\magnification=1200
\def\m{{\bf m}} 
\def\P{{\bf P}}
\def\R{{\bf R}} 
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\D{{\bf D}}
\def\Z{{\bf Z}}
\def\N{{\bf N}}
\def\a{\alpha}
\def\q{{\bf q}}
 \def\clo{cl\^oture int\'egrale}  
\def\n{\overline{\nu}}
\centerline{20 ans apr\`es}\par\vskip1truecm
Ce texte est destin\'e \`a d\'evelopper certains aspects de la th\'eorie et \`a pr\'esenter les travaux
li\'es \`a la cl\^oture int\'egrale des id\'eaux qui sont venus \`a notre
connaissance depuis l'\'epoque du s\'eminaire, ce qui n'exclut pas
qu'ils aient \'et\'e \'ecrits bien avant! Nous ne pr\'etendons
nullement \^etre exhaustifs, et demandons l'indulgence pour nos
omissions.
\par\vskip.5truecm
\centerline{plan}\par\noindent

A) Alg\`ebre\par\noindent
1)$\overline I$\par\noindent
2) $\n$\par\noindent
3)$\overline {gr}$\par\noindent
4) Gabrielov, Izumi, Spivakovsky\par\noindent
5) Multiplicit\'es .. et multiplicit\'es de modules (polygones)\par\noindent
6) Ouvertures (Brian\c con -Skoda, tight closure...)\par\noindent
B) G\'eom\'etrie\par\noindent
1) Interpretation transcendantale; saturation Lipschiptizienne, B\"oger) le cas
r\'eel; cl\^oture semi-int\'egrale.\par\noindent
2) exposant de \L ojasiewicz \par\noindent
3) Interpretation g\'eom\'etrique du $\overline{gr}$\par\noindent
4)  Gabrielov, Izumi, Spivakovsky (g\'eom) \par\noindent
5)  Interpretation de la multiplicite par auto-intersection, Multiplicit\'es polaires, sp\'ecialisation,
etc..\par\noindent
6) Ouvertures ( Morales, Sally , syst\`emes lin\'eaires et factorisation,
r\'esolution...)\par\noindent
\S 1: Cl\^oture int\'egrale\par\vskip.4truecm\noindent

La notion de cl\^oture int\'egrale d'un id\'eal a \'et\'e introduite
par Pr\"ufer ([]) en 1932 pour des raisons arithm\'etiques li\'ees
\`a l'\'etude des anneaux de Dedekind. En 1935 Krull ([]) en \'etudie
un avatar, dont le \S [] du s\'eminaire est la traduction analytique;
\'etant donn\'es un anneau int\`egre $A$ et un id\'eal $J$ de $A$,
notons $K$ le corps des fractions de $A$ et $v_A$ l'ensemble des
valuations $v$ de $K$ dont l'anneau $A_v$ contient $A$. Krull note
$J_b$ l'id\'eal $\cap_{v\in v_A}J.A_v$ et v\'erifie que l'op\'eration
$J\mapsto J_b$ v\'erifie les propri\'et\'es que nous connaissons
pour la \clo . C'est probablement Zariski qui a remarqu\'e l'
\'egalit\'e $\overline J=J_b$. Ce point de vue valuatif sera repris et
d\'evelopp\'e par Zariski d'un point de vue g\'eom\'etrique et par
Rees d'un point de vue alg\'ebrique dans les ann\'ees 50 (voir
ci-dessous).
