Géométrie
Master de mathématiques, université Paris-Sud, 1re année (M1), 2014-15
Programme
- Calcul différentiel
- Application à la topologie générale (théorème de l'invariance du domaine, théorème de Brouwer)
- Variétés
- Revêtements, groupe fondamental
- S'il y a le temps, quelques sujets complémentaires
(surfaces de l'espace euclidien, équations différentielles, formes différentielles, cohomologie de De Rham...)
Enseignants
Horaires et salles
Si ce cours est à l'intention des étudiants de master,
une partie sera suivie par des étudiants de deuxième année de
l'École centrale qui viendront le mercredi et le vendredi. En outre, les dates de rentrée et de vacances
des deux populations ne coïncident pas. Cela complique un peu
l'emploi du temps et la répartition des séances.
- Lundi, 14h–17h,
salle B14 du bât. 460
(cours ou TD)
- Mercredi, 14h–17h,
petit amphi du bât. 425
(TD)
- Vendredi, 9h–12h15,
petit amphi du bât. 425
(cours)
Le premier cours aura lieu le 4 février.
Modalités de contrôle des connaissances
Contrairement à ce que j'ai annoncé en cours,
la note de première session est la moyenne
de la note de contrôle continu (30%), d'un partiel (20%)
et de l'examen final.
En cas de seconde session, la note sera constituée de la note de contrôle continu (30%) et de celle de l'examen de rattrapage (70%).
L'examen de seconde session aura lieu le mardi 1er septembre 2015.
Ce sera une épreuve orale. Je vous demande de rédiger
et d'apporter la solution du problème d'examen du 12 juin 2015 ; nous regarderons ensemble ce travail et
je vous poserai quelques questions supplémentaires.
Documents disponibles
Résumé des cours
- 4 février 2014
-
Introduction. Applications de $\mathbf R^n$ dans $\mathbf R^m$.
Dérivabilité, dérivabilité d'ordre supérieur,
composition (dans le cadre Banach). Cas des fonctions à valeur
scalaire (dérivée et gradient). Dérivées directionnelles et partielles (je
n'ai pas introduit formellement la dérivée le long d'un sous-espace de
l'espace de départ), Gâteaux-dérivabilité, contre-exemple classique.
Théorème de Schwarz (dans le cadre Banach).
Équivalence entre dérivées partielles continues
et caractère $C^1$ (non démontré).
Exercices 1 et 3 de la feuille d'exercices n°1.
- 6 février 2014
-
Difféomorphismes, difféomorphismes locaux. Théorème d'inversion locale.
Méthode de Newton et démonstration du théorème d'inversion locale.
Immersions, submersions, applications de rang constant. Exemples
d'immersions. Submersions : problème
d'existence de submersions globales, points et valeurs critiques et
régulières. Théorème des fonctions implicites. Forme normale des
immersions, submersions et des applications de rang constant (non
démontrée).
Exercice 5, questions a) à d), de la feuille d'exercices n°1.
- 9 février 2015
- Revêtements et groupe fondamental (Cours P11). Définition. Notion de $B$-espace. Degré d'un revêtement. Exemples de revêtements (le cercle, l'exponentielle complexe, quotient d'un espace par l'action régulière d'un groupe d'homéomorphismes).
- 11 février 2015
- Variétés topologiques.
Un drôle de théorème du changement de variables (d'après Lax). Applications à la topologie différentielle : non-rétraction de la boule unité sur la sphère, théorème du point fixe de Brouwer, théorème de Poincaré-Miranda,
théorème d'invariance du domaine et conséquences topologiques.
- 16 février 2015
- (Cours P11). Espaces simplement connexes. Le cube $[0,1]^n$ est simplement connexe. Théorème de relèvement. Morphismes de revêtements.
- 20 février 2015
- Variétés topologiques, variétés à bord. Bord, intérieur, dimension. Exemples : sphères (projection stéréographique), boule (inversion),
variétés de dimension 1 (sans preuve),
cylindre et ruban de Möbius. Discussion sur les contraintes
topologiques supplémentaires (séparation, paracompacité, séparabilité,
métrisabilité).
Sous-variétés.
Application du calcul différentiel
à la définition de variétés topologiques ;
Définition d'une sous-variété (à bord) de $\mathbf R^n$,
comparaison avec la théorie des variétés topologiques.
- 2 mars 2015
- Cônes et espaces tangents. Sous-groupes fermés de $\mathrm{GL}(n,\mathbf R)$, théorème de Cartan.
- 4 mars 2015
- 6 mars 2015
- Fin de la preuve du théorème de Cartan.
Fonctions de classe $\mathscr C^p$ sur une sous-variété.
- 9 mars 2015
- 11 mars 2015
- 13 mars 2015
- Espaces paracompacts et partitions de l'unité
- 16 mars 2015
- Partiel
- 20 mars 2015
- (Pour les étudiants de l'École centrale uniquement) Indice modulo 2 d'une application de classe $\mathscr C^1$ entre variétés de même dimension. Application au théorème de Jordan-Brouwer.
- 27 mars 2015
- Chapitre 1 - Revêtements. §3 Revêtements galoisiens. §4 Chemins, relation d'homotopie stricte, groupoïde de Poincaré.
- 30 mars 2014
- Définition générale d'un groupoïde.
Quelques propriétés du groupoïde fondamental:
fonctorialité, cas d'applications homotopes, invariance
par homéotopie.
- 1er avril 2015
- 3 avril 2015
-
Espaces homéotopes à un point, espaces contractiles en un point,
contractions (rétractions par déformations); exemples. Homotopie et revêtements: relèvement des chemins et des homotopies. Action du groupoïde fondamental de la base sur un revêtement relativement à sa projection, action du groupe fondamental $\pi_1(B,b)$ sur la fibre $E_b$ d'un revêtement $E$ de $b$ ;
condition homotopique de relèvement d'une application continue.
- 8 avril 2015
- 10 avril 2015
- 13 avril 2015
- Correction du partiel. « Foncteur-fibre » qui associe à un revêtement
sa fibre en un point munie de l'action du groupe fondamental de la base
en ce point « pleine fidélité » de ce foncteur. Espaces simplement connexes par arcs.
- 17 avril 2015
- Revêtement universel d'un espace topologique pointé. Construction
d'un revêtement universel pour un espace topologique délaçable.
- 4 mai 2015
- Reprise de la construction d'un revêtement universel.
- 15 mai 2015
- Variétés différentiables. Définition comme espace topologique muni d'un faisceau de fonctions, ou comme espace topologique muni d'un atlas. Exemple des sous-variétés d'un espace $\mathbf R^n$, de l'espace projectif et des grassmanniennes.
- 29 mai 2015
- Morphismes de variétés différentiables. Immersions, submersions, sous-variétés d'une variété. Théorème de Whitney (démonstration dans le cas $\mathscr C^2$ et compact). Fin du cours !
Antoine Chambert-Loir—
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