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\def\Boule{{^{_{\bullet}}}} 
\def\rond{\mathaccent"7017}  

\def\og{\omega}       
\def\sg{\sigma}
\def\Rho{\rm P}
\def\R{{\bf R}}
\def\epsilon{\varepsilon}
\def\vol{{\rm vol}}

%%%%%%%% VOIR LES LABELS   %%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%    Pour voir les labels:
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%%%%    Pour ne plus voir les labels:
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%%%%%%%%%%%%   DESSINS     %%%%%%%%%%%%%%%%%%

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  FIN DESSINS   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}

\title{Formes H\"old\'eriennes et Th\'eor\`eme de de Rham relatif
en G\'eom\'etrie analytique}
\author{Jean-Paul Brasselet et Bernard Teissier }
\maketitle
\vskip.2in\hfill{\it D\'edi\'e \`a Heisuke Hironaka \rm} 
\noindent
\vskip1cm

\tableofcontents

\newpage

\setcounter{section}{-1}  
\section{Introduction}
\setcounter{equation}{0}  
L'origine de ce travail est une question pos\'ee par Fran{\c c}ois Treves au second
auteur en 1982 : 

{\it Etant donn\'es un morphisme analytique $g\colon {\bf S}^n\to
{\bf R}$ o\`u ${\bf S}^n$ est la sph\`ere de dimension $n$, et une $r$-forme
diff\'erentielle $\og$ de classe ${\cal C}^\infty$ sur ${\bf S}^n$ dont la
restriction \`a chaque fibre non singuli\`ere de $g$ est exacte, existe-t-il une
$(r-1)$-forme $H$ h\"old\'erienne sur  ${\bf S}^n$ telle que l'on ait  
$$dg \wedge (\og-dH)=0 ,$$ 
la diff\'erentielle $dH$ \'etant prise au sens des distributions ?}
\smallskip

\noindent Dans ce travail nous d\'emontrons ce r\'esultat pour une forme $\og$
elle-m\^eme  h\"old\'erienne et dans le cadre plus g\'en\'eral des morphismes sous
analytiques propres triangulables entre espaces non singuliers.

S. Chanillo et F. Treves ont prouv\'e r\'ecemment (voir \cite{[C-T]}, Lemme 2.2) un
r\'esultat analogue: sous l'hypoth\`ese d'annulation \`a l'ordre infini de $\og$ le
long des fibres singuli\`ere de $g$, ils obtiennent une primitive relative de classe
${\cal C}^\infty$ satisfaisant la m\^eme propri\'et\'e d'annulation.\par   Rappelons
qu'une fonction $h$ sur une vari\'et\'e analytique
$V$ est dite h\"old\'erienne si tout point $x\in V$ poss\`ede un voisinage $U$ tel
qu'il existe des constantes positives $\alpha$ et $C$ telles que pour $y,y'\in U$ on
ait $\vert h(y)-h(y')\vert \leq C\vert y-y'\vert ^\alpha $. Une forme
diff\'erentielle sur  $V$ est dite h\"old\'erienne si ses coefficients sont des
fonctions  h\"old\'eriennes sur $V$ et s'il en est de m\^eme des coefficients de sa
diff\'erentielle au sens des distributions. 

\noindent L'id\'ee principale est de transformer ce probl\`eme d'analyse en un
probl\`eme g\'eom\'etrique en repr\'esentant les formes diff\'erentielles au moyen
des {\it formes de Whitney}. Rappelons que la forme diff\'erentielle que Whitney
associe ({\it cf} \cite{[Whi]}, Chap. 4, \S 27) \`a un simplexe d'une vari\'et\'e
diff\'erentielle triangul\'ee est essentiellement une r\'egularisation de la forme
volume de ce simplexe exprim\'ee en  coordonn\'ees barycentriques; c'est cette
derni\`ere que nous appellerons forme de Whitney. L'hypoth\`ese de
triangulabilit\'e du morphisme permet de transporter le probl\`eme sur un morphisme
simplicial $f\colon \Delta \to T$ au moyen d'hom\'eomorphismes sous-analytiques.
Ceux-ci respectent en effet les conditions h\"old\'eriennes comme il r\'esulte
aussit\^ot des in\'egalit\'es de \L ojasiewicz \'etendues au cas sous-analytique
par Hironaka \cite{[H]} ({\it cf} \cite{[Ha]} et \S 1). 

Le cadre h\"old\'erien convient bien pour cette raison et parce que les formes
volumes des simplexes en coordonn\'ees barycentriques \'etant Lipschitziennes comme
formes diff\'erentielles d\'efinies sur l'espace entier, sont
h\"old\'eriennes. Il n'y a donc pas \`a les r\'egulariser, et l'on a une
correspondance biunivoque entre simplexes et formes de Whitney, ce qui joue un
r\^ole important dans la suite. 

La premi\`ere difficult\'e est que la d\'ecomposition simpliciale de $\Delta$
n'induit pas sur les fibres de $f$ une d\'ecomposition simpliciale. Mais nous avons
remarqu\'e qu'elle induisait une d\'ecomposition en prismes (produits de
simplexes), et que ces d\'ecompositions \'etaient naturellement isomorphes pour
toutes les fibres de points de l'int\'erieur d'un simplexe de la base $T$. Pour
rendre compte des d\'eg\'enerescences de la structure prismale des fibres qui se
produisent par sp\'ecialisation sur les faces d'un simplexe de $T$ nous avons
introduit les {\it faisceaux prismaux}. Le morphisme simplicial d\'efinit
canoniquement un faisceau prismal mais en fait il est bien plus commode de
travailler avec un autre faisceau prismal, qui est un ``\'eclat\'e" de celui-ci et
est trivialis\'e au dessus de chaque simplexe ferm\'e de $T$. Sur ce faisceau
trivialis\'e il est facile de d\'efinir les formes de Whitney; la forme de Whitney
d'un prisme est essentiellement le produit ext\'erieur des formes de Whitney des
simplexes facteurs du prisme. Le calcul permet de d\'efinir naturellement les
formes de Whitney {\it relatives}. Apr\`es avoir  repr\'esent\'e (modulo les
formes exactes) la forme $\og$ par une combinaison lin\'eaire de formes de Whitney
relatives, on cherche $H$ sous la m\^eme forme, et le probl\`eme se ram\`ene
finalement \`a un \'enonc\'e d'alg\`ebre lin\'eaire dont la solution est
facile.


\section{G\'eom\'etrie des morphismes triangul\'es}  
\setcounter{equation}{0}

\subsection{Rappels}

\begin{definition} \libel{ANALYT} Soit $X \subset {\bf R}^n
\times {\bf R}^m $ un sous-ensemble sous-analytique tel que la restriction $g \colon X
\rightarrow {\bf R}^n$ de la premi\`ere projection soit un morphisme propre. On
rappelle qu'une triangulation de cette situation est la donn\'ee~: 
\begin{enumerate}
\item d'hom\'eomorphismes sous-analytiques $t$ de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m $
dans lui-m\^eme et $t_0$ de ${\bf R}^n$ dans lui-m\^eme, tels que le
diagramme suivant soit commutatif 
$$\Diag{{\bf R}^n \times {\bf R}^m  &\hfleche\rightarrowfill{t}& {\bf R}^n
\times {\bf R}^m&\supset & X \cr 
\vfleche\downarrow{pr_1}&&\vfleche\downarrow{pr_1}&&\vfleche\downarrow{g}\cr 
{\bf R}^n&\hfleche\rightarrowfill{t _0} &{\bf R}^n&=&{\bf R}^n\cr }$$ 
\item de d\'ecompositions de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m$ et de ${\bf R}^n$ en
simplexes lin\'eaires de telle fa\c con que les hom\'eomorphismes $t$ et $t_0$
soient analytiques \`a l'int\'erieur de chaque simplexe et que $pr_1$ soit une
application simpliciale. Ces donn\'ees  doivent \^etre compatibles avec $X$~: si
l'image par $t$ d'un simplexe  rencontre $X$, elle est contenue dans $X$. 
\end{enumerate}
\end{definition}

Dans la suite, \'etant donn\'e un morphisme $g$ triangul\'e comme ci-dessus, nous
noterons $\Delta$ le sous-complexe simplicial de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m$ form\'e
des simplexes dont l'image par $t$ rencontre $X$, $T$ le sous-complexe simplicial de
${\bf R}^n$ form\'e des simplexes dont l'image par $t_0$ rencontre $g(X)$, et $f\colon
\Delta \to T$ le morphisme induit par $\hbox{\rm pr}_1$.

\begin{remarques} 
1) D'apr\`es l'in\'egalit\'e de \L ojasiewicz, tout hom\'eomorphisme
sous-analytique $t$ est h\"old\'erien sur tout compact: pour tout sous-ensemble
compact $K$ de $\bf R \rm ^n \times \bf R \rm ^m $, il existe des nombres r\'eels
positifs $C$ et $\alpha$ tels que l'on ait :  $\Vert t (y) -t (x) \Vert \leq C \Vert
y -x \Vert^{\alpha}$. \par  
\noindent 2) L'image par $pr_1$ d'un simplexe est un simplexe et l'image 
r\'eciproque par $pr_1$ d'un simplexe est une r\'eunion de simplexes. 
\end{remarques}

\subsection{Morphismes et faisceaux prismaux }

\begin{definition} \libel{PRISME} Un {\sl prisme} (resp. un prisme
ouvert, resp. un prisme ferm\'e) est un produit de simplexes (resp. simplexes ouverts, resp.
ferm\'es) lin\'eairement plong\'es dans un espace euclidien ; un prisme est donc non vide.
Une {\sl face} d'un prisme est vide ou est un produit de faces de ses facteurs. Nous
appellerons {\sl coordonn\'ees barycentriques} d'un point d'un prisme la famille des
coordonn\'ees barycentriques de ses projections sur les facteurs du prisme. 
\end{definition}

Une {\sl orientation} d'un prisme
$\pi=\sigma_0 \times \sigma_1 \times \cdots \times \sigma_p$ est la donn\'ee d'un
ordre sur l'ensemble $\lbrace 0,\ldots ,p\rbrace$ et d'une orientation sur chaque
simplexe $\sg$. Une {\sl orientation faible} d'un ensemble prismal est la
donn\'ee d'une orientation de chacun de ses prismes.

Un {\sl sous-ensemble prismal}
de $\bf R \rm^N$ est une r\'eunion localement finie de prismes ferm\'es telle que
l'intersection de deux quelconques d'entre eux soit une face de chacun. Un sous-complexe
simplicial d'une triangulation de $\bf R \rm^N$ est un sous-ensemble prismal. \par 
Sauf mention du contraire, les simplexes et les prismes consid\'er\'es dans la suite
sont ferm\'es.

Une {\sl composante de dimension pure}
$d$ d'un ensemble prismal $\Pi$ est un ensemble de prismes de dimension $d$, dont
aucun n'est face d'un prisme de dimension $d+1$ de $\Pi$, et  tel que chacun ait en
commun avec au moins un autre prisme de l'ensemble une face de codimension 1. 

Si un ensemble prismal est une pseudo-vari\'et\'e de dimension $d$, tout prisme de
dimension $d-1$  est face d'un (s'il est dans le bord) ou de deux prismes de
dimension $d$. Un ensemble prismal $\Pi$ qui est une pseudo-vari\'et\'e de dimension
$d$ est {\sl orient\'e} s'il est muni d'une orientation faible telle que pour tout
couple de prismes $(\pi_1,\pi_2)$ de dimension $d$ ayant en commun une face $\pi$ de
codimension $1$, les orientations induites sur $\pi$ par $\pi_1$ et $\pi_2$  sont
oppos\'ees.

Rappelons qu'un morphisme simplicial d'un complexe simplicial dans
un autre est une application dont la restriction \`a chaque simplexe de la source a
pour image un simplexe du but et qui est lin\'eaire en les coordonn\'ees
barycentriques.

\begin{definition} \libel{APPLPR}
Une application $\varphi$ d'un ensemble prismal $\Pi$ dans un ensemble prismal
$\Sigma$ est un morphisme prismal si pour tout prisme $\pi =\sigma_0 \times \sigma_1
\times \cdots \times \sigma_p$ de $\Pi$, l'image $\varphi (\pi )$ est un prisme
$\tau_0 \times \tau_1 \times \cdots \times \tau_s$, l'image d'un simplexe ouvert
(resp. ferm\'e) est un simplexe ouvert (resp. ferm\'e) et pour tout choix d'un
indice $i$ l'application $\varphi$ envoie chaque tranche $u_0\times \cdots \times
u_{i-1}\times \sg_i \times u_{i+1}\times \cdots \times u_p$ simplicialement sur une
tranche $v_0\times \cdots \times v_{j(i)-1}\times \tau_{j(i)} \times
v_{j(i)+1}\times \cdots \times v_s$. 
\end{definition}

Un morphisme simplicial entre complexes simpliciaux est un morphisme prismal.

Un morphisme prismal entre des ensembles prismaux orient\'es est dit orient\'e s'il
res\-pecte les orientations des prismes. 

L'exemple suivant de morphisme prismal est fondamental pour ce qui suit:\par 

\begin{example} \libel{JOINT} {\sl Exemple fondamental}. Soit $f\colon \sg
\to \tau$ un morphisme simplicial entre deux simplexes; pour chaque
sommet $y_j$ de $\tau$, ($0\leq j\leq s =\hbox{dim}\tau$), posons
$\sg_j=f^{-1}(y_j)$.   Notons $\pi(\sg)$ le prisme
$\pi(\sg)=\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$. On se propose de d\'efinir des
morphismes prismaux  
$$ \psi^\sg : \pi(\sg) \to \sg \quad \hbox{ et } \quad \theta^\sg :
 f^{-1}(\rond \tau) \to  \pi(\sg)$$ 
qui sont des isomorphismes sur
$f^{-1}(\rond \tau)$ et $\rond\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$. 
\end{example}

Chaque sommet de $\sg$ est dans l'un des $\sg_j$ et un seul. Pour chaque $j$, notons
$I(j)$ l'ensemble des indices $i$ correspondant aux sommets $a_i$ de $\sg_j$. Etant
donn\'e un point $x$ de $\sg$, de coordonn\'ees barycentriques $\lambda_i$ et dont
l'image $f(x)$ est dans l'int\'erieur de $\tau$, les sommes $\sum_{i \in I(j)}
\lambda_i$ sont non nulles ;  pour chaque $j$, notons $x_j$ le point de $\sg_j$ de  
coordonn\'ees barycentriques $\mu_{j,k} ={{\lambda_k}\over {\sum_{i \in I(j)}
\lambda_i}}$,  $k\in I(j)$. Notons $\theta^{\sg_j}$ l'application $f^{-1}(\rond
\tau)\to \sg_j$ qui \`a $x$ associe le point $x_j$, et $\theta^\sg$ l'application de 
$f^{-1}(\rond \tau)$ dans le prisme $\pi(\sg)=\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$
qui au point $x$ associe le point $(f(x), x_0,\cdots, x_s)$. Le simplexe enveloppe
convexe des points $x_j$  est isomorphe \`a $\tau$. Le point $x$ est le point de ce
simplexe   dont les coordonn\'ees barycentriques sont celles du point $f(x)$ dans
$\tau$. Ceci nous donne une description de $\sg$ comme {\it joint it\'er\'e} des
simplexes $\sg_j$.

