Université Paris Diderot
Résumé
Les propriétés homologiques des variétés algébriques lisses sont particulièrement agréables (dualité, notamment). La cohomologie d'intersection et les faisceaux pervers ont été introduits au début des années 80 par Goresky/MacPherson et Beilinson/Bernstein/Deligne/Gabber pour permettre d'étudier agréablement les variétés singulières. Ce cours se veut une introduction à ces notions
qui seront aussi illustrées en TD.
Contenu
- Catégories triangulées
- Cohomologie des faisceaux, six opérations
- Structures de troncation dans les catégories triangulées
- Faisceaux pervers
Horaire des cours
Le cours aura lieu du 8 janvier au 16 février 2018 :
- Lundi, de 10h30 à 12h30, bâtiment Olympe de Gouges, salle 127 ;
- Mardi (travaux dirigés, par Daniel Juteau),
de 13h à 15h, bâtiment Sophie Germain, salle 2018 (sauf les 16 et 23 janvier, salle 0009).
- Jeudi, de 11h à 13h, bâtiment Sophie Germain, salle 1005
(sauf 18 janvier et 8 février : salle 1021).
Examen : jeudi 22 février, de 9h30 à 12h30, bâtiment Sophie Germain, salle 2015. Les notes de cours (manuscrites et polycopié) seront autorisées.
Bibliographie (première partie)
- S. Mac Lane, Categories for the working mathematician (§1)
- M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and sheaves (§1, §2)
- S. Gelfand, Yu. Manin, Methods of homological algebra (§1, §2, §3)
- R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux (§2)
- B. Iversen, Cohomology of sheaves (§1, §2)
- A. Neeman, Triangulated categories (§1)
- A. Beilinson, J. Bernstein, P. Deligne, Faisceaux pervers (§3, §4)
Et après ?
Ces objets ont trouvé une application en théorie des représentations où il est nécessaire de comprendre la géométrie de certaines variétés singulières (cône nilpotent par exemple). On verra ainsi dans la seconde partie du cours (par
Emmanuel Letellier) comment certains faisceaux pervers (faisceaux caractères introduits par Lusztig) permettent de construire géométriquement les caractères des groupes réductifs sur des corps finis.
Documents disponibles
Rédaction du cours,
version livret
(version du 15 février 2018).
Résumé des séances
Lien vers le cours de l'an dernier
- 8 janvier
- Présentation générale du cours. Rappels (sans démonstration) sur les catégories additives et abéliennes.
- 11 janvier
- Complexes dans une catégorie additive, homotopies, cônes, catégorie homotopique. Quand la catégorie est abélienne : objets de cohomologie, homologismes, suite exacte longue. Triangles, définition d'une catégorie triangulée.
- 15 janvier
- Foncteurs cohomologiques dans une catégories triangulée, exemples. Foncteurs décents, application à la construction de triangles distingués. Carrés homotopiquement cartésiens, axiome de l'octaèdre.
- 18 janvier
- La catégorie homotopique d'une catégorie additive est une catégorie triangulée. Localisation de catégories triangulées.
- 22 janvier
- Catégorie dérivée d'une catégorie abélienne. Complexes homotopiquement injectifs, exemple des résolutions injectives. Foncteurs dérivés, classes adaptées à un foncteur additif.
- 25 janvier
- Cohomologie des faisceaux (esquisse succincte) :
foncteurs $f_*$, $f^*$, leurs dérivés ; prolongement par zéro ;
foncteur $f_!$, son dérivé ; faisceaux flasques, faisceaux mous ;
foncteur $\mathbf{R}f^!$ (justification rapide de son existence).
- 29 janvier
- Dualité de Verdier : foncteur dualisant, faisceaux constructibles,
stabilité de la catégorie dérivée constructibles par les opérations cohomologiques, bidualité. Motivation générale pour les faisceaux pervers. Structures de troncation.
- 1er février
- Structures de troncation, foncteurs de troncation. Cœur d'une structure de troncation : c'est une catégorie abélienne, description de ses suites exactes. Foncteur cohomologique $H^0$ d'une catégorie triangulée munie d'une structure de troncation dans le cœur de cette dernière.
- 5 février
- Effet des troncations sur les foncteurs cohomologiques $H^n$.
Structures de troncation non dégénérées ;
dans ce cas, caractérisation de la structure de troncation
par les foncteurs cohomologiques $H^n$.
Foncteurs t-exacts. Recollement de structures de troncations.
- 8 février
- Recollement de structures de troncations (suite). Propriétés.
Recollements partiels.
- 12 février
- Prolongements. Prolongement intermédiaire.
- 15 février
- Stratifications. Perversités, structure de troncation
et faisceaux pervers associés.
Formule de Deligne pour le prolongement intermédiaire.
Passage à la catégorie dérivée constructible. Perversité moitié,
conditions de support et de co-support. Complexes d'intersection.
Énoncé du théorème de décomposition.
Antoine Chambert-Loir—
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