Master 2e année de mathématiques fondamentales

Université Paris Cité

Présentation

Il s'agit d'un second cours de théorie des schémas qui fait suite à celui du cours de François Loeser en période 2.

Les faisceaux quasi-cohérents sont aux schémas ce que les modules sont aux anneaux, et cette analogie est exacte dans le cas des schémas affines, le foncteur section globales fournit une équivalence de catégories abéliennes.

La situation est plus subtile dans le cas général et ce foncteur (ou leur généralisation donnée par l'image directe suivant un morphisme) n'est plus forcément exact, donnant lieu à une théorie cohomologique non triviale.

Une première partie du cours sera consacrée à construire cette théorie et à en établir les propriétés fondamentales et les premières applications (caractérisation des schémas affines et de l'amplitude).

Dans une seconde partie, si le temps le permet, nous voudrions présenter trois théorèmes fondamentaux où cette cohomologie joue un rôle majeur :

Contenu

Prérequis

Bibliographie indicative

Bibliographie plus fournie : formats [Zotero] [BiBTeX] [PDF]
Certains de ces livres sont disponibles sur la bibliothèque électronique de la bibliothèque MIR.
Les notes de cours antérieurs peuvent également être utiles sur certains passages :

Horaire des cours

Le cours aura lieu du 9 janvier au 16 février 2023 : L'examen aura lieu le jeudi 23 février, 9h–12h, Halle aux farines, amphi 3B.

Exercices

Examens

Résumé des séances

lundi 9 janvier
Contexte du cours : défaut d'exactitude à droite du fonction « sections globales ». Présentation historique : approche cohomologique de la géométrie algébrique (Cartan, Serre, Grothendieck…). Contexte historique des théories cohomologiques (cohomologie de Čech, foncteurs dérivés, catégories dérivées, catégories de modèles, ∞-catégories…) : on se tiendra aux foncteurs dérivés. Catégories abéliennes (rappels). Objets projectifs et injectifs. Cohomologie d'un complexe. Homologies, homotopies, homéotopies. Résolutions injectives (définition et énoncé du théorème).
jeudi 12 janvier
Construction des résolutions injectives, fonctorialité et unicité à homotopie près. Définition des foncteurs dérivés, suites exactes longues. Résolutions acycliques. $\delta$-foncteurs, $\delta$-foncteurs universels ; cas des foncteurs dérivés.
lundi 16 janvier
Cohomologie des faisceaux : existence de résolutions injectives. Faisceaux flasques et applications (existence de résolutions flasques, acyclicité…). Dimension cohomologique des espaces topologiques noethériens (pas terminé).
jeudi 19 janvier
Dimension cohomologique des espaces topologiques noethérien (reprise et fin). Limites inductives et cohomologie. Théorème d'annulation de Serre. Premiers corollaires.
lundi 23 janvier
Applications du théorème d'annulation de Serre : résolutions de Čech, quasi-cohérence des images directes supérieures. Caractérisation cohomologique des schémas affines. Cohomologie de l'espace projectif : rappels sur la construction Proj.
jeudi 26 janvier
Calcul de la cohomologie des faisceaux $\mathscr O(d)$ sur les espaces projectifs.
lundi 30 janvier
Correspondance entre modules gradués sur un anneau de polynômes et faisceaux cohérents sur l'espace projectif. Cohomologie des faisceaux cohérents sur l'espace projectif : finitude, annulation, engendrement par des sections globales.
jeudi 2 février
Fin de la démonstration de la correspondance. Énoncé du théorème de finitude pour les morphismes propres. Discussion rapide de sa démonstration et du lemme de Chow. Caractéristique d'Euler–Poincaré, fonction de Hilbert.
lundi 6 février
Modules plats, modules projectifs et modules localement libres.
jeudi 9 février
Variation de la cohomologie. Énoncé du théorème principal : étant donné un morphisme propre f : X → Spec(A) et un faisceau cohérent F sur X qui est plat sur A, calcul universel de la cohomologie de F par un complexe borné de A-modules qui est à termes localement libres de rang fini. Applications (constance de la caractéristique d'Euler-Poincaré, semi-continuité des dimensions des modules de cohomologie des fibres, caractère localement libre des images directes supérieures…). Début de la démonstration du théorème.
lundi 13 février
Variation de la cohomologie : fin de la démonstration du théorème principal. Retour sur les caractéristiques d'Euler-Poincaré et les fonctions de Hilbert, démonstration du caractère polynomial. Régularité de Castelnuovo-Mumford. Définition et énoncé du théorème principal.
jeudi 16 février
Idéaux premiers associés. Degré du polynôme de Hilbert. Démonstration du théorème de Castelnuovo-Mumford sur la régularité.
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