En 1937, Zariski utilise la d\'ependance int\'egrale pour fonder
alg\'ebriquement le concept de point infiniment voisin \`a la Max
N\oe ther dans le cas du plan. Il appelle ''complets'' les id\'eaux
int\'egralement clos, par r\'ef\'erence \`a la correspondence entre ceux-ci et les syst\`emes
lin\'eaires complets. En particulier, Zariski introduit une classe d'id\'eaux int\'egralement clos de
l'anneau des polynomes $k[x,y]$ sur un corps $k$, les $v$-id\'eaux, pour lesquels un
th\'eor\`eme de d\'ecomposition unique en produit (ou factorisation) est valable. Le
d\'eveloppement de ces id\'ees jouera par la suite un r\^ole important dans l'\'etude des
singularit\'es rationnelles (voir l'excellent article [] de Lipman).\par
Dans [], Northcott et Rees ont introduit le concept de \it r\'eduction \rm d'un id\'eal: $J$ est une
r\'eduction de $J'$ si l'on a $J\subset J'$ et $\overline J=\overline{J'}$. Une de leurs motivations
\'etait de donner une d\'efinition alg\'ebrique du choix de param\`etres g\'en\'eriques dans un
id\'eal; Samuel avait en effet montr\'e dans [], introduisant \`a cette occasion le concept
d'\'el\'ement superficiel, que pour tout id\'eal $\bf q$ primaire pour l'id\'eal maximal d'un
anneau local de dimension $d$ ayant un corps de repr\'esentants infini $k$, un sous-id\'eal de
$\bf q$ engendr\'e par $d$ combinaisons lin\'eaires assez g\'en\'erales \`a coefficients
dans $k$ de g\'en\'erateurs de $\bf q$ a la m\^eme multiplicit\'e que $\bf q$. En fait le point est
qu'un tel id\'eal est une r\'eduction de $\bf q$. \par
L'exemple des id\'eaux engendr\'es par des mon\^omes dans une
alg\`ebre de polynomes
A un id\'eal $I$ engendr\'e par des mon\^omes dans une alg\`ebre de polynomes correspond une
r\'egion $E(I)$ du quadrant positif ${\bf R}^d_+$ de ${\bf R}^d$ qui est la r\'eunion des quadrants
translat\'es $m_i+{\bf R}^d_+$ o\`u les $m_i$ sont les points repr\'esentant les mon\^omes qui
engendrent l'id\'eal. Un polynome appartient \`a l'id\'eal exactement lorsque tous les mon\^omes
le constituant sont repr\'esent\'es par des points de cette r\'egion. Il n'est pas difficile de
v\'erifier que la \clo de l'id\'eal est encore un id\'eal engendr\'e par des
mon\^omes et est repr\'esent\'ee par l'enveloppe convexe de $E(I)$, dont la fronti\`ere est un
\it poly\`edre de Newton \rm.   \par\noindent
Il r\'esulte du th\'eor\`eme de Caratheodory

\par\noindent  \S 2 Le $\n$ Apr\`es 1950, Samuel introduit
l'\'etude asymptotique des puissance d'id\'eaux sous divers aspects. Notant, pour un \'element
$x\in A$, $\nu_J(x)$ l'entier $\nu$ tel que l'on ait $x\in J^\nu \setminus J^{\nu +1}$, il d\'efinit
dans [] la fonction $$\overline{\nu}_J(x)=lim_{n\to \infty}{\nu_J(x^n)\over n}.$$ Les notations
sont celles de Rees ([]). De m\^eme, Samuel d\'efinit l\'equivalence asymptotique de deux
id\'eaux ainsi: on a $J\sim J'$ s'il existe deux suites d'entiers $v(n)$ et $w(n)$ telles que 
$lim_{n\to \infty}n^{-1}v(n)=lim_{n\to \infty}n^{-1}w(n) =1$ et que pour tout $n$ on ait
$$J'^{w(n)}\subset J\subset J'^{v(n)}$$ Il d\'emontre que $\sim$ est une relation d\'equivalence
