Hasard et probabilités

Qu’est-ce qu’un nombre ?

Antoine Chambert-Loir

5 mars 2025

Hasard : le mot est jeté.

Selon le Trésor de la langue française, le mot désigne d’abord un jeu de dés, hasart, vers 1150, puis, au XIII^e siècle, un mauvais coup, un risque (XV^e siècle), un événement fortuit (début du XIV^e siècle). L’étymologie antérieure du mot n’est pas absolument certaine: en arabe moderne, az-zahr (الزه) est un dé à jouer, mais le mot pourrait venir de la fleur, zahr (زهر), qui aurait été représentée sur l’une des faces du dé. Bizarrement, le mot anglais utilisé pour le même concept, randomness, vient du français randon, qui désignait un mouvement impétueux (et a donné randonnée).

Naissance des probabilités : un calcul d’espérance

Le 29 juillet 1654, Pascal écrit à son ami Fermat à propos d’un problème qui lui avait été soumis par le chevalier de Méré. Voilà la question: imaginez deux joueurs s’affrontant au cours d’une suite de pile ou face, le gagnant étant le premier à remporter un nombre fixé de manches. Le jeu devant s’arrêter avant sa fin, comment les joueurs doivent-ils se répartir les mises de façon équitable ?

Fermat avait résolu le problème par la méthode des combinaisons, et Pascal propose une méthode qu’on qualifierait aujourd’hui de récursive en mettant en place une espèce d’arbre des possibilités successives.

Comme souvent à cette époque, la démonstration est faite dans le cas d’un exemple, mais Pascal énonce la solution lorsque les joueurs se séparent au bout d’un seul tirage, le nombre de manches gagnantes étant arbitraire.

Plusieurs choses sont intéressantes dans ce début de la théorie des probabilités.

La première est qu’elle émerge au sein de problèmes concrets, presque futiles. De fait, les problèmes de dés ne sont rendus possibles que par la construction de dés précisément usinés. C’est ainsi que Cosme II de Médicis avait remarqué que, lorsqu’on lance trois dés, le total 10 sort plus souvent que le total 9, alors que ces deux nombres semblent se décomposer du même nombre de façons en trois dés (six fois, $1+3+6$ , $1+4+5$ , $2+2+6$ , $2+3+5$ , $2+4+4$ , $3+3+4$ pour le total 10, et $1+2+6$ , $1+3+5$ , $1+4+4$ , $2+2+5$ , $2+3+4$ , $3+3+3$ pour le total 9). Galilée résout le paradoxe en expliquant que ces décompositions ne sont pas aussi problables les unes que les autres: lorsque les trois dés sont distincts, il faut les compter 6 fois, mais 3 fois lorsque deux sont égaux. On obtient alors 27 et 25 décompositions respectivement. Leibniz lui-même fera cette erreur dans son texte sur le Jeu de quinquenove (1678).

D’autres motivations viendront de questions d’assurance, de rentes, ou d’emprunts, apparemment plus liées à l’interdiction religieuse de l’usure (il fallait donc que le taux d’intérêt soit en juste mesure des risques encourus) que par souci d’optimisation.

L’autre observation est qu’il n’est pas tant question de probabilités que d’espérance.

D’ailleurs, dans l’un des premiers ouvrages fondateurs, la Doctrine des chances: ou, Une méthode pour calculer les probabilités d’événements en jeu d’Abraham de Moivre (1756), la notion de probabilité est définie de façon très primitive:

La probabilité d’un événement est plus grande ou plus petite en fonction du nombre de chances par lesquelles il peut survenir, comparé avec le nombre de changes par lesquelles il peut ou bien survenir ou échouer.

Par suite, si nous formons une fraction dont le numérateur sera le nombre de chances par lesquelles un événement peut survenir, et le dénominateur le nombre total de chances par lesquelles il peut ou bien survenir ou bien échouer, cette fraction représentera la probabilité qu’il survienne. Par Ainsi, si un événement a 3 chances de survenir, et 2 d’échouer, la fraction 3/5 représentera la probabilité qu’il survienne, et pourra être considérée comme sa mesure.

