Master 2e année de mathématiques fondamentales

Université Paris Diderot

Pour le cours de l'année 2020-2021, suivez ce lien

Suite à la fermeture de l'université (pandémie de Covid-19) et au confinement généralisé, le cours va se poursuivre dans des conditions moins claires. Pour l'instant, nous utilisons un serveur Discord. Si vous n'avez pas reçu de message de ma part, veuillez me contacter par courrier électronique.

Le cours est désormais terminé !

Vous pouvez encore rédiger les détails de l'exemple 4.3.4, b) et c), en vous inspirant de ce ce qui est suggéré dans le livre de Cox, Little et Schenck (examples 1.2.20 et 1.2.22).

Pour comprendre sur un exemple la fonctorialité des variétés toriques, étudier l'exemple 3.2.1 de Cox, Little, Schenck (exemple 4.3.6 de mon texte). Puis amplifier cet exemple en prenant l'éventail ayant deux cones maximaux, ((1,0), (1,1)) et ((1,1), (0,1)). Résoudre l'exercice 3.1.5 de C-L-S.

Autres exercices : 1) démontrer qu'une variété linéaire tropicale associée à un matroïde valué est équilibrée. 2) déterminer l'intersection stable de deux variétés linéaires tropicales.

Résumé

La géométrie tropicale est une branche de la géométrie algébrique apparue tout récemment où les phénomènes valuatifs sont traduits de façon linéaire par morceaux. Ce cours en abordera divers aspects ; il sera également l'occasion de présenter des objets classiques de géométrie algébrique comme les bases de Gröbner ou les variétés toriques.

Contenu

  1. Géométrie polyédrale
  2. Amibes (à la Gelfand, Kapranov, Zelevinski ; Passare, Rullgård)
  3. Amibes non archimédiennes (Bieri, Groves ; Einsiedler, Kapranov, Lind)
  4. Bases de Gröbner
  5. Variétés toriques
  6. Courbes tropicales : comptage et correspondance (Mikhalkin, Tyomkin,...)
  7. Courbes tropicales : la preuve tropicale du théorème de Brill-Noether

Horaire des cours

Le cours aura lieu de janvier à avril 2020.

Examen (1re partie) : jeudi 20 février, de 9h30 à 12h30, bâtiment Sophie Germain, salle 1009.

À partir du 16 mars, les cours ont lieu à l'horaire habituel sur le serveur Discord.

Bibliographie (première partie, à compléter)

Certains de ces livres sont disponibles sur la bibliothèque électronique de la bibliothèque MIR.