et que la classe d\'equivalence de tout id\'eal $J$ contient un plus grand \'el\'ement $J_s$ qu'il
appelle \it cl\^oture asymptotique \rm de $J$. Samuel pose aussi deux questions, qui seront
r\'esolues par Rees ([]) et Nagata ([]) (et, pour la premi\`ere, par nous dans le cadre analytique
dans l'ignorance des r\'esultats de Rees et Nagata): \par\noindent a) Le nombre $\n_J(x)$ est-il
rationnel?\par\noindent b) Pour un anneau $A$ r\'eduit, existe-t-il un nombre $t(J)$ tel que
pour tout $x\neq 0$ on ait  $$0\leq \n_J(x)-\nu_J(x)\leq t(J)\hbox{   ?}$$ En 1954, Muhly
d\'emontre les \'egalit\'es $J_s=J_b=\overline{J}$ lorsque $A$ est un anneau int\`egre n\oe
th\'erien.\par\vskip.5truecm\noindent \bf D\'eveloppements en alg\`ebre commutative
\rm\par\noindent
A partir de 1955 Rees entreprend, avec Northcott, l'\'etude syst\'ematique de la d\'ependance
int\'egrale sous les diff\'erents aspects que nous venons de voir, du point de vue de l'alg\`ebre
commutative, c'est \`a dire en d\'egageant les bons concepts alg\'ebriques et les conditions de
finitude les meilleures permettant de d\'emontrer sous une forme plus g\'en\'erale les
r\'esultats d'origine g\'eom\'etrique. En particulier il d\'emontre dans [] l'\'equivalent
alg\'ebrique du r\'esultat du \S [] pour tous les anneaux n\oe th\'eriens, et donc la
rationnalit\'e de $\n$. Plus pr\'ecis\'ement:\par\noindent Th\'eor\`eme (Rees): soient $A$ un
anneau n\oe th\'erien et $J$ un id\'eal de $A$.\par\noindent Il existe un nombre fini de
valuations $v_1,\ldots ,v_k$ de l'anneau total de fractions de $A_{red}$, non n\'egatives sur
$A$ et telles que:\par\noindent a) On a $v_i(x)=\infty$ si et seulement si $x$ appartient \`a un
id\'eal premier minimal de $A$, qui d\'epend de $i$.\par\noindent b) On a l'\'egalit\'e
$$\n_J(x)=min_i{v_i(x)\over v_i(J)}\ \ \hbox{o\`u}\ \  v(J)=min_{y\in J}v(y).$$ c) Pour tout
entier $n$, on a $x\in \overline{J^n}$ si et seulement si $\n_J(x)\geq n$,\par\noindent d) Un
syst\`eme minimal de telles valuations est unique.\par\vskip.3truecm (Pour une
g\'en\'eralisation, voir l'article [] de Szpiro).\par\noindent C'est \`a cette occasion que Rees
introduit l'\it anneau de Rees \rm associ\'e \`a $(A,J)$: $${\cal P}(J)=\bigoplus_{n\in
\Z}J^nv^{-n}\subset A[v,v^{-1}]\ \ \hbox{o\`u}\  J^n=A\ \hbox{si}\ n\leq 0$$ associ\'e \`a un
id\'eal $J$ de $A$. Cet anneau lui permettra, ici et dans ses travaux ult\'erieurs, de ''faire des
\'eclatements'' sans sortir du cadre de l'alg\`ebre commutative.\par Rees prouve aussi
l'existence d'une borne uniforme pour $\n(x)-\nu (x)$ dans le cas des anneaux que l'on appelle
aujourd'hui de dimension pure.\par Comme l'a remarqu\'e Izumi dans [], une d\'emonstration
de l'existence d'un nombre r\'eel positif $b(J)$ tel que pour tout $x$ on ait 
$$\n_J(x)-\nu_J(x)\leq b(J)$$ est implicitement donn\'ee dans le s\'eminaire. En fait, ce
r\'esultat est dans le cadre analytique un corollaire facile du fait prouv\'e dans le s\'eminaire
que pour tout entier $q$ l'alg\`ebre gradu\'ee $\overline{{\cal P}^{1\over q}} =\bigoplus_{p\in
