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%           TEISSIER     01/05  LATEX 2e
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\begin{document}
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\author{} 
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Cher Arturo,
\par
D\'esol\'e de r\'epondre si tardivement. Je fais des conf\'erences ici qui m'occupent pas mal.\par
Question 1: 
1) Encore sur le principe de specialization Lagrangienne(pg 544).�Pour la condition 3), est-ce que c'est clair que les varietes X_i
��� ont toutes ses fibres sur S de dimension pure et egal de fa�on a qu'on puisse parler de son espace conormal relatif???

C'est une bonne question. En fait pour d\'efinir l'espace conormal relatif on a seulement besoin qu'il existe un ouvert dense en chaque point duquel la fibre est lisse de dimension $d$. Encore une faute de r\'edaction.\par
Question 2) En la preuve de la proposition 1.5.5.2(pg 555) sur les varietes polaires relatives, je suis perdu des de le�debut. Comment est-ce que��
����l'ensemble�des points z dans��P_L^0 \cap X^0� o� T_zP_L + D n'est pas un hyperplan est contenu dans une variete polaire relative.....????
��� Et apres dans l'ouvert o� la somme d'avant c'est un hyperplan, pourquoi cet hyperplan coincide avec T_zX(f(z)) +D et c'est le seul hyperplan tangent � X(f(z)) contenant D.?
\par
Pour comprendre prenons le cas o\`u $S$ est un point. Si l'on compte les dimensions on voit que dire que $T_zP_L + D $ n'est pas un hyperplan c'est dire que ces deux espaces ne sont pas en position g\'en\'eral dans ${\mathbf C}^N$. Cela veut dire aussi que la projection $p$ de noyau $D_{d-k+1}$ a un point critique sur $P_L^0$ en $z$. Le point $z$ est donc dans une vari\'et\'e polaire de $P_L$. Par le th\'eor\`eme de transversalit\'e de Kleiman (ici on triche un peu; c'est un peu plus subtil parce que 
$P_L$ d\'epend de la projection, on montre que cette vari\'et\'e polaire est rare dans $P_L$. Maintenant en dehors d'elle, et dans $P^0_L$ la somme des deux sous-espaces est un hyperplan. Je dis que c'est l'unique hyperplan tangent \`a $X$ en $z\in P_L^0$ contenant $D_{d-k+1}$. En effet par d\'efinition de $P_L$, l'espace $D_{d-k+1}$ est tangent \`a $X$ en $z$, donc notre espace somme est un hyperplan tangent \`a $X$ en $z$. 
Par aillurs si un hyperplan tangent \`a $X$ en un point g\'en\'eral de $P^0_L$ contient $D_{d-k+1}$, comme il contient $T_zP_L$ car $P_L\subset X$, il contient $T_zP_L+D_{d-k+1}$ donc lui est \'egal si nous sommes en dehors de la vari\'et\'e polaire rare vue plus haut. Cela prouve l'unicit\'e.\par
3) Comment montre-t-on que si K:C(X)--> X est le morphisme conormal, et P_k(X,L) une variete polaire pour un L \subset P^n-1 de la bonne
� �dimension est assez general. Alors le germe de P en 0 est vide si et seulement si�la fibre K^{-1}(0) est de dimension mineur que
�� n-1-d-k? Et que est ce que �a veut dire???\par
C'est le th\'eor\`eme de B\'ezout. Puisque par d\'efinition $P_k$ est l'image de $\lambda^{-1}(L^{d-k})\bigcap \kappa^{-1}(0)$, le germe de $P$ en $0$ est vide si et seulement si $\lambda^{-1}(L^{d-k})\bigcap \kappa^{-1}(0)$ est vide, l'intersection \'etant prise dans $\P^{N-1}$. Comme $L$ est g\'en\'eral cela signifie que la codimension de $\kappa^{-1}(0)$ est $\geq d-k+1$, donc sa dimension $< N-d+k-1$. Par exemple pour une hypersurface dans ${\mathbf C}^3$, la courbe polaire est vide si et seulement si $\kappa^{-1}(0)$ est de dimension $0$, donc un ensemble fini.
\par
4)�Maintenant une question sur la recuperation des limites d'espaces tangents a partir�des limites d'hyperplans tangentes.�Est-ce�
�� que� tout limite des hyperplans tangentes contient une limite d' espaces tangents? Plus precisement, si je prend une suite de points
� �lisses en� X , x_n-->0, et en utilisant cela je prends une suite des hyperplans tangents H_n tendant vers H. Est-ce que tout limite des
�� espaces tangents T obtenu a partir de la suite x_n est contenu dans H???
��\par
Oui, simplement parce que la relation ''$T\subset H$'' est une relation qui d\'efinit un ferm\'e dans l'espace des couples $(T,H)$. Plus pr\'ecis\'ement si pour tout $x_n$ l'espace tangent est contenu dans un hyperplan $H_n$, comme les hyperplans ont une limite en direction (l'espace projectif est compact) cette limite contient la limite des espaces tangents, par 
continuit\'e.
\par
�5) D'apres la fa�on de recuperer les espaces tangents a partir des hyperplans tangents cela impliquerait que pour tout point H de
�� $K^{-1}(0)$ il passe un sous-espace lin\'eaire de la bonne dimension compl\`etement contenu dans K^{-1}(0) n'est-ce pas?\par
Oui, d'apr\'es ce qu'on vient de dire.\par

R\'eponse au deuxi\`eme paquet de questions:\par\noindent
Question 1): Oui c'est cela qui se passe.\par\noindent
Question 2) En fait la preuve du lemme est r\'edig\'ee de fa\c con trop compliqu\'ee. C'est un peu long \`a \'ecrire ici. Je pense que c'est un bon exercice de r\'ediger cela. Il faut reprendre un peu les notations et remarquer que pour prouver la dualit\'e au dessus de $Y$ on peut supposer les $dy_i$ tous nuls. \par\noindent
Question 3) Pour comprendre les premi\`eres lignes de la page 561: je vais expliquer le ph\'enom\`ene sur les c\^ones tangents, mais c'est la m\^eme chose sur les c\^ones normaux. Supposons avoir un morphisme fini $X,0\to Y,0$; cela n'implique pas en g\'en\'eral que le morphisme des gradu\'es par rapport \`a l'id\'eal maximal soit fini (cela correspond au morphisme des c\^ones tangents). Prenons par exemple la projection d ela courbe $y^3-x^2=0$ sur l'axe des $x$; c'est un morphisme fini, pas celui des c\^ones tangents.
La condition n\'ecessaire et suffisante pour que le morphisme des gradu\'es soit fini (que le gradu\'e du haut soit un module fini sir celui du bas) est que l'id\'eal maximal de $X$ soit entier sur l'ideal maximal de $Y$. Tu peux voir que dans l'exemple ce n'est pas le cas.\par
C'est cela qui se passe ici, en rempla\c cant l'id\'eal maximal par les id\'eaux de $\kappa^{-1}(Y)$ et $C(Y)\bigcap C(X)$ respectivement.\par

A bient\^ot et bon courage,

Bernard












