Cours de Logique mathématique

Cette page décrit l'avancement d'un projet de Cours de Logique mathématique, fondé sur les leçons données à l'UPMC (maintenant Sorbonne Université) puis à l'ÉNS. Des liens avec la théorie des ensembles sont mentionnés.
Niveau : master de mathématiques pures.

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État des différents chapitres

Cinq chapitres de cours (passage obligé, le dernier porte sur «la théorie des ensembles») ; y répondent cinq chapitres de compléments.
Chapitre I
Prérequis de mathématiques. §1 équipotence ; §2 relations d'ordres ; §3 ordinaux ; §4 espaces profinis ; §5 anneaux de Boole et dualité de Stone. Sujet d'étude 1 : ordinaux et espaces clairsemés.
État quasi-final, sauf §3 qui sera remanié et §SÉ1 qui n'a pas été relu.
Chapitre II
Éléments de logique. §6 satisfaction en logique élémentaire ; §7 autres logiques ; §8 théories et modèles ; §9 calcul déductif ; §10 complétude ; § 11 compacité et phénomènes non standard ; §12 logique d'ordre supérieur. Sujet d'étude 2 : complétude.
État quasi-final, sauf §SÉ2 qui n'a pas été relu.
Chapitre III
Éléments des théorie des modèles : classes élémentaires, phénomènes de Löwenheim-Skolem, ultraproduits ; types, saturation, va-et-vient.
À faire : interprétabilité ; affiner tous les exercices et créer le sujet d'étude 3 ; puis dernière réécriture globale, relecture finale.
Chapitre IV
Incomplétude.
État très insatisfaisant.
Chapitre V
Éléments de théorie des ensembles (on essaie surtout de voir les liens avec la logique) : ZF, ordinaux, choix, cardinaux, trois modèles intérieurs.
À faire : dernière réécriture globale, relecture finale.
Compléments au chapitre I
§A notions de nombres : réels ; §B théorème de division cardinale de Lindenbaum ; §C ultrafiltres en topologie ; §D algèbre topologique.
État quasi-final.
Compléments au chapitre II
§E axiomatisations logiquement indépendantes ; §F logique algébrique ; §G logique intuitionniste ; §H logique modale ; §I sémantiques topologiques ; §J calcul des séquents.
État quasi-final.
Compléments au chapitre III
Points divers : corps algébriquement clos, géométrie euclidienne, théorème d'Arrow, limites de Fraïssé, théorème de Lindström.
À faire : dernière réécriture globale, relecture finale.
Compléments au chapitre IV
?
À créer. État inexistant.
Compléments au chapitre V
Points divers : duplication de Banach-Tarski, HCG implique AC, incomplétude ensembliste, théorie BGN, nombres surréels.
À faire : finir les surréels ; dernière réécriture globale, relecture finale.
Chronologie sommaire
Mauvaise foi exigée.