GCAP : Géométrie pour le CAPES (Licence C)
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Programme : espaces affines, espaces euclidiens, angles.
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Cours :
Le mercredi de 10h15 à 12h15
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Travaux dirigés (Hervé Lanneau):
Documents disponibles
Compte rendu des séances
- 21 janvier.
Rappels d'algèbre linéaire.
- 28 janvier.
Géométrie affine
Sous-espaces affines d'un espace affine. Propriétés
générales. Applications affines.
Notion générale d'espace affine. Sous-espaces affines, applications
affines dans ce cadre.
- 4 février.
Repères cartésiens, repères affines, mesure algébrique d'un bipoint.
Expression d'une application affine dans des repères cartésiens.
Barycentres : fonctions vectorielles de Leibniz, barycentres.
Caractérisation des sous-espaces affines et des applications affines
par les barycentres (démonstration erronée!)
Convexité
Donné en exercice :
- déterminer le nombres de parties du plan
séparées par n droites dont deux ne sont pas parallèles
et trois ne sont pas coplanaires. Nombre de parties bornées ?
- Étant donné trois droites concourantes, construire un triangle dont
ce soient les médianes.
- 11 février.
Retour sur la caractérisation des sous-espaces affines
et des applications affines par les barycentres.
Groupe des dilatations (homothéties, translations).
Affinités, projections, symétries.
Composée de deux symétries centrales.
Groupe affine, suite exacte canonique.
Relations d'incidence dans un espace affine.
- 18 février. Vacances.
- 25 février.
Intersection de deux sous-espaces affines dont les directions
sont supplémentaires l'une de l'autre.
Théorème de Thalès.
Géométrie euclidienne
Produit scalaire. Matrice d'un produit scalaire,
changement de base. Norme euclidienne, inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité
triangulaire.
Orthogonalité. Toute forme linéaire est fournie par le produit
scalaire avec un vecteur.
- 3 mars.
L'orthogonal d'un sous-espace vectoriel est un supplémentaire.
Bases orthonormées, procédé de Gram-Schmidt. Expression
du produit scalaire dans une base orthonormée. Cas de R2,
utilisation des nombres complexes.
Théorème de Pythagore.
Géométrie affine euclidienne. Distance euclidienne, orthogonalité.
Isométries vectorielles. Forme matricielle.
- 10 mars.
- 17 mars.
- 24 mars.
- 31 mars.
- 7 avril. Vacances
- 14 avril. Vacances
- 21 avril. Similitudes en géométrie euclidienne (définition,
elles forment un sous-groupe, expression des similitudes du
plan en termes de nombres complexes, elles ont un unique point
fixe si leur rapport est différent de 1).
Angles : définition des angles géométriques (en dim. quelconque),
et des angles de vecteurs ou de demi-droites dans le plan orienté.
Antoine Chambert-Loir