Master 2e année de mathématiques fondamentales

Université Paris Diderot

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Résumé

La géométrie tropicale est une branche de la géométrie algébrique apparue tout récemment où les phénomènes valuatifs sont traduits de façon linéaire par morceaux. Ce cours en abordera divers aspects ; il sera également l'occasion de présenter des objets classiques de géométrie algébrique comme les bases de Gröbner ou les variétés toriques.

Le cours sera en français, mais les notes de cours sont en anglais.

The course will be taught in French, but the lecture notes are in English.

Contenu

  1. Géométrie polyédrale
  2. Amibes (à la Gelfand, Kapranov, Zelevinski ; Passare, Rullgård)
  3. Amibes non archimédiennes (Bieri, Groves ; Einsiedler, Kapranov, Lind)
  4. Bases de Gröbner
  5. Variétés toriques
  6. Courbes tropicales : comptage et correspondance (Mikhalkin, Tyomkin,...)
  7. Courbes tropicales : la preuve tropicale du théorème de Brill-Noether

Horaire des cours

Le cours aura lieu du 11 janvier au 18 février 2021 (première partie) et du 8 mars au 15 avril 2021 (seconde partie) :

Bibliographie (première partie)

Certains de ces livres sont disponibles sur la bibliothèque électronique de la bibliothèque MIR.

Documents disponibles

Résumé des séances

Les dates en italiques cachent un lien vers les notes de cours et les annotations faites pendant la présentation.

lundi 11 janvier
Introduction. Géométrie polyédrale. Lemmes de Farkas et programmation linéaire. Polyèdres, polytopes, décomposition d'un polyèdre comme la somme de Minkowski d'un polytope et d'un cone convexe polyédral.
jeudi 14 janvier
Cône de récession, sous-espace de linéalite, sous-espace affine engendré. Faces, treillis des faces. Reconstruction d'un polyèdre par ses sommets et ses rayons extrémaux.
lundi 18 janvier
Amibes archimédiennes. Application de tropicalisation, amibe d'une sous-variété algébrique de $(\mathbf C^*)^n$, exemple d'une droite. Domaines de Reinhardt, domaine de convergence des séries de Laurent, développement en série de Laurent d'une fonction holomorphe sur un domaine de Reinhardt. Application à la convexité des composantes connexes du complémentaire d'une amibe.Étude des composantes connexes du complémentaire d'une amibe : ordre, cône de récession ; lien avec le polytope de Newton (énoncé).
jeudi 21 janvier
La fonction de Ronkin d'un polynôme de Laurent et l'épine d'une amibe.
lundi 25 janvier
Ensemble limite logarithmique d'une variété algébrique. Cas des hypersurfaces. Amibes non archimédiennes. Semi-normes, théorème d'Ostrowski.
jeudi 28 janvier
Valeurs absolues, valuations, valeurs absolues de Gauss, complété, prolongement d'une valeur absolue à une extension algébrique. Spectres analytiques (Berkovich), application de tropicalisation non archimédienne.
lundi 1er février
Un exemple de valeur absolue non archimédienne par l'analyse non standard. Locale compacité des spectres analytiques. Polynômes tropicaux, formes initiales. Cas d'un produit. Hypersurface tropicale. Théorème de Kapranov sur l'amibe non archimédienne d'un hypersurface. Preuve en admettant la proposition de relèvement (prop. 3.3.7).
jeudi 4 février
Fin de la preuve du théorème de Kapranov. Idéaux monomiaux, théorème de Maclagan. Formes initiales, idéal initial.
lundi 8 février
Fonction de Hilbert d'un idéal initial. Décomposition polyédrale de $\mathbf R^{n+1}$ associée à un idéal homogène.
jeudi 11 février
Compléments sur la décomposition de Gröbner associée à un idéal homogène. Variété tropicale, bases tropicales, comportement par extension des scalaires. Énoncé du théorème comparant variété tropicale et tropicalisation (amibe non archimédienne) et début de la preuve.
lundi 15 février
Fin de la preuve du théorème. Dimension des amibes non archimédiennes. Structure locale d'une amibe non archimédienne et tropicalisation de la variété définie par l'idéal initial. Cas d'un idéal défini sur les rationnels : comparaison des amibes $p$-adiques, complexes et de l'amibe associée à la valuation triviale.
jeudi 18 février
Amibes non archimédiennes d'hypersurfaces. Comment leur décomposition polyédrale naturelle donnée par le polynôme tropical associé est « duale » d'une décomposition polyédrale du polytope de Newton. Condition d'équilibre. Définition des multiplicités pour les hypersurfaces. Vérification de la condition d'équilibre (pour les courbes). Évocation de l'approche tropicale à la géométrie énumérative (Mikhalkin), formule de récurrence de Kontsevich, principe de correspondance de Mikhalkin.
lundi 8 mars
Résumé de la première partie du cours. Introduction à la géométrie tropicale énumérative.
jeudi 11 mars
Description des hypersurfaces tropicales. Leurs limites lorsque les paramètres tendent vers l'infini. Décompositions polyédrales auxquelles elles donne lieu, de leur dualité. Pondération et condition d'équilibre, reconstruction d'une fonction convexe affine par morceaux.
lundi 15 mars
Retour sur la reconstruction d'un polyèdre équilibré de codimension 1 comme lieu de non-différentiabilité d'une fonction convexe affine par morceaux. Courbes tropicales paramétrées, leur combinatoire ; courbes simples. Multiplicités, courbes lisses. Points tropicalement en position générale. Invariance du nombre de courbes tropicales simples (polygone de Newton et genre donnés) passant par un nombre de points donné en position générale (énoncé). Exemples.
jeudi 18 mars
Variétés toriques. Tores algébriques, (co)caractères, graduations. Variétés toriques définies par des caractères d'un tore. Variétés toriques affines définies par un cône convexe polyédral.
lundi 22 mars
Variétés toriques affines associées à un cône convexe polyédral rationnelle, fonctorialités, exemples.
jeudi 25 mars
Éventails et variétés toriques. Séparation, propreté. Prolongement d'un morphisme de tores en un morphisme de variétés toriques. Exemples: produits, espaces projectifs. Variété torique associée à un polyèdre rationnel de dimension maximale via son éventail normal, cas des polytopes ; lien avec la construction faite au début du cours.
lundi 29 mars
Décompositions en orbites d'une variété torique. Points d'une variétés torique à valeurs dans un monoïde, tropicalisations étendues.
jeudi 1er avril
Les différentes descriptions possibles d'un matroïdes (parties libres, liées, bases, génératrices, circuits, fonction rang, plats, algorithme glouton).
jeudi 8 avril
Matroïdes et polytopes, algorithme glouton, éventail de Bergman.
lundi 12 avril
Arrangements d'hyperplans, tropicalisation de sous-espaces projectifs.
jeudi 15 avril
Variétés grassmanniennes, coordonnées de Plücker, plongement de Plücker, relations de Grassmann. Tropicalisation des grassmanniennes. Cas de $G_{2,4}$. Cas de $G_{2,n}$, lien avec l'espace des arbres phylogénétiques. Matroïdes valués, dressien, sous-espaces linéaires tropicaux généralisés.
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