Master 2^e année de mathématiques fondamentales

Université Paris Cité

Présentation

Il s'agit d'un cours spécialisé qui aura lieu en mars–avril 2025.

La géométrie o-minimale est une réponse à la demande de Grothendieck, dans son Esquisse d'un programme, de développer une topologie modérée, au sens où les ensembles définis n'aient pas les pathologies permises par la topologie générale. Une géométrie o-minimale permet de définir des ensembles dans tous les espaces numériques, de sorte qu'en dimension 1, on ne puisse définir que des réunions finies d'intervalles. Il est remarquable que cette simple condition soit assez riche pour permettre d'y faire de la géométrie analytique, et assez contraignante pour que tous les ensembles définis soient triangulables.

D'abord développée au sein de la logique mathématique, la géométrie o-minimale a ensuite montré sa pertinence en théorie des nombres et en géométrie algébrique complexe.

Le cours visera à présenter les bases de la théorie et certaines applications en géométrie algébrique complexe et en théorie des nombres.

Contenu

• Géométries modérées
• Exemples
• Géométrie complexe et o-minimalité
• Points rationnels dans les ensembles o-minimaux
• Bi-algébricité
• Points spéciaux et variétés spéciales

Prérequis

Des bases de géométrie algébrique complexe, de théorie des nombres, de théorie des modèles seront utiles, mais le cours essayera d'être accessible à un large public.

Notes de cours

Bibliographie

• van den Dries, L.. Tame topology and o-minimal structures. 1998 https://doi.org/10.1017/CBO9780511525919
• Pila, J.; Wilkie, A.. The rational points of a definable set. 2006 https://doi.org/10.1215/S0012-7094-06-13336-7
• Peterzil, Y.; Starchenko, S.. Complex analytic geometry in a nonstandard setting. 2008 https://doi.org/10.1017/CBO9780511735226.008
• Scanlon, T.. O-minimality as an approach to the André-Oort conjecture. 2017 https://smf.emath.fr/publications/o-minimalite-comme-approche-la-conjecture-dandre-oort
• van den Dries; L., Macintyre, A.; Marker, D.. The elementary theory of restricted analytic fields with exponentiation. 1994 https://doi.org/10.2307/2118545

Horaire des cours

Résumé des séances

mardi 4 mars

Présentation du cours. Chapitre 1. Géométries o-minimales. Définition des géométries. Géométries données par un langage en théorie des modèles. Géométries des ensembles affines, constructibles, semiaffines, semialgébriques, leur minimalité ou o-minimalité. Définition d'une géométrie o-minimale. Quelques limites. Évocation des ensembles semi- et sous-analytiques.

jeudi 6 mars

Topologie dans une géométrie o-minimale; connexité définissable, ce sont les intervalles. Groupes et anneaux o-minimaux. Chapitre 2. Modération. Monotonie et continuité par morceaux des fonctions d'une variable.

mardi 11 mars

Différentiabilité par morceaux des fonctions définissables. Uniforme finitude pour une partie définissable de $R^2$ dont les fibres verticales sont finies.

jeudi 13 mars

Cellules. Décompositions cellulaires.

mardi 18 mars

Chapitre 3. Construction de géométries o-minimales. Corps réels clos, clôtures réelles. Théories et types, théorème de compacité.

jeudi 20 mars

Retour sur deux erreurs du cours précédent. Extensions élémentaires, élimination des quantificateurs. Exemple de la théorie DLO.

mardi 25 mars

Élimination des quantificateurs pour les théories des corps algébriquement clos et des corps réels clos. Application au Nullstellensatz, au Positivstellensatz et au 17^e problème de Hilbert. Ensembles semi-analytiques, sous-analytiques, langage de Denef–van den Dries, énoncé du théorème de Denef—van den Dries.

jeudi 27 mars

Démonstration du théorème de Denef-van den Dries.

mardi 1^er avril

Chapitre 4. Analyse complexe o-minimale. Compléments de topologie dans un contexte o-minimal. Nombre d'enroulement, degré, indice. Courbes de Jordan. Fonctions holomorphes.

jeudi 3 avril

Étude des fonctions holomorphes dans un cadre o-minimal. Principe du maximum, théorème de Liouville, application ouverte, zéros isolés, absence de singularités essentielles.

mardi 8 avril

Fonctions entières, fonctions n'ayant qu'un nombre fini de pôles. Chapitre 5. Points rationnels sur les ensembles o-minimaux. Hauteur d'un nombre rationnel, finitude, théorème de Peano–Tchebitcheff. Exemples d'ensembles possédant beaucoup (resp. peu) de points rationnels. Le lieu transcendant d'un ensemble définissable. Exemples. Non-algébricité de l'exponentielle et du logarithme ainsi que des puissances d'exposant irrationnel. Énoncé du théorème de Pila–Wilkie. Énoncé des deux propositions sur lesquelles repose la démonstration et esquisse de la preuve.

jeudi 10 avril

Démonstration de la partie arithmétique du théorème de Pila-Wilkie. Modèles ω-saturés. Discussion de la façon dont la saturation permet d'obtenir une uniformité dans une famille définissable.

Antoine Chambert-Loir— Dernière mise à jour :