B) : H^{n} X ∈ B_{≥n}, ∀n ∈ Z} est une aile de D^{b}(B) compatible avec la co-aile naturelle V^{≥0} (§4). De même U_{<1} est compatible avec V^{<1}, V^{≥0} avec U_{≥0} et V^{<1} avec U_{<1}.

Supposons de plus que B_{≥0} est engendré par un Λ-module basculeur (tilting !) T_{Λ}. Si Γ = End (T_{Λ}), les dérivés R Hom_{Λ}(T,?) et L (? ⊗_{Γ} T) : D^{b}(mod Γ) → D^{b}(mod Λ) sont des S-équivalences [8] quasi-inverses [1] [5]. Elles nous permettent d’identifier U_{≥0} avec l’aile naturelle de D^{b}(mod Γ), A avec mod Γ, H_{n}| A avec Tor_{n}^{Γ} (?, T) et H^{n}| B avec Ext_{Λ}^{n} (T,?).

6. Exemple. (cf. [2] [8]) Soient k un corps commutatif, Q un carquois fini sans cycle orienté , I un idéal admissible de la catégorie des chemins kQ, Λ le quotient kQ/I et mod Λ la catégorie des Λ-“modules” M : Λop → mod k. Nous considérons la co-aile naturelle V^{≥0} de T = D^{b}(mod Λ).

Afin de construire une aile (artificielle) de T , nous partons d’une fonction p : { points de Λ} → Z telle que p (x) ≥ p (y) si Hom (x, y) ≠ 0. Nous notons Λ_{≥n} (resp. Λ_{<n}, resp. Λ_{n}) la sous-catégorie pleine de Λ formée des x ∈ Λ tels que p (x) ≥ n (resp. p (x) < n, resp. p (x) = n) et posons

U′ = {X ∈ T : supp H^{n} X ⊂ Λ_{≥n}, ∀n}
U′′ = {X ∈ T : supp H^{n} X ⊂ Λ_{<n}, ∀n}

Il est clair que U′ est stable sous S et U′′ sous S^{−1}. De plus, Hom (X, Y) = 0 si X ∈ U′ et Y ∈ U′′: en effet, X ∈ U′ équivaut à l’existence d’un quasiisomorphisme P → X, où les P^{n} sont projectifs tels que supp P^{n} ⊂ Λ_{≥n}, ∀n. Et Y ∈ U′′ signifie qu’il y a un quasi-isomorphisme Y → J, où les J^{n} sont injectifs et tels que supp J^{n} ⊂ Λ_{<n}, ∀n.

Pour tout X ∈ T nous notons X′ le sous-complexe tel que X^{′n} = (X^{n}| Λ_{≥n+1})_{0} + (Z^{n} X| Λ_{≥n})_{0} , l’indice 0 désignant ici le prolongement par 0. Nous obtenons un triangle X′ → X → X′′ = X/X′ → SX′ de T où X ∈ U′ et X′′ ∈ U′′, comme le montrent les restrictions X′| Λ_{n} et X′′| Λ_{n}. Nous constatons finalement:

• U_{≥0} = U′ est une aile de T , et nous retrouvons la situation décrite au §1 avec U_{<0} = U′′.

• τ_{≥0} et τ_{<0} peuvent être choisis de telle manière que τ_{≥0}X = X′ et τ_{<0}X = X′′ avec les notations ci-dessus.

• Le foncteur X ↦ (H^{n} X)_{n∈Z} induit une équivalence entre le coeur

A = {X ∈ T : supp X ⊂ Λ_{n}, ∀n}

et la somme directe des mod Λ_{n} ; en particulier A engendre T .

• Si X ∈ T , le complexe H_{0} X de mod Λ est tel que H^{n} H_{0} X →^{∼} (H^{n} X| Λ_{n})_{0}.

Par construction, U_{≥0} est compatible avec V^{≥0} et U_{<1} avec V^{<1}. La description de τ_{≥0} et τ_{<1} montre que V^{≥0} est aussi compatible ave U_{≥0} et V^{<1} avec U_{<1}. Pour tout N ∈ mod Λ, on a en particulier H^{n} H_{n} N →^{∼} (N| Λ_{n})_{0} pour tout n et H^{m} H_{n} N = 0 si m ≠ n.

7. Revenons à la situation de §1. Dans ce qui suit, nous supposons que U_{≥0} est compatible avec V^{≥0} et V^{≥0} avec U_{≥0}.

