Logique : notes sur les notes, questions diverses

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Notes sur la leçon 2 et l'espace de Cantor

Je me suis bien décomposé vendredi et j'espère qu'au moins c'était marrant à voir. Résumons la situation :
  1. Mon argument pour enlever les unions n'était pas explicite ;
  2. alors j'ai paniqué et me suis demandé si on n'utilisait pas, en fait, l'axiome du choix ;
  3. à ce point vint se greffer une discussion sur compacité contre compacité séquentielle.
État des lieux :
  1. Mes excuses.
    L'idée que la propriété de Borel-Lebesgue peut se tester sur une famille génératrice est valable et fut notée par Alexander, mais elle requiert [une variante faible] du choix. On peut, et peut-être vaut-il mieux, faire sans : v. point suivant.
  2. L'espace de Cantor est compact sans aucune forme de choix.
    On peut (au choix) invoquer l'une des raisons suivantes :
    • \(2^{\mathbb{N}}\) est compact : on peut le réaliser comme fermé borné de \(\mathbb{R}\) (séries usuelles) ;
    • \(2^{\mathbb{N}}\) est compact : l'ensemble d'indices étant bien ordonné, la propriété de Tychonoff ne requiert pas le choix [Loeb 1965] ;
    • \(\mathcal{C}\) est compact : on n'a pas besoin du choix pour mener le lemme de König sitôt que les sommets sont bien ordonnés (ce qui est ici le cas) ; c'est ce qui est fait dans les notes.
    En revanche, on se gardera d'invoquer la compacité séquentielle, évidente sans choix mais soumise au point suivant.
  3. Je fais abstraction des espaces non métrisables (il n'y a aucun lien entre compacité et compacité séquentielle pour ces objets).
    Bien sûr, sans choix, métrique compact implique séquentiellement compact. Et bien sûr, avec choix, la réciproque est vraie.
    Mais sans choix, il est cohérent d'avoir un espace métrique séquentiellement compact non compact ; c'est du forcing (\(\leftarrow\)un truc méchant).

    On considère en effet le « premier modèle » de Cohen (qui viole AC), qui contient un sous-ensemble \(I \subseteq \mathbb{R}\) qui n'est en bijection avec aucun entier, et tel que pourtant il n'existe pas d'injection \(f: \omega \hookrightarrow I\).
    Utilisant les fonctions usuelles, on peut supposer \(I\) non borné, partant non compact. Il est pourtant séquentiellement compact car toute \(\omega\)-suite à valeurs dans \(I\) ne prend qu'un nombre fini de valeurs !

    Il y a légèrement pire : j'ai pris conscience de l'existence d'un espace (non métrique) compact dont la compacité séquentielle est indécidable dans ZF. Mais ça passe par l'« axiome de Martin » et peut-être en reparlerons-nous cet hiver.
Mais pourquoi ai-je ainsi planté ? Parce qu'en toile de fond j'avais les préoccupations (qu'on a le droit de regarder futiles) type « éventail de Brouwer », dont la discussion à la fin de la leçon 1 a été remaniée. Bonne lecture !

Notes sur la leçon 3 et la dualité de Stone

J'ai oublié de faire une partie de la preuve ! En outre la surjectivité de \(\varphi\) était incomplète : il fallait un léger argument pour justifier \(\operatorname{Ferv}\operatorname{Spec}\mathbb{A} = \{O_a: a \in \mathbb{A}\}\). Tout cela est réparé dans les notes.

En revanche il faudra attendre pour avoir le début du chapitre II.

Notes sur la leçon 6

Pour les malades qui lisent la partie facultative : j'ai un peu changé la notation de \(\mathbb{S} \models \varphi(p)\) en \(\mathbb{S} \models \langle\varphi, p\rangle\). Ça semblait plus joli.

Notes sur la leçon 13

Comme fait noter par Gabriel : pour les critères d'élimination il suffit de restreindre les hypothèses aux 0-isomorphismes de domaine fini. C'est ce qu'on a en pratique (DLO, ACF omega-saturés...)