Université Paris Diderot
Préparation à l'agrégation

Je suis responsable de la préparation à l'agrégation. Je ferai aussi une partie du cours d'algèbre, du cours d'analyse, des séances de préparation à l'oral (exercices, leçons), de la modélisation (option algèbre et calcul formel) et un ou deux écrits blancs.

Algèbre

Documents disponibles

Exercices d'algèbre linéaire.

Résumé des séances

10 septembre
Ensembles. Rappels des notations. Relations d'équivalence, classes d'équivalence, ensemble quotient. Relations d'ordre, vocabulaire correspondant (plus petit élément, minorant, borne inférieure ; plus grand élément, majorant, borne supérieure). Lois.Vocabulaire (loi commutative, associative ; élément neutre ; élément inversible à droite, à gauche ; élément simplifiable à droite, à gauche ; inverse. Structures algébriques. Monoïde, groupe, anneau, corps (commutatif ou non), module sur un anneau commutatif, espace vectoriel sur un corps commutatif, algèbre sur un corps commutatif.
17 septembre
Retour sur trois énoncés de théorie des ensembles : 1) Non-surjectivité d'une application de $E$ dans $\mathfrak P(E)$ ; 2) Théorème de Cantor-Bernstein ; 3) Ensembles inductifs, théorème de Zorn, ensembles de caractère fini. Espaces vectoriels. Définition. Applications $K$-linéaires, stabilité par composition et somme. Exemple de $\mathcal L_K(V,W)$, algèbre $\mathcal L_K(V)$, groupe linéaire $\mathrm{GL}_K(V)$ d'un $K$-espace vectoriel $V$. Produit et somme d'une famille d'espaces vectoriels, propriétés universelles. Sous-espace vectoriel, famille de sous-espaces vectoriels en somme directe. Supplémentaire, existence d'un supplémentaire (via le théorème de Zorn). Relations d'équivalences compatibles avec une structure d'espace vectoriel, espaces quotients.
24 septembre
Familles libres, familles liées, bases. Existence des bases (avec le théorème de Zorn, ou directement s'il existe une famille génératrice finie voire dénombrable), constance de leur cardinal (en dimension finie). Dimension d'un espace vectoriel, formules usuelles. Dualité, orthogonalité ; en dimension finie, bidualité.
1er octobre
Matrices élémentaires, opérations élémentaires sur les lignes (les colonnes) d'une matrice. Forme réduite échelonnée par lignes (par colonnes) d'une matrice. Applications à l'algèbre linéaire.

Analyse

Documents disponibles

Exercices d'analyse.

Résumé des séances

12 septembre
Nombres réels. Le corps $\mathbf R$ des nombres réels : caractérisation comme corps ordonné tel que toute partie majorée possède une borne supérieure. Topologie de $\mathbf R$ (rappels de définitions de topologie générale : ouverts, fermés, voisinages...), droite numérique achevée $\overline{\mathbf R}$. Suites, convergence, valeurs d'adhérences, limites inférieure et supérieure. Suites de Cauchy, complétude. Théorème de Bolzano-Weierstrass ; compacité de $\overline{\mathbf R}$ ; les parties compactes de $\mathbf R$ sont les parties fermées bornées. Connexité : les parties connexes de $\overline{\mathbf R}$ sont les intervalles.
19 septembre
Séries numériques. Convergence, séries à termes positifs, comparaison avec une intégrale, estimation des restes. Convergence absolue. Sommation d'Abel, critère d'Abel ; séries alternées. Exemples des séries géométriques ($\sum_n aq^n$, $a$ et $q$ étant des paramètres), de la série de Riemann ($\sum_n n^{-s}$, $s$ étant un paramètre réel ou complexe) et de ses variantes ($\sum_n e^{in\theta}n^{-s}$).
26 septembre
Correction d'exercices de la feuille sur les suites et séries. Présentation de l'épreuve de modélisation et des options proposées.
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