\( \newcommand\CC {{\cal C}} \newcommand\DD {{\cal D}} \newcommand\rar {\rightarrow} \newcommand\la {\langle} \newcommand\ra {\rangle} \newcommand \adj {\dashv} \newcommand \R {\mathbb R} \renewcommand \RP {\mathbb R\mathbb P} \newcommand \Z {\mathbb Z} \newcommand \IS {\mathbb S} \newcommand \Hom {{\mbox{Hom}}} \)

M1 Topologie Algébrique Paris-Diderot 2014-2015

(A. Prouté, L. Merel)

Prérequis

Topologie Générale niveau L3, Algèbre Linéaire niveau L2. Un minimum de connaissances sur les groupes et les anneaux principaux.

Horaires et salles

Premier cours et premier TD le 19 janvier 2015.

Examen de rattrapage le mardi 30 juin. Prière de prendre contact avec moi pour la salle et l'heure.

Les étudiants qui ne m'auront pas contacté peuvent se présenter à 16h salle 2014 (Sophie Germain).

Emploi du temps du M1

Programme prévisionnel

Documents

Feuille d'exercices numéro 1
Feuille d'exercices numéro 2
Feuille d'exercices numéro 3
Feuille d'exercices numéro 4
Feuille d'exercices numéro 5
Feuille d'exercices numéro 6
Feuille d'exercices numéro 7
Feuille d'exercices numéro 8
Feuille d'exercices numéro 9
Feuille d'exercices numéro 10
Feuille d'exercices numéro 11
Feuille d'exercices numéro 12

Catégories pour la Topologie Algébrique (version provisoire)
Topologie Générale pour la Topologie Algébrique (version provisoire)
Notes du cours de 2012

Documents complémentaires

Suivi du cours

19 janvier 2015: Graphes et morphismes de graphes. Définition des catégories et foncteurs (covariants et contravariants). Exemples de grandes catégories. Cas des ensembles préordonnés/ordonnés et des monoïdes/groupes. Isomorphismes, monomorphismes, épimorphismes. Notion de groupoïde. Groupe \(\mbox{Aut}(X)\) des automorphismes d'un objet \(X\) d'une catégorie. Isomorphisme non canonique entre \(\mbox{Aut}(X)\) et \(\mbox{Aut}(Y)\) dans un groupoïde. Groupoïdes connexes. Groupoïdes simplement connexes. Congruence sur une catégorie, catégorie quotient, théorème de passage au quotient.

21 janvier 2015: Catégorie \(\mbox{Chem}(X,A)\) des chemins d'une paire topologique \((X,A)\). Homotopie entre chemins. L'homotopie est une congruence. Groupoïde fondamental \(\Pi(X,A)\). Groupe fondamental \(\pi_1(X,a)\). Objet final/initial. Unicité à isomorphisme canonique près. Notions de somme et de produit dans une catégorie.

26 janvier 2015: Limites, colimites, produits fibrés, sommes amalgamées, égaliseurs, coégaliseurs. Catégorie \(X/G\), où \(G:\CC\rar\DD\) est un foncteur et \(X\) un objet de \(\CC\). Flèche universelle d'un objet vers un foncteur (objet initial dans \(X/G\)). Exemples. Exemples dans la situation duale (flèche universelle d'un foncteur vers un objet). Naturalité en \(Y\) de la bijection \(\DD(F(X),Y)\rar\CC(X,G(Y))\).

28 janvier 2015: Notion de foncteurs adjoints. Construction d'un adjoint à gauche de \(G\) quand on connait une flèche universelle de \(X\) vers \(G\) pour tout \(X\). Les adjoints à gauche préservent les colimites. Théorème de van Kampen (début).

2 février 2015: Théorème de van Kampen (fin). Un calcul de somme amalgamée de groupoïdes. Définition des revêtements.

4 février 2015: Tout pullback d'un revêtement par une application continue est un revêtement. Les revêtements sont des homéomorphismes locaux. Tout homéomorphisme local propre est un revêtement. Groupe agissant de manière proprement discontinue et revêtement. Sous-groupe discret et revêtement.

9 février 2015: Relèvement des homotopies. Relèvement des chemins. Revêtements principaux. Suite exacte courte d'un revêtement principal.

11 février 2015: Critère de relèvement le long d'un revêtement. Notion de foncteur représentable. Exemples. Lemme de Yoneda. Limites et colimites dans Ens et Top.

16 février 2015: Revêtement universel. Application des revêtements à un problème de surface plongée dans \(\R^3\).

