Université Paris Cité
Présentation
Il s'agit d'un second cours de théorie des schémas qui fait suite à celui du cours de François Loeser en période 2.
Les faisceaux quasi-cohérents sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux, et cette analogie est exacte dans le cas des schémas affines, le foncteur section globales fournit une équivalence de catégories abéliennes.
La situation est plus subtile dans le cas général et ce foncteur (ou leur généralisation donnée par l'image directe suivant un morphisme) n'est plus forcément exact, donnant lieu à une théorie cohomologique non triviale.
Une première partie du cours sera consacrée à construire cette théorie et à en établir les propriétés fondamentales et les premières applications (caractérisation des schémas affines et de l'amplitude).
Dans une seconde partie, si le temps le permet, nous voudrions présenter trois théorèmes fondamentaux où cette cohomologie joue un rôle majeur :
-
Le théorème de comparaison de Serre entre géométrie algébrique et géométrie analytique;
-
la théorie de régularité de Castelnuovo-Mumford et la construction des schémas de Hilbert;
-
Le théorème de dualité de Serre.
Contenu
- Cohomologie des faisceaux cohérents
- Fibrés en droites et leur amplitude
- Comparaison entre géométrie algébrique et géométrie analytique
- Régularité de Castelnuovo-Mumford et schémas de Hilbert
- Dualité de Serre
Prérequis
- Cours Schémas 1 (François Loeser)
- Bases d'algèbre homologique
Bibliographie indicative
- A. Grothendieck, J. Dieudonné. « Éléments de géométrie algébrique. »
Publications math. IHÉS 4, 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32. (1960-1967).
[Numdam]
- B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. Kleiman, N. Nitsure and A. Vistoli . Fundamental algebraic geometry: Grothendiecks FGA explained. Mathematical Surveys and Monographs 123, AMS, (2005)
- R. Hartshorne. Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 52, Springer(1977)
- J. de Jong et. al. The Stacks Project
- D. Mumford. The Red Book of Varieties and Schemes. Lecture Notes in Math. 1358, Springer, (1999)
- R. Vakil. Foundations of Algebraic Geometry
Les notes de cours antérieurs peuvent également être utiles sur certains passages :
Horaire des cours
Le cours aura lieu du 9 janvier au 16 février 2023 :
- lundi, 9h15–11h15, Université Paris Cité, Halle aux farines, 379F
- Jeudi, 9h–11h, Olympe de Gouges, 255
L'examen aura lieu le jeudi 23 février, 9h–12h, Halle aux farines, amphi 3B.
Exercices
- Six exercices (catégories abéliennes, objets injectifs, faisceaux, un peu de cohomologie) —corrigé le 22 janvier 2023
- Six autres exercices (cohomologie des faisceaux cohérents : schémas affines, droite dédoublée, complémentaire d'un point dans le plan, intersections complètes) — corrigé le 20 février 2023
- Cinq exercices (extensions dans une catégorie abélienne, objets projectifs dans la catégorie des faisceaux cohérents, un peu de platitude et de cohomologie…) — complété le 15 février 2023
Examens
Résumé des séances
- lundi 9 janvier
-
Contexte du cours : défaut d'exactitude à droite du fonction « sections globales ».
Présentation historique : approche cohomologique de la géométrie algébrique (Cartan, Serre, Grothendieck…).
Contexte historique des théories cohomologiques (cohomologie de Čech, foncteurs dérivés, catégories dérivées, catégories de modèles, ∞-catégories…) : on se tiendra aux foncteurs dérivés.
Catégories abéliennes (rappels). Objets projectifs et injectifs. Cohomologie d'un complexe. Homologies, homotopies, homéotopies. Résolutions injectives (définition et énoncé du théorème).
- jeudi 12 janvier
-
Construction des résolutions injectives, fonctorialité et unicité à homotopie près.
Définition des foncteurs dérivés, suites exactes longues.
Résolutions acycliques.
$\delta$-foncteurs, $\delta$-foncteurs universels ;
cas des foncteurs dérivés.
- lundi 16 janvier
-
Cohomologie des faisceaux : existence de résolutions injectives.
Faisceaux flasques et applications (existence de résolutions flasques, acyclicité…).
Dimension cohomologique des espaces topologiques noethériens (pas terminé).
- jeudi 19 janvier
- Dimension cohomologique des espaces topologiques noethérien (reprise et fin). Limites inductives et cohomologie. Théorème d'annulation de Serre. Premiers corollaires.
- lundi 23 janvier
- Applications du théorème d'annulation de Serre : résolutions de Čech, quasi-cohérence des images directes supérieures. Caractérisation cohomologique des schémas affines. Cohomologie de l'espace projectif : rappels sur la construction Proj.
- jeudi 26 janvier
- Calcul de la cohomologie des faisceaux $\mathscr O(d)$ sur les espaces projectifs.
- lundi 30 janvier
- Correspondance entre modules gradués sur un anneau de polynômes et faisceaux cohérents sur l'espace projectif. Cohomologie des faisceaux cohérents sur l'espace projectif : finitude, annulation, engendrement par des sections globales.
- jeudi 2 février
- Fin de la démonstration de la correspondance. Énoncé du théorème de finitude pour les morphismes propres. Discussion rapide de sa démonstration et du lemme de Chow.
Caractéristique d'Euler–Poincaré, fonction de Hilbert.
- lundi 6 février
- Modules plats, modules projectifs et modules localement libres.
- jeudi 9 février
-
Variation de la cohomologie. Énoncé du théorème principal : étant donné un morphisme propre f : X → Spec(A) et un faisceau cohérent F sur X qui est plat sur A, calcul universel de la cohomologie de F par un complexe borné de A-modules qui est à termes localement libres de rang fini. Applications (constance de la caractéristique d'Euler-Poincaré, semi-continuité des dimensions des modules de cohomologie des fibres, caractère localement libre des images directes supérieures…). Début de la démonstration du théorème.
- lundi 13 février
-
Variation de la cohomologie : fin de la démonstration du théorème principal. Retour sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et les fonctions de Hilbert, démonstration du caractère polynomial. Régularité de Castelnuovo-Mumford. Définition et énoncé du théorème principal.
- jeudi 16 février
-
Idéaux premiers associés. Degré du polynôme de Hilbert.
Démonstration du théorème de Castelnuovo-Mumford sur la régularité.
Antoine Chambert-Loir—
Dernière mise à jour :