Les réseaux sociaux permettent de partager toutes sortes de choses, en particulier pendant le confinement que nous avons vécu au printemps 2020 : des photos de chatons, des recettes de cuisine et également des memes mathématiques.
On en trouve de plus ou moins simples, comme celui-ci :
Vous observez — bien sûr ?! — qu'il se ramène à un système linéaire échelonné : $$ 3 p = 30 $$ $$ p + 2b = 18$$ $$ b - c = 2 $$ $$ c + p + b = ?$$ La première équation donne le nombre de pommes, la seconde en déduit le nombres de bananes, la troisième de noix de cocos, et l'on peut conclure…
OMG! Il y a quelques ruses avec le nombre de noix de coco ou de bananes ; il n'empêche.
Celui qui m'intéresse aujourd'hui est un peu plus sophistiqué :
En formules, il s'agit de trouver des nombres entiers strictement positifs $x$, $y$, $z$ tels que $$ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} = 4. $$
On se débarrasse des fractions en la récrivant sous forme polynomiale: $$ x(x+y)(x+z) + y(y+z)(y+x) + z (z+x)(z+y) $$ $$= 4 (x+y)(y+z)(z+x). $$
R.<x,y,z> = QQ[]
n=4
E = numerator(x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)-n)
E
x^3 - 3*x^2*y - 3*x*y^2 + y^3 - 3*x^2*z - 5*x*y*z - 3*y^2*z - 3*x*z^2 - 3*y*z^2 + z^3
Il s'agit d'une équation homogène en trois variables $x,y,z$, de degré $3$. Elle décrit une surface dans l'espace à 3 dimensions.
P=implicit_plot3d(E, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3),
plot_points=50, color='red',
viewer='threejs',
viewpoint=[[0.2905,-0.8485,-0.4423],197.22])
P.show()
Sa nature conique, induite par la structure homogène de l'équation, suggère de la considérer dans le plan projectif $\mathbf P_2$. Cela veut dire qu'on va fixer une des coordonnées « homogènes », ici $z=1$ et la tracer dans le plan $(x,y)$. C'est le concept mathématique sous-jacent à la représentation en perspective que les artistes pratiquent depuis la Renaissance.