Tout N ∈ B donne naissance à un triangle τ_{≥n}N → N → τ_{<n}N → Sτ_{≥n}N de T . Comme τ_{≥n}N ∈ V^{≥0} et τ_{<n}N ∈ V^{≥0}, la suite e cohomologie associée se réduit à

0 → H^{0}τ_{≥n}N → N → H^{0}τ_{<n}N → H^{1}τ_{≥n}N → 0

et aux isomorphismes H^{i}τ_{<n}N →^{∼} H^{i+1}τ_{≥n}N (i > 0). Comme τ_{≥n}N ∈ U_{≥n} , il s’ensuit que H^{0}τ_{≥n}N ∈ B_{≥n} et H^{1}τ_{≥n}N ∈ B_{≥n+1}.

8. Proposition -

a) La sous-catégorie B_{≥n} de B contient avec tout N tous les quotients de N.

b) Pour tout N ∈ B, N_{≥n} := H^{0}τ_{≥n}N est le plus grand sous-objet de N appartenant à B_{≥n}.

En effet, tout morphisme N′ → N de B tel que N′ ∈ B_{≥n} se factorise à travers N_{≥n} → N, ce qui prouve b) et a).

9. Nous disons qu’un morphisme t : N → N′ de B est un n-quasi-isomorphisme si Ker t ∈ B_{≥n} et Coker t ∈ B_{≥n+1} . Un objet B ∈ B est dit n-fermé si l’application Hom (t, B) : Hom (N′, B) → Hom (N, B) par tout n-quasi-isomorphisme t : N → N′ est bijective.

Proposition - L’inclusion de la sous-catégorie pleine de B formeée des objets n-fermés a pour adjoint à gauche le foncteur N ↦ H^{0}τ_{<n}N (= n-fermeture de N).

En effet, le morphisme canonique N → H^{0}τ_{<n}N est un n-quasi-isomorphisme (§7). Il suffit donc de montrer que H^{0}τ_{<n}N est n-fermé. Pour cela, soit t : Q → Q′ un n-quasi-isomorphisme. Comme τ_{<n}N ∈ V^{≥0}, H^{0}τ_{<n}N coïncide avec τ^{<1}τ_{<n}N, et Hom (t, H^{0}τ_{<n}N) s’identifie à Hom (t, τ_{<n}N). Le triangle inférieur du diagramme

[figure: Q; Q′; C; SK; Y; Δ; Δ; =; =; t]

où K = Ker t, C = Coker t et Y ∈ U_{≥n+1} (cf. §2), fournit une suite exacte

0 = Hom (Y, τ_{<n}N) → Hom (Q′, τ_{<n}N) →
Hom (Q, τ_{<n}N) → Hom (S^{−1}Y, τ_{<n}N) = 0 ,

qui prouve notre assertion.

On définit de façon duale les “n-coquasi-isomorphismes” et les objets “n-cofermés” de A.

10. Considérons les sous-catégories strictement pleines suivantes de A et B:

\underline{A}^{n} = \{M ∈ A^{≥n} : M est (n + 1)-cofermé\}

\overline{B}_{n} = \{N ∈ B_{≥n} : N est (n + 1)-fermé\}

Proposition - Les foncteurs H_{n} et H^{n} induisent des couples de foncteurs adjoints

H_{n} : B_{≥n} → A^{≥n} , H^{n} : A^{≥n} → B_{≥n}

et d’équivalences quasi-inverses

H_{n} : \overline{B}_{n} → \underline{A}^{n} , H^{n} : \underline{A}^{n} → \overline{B}_{n}.

En effet, nous savons que H_{n} B_{≥n} ⊂ A^{≥n} et H^{n} A^{≥n} ⊂ B_{≥n}. Pour tout N ∈ B_{≥n}, on a H_{n} N = τ_{<1}S^{−n}N; de même, H^{n} M = τ^{<1}S^{n}M pour tout M ∈ A^{≥n}. Nous obtenons ainsi un isomorphisme fonctoriel

Hom (H_{n} N, M) →^{∼} Hom (S^{−n}N, M) →^{∼} Hom (N, S^{r}M) →^{∼} Hom (N, H^{n} M),

ce qui démontre notre assertion.

Si n ∈ B_{≥n}, nous avons aussi S^{n}H_{n} N = τ_{<n+1}N, et le morphisme d’adjonction N → H^{n} H_{n} N coïncide avec le morphisme canonique N → H^{0}τ_{<n+1}N de but la (n + 1)-fermeture de N. Il s’ensuit que N → H^{n} H_{n} N est inversible si et seulement si N est (n + 1)-fermé. Par dualité, on voit que H_{n} H^{n} M → M est inversible si et seulement si M est (n + 1)-cofermé.

(^{1}) Wir danken P. Gabriel für Vorlesungen zu diesem Thema.

Références bibliographiques

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Bernhard Keller : Mathematik, G 28.2, E.T.H.-Zentrum, 8092 Zürich, Suisse; Dieter Vossieck : Mathematisches Institut, Universität Zürich, Suisse.