\noindent On peut en effet d\'efinir le joint it\'er\'e
$\sg_0*\cdots * \sg_s$ de $s+1$ simplexes $\sg_j$ lin\'eairement ind\'ependants dans
un espace euclidien comme la r\'eunion des simplexes de dimension $s+1$ qui sont les
enveloppes convexes d'ensembles de points de la forme $(x_j \in \sg_j);\ \
j=0,\ldots , s$. Si $f$ est un morphisme orient\'e, et si on munit chaque $\sg_j$ de
l'orientation induite par celle de $\sg$, l'orientation naturelle du joint d\'eduite
de celles de $\tau$ et des $\sg_j$ n'est autre que celle de $\sg$.

On d\'efinit alors le morphisme $\psi^\sg \colon
\pi (\sg )\to \sg= \sg_0*\cdots * \sg_s$ qui, au point de coordonn\'ees 
$$(t_j)_{j=0,\ldots,s},(\mu_{0,i_0})_{{i_0}\in I(0)},\ldots, 
(\mu_{s,i_s})_{{i_s}\in I(s)}$$  de $\pi(\sg)$, associe le point de $\sg$ dont la
coordonn\'ee barycentrique relative au sommet $a_i$ est $\lambda_i=t_j\mu_{j,i}$,
o\`u $j$ est l'indice tel que $i\in I(j)$. Ce morphisme est un morphisme prismal.

\noindent Le morphisme $\theta^\sg$ d\'efini ci-dessus est un isomorphisme inverse 
de $\psi^\sg$ de $f^{-1}(\rond \tau)$ sur $\rond \tau\times
\sg_0\times\cdots\times\sg_s$. Le morphisme $\psi^\sg$ induit donc un isomorphisme
prismal
$$\rond \tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s \to f^{-1}(\rond \tau).$$
 
\begin{definition} \libel{FAISPR} Soit $\hbox{\rm P}$ un
ensemble prismal. Un {\it faisceau prismal} $\cal F$
sur  $\hbox{\rm P}$ est la donn\'ee pour chaque prisme ferm\'e $\rho$ de $\Rho$ d'un
morphisme prismal $ e_\rho \colon {\cal F}(\rho) \rightarrow \rho$ et pour chaque
face $\rho'$ de $\rho$ d'un morphisme prismal
$h_{\rho',\rho}\colon {\cal F}(\rho) \rightarrow {\cal F}(\rho')$ de telle fa\c con
que  $h_{\rho'',\rho}
=h_{\rho'',\rho'}\circ h_{\rho',\rho}$ et que $h_{\rho,\rho}=Id_{{\cal
F}(\rho)}$. On dit que le faisceau prismal ${\cal F}$ est propre si les ensembles
prismaux ${\cal F}(\rho)$ sont compacts.
\end{definition} 
  
On prendra garde qu'il s'agit de faisceaux pour la topologie
de l'ordre sur l'ensemble partiellement ordonn\'e des faces des prismes.
En particulier, les sections globales sont les \'el\'ements de la r\'eunion 
$\bigcup_{\rho \in P} {\cal F}(\rho)$ satisfaisant les conditions de 
restriction de la d\'efinition.

\noindent Soient $\varphi \colon \Rho \rightarrow \Sigma$ un morphisme prismal, $\cal
F$ un faisceau prismal sur $\Rho$ et $\cal G$ un faisceau prismal sur  $\Sigma$. Un
{\it morphisme de faisceaux prismaux} de $\cal F$ dans $\cal G$ est la donn\'ee pour
chaque prisme ferm\'e $\rho$ d'un morphisme prismal ${\cal F} (\rho) \rightarrow
{\cal G}(\varphi (\rho))$ satisfaisant les conditions de compatibilit\'e \'evidentes
avec les op\'erateurs de faces.  

\begin{lemma} \libel{LORIENT} Etant donn\'es un faisceau prismal ${\cal F}$
sur $\Rho$ et un prisme $\rho$ de $\Rho$, pour toute orientation de $\rho$, il est \'equivalent
de se donner une orientation de la fibre  ${\cal F}(b(\rho))$ au dessus du
barycentre  $b(\rho)$ de $\rho$, une orientation de toutes les fibres ${\cal
F}(y)_{y\in \rond \rho}$, ou une orientation de l'ensemble prismal ${\cal
F}(\rho)$.
\end{lemma}

Cela provient de ce que la donn\'ee d'une orientation d'un espace
fibr\'e (orientable) est la donn\'ee d'une orientation de la base suivie d'une
orientation de la fibre.  \par Le bord (orient\'e) d'un produit orient\'e $\sg_0
\times \sg_1$ est 
$$\partial  (\sg_0 \times \sg_1) = \partial \sg_0 \times \sg_1 +
(-1)^{\vert \sg_0 \vert} \sg_0 \times \partial \sg_1,$$ 
d'o\`u, par r\'ecurrence, le
bord orient\'e d'un prisme $\sg_0 \times \cdots \times \sg_s$ est~:  $$\partial
(\sg_0 \times \cdots \times \sg_s) = \sum_{j=0}^s (-1)^{\vert \sg_0 \vert + \cdots
+\vert \sg_{j-1} \vert } \sg_0 \times \cdots \times \partial \sg_j \times \cdots
\times \sg_s$$ 

\begin{definitions}\libel{ORIENT} a) Etant donn\'e un ensemble
prismal orient\'e $\Rho$ qui est une vari\'et\'e topo\-lo\-gi\-que, pour tout couple
$(\rho ,\rho')$ de prismes orient\'es tel que $\rho'$ soit une face de codimension
$1$ de $\rho$, le nombre
d'incidence $[\rho;\rho']$ est \'egal \`a $+1$ si l'orientation de $\rho'$ co\"\i
ncide avec l'orientation du bord de $\rho$, et \`a $-1$ sinon. \hfill\break 
\noindent b) Un faisceau prismal ${\cal F}$ sur un ensemble prismal
orient\'e $\Rho$ qui est une vari\'et\'e topologique est orient\'e si pour chaque
prisme $\rho$ de dimension maxima de $\Rho$, on a une orientation de la fibre ${\cal
F}(b(\rho))$ au dessus du barycentre de $\rho$, de telle fa\c con que si l'on munit
${\cal F}(\rho)$ de l'orientation correspondante ({\it cf} \ref{LORIENT}), les
morphismes $h_{\rho', \rho}$ sont $[\rho;\rho']$-orient\'es, quelque soit le choix
de l'orientation des faces $\rho'$ de codimension $1$ des prismes de dimension
maxima de $\Rho$ .
\end{definitions}

\begin{remarque}\libel{INKCID} Supposons que
$\pi'=\sigma_0\times \cdots \times \sigma'_j\times \cdots \times \sigma_s$ soit une  face de
codimension 1 de $\pi=\sigma_0\times  \cdots \times \sigma_j\times \cdots \times
\sigma_s$, alors  le nombre d'incidence $[\pi;\pi']$ est \'egal \`a  
$(-1)^{\vert
\sg_0\vert +\cdots + \vert \sg_{j-1}\vert }[\sg_j ; \sg'_j]$, o\`u  $[\sg_j ;
\sg'_j]$ est \'egal \`a $+1$ ou $-1$ suivant que l'orientation de $\sg'_j$ 
co\"\i ncide ou non avec celle dont il h\'erite comme face de $\sg_j$. 
\end{remarque}

En effet,  $\partial \sg_j = \sum_{i=0}^k [\sg_j ; \sg'_{j,i}] \sg'_{j,i}$ 
o\`u $\sg'_{j,i}$
d\'ecrit les faces de codimension un de $\sg_j$. On en d\'eduit le r\'esultat.

Les exemples de faisceaux prismaux qui suivent sont fondamentaux
pour ce travail.

\begin{example}\libel{EXEMSF} Soit $f \colon S
\rightarrow T$ un morphisme simplicial surjectif d'ensembles simpliciaux, $f$
d\'efinit un faisceau prismal ${\cal S}_{f}$ sur $T$ en posant, pour tout simplexe
$\tau$ de $T$, ${\cal S}_{f}(\tau) = f^{-1}(\tau)$. Si $\tau'$ est une face de
$\tau$ et $\sg$ un simplexe de $f^{-1}(\tau)$, $\sg' = \sg \cap f^{-1}(\tau')$ est
une face de $\sg$. On peut \'ecrire $\sg$ comme le joint de $\sg'$ et de sa face
oppos\'ee $\sg''$. On d\'efinit $h_{\tau',\tau} \colon {\cal S}_{f}(\tau)
\rightarrow {\cal S}_{f}(\tau')$ en prenant pour $h_{\tau',\tau}\colon \sg  \to
\sg'$ la projection simpliciale de $\sg$ sur $\sg'$ selon les fibres du joint.
\end{example}

\begin{example}\libel{EXEMPF} Soit $\Delta$ un complexe simplicial
fini d'une subdivision simpliciale lin\'eaire de $\bf R \rm ^n \times \bf R \rm
^m $ tel que la restriction $f$ \`a $\Delta$ de la premi\`ere projection $p$ soit
une application simpliciale sur un complexe simplicial $f(\Delta)$ d'une
subdivision simpliciale lin\'eaire de $\bf R \rm ^n$. 
\end{example}

Supposons que $\sigma''$ soit une face commune de $\sigma$ et $\sigma'$ et que ces trois
simplexes aient la m\^eme image $\tau$. Alors le prisme  $\pi (\sigma'')$ est
un sous-prisme de $\pi(\sigma)$ et de $\pi (\sigma')$.  En fait, 
avec la notation de l'exemple \ref{JOINT}, on voit que
l'intersection de $\pi (\sigma)$ et $\pi (\sigma')$ est le prisme $\tau \times
\prod (\sigma_j \cap \sigma'_j)$, o\`u $j=0,\ldots ,s$.  De plus, si l'on note
$<\sigma \cap \sigma'>$ l'espace affine engendr\'e dans $\bf R \rm ^m$ par 
$\sigma \cap \sigma'$, et si l'on consid\`ere les plongements naturels de $\pi
(\sigma)$ (resp $\pi (\sigma')$) dans ${\bf R}^n \times \prod (<\sigma_j \cap
\sigma'_j> \times {\bf R}^{m_j})$ (resp, ${\bf R}^n \times \prod (<\sigma_j
\cap \sigma'_j> \times {\bf R}^{m'_j})$), alors, on a un plongement naturel de
$\pi (\sigma) \cup \pi (\sigma')$ dans ${\bf R}^n \times \prod (<\sigma_j \cap
\sigma'_j> \times {\bf R}^{m_j+m'_j})$ et, dans ce plongement, $\pi (\sigma'')$
s'identifie \`a l'intersection de $\pi (\sigma)$ et $\pi (\sigma')$. Cela montre
que, si $\tau\in f(\Delta)$ est fix\'e,  la r\'eunion des prismes $\pi (\sigma)$
tels que $f(\sg )=\tau$, plong\'ee de la fa\c con naturelle que l'on vient de
d\'ecrire dans un espace affine ${\bf R}^n \times {\bf R}^N$, est un
sous-ensemble prismal not\'e $\cal F(\tau)$ muni d'un morphisme prismal
surjectif $e_\tau \colon \cal F(\tau) \rightarrow \tau$. 

Ce morphisme prismal a la propri\'et\'e que l'image inverse d'un simplexe {\it
ferm\'e} de $f(\Delta)$ est le produit de ce simplexe par un ensemble
prismal; nous pourrons donc y d\'efinir des formes de Whitney relatives. 
 
Soit $\sigma$ un simplexe de $\Delta$ ayant  pour image le simplexe $\tau$
de sommets $\{y_0, \ldots , y_s\}$. Supposons que
$\tau '$ soit une face de $\tau$ et posons  $\sigma'=\sigma \cap f^{-1}(\tau')$.
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, chaque prisme de $\cal F(\tau)$ est de la forme $\tau
\times \sigma_0\times \cdots \times \sigma_s$ o\`u $\sigma_j = f^{-1}(y_j)\cap
\sigma$. L'homomorphisme de $\cal F (\tau)$ dans $\cal F(\tau')$ est l'homomorphisme
de d\'eg\'enerescence qui associe au prisme $\tau \times \sigma_0\times \cdots
\times \sigma_s$ le prisme $\tau' \times \sigma'_0\times \cdots \times \sigma'_s$
o\`u $\sigma'_j = f^{-1}(y_j)\cap \sigma'$ si $y_j$ est un sommet de $\tau'$ et un
point sinon.  \par Notons $e\colon {\cal P}_f\to f(\Delta)$ le faisceau prismal
ainsi obtenu. Nous allons montrer l'existence d'un morphisme canonique ${\cal
P}_f\rightarrow S_f$. 

\vglue 1truecm

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  *****  Ici dessins  *******

\par \vskip 1truecm
\vbox{ \noindent \bf Figures 1:\rm
\par \vskip .1in 
\centerline{\dessin{123mm}{74mm}{figure1 scaled 550}} \noindent
Fig. 1.1 : ${\cal S}_f$ au dessus de $\tau_1\cup \tau_2$\hskip 2truecm ${\cal P}_f$  
au dessus de $\tau_1$, de $\tau'$ et de $\tau_2$}\par 
\vfill\break
\vbox{ \centerline{\dessin{128mm}{57mm}{figure2 scaled 650}}\vskip .2in
\noindent Fig. 1.2 : ${\cal S}_f$ au dessus de $\tau$ \hskip 4.5truecm ${\cal P}_f$ 
au dessus de $\tau$ }\par 
\bigskip
\vbox{ \centerline{\dessin{128mm}{97mm}{figure3 scaled 775}}\vskip .2in
\noindent Fig. 1.3 : \hskip 0.5truecm ${\cal S}_f$ au dessus de $\tau$ 
\hskip 4.5truecm ${\cal P}_f$  au dessus de $\tau$} \par
\vfill\break
\vbox{ \centerline{\dessin{61mm}{172mm}{figureN scaled 650}}}
%\vskip-1truecm
\medskip
\noindent Figure 1.4 : Les trois sp\'ecialisations possibles d'un
5-simplexe au dessus d'un 2-simplexe $\tau$ (on a dessin\'e les fibres
au dessus des points g\'en\'eriques des diff\'erentes faces de $\tau$).
 
