Algèbre
Licence, L3, Université Paris Diderot
Programme
- Ensembles, relations d'équivalence, relations d'ordre, théorème de Zorn. Panorama de structures algébriques.
- Monoïdes et groupes. Opérations d'un groupe dans un ensemble. Groupes quotients. Groupes abéliens de type fini. Groupe symétrique, groupe alterné. Théorème de Sylow. (Groupes classiques.)
- Anneaux, idéaux, anneaux quotients, anneaux de fractions. Anneaux de polynômes. Anneaux euclidiens, principaux, factoriels.
- Corps. Extensions de corps, extensions de rupture et de décomposition. Clôture algébrique. Théorie de Galois.
Lieu, horaires
Le cours a lieu le jeudi de 9h à 13h, à l'École normale supérieure de Cachan,
bâtiment Cournot, salle C315.
Il y aura un partiel jeudi 5 novembre (2h).
Documents disponibles
Séances
- 17 septembre 2015
- Ensembles :
relations d'équivalence, ensemble quotient, propriété universelle ;
relations d'ordre, bon ordre, principe de récurrence transfinie,
théorème de Zorn.
Lois de composition :
vocabulaire et propriétés élémentaires (magmas, associativité, commutativité,
élément neutre, éléments simplifiables, inversibles), morphismes ;
relation d'équivalence compatible avec une loi de composition,
magma quotient et propriété universelle du magma quotient.
Exemples de structures algébriques :
monoïdes, groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels et modules,
algèbres, algèbres de Lie ; catégories.
- 24 septembre 2015
- Groupes :
définitions d'un monoïde et d'un groupe, produits d'une suite finie
d'éléments, puissances, ordre d'un élément.
Sous-monoïdes et sous-groupes, centralisateur d'un élément, centre,
normalisateur d'un sous-groupe, sous-groupe de torsion d'un
groupe abélien ; sous-groupe engendré par une partie,
exemples de parties génératrices (dans le groupe symétrique
et dans $\mathop{\rm SL}(2,\mathbf Z)$).
Morphismes, monoïde des endomorphismes, groupe des automorphismes ;
automorphismes intérieurs ;
image, noyau, égalisateur.
Produit d'une famille de groupes, propriété universelle ;
cas de deux sous-groupes $B$ et $C$ d'un groupe donné $A$ :
produit direct et produit semi-direct (relatif à un morphisme
de $C$ dans le groupe des automorphismes de $B$).
Opérations d'un groupe dans un ensemble, plusieurs formulations,
partie stable. Exemples : translations (à gauche, à droite)
dans un monoïde, opération par conjugaison dans un groupe ;
orbites, relation d'équivalence associée,
opération transitive, fidèle, libre.
Correction importante (24/09/2015). La définition
du normalisateur donnée en cours n'est pas la bonne ;
j'ai mis à jour le polycopié.
- 1er octobre 2015
- Corrections de quelques exercices sur les monoïdes. Discussion générale
sur les axiomes de la théorie des ensembles. Opérations d'un groupe
dans un ensemble : classes à gauche, à droite modulo un sous-groupe,
indice d'un sous-groupe, équation aux classes,
cardinal d'un sous-groupe, théorème de Lagrange.
- 8 octobre 2015
- Sous-groupes distingués, sous-groupes caractéristiques,
sous-groupe dérivé ;
Groupes quotients. Propriété universelle d'un groupe quotient.
Sous-groupes d'un groupe quotient.
Monoïde libre, propriété universelle. Groupe libre, propriété
universelle. Unique représentation par un mot réduit ;
applications : centre, torsion. Groupes engendrés par générateurs
et relations.
- 15 octobre 2015
-
Coproduit. Groupes de type fini, monogènes, cycliques ;
sous-groupes finis du groupe multiplicatif d'un corps commutatif.
Groupes abéliens de type fini : existence de quasi-bases (la preuve était en fait correcte ! j'ai légèrement revu les notes pour clarifier la démonstration),
théorème de structure.
Groupe des permutations $\mathfrak S_n$ : centre, types et classes de conjugaison, orbites, signature ; groupe alterné, engendrement par les 3-cycles.
- 22 octobre 2015
- Groupe dérivé du groupe symétrique, du groupe alterné.
Pour $n\geq 5$, le groupe alterné $\mathfrak A_n$ est simple ;
preuve pour $n=5$, cas général. Sous-groupes de Sylow.
- 5 novembre 2015
- Partiel (3h). Anneaux.
Définitions (anneau, corps), formule du binôme ; sous-anneaux, sous-corps,
sous-anneau engendré, sous-corps engendré ; sous-corps premier, caractéristique d'un corps
.
- 12 novembre 2015
- 19 novembre 2015
- 26 novembre 2015
- 3 décembre 2015
- 10 décembre 2015
- Correction de l'exercice 24 de
la feuille n° 3 et de l'exercice 1 de
la feuille n° 4.
Unicité de l'extension de décomposition, polynômes séparables, critère de séparabilité utilisant le polynôme dérivé. Corps algébriquement clos, théorème de d'Alembert–Gauss, clôture algébrique, théorème de Steinitz (admis).
Corps finis : ils sont commutatifs (théorème de Wedderburn) et leur cardinal est une puissance d'un nombre premier ;
inversement si $q$ est une puissance
d'un nombre premier $p$, les corps finis de cardinal $q$ correspondent
aux extensions de décomposition du polynôme $T^q-T$ sur $\mathbf Z/p\mathbf Z$.
Les $\mathbf R$-algèbres de dimension finie qui sont des corps sont
isomorphes à $\mathbf R$, $\mathbf C$ ou au corps $\mathbf H$ des
quaternions de Hamilton. Théorie de Galois : énoncé du théorème de caractérisation des extensions galoisiennes et début de la preuve.
- 7 janvier 2016
- Théorie de Galois : fin de la démonstration du théorème de caractérisation des extensions galoisiennes.
Correspondance de Galois entre sous-groupes du groupe de Galois d'une extension galoisienne et sous-extensions ; cas des sous-groupes distingués.
Quelques exemples. Correction d'exercices.
- 14 janvier 2016
- Examen (9h30–12h30).
Antoine Chambert-Loir—
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