
\documentclass{article}

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\def\Z{{\bf \mathbb{Z}}}
\def\C{{\bf \mathbb{C}}}
\def\N{{\bf \mathbb{N}}}
\def\D{{\bf D}}
\def\B{{\bf B}}
\def\R{{\bf R}}
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\def\J{{\tilde{J}}}
\def\P{{\bf \mathbb{P}}}
\def\A{{\bf A}}
\def\m{{\mathfrak{m}}}
\def\M{{\mathfrak{M}}}
\def\Par{\par\noindent}
\def\elem(#1,#2){  \{ {{#1}\over \overline {\ #2\ }}\}  }
\def\polar{{P_k(X;L^{d-k})}}

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\newtheorem{proposition}[definition]{Proposition}
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\setcounter{tocdepth}{2}
\begin{document}
\title{Questions}
%\author{Bernard Teissier}
\maketitle
\pagestyle{myheadings}
\markboth{\rm Bernard Teissier}{\rm Local polar varieties}
\vskip.3truecm
    
    Soient $X$ un espace analytique complexe r'eduit purement de dimension $d$, $Y$ un sous-espace analytique 
    fermé de $X$ de dimension $t$, $x$ un point non-singulier de $Y$, et choisisons un plongement local en $x$
    dans un ouvert de $\C^n$, de façon que $Y$ soit le sous-espace lineaire $\C^t \times \{ 0 \}$. 

  \[\xymatrix{
        X \times \P^{n-1-t}\times \check{\P}^{n-1}\supset  E_YC(X)\ar[rr]^{\hat{e}_Y}\ar[dd]^{\kappa'}\ar[ddrr]^\xi 
              & & C(X) \ar[dd]^\kappa  \subset X \times \check{\P}^{n-1}  \\ \\
           X \times \P^{n-1-t} \supset E_YX\ar[rr]_{e_Y}&  & Y\subset  X\subset \C^n }\]

     
  \begin{itemize}
  \item[1)] Soit $\{ D_\alpha \}$ la famille finie des espaces reduits sous-jacents aux composantes irreductibles
          de dimension n-2 du diviseur $\xi^{-1}(Y)$ . Maintenant dans le theoreme 2.1.1 la condition ii) nous disent
          que si $y \in Y$ alors $dim \,\xi^{-1}(y)= n-2-t $ implique les conditions de Whitney. Mais, si on fait la 
          restriction de $\xi$ a la partie lisse du diviseur en tant que morphisms entre varietes lisses on a 
          generiquement une fibre de cette dimension n'est-ce pas? Cela veut dire que generiquement les conditions 
          de Whitney sont satisfaites entre un pair quelconque des strates??? Et apres la condition iii) c'est pour 
          assurer que en un point specifique $y \in Y$ on aille la dimension correcte, c'est ca ? 

  \item[2)] Vous m'aviez dit que pour le lemme suivant le theoreme 2.1.1 il y a un facon plus simple de le demontrer,
            mais j'arrive pas a bien comprendre comment le faire? Pourriez vous me parler un peu de ca?

  \item[3)] Dans la preuve de ce meme theoreme, pour l'implication $i) \Rightarrow iii)$ on cherche a
            utiliser le lemme. On se rend compte que le diviseur $\xi^{-1}(Y)$ est le projectivise du cone normal
            $C_{C(X),\kappa^{-1}(Y)}$, et comme pour hypothese on a deja les conditions de Whitney alors on sait
            que la fermeture integral des ideaux qui definissent $\kappa^{-1}(Y)$ et $C(X)\cap C(Y)$ en $C(X)$.
            coincide. Mais comment on utilise ca pour construire un morfisme fini entre les cones normaux? J'ai pas 
            trouve un response a ca dans les references donnes dans l'article. \\
               
            D'ailleurs, comme on a la condition a) de Whitney, ensemblistement on a une egalite 
            $\kappa^{-1}(Y)= C(X)\cap C(Y)$. Est-ce que ca n'implique pas une egalite ensembliste aussi entre
            les correspondants cones normaux,??? Et pourquoi dans la preuve du lemme vous ne vous souciez pas
            sur la dimension de $L_1$ qu'on doit avoir pour etre lagrangienne?\\

  \item[4)] Finalement, si $f:\mathfrak{X}\rightarrow \C$ est la deformation de $X$ sur le cone normal $C_{X,Y}$.
            Et $\kappa_f:C_f(\mathfrak{X})\rightarrow \mathfrak{X}$ est son espace conormal relatif. 
            Comment identifier la fibre $q^{-1}(0)$ ou $q=f \circ \kappa_f$ avec le cone normal de $C(Y)\cap C(X)$ 
            dans $C(X)$?
 
            J'ai deja reussi a verifier que la fibre $q^{-1}(t)$ est isomorphe a $C(X)$, et meme il me semble que
            j'ai un isomorphisme entre $C_f(\mathfrak{X})\setminus q^{-1}(0)$ et $C(X) \times \C^*$, et pourtant
            j'arrive pas a voir comment obtenir de la l'espace souhaitait. Je veux dire, comment puis-je etre sur que
            ce que je obtiens c'est pas le cone normal de $\kappa^{-1}(Y)$ dans $C(X)$??

 
  \end{itemize}
  
 \end{document}






  