\vfill\break


\begin{theorem}\libel{COMPFA} Soit $f\colon \Delta\to T$ un
morphisme simplicial. Consid\'erons le faisceau prismal ${\cal S}_f$ de l'exemple
\ref{EXEMSF} et le faisceau prismal ${\cal P}_f $ de l'exemple \ref{EXEMPF}.
Il existe un
morphisme surjectif $\psi \colon {\cal P}_f  \rightarrow {\cal S}_f$ de faisceaux
prismaux sur $f(\Delta)$ tel que \par 
\noindent a) Pour chaque simplexe $\tau$ de $f(\Delta)$ il existe 
\begin{description}
\item[\quad {\sl i)}] un ensemble prismal ``fibre type" $F_{\tau}$ et un isomorphisme
prismal  de ${\cal P}_f (\tau) $ sur $\tau \times F_{\tau}$, 
\item[\quad {\sl ii)}] un morphisme prismal de ${\rond \tau}\times F_{\tau}$ sur 
$f^{-1}({\rond \tau})$ qui est un isomorphisme si $\tau$ n'est face stricte d'aucun 
simplexe de $f(\Delta)$. 
\end{description}
\noindent b) La formation du faisceau ${\cal P}_f$ est fonctorielle et universelle. Plus
pr\'ecis\'ement~:
\begin{enumerate}
\item pour tout morphisme prismal $ \upsilon \colon \Rho' \rightarrow
\Delta$, il existe un faisceau prismal ${\cal F}(\Rho')$ sur $f(\Delta)$ et un
morphisme de faisceaux prismaux ${\cal F}(\upsilon) \colon {\cal F}(\Rho')
\rightarrow {\cal P}_f$,
\item \'etant donn\'e un morphisme surjectif $\psi'
\colon {\cal F}' \rightarrow {\cal S}_f$ de faisceaux prismaux sur $f(\Delta)$ tel
que l'image inverse de tout simplexe $\tau$ de $f(\Delta)$ par $f\circ \psi'$ soit
r\'eunion de produits de $\tau$ par des prismes, alors il existe un morphisme
$\chi \colon {\cal F}' \rightarrow {\cal P}_f$ rendant commutatif le diagramme
de faisceaux prismaux au dessus de $f(\Delta)$ : 
\end{enumerate}
$$\Diag{{\cal F}'
&&\hfleche\rightarrowfill{\chi}&&{\cal P}_f\cr \psi'&\searrow&&\swarrow&
\psi\cr  &&{\cal S}_f&&\cr }$$ 
\end{theorem}

\noindent D\'emonstration. Le faisceau ${\cal P}_f$ est le faisceau
d\'ecrit dans l'exemple \ref{EXEMPF}. On y a mis en \'evidence l'isomorphisme de 
${\cal P}_f(\tau)$ sur $\tau \times F_{\tau}$, o\`u la fibre-type $F_{\tau}$ est
la r\'eunion des produits $\sigma _0\times \cdots \times \sigma_s$.

Montrons l'existence d'un morphisme de faisceaux prismaux $\psi \colon {\cal
P}_f \rightarrow {\cal S}_f$. Un point d'un prisme est d\'etermin\'e
par ses coordonn\'ees barycentriques dans chaque simplexe. Pour tout $\sg$ on a
d\'efini dans l'exemple \ref{JOINT} un morphisme prismal $\psi^\sg\colon \pi (\sg )\to
\sg$. Les morphismes $\psi ^\sigma$ et $ \psi ^{\sigma'}$ co\"\i ncident sur $\pi
(\sigma \cap \sigma')$, et nous avons donc d\'efini un morphisme prismal $\psi_\tau
\colon {\cal P}_f(\tau) \rightarrow f^{-1}(\tau) ={\cal S}_f(\tau)$ qui a les
propri\'et\'es d\'ecrites en a) .\par  Entre autres, si $\tau'$ est une face d'un
simplexe $\tau$, on a un diagramme commutatif : 
$$\Diag{{\cal P}_f(\tau) &\hfleche\rightarrowfill{\psi_\tau}&{\cal S}_f(\tau)\cr 
\vfleche\downarrow{h_{\tau',\tau}}&&\vfleche\downarrow{h_{\tau',\tau}}\cr 
{\cal P}_f(\tau')&\hfleche\rightarrowfill{\psi_{\tau'}} &{\cal S}_f(\tau')\cr }$$ 
Prouvons b); il suffit de v\'erifier l'\'enonc\'e restreint \`a un simplexe
$\sigma$ de ${\cal S}_f(\tau)$. La d\'efinition de ${\cal P}_f$ implique que pour
tout prisme $\pi'$ de l'image inverse de $\sigma$ par $\psi'$, on a une application
naturelle de $\pi'$ dans $\pi (\sigma)$, d'o\`u le r\'esultat.

\begin{remarques}\libel{REM} \par 1) Le morphisme $\psi$ est
essentiellement un \'eclatement comme le montre l'\'ecriture locale $\lambda_i=t_j\mu_{j,i}$.
Soulignons que le morphisme $\pi(\sg) = \tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s \to \sg_j$
qui rend commutatif le diagramme
$$\Diag{\sg=\sg_0 * \cdots * \sg_s & \hfleche\leftarrowfill{\psi^\sg}& 
\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s  \cr
\qquad\theta^{\sigma_j} \searrow && \swarrow {\rm pr}_j \qquad\cr
&\sg_j&\cr  }$$  
o\`u $\theta^{\sigma_j}$ d\'esigne le morphisme introduit dans l'exemple \ref{JOINT}, est
bien la
$j$-\`eme projection ${\rm pr}_j$ du produit.\par\noindent
Si nous choisissons dans chaque $\sg_j$ ine face $\sg'_j$, nous obtenons un diagramme analogue, qui n'est autre que la
restiction du pr\'ec\'edent au produit $\tau\times\sg'_0\times\cdots\times\sg'_s$. 

2) La cat\'egorie des ensembles et
morphismes prismaux est la plus petite cat\'egorie contenant celle des ensembles et
morphismes simpliciaux et dans laquelle on a existence et unicit\'e \`a isomorphisme pr\`es du
produit fibr\'e.\par
 L'existence du produit fibr\'e d\'ecoule du fait que, puisque les applications
prismales sont lin\'eaires sur chaque simplexe, le sous-ensemble d'un produit
$\pi_1\times \pi_2$ de prismes d\'efini par la condition $f_1(x_1)=f_2(x_2)$, o\`u
$f_1\colon \pi_1\to \tau$ et $f_2\colon \pi_2\to
\tau$ sont des morphismes prismaux, est un prisme. La v\'erification de la
propri\'et\'e universelle est imm\'ediate.
\end{remarques}

\noindent{\sl Caract\'erisation des faisceaux prismaux provenant de
morphismes simpliciaux}

\begin{definitions}\libel{DIMREL} a) Soit ${\cal F}$ un
faisceau  prismal sur un complexe simplicial $T$, on dit que le prisme $\pi \in {\cal
F}(\tau)$ est trivial s'il s'\'ecrit $\pi=\tau \times\sigma_0 \times \cdots \times 
\sigma_s$;

b) On appelle {\it dimension relative}  d'un prisme $\pi\in {\cal F}(\tau)$ et on
note $\hbox{dim}_{rel}(\pi)$,  la diff\'erence $\hbox {dim}\pi - \dim \tau$.

c) On dit que le prisme $\pi \in {\cal F}(\tau)$ est {\it \'equidimensionnel} au
dessus d'une face $\tau'$ de $\tau$ si la dimension relative de $\pi\vert \tau'$
est \'egale \`a celle de $\pi$. 
\end{definitions}

Un prisme de dimension relative nulle est \'equidimensionnel au dessus de toutes les
faces de $\tau$.  Il est clair qu'un prisme qui n'est pas de dimension relative nulle ne
peut \^etre 
\'equi\-di\-men\-sion\-nel au dessus de chaque face de son image. Le morphisme $\sg_1
\to \tau_1$ de la figure 1.1 n'est pas \'equidimensionnel au dessus du ``sommet gauche'' 
de $\tau_1$. 

\begin{proposition}\libel{PROCAR} 
(Caract\'erisation des faisceaux de la forme ${\cal S}_f$) - Un faisceau prismal
${\cal F}$  sur un complexe simplicial $T$ est de la forme  ${\cal S}_f$, 
pour un morphisme simplicial $f:X \to T$, si et
seulement si~:
\begin{description}
\item[a)] Tous les prismes de ${\cal F}$ sont des simplexes,
\item[b)] Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$, et tout simplexe $\sigma$ de
${\cal F}(\tau)$, le morphisme $h_{\tau',\tau}$ est surjectif et  on a un
isomorphisme simplicial $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong \sigma\vert_{\tau'}$.
\end{description}
\end{proposition}

\noindent Le fait que les conditions a) et b) soient n\'ecessaires
r\'esulte aussit\^ot de la construction de l'exemple \ref{EXEMSF}. Montrons qu'elles
sont suffisantes; nous construisons l'espace $X$ de la d\'efinition \ref{ANALYT}  par
recollement:  notons $X_{\tau}= e_\tau^{-1}(\tau)$, pour toute face $\tau'$ de
$\tau$, on a $X_{\tau}\vert_ {\tau'}=X_{\tau'}=h_{\tau',\tau}(X_{\tau})$.
D\'efinissons l'espace $X$ comme quotient  de la r\'eunion des $X_\tau$ par la
relation d'identification des restrictions au dessus des faces des simplexes de
$T$. L'application $f\colon X \to T$  est naturellement d\'efinie. 

\begin{lemma}\libel{LEMEQU} Consid\'erons le faisceau
prismal  ${\cal S}_f$ de base $T$. Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$,  et
tout simplexe
$\sigma$ de ${\cal S}_f(\tau)$, on a \'equivalence des propri\'et\'es  suivantes~:
\begin{description}
\item[{\sl (i)}] $\hbox{dim}_{rel}h_{\tau',\tau}(\sigma)=\hbox{dim}_{rel}(\sigma)$ 
\item[{\sl (ii)}] $\sigma$ est \'equidimensionnel au dessus de la face $\tau'$.
\item[{\sl (iii)}]  Si $\tau''$
est la face oppos\'ee de $\tau'$ dans $\tau$, la projection  $\sg\vert_{\tau''}\to
\tau''$ est un isomorphisme.
\end{description}
\end{lemma}

\noindent D\'emonstration. 
Consid\'erons $\tau$
comme le joint de $\tau'$ et de sa face oppos\'ee $\tau''$. Puisque  $$\dim \sigma =\dim
\sigma\vert_{\tau'} + \dim \sigma\vert_{\tau''}+1$$ et $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong
\sigma\vert_{\tau'}$, l'assertion (i) est \'equivalente \`a dire que $\sigma\vert_{\tau''}$ est
isomorphe \`a $\tau''$ d'o\`u le r\'esultat.

\begin{proposition}\libel{PROPPF} (Caract\'erisation des faisceaux du type
${\cal P}_f$)-  Un faisceau prismal ${\cal F}$ sur un complexe simplicial $T$ est de type
${\cal P}_f$ o\`u $f\colon X\rightarrow T$ est un morphisme simplicial si et
seulement si tous ses prismes sont  triviaux et les conditions suivantes sont
r\'ealis\'ees~:
\begin{description}
\item[a)] Tout prisme $\pi \in {\cal F}(\tau)$ s'\'ecrit comme produit de simplexes $\pi=
\tau\times \sigma_0 \times \cdots \times \sigma_s $ avec $s=\dim \tau$, 
\item[b)] Si $\tau'<\tau$ le morphisme $h_{\tau',\tau}$ est surjectif et si un prisme $\pi
\in {\cal F}(\tau)$ s'\'ecrit $\pi= \tau\times \sigma_0 \times \cdots \times
\sigma_s$, alors on a $h_{\tau',\tau}(\pi) =\tau'\times \sigma'_0 \times \cdots
\times \sigma'_k $ o\`u chaque  $\sigma'_{\beta}$ est l'un des
$\sigma_\alpha$.
\end{description}
\end{proposition}

\noindent D\'emonstration. Si un faisceau prismal ${\cal F}$ est de type  ${\cal
P}_f$, il v\'erifie a) et b) par d\'efinition. Montrons la r\'eciproque. Soit donc
un  faisceau prismal ${\cal F}$ satisfaisant a) et b).  On lui associe un faisceau
prismal  ${\cal S}$ de base $T$ de la fa\c con suivante : les  prismes de ${\cal
S}(\tau)$ sont  les joints it\'er\'es $\sigma_0 * \cdots *  \sigma_s$ des simplexes
apparaissant dans  les prismes $\pi= \tau\times \sigma_0  \times \cdots \times
\sigma_s $ de ${\cal F}$.  Ce sont donc des simplexes.  La propri\'et\'e b)
implique que, pour tout simplexe $\sigma$ de ${\cal S}(\tau)$ et pour toute face
$\tau'$ de $\tau$, on a  $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong \sigma\vert_{\tau'}$.
D'apr\`es la Proposition \ref{PROCAR}, le faisceau ${\cal S}$ est de la forme ${\cal
S}_f$ et le faisceau ${\cal F}$ est  le faisceau ${\cal P}_f$ qui lui est associ\'e par
la construction de l'exemple \ref{EXEMPF}.

\medskip
\noindent{\bf Remarque}.- Notons encore $\psi$ le morphisme prismal  $\psi \colon
{\cal P}_f \rightarrow {\cal S}_f$, et soit $\pi$ un prisme de  ${\cal P}_f(\tau)$.
Dans ${\cal P}_f(\tau)$, pour tout sommet $\{y\}$ de $\tau$, on a 
$h_{\{y\},\tau}(\pi)=\{y\}\times  \sigma_{i(y)}$ o\`u $\sigma_{i(y)}$ est le
simplexe  $\psi(\pi)\cap (e_\tau)^{-1} (\{ y\})$ de ${\cal S}_f$.

\begin{corollary}\libel{COROPF} Consid\'erons le faisceau prismal
${\cal P}_f$ de base $T$. Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$, et tout
prisme  $\pi$ de ${\cal P}_f(\tau)$, on a l'\'equivalence des propri\'et\'es suivantes~:
\begin{description}
\item[i)] $\hbox{dim}_{rel}h_{\tau',\tau}(\pi)=\hbox{dim}_{rel}(\pi)$ 
\item[ii)] $h_{\tau',\tau}(\pi)=\pi\vert_{\tau'}$ 
\item[iii)] $\psi(\pi)$ est \'equidimensionnel au dessus de la face  $\tau'$. 
\end{description}
\end{corollary}

\noindent D\'emonstration. La proposition \ref{PROPPF} et la remarque
qui la suit impliquent l'\'equivalence de (i) et (ii), la proposition \ref{PROCAR}
et le fait que $\dim \psi(\pi)=\dim \pi$ impliquent l'\'equivalence de (i) et
(iii).

\begin{corollary}\libel{COROSF} Consid\'erons le
faisceau prismal ${\cal P}_f$ de base $T$. Pour tout 
simplexe $\tau$ de $T$, et tout prisme  $\pi$ de ${\cal
P}_f(\tau)$, on a l'\'equivalence des propri\'et\'es suivantes~:
\begin{description}
\item[i)] $\psi(\pi)$ est \'equidimensionnel en un sommet $y_0$ de
$\tau$. 
\item[ii)] $\pi$ est isomorphe au dessus de $\tau$ \`a un produit $\tau
\times\sigma_\pi$. 
\end{description}
\end{corollary}

\noindent D\'emonstration. Le corollaire est une cons\'equence directe de la
proposition \ref{PROPPF} et de la remarque qui la suit. Le simplexe $\sigma_\pi$ du (ii)
est $\psi(\pi)\cap (e_\tau)^{-1} (\{ y_0\})$ de ${\cal S}_f$ o\`u $\{ y_0\}$ est le sommet
de $\tau$ du (i). 