Ainsi, tous les calculs de probabilités supposent implicitement que l’on décompose les événements en « chances » qui sont supposées pouvoir survenir de façon égale. Comme l’écrivait déjà Fermat dans une lettre à Pascal (27 septembre 1654), il s’agit de « rendre tous les hasards égaux »,

D’Alembert revient sur cette question dans l’Encyclopédie (1754), dans son article sur le jeu de « croix ou pile (analyse des hasards) ». C’est le jeu qu’on appelle aujourd’hui « pile ou face », mais les pièces des premiers rois de France portaient sur une face une croix, et sur l’autre des piliers. Plus tard (apparemment par un édit d’Henri II, en 1548), ils gravèrent leur effigie en place de la croix, d’où le nom « face » pour ce côté, et indiquèrent la valeur de la pièce sur l’autre, mais elle garda son nom de « pile ».

D’Alembert se demande quelle probabilité il y a, lorsque l’on lance deux pièces, de faire apparaître deux fois « pile ». Il présente deux analyses, contradictoires: soit l’on dit qu’il y a trois possibilités, croix-croix, croix-pile, pile-pile, et l’on affirme que la probabilité cherchée est d’un tiers; soit l’on dit qu’il y a quatre possibilités, croix-croix, croix-pile, pile-croix, pile-pile, et l’on affirme que la probabilité cherchée est d’un quart. C’est ce second raisonnement qui est correct: mais d’Alembert ne semble pas vraiment trancher.

En fait, les débuts de la théorie des probabilités verront fleurir de nombreux paradoxes, tout à fait analogues à celui-ci, ou à celui résolu par Galilée, paradoxes qui seront considérées comme autant de limites à la simple possibilité d’une théorie mathématique des probabilités. Il faudra attendre le formalisme de Kolmogorov (1933) pour que la notion de probabilité acquière définitivement sa place en mathématiques.

La Thérie analytique des probabilités de Laplace

Je fais un saut d’un siècle et passe à Pierre-Simon Laplace (1749–1827), mathématicien, nous le verrons, mais d’abord astronome.

Son Traité de Mécanique céleste (5 volumes, 1799-1825) reprend la mécanique de Newton, de façon “analytique”, c’est-à-dire calculatoire. En 1773, il avait montré que ces lois de Newton expliquent le mouvement des planètes sur une très longue durée. Sa philosophie est « déterministe » : l’Univers s’explique en principe par l’application de lois mathématiques.

Citons Victor Hugo (1913) Choses vues, p. 271 :

Arago était un grand astronome. Chose inouïe, il regardait sans cesse le ciel et il ne croyait pas en Dieu. Ce malheur arrive parfois aux astronomes. Lalande était comme Arago. Ils étudient les étoiles et les soleils cependant. À quoi bon s’ils n’en tirent pas la vraie clarté ? Ces splendeurs de la création ne sont pas faites seulement pour l’œil de la chair. Ce sont des astres dans le ciel, ce sont des flambeaux dans l’esprit.

M. Arago avait une anecdote favorite. Quand Laplace eut publié sa Mécanique céleste, disait-il, l’empereur le fit venir. L’empereur était furieux. — Comment, s’écria-t-il en apercevant Laplace, vous faites tout le système du monde, vous donnez les lois de toute la création, et dans tout votre livre vous ne parlez pas une seule fois de l’existence de Dieu ! — Sire, répondit Laplace, je n’avais pas besoin de cette hypothèse.

Si Laplace nous intéresse aujourd’hui, c’est pour son travail de fondation de la théorie des probabilités, dans son livre de 1812: Théorie analytique des probabilités, complété en 1840 par une présentation moins mathématisée, Essai philosophique sur les probabilités. Théorie des probabilités qui ne le conduit cependant pas à rompre avec sa philosophie déterministe, au contraire :

Citons le début du Livre II, chapitre premier : « Principes généraux de cette théorie », d’ailleurs repris sous une forme très proche dans l’Essai philosophique.

