Master 2e année de mathématiques fondamentales

Université Paris Diderot

Résumé

Les propriétés homologiques des variétés algébriques lisses sont particulièrement agréables (dualité, notamment). La cohomologie d'intersection et les faisceaux pervers ont été introduits au début des années 80 par Goresky/MacPherson et Beilinson/Bernstein/Deligne/Gabber pour permettre d'étudier agréablement les variétés singulières. Ce cours se veut une introduction à ces notions qui seront aussi illustrées en TD.

Contenu

  1. Catégories triangulées
  2. Cohomologie des faisceaux, six opérations
  3. Structures de troncation dans les catégories triangulées
  4. Faisceaux pervers

Horaire des cours

Le cours aura lieu du 8 janvier au 16 février 2018 :
Examen : jeudi 22 février, de 9h30 à 12h30, bâtiment Sophie Germain, salle 2015. Les notes de cours (manuscrites et polycopié) seront autorisées.

Bibliographie (première partie)

Et après ?

Ces objets ont trouvé une application en théorie des représentations où il est nécessaire de comprendre la géométrie de certaines variétés singulières (cône nilpotent par exemple). On verra ainsi dans la seconde partie du cours (par Emmanuel Letellier) comment certains faisceaux pervers (faisceaux caractères introduits par Lusztig) permettent de construire géométriquement les caractères des groupes réductifs sur des corps finis.

Documents disponibles

Rédaction du cours, version livret (version du 15 février 2018).

Résumé des séances

Lien vers le cours de l'an dernier

8 janvier
Présentation générale du cours. Rappels (sans démonstration) sur les catégories additives et abéliennes.
11 janvier
Complexes dans une catégorie additive, homotopies, cônes, catégorie homotopique. Quand la catégorie est abélienne : objets de cohomologie, homologismes, suite exacte longue. Triangles, définition d'une catégorie triangulée.
15 janvier
Foncteurs cohomologiques dans une catégories triangulée, exemples. Foncteurs décents, application à la construction de triangles distingués. Carrés homotopiquement cartésiens, axiome de l'octaèdre.
18 janvier
La catégorie homotopique d'une catégorie additive est une catégorie triangulée. Localisation de catégories triangulées.
22 janvier
Catégorie dérivée d'une catégorie abélienne. Complexes homotopiquement injectifs, exemple des résolutions injectives. Foncteurs dérivés, classes adaptées à un foncteur additif.
25 janvier
Cohomologie des faisceaux (esquisse succincte) : foncteurs $f_*$, $f^*$, leurs dérivés ; prolongement par zéro ; foncteur $f_!$, son dérivé ; faisceaux flasques, faisceaux mous ; foncteur $\mathbf{R}f^!$ (justification rapide de son existence).
29 janvier
Dualité de Verdier : foncteur dualisant, faisceaux constructibles, stabilité de la catégorie dérivée constructibles par les opérations cohomologiques, bidualité. Motivation générale pour les faisceaux pervers. Structures de troncation.
1er février
Structures de troncation, foncteurs de troncation. Cœur d'une structure de troncation : c'est une catégorie abélienne, description de ses suites exactes. Foncteur cohomologique $H^0$ d'une catégorie triangulée munie d'une structure de troncation dans le cœur de cette dernière.
5 février
Effet des troncations sur les foncteurs cohomologiques $H^n$. Structures de troncation non dégénérées ; dans ce cas, caractérisation de la structure de troncation par les foncteurs cohomologiques $H^n$. Foncteurs t-exacts. Recollement de structures de troncations.
8 février
Recollement de structures de troncations (suite). Propriétés. Recollements partiels.
12 février
Prolongements. Prolongement intermédiaire.
15 février
Stratifications. Perversités, structure de troncation et faisceaux pervers associés. Formule de Deligne pour le prolongement intermédiaire. Passage à la catégorie dérivée constructible. Perversité moitié, conditions de support et de co-support. Complexes d'intersection. Énoncé du théorème de décomposition.
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