\section{Formes de Whitney}
\setcounter{equation}{0}

\subsection{Formes r\'eguli\`eres et formes h\"old\'eriennes}

Soient $N$ un entier, $U$ un ouvert de ${\bf R}^N$ et $\mu$ un entier 
$\geq 0$. Suivant Whitney \cite{[Whi]}, nous dirons qu'une r-forme diff\'erentielle sur $U$
est 
$\mu$-r\'eguli\`ere si elle est continue sur U et satisfait les conditions suivantes~: 

- Si $\mu =0$, il existe une (r+1)-forme $\xi$ continue sur $U$ et telle que
l'on ait $$ \int_{\partial \sigma} \omega = \int_{\sigma} \xi$$ pour tout
(r+1)-simplexe $\sigma$ contenu dans $U$. D'apr\`es le lemme 16a de \cite{[Whi]},
Ch.III, p.104), la forme $\xi$ est uniquement d\'etermin\'ee par cette condition ;
on la notera d$\omega$ et on l'appellera (suivant Whitney) {\it forme d\'eriv\'ee} de
$\omega$.\par - Si $\mu$ est $>0$,
$\omega$ et d$\omega$ sont diff\'erentiables de classe ${\cal C}^{\mu}$. \par \vskip .1in 
Une forme $\omega$ est h\"old\'erienne (nous dirons aussi \it h-r\'eguli\`ere\rm) si
elle est 0-r\'eguli\`ere  et si les coefficients de $\omega$ et $\xi$ sont des
fonctions h\"old\'eriennes sur $U$. 

\begin{proposition}\libel{hreg} Soit $U$ un ouvert de ${\bf R}^N$, pour une forme
diff\'erentielle $\omega$ d\'efinie sur $U$, les deux conditions suivantes sont
\'equivalentes :
\begin{description}
\item[i)] la forme $\omega$ est 0-r\'eguli\`ere dans $U$ et ses coefficients sont 
h\"old\'eriens ainsi que ceux de sa forme d\'eriv\'ee.
\item[ii)] les coefficients de la forme $\omega$ sont h\"old\'eriens ainsi que ceux de sa
 diff\'erentielle au sens des distributions.
\end{description} 
\end{proposition}

\noindent D\'emonstration. (i) implique (ii): La forme d\'eriv\'ee et la diff\'erentielle au
sens des distributions ont la m\^eme int\'egrale $\int_{\partial \sg} \omega$ sur tout
simplexe $\sg$. La premi\`ere par d\'efinition de la r\'egularit\'e et la seconde par la
formule de Stokes sur les courants. On conclut par le lemme 16a, page 104 de
\cite{[Whi]}.

(ii) implique (i): Comme $d\omega$ est \`a coefficients h\"old\'eriens, la
formule de Stokes est satisfaite, ce qui montre que $\omega$ est 0-r\'eguli\`ere dans $U$.

Rappelons que d'apr\`es {\it loc. cit.}, lorsque $\mu$ est \'egal \`a z\'ero, une forme
$\omega$ est r\'eguli\`ere et d$\omega$ =$\xi$ si et seulement s'il existe une suite
$\omega_i$ de formes de classe ${\cal C}^1$ sur $U$ telle que, uniform\'ement sur tout
compact, $\omega_i$ tende vers $\omega$ et $d\omega_i$ vers $\xi$. Whitney en
d\'eduit que si $f$ est un morphisme ${\cal C}^1$ d'un ouvert $U$ de ${\bf R}^N$
dans ${\bf R}^p$ et $\omega$ une forme r\'eguli\`ere sur un voisinage de l'image de
$U$, alors $f^*\omega$ est r\'eguli\`ere dans $U$. 

\subsection{Formes diff\'erentielles sur les complexes simpliciaux et les
ensembles  prismaux}

Soit $\Delta$ un complexe simplicial lin\'eaire dans ${\bf R}^N$. Une r-forme
diff\'erentielle sur $\Delta$ est la donn\'ee pour tout simplexe $\sigma$ de
$\Delta$ d'une r-forme $\omega_{\sigma}$ d\'efinie sur $\sg$, c'est-\`a-dire que
$\omega_{\sigma}$ est une section d\'efinie sur $\sigma$ du fibr\'e $\Lambda^r
T^*<\sg>$ de telle mani\`ere que, pour toute face $i\colon \sg' \hookrightarrow
\sg$ de tout simplexe $\sg$ de $\Delta$, on ait $i^*(\og_\sigma)=\omega_{\sigma'}$.
Le faisceau des formes diff\'erentielles sur ${\bf R}^N$ est mou (voir
\cite{[Go]}, Chap.II, Exemple 3.7.1). Rappelons que ceci signifie que toute forme
diff\'erentielle d\'efinie sur un ferm\'e se prolonge \`a l'espace tout entier. 
On peut donc supposer que toute forme diff\'erentielle sur $\Delta$ est obtenue en 
restreignant \`a chaque simplexe $\sg$ de $\Delta$ une forme diff\'erentielle d\'efinie sur
un voisinage ouvert de $\sg$ de telle fa\c con que les restrictions de  deux telles
formes sur leur ouvert de d\'efinition commun co\"\i ncident.

Nous consid\'ererons ici des formes diff\'erentielles $\og$ dont les coefficients
sont des  fonctions h\"old\'eriennes sur $\Delta$ analytiques dans l'int\'erieur de
chaque simplexe. \par \noindent La d\'efinition des formes diff\'erentielles
s'\'etend aussit\^ot aux ensembles prismaux~:

\begin{definition}\libel{FORDIF} Soit $\Pi$ un ensemble prismal. On
appelle {\sl $r$-forme diff\'erentielle $\mu$-r\'eguli\`ere} sur ${\Pi}$ la donn\'ee pour 
chaque prisme $\pi$ de $\Pi$ d'une $r$-forme
diff\'erentielle $\mu$-r\'eguli\`ere sur un voisinage ouvert de $\pi$ dans l'un de
ses plongements affines, de telle fa\c con que les formes diff\'erentielles
correspondant \`a deux prismes co\"\i ncident dans un voisinage de leur
intersection dans un plongement affine commun. 
\end{definition}
    
Clairement, la d\'efinition ne d\'epend pas des plongements choisis.

\subsection{Formes de Whitney sur les complexes simpliciaux} 

Notons $a_i$ les sommets du complexe simplicial $\Delta$; tout point $x$ de
$\Delta$  s'\'ecrit $x=\sum \lambda_i (x)a_i$ avec $\lambda_i(x)\geq 0$ et
$\sum_i\lambda_i(x)=1$. Le support de $\lambda_i$ est l'\'etoile de $a_i$ dans $\Delta$.
Nous allons, comme Whitney, construire une partition de
l'unit\'e subordonn\'ee au recouvrement ouvert de $\Delta$ constitu\'e des
\'etoiles des sommets de $\Delta$. 

Pour tout $i$, on note $B_i$ l'ensemble des points de $\Delta$ dont la $i$-i\`eme
coordonn\'ee barycentrique $\lambda_i(x)$ est $\geq {1\over N+1}$ et $C_i$ l'ensemble
des points de $\Delta$ dont la $i$-i\`eme coordonn\'ee barycentrique $\lambda_i(x)$
est $\leq {1\over N+2}$ . 

Il existe des fonctions $\phi'_i$ , d\'efinies au voisinage de $\Delta$, de classe
${\cal C}^1$ au moins, telles que $\phi'_i$ soit positive dans $B_i$ et nulle dans
$C_i$. Les restrictions \`a $\Delta$ des fonctions $\phi_i = {\phi'_i \over {\sum_j
\phi'_j}}$ forment une partition de l'unit\'e $(U_i,\phi_i)$ o\`u $U_i$ d\'esigne le
compl\'ementaire de $C_i$.

Soit $\sigma$ un simplexe orient\'e de $\Delta$, de dimension $p$ et dont les
sommets sont $(a_0, \ldots, a_p)$; on d\'efinit la $p$-forme
diff\'erentielle de Whitney associ\'ee \`a $\sigma$ et \`a la partition de l'unit\'e
$(U_i,\phi_i)$, par la formule $$\og (\sg ) = p! \sum_{i=0}^p
(-1)^{i}\phi_{i}d\phi_{0}\wedge
\cdots \wedge \widehat {d\phi_{i}}\wedge \cdots \wedge d\phi_{p}.$$ 

\begin{remarques} 
\begin{enumerate}
\item La forme diff\'erentielle $\og (\sg )$ est de classe
\'egale \`a la classe des $\phi'_i$.
\item La forme de Whitney que l'on construirait en utilisant les fonctions
coordonn\'ees barycentriques $\lambda_i$ sur $\sg$ \`a la place des $\phi_i$ est
la forme volume de $\sg$. Les $\lambda_i$ ne sont que
Lipschitziennes sur $\Delta$; les $\phi_i$ servent \`a les lisser. 
\end{enumerate}
\end{remarques} 

Dans cet article, nous
utiliserons les formes de Whitney ``non liss\'ees'' 
$$\omega(\sigma) = p!\sum_{i=0}^p (-1)^i
\lambda_i d\lambda_0 \wedge \cdots \wedge \widehat {d\lambda_i} \wedge \cdots \wedge
d\lambda_p.$$ 
Le support de $\og(\sg)$ est alors exactement l'\'etoile de $\sg$ dans $\Delta$, 
puisque en un point hors de cette \'etoile, o\`u l'un des $\lambda_i$ n'est pas nul, 
l'un des $\lambda_j$ est nul et donc aussi le $d\lambda_j$ correspondant.

\subsection{Formes de Whitney sur les ensembles prismaux}

Soit $\pi = \sg_0 \times \cdots \times \sg_s$ un prisme de l'ensemble prismal
$\Pi$. La dimension $\vert \pi \vert $ de $\pi$ est \'egale \`a $\vert
\sg_0\vert + \cdots +\vert \sg_s\vert$. Notons $pr_j$ la projection de $\pi$ sur
$\sg_j$; on d\'efinit la forme de Whitney $\og (\pi)$ par $$\og
(\pi) = \ pr_0^*\og (\sg_0) \wedge \cdots \wedge pr_s^*\og (\sg_s)$$ 

Par la suite, pour commodit\'e de notation, nous omettrons les ``$pr_j$" sans que
cela ne conduise \`a ambigu\"\i t\'e.

\begin{proposition}\libel{IMINVE} Reprenons les notations du
th\'eor\`eme \ref{COMPFA}.  Pour tout $p$-simplexe $\sg$ de $\Delta$, dont l'image est un
$s$-simplexe $\tau$,  \'etant donn\'ee une num\'erotation $\nu$ des sommets de $\sg$ par
$0,1,\ldots,p$ , il existe un entier $a(\nu)$ tel que l'on ait l'\'egalit\'e   
$$(\psi ^\sg)^*(\og (\sg)) = (-1)^{\alpha(\sigma)+a(\nu)}\  t_0^{\vert
\sigma_0\vert}  \cdots t_s^{\vert \sigma_s\vert} \ \og (\pi (\sg))$$  o\`u $\alpha(\sg) =
s\vert
\sigma_0\vert + (s-1)\vert \sigma_1\vert + \cdots + \vert \sigma_{s-1}\vert$ et les
$(t_j)_{j=0,\ldots ,s}$ sont les coordonn\'ees barycentriques de $\tau$.
\end{proposition}

\noindent D\'emonstration. Soit $\sigma$ un $p$-simplexe de $\Delta$, la forme de Whitney
$\omega(\sigma)$ s'\'ecrit : $$\omega(\sigma) = p!\sum_{i=0}^p (-1)^i \lambda_i d\lambda_0
\wedge \cdots \wedge \widehat {d\lambda_i} \wedge \cdots \wedge d\lambda_p$$ Nous avons vu
que les composantes prismales d'un point de $\pi(\sigma)$ s'\'ecrivent $\sum t_j y_j$ dans
$\tau$, et $\sum_{i \in I(j)}\mu_{j,i} a_i$ dans $\sigma_j$. L'application $\psi ^\sg $
associe
\`a ce point, le point de $\sigma$ ayant pour coordonn\'ees barycentriques les
$\lambda_{j,i} = t_j \mu_{j,i}$ (o\`u $j$ est tel que $i\in I(j)$). En regroupant les
coordonn\'ees de $\sigma$ par coordonn\'ees correspondant \`a chacun des $\sigma_j$,
$\omega(\sigma)$ devient :
\begin{eqnarray}
\omega(\sigma) = (-1)^{a(\nu)} & p! \sum_{j=0}^s 
\sum_{i_j=0}^{\alpha_j} (-1)^{\beta(j,i_j)} \ \lambda_{j,i_j}\ 
{\underbrace {d\lambda_{0,0}\wedge \cdots \wedge
d\lambda_{0,\alpha_0}}_{\sigma_0}}\wedge \cdots \wedge \nonumber \\
&{\underbrace {d\lambda_{j,0}\wedge \cdots \wedge \widehat
{d\lambda_{j,i_j}}\wedge \cdots \wedge
d\lambda_{j,\alpha_j}}_{\sigma_j}}\wedge \cdots \wedge {\underbrace
{d\lambda_{s,0}\wedge \cdots \wedge
d\lambda_{s,\alpha_s}}_{\sigma_s}}
\label{ex1}
\end{eqnarray} 
o\`u $a(\nu)$ est la signature de la permutation : 
$$(0,1,\ldots,p) \rightarrow ((0,0),\ldots
,(0,\alpha_0),(1,0),\ldots ,(1,\alpha_1),\ldots ,(s,0),\ldots ,(s,\alpha_s))$$
et o\`u $\beta(j,i_j) = \alpha_0 +\cdots +\alpha_{j-1} + j + i_j $. 

Pour chacune des coordonn\'ees $\lambda_{j,i}$, on a :
$$ (\psi ^\sg)^*(d\lambda_{j,i}) = dt_j\ \mu_{j,i} + t_j \ d\mu_{j,i}$$
d'autre part, pour tout $k=0,\ldots ,s$, on a :
$$\sum_{i\in I(k)} \mu_{k,i} =1\ \ \ {\rm donc}\ \ \ d\mu_{k,0}\wedge 
\cdots \wedge d\mu_{k,\alpha_k} =0. $$

La contribution \`a $(\psi ^\sg)^*(\og (\sg))$ des termes de la formule \ref{ex1} provenant
des $\sg_k$ pour $k\neq j$ s'\'ecrit:
\begin{equation}
(\psi ^\sg)^*d\lambda_{k,0}\wedge \cdots \wedge d\lambda_{k,\alpha_k} = (t_k)^{\alpha_k}
\sum_{i_k=0}^{\alpha_k} (-1)^{i_k} \ \mu_{k,i_k} \  dt_k \wedge d\mu_{k,0}\wedge \cdots
\wedge \widehat {d\mu_{k,i_k}}\wedge 
\cdots \wedge d\mu_{k,\alpha_k} \label{ex2} 
\end{equation}
c'est-\`a-dire que, pour $j$ fix\'e, et pour
$k$ diff\'erent de $j$,  tous les groupements de coordonn\'ees associ\'es aux simplexes
$\sigma_k$ contiennent le terme $dt_k$ correspondant.