\N}\overline{J^{p\over q}}$ est la fermeture int\'egrale dans $A[T^{1\over q}]$ de l'alg\`ebre de
Rees ${\cal P}(J)$. Cette \'egalit\'e implique en effet, puisque en G\'eom\'etrie alg\'ebrique les
anneaux sont de Nagata, que $\overline{{\cal P}^{1\over q}}$ est un ${\cal P}(J)$-module de
type fini, et donc qu'il existe un entier $k_0$ tel que pour $p>k_0q$ on ait
$$\overline{I^{p\over q}}=I^k\overline{I^{{p-kq}\over q}}$$ d'o\`u r\'esulte l'in\'egalit\'e

\par\noindent \S 3 Le $\overline{gr}_IA$\par\noindent \S 4  Gabrielov, Izumi,\par\noindent
 En [], Izumi a prouv\'e un r\'esultat que Rees interpr\`ete ainsi dans
[]:\par\noindent Soient $A$ un anneau local n\oe th\'erien dont le compl\'et\'e est int\`egre, $v$
et $w$ deux valuations de $A$ appartenant \`a un syst\`eme minimal de valuations associ\'e
comme ci-dessus \`a un id\'eal $J$ de $A$. Il existe une constante $C>0$ telle que pour tout $x\in
A\setminus \lbrace 0\rbrace$ on ait $v(x)\leq w(x)$. Il en d\'eduit la borne uniforme pour 
$\n_J(x)-\nu_J(x)$. Nous reviendrons sur ces travaux d'Izumi et de Rees \`a propos des travaux
de Spivakovsky.\par\noindent
\S 5 Multiplicit\'es \par\noindent
Northcott et Rees observent que plus g\'en\'eralement, si $\bf q$ est primaire pour l'id'eal
maximal et si ${\bf q'}$ est une r\'eduction de $\bf q$, alors $\bf q$ et ${\bf q'}$ ont a la m\^eme
multiplicit\'e au sens de Samuel (\it cf \rm 1.18). En 1960 Rees prouve la r\'eciproque, bien plus
difficile:\par Th\'eor\`eme (Rees, []): Soit $A$ un anneau local n\oe th\'erien formellement e
dimension pure. Si ${\bf q'}\subset \bf q$ sont deux id\'eaux primaires de $A$ ayant m\^eme
multiplicit\'e, ils ont m\^eme \clo . Cette interpr\'etation num\'erique du concept de r\'eduction a
ouvert la voie \`a l'utilisation de la d\'ependance int\'egrale donner un sens g\'eom\'etrique \`a
des invariants num\'eriques des singularit\'es, c'est \`a dire de leurs anneaux locaux (\it cf \rm
Cargese et voir plus bas).\par
C'est pour \'etudier certains de ces invariants num\'eriques que Risler et Teissier, en partie
inspir\'es par un article de Bhattacharya ([]) introduisent ([]) les
multiplicit\'es mixtes, que l'on peut d\'efinir au moyen de la Proposition suivante:
\par\noindent 
Soient $\q_1,\ldots ,\q_r$ des id\'eaux d'un anneau local n\oe th\'erien $A$ de dimension $d$,
primaires pour l'id\'eal maximal.\par
a) Etant donn\'es des entiers positifs $n_1,\ldots ,l_r$, on a pour la multiplicit\'e de l'id\'eal
produit $\q_1^{n_1}\cdots \q_r^{n_r}$ la formule:
$$e(\q_1^{n_1}\cdots \q_r^{n_r})=\sum_{\vert \alpha \vert=d}{{d!}\over {\alpha_1!\cdots
\alpha_r!}}e(\q_1^{[\alpha_1]},\ldots ,\q_r^{[\alpha_r]})n_1^{\alpha_1}\cdots n_r^{\alpha_r}.$$
\noindent
b) L'entier $e(\q_1^{[\alpha_1]},\ldots ,\q_r^{[\alpha_r]})$, appel\'e \it multiplicit\'e mixte \rm
d'ordre $(\alpha_1,\ldots , \alpha_r)$ des id\'eaus $\q_1,\ldots ,\q_r$, est aussi \'egal \`a
l'infimum des multiplicit\'es des id\'eaux $(f_1,\ldots ,f_d)A$ o\`u les $\alpha_1$ premiers
\'el\'ements $f_i$ appartiennent \`a $\q_1$, les $\alpha_2$ suivants \`a $\q_2$, ...., les
