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\begin{document}
\large
\centerline {Sur H. Hironaka, docteur {\it honoris causa}, Nice 2002}\par\medskip
Madame la Pr\'esidente, Monsieur le repr\'esentant de l'ambassadeur du Japon, madame la repr\'esentante du Maire de
Nice, Mesdames et Messieurs, chers coll\`egues.\par\medskip

C'est une t\^ache agr\'eable et int\'eressante d'essayer
d'expliquer \`a nos coll\`egues ni\c cois non math\'ematiciens et \`a leurs h\^otes quelle
sorte de math\'ematicien ils ont choisi de nommer Docteur {\it honoris
causa} de leur Universit\'e en la personne de Heisuke Hironaka. Bien
s\^ur, il est connu de tous les math\'ematiciens pour avoir d\'emontr\'e
un des th\'eor\`emes les plus importants des Math\'ematiques, la
r\'esolution des singularit\'es en G\'eom\'etrie alg\'ebrique et re\c cu la m\'edaille Fields, et il est
connu de tous les Japonais pour avoir re\c cu, le premier de ceux qui
sont n\'es pendant l'\`ere Showa, l'Ordre de la Culture de l'Empereur du
Japon.
\par Mais permettez moi d'entrer un peu dans les d\'etails. Les
singularit\'es dont il s'agit sont celles des vari\'et\'es alg\'ebriques,
d\'efinies comme ensembles de points de l'espace dont les coordonn\'ees annulent des polyn\^omes. Intuitivement, les
singularit\'es sont les points au voisinage desquels la g\'eom\'etrie
pr\'esente des caract\`eres particuliers. L'ombre port\'ee sur un papier
blanc par un morceau de fil de fer bien lisse mais un peu tordu dans
l'espace a, sous un \'eclairage rasant, un point singulier. Bien que nos
sens ne puissent pas vraiment distinguer la mani\`ere dont la torsion
du fil de fer et la direction du faisceau lumineux affectent la nature de
la singularit\'e de l'image, les \'equations qui d\'ecrivent la situation,
elles, le peuvent. 
\par
Le probl\`eme de la r\'esolution des singularit\'es est, toujours
intuitivement, de montrer que n'importe quelle singularit\'e d'un objet
alg\'ebrique, en n'importe quelle dimension, est obtenue par un
proc\'ed\'e analogue de projection \`a partir d'un objet sans
singularit\'es. Et il s'agit de le construire vraiment, de passer de
l'ombre au fil de fer de mani\`ere alg\'ebrique. Le sujet demande donc
un m\'elange de vision g\'eom\'etrique et de ma\^\i trise alg\'ebrique,
ainsi qu'une philosophie du rapport entre les deux assez forte pour
permettre de trouver son chemin au milieu de difficult\'es
conceptuelles et techniques redoutables. \par
Le probl\`eme \'etait pos\'e depuis le d\'ebut du 20$^{\hbox{\rm \`eme}}$ si\`ecle, et
ses implications d\'epassent de loin le domaine strict des singularit\'es.