Pour d\'eterminer la
contribution des termes de la formule \ref{ex1} provenant de $\sg_j$, remarquons que 
$$\sum_{j=0}^s t_j = 1,\ \ \ {\rm on\ a}\ \ \ dt_0\wedge 
\cdots \wedge dt_s =0,$$ et comme tous les termes $dt_k$ apparaissent d\'ej\`a dans
l'expression de $(\psi ^\sg)^*(\og(\sg))$, sauf $dt_j$, ce dernier terme ne doit pas
appara\^\i tre dans la contribution (non nulle) de $\sigma_j$.  La seule contribution non
nulle du d\'eveloppement de  $$(\psi ^\sg)^*(d\lambda_{j,0}\wedge \cdots \wedge \widehat
{d\lambda_{j,i_j}}\wedge \cdots \wedge d\lambda_{j,\alpha_j}).$$ est donc~:
\begin{equation} 
(t_j)^{\alpha_j} d\mu_{j,0}\wedge \cdots \wedge \widehat {
d\mu_{j,i_j}}\wedge \cdots \wedge d\mu_{j,\alpha_j}. \label{ex3} 
\end{equation}
En reportant \ref{ex2} et \ref{ex3} dans \ref{ex1}, il vient :
\[    \begin{array} {rl}
(\psi^\sg)^*  (\og (\sg)) &= 
(-1)^{a(\nu)} \ p! \ 
(t_0)^{\alpha_0}\cdots (t_s)^{\alpha_s} 
\sum_{j=0}^s (-1)^{\alpha_0 +\cdots +\alpha_{j-1}+j} t_j \\
&\left(\sum_{i_0=0}^{\alpha_0}(-1)^{i_0}\ \mu_{0,i_0}\ 
dt_0 \wedge d\mu_{0,0}\wedge \cdots \wedge \widehat {d\mu_{0,i_0}}\wedge 
\cdots \wedge d\mu_{0,\alpha_0}\right) \wedge \cdots \wedge \\
&\left(\sum_{i_j=0}^{\alpha_j}(-1)^{i_j}\ \mu_{j,i_j}\ 
d\mu_{j,0}\wedge \cdots \wedge \widehat {d\mu_{j,i_j}}\wedge 
\cdots \wedge d\mu_{j,\alpha_j}\right) \wedge \cdots \wedge \\
&\left(\sum_{i_s=0}^{\alpha_s}(-1)^{i_s}\ \mu_{s,i_s}\ 
dt_s \wedge d\mu_{s,0}\wedge \cdots \wedge \widehat {d\mu_{s,i_s}}\wedge 
\cdots \wedge d\mu_{s,\alpha_s}\right) 
\end{array}     \]

On remarque que, mis \`a part les termes $dt_k$, chacune des parenth\`eses
est \'egale \`a ${1\over \alpha_k!} \og (\sg_k)$, pour $k=0,\ldots
,s$. Quant aux termes en $dt_k$ : le terme $dt_0$ est en premi\`ere
place, il faut faire $\alpha_0$ permutations pour ramener $dt_1$ en
deuxi\`eme place, $\alpha_0+\alpha_1$ permutations pour ramener $dt_2$ en
troisi\`eme place, ainsi jusqu'\`a $dt_{j-1}$, lequel
n\'ecessite $\alpha_0+\cdots +\alpha_{j-2}$ permutations pour venir en
$j$-i\`eme place. Ensuite, pour ramener $dt_{j+1}$ en $(j+1)$-i\`eme place, il
faut $\alpha_0+\cdots +\alpha_j$ permutations, ainsi jusqu'\`a
$dt_s$ lequel n\'ecessite $\alpha_0+\cdots +\alpha_{s-1}$ permutations
pour venir en $s$-i\`eme place. Un calcul simple montre que le nombre total de
permutations ainsi obtenues est : $\alpha (\sg) - (\alpha_0+\cdots
+\alpha_{j-1})$. On obtient donc : 
\[    \begin{array} {rl}
(\psi ^\sg)^*  (\og (\sg))
& = (-1)^{a(\nu)}\ {p!\over {\alpha_0!\cdots \alpha_s!}} \ 
(t_0)^{\alpha_0}\cdots (t_s)^{\alpha_s}\\
&\left(\sum_{j=0}^s (-1)^{\alpha (\sg)+j}t_j dt_0\wedge \cdots
\wedge \widehat {dt_j}\wedge \cdots \wedge dt_s \right) \wedge 
\og (\sg_0)\wedge \cdots \wedge \og (\sg_s), 
\end{array}     \]
d'o\`u le r\'esultat.

\subsection{Formes de Whitney et formes relatives}

On consid\`ere toujours le faisceau prismal ${\cal P}_f$ associ\'e \`a un morphisme
simplicial $f$. Soit $\pi \in {\cal P}_f(\tau)$, de la forme $\pi =\tau \times 
\sg_0 \times \cdots \times \sg_s$.\par
 Montrons maintenant comment $\og (\sg)$, s'exprime en
fonction de $\og (\sg')$ pour toute face $\sg'$ de $\sg$ et plus g\'en\'eralement $\og (\rho)$ en fonction de $\og
(\rho')$ pour toute face $\rho'$ du prisme $\rho$.\par
Fixons d'abord quelques notations: Soit $\sg$ un $p$-simplexe de
sommets $a_0, \ldots ,a_p$  et notons $(\lambda_0,\ldots, \lambda_p)$ les coordonn\'ees
barycentriques correspondantes. On associe \`a toute face 
$\sg'$ de $\sg$, de sommets $(a_{i_0},\ldots, a_{i_q})$, les formes  diff\'erentielles
suivantes d\'efinies sur $\sg$ :
$$\displaylines{
\eta (\sg';\sg) = d\lambda_{i_0}\wedge \cdots \wedge d\lambda_{i_q}\cr
\og(\sg';\sg) = \vert q\vert !\sum_{k=0}^q (-1)^k \lambda_{i_k} d\lambda_{i_0}\wedge \cdots
\wedge \widehat{d\lambda_{i_k}}\wedge \cdots \wedge d\lambda_{i_q}.\cr} $$ 
La restriction de $\og(\sg';\sg)$ \`a $\sg'$ est la forme de Whitney de $\sg'$.  En fait, la
forme diff\'erentielle $\og(\sg';\sg)$ n'est autre que l'extension \`a $\sg$ tout entier de 
l'\'ecriture de la forme de Whitney de $\sg'$. 
\begin{remarque} On peut d\'efinir une telle extension pour tout simplexe de l'\'etoile de
$\sigma'$, et les formes aini d\'efinies co\"\i ncident sur l'intersection de deux des
simplexes de cette \'etoile. On obtient ainsi une forme diff\'erentielle
$\omega(\sigma';\hbox{\rm St}_\Delta\sigma')$.
\end{remarque}

Notons maintenant $\overline{ \sg'}= \sum_{k=0}^q \lambda_{i_k}$ la fonction d\'efinie  sur
tout le simplexe $\sg$ (et \'egale \`a 1 sur $\sg'$). Si $\sg'_1$ et $\sg'_2$ sont deux
faces de
$\sg$,  on leur associe la forme diff\'erentielle, de degr\'e 1, d\'efinie sur $\sg$ :
$$\alpha(\overline{\sg'_1},\overline{\sg'_2})=\overline{\sg'_1}d\overline{\sg'_2}-\overline{ 
\sg'_2} d\overline{\sg'_1}.$$
Le simplexe $\sg$
est le joint de $\sg'$ et de sa face oppos\'ee
$\sg''$. 
\begin{proposition}\libel{faceface} Soit $\sg'$ une face du simplexe $\sg$, on a les \'egalit\'es:
\[    \begin{array} {rl}
\og (\sg) &= \og (\sg';\sg)\wedge (-1)^{\vert \sg''\vert}\og
(\sg'';\sg)\wedge {\displaystyle{{\alpha(\overline{\sg'}_j,\overline{\sg''})}\over
{\overline{\sg}'. \overline{\sg''}}}}\\ 
& =\og (\sg';\sg)\wedge (-1)^{\vert \sg''\vert}\left( \og
(\sg'';\sg)\wedge  {\displaystyle{d\overline{\sg}'\over \overline{\sg}'}} - \eta
(\sg'';\sg)
\right )
\end{array}     \]
\end{proposition}
\begin{corollary}\libel{facepri}Plus g\'en\'eralement,on peut exprimer, pour tout prisme $\pi=\sg_0 \times \cdots \times
\sg_s$, la forme $\og (\pi)$  en fonction de la forme de Whitney d'un prisme
$\pi'$ du bord de $\pi$ :
$$\og (\pi) =  
\og(\pi';\pi)\wedge (-1)^a\bigwedge_{j=0}^s p^*_j \left ( \og (\sg''_j;\sg_j)\wedge 
{d\overline{\sg}'_j\over \overline{\sg}'_j} - \eta (\sg''_j;\sg_j) \right )$$  
o\`u $a=\vert \sg''_0\vert + \cdots + \vert \sg''_s\vert + \vert \sg'_1 \vert  (1+\vert
\sg''_0 \vert ) + \vert \sg'_2 \vert (2+\vert \sg''_0 \vert +\vert \sg''_1
\vert) + \cdots + \vert \sg'_s \vert (s+\vert \sg''_0 \vert +\cdots +\vert 
\sg''_{s-1} \vert ) $  
\end{corollary}

\begin{lemma}\libel{LEMCOD}
\begin{description}
\item [a)] La forme de Whitney d'une face $\pi'$ de
codimension 1 d'un prisme $\pi$ est la  restriction \`a cette face d'une forme
diff\'erentielle  $\og (\pi';\pi)$ sur ce prisme, dont la diff\'erentielle est
\'egale, en restriction au prisme $\pi$, \`a la forme de Whitney du prisme, au facteur
$[\pi ;\pi ']$ pr\`es, c'est
\`a dire que l'on a
$$\omega (\pi' ;\pi)|\pi'= \omega (\pi')\ \ \ \ d\og(\pi' ;\pi)=[\pi ;\pi ']\ \og (\pi )$$  
\item [b)] Notons $L(\pi)$ l'espace vectoriel des formes diff\'erentielles  de degr\'e
$\vert
\pi\vert -1$ dont les coefficients sont des fonctions lin\'eaires en les coordonn\'ees
barycentriques des simplexes $\sg_i$ constituant $\pi$ et dont la restriction \`a chaque
face de codimension 1 est un multiple (scalaire) de la forme de Whitney de cette face. La
collection des formes $\og (\pi';\pi)$ pour toutes les faces $\pi'$  de codimension 1  de
$\pi$ forme une base de $L(\pi)$. 
\end{description}
\end{lemma}

\noindent D\'emonstration. D\'emontrons d'abord que, pour un simplexe
$\sigma'$ face du $n$-simplexe $\sigma$ on a~:
$$d \omega(\sg' ;\sigma) = [\sg ; \sg'] \og(\sigma)$$ 
Sans perte de g\'en\'eralit\'e, on
peut supposer que les coordonn\'ees barycentriques de $\sigma$ sont
$x_0,x_1,\ldots ,x_n$ et celles de $\sigma'$ sont $x_0,x_1,\ldots ,x_{n-1}$. Dans ce cas, la
forme de Whitney de $\sigma'$ s'\'ecrit  
$$\omega(\sigma')=(n-1)!\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i x_i\  dx_0 \wedge \cdots \wedge 
\widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}$$   et cette m\^eme \'ecriture
d\'efinit la forme $\og (\sg' ;\sg)$ sur $\sg$. On a donc   
\begin{eqnarray*} 
d \omega(\sg' ;\sigma) &= & (n-1)!\sum_{i=0}^{n-1} (-1)^i dx_i \wedge dx_0
\wedge \cdots \wedge  \widehat{dx_i} \wedge \cdots \wedge dx_{n-1}\\
&=& n!\  dx_0
\wedge \cdots \wedge  dx_{n-1}\\ &=&  (-1)^n n!\sum_{j=0}^{n} (-1)^j x_j \ 
dx_0 \wedge \cdots \wedge \widehat{dx_j} \wedge \cdots \wedge
dx_{n}=(-1)^n\og(\sigma)
\end{eqnarray*}     
puisque, sur $\sigma$, $\sum_{j=0}^{n} x_j =1$. On en d\'eduit le r\'esultat
puisque, dans ce cas $[\sg ; \sg']=(-1)^n$.

Supposons maintenant que
$\pi'=\sigma_0\times \cdots \times \sigma'_i\times \cdots \times \sigma_s$ soit
une face de codimension 1 de $\pi=\sigma_0\times  \cdots \times \sigma_i\times
\cdots \times \sigma_s$, alors  
$$\og(\pi';\pi) = \, \og (\sg_0)
\wedge \cdots \wedge \og (\sg'_i;\sg_i) \wedge \cdots \wedge \og (\sg_s)$$ 
et donc  
$$d\og(\pi';\pi) = \sum_{j=0}^s (-1)^{\vert \sg_0\vert  +
\cdots +\vert \sg_{j-1}\vert} \og (\sg_0) \wedge \cdots \wedge d\og
(\sg_j) \wedge \cdots \wedge \og (\sg'_i;\sg_i) \wedge \cdots
\wedge \og(\sg_s)$$    
(o\`u, bien entendu, pour $j=i$, $d\og(\sg_j) = d\og
(\sg'_i ;\sg_i)$).  Sur $\pi$, toutes les formes diff\'erentielles $d\og
(\sg_j)$, pour $j\ne i$,  sont nulles car la somme des coordonn\'ees
barycentriques intervenant dans  $\sg_j$ est \'egale \`a 1 dans $\pi$. D'autre
part, le calcul pr\'ec\'edent  montre que $d\og (\sg'_i ;\sg_i)= [\sg_i ;
\sg'_i]\og (\sg_i)$, d'o\`u  le r\'esultat d'apr\`es la Remarque \ref{INKCID}.

Pour prouver l'assertion b), remarquons d'abord qu'il suffit de la v\'erifier dans le cas o\`u
$\pi$ est un simplexe $\sg$. Soit $\og \in L(\sg )$; sur chacun des simplexes $\sg'_k$ de
codimension 1 du bord de
$\sg$, on a $\og\vert_{\sg'_k} = \lambda_k \og(\sg'_k)$ et donc $\og - \sum \lambda_k 
\og(\sg'_k) =0$ sur le bord de $\sg$. Puisque, pour $k' \ne k$,
$\og(\sg'_k;\sg)\vert_{\sg'_{k'}} =0$, on a aussi $$(\og - \sum \lambda_k 
\og(\sg'_k;\sg))\vert_{\partial \sg} =0 .$$
Puisque cette derni\`ere forme est lin\'eaire en les coordonn\'ees barycentriques et nulle sur
le bord de $\sg$, elle est nulle. Les formes de Whitney \'etendues sont lin\'eairement
ind\'ependantes sur $\sg$ puisque leurs restrictions au bord le sont.
 
\section{Formes diff\'erentielles sur les faisceaux prismaux}
\setcounter{equation}{0}

\subsection{D\'efinitions}

\begin{definition}\libel{FODIRE} Soient $\Rho$ un
ensemble prismal et ${\cal F}$ un faisceau prismal sur $\Rho$. Notons comme en 
\ref{FAISPR} $e_\rho\colon {\cal F}(\rho )\to \rho$ la projection associ\'ee \`a chaque prisme $\rho$ de $\Rho$. On
appelle {\sl
$r$-forme diff\'erentielle $\mu$-r\'eguli\`ere} sur ${\cal F}$ la donn\'ee pour
chaque prisme $\rho$ de $\Rho$ d'une $r$-forme diff\'erentielle $\mu$-r\'eguli\`ere
$\omega_\rho$ sur ${\cal F}(\rho)$, satisfaisant la condition suivante: pour chaque face
$\rho'$ de $\rho$ la forme $\omega_\rho$, restreinte \`a l'image r\'eciproque
de $\rho'$ par $e_\rho$, co\"\i ncide avec l'image r\'eciproque de la forme
$\omega_{\rho'}$ par l'application $ h'_{\rho',\rho}= h_{\rho', \rho}
\vert_{e_\rho^{-1}(\rho')}$. Rappelons que, d'apr\`es la d\'efinition \ref{FAISPR}, si
$\rho'$ est une face de $\rho$, alors $e_\rho^{-1}(\rho')$ est une r\'eunion de
prismes de ${\cal F}(\rho)$.  Nous noterons $\Omega^r_{\mu}({\cal F})$ l'espace
vectoriel des $r$-formes diff\'erentielles $\mu$-r\'eguli\`eres sur le faisceau
prismal ${\cal F}$. 
\end{definition}

Dans le cas
h\"old\'erien, nous noterons $\mu=h$, et nous parlerons de $h$-r\'egularit\'e. 