$\alpha_r$ derniers \`a $\q_r$.\par\noindent
Dans le cas o\`u $r=2$, cela se r\'eduit \`a
$$e(q_1^{n_1}\q_2^{n_2})=\sum_{i=0}^d{d\choose i}e(\q_1^{[i]},\q_2^{[d-i]})n_1^in_2^{d-i}.$$
Plus r\'ecemment, Rees a g\'en\'eralis\'e dans [] le concept de r\'eduction en introduisant la \it
r\'eduction conjointe \rm de plusieurs id\'eaux non n\'ec\'essairement primaires et a pu ainsi
d\'efinir, sous certaines hypoth\`eses (essentiellement que la somme des id\'eaux soit primaire),
les multiplicit\'es mixtes pour des familles d'id\'eaux non n\'ec\'essairement primaires. Il a
aussi dans [] donn\'e une alg\'ebrisation du concept de ''syst\`eme g\'en\'erique de
$k$ \'el\'ements s'un id\'eal, qui est tr\`es utile dans l'\'etude des multiplicit\'es mixtes.\par
 Un lien entre les multiplicit\'es mixtes et la th\'eorie de la d\'ependance int\'egrale est fourni
par les r\'esultats suivants valable pour des id\'eaux primaires $\q_i$ d'un anneau
local n\oe th\'erien $A$ :\par\noindent a) Les multiplicit\'es
mixtes $e(\q_1^{[\alpha_1]},\ldots ,\q_r^{[\alpha_r]})$ ne d\'ependent que de la \clo des id\'eaux
$\q_i$.\par\noindent b) Dans le cas $r=2$, supposons $A$ formellement \'equidimensionnel de
dimension $d$ et posons $e_i=e(\q_1^{[i]},\q_2^{[d-i]})$; \par\noindent
Th\'eor\`eme (Teissier [], Rees et Sharp [], Katz [])\par\noindent
i) On a les in\'egalit\'es
$$e_{i-1}^2\leq e_ie_{i+1}\ \ \hbox{pour}\ 0\leq i\leq d.$$\par\noindent
Ces in\'egalit\'es impliquent l'in\'egalit\'e ''\`a la Minkowski:
$$e(\q_1\q_2)^{1/d}\leq e(\q_1)^{1/d}+e(\q_2)^{1/d}.$$
ii) On a l'\'egalit\'e de \clo s $\overline {\q_1}=\overline{\q_2}$ si et seulement si on a les
\'egalit\'es
$$e_0=e_0=\cdots =e_d.$$
En particulier, on a \'egalit\'e dans l\'in\'egalit\'e \`a la Minkowski si et seulement si il existe
des entiers $r$ et $s$ tels que l'on ait $$\overline{\q_1^r}=\overline{\q_2^s}.$$
 Puisque l'on a $e_0=e(\q_2)$ et $e_d=e(\q_1)$, et que si $\q_1\subset \q'_1$ on a
$e(\q_1^{[i]},\q_2^{[d-i]})\leq e({\q'}_1^{[i]},\q_2^{[d-i]})$, ces r\'esultats impliquent aussit\^ot le
th\'eor\`eme de Rees.\par
L'analogie formelle avec la th\'eorie des volumes mixtes des corps convexes et l'in\'egalit\'e de
Br\"unn-Minkowski provient du dictionnaire issu de la repr\'esentation d'un mon\^ome en $d$
variables par un point entier de ${\bf R}^d$ d\'ej\` mentionn\'e au \S 1. Si l'id\'eal engendr\'e
par les mon\^omes est primaire pour l'id\'eal maximal $(X_1,\ldots ,X_d)$, sa multiplicit\'e est
Cette correspondance, qui est un aspect de la th\'eorie des vari\'et\'es de Demazure ou
vari\'et\'es toriques, transporte le th\'eor\`eme de Rees sur l'\'enonc\'e suivant:\par\noindent
Etant donn\'es deux convexes ferm\'es de volume fini $K_1$ et $K_2$ dans ${\bf R}^d$, si l'on a
$K_1\subset K_2$ et $\hbox{vol}K_1=\hbox{vol}K_2$, on a $K_1=K_2,$ et l'\'enonc\'e sur les
multiplicit\'es mixtes ci-dessus est transport\'e  sur le r\'esultat suivant d\^u \`a A.D. Alexandrov
et W. Fenchel (in\'egalit\'es de Fenchel-Alexandrov) en 1936-37: \par\noindent D\'efinissant la
