Algèbre
Licence, L3, Université Paris Diderot
Programme
- Ensembles, relations d'équivalence, relations d'ordre, théorème de Zorn. Panorama de structures algébriques.
- Monoïdes et groupes. Opérations d'un groupe dans un ensemble. Groupes quotients. Groupes abéliens de type fini. Groupe symétrique, groupe alterné. Théorème de Sylow. (Groupes classiques.)
- Anneaux, idéaux, anneaux quotients, anneaux de fractions. Anneaux de polynômes. Anneaux euclidiens, principaux, factoriels.
- Corps. Extensions de corps, extensions de rupture et de décomposition. Clôture algébrique. Théorie de Galois.
Lieu, horaires
Le cours a lieu le jeudi de 9h à 13h, à l'École normale supérieure de Cachan,
bâtiment Cournot, salle C315.
Il y aura un partiel (3h, sans documents) le jeudi 17 novembre 2016,
amphithéâtre Fonteneau (bâtiment d'Alembert, 1er étage), 9h–12h.
L'examen final (3h, sans documents)
aura lieu le jeudi 19 janvier, 9h30–12h30.
Examen de rattrapage : vendredi 2 juin, 14h30–17h30, salle C102.
Documents disponibles
Séances
- 15 septembre 2015
- Ensembles et relations :
relations d'équivalence, ensemble quotient, propriété universelle ;
relations d'ordre, bon ordre, principe de récurrence transfinie,
théorème de Zorn.
Lois de composition :
vocabulaire et propriétés élémentaires (magmas, associativité, commutativité,
élément neutre, éléments simplifiables, inversibles), morphismes ;
relation d'équivalence compatible avec une loi de composition,
magma quotient et propriété universelle du magma quotient.
définitions d'un monoïde et d'un groupe, produits d'une suite finie
d'éléments, puissances, ordre d'un élément.
Sous-monoïdes et sous-groupes, centralisateur d'un élément, centre,
normalisateur d'un sous-groupe, sous-groupe de torsion d'un
groupe abélien.
- 22 septembre 2016
-
Sous-groupe engendré par une partie,
exemples de parties génératrices (dans le groupe symétrique
et dans $ \mathop{\rm SL}(2,\mathbf Z) $).
Morphismes, monoïde des endomorphismes, groupe des automorphismes ;
automorphismes intérieurs ;
image, noyau, égalisateur.
Produit d'une famille de groupes, propriété universelle ;
cas de deux sous-groupes \(B\) et \(C\) d'un groupe donné \( A \) :
produit direct et produit semi-direct (relatif à un morphisme
de \( C \) dans le groupe des automorphismes de \( B\) ).
Opérations d'un groupe dans un ensemble, plusieurs formulations,
partie stable. Exemples : translations (à gauche, à droite)
dans un monoïde, opération par conjugaison dans un groupe ;
orbites, relation d'équivalence associée,
opération transitive, fidèle, libre.
Opérations d'un groupe
dans un ensemble : classes à gauche, à droite modulo un sous-groupe,
indice d'un sous-groupe, équation aux classes,
cardinal d'un sous-groupe, théorème de Lagrange.
Sous-groupes distingués, sous-groupes caractéristiques, exemples.
- 29 septembre 2016
- Groupes quotients. Propriété universelle d'un groupe quotient.
Sous-groupes d'un groupe quotient. Groupe dérivé et propriété universelle
du quotient d'un groupe par son groupe dérivé.
Monoïde libre, propriété universelle. Groupe libre, propriété
universelle. Unique représentation par un mot réduit ;
applications : centre, torsion. Groupes engendrés par générateurs
et relations.
- 6 octobre 2016
-
Groupes de type fini, monogènes, cycliques ;
sous-groupes finis du groupe multiplicatif d'un corps commutatif.
Groupes abéliens de type fini : existence de quasi-bases,
théorème de structure.
Groupe des permutations \( \mathfrak S_n \) : centre, types et classes de conjugaison, orbites, signature ; groupe alterné.
- 13 octobre 2016
- Corrections des exercices 1 à 4 et 6 de la feuille sur les groupes.
Groupe alterné : engendrement par les 3-cycles, conjugaison des 3-cycles (si \( n\geq 5 \).
Groupe dérivé du groupe symétrique, du groupe alterné.
Pour \( n\geq 5 \), le groupe alterné \( \mathfrak A_n\) est simple.
Sous-groupes de Sylow (début).
- 20 octobre 2015
- Sous-groupes de Sylow (fin). Anneaux.
Définitions (anneau, corps), formule du binôme ; sous-anneaux, sous-corps,
sous-anneau engendré, sous-corps engendré ; sous-corps premier, caractéristique d'un corps. Morphismes d'anneaux. Exemples classiques, algèbres de monoïdes ou de groupes. Idéaux (à droite, à gauche, bilatère), noyau d'un homomorphisme
d'anneaux.
- 3 novembre 2016
- Correction des exercices 21, 22 et 23 de la feuille sur les groupes.
Idéal engendré par une partie, notion d'anneau noethérien, somme d'une famille d'idéaux, produit de deux idéaux. Anneaux quotients, théorème chinois. Anneaux de fractions.
- 10 novembre 2016
-
Corps des fractions d'un anneau intègre. Polynômes, degrés, division euclidienne. Théorème de Hilbert (si $A$ est noethérien, $A[T]$ est noethérien).
- 17 novembre 2016
- Partiel (3h)
- 24 novembre 2016
-
Idéaux premiers, idéaux maximaux ; exemples ; théorème de Krull.
- 1er décembre 2016
- Correction du partiel et des exercices 2, 4 et 22
de la feuille sur les anneaux.
- 8 décembre 2016
- Anneaux euclidiens, principaux, factoriels. Théorème de Gauss
(si $A$ est un anneau factoriel, $A[T]$ est un anneau factoriel).
- 15 décembre 2016
- Corps. Degré d'une algèbre. Racines d'un polynôme, multiplicité.
Corps algébriquement clos, théorème de d'Alembert–Gauss.
Quaternions de Hamilton, algèbres de dimension finie sur $\mathbf R$ qui sont des corps.
Extensions de corps, extensions algébriques.
- 5 janvier 2017
-
Extension de rupture, extension de décomposition, polynômes séparables,
critère de séparabilité utilisant le polynôme dérivé.
Clôture algébrique, théorème de Steinitz (admis).
Corps finis : ils sont commutatifs (théorème de Wedderburn) et leur cardinal est une puissance d'un nombre premier ;
inversement si $q$ est une puissance
d'un nombre premier $p$, les corps finis de cardinal $q$ correspondent
aux extensions de décomposition du polynôme $T^q-T$ sur $\mathbf Z/p\mathbf Z$.
Théorie de Galois : énoncé du théorème de caractérisation des extensions galoisiennes, correspondance de Galois (pas de démonstration, non exigé à l'examen).
- 12 janvier 2017
- Correction d'exercices.
- 19 janvier 2017
- Examen (9h30–12h30).
Antoine Chambert-Loir—
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