En particulier, lorsque ${\cal F}$ est le faisceau ${\cal P}_f$ tel que ${\cal
P}_f(\rho)=\rho$ pour tout $\rho$, le faisceau $\Omega^0_{\mu}({\cal
P}_f)$ muni de la multiplication des fonctions est appel\'e {\it alg\`ebre des fonctions
$\mu$-r\'eguli\`eres sur $P$} et not\'e ${\cal O}_{P,\mu}$. Rappelons qu'il s'agit de
l'alg\`ebre des sections globales du faisceau d\'efini par ses
restrictions \`a chacun des prismes de $\Rho$.\par Pour chaque entier $r$, l'espace
vectoriel $\Omega^r_{\mu}({\cal P}_f)$ est en fait un ${\cal O}_{P,\mu}$-module (ou
si l'on veut un faisceau de modules).

Dor\'enavant, nous ne consid\'ererons plus que des formes h\"old\'eriennes, c'est \`a dire satisfaisant dans un voisinage
ouvert de chaque prisme $\rho$ de $\Rho$ dans son affine ambiant les conditions de la Proposition \ref{hreg} et
supprimerons donc l'indice
$\mu$. Pour chaque prisme
$\rho\subset \Rho$, les espaces vectoriels $\Omega^r({\cal F}(\rho))$, munis des morphismes induits
par la diff\'erentielle au sens des distributions, forment un complexe not\'e
$\Omega^{\bullet}({\cal F(\rho)})$. Ces complexes satisfont les conditions de
sp\'ecialisation et forment donc un complexe de faisceaux not\'e
$\Omega^{\bullet}({\cal F})$ et dont la diff\'erentielle est not\'ee $\hbox{\rm d}$.  

Pour un prisme $\rho =\tau_1\times \cdots \times \tau_r$, notons $$\hbox{\rm d}_!e_\rho = {1
\over  {\Pi \vert \tau_j \vert !}} \og(\rho)\ \ \hbox{\rm et}\ \ \hbox{\rm d}e_\rho=e_\rho^*\hbox{\rm d}_!e_\rho,$$ o\^u
le morphisme
$e_\rho^*$ est le morphisme entre espaces de formes diff\'erentielles associ\'e \`a $e_\rho$; ce sont des formes
diff\'erentielles de degr\'e
$\vert
\rho\vert$ sur $\rho$ et $\Omega^{\bullet}({\cal F(\rho)})$ respectivement. Pour tout $\rho$,  le sous-complexe
$\hbox{\rm d}e_\rho\wedge
\Omega^{\bullet-\vert
\rho\vert}({\cal F(\rho)})$ de  $\Omega^\bullet({\cal F}(\rho))$ est bien d\'efini.
D'apr\`es le Corollaire \ref{facepri}, pour toute face $\rho'$ de $\rho$, la restriction
$\hbox{\rm d}_!e_\rho\vert_{\rho'}$ est de la forme $\hbox{\rm d}_!e_{\rho'}\wedge \eta$, et de m\^eme, la restriction de
$\hbox{\rm d}e_\rho\vert_{e_\rho^{-1}(\rho')}$ est de la forme $\hbox{\rm d}e_{\rho'}\wedge \theta$. Par cons\'equent,
l'homomorphisme de sp\'ecialisation $\Omega^r({\cal F}(\rho))\to
\Omega^r({\cal F}(\rho'))$ du faisceau $\Omega^r$ induit par passage aux quotients
un morphisme  
$$\Omega^r_{rel}({\cal F}(\rho))= \Omega^r({\cal F}(\rho)) / \hbox{\rm d}e_\rho
\wedge \Omega^{r-\vert \rho\vert}({\cal F}(\rho)) \to \Omega^r_{rel}({\cal
F}(\rho'))= \Omega^r({\cal F}(\rho'))/\hbox{\rm d}e_{\rho'}\wedge\Omega^{r-\vert
\rho'\vert}({\cal F}(\rho')).$$ 
Nous appellerons $r$-forme diff\'erentielle relative
la donn\'ee pour chaque simplexe $\rho$  d'un \'el\'ement de l'espace vectoriel
quotient $\Omega^r_{rel}({\cal F}(\rho))$, de mani\`ere compatible avec les
homomorphismes de sp\'ecialisation pr\'ec\'edents. On appellera diff\'erentielle relative 
et on notera $\hbox{\rm d}_e$ la diff\'erentielle induite par la diff\'erentielle $\hbox{\rm d}$ dans les quotients 
$\Omega^r_{rel}({\cal F}(\rho))$.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{lemma}\libel{LECARE} Etant donn\'ees deux $r$-formes
diff\'erentielles $\mu$-r\'eguli\`eres $\og$ et $\og'$ sur un faisceau prismal
${\cal F}$. Pour tout prisme $\rho$, on a : $\hbox{\rm d}e_\rho \wedge (\og-\og')=0$ si et seulement si, pour
tout
$y\in
\rond\rho$, on a : $$\og\vert _{\pi(y)} = \og'\vert_{\pi(y)}$$
\end{lemma}
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cela r\'esulte aussit\^ot de l'\'ecriture des formes diff\'e\-ren\-tiel\-les dans
les coordonn\'ees ba\-ry\-cen\-tri\-ques du prisme.
%-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
\begin{remarque} Appelons forme diff\'erentielle {\it verticale} sur un prisme $\pi$ au dessus de $\tau$ une forme
diff\'erentielle qui est l'image r\'eciproque par la projection $
\tau\times\sigma_0\times  \cdots \times \sigma_s\to \sigma_0\times  \cdots \times \sigma_s$ d'une forme diff\'erentielle
sur $\sigma_0\times  \cdots \times \sigma_s$. Toute forme diff\'erentielle verticale d\'efinit naturellement une forme
diff\'erentielle relative.\end{remarque}
\subsection{Etude des formes de Whitney relatives dans ${\cal P}_f$}

Soit ${\cal P}_f$ le faisceau prismal associ\'e \`a un morphisme simplicial
$f\colon  \Delta \to T$ comme dans le Th\'eor\`eme \ref{COMPFA}, et $\pi=\pi(\sg)$ un prisme de
${\cal P}_f$ d'images $\sg \subset\Delta$ et $\tau\subset T$. Notons
$y_0,\ldots,y_s$ les sommets de $\tau$ et $\sigma_j=\sg \cap e^{-1}(y_j)$. Le but de cette section est la construction de
formes diff\'erentielles relatives de la nature de formes de Whitney et engendrant la cohomologie des fibres en tout
degr\'e. Le cas des formes de degr\'e \'egal \`a la dimension relative des simplexes est facile puisque la chute de
dimension au bord de $\tau$ implique la nullit\'e de la restriction de la forme; c'est l'objet du lemme suivant:

\begin{lemma}\libel{OPICSF}
\begin{description}
\item [a)] La donn\'ee pour chaque $\pi=\pi(\sg)\in {\cal P}_f$
de la forme diff\'erentielle 
\begin{equation}
\og(\pi/\tau)=\og (\sg_0)\wedge\og (\sg_1)\wedge \ldots
\wedge\og (\sg_s) \label{ex4}
\end{equation}
d\'efinit une forme diff\'erentielle relative de degr\'e
$r=\dim_{\rm rel}\sg$  sur  ${\cal P}_f$ au dessus de $T$.
\item [b)] On a pour tout $y\in \tau$ l'\'egalit\'e 
$$\int_{\pi (y)}\og(\pi /\tau) =\vert \sg_0 \vert! \cdots \vert \sg_s\vert!$$
au signe pr\`es (d\'ependant des orientations).
\end{description}
\end{lemma}

\noindent D\'emonstration: Si $\tau '$ est une face de $\tau$ au dessus de laquelle la dimension relative reste \'egale
\`a $r$, la v\'erification de l'identit\'e ${h'}_{\tau ',\tau}^*(\og (h_{\tau
',\tau}(\pi)/\tau '))=\og (\pi /\tau)\vert_{\tau '}$ est un exercice et le b) 
vient du th\'eor\`eme de Fubini et de la d\'efinition des 
formes de Whitney. 

De m\^eme, la donn\'ee pour chaque $\pi\in {\cal P}_f$ de la forme
diff\'erentielle $$t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert 
\sg_s\vert}\og(\sg_0)\wedge\og (\sg_1)\wedge \ldots \wedge\og (\sg_s) 
= t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert \sg_s\vert} \og(\pi/\tau)$$
d\'etermine une forme diff\'erentielle relative  pour le morphisme $\pi \to \tau$. 
D'apr\`es la Proposition \ref{IMINVE} et puisque $\og(\pi(\sg))=\og(\pi/\tau)\wedge\og(\tau)$, on a :
\begin{equation}(\psi^\sg)^*(\og (\sg ))=(-1)^{\alpha (\sg )+a(\nu)} t_0^{\vert \sg _0\vert}\cdots 
t_s^{\vert  \sg_s\vert} \og (\pi /\tau)\wedge \og (\tau).\label{whitrel}\end{equation} 

Soit $\pi=\tau\times
\sg_0\times\sg_1\times \cdots \times \sg_s$ un prisme de dimension relative $r$
au-dessus de $\tau$. La diff\'erentielle de la forme de Whitney relative $\og
(\pi /\tau)$ est  \'egale \`a 
\begin{eqnarray}
d\og (\pi /\tau) &=& d\left(\og
(\sg_0)\wedge\og (\sg_1)\wedge \ldots \wedge\og (\sg_s)\right)\nonumber \\
&= &\sum_{j=0}^s (-1)^{(\vert \sg_0 \vert +\cdots
+\vert \sg_{j-1} \vert)} \ \og (\sg_0)\wedge \ldots
\wedge d\og (\sg_j)\wedge\ldots \wedge\og (\sg_s)\nonumber
\end{eqnarray}

\begin{remarque} Il r\'esulte du lemme \ref{LEMCOD}
et de l'expression de $\og(\pi/\tau)$ que $d\og (\pi/\tau)$ est un
repr\'esentant privil\'egi\'e de la diff\'erentielle de $\og(\pi/\tau)$ au sens du 
complexe des formes relatives ({\it cf} d\'efinition \ref{FODIRE}).
\end{remarque}
%---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Passons maintenant au cas g\'en\'eral d'une forme de degr\'e inf\'erieur ou \'egal \^a la
dimension relative.\par Soient $r$ un entier et $\sg$ un simplexe de ${\cal S}_f$ d'image
$\tau$, \'ecrivons $\pi(\sg)=\tau\times\sg_0\times
\cdots\times 
\sg_s$ et choisissons dans chaque $\sg_i$ de dimension $\geq r$ une face $\sg'_j$ de
dimension $r$. Pour chaque $\sg_i$ de dimension $< r$, nous choisissons $\sg'_i=\sg_i$. Le
diagramme de la  Remarque \ref{REM} s'\'ecrit ici~:
$$\Diag{\sg'=\sg'_0 * \cdots * \sg'_s & {{\hfleche\leftarrowfill{\psi^{\sg'}}}\over 
{\hfleche\rightarrowfill{\theta^{\sg'}}}}& 
\tau\times\sg'_0\times\cdots\times\sg'_s  \cr
\qquad\theta^{\sigma'_j} \searrow && \swarrow {\rm pr}_j \qquad\cr &\sg'_j&\cr  }$$ 
Consid\'erons la fibre du joint $\sg'=\sg'_0* \cdots*
\sg'_s$ au dessus du point $t$ de $\tau$ de coordonn\'ees barycentriques $(t_0, \ldots,t_s)$
({\it cf.} Exemple fondamental
\ref{JOINT}). On la note $\sg' (t)$. Sans perte de g\'en\'eralit\'e nous pouvons supposer que
les simplexes $\sg'_j$ de dimension $r$ sont les premiers simplexes $\sg'_0, \cdots, \sg'_q$.
D\'efinissions la ``diagonale" $\Delta(*)_t$  de la fibre $\sg' (t)$ de la mani\`ere
suivante~: Pour $j=0,\ldots,q$, on a un hom\'eomorphisme lin\'eaire (unique) $h_j$ de
$\sg'_j$ sur le $r$-simplexe type $\sg(r)$. Notons $\Delta(\sg')\subset \sg'_0\times
\cdots\times \sg'_q$ l'image r\'eciproque par $(h_0^{-1}, \ldots ,h_q^{-1})$ de la diagonale
du produit $\sg(r) \times \cdots \times \sg(r)$ ($q+1$ fois). Alors $\Delta(*)_t =
\psi^{\sg'}(\{ t\}\times \Delta(\sg')\times \{ pt\}\times \cdots \times \{ pt\})$ o\`u 
$\{ pt\} \in \sg'_j$ pour $j=q+1, \ldots,s$.

On d\'efinit sur le prisme $\tau\times \sg'_0\times \cdots\times \sg'_s$ une forme
diff\'erentielle de degr\'e $r$ par la formule $$\zeta(\sg')=\sum_{j=0}^s t_j {{\rm
pr}_j}^*\og(\sg'_j),$$ o\`u, par convention, $\og(\sg'_j)=0$ lorsque
$\hbox{\rm dim }\sg'_j<r$. Son image r\'eciproque par ${\theta^{\sg'}}^*$ est une $r$-forme
diff\'erentielle bien d\'efinie sur $\sg'$. 

\begin{proposition}\libel{proin1}  La forme diff\'erentielle
$$\og_t(\sg')={\theta^{\sg'}}^*(\zeta(\sg'))\vert_{\Delta(*)_t}$$ est la forme de Whitney du
simplexe $\Delta(*)_t$.