Tous les événements, ceux même qui par leur petitesse semblent ne pas tenir aux grandes lois de la nature, en sont une suite aussi nécessaire que les révolutions célestes. Une intelligence qui pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la matière est animée, ainsi que la position et la vitesse de chacune de ses molécules ; si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l’analyse, embrasserait dans la même formule, les mouvements des plus grands corps de l’univers et cecux du plus léger atome. Pour une semblable intelligence, rien ne serait irrégulier, et la courbe décrite par une simple molécule d’air ou de vapeurs, paraîtrait réglée d’une manière aussi certaine, que l’est pour nous l’orbe du soleil. Mais dans l’ignorance où nous somme de l’immensité des données nécessaires à la solution de ce grand problème, et dans l’impossibilité, vu notre faiblesse, d’assujétir au calcul la plupart de celles qui nous sont connues, alors même que leur nombre est très-borné; nous attribuons les phénomènes qui nous paraissent arriver et se succéder sans aucun ordre, à des causes variables et cachées, dont l’action a été désignée par le mot hasard, mot qui n’est au fond que l’expression de notre ignorance.

Le Traité de Laplace est divisé en deux Livres. Le premier est un ouvrage d’analyse, sans aucune considération de théorie des probabilités, mais dont les résultats seront utilisés de façon cruciale dans le second livre. Là, Laplace y expose les bases de la théorie puis étudie en détail ce qui se passe lorsqu’une expérience aléatoire est répétée de nombreuses fois. Les derniers chapitres appliquent la théorie à la question « de la probabilité des causes et des événements futurs », d’abord de façon abstraite, puis dans les sciences (irrégularités des mouvements des planètes et calcul de l’aplatissement de la Terre en particulier), et dans des situations sociales : rapport des naissances filles/garçons, durée moyenne de la vie, des mariages, rentes… Les dernières pages justifient par le calcul la titrisation des risques via la mise en place de caisses d’assurance.

Probabilité des causes

Daniel Bernoulli (1760), Ars Conjectandi : Problème d’urne, et théorème limite : si une urne contient une proportion $p$ de boules noires, lorsqu’on en tire un grand nombre $N$ (avec remise), la proportion $m/N$ du nombre de boules noires observées se rapproche de $p$ avec forte probabilité: $\lim_{N\to+\infty} \mathbf P( \left|p - m/N\right| < \varepsilon) \to 0$ pour tout $\varepsilon >0$ .

Mais la question de la probabilité des causes est inverse : étant donné un phénomène observé, comment l’attribuer à un phénomène invisible. La solution est donnée indépendamment à la fin du 18^e siècle:

Thomas Bayes, Richard Price (1763), An essay towards solving a problem in the doctrine of chance
Pierre-Simon Laplace (1770) : taux de naissances masculines

Le problème de Monty Hall (1991)

Il s’agit en fait d’un problème posé par Martin Gardner en 1959 dans la revue Scientific American sous le titre du problème des trois prisonniers. Énoncé dans un contexte neutre (à l’ère de l’anthropocène, gagner une voiture est-il encore désirable ? — et ne souhaitons à personne de devoir envisager son emprisonnement…), un joueur désigne une carte parmi trois, sachant qu’une d’entre elles est gagnante et les deux autres sont perdantes; sans découvrir la carte proposée, le maître du jeu lui montre alors une carte perdante parmi les deux autres, et le joueur peut alors revoir son choix — celle initialement choisie, ou bien la troisième. Qu’a-t-il intérêt à faire?

Voici une analyse très simple. Au début du jeu, on avait une chance sur trois de désigner la carte gagnante, mais après avoir vu une carte perdante, chacune des deux cartes peut être gagnante, et on a une chance sur deux à chaque fois.

Analyse très simple, mais analyse totalement inexacte, qui fut l’objet d’une vive polémique en 1991, opposant une certaine Marilyn vos Savant et une bonne partie de la communauté mathématique, au point qu’elle fit l’objet d’un article en première page du New York Times du 21 juillet 1991 (“Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer?”). Le plus étonnant est qu’à en croire cet article, il ait fallu, pour prouver la fausseté de ces arguments, non pas un raisonnement mathématique, mais une expérience, faite par le présentateur Monty Hall lui-même.

