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\begin{document}
\title{Questions}
\author{Arturo Giles Flores}
\maketitle
\pagestyle{myheadings}
\markboth{\rm Arturo Giles Flores}{\rm Specialization to the tangent cone.}
\vskip.3pt 	


    Soit $g:(\X,0) \to (\C,0)$ l'espace de specialisation de $(X,0)$ sur son c\^one tangent, avec 
 des coordonees $(z_O, \ldots, z_n,t)$. $(X,0) \subset (C^{n+1},0)$ hypersurface. $(Y,0) \subset
 (\X,0)$ l'axe des t. \\
 
    D'apres ce qu'on a discute, on cherche a utiliser le principe de specialisation de la dependance integrale, pour montrer que si $(X,0)$ n'a pas des c\^ones exceptionels, et si le c\^one tangent 
$C_{X,0}$ est reduit, alors le couple $(\X^0, Y)$ satisfait les conditions de Whitney a l'origin. 

\begin{itemize}
	\item Comme on est dans les cas des hypersurfaces, le conormal relatif $C_g(\X)$ coincide 
	      avec la modification de Nash relatif $N_g(\X)$ et aussi avec l'eclatement de l'ideal
	      jacobien relatif $J_F \subset O_{\X,0}$. Ou $J_F= \left < \partial F /\partial z_i,
	       \right>i=0, \ldots,n$, $F= t^{-m}f(t\underline{z})$ sert a definir $(\X,0) $ et 
	       $f$ sert a definir $(X,0)$. 
	       
	\item  Grace a l'isomorphisme entre $C_g(\X) \setminus \kappa_g^{-1} (\X(0))$ et $C(X) \times
	       \C^*$ donne par le morphisme $((\underline{z},t) [\underline{a}:b]) \mapsto
	       ((\underline{z}), [\underline{a}])$ on montre que pour un point $p \in \X(0)$, tout 
	       limite des hyperplans tangents aux fibres de $g$ en $p$ est un limite des hyperplans
	       tangents a $X$ en $0$. 
	       
	\item  Par hypothese $(X,0)$ n'a pas des c\^ones exceptionnels, alors les points de 
	       $k_g^{-1}(\X(0))$ sont de la forme $(p,H)$ ou $p \in C_{X,0}$ et $H$ est un
	       hyperplan tangent a $C_{X,0}$ en $p$. Par consequent le divisor exceptionel de $C_g(\X)$
	       defini par l'ideal $J_F$ n'a pas des composantes "verticales" sur $\X(0)$.
	       
	 \item \textbf{Question 1: Est-ce que ca c'est correct?} D'apres la proposition 3.6,
	       page 332 de l'article de Cargese, montrer que  le couple $(\X^0, Y)$ satisfait
	       la condition $a)$ de Whitney a l'origin c'est equivalent a montrer que $\overline{\nu}_{J_F}
	       (\partial F / \partial t) > 1$. Pour montrer cela il faut el il suffit que pour tout 
	       $k$ suffisament grand $(\partial F / \partial t)^k \in J_F^{k+1}$ en $O_{\X,0}$. \\
	       
	         On sait que le couple $(X^0,Y)$ satisfait les conditions de Whitney en dehors de 
	       l'origine. Donc on voudrait trouver un $k_0 \in \N$ a partir duquel $(\partial F / \partial 
	       t)^k \in J_F^{k+1}$ en $O_{\X,x}$ pour tout point $x \in Y$ suffisament proche de l'origin.
	       Je crois que ce $k_0$ existe grace a que $\X \setminus \X(0)$ est isomorphe a $X \times \C^*$
	       et donc tous les germes $(\X, (0,t))$, pour $t \neq 0$ sont isomorphes. L'existence de ce 
	       $k_0$, nous permet, pour chaque $k \geq k_0$ de considerer la fonction holomorphe 
	       $ (\partial F / \partial t)^k / h^{k+1}$ en $C_g(\X)$, ou $h$ est un generateur local 
	       de $J_F$ en $C_g(\X)$. Par consequent on obtient la condition souhaite, c'est a dire 
	       $\overline{\nu}_{J_F}(\partial F / \partial t) > 1$. Finalement, on sait deja que 
	       dans ce cas la $a)$ implique $b)$.	         
\end{itemize}

\bigskip
    
      		Considerons maintenant le cas de une germe de singularite $(X,0) \subset (\C^{n+1},0)$,
      reduit, et irreductible de dimension $d$. Supposons en plus que le c\^one tangent est
      reduit. Pour les surfaces, L\^e considere les points de $ l \in \P C_{X,0}$, ou l'eclatement 
      $E_0X$ n'est pas equisingulier le long du diviseur exceptionnel, et il montre que si 
      $l$ n'appartient pas au c\^one tangent du lieu singulier de $X$ a l'origine $\P C_{SingX, 0}$, 
      alors $l$ est une tangente exceptionnelle.\\
      
      \textbf{Question 2:} Je suppose que dans l'ensemble des points $l \in \P C_{X,0}$ mentionne
      ci-dessous, on a le lieu singulier de $\P C_{X,0}$ n'est-ce pas?\\
      
         Si ca c'est vrai, on pourrait envisager une generalisation de ce resultat. Par exemple,
       soit $l_0$ un point singulier de $\P C_{X,0}$ tel que $l_0$ n'appartient pas a 
       $\P C_{SingX, 0}$, et soit $x_0$ un point de la droite $l_0 \subset \C^{n+1}$. Si le germe
       $(\X, x_0)$ est lisse comme $(\X(0),x_0)$ est singulier, ca veut dire que l'hyperplan
       $t=0$ est tangent a $\X$ en $x_0$, et il me semble que ca implique que $x_0$ appartient
       a un c\^one exceptionnel en utilisant que l'image des composantes irreductibles de 
       $\kappa_g ^{-1}(\X(0))$ sont les c\^ones exceptionnels. Je ne sais pas quoi faire, dans le 
       cas ou le germe $(\X, x_0)$ est aussi singulier. 
       



 \end{document}






  