Logique
Master, M1, Université Paris Cité
Programme
- Ordonner : relations d'ordre, ensembles bien ordonnés, ordinaux,
arithmétique des ordinaux. Théorèmes de Zermelo et Zorn.
- Compter : ensembles finis, ensembles dénombrables,
puissance du continu. Théorème de Cantor-Bernstein. Cardinaux. Cofinalité,
hypothèse du continu.
-
Parler : Qu'est-ce qu'une formule ? Variables, termes, quantificateurs…
-
Interpréter : Modèles et structures. Théorème de compacité,
théorème de Löwenheim–Skolem, théorème de Tarski.
-
Raisonner : Qu'est-ce qu'une démonstration ? Théorème de complétude
de Gödel.
Lieu, horaires
Le cours a lieu à partir du 9 septembre 2025,
le mardi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) et le mercredi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) à l'université Paris Cité.
Les travaux dirigés seront assurés par Patrick Simonetta, le mardi de 15h30 à 17h30 (SG/2013) et
le jeudi de 15h30 à 17h30 (SG/2013).
Évaluation
Deux contrôles d'1h, en classe, un contrôle de 2h en classe, et un examen final de 3h.
- 7 octobre, contrôle en classe, 16h30–17h30
- 13 novembre, contrôle en classe, 2h
- 2 décembre, contrôle en classe, 1h
- examen final, 3h
Les trois contrôles en classe constitueront le contrôle continu.
Documents disponibles
Biblographie indicative
- Cori, René, et Daniel Lascar (2000). Mathematical Logic: A Course with Exercises. Part I: Propositional Calculus, Boolean Algebras, Predicate Calculus. Traduit par Donald H. Pelletier. Vol. 1. Oxford University Press.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2000). Mathematical Logic: A Course with Exercises. Part II: Recursion theory, Godel's Theorems, Set theory, Model theory. Traduit par Donald H. Pelletier. Vol. 2. Oxford University Press.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2003). Logique mathématique, tome 1. Calcul propositionnel, algèbre de Boole, calcul des prédicats. Dunod.
- Cori, René, et Daniel Lascar (2003). Logique mathématique, tome 2. Fonctions récursives, théorie des modèles. Dunod.
- Dehornoy, Patrick (2017). La théorie des ensembles: introduction à une théorie de l’infini et des grands cardinaux. Tableau noir 106. Calvage & Mounet.
- Doxiadis, Apostolos, et Christos H. Papadimitriou (2009). Logicomix—An epic search for truth. Bloomsbury Press, New York.
- Krivine, Jean-Louis (1969). Théorie axiomatique des ensembles. Le Mathématicien 1. Presses Universitaires de France.
- Krivine, Jean-Louis (1998). Théorie des ensembles. Nouvelle bibliothèque mathématique 5. Cassini.
- Mendelson, Elliott (2015). Introduction to Mathematical Logic. 6th éd. Textbooks in Mathematics. CRC Press.
Résumé des séances
- mardi 9 septembre
- Introduction du cours. Calculer.
Fonctions booléennes. Toute fonction booléenne peut s'exprimer uniquement
avec les symboles $\vee,\wedge,\neg$. Formules booléennes, théorème de lecture unique (discussion des variantes préfixe ou avec parenthèses, représentation
sous forme d'arbre). Évaluation, substitutions. Formes normales.
(Références pour cette partie: le premier chapitre du livre
de Cori et Lascar, ou le premier chapitre du livre de Mendelson.)
- mardi 23 septembre
- Filtres. Exemples (filtre de Fréchet, filtres liés à la topologie,
ensembles filtrants). Caractérisation des ultrafiltres. Existence
d'ultrafiltres.
- mercredi 24 septembre
- Théorème de Zorn et existence d'ultrafiltres. Ultraproduits,
extension de structures aux ultraproduits.
Théorème de Łos (début de la démonstration).
- mardi 30 septembre
- Fin de la démonstration du théorème de Łos. Ultrafiltres et convergence
dans les espaces compacts.
- mercredi 1er octobre
- Un espace topologique séparé est compact si et seulement si tout ultrafiltre converge. Espace topologique des types, des théories ;
caractère séparé, totalement discontinu, compact (énoncé).
Antoine Chambert-Loir—
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