Nous allons donner l’argument détaillé de Marilyn vos Savant un peu plus bas, mais celui de Monty Hall est très simple: la probabilité que la première carte soit gagnante ne change pas au cours du jeu, c’est $1/3$ ; nécessairement, la probabilité que la troisième carte soit gagnante est $2/3$ : c’est celle-là qu’il y a donc intérêt à choisir !

Pour remettre la logique d’aplomb et éliminer la première analyse, il faut observer que le maître du jeu ne montre pas une carte perdante au hasard, il montre une carte perdante qui n’est pas celle initialement désignée. C’est cette absence d’indépendance, au sens de la théorie des probabilités, qui rend la réponse naïve inexacte.

Imaginons que les cartes aient des numéros 1, 2, 3 et que le joueur désigne d’abord la carte 1. Appelons $X$ le numéro de la carte gagnante, et $Y$ celui de la carte découverte par le meneur de jeu. On a $X \in \{1,2,3\}$ , et $Y \in\{2,3\}$ ; on sait aussi que $X\neq Y$ puisque le meneur de jeu montre une carte perdante. On peut alors faire le tableau des probabilités pour $(X,Y)$ :

$Y\backslash X$ | 1 | 2 | 3

2 |1/6| - | 1/3

3 |1/6|1/3| -

Si le maître du jeu ouvre la seconde porte, la probabilité que $X=1$ vaut maintenant $\mathbf P(X=1\mid Y=2) = \mathbf P(X=1,Y=2)/\mathbf P(Y=2) = 1/3$ tandis que la probabilité que $X=3$ vaut $\mathbf P(X=3\mid Y=2) = \mathbf P(X=3,Y=2)/\mathbf P(Y=2) = 2/3.$ Le calcul est le même si le maître du jeu ouvre la troisième porte. Dans les deux cas, le joueur a donc intérêt à ouvrir l’autre porte.

Formule de Bayes

Dans son essai (publié après sa mort par Richard Price), Thomas Bayes étudie la question suivante: supposons qu’une suite d’expériences indépendantes ait chacune une probabilité $p$ de succès, probabilité inconnue. Que peut-on dire de $p$ sachant qu’on a observé $n$ expériences, dont $k$ succès ? Plus précisément, il s’agit de déterminer la probabilité que $p$ puisse être comprise entre deux valeurs données:

“the number of times an unknown event has happened and failed being given, to find the chance that the probability of its happening thould lie somewhere between any two named degrees of probability.”

En termes modernes, $p$ est une variable aléatoire et Bayes détermine la densité de sa loi de probabilité : une loi dite « Beta de paramètres $k+1$ et $n-k+1$ »: $(n+1)\binom nk p^k (1-p)^{n-k}, \qquad 0\leq p\leq 1.$

Toutefois, ce qu’on appelle aujourd’hui théorème de Bayes est un énoncé plus abstrait et plus simple sur lequel il base son analyse: étant donnés deux événements $A, B$ , de probabilités non nulles, on a $\mathbf P(A\mid B) = \frac{\mathbf P(B\mid A) \mathbf P(A)}{\mathbf P(B)},$ où $\mathbf P(A \mid B) = \mathbf P(A \cap B)/\mathbf P(A)$ , et de manière analogue $\mathbf P(B \mid A) = \mathbf P(B \cap A)/\mathbf P(B)$ . (Avec ces définitions, la démonstration est immédiate.)

Un aspect fondamental de cette formule est qu’elle requière de supposer une distribution a priori de l’événement inconnu. Même dans le problème de Monty Hall, nous avons implicitement supposé que dans le cas où le joueur avait désigné la carte gagnante, le maître du jeu choisissait « au hasard », c’est-à-dire de façon équiprobable, laquelle des deux autres cartes il lui montrerait. Mais s’il décidait de montrer toujours la carte 2 (si elle est perdante), et la carte 3 sinon, les probabilités changent :

$Y\backslash X$ | 1 | 2 | 3

2 |1/3| - | 1/3

3 |0 |1/3| 0

Alors, $\mathbf P(X=1\mid Y=2)=\mathbf P(X=1,Y=2)/\mathbf P(Y=2)=1/2$ et $\mathbf P(X=3\mid Y=2)=\mathbf P(X=3,Y=2)/\mathbf P(Y=2)=1/2$ . Autrement dit, il ne sert plus à rien de changer de carte (mais ce n’est pas non plus nuisible) !

