Algèbre

Licence, L3, Université Paris Diderot

Programme

  1. Ensembles, relations d'équivalence, relations d'ordre, théorème de Zorn. Panorama de structures algébriques.
  2. Monoïdes et groupes. Opérations d'un groupe dans un ensemble. Groupes quotients. Groupes abéliens de type fini. Groupe symétrique, groupe alterné. Théorème de Sylow. (Groupes classiques.)
  3. Anneaux, idéaux, anneaux quotients, anneaux de fractions. Anneaux de polynômes. Anneaux euclidiens, principaux, factoriels.
  4. Corps. Extensions de corps, extensions de rupture et de décomposition. Clôture algébrique. Théorie de Galois.

Lieu, horaires

Le cours a lieu le jeudi de 9h à 13h, à l'École normale supérieure de Cachan, bâtiment Cournot, salle C315.

Il y aura un partiel jeudi 5 novembre (2h).

Documents disponibles

Séances

17 septembre 2015
Ensembles : relations d'équivalence, ensemble quotient, propriété universelle ; relations d'ordre, bon ordre, principe de récurrence transfinie, théorème de Zorn. Lois de composition : vocabulaire et propriétés élémentaires (magmas, associativité, commutativité, élément neutre, éléments simplifiables, inversibles), morphismes ; relation d'équivalence compatible avec une loi de composition, magma quotient et propriété universelle du magma quotient. Exemples de structures algébriques : monoïdes, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels et modules, algèbres, algèbres de Lie ; catégories.
24 septembre 2015
Groupes : définitions d'un monoïde et d'un groupe, produits d'une suite finie d'éléments, puissances, ordre d'un élément. Sous-monoïdes et sous-groupes, centralisateur d'un élément, centre, normalisateur d'un sous-groupe, sous-groupe de torsion d'un groupe abélien ; sous-groupe engendré par une partie, exemples de parties génératrices (dans le groupe symétrique et dans $\mathop{\rm SL}(2,\mathbf Z)$). Morphismes, monoïde des endomorphismes, groupe des automorphismes ; automorphismes intérieurs ; image, noyau, égalisateur. Produit d'une famille de groupes, propriété universelle ; cas de deux sous-groupes $B$ et $C$ d'un groupe donné $A$ : produit direct et produit semi-direct (relatif à un morphisme de $C$ dans le groupe des automorphismes de $B$). Opérations d'un groupe dans un ensemble, plusieurs formulations, partie stable. Exemples : translations (à gauche, à droite) dans un monoïde, opération par conjugaison dans un groupe ; orbites, relation d'équivalence associée, opération transitive, fidèle, libre.
Correction importante (24/09/2015). La définition du normalisateur donnée en cours n'est pas la bonne ; j'ai mis à jour le polycopié.
1er octobre 2015
Corrections de quelques exercices sur les monoïdes. Discussion générale sur les axiomes de la théorie des ensembles. Opérations d'un groupe dans un ensemble : classes à gauche, à droite modulo un sous-groupe, indice d'un sous-groupe, équation aux classes, cardinal d'un sous-groupe, théorème de Lagrange.
8 octobre 2015
Sous-groupes distingués, sous-groupes caractéristiques, sous-groupe dérivé ; Groupes quotients. Propriété universelle d'un groupe quotient. Sous-groupes d'un groupe quotient. Monoïde libre, propriété universelle. Groupe libre, propriété universelle. Unique représentation par un mot réduit ; applications : centre, torsion. Groupes engendrés par générateurs et relations.
15 octobre 2015
Coproduit. Groupes de type fini, monogènes, cycliques ; sous-groupes finis du groupe multiplicatif d'un corps commutatif. Groupes abéliens de type fini : existence de quasi-bases (la preuve était en fait correcte ! j'ai légèrement revu les notes pour clarifier la démonstration), théorème de structure. Groupe des permutations $\mathfrak S_n$ : centre, types et classes de conjugaison, orbites, signature ; groupe alterné, engendrement par les 3-cycles.
22 octobre 2015
Groupe dérivé du groupe symétrique, du groupe alterné. Pour $n\geq 5$, le groupe alterné $\mathfrak A_n$ est simple ; preuve pour $n=5$, cas général. Sous-groupes de Sylow.
5 novembre 2015
Partiel (3h). Anneaux. Définitions (anneau, corps), formule du binôme ; sous-anneaux, sous-corps, sous-anneau engendré, sous-corps engendré ; sous-corps premier, caractéristique d'un corps
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12 novembre 2015
19 novembre 2015
26 novembre 2015
3 décembre 2015
10 décembre 2015
Correction de l'exercice 24 de la feuille n° 3 et de l'exercice 1 de la feuille n° 4. Unicité de l'extension de décomposition, polynômes séparables, critère de séparabilité utilisant le polynôme dérivé. Corps algébriquement clos, théorème de d'Alembert–Gauss, clôture algébrique, théorème de Steinitz (admis). Corps finis : ils sont commutatifs (théorème de Wedderburn) et leur cardinal est une puissance d'un nombre premier ; inversement si $q$ est une puissance d'un nombre premier $p$, les corps finis de cardinal $q$ correspondent aux extensions de décomposition du polynôme $T^q-T$ sur $\mathbf Z/p\mathbf Z$. Les $\mathbf R$-algèbres de dimension finie qui sont des corps sont isomorphes à $\mathbf R$, $\mathbf C$ ou au corps $\mathbf H$ des quaternions de Hamilton. Théorie de Galois : énoncé du théorème de caractérisation des extensions galoisiennes et début de la preuve.
7 janvier 2016
Théorie de Galois : fin de la démonstration du théorème de caractérisation des extensions galoisiennes. Correspondance de Galois entre sous-groupes du groupe de Galois d'une extension galoisienne et sous-extensions ; cas des sous-groupes distingués. Quelques exemples. Correction d'exercices.
14 janvier 2016
Examen (9h30–12h30).
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