Une elliptique salade de fruits confinée

Antoine Chambert-Loir, 6 mai 2020

Le confinement que nous vivons ce printemps a fait fleurir sur les réseaux sociaux recettes de cuisine et memes mathématiques.

On en trouve de plus ou moins simples, comme celui-ci :

image.png

Vous observez cependant qu'il se ramène à un système linéaire échelonné.

OMG! Il y a quelques ruses avec le nombre de noix de coco ou de bananes ; il n'empêche.

Celui qui m'intéresse aujourd'hui est un peu plus sophistiqué :

image.png

En formules, il s'agit de trouver des nombres entiers strictement positifs $x$, $y$, $z$ tels que $$ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} = 4. $$

On se débarrasse des fractions en la récrivant sous forme polynomiale: $$ x(x+y)(x+z) + y(y+z)(y+x) + z (z+x)(z+y) $$ $$= 4 (x+y)(y+z)(z+x). $$

In [1]:
R.<x,y,z> = QQ[]
n=4
E = numerator(x/(y+z)+y/(x+z)+z/(x+y)-n)
E
Out[1]:
x^3 - 3*x^2*y - 3*x*y^2 + y^3 - 3*x^2*z - 5*x*y*z - 3*y^2*z - 3*x*z^2 - 3*y*z^2 + z^3

Il s'agit d'une équation homogène en trois variables $x,y,z$, de degré $3$. Elle décrit une surface dans l'espace à 3 dimensions.

In [2]:
P=implicit_plot3d(E, (x,-3,3), (y,-3,3), (z,-3,3), plot_points=50, color='red')
P.show()