Logique
Master, M1, Université Paris Cité
Programme
- Ordonner : relations d'ordre, ensembles bien ordonnés, ordinaux,
arithmétique des ordinaux. Théorèmes de Zermelo et Zorn.
- Compter : ensembles finis, ensembles dénombrables,
puissance du continu. Théorème de Cantor-Bernstein. Cardinaux. Cofinalité,
hypothèse du continu.
-
Parler : Qu'est-ce qu'une formule ? Variables, termes, quantificateurs…
-
Interpréter : Modèles et structures. Théorème de compacité,
théorème de Löwenheim–Skolem, théorème de Tarski.
-
Raisonner : Qu'est-ce qu'une démonstration ? Théorème de complétude
de Gödel.
Lieu, horaires
Le cours a lieu à partir du 9 septembre 2025,
le mardi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) et le mercredi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) à l'université Paris Cité.
Les travaux dirigés seront assurés par Patrick Simonetta, le mardi de 15h30 à 17h30 (SG/2013) et
le jeudi de 15h30 à 17h30 (SG/2013).
Évaluation
Deux contrôles d'1h, en classe, un contrôle de 2h en classe, et un examen final de 3h.
- 7 octobre, contrôle en classe, 16h30–17h30
- 13 novembre, contrôle en classe, 2h
- 2 décembre, contrôle en classe, 1h
- examen final, 3h
Les trois contrôles en classe constitueront le contrôle continu.
Documents disponibles
Biblographie indicative
- Cori, René, et Daniel Lascar (2000). Mathematical Logic: A Course with Exercises. Part I: Propositional Calculus, Boolean Algebras, Predicate Calculus. Traduit par Donald H. Pelletier. Vol. 1. Oxford University Press.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2000). Mathematical Logic: A Course with Exercises. Part II: Recursion theory, Godel's Theorems, Set theory, Model theory. Traduit par Donald H. Pelletier. Vol. 2. Oxford University Press.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2003). Logique mathématique, tome 1. Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats. Dunod.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2003). Logique mathématique, tome 2. Fonctions récursives, théorie des modèles. Dunod.
- Dehornoy, Patrick (2017). La théorie des ensembles: introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux. Tableau noir 106. Calvage & Mounet.
- Doxiadis, Apostolos, et Christos H. Papadimitriou (2009). Logicomix—An epic search for truth. Bloomsbury Press, New York.
- Krivine, Jean-Louis (1969). Théorie axiomatique des ensembles. Le Mathématicien 1. Presses Universitaires de France.
- Krivine, Jean-Louis (1998). Théorie des ensembles. Nouvelle bibliothèque mathématique 5. Cassini.
- Mendelson, Elliott (2015). Introduction to Mathematical Logic. 6th éd. Textbooks in Mathematics. CRC Press.
Résumé des séances
- mardi 9 septembre
- Introduction du cours. Calculer.
Fonctions booléennes. Toute fonction booléenne peut s'exprimer uniquement
avec les symboles $\vee,\wedge,\neg$. Formules booléennes, théorème de lecture unique (discussion des variantes préfixe ou avec parenthèses, représentation
sous forme d'arbre). Évaluation, substitutions. Formes normales.
(Références pour cette partie: le premier chapitre du livre
de Cori et Lascar, ou le premier chapitre du livre de Mendelson.)
- mardi 23 septembre
- Filtres. Exemples (filtre de Fréchet, filtres liés à la topologie,
ensembles filtrants). Caractérisation des ultrafiltres. Existence
d'ultrafiltres.
- mercredi 24 septembre
- Théorème de Zorn et existence d'ultrafiltres. Ultraproduits,
extension de structures aux ultraproduits.
Théorème de Łos (début de la démonstration).
- mardi 30 septembre
- Fin de la démonstration du théorème de Łos. Ultrafiltres et convergence
dans les espaces compacts.
- mercredi 1er octobre
- Un espace topologique séparé est compact si et seulement si tout ultrafiltre converge. Espace topologique des types, des théories ;
caractère séparé, totalement discontinu, compact (énoncé).
- mardi 7 octobre
- Compacité de l'espace des types. Notion de démonstration formelle.
- mercredi 8 octobre
- Démonstrations formelles, théories cohérentes.
- mardi 14 octobre
- Théories henkiniennes. Leur réalisation canonique est un modèle.
- mercredi 15 octobre
- Théorème de complétude de Gödel. Discussion informelle sur
le théorème d'incomplétude et les 1er (hypothèse
du continu) et 10e (équations diophantiennes)
problèmes de Hilbert, ainsi que sur son programme.
Antoine Chambert-Loir—
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