somme de Minkowski de deux convexes compacts de ${\bf R}^d$ par $K_1+K_2=\lbrace
x+y\rbrace;\ x\in K_1\ ,y\in K_2$ et leurs volumes mixtes
$v_i=\hbox{vol}(K_1^{[i]},K_2^{[d-i]})$par l'\'egalit\'e
$$\hbox{vol}(\lambda_1K_1+\lambda_2K_2)=\sum_{i=0}^d{d\choose
i}\hbox{vol}(K_1^{[i]},K_2^{[d-i]})\lambda_1^i\lambda_2^{d-i}\ \ \ \ \hbox{pour}\ \lambda_1,\
\lambda_2\geq 0,$$  on a les in\'egalit\'es $$v_{i-1}^2\geq v_iv_{i-2}\ \ \hbox{pour}\ 0\leq
i\leq d$$ et les convexes $K_1$ et $K_2$ sont \'egaux \`a translation pr\`es si et seulement si on
a les \'egalit\'es
$$v_0=v_1=\cdots =v_d.$$
\noindent
\S L'in\'egalit\'e de \L ojasiewicz
\par\noindent
On a d\'ej\`a discut\'e dans le S\'eminaire du rapport entre le $\overline\nu$ et l'in\'egalit\'e de
\L ojasiewicz. Nous allons montrer que ce dictionnaire est efficace en l'utilisant pour d\'emontrer
un des r\'esultats c\'el\`ebres de la th\'eorie des in\'egalit\'es de \L ojasiewicz, d\^u \`a celui-ci:\par\noindent
Th\'eor\`eme: Soit $f(x_1,\ldots ,x_n$ une fonction analytique r\'eelle d\'efinie dans un
voisinage de l'origine dans ${\bf R}^n$ et telle que $f(0)=0$. Il existe un nombre r\'eel $\theta\
,\ 0<\theta\ <1$ , une constante $C>0$ et un voisinage $U$ de $0$ dans ${\bf R}^n$ tels que l'on ait
pour tout $x\in U$ l'in\'egalit\'e:
$$\vert \hbox{grad}f(x)\geq C\vert f(x)^\theta .$$

Remarquons d'abord qu'il suffit de prouver la m\^eme in\'egalit\'e pour la fonction
complexifi\'ee de $f$, que nous noterons encore $f$. Remarquons aussi que le point est
l'in\'egalit\'e $\theta <1$; le reste se d\'eduit sans travail du th\'eor\`eme des z\'eros de Hilbert et
de l'interpr\'etation par le $\overline \nu$. Nous allons utiliser le mode de calcul du $\overline
\nu$ donn\'e au \S []. Soit $W$ un voisinage de $0$ dans $\C^n$ o\`u $f$ converge, choisissons y
des coordonn\'ees holomorphes $(z_1,\ldots ,z_n)$ et consid\'erons l'\'eclatement 
$$\pi\colon Z\to W$$
de l'id\'eal jacobien $$j(f){\cal O}_W=({\partial f \over {\partial z_1}},\ldots ,{\partial f \over
{\partial z_n}}{\cal O}_W$$               , et le morphisme
$$\overline \pi\colon \overline Z\to Z\to W$$
compos\'e de $\pi$ et de la normalisation $n\colon \overline Z\to Z$.\par
Puisque l'espace $\overline Z$ est normal, son lieu singulier est de codimension $\geq 2$, et
puisque l'image inverse par $\overline \pi$ de l'id\'eal $j(f){\cal O}_W$, c'et \`a dire l'id\'eal de
${\cal O}_{\overline Z}$ engendr\'e par les $({\partial f \over {\partial z_1}}\circ \overline
{\pi},\ldots ,{\partial f \over {\partial z_n}}\circ \overline {\pi}$ est par construction localement
principal et engendr\'e en tout point de $\overline Z$ par l'un des ${\partial f \over {\partial
z_j}}\circ \overline {\pi}$, cet id\'eal d\'efinit un sous-espace $D$ de codimension 1 dans
$\overline Z$, qu  i n'a qu'un nombre fini de composantes irr\'eductibles si nous avons pris la
pr\'ecaution de choisir le voisinage $W$ relativement compact, puisque le morphisme $\overline
\pi$ est propre.\par
Soit $D_{red}=\bigcup_iD_i$ la d\'ecomposition ensembliste de $D$ en composantes irr\'eductibles.