Documents disponibles

Résumé des séances

lundi 6 janvier
Introduction. Géométrie polyédrale. Lemmes de Farkas et programmation linéaire.
jeudi 9 janvier
Programmation linéaire (fin). Polyèdres, polytopes. Cône de récession, sous-espace de linéalite, sous-espace affine engendré. Faces.
lundi 13 janvier
Faces, facettes, treillis des faces. Reconstruction d'un polyèdre par ses sommets et ses rayons extrémaux. Amibes archimédiennes. Application de tropicalisation, amibe d'une sous-variété algébrique de $(\mathbf C^*)^n$, exemple d'une droite.
jeudi 16 janvier
Domaines de Reinhardt, domaine de convergence des séries de Laurent, développement en série de Laurent d'une fonction holomorphe sur un domaine de Reinhardt. Application à la convexité des composantes connexes du complémentaire d'une amibe.
lundi 20 janvier
Étude des composantes connexes du complémentaire d'une amibe : ordre, cône de récession ; lien avec le polytope de Newton.
jeudi 23 janvier
La fonction de Ronkin d'un polynôme de Laurent et l'épine d'une amibe.
lundi 27 janvier
Ensemble limite logarithmique d'une variété algébrique. Cas des hypersurfaces.
jeudi 30 janvier
Amibes non archimédiennes. Valeurs absolues, valuations, espaces de Berkovich.
lundi 3 février
Théorème de Kapranov sur l'amibe non archimédienne d'un hypersurface. Début de la preuve.
jeudi 6 février
Fin de la preuve du théorème de Kapranov. Formes initiales, idéal initial, bases de Gröbner tropicales.
lundi 10 février
Idéaux monomiaux. Fonction de Hilbert d'un idéal initial. Décomposition de Gröbner d'un idéal homogène (début).
jeudi 13 février
Décompositions polyédrales (généralités). Décomposition de Gröbner d'un idéal homogène.
lundi 24 février
Tropicalisation non archimédienne d'une sous-variété du tore. Début de la preuve : caractère polyédral de la variété tropicale, majoration de sa dimension, décomposition suivant les composantes irréductibles, relèvement des points à composantes dans le groupe de valeur.
jeudi 27 février
Bases tropicales, comportement de la variété tropicale par extension des scalaires.
lundi 2 mars
Retour sur le théorème principal de la géométrie tropicale. Définition des multiplicités, exemple des hypersurfaces. Énoncé de la condition d'équilibre.
jeudi 5 mars
« L'Université et la recherche s'arrêtent ». — Cours reporté en raison du mouvement social contre la LPPR et la réforme des retraites
lundi 9 mars
Multiplicité des points. Digression sur la décomposition primaire et les idéaux premiers associés, composantes irréductibles et composantes immergées. Esquisse de la preuve de la condition d'équilibre.
jeudi 12 mars
Variétés toriques. Définition des tores, leurs caractères et cocaractères, dualité entre caractères et cocaractères. Digressions sur le point de vue « foncteur des points » en théorie des schémas, application aux schémas en groupes, actions de schémas en groupes sur des schémas. Action d'un tore de groupe de caractères $M$ sur un schéma affine et graduation de type $M$ de l'anneau des fonctions sur ce schéma.
vendredi 13 mars
Exemples de variétés toriques définies par adhérence de l'orbite d'un point dans une variété torique donnée. Cas de l'espace affine et de l'espace projectif. Variétés toriques définies par un monoïde (fin) ou un cône convexe polyédral rationnel.
lundi 16 mars
Discussion en ligne (serveur Discord) : 1) L'exemple 3.8.5 (multiplicité des hypersurfaces) est complètement faux, à comparer avec la proposition 3.4.6 de Maclagan-Sturmfels. 2) Factorisation dans $K[X,Y]$, théorème de Gauss, critère d'Eisenstein ; plus généralement, factorisation des polynômes en une variable à coefficients dans un corps valué et découpage de leur polygone de Newton.
jeudi 19 mars
(serveur Discord) Morphismes de variétés toriques affines induits par une inclusion de cônes, cas d'une face. Variétés toriques définies par un éventail. Exemple de la droite projective, produits de variétés toriques.
lundi 23 mars
(serveur Discord) Comment déterminer un système minimal de générateurs d'un monoïde de type fini (d'après Cox, Little, Schenck, proposition 1.2.23 p. 54). Variétés toriques et éventails. Exemple de l'espace projectif. Séparation et propreté des variétés toriques (discussion informelle sur les critères valuatifs). Pourquoi toutes les variétés toriques \emph{normales} proviennent de cette construction. Début de la décomposition en orbites.
jeudi 26 mars
(serveur Discord) Limites de sous-groupes à un paramètres. Décomposition en orbites. Calcul des éventails des variétés toriques qui apparaissent.
lundi 30 mars
(serveur Discord) Exemple des arrangements d'hyperplans : description de la tropicalisation d'un sous-espace projectif de $\mathbf P^n_K$ en termes de circuits.
jeudi 2 avril
(serveur BigBlueButton) Description de la tropicalisation en termes d'un éventail (valuation triviale). Vocabulaire de la théorie des matroïdes. Algorithme glouton et bases maximales. Polytope associé à un matroïde ; faces de ce polytope.
jeudi 9 avril
(serveur BigBlueButton) Grassmanniennes : construction, plongement de Plücker, relations de Grassmann.
jeudi 23 avril
(serveur BigBlueButton) Tropicalisation des grassmanniennes : cas de $G_{2,4}$ puis description de la tropicalisation de $G_{2,n}$ en termes d'arbres phylogénétiques.
jeudi 30 avril
(serveur BigBlueButton) Matroïdes valués, espaces linéaires tropicaux.
jeudi 7 mai
(serveur BigBlueButton) Intersection tropicale. Sous-espaces polyédraux pondérés, condition d'équilibre. Poids de Minkowski (aka cycles tropicaux). Exemples : tropicalisation de sous-variétés algébriques d'un tore, espaces linéaires tropicaux associés à un matroïde valué, « bord » d'une fonction affine par morceaux, poids de Minkowski de dimension maximale. Image d'un poids de Minkowski par un morphisme affine. Définition de l'intersection tropicale. Illustration sur quelques exemples de courbes planes.
jeudi 7 mai
(serveur BigBlueButton) Intersection tropicale : démonstrations.
jeudi 28 mai
(serveur BigBlueButton) Intersection tropicale de tropicalisations, comparaison avec l'intersection en géométrie algébrique. [Cours annoté]
jeudi 4 juin
(serveur BigBlueButton) Variation des tropicalisations. Intersection tropicale avec un hyperplan générique. Version tropicale du théorème de Bernstein. [Cours annoté]
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