Ce genre de ambiguïté apparaît aussi dans le Problème des deux enfants de Martin Gardner:

Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?

Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is the probability that both children are girls?

La réponse au second problème est 1/2, et celle couramment donnée au premier est 1/3, et c’est celle que l’on obtient si vous savez que Mr Smith a un garçon parce que vous lui avez posé la question « Avez-vous (au moins) un garçon ? » Imaginez cependant lui avoir dit : « Donnez-moi le genre d’un de vos enfants. » Alors, plusieurs scénarios sont possibles, et si l’on imagine que lorsqu’il a le choix, il tire au sort le genre qu’il dira, alors la probabilité sera 1/2.

Après Bayes

La formule de Bayes reviendra chez d’autres auteurs

Pierre-Simon Laplace (1774, 1785, 1812)

Procès

Siméon-Denis Poisson (1837), Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile : faut-il faire appel ?

Médecine

L’application du calcul des probabilités aux décisions à prendre en matière de santé apparaît très tôt, en particulier à propos de la variole. Cette maladie virale, en théorie éradiquée depuis 1980 grâce à des campagnes de vaccination systématique, serait apparue il y a environ 6000 ans; elle touchait tous les continents, et était responsable chaque année des dizaines de milliers de morts en Europe. Au 18^e siècle, moment à partir duquel on a commencé à répertorier systématiquement les cas, on estime que 95% de la population européenne était touchée, et qu’une personne sur 7 en mourait.

La lutte contre cette maladie a commencé par l’inoculation, chez un patient sain, d’une forme supposée peu virulente de la maladie. Les Chinois la pratiquaient dès le 11^e siècle et le procédé s’est diffusé le long de la route de la soie… Cette méthode était dangereuse, on verra comment des scientifiques du 18^e siècle, dont Bernoulli et d’Alembert, ont pris part au débat. À partir des années 1770, on inocule, non pas des résidus de pustules de la maladie humaine, mais de la variole des vaches: c’est le début de la vaccination (le mot, lui-même, vient du mot latin pour vache); on retient notamment le nom du médecin anglais Edward Jenner (1796). Au début du 20^e siècle, le procédé se perfectionnera au point d’être essentiellement inoffensif. Des campagnes de vaccination massive, au niveau mondial, ont conduit l’Organisation mondiale de la santé (OMS) a décréter la maladie éradiquée en 1980. La vaccination n’est maintenant plus obligatoire, mais la possibilité de l’utilisation des réserves de virus comme arme bactériologique fait l’objet d’un plan de précaution de l’OMS.

Revenons à la fin du 18^e siècle. Dans un Mémoire à l’Académie royale des sciences, Essai d’une nouvelle analyse de la mortalité causée par la petite vérole et des avantages de l’inoculation pour la prévenir), Daniel Bernoulli (avril 1760) fait usage des statistiques de mortalité et de prévalence de la variole pour évaluer l’intérêt de l’inoculation. Il sera complété peu après par D’Alembert (novembre 1760, Onzième mémoire: Sur l’application du calcul des probabilités à l’inoculation de la petite vérole) dans un texte qui combine arguments philosophiques et arguments politiques.

Ronald Fisher (1930) et la dégustation de thé.

L’expérience consiste à prendre 8 tasses ; pour 4 d’entre elles, on verse le thé sur le lait, pour les 4 autres, on fait le contraire ; il s’agit d’identifier les tasses. Si l’on choisit les tasses au hasard, la probabilité d’avoir choisi celles du premier type sont

0 1 2 3 4
1/70 16/70 36/70 16/70 1/70

En effet, il y a $\binom 84=70$ façons de choisir 4 tasses parmi 8 et parmi ces façons, une seule consiste en 0 tasse du premier type. Il y a ensuite $4\times \binom 43=16$ façons de n’avoir qu’une seule tasse du premier type, $\binom 42\times \binom 42$ façons d’en avoir exactement deux…

La probabilité d’identifier correctement les 4 tasses du premier type est donc de $1/70\approx 1,4%$ , et $17/70\approx 24%$ d’en identifier au moins 3.