\end{proposition}

\begin{lemma}\libel{int1} 
On a l'\'egalit\'e 
$$\int_{\Delta(*)_t} \og_t(\sg') = r! \sum_{\{ j : \dim \sg'_j=r \}} t_j.$$
\end{lemma}

\begin{definition}\libel{DIFEXT} {\rm (et notation).} {\sl Extension verticale
d'une forme diff\'erentielle relative}. Soit $\pi'$ une face de codimension 1 d'un prisme
$\pi$, notons $\tau$ l'image de $\pi'$. De m\^eme que dans le cas absolu, on d\'efinit
l'extension \`a $\pi$ d'une  forme diff\'erentielle relative sur $\pi'$ comme la forme
diff\'erentielle relative  donn\'ee par la m\^eme \'ecriture, en coordonn\'ees barycentriques,
dans $\pi$. Par exemple, on notera $\og(\pi'/\tau;\pi)$ l'extension de
$\og(\pi'/\tau)$ \`a $\pi$.
\end{definition}

Remarquons qu'une face de codimension relative 1 d'un prisme $\pi=\tau\times\sg_0\times
\cdots\times \sg_s$ de ${\cal P}_f$ est n\'e\-ces\-sai\-re\-ment  obtenue de la fa\c con
suivante~: on remplace un des simplexes $\sg_j$ par une de ses faces de codimension 1 et on
fait le produit avec les autres. A chaque face de codimension relative 1 est donc associ\'e un
sommet bien d\'etermin\'e de $\tau$.

\begin{lemma}\libel{LEMROL} Soit $\pi'$ un prisme de ${\cal
P}_f$ d'image $\tau$ et soit $\pi$ un prisme dont $\pi'$ est une face de codimension 1, alors on
a, avec les notations du lemme \ref{LEMCOD}~:  
$$d_e\og (\pi' /\tau;\pi)=\cases{ [\pi;\pi'] \og
(\pi/\tau) &si $\pi$ a pour image $\tau$,\cr
0&sinon.\cr}$$
\end{lemma}

Dans le cas o\`u $\pi$ a pour image $\tau$, il s'\'ecrit 
$\pi=\tau\times\sg_0\times \cdots\times \sg_j\times \cdots \times \sg_s$ et le
prisme $\pi'$ s'\'ecrit $\pi'=\tau\times\sg_0\times \cdots\times \sg'_j\times 
\cdots \times \sg_s$. Alors on a
$$\og (\pi' /\tau;\pi)= \og(\sg_0)\wedge \cdots\wedge
\og(\sg'_j;\sg_j)\wedge\cdots\wedge\og(\sg_s)$$ 
d'o\`u le r\'esultat, d'apr\`es le lemme \ref{LEMCOD}. Sinon, 
les prismes $\pi'$ et
$\pi$ s'\'ecrivent sous la forme $\pi'=\tau\times\sg_0\times \cdots\times \sg_s$ et $\pi
=\gamma\times\sg_0\times \cdots\times \sg_s$ o\`u $\tau$ est une face de codimension 
1 de $\gamma$. Dans
ce cas, $\og (\pi' /\tau;\pi)=\og (\pi/\gamma)$ et sa diff\'erentielle relative est nulle
(puisque pour chaque $\sigma_i$, on a $d(\og_{\sigma_i})  = 0$ dans $\sigma_i$).  


\subsection{Lemme de Poincar\'e relatif}

Soit $X\subset {\bf R}^n\times {\bf R}^m$ un sous-ensemble sous-analytique non singulier tel
que la restriction \`a $X$ de la premi\`ere projection soit propre et triangulable.
Soit  $\Delta \subset {\bf R}^n\times {\bf R}^m$ le complexe simplicial lin\'eaire
image r\'eciproque de $X$ par un hom\'eomorphisme sous-analytique $$t\colon {\bf
R}^n\times {\bf R}^m \to {\bf R}^n\times {\bf R}^m$$ de triangulation et notons $f$
la restriction \`a $\Delta$ de la premi\`ere projection. Reprenons les notations du
th\'eor\`eme \ref{COMPFA}  et en particulier notons $\psi \colon {\cal P}_f\to {\cal
S}_f$ le morphisme prismal de {\it loc. cit}.

\begin{lemma}\libel{LEIMRE} Soit $\og$ une $r$-forme diff\'erentielle analytique (ou de
classe ${\cal C}^k$, $k\geq 2$) sur $X$. L'image r\'eciproque $t^*\og$ est une forme
h\"old\'erienne sur $\Delta$ et l'on a $d(t^*\og )=t^*d\og$.
\end{lemma}

L'\'egalit\'e $d(t^*\og
)=t^*d\og$ est v\'erifi\'ee \`a l'int\'erieur de chaque simplexe  de $\Delta$ puisque
l'hom\'eomorphisme $t$ y est analytique. Remarquons que les  coefficients de $t^*\og$ et
$t^*d\og$ sont  h\"old\'eriens puisque  l'hom\'eomorphisme sous-analytique $t$ est 
h\"old\'erien \cite{[Ha]}. 

Montrons que la forme $t^*\og$ est r\'eguli\`ere sur $\Delta$ au sens de Whitney
\cite{[Whi]}, chapitre 3, p.104). Cela signifie qu'elle est continue et qu'il existe une
$(r+1)$-forme
$\og'$ continue sur $\Delta$ telle que, pour tout $(r+1)$-simplexe singulier
$\gamma~:\Sigma^{r+1} \to\Delta$ o\`u $\Sigma^{r+1}$ d\'esigne le simplexe type de
dimension $r+1$, on ait~: $$\int_\gamma \og' = \int_{\partial \gamma} \og .$$ D'apr\`es
{\it loc cit.} il suffit de le montrer pour des simplexes singuliers qui sont des
immersions analytiques \`a l'int\'erieur de chaque face, sauf \'eventuellement sur un
ensemble de mesure nulle. Ceci correspond au fait que l'image de $\gamma$ n'est pas
n\'ecessairement comprise dans l'int\'erieur d'une face du complexe simplicial $\Delta$.
Pour un tel $\gamma$, le simplexe $t\circ \gamma$ est un simplexe de $X$ poss\'edant les
m\^emes propri\'et\'es. On a alors, en notant encore $\gamma$ l'image de l'application
$\gamma$, les \'egalit\'es suivantes~:
$$\int_{\gamma}  t^*d\og = \int_{t(\gamma)}  d\og = \int_{\partial t(\gamma)}  \og =
\int_{\partial (\gamma)}  t^*\og $$ ce qui montre que la forme $t^*d\og$ est la forme
$\og'$ cherch\'ee. D'apr\`es la g\'en\'eralisation \`a notre situation du lemme 16a de
Whitney, une telle forme, si elle existe, est unique ce qui entraine qu'elle est la
d\'eriv\'ee au sens des distributions de $t^*\og$ d'o\`u le r\'esultat.

Il r\'esulte de la d\'emonstration de Whitney du th\'eor\`eme de de Rham
(\cite{[Whi]}, \S 29) que les formes de Whitney engendrent la cohomologie des formes
$0$-r\'eguli\`eres. En imitant sa d\'emonstration, on prouve:

\begin{lemma}\libel{LEMENG} Sur un complexe simplicial ou prismal qui est
une vari\'et\'e, les formes de Whitney engendrent la cohomologie  des formes
h\"old\'eriennes.
\end{lemma}

Pour le v\'erifier, il suffit de v\'erifier que le lemme
d'int\'egration des formes exactes dans un domaine \'etoil\'e de centre $p_0$ et
les  lemmes de prolongement de {\it loc. cit.} sont valables dans le cas
h\"old\'erien.  Prouvons par exemple que le lemme 25a, p. 137 de Whitney est
valable dans le cas  h\"old\'erien. Avec des notations analogues \`a celles de {\it
loc. cit.}, il s'agit  de v\'erifier que la forme   
$$\og_1(p)=\int_{{\bf I}\times p}g^*\og(s\times p)ds$$  
est  h\"old\'erienne, o\`u $g\colon {\bf I}\times {\bf R}^n \to 
{\bf R}^n$ est l'application affine d\'efinie par $g(s\times p)=(1-s)p_0+sp$.  Mais puisque
$g$ est  h\"old\'erienne, il vient $\vert g^*\og(s\times p')-g^*\og
(s\times p)\vert \leq s^\alpha M$, o\`u $M$ est une constante d\'ependant de $g$ et
du domaine \'etoil\'e, donc $\vert \og_1(p')-\og_1(p)\vert \leq M\int_0^1s^\alpha
ds$, d'o\`u le r\'esultat. Les lemmes d'extension se v\'erifient de mani\`ere
analogue.

A une forme h\"old\'erienne ferm\'ee $\og$ sur $X$ on associe donc une forme
h\"old\'erienne ferm\'ee $\og_1$, combinaison de  formes de Whitney de simplexes de
$\Delta$, telle que $t^*\og = \og _1 +d\alpha$, o\`u $\alpha$ est une forme
h\"old\'erienne sur $\Delta$.     

Etant donn\'es un point $x$ de l'int\'erieur d'un simplexe $\sg$ et un
nombre r\'eel $\epsilon \in [0,1]$, notons $\sg_{(x,\epsilon)}$ le simplexe
d\'eduit de $\sg$ par l'homoth\'etie de centre $x$ et de rapport $\epsilon$.
Si $x$ est  un point d'un  prisme $\pi$, on d\'efinit de m\^eme le
prisme $\pi_{(x,\epsilon)}$. Enfin, pour une application prismale $f\colon
\Delta \to T$,  on note $\pi_{(x,\epsilon)}(f(x))$ l'intersection avec
$\pi_{(x,\epsilon)}$ de la fibre $f^{-1}(f(x))$.

\begin{lemma}\libel{LEMETA} Soit $\sg$ un simplexe de $\Delta$ ayant
pour image 
$\tau$ et de dimension relative $r$. Soit $\eta$ une $r$-forme diff\'erentielle
h\"old\'erienne sur $\sigma$. Alors  l'application $\sg \to {\bf R}$  d\'efinie par  
\[
x\mapsto A_{\sigma}(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle{\lim_{\epsilon \to 0}\left(
\frac
{\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))} \eta_{f(x)}} 
{\vol (\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))} 
\right)} 
& \hbox{si $\dim \sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))=r$}\\
0& \hbox{sinon}
\end{array}
\right.
\]
est h\"old\'erienne sur $\sigma$, en
notant $\eta_{f(x)}$ la restriction  de la forme $\eta$ \`a la fibre de la 
projection $\sigma \to \tau$ passant par  $x$, et l'on a sur le prisme $\pi (\sg)$
l'\'egalit\'e 
$$(\psi^*df)
\wedge
\left(\psi^*\eta- t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert
\sg_s\vert}(A_\sg\circ\psi) \og(\pi /\tau )\right)=0$$   avec les notations du
formulaire.
\end{lemma}

\noindent D\'emonstration~: soient $x$ et $x'$ deux points de $\rond\sigma$; pour $\epsilon
\in [0,1]$ consid\'erons la diff\'erence  
\begin{eqnarray*}
A_{\sigma}(x') & - & A_{\sigma}(x) = \\ %\hfill
&&\lim_{\epsilon \to 0}\left((\vol 
\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x')))^{-1}\int_{\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x'))}\eta_{f(x')} 
-(\vol
\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))^{-1}\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))}\eta_{f(x)}
\right)
\end{eqnarray*}
Ecrivons la partie entre parenth\`eses sous la forme $$(\vol 
\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))^{-1} \left({\vol \sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))\over \vol
\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x'))}\int_{\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x'))}\eta_{f(x')}-
\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))} \eta_{f(x)}\right)$$  
Notons $\ell \colon \sigma_{(x,\epsilon)}\to \sigma_{(x',\epsilon)}$
l'interpolation  lin\'eaire entre $\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))$ et
$\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x'))$. Notre expression  peut s'\'ecrire 
$$(\vol  \sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))^{-1}\left({\vol 
\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))\over \vol
\sigma_{(x',\epsilon)}(f(x'))}\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))}\ell^*\eta_{f(x')}-
\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))} \eta_{f(x)}\right).$$

Faisant rentrer le
quotient des volumes sous la premi\`ere int\'egrale, et utilisant le fait que d'une
part la valeur du jacobien de $\ell$ dans les fibres de $f$ est \'egale au quotient 
des volumes de $\sg (x')$ et $\sg (x)$, que l'on a une in\'egalit\'e 
$$\left\vert 1-{\vol \sg (x')\over \vol \sg (x)}\right\vert <C'\vert x'-x\vert ^r.$$
et que d'autre part on a pour 
$z\in \sigma_{(x,\epsilon)}$ l'\'egalit\'e 
$$\ell^*(\eta_{f(x')})(z)=\hbox{jac} (\ell)\ \eta_{f(x')}(\ell (z))\ ,$$ 
il vient 
$$A_{\sigma}(x')-A_{\sigma}(x)=\lim_{\epsilon \to 0}\left((\vol 
\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))^{-1}\left(\int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))}
\left [ \eta_{f(x')} (\ell(z))-\eta_{f(x)}(z) \right ]
\right) \right).$$ Puisque la forme $\eta$ est
h\"old\'erienne, il existe une constante r\'eelle $C>0$ et $\alpha >0$ tels que l'on 
ait $\vert \eta_{f(x')}(\ell (z))-\eta_{f(x)}(z)\vert \leq C\vert x-x'\vert^\alpha$.
Il vient donc $$(\vol
\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x)))^{-1}\left\vert \int_{\sigma_{(x,\epsilon)}(f(x))} 
\left [ \eta_{f(x')}(\ell (z))-\eta_{f(x)}(z) \right ]
\right\vert \leq  C\vert x-x'\vert^\alpha ,$$
ce qui prouve que la fonction $A_\sigma$ est h\"old\'erienne. \par
Prouvons l'\'egalit\'e 
$$(\psi^*df)\wedge \left(\psi^*\eta-t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert
\sg_s\vert} (A_{\sg}\circ\psi)\og(\sg_0)\wedge \cdots \wedge \og (\sg_s)\right)=0.$$ 
D'apr\`es la d\'efinition de $A_{\sg}$, on a pour $x\in\sigma$ l'estimation 
$$A_{\sg}(x)\vol 
(\sg_{(x,\epsilon)}(f(x)))-\int_{\sg_{(x,\epsilon)}(f(x))}\eta_{f(x)}=o(\epsilon)$$  
avec 
$$\vol (\sg_{(x,\epsilon)}(f(x)))=t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert 
\sg_s\vert}
\int_{\pi(\sg)_{(x,\epsilon)}(f(x))}\og(\sg_0)\wedge \cdots \wedge \og (\sg_s)$$ 
o\`u $\pi(\sg)_{(x,\epsilon)}=\pi(\sg)\cap\psi^{-1}(\sg_{(x,\epsilon)})$. 
D'autre part, comme $A_{\sg}(x)$ est une fonction h\"old\'erienne, il en est de 
m\^eme de la fonction $t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots t_s^{\vert \sg_s\vert} 
(A_{\sg}\circ\psi)$, et on a 
$$\left|\int_{\pi(\sg)_{(x,\epsilon)}(f(x))}\left(\psi^*\eta -t_0^{\vert \sg_0\vert}\cdots
t_s^{\vert \sg_s\vert} (A_{\sg}\circ\psi)\og(\sg_0)\wedge \cdots \wedge \og
(\sg_s)\right)\right|=o(\epsilon),$$ 
d'o\`u le r\'esultat au vu du lemme \ref{LECARE}.

\noindent Un calcul analogue montre
que le r\'esultat reste vrai lorsque $x\in \partial \sg$.

\begin{remarque}\libel{REC} Soit $\eta$ une forme diff\'erentielle
h\"old\'erienne  sur $X$, nulle hors du $r$-squelette relatif de l'application $f$.
L'application 
$A\colon X\to\R$ d\'efinie par $x\mapsto A_\sg(x)$ si le simplexe $\sg$ contenant 
$x$ est de dimension relative $r$, et $A(x)=0$ sinon, est h\"old\'erienne.
\end{remarque}

Cela r\'esulte du lemme pr\'ec\'edent, du fait que si $\sg'$ est une face de 
$\sg$ de dimension relative $r$ ayant pour image une face $\tau'$ de $\tau$, on 
a $A_{\sg'}=A_\sg \vert \sg'$, et enfin de l'in\'egalit\'e triangulaire qui permet 
de majorer $\vert A_{\sg_1}(x_1)-A_{\sg_2} (x_2)\vert$ lorsque $x_1$ et $x_2$ appartiennent 
\`a deux simplexes diff\'erents $\sg_1$ et $\sg_2$ ayant en commun une face de dimension
relative $r$.