Celles-ci sont de codimension 1 et donc chacune contient un ouvert analytique dense $V  _i$ n
chaque point $z$ duquel on a ceci:\par\noindent
1) L'espace $\overline Z$ est non singulier en $z$ ainsi que l'ensemble analytique $D_{red}$
sous-jacent \`a l'espace analytique $D$, et $D_{red}$ est donc d\'efini au voisinage de $D$ par
une \'equation $v=0$, o\`u $v$ est une coordonn\'ee locale sur $\overline Z$ en $z$.\par\noindent
2) Choisissons des coordonn\'ees locales $b_1,\ldots ,b_{n-1}$ sur $D$ en $z$; alors $v,b_1,\ldots
,b_{n-1}$ est un syst\`eme de coordonn\'ees locales sur $\overline Z$ en $z$ et l'on a une \'ecriture \par\noindent
$(f\circ\overline \pi)_z=Av^{\mu_i}$, o\`u $A\in \C\lbrace v,b_1,\ldots ,b_{n-1}\rbrace$ avec
$A(0,\ldots ,0)\neq 0$ et $\mu_i>0$ puisque $f$ s'annule l\`a o\`u toutes ses d\'eriv\'ees
s'annulent. \par\noindent
3) L'id\'eal $(j(f){\cal O}_{\overline Z})_z$ est engendr\'e par un des germes $ ({\partial f \over
{\partial z_j}}\circ \overline {\pi})_z$, disons $({\partial f \over {\partial
z_1}}\circ \overline {\pi})_z$, et l'on a \par\noindent
  $({\partial f \over {\partial
z_1}}\circ \overline {\pi})_z=Bv^{\nu_i}\ \ \ \ \hbox{o\`u}\ B\in\C\lbrace v,b_1,\ldots ,
b_{n-1}\rbrace
\ \hbox{\rm et}\  B(0,\ldots ,0)\neq 0$.\par\noindent
Remarquons que puisque $D_i$ est irr\'eductible, les entiers $\mu_i, \nu_i$ ne d\'ependent pas du
point $z\in V_i$ choisi. La r\`egle de Leibniz donne:
$${\partial{f\circ \overline \pi}\over\partial v}=\sum_{j=1}^n {\partial f \over
{\partial z_j}}\circ \overline {\pi})_z{\partial{z_j\circ \overline \pi}\over
v}=v^{\mu_i-1}(\mu_iA+v{\partial A\over \partial v}).$$
On en d\'eduit aussit\^ot l'in\'egalit\'e $$\mu_i -1\geq \nu_i$$
Cela donne, posant $\theta = \hbox{sup}_i{\nu_i\over
\mu_i}={1\over\overline{\nu}_{j(f)}(f)}$, l'in\'egalit\'e $\theta<1$ et d'autre part par les
m\'ethodes du Chap [] du s\'eminaire, il vient en posant $\theta={p\over q}$
$f^p\in \overline{j(f)^q}$, ce qui \'equivaut \`a $\vert f(z)\vert^p\leq C'\vert
\hbox{grad}f(z)\vert^q$ pour $z$ assez proche de $0$ et donc au r\'esultat
cherch\'e.\par\noindent\vskip1truecm
\centerline{BIBLIOGRAPHIE}\vskip.5truecm\noindent      [Ba] P.B. Bhattacharya, The Hilbert
function of two ideals, Proc. Camb. Phil. Soc., 53 (1957), 568--575.\par\noindent
 [B\"o1] E. B\"oger, Einige Bemerkungen zur theorie der ganzalgebraischen
Abh\"angigkeit in Idealen, Math. Ann., 185 (1970), 303--308. \par\noindent
[Br] G.W. Brumfiel, real valuation rings and ideals, Springer L.N.M., No. 959, 1981.\par\noindent
[F] A. Fekak, Interpr\'etation alg\'ebrique de l'exposant de \L ojasiewicz, C.R.Acad.Sci. Paris, t.
