Logique

Master, M1, Université Paris Cité

Programme

  1. Ordonner : relations d'ordre, ensembles bien ordonnés, ordinaux, arithmétique des ordinaux. Théorèmes de Zermelo et Zorn.
  2. Compter : ensembles finis, ensembles dénombrables, puissance du continu. Théorème de Cantor-Bernstein. Cardinaux. Cofinalité, hypothèse du continu.
  3. Parler : Qu'est-ce qu'une formule ? Variables, termes, quantificateurs…
  4. Interpréter : Modèles et structures. Théorème de compacité, théorème de Löwenheim–Skolem, théorème de Tarski.
  5. Raisonner : Qu'est-ce qu'une démonstration ? Théorème de complétude de Gödel.

Lieu, horaires

Le cours a lieu à partir du 9 septembre 2025, le mardi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) et le mercredi de 13h45 à 15h15 (SG/2013) à l'université Paris Cité.

Les travaux dirigés seront assurés par Patrick Simonetta, le mardi de 15h30 à 17h30 (SG/2013) et le jeudi de 15h30 à 17h30 (SG/2013).

Évaluation

Deux contrôles d'1h, en classe, un contrôle de 2h en classe, et un examen final de 3h.

Les trois contrôles en classe constitueront le contrôle continu.

Documents disponibles

Biblographie indicative

Résumé des séances

mardi 9 septembre
Introduction du cours. Calculer. Fonctions booléennes. Toute fonction booléenne peut s'exprimer uniquement avec les symboles $\vee,\wedge,\neg$. Formules booléennes, théorème de lecture unique (discussion des variantes préfixe ou avec parenthèses, représentation sous forme d'arbre). Évaluation, substitutions. Formes normales. (Références pour cette partie: le premier chapitre du livre de Cori et Lascar, ou le premier chapitre du livre de Mendelson.)
mardi 23 septembre
Filtres. Exemples (filtre de Fréchet, filtres liés à la topologie, ensembles filtrants). Caractérisation des ultrafiltres. Existence d'ultrafiltres.
mercredi 24 septembre
Théorème de Zorn et existence d'ultrafiltres. Ultraproduits, extension de structures aux ultraproduits. Théorème de Łos (début de la démonstration).
mardi 30 septembre
Fin de la démonstration du théorème de Łos. Ultrafiltres et convergence dans les espaces compacts.
mercredi 1er octobre
Un espace topologique séparé est compact si et seulement si tout ultrafiltre converge. Espace topologique des types, des théories ; caractère séparé, totalement discontinu, compact (énoncé).
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