18 février 2015: Classification des revêtements sur une base donnée. Groupe des automorphismes d'un revêtement.

Congés la semaine du 23 février.

2 mars 2015: Le cours est remplacé par un TD.

4 mars 2015: Le cours est remplacé par un TD.

9 mars 2015: Premier partiel de 14h30 à 18h30 en salle 2012.

11 mars 2015: Produit tensoriel de modules sur un anneau commutatif. Le foncteur \(X\mapsto X \otimes M\) est adjoint à gauche de \(Y\mapsto \Hom(M,Y)\). \(\otimes\) est distributif sur \(\oplus\) et \(X\mapsto X\otimes M\) préserve les suites exactes de la forme \(A\rar B\rar C\rar 0\). Lemme des cinq, lemme des neuf. Motivations pour l'algèbre homologique. Modules différentiels gradués (graduation sur \(\Z\)). Convention de Koszul. Morphismes homogènes. Cycles et bords, homologie d'un module différentiel gradué. Le foncteur homologie.

12 mars 2015: Construction du connectant. Lemme du serpent. \(\otimes\) et \(\Hom\) pour les DG-modules. Notion d'homotopie. Augmentation. Homologie réduite.

16 mars 2015: Le cône d'un morphisme de DG-modules. Tout DG-module relativement libre, borné inférieurement et d'homologie nulle est homotopiquement trivial. Tout quasi-isomorphisme de DG-modules entre DG-modules relativement libres et bornés inférieurement est une équivalence d'homotopie. Présentation axiomatique du foncteur des chaînes singulières. L'augmentation et sa naturalité. Module relatif \(C(X,A)\). Suite exacte longue d'une paire et d'un triple. Théorème d'excision.

18 mars 2015: Suite exacte de Mayer-Vietoris relative. Invariance homotopique (incomplet; sera complété dans la prochaine séance). Homologie réduite. Homologie des sphères. Comment est modifiée l'homologie d'un espace quand on lui colle une n-cellule.

Document: Axiomatique du foncteur des chaînes singulières.

23 mars 2015: Retour sur la question de l'invariance homotopique, de même que sur \(H_0\) et sur l'homologie réduite. Début de la construction du foncteur des chaînes singulières.

25 mars 2015: Degré de Brouwer. Degré de l'application antipodale. Degré d'une application \(f:\IS^n\rar \IS^n\) sans point fixe. Existence d'un champ de vecteurs non singulier sur une sphère. L'homologie réduite de \(\IS^n-A\), où \(A\) est homéomorphe à \([0,1]^p\), est nulle. Homologie de \(\IS^n-A\) où \(A\) est homéomorphe à \(\IS^k\). Théorème de séparation de Jordan-Brouwer.

30 mars 2015: Fin de la preuve du théorème de séparation de Jordan-Brouwer. Théorème des modèles acycliques.

1 avril 2015: Théorème des petites chaînes. Construction de la transformation d'Eilenberg-Mac Lane.

2 avril 2015: Preuve des propriétés de la transformation d'Eilenberg-Mac Lane. Théorème de Poincaré (\(H_1(X;\Z)\) est l'abéliannisé de \(\pi_1(X,*)\)).

6 avril 2015: Férié.

8 avril 2015: La transformation d'Eilenberg-Mac Lane est une équivalence d'homotopie. CW-complexes. Homologie cellulaire d'un CW-complexe. L'homologie cellulaire est isomorphe à l'homologie singulière. Foncteur Tor. Théorème des coefficients universels pour l'homologie.

13 avril 2015: Cohomologie singulière. Théorème des coefficients universels pour la cohomologie. Diagonale d'Alexander-Whitney. Cup-produit. Algèbre de cohomologie. Propriétés du cup-produit (associativité, commutativité, naturalité). Cup-produit relatif. Comportement du cup-produit par rapport aux connectants des suites exactes des paires et de Mayer-Vietoris.

15 avril 2015: Cross-produit pour la cohomologie. Isomorphisme \(H^*(X)\otimes H^*(\IS^n)\rar H^*(X\times \IS^n)\). Isomorphisme de Thom. Suite exacte de Gysin. Algèbre de cohomologie de \(\RP^n\) à coefficients dans \(\Z/2\Z\).

Congés de printemps.

4 mai 2015: Second partiel de 14h30 à 18h30 salle 2012.

6 mai 2015: Diverses précisions sur les colimites filtantes et leur rapport à l'homologie. Homologie des variétés au delà de leur dimension. Classe fondamentale d'une variété orientée. Application de cette notion à l'intégration des formes différentielles. Formule de Stockes.