Avec les notations du d\'ebut du paragraphe, on a~:

\begin{theorem}\libel{THEODG} Soient $g\colon X\to \R^n$ un
morphisme analytique propre et triangulable entre vari\'et\'es analytiques, tel que
$g(X)\subset
\R^n$ soit contractile, et soit $\og$ une r-forme diff\'erentielle  de classe ${\cal C}^\mu$
sur $X$, avec $\mu =h$ ou $\mu
\geq1$,  telle que la restriction de $\og$ \`a chaque fibre non-singuli\`ere de
$g$ soit exacte. Il existe une $(r-1)$-forme h-r\'eguli\`ere $H$ sur $X$ telle
que l'on ait  $$dg\wedge (\og -dH)=0$$ 
\end{theorem}

\noindent D\'emonstration~:  Choisissons une triangulation
sous-analytique de $g$ et, reprenant les notations de 1.1, notons $t\colon \Delta \to X$
l'hom\'eomorphisme  sous-analytique correspondant, et $f\colon \Delta \to T$ le
morphisme simplicial d\'eduit de $g$.  La forme $t^*\og$ est h\"old\'erienne sur
$\Delta$.  D'apr\`es le lemme \ref{LEMETA}, on peut \'ecrire 
$$(\psi^*df)\wedge (\psi^*(t^*\og )-\og_1)=0,$$ o\`u la forme $\og_1$
est \'egale \`a
 $$\og_1=\sum_{{\rm dim}_{rel} \pi=r} (A_\sg\circ \psi)\  t_0^{\vert \sg_0
\vert}\cdots t_s^{\vert \sg_s \vert} \og(\pi /\tau),$$ o\`u 
$A_\sg$ est une fonction h\"old\'erienne d\'efinie
sur un voisinage de $\sigma =\psi(\pi)$ et \`a support dans $\sigma$.
Notons $A_\pi$ pour $A_\sg \circ \psi$; par construction, lorsque
$\pi$ varie, la  donn\'ee $\pi \mapsto A_\pi \og (\pi /\tau)$ d\'efinit une
forme diff\'erentielle relative. 

Cherchons les conditions pour que la forme diff\'erentielle $\og _1$  soit exacte dans les 
fibres en \'ecrivant qu'elle est une diff\'erentielle relative sous la forme 
sugg\'er\'ee par le
Lemme \ref{LEMCOD}, b).  D'apr\`es le lemme
\ref{LEMROL}, cela revient \`a r\'esoudre l'\'equation~: 
\begin{equation}
\og _1=d_e \left( \sum_{{\rm dim}_{rel} \pi=r} \left(
\sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)} C_{\pi',\pi}(y,t)\og
(\pi'/\tau;\pi)\right)\right)
\label{ex4}
\end{equation}
o\`u il suffit d'\'etendre la somme aux couples de prismes $(\pi',\pi)$ tels que $\pi'$
soit une face de codimension 1 de $\pi$ et ayant m\^eme image $\tau$, ce qui est le
sens de la notation $\pi'\subset_\tau \pi$, et o\`u $C_{\pi',\pi}$ est une fonction
h\"old\'erienne \`a support dans le prisme  $\pi$, enfin $t$ d\'esigne les
coordonn\'ees barycentriques de  $\tau$ et $y$ celles du prisme  $\pi$. 

Soit $\tau$ un simplexe de $T$; cherchons les solutions au
dessus de $\tau$ sous la forme $C_{\pi',\pi}(y,t)=t_0^{\vert \sg_0 \vert}\cdots
t_s^{\vert \sg_s
\vert}B_{\pi',\pi}(y,t)$. Comme $d_e$ n'affecte pas les coordonn\'ees en $t$, 
il vient 
\begin{eqnarray*}
A_\pi
(y,t)  \og (\pi /\tau ) &=&  d_e\left(\sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)} B_{\pi',\pi}
(y,t)\og (\pi'/\tau;\pi)\right)\\  
&=& \sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)}
B_{\pi',\pi}(y,t)d_e\og (\pi'/\tau;\pi)+\sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)} \sum_j 
{\partial B_{\pi',\pi}(y,t)\over \partial y_j}dy_j\wedge \og (\pi'/\tau;\pi)
\end{eqnarray*}
o\`u les d\'eriv\'ees  partielles sont prises au sens des distributions. 

\noindent Les produits $dy_j\wedge \og(\pi'/\tau;\pi)$ sont nuls. En effet,
si dans un terme de $\og (\pi'/\tau;\pi)$ la diff\'erentielle $dy_{k,j}$ d'une
des coordonn\'ees barycentriques d'un prisme $\pi'_k$ n'appara\^\i t pas,
toutes les autres coordonn\'ees barycentriques $y_{k,l}$ de $\pi'_k$
apparaissent dans ce terme, d'o\`u le r\'esultat puisque sur $\pi'_k$ on a
$\sum_{l\neq j}y_{k,l}=1-y_{k,j}$.
De m\^eme, l'\'equation \ref{ex4} devient
\begin{equation} 
t_0^{\vert \sg_0 \vert}\cdots
t_s^{\vert \sg_s\vert}A_\pi
(y,t)  \ \og (\pi /\tau ) =  \sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)} C_{\pi',\pi}
(y,t)\og (\pi'/\tau;\pi).\label{ex6}
\end{equation}
Ecrivons sous la forme $\pi'=\tau\times
\pi'_0\times\pi'_1\times \cdots \pi'_s$ le prisme $\pi'$ appartenant au bord
de $\pi=\tau\times \pi_0\times\pi_1\times \cdots \pi_s$. Rappelons que cela
signifie que tous les $\pi'_k$ sont \'egaux aux $\pi_k$ correspondants, sauf un
pour lequel on a $\vert \pi'_i\vert =\vert\pi_i\vert -1$. Les fonctions
$B_{\pi',\pi}(y,t)$ que nous cherchons doivent donc en particulier satisfaire les
\'equations
\begin{equation} 
A_\pi (y,t)\ \og (\pi /\tau )
= \sum_{(\pi'\subset_\tau \pi)} B_{\pi',\pi}(y,t)d_e\og
(\pi'/\tau;\pi).\label{ex5}
\end{equation}
Par ailleurs, le Lemme
\ref{LEMROL}  exprime la diff\'erentielle relative de la forme de Whitney relative $\og
(\pi' /\tau;\pi)$ sous la forme 
$$d_e\og (\pi' /\tau;\pi) =  [\pi;\pi'] \og (\pi /\tau).$$ 

\noindent On a donc pour chaque $\pi$ une \'egalit\'e :
$$A_\pi (y,t)\ \og (\pi /\tau )
=\sum_{j=0}^s \left(\sum_{\pi'\in M(\pi; j)}B_{\pi',\pi}(y,t) 
[\pi;\pi'] \og (\pi/\tau)\right)$$  
o\`u $M(\pi; j)$ est l'ensemble des faces de codimension 1 de $\pi$ ne diff\'erant de
$\pi$ qu'au dessus du j-\`eme sommet de leur image commune, c'est-\`a-dire~:
$$A_\pi (y,t)=  \sum_{j=0}^s\left(\sum_{\pi'\in M(\pi; j)}B_{\pi',\pi}(y,t) 
 [\pi;\pi'] \right).\leqno(\pi/\tau)$$
 
Nous cherchons donc des fonctions $B_{\pi',\pi}(y,t)$, chacune d\'efinie et
h\"olderienne sur $\pi$, v\'erifiant les
\'equations
$(\pi /\tau )$ et telles que les restrictions \`a $\pi'$ de toutes les fonctions
$B_{\pi',\pi}(y,t)$ co\"\i ncident lorsque $\pi$ parcourt les prismes ayant $\pi'$
pour face. Si le simplexe $\tau$ de $T$ est de dimension maximum dans l'image de
$\Delta$, la fibre de $f$ au dessus d'un point de l'int\'erieur
de $\tau$ est non singuli\`ere et d'apr\`es l'hypoth\`ese, le syst\`eme d'\'equations
$(\pi /\tau)$ admet une solution puisque les formes de Whitney engendrent la
cohomologie de la fibre.

Consid\'erons l'espace vectoriel $F$ dont les \'el\'ements sont les vecteurs
$(B_{\pi',\pi}(y,t))_{\pi';\pi}$, chacune des fonctions $B_{\pi',\pi}(y,t)$ \'etant d\'efinie
et h\"olderienne sur $\pi$, vecteurs qui satisfont les
\'equations $$
[\pi_1;\pi']B_{\pi',\pi_1}(y,t)\vert\pi'=[\pi_2;\pi']B_{\pi',\pi_2}(y,t)\vert\pi'$$ pour
tout couple $(\pi_1,\pi_2)$ de prisme ayant un prisme $\pi'$ pour face commune
ayant m\^eme image.

Or, d'une part, les solutions du syst\`eme des $(\pi /\tau )$ s'expriment
lin\'eairement en fonctions des fonctions $A_\pi$, et \'eventuellement de
certaines des fonctions $B_{\pi',\pi}(y,t)$ prises comme param\`etres, et
d'autre part, par hypoth\`ese, pour $t\in \rond \tau$, les syst\`eme $(\pi /\tau
)$ admet une solution satisfaisant les conditions de compatibilit\'e, c'est-\`a-dire dans
$F$. Cela implique l'existence dans $F$ de solutions des \'equations $(\pi /\tau )$,
donc de \ref{ex5} pour tout $\tau$ de dimension maximale dans $f(\Delta)$.

\noindent
Il reste \`a montrer que les \'equations \ref{ex5} se sp\'ecialisent correctement et que
leurs solutions se globalisent.

Etant donn\'ee une face $\tau'$ d'un simplexe $\tau$ de dimension maximale, et un
simplexe $\pi$ de ${\cal P}(\tau)$, si $\pi$ ne d\'eg\'en\`ere pas au-dessus de
$\tau'$, l'\'equation \ref{ex5} correspondante est inchang\'ee, \`a cause de la
sp\'ecialisation de $\og (\pi/\tau)$. Si $\pi$ d\'eg\'en\`ere, l'\'equation \ref{ex5}
devient $0=0$ et il n'y a rien \`a v\'erifier.

Pour la globalisation, il faut faire l'hypoth\`ese que $T$ est contractile. Pour
montrer que les diff\'erentes solutions des \'equations $(\pi/\tau)$ n'ont pas de
monodromie, il faut consid\'erer le passage de $\tau_1$ \`a $\tau_2$ \`a travers une
face $\tau'$ comme d\'efinissant un morphisme de partitions de ${\cal P}(\tau_1)$
dans ${\cal P}(\tau_2)$ puis montrer par un argument simplicial peut-\^etre que si la
base est contractile, le morphisme obtenu apr\`es un lacet dans la base est l'identit\'e.
Cela permettra de prolonger les solutions.....  








D'apr\`es le lemme
\ref{LEMROL}, \'etant donn\'ees deux faces $\pi'_1,\ \pi'_2$ de codimension 1 de $\pi$
ayant m\^eme image que $\pi$, on a une \'egalit\'e au signe pr\`es $$d_e\og (\pi'_1
/\tau;\pi) =  [\pi;\pi'_1 ]\og (\pi /\tau)=\pm d_e\og (\pi'_2 /\tau;\pi) .$$ En faisant
pour chaque prisme $\pi$ le choix d'une face $\pi'_0$ de codimension 1 ayant m\^eme
image, on peut, en posant
$$D_{\pi'_0,\pi}=\sum_{\pi'}[\pi'_0;\pi ][\pi';\pi] B_{\pi';\pi}$$ transformer les
\'equations $(\pi /\tau )$ en :
\begin{equation}
A_\pi(y,t)= [\pi ,\pi'_0]D_{\pi'_0,\pi} (y,t)
\label{ex7}
\end{equation}
\begin{equation}
D_{\pi'_0,\pi}=\sum_{\pi'}[\pi'_0;\pi ][\pi';\pi] B_{\pi';\pi} .\label{ex8}
\end{equation}
 En ce qui concerne les faces d'un simplexe $\tau$, cela a
d\'ej\`a \'et\'e fait lors de l'\'etude de l'orientation (ordre des sommets). Pour
v\'erifier la compatibilit\'e  des solutions au dessus des divers simplexes
$\tau\subset T$, il faut se souvenir qu'au dessus de chaque $\tau$ la solution $H'$
est enti\`erement d\'etermin\'ee par les $A_\pi$. Si $\tau'$ est une face commune
\`a deux simplexes $\tau_1$ et $\tau_2$, \'etant donn\'es des prismes $\pi_1$ au
dessus de $\tau_1$ et $\pi_2$ au dessus de $\tau_2$ qui ne d\'eg\'en\`erent pas au
dessus de $\tau'$, les solutions des \'equations $(\pi_1 /\tau_1 )$ et
$(\pi_2/\tau_2)$ co\"\i ncident au dessus de $\tau'$ puisque c'est le cas pour
$A_{\pi_1}$ et $A_{\pi_2}$. Si $\pi_1$ d\'eg\'en\`ere au dessus de $\tau'$, alors la
sp\'ecialisation au dessus de $\tau'$ de la forme $H'$ est nulle \`a cause des
coefficients $t_i^{\vert \sg_i\vert}$, qui correspond \`a la d\'eg\'enerescence de
$\sg$ au dessus de $\tau'$. Dans ce cas la question de la compatibilit\'e ne se pose
pas. (cf. la figure 1.1). On peut donc \'ecrire les solutions du syst\`eme dans
$\pi$ 
$$D_{\pi'_0,\pi} (y,t)=[\pi ,\pi'_0]A_\pi(y,t).$$ 
L'hypoth\`ese d'existence d'une primitive dans chaque fibre non singuli\`ere de $f$
implique que pour tout choix d'une face $\pi'_0$ de chaque prisme $\pi$ de dimension
relative $r$ et dont l'image est de dimension maximale, les \'equations $(5)$
admettent une solution $B_{\pi';\pi}\og (\pi'/\tau);\pi)$ partout bien d\'efinie; la
propagation le long d'un cycle de la fibre redonne la m\^eme valeur quel que soit le
cycle et quel que soit le choix des $\pi'_0$. Cette propri\'et\'e se conserve par
sp\'ecialisation. Ainsi, la forme  $$H'=\sum_{{\rm dim_{rel}}\pi=r} t_0^{\vert
\sg_0 \vert}\cdots t_s^{\vert
\sg_s \vert} B_{\pi',\pi} (y,t)\og (\pi' /\tau;\pi)$$
est une $r-1$-forme qui provient d'une $r-1$-forme sur ${\cal S}_f$, et celle-ci est
h\"old\'erienne puisque les $A_\pi$ le sont et que les $B_{\pi',\pi}$ sont solutions d'un
syst\`eme ln\'eaire dont les coefficients non nuls sont $\pm 1$.

\noindent Donc
$H'=\psi^* H_1$, o\`u
$H_1$ v\'erifie par construction l'\'egalit\'e
$$de\wedge (\og_1-dH_1)=0$$ 

\section{Bibliographie}

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\end{document}