\bf 310 \rm S\'erie 1, p. 193-196, 1990.\par\noindent
[G] S. Goto, Integral closedness of complete intersection ideals, J. Algebra 108 (1987), 151-160.\par\noindent
[H-S] C. Huneke and J. Sally, Birational extensions in dimension two and integrally closed ideals,
J. Algebra 115 (1988) 481-500.\par\noindent [I$_1$] S. Izumi; A measure of integrity for local analytic
algebras, Publ. R.I.M.S., Kyoto University, 21, 719--735, 1979.\par\noindent [I$_2$] S. Izumi;
Gabrielov's rank condition is equivalent to an inequality of reduced orders, \it Math.  Annalen,
\bf 276 \rm (1986), 81--87.\par\noindent [Ka] D. Katz, Note on multiplicity, Proc. A.M.S., \bf
104\rm No. 4, Dec. 1988, 1021-1026.\par\noindent [K] W. Krull\par\noindent
[L] J. Lipman, equimultiplicity, reduction, and blowing up, \it Analytic methods in commutative
Algebra \rm Marcel Dekker ?\par\noindent [L] J. Lipman, On complete ideals in regular local rings, \it
Algebraic Geometry and commutative Algebra in honor of Masayoshi Nagata \rm (1987),
203-231.\par\noindent  [N] D.G. Northcott,\it Lessons on Rings, Modules, and Multiplicities \rm
University Press, Cambridge,1968.\par\noindent [N-R] D.G. Northcott and D. Rees, Reductions of
ideals in local rings, Proc. camb. Phil. Soc. 50 (1954), 145--158.\par\noindent
 [R] D. Rees, Degree functions in local rings, Proc. Camb. Phil. Soc., 57 (1961),
1-7.\par\noindent
[R] D. Rees, A-transforms of local rings and a theorem on multiplicities of ideals, Proc. Camb. Phil.
Soc., 57 (1961), 8--17.\par\noindent
[R] D. Rees, Local birational Geometry, Actas del Coloquio internacional sobre Geometr\'ia
algebraica, Madrid, Sept. 1965.\par\noindent
[R] D. Rees, Hilbert functions and pseudo-rational local rings of dimension two, J. London Math.
Soc. (2), 24 (1981), 467-479.\par\noindent
[R] D. Rees, Rings associated with ideals and analytic spread, Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (1981),
89, 423-432.\par\noindent
 [R] D. Rees, Multiplicities, Hilbert functions and degree functions, \it
Commutative Algebra-Durham 1981 \rm London Math. Soc. Lectures Notes 72 (Ed. R.Y. Sharp,
University Press, Cambridge 1983), pp 170-178.\par\noindent 
[R] D. Rees \it Asymptotic properties of ideals (Lectures given in Nagoya University, 1983) \rm
London Math. Soc. Lecture notes series 113 (1988)\par\noindent
 [R] D. Rees, Generalizations of reductions and mixed
multiplicities, J. London Math. Soc., (2), 29 (1984), 397-414.\par\noindent
[R-S] D. Rees and R.Y. Sharp, On a Theorem of B. Teissier on multiplicities of ideals in local rings, J.
London Math. Soc., (2), 18 (1978), 449-463.\par\noindent
[S] M. Spivakovsky: Valuations in function fields of surfaces
[S] Mark Spivakovsky: On the structure of valuations centered in a local domain.\par\noindent
 [V] J.K. Verma, Rees algebras of contracted ideals in two-dimensional local rings,
Journ. of Algebra, 141, N0. 1 (1991), 1-10.\par\noindent
 [V] J.K. Verma, Joint reductions of complete ideals, Nagoya Math.
J., 118, 1990, 155-163.\par\noindent
[V] J.K. Verma, Joint reductions and Rees algebras, Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 109 (1991),
335-342.\par\noindent
 [V] J.K. Verma, Multigraded Rees algebras and mixed
multiplicities, Journ. of Pure and Applied Algebra, 77 (1992), 219-228.\par\noindent


 \vfill\eject
\centerline{CHAPITRE 2}
\vskip1truecm
\end