Université Paris Diderot
Je ferai une partie du cours d'algèbre, des séances de préparation à l'oral (exercices, leçons), et un ou deux écrits blancs.
Documents disponibles
Emploi du temps
Les documents de la préparation à l'agrégation finissent toujours
sur DidEL, AGREGEXT_002, mais les miens se trouvent
aussi ci-dessous.
Séances
- 15 septembre 2015
-
Exercices d'analyse (15h30 à 17h15, bâtiment Sophie Germain, salle 2012).
Exercices 1 et 2 de la feuille d'exercices d'analyse sur les suites, séries et fonctions d'une variable réelle. Questions supplémentaires que je laisse à votre réflexion : dans le contexte de l'exercice 1, démontrer que $\varlimsup y_n\leq \varlimsup x_n$
et $\varliminf y_n\geq \varliminf x_n$. Se poser aussi la question du comportement qualitatif d'une suite définie par une récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$, lorsque $f$ est une fonction continue croissante possédant un unique point fixe (voire plusieurs points fixes, à commencer par deux) ; le cas d'une fonction décroissante est aussi très intéressant. J'ai aussi énoncé trois théorèmes de points fixes : 1) Une limite d'une suite définie par une récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$, où $f$ est continue, est point fixe de $f$ ; 2) théorème de Picard pour les applications contractantes d'un espace métrique complet non vide dans lui-même ; 3) théorème de Brouwer.
- 3 novembre 2015
- Cours d'algèbre (8h30-10h30, bâtiment Sophie Germain, salle 2014).
Algèbre linéaire. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, intersection, sous-espace engendré ; applications linéaires, noyau, image ;
exemples. Familles libres, génératrices, bases. Existence d'une base (via le théorème de Zorn).
- 3 novembre 2015
- Exercices d'algèbre linéaire (15h45-17h15, bâtiment Sophie Germain, salle 2012).
Formes réduites échelonnées par lignes.
Correction des questions 1 à 3 (et partiellement 4) du problème sur ce sujet ; pour (essentiellement) une correction, voir
ce document.
- 10 novembre 2015
- Algèbre linéaire (suite). Rappel du théorème d'existence des bases. Aplications : existence de supplémentaires, d'inverses à droite, resp. à gauche, pour une application linéaire surjective, resp. injective. Dualité : énoncé du théorème principal, évocation (trop rapide) que l'application canonique d'un espace dans son bidual est injective.
Dimension : énoncé du lemme-clé (pour toute partie libre $L$ et toute partie génératrice $G$, il existe une injection de $L$ dans $G$) ;
applications (dimension d'un espace vectoriel, lien entre dimensions d'un espace, d'un sous-espace et d'un supplémentaire, théorème du rang).
- 1er décembre 2015
- Formes bilinéaires et quadratiques.
a) Définition d'une application multilinéaire de $V_1\times\dots\times
V_n$ dans $W$. Cas où $W=K$ (formes).
Cas où $V_1=\dots=V_n=V$ (applications $n$-linéaires) ;
applications $n$-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées.
Composition avec des applications linéaires.
b) Formes bilinéaires. Expression dans une base, changement de base.
Applications de $V$ dans $V^*$, noyaux,
formes non dégénérées (à droite, à gauche)
ou inversibles (à droite à gauche) ;
cas symétrique ou antisymétrique, rang.
Orthogonal par rapport à une forme bilinéaire (symétrique ou antisymétrique)
et lien avec la dualité.
c) Formes quadratiques (sur un corps de car. $\neq2$).
Identités de polarisation. Existence d'une base orthogonale.
- 8 décembre 2015
- [suite] Classification sur un corps algébriquement clos (rang),
sur $\mathbf R$ (signature).
- 5 janvier 2016
- d) Espaces euclidiens. Rappels de Cauchy-Schwarz et Pythagore.
Réduction des endomorphismes autoadjoints
(deux preuves de l'existence d'une valeur propre).
e) Formes sesquilinéaires.
- 12 janvier 2016
- Cours.
Exercices sur les formes quadratiques
et hermitiennes.
Antoine Chambert-Loir—
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