Préparation à l'agrégation

Université Paris Diderot

Je ferai une partie du cours d'algèbre, des séances de préparation à l'oral (exercices, leçons), et un ou deux écrits blancs.

Documents disponibles

Emploi du temps

Les documents de la préparation à l'agrégation finissent toujours sur DidEL, AGREGEXT_002, mais les miens se trouvent aussi ci-dessous.

Séances

15 septembre 2015
Exercices d'analyse (15h30 à 17h15, bâtiment Sophie Germain, salle 2012). Exercices 1 et 2 de la feuille d'exercices d'analyse sur les suites, séries et fonctions d'une variable réelle. Questions supplémentaires que je laisse à votre réflexion : dans le contexte de l'exercice 1, démontrer que $\varlimsup y_n\leq \varlimsup x_n$ et $\varliminf y_n\geq \varliminf x_n$. Se poser aussi la question du comportement qualitatif d'une suite définie par une récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$, lorsque $f$ est une fonction continue croissante possédant un unique point fixe (voire plusieurs points fixes, à commencer par deux) ; le cas d'une fonction décroissante est aussi très intéressant. J'ai aussi énoncé trois théorèmes de points fixes : 1) Une limite d'une suite définie par une récurrence $x_{n+1}=f(x_n)$, où $f$ est continue, est point fixe de $f$ ; 2) théorème de Picard pour les applications contractantes d'un espace métrique complet non vide dans lui-même ; 3) théorème de Brouwer.
3 novembre 2015
Cours d'algèbre (8h30-10h30, bâtiment Sophie Germain, salle 2014). Algèbre linéaire. Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels, intersection, sous-espace engendré ; applications linéaires, noyau, image ; exemples. Familles libres, génératrices, bases. Existence d'une base (via le théorème de Zorn).
3 novembre 2015
Exercices d'algèbre linéaire (15h45-17h15, bâtiment Sophie Germain, salle 2012). Formes réduites échelonnées par lignes. Correction des questions 1 à 3 (et partiellement 4) du problème sur ce sujet ; pour (essentiellement) une correction, voir ce document.
10 novembre 2015
Algèbre linéaire (suite). Rappel du théorème d'existence des bases. Aplications : existence de supplémentaires, d'inverses à droite, resp. à gauche, pour une application linéaire surjective, resp. injective. Dualité : énoncé du théorème principal, évocation (trop rapide) que l'application canonique d'un espace dans son bidual est injective. Dimension : énoncé du lemme-clé (pour toute partie libre $L$ et toute partie génératrice $G$, il existe une injection de $L$ dans $G$) ; applications (dimension d'un espace vectoriel, lien entre dimensions d'un espace, d'un sous-espace et d'un supplémentaire, théorème du rang).
1er décembre 2015
Formes bilinéaires et quadratiques. a) Définition d'une application multilinéaire de $V_1\times\dots\times V_n$ dans $W$. Cas où $W=K$ (formes). Cas où $V_1=\dots=V_n=V$ (applications $n$-linéaires) ; applications $n$-linéaires symétriques, antisymétriques, alternées. Composition avec des applications linéaires. b) Formes bilinéaires. Expression dans une base, changement de base. Applications de $V$ dans $V^*$, noyaux, formes non dégénérées (à droite, à gauche) ou inversibles (à droite à gauche) ; cas symétrique ou antisymétrique, rang. Orthogonal par rapport à une forme bilinéaire (symétrique ou antisymétrique) et lien avec la dualité. c) Formes quadratiques (sur un corps de car. $\neq2$). Identités de polarisation. Existence d'une base orthogonale.
8 décembre 2015
[suite] Classification sur un corps algébriquement clos (rang), sur $\mathbf R$ (signature).
5 janvier 2016
d) Espaces euclidiens. Rappels de Cauchy-Schwarz et Pythagore. Réduction des endomorphismes autoadjoints (deux preuves de l'existence d'une valeur propre). e) Formes sesquilinéaires.
12 janvier 2016
Cours. Exercices sur les formes quadratiques et hermitiennes.
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