Le r\'esultat a des cons\'equences dans pratiquement tous les
domaines, et la version assez faible r\'ecemment d\'emontr\'ee en
caract\'eristique
$p>0$ a aussi des cons\'equences remarquables en th\'eorie des
nombres.\par Oscar Zariski, le ma\^\i tre de Hironaka, avait fait, dans
les ann\'ees 40
\`a 60, des progr\`es essentiels, d\'emontrant en particulier le
th\'eor\`eme jusqu'\`a la dimension 3, avec une approche utilisant
toute la puissance de l'alg\`ebre moderne, mais dont le rapport avec la
g\'eom\'etrie, bien qu'il l'ait d\'evelopp\'e de mani\`ere tr\`es originale,
\'etait encore marqu\'e par celui de ladite alg\`ebre aux
travaux g\'eom\'etriques de Riemann sur les courbes. Il me semble
qu'une des originalit\'es des travaux d'Hironaka a \'et\'e de reprendre
\`a la base-au moins conceptuellement- le rapport entre la
g\'eom\'etrie des singularit\'es et l'alg\`ebre; il a d\'evelopp\'e une
vision nouvelle de ces rapports, et cr\'e\'e ou adapt\'e \`a son propos les
outils alg\'ebriques correspondants, par exemple le c\'el\`ebre th\'eor\`eme de pr\'eparation de Weierstrass dont il a
grandement \'etendu le sens et la port\'ee, ainsi que la non moins c\'el\`ebre m\'ethode du polyg\^one de Newton
utilis\'ee par ce dernier pour montrer qu'une courbe \'etait bien, au voisinage d'un point singulier, l'image analytique
d'un petit morceau de fil de fer. Bon nombre de ces outils ont d'ailleurs
\'et\'e d'une grande utilit\'e dans des domaines de l'alg\`ebre
\'eloign\'es de la r\'esolution. J'aime penser que Hironaka a
d\'evelopp\'e le meilleur des trois influences auxquelles il a \'et\'e
soumis: l'approche \'energique et en m\^eme temps un peu distanci\'ee de l'alg\`ebre commutative et
de la g\'eom\'etrie de l'\'ecole japonaise qui a commenc\'e sa
formation, la rigueur imaginative de Zariski, l'usage de l'abstraction et la
recherche du bon cadre comme techniques de d\'emonstration selon la
doctrine de Grothendieck.\par\noindent Mais il faut aussi insister sur
l'extraordinaire puissance math\'ematique n\'ecessaire pour mener
\`a bien la d\'emonstration, et dont je ne peux donner ici aucune
id\'ee. Pendant 25 ans l'article de 1964 a \'et\'e consid\'er\'e
comme un des plus difficiles, sinon le plus difficile, de toutes les
math\'ematiques. La valeur d'une telle opinion est \'evidemment
relative, mais il reste que, le probl\`eme restant ouvert en
caract\'eristique positive, pas mal de math\'ematiciens avaient
y avaient r\'efl\'echi, et  ce n'est que depuis une dizaine d'ann\'ees
que l'on a vu para\^\i tre une nouvelle g\'en\'eration de travaux sur la r\'esolution, les
uns pr\'ecisant et donnant un caract\`ere algorithmique \`a la
m\'ethode de Hironaka, les autres explorant des voies diff\'erentes.
Il faut ajouter qu'apr\`es la g\'eom\'etrie alg\'ebrique, Hironaka a
r\'esolu le probl\`eme de la r\'esolution des singularit\'es en
g\'eom\'etrie analytique complexe, o\`u se posent de nouveaux
probl\`emes de globalisation, pour la solution desquels il a invent\'e la
th\'eorie du {\it jardinage des singularit\'es}, encore trop peu
connue, et aussi en g\'eom\'etrie r\'eelle.\par
Les nombreux efforts pour adapter la m\'ethode de Hironaka en
caract\'eristique positive, auxquels il a contribu\'e et contribue, n'ont pas jusqu'ici
abouti, et les meilleurs r\'esultats \`a ce jour en ce qui concerne le
probl\`eme ''pur'' restent en dimension au plus 3 et sont ceux
d'Abhyankar, un autre
\'el\`eve de Zariski, suivis de travaux de Moh et Cossart, mais il faut signaler un
progr\`es r\'ecent tr\`es important, par des m\'ethodes tr\`es
diff\'erentes, d\^u
\`a J. De Jong et d'autres.
\par\medskip
Mais Hironaka n'est pas l'homme d'un seul th\'eor\`eme. Avant,
pendant, et apr\`es la r\'esolution  il a apport\'e des contributions fondamentales
\`a toute la g\'eom\'etrie 
alg\'ebrique et analytique, r\'eelle ou complexe. \par
Je souhaite signaler particuli\`erement la th\'eorie des ensembles
sous-analytiques o\`u Hironaka introduit, dans un domaine domin\'e depuis les ann\'ees 50 par les m\'ethodes
de projection, une m\'ethodologie radicalement nouvelle. Celle-ci consiste \`a tout simplifier par
des transformations bim\'eromorphes (celles qui
servent pour la r\'esolution des singularit\'es en g\'eom\'etrie
analytique). Cette th\'eorie, que gr\^ace \`a lui nous pouvons d\'esormais imaginer comme celle de tous les ensembles
que l'on peut ''dessiner'' dans un espace euclidien avec un crayon analytique
multidimensionnel param\'etr\'e par un nombre fini de boules, a de tr\`es nombreuses applications dans des
domaines ''concrets'' des Math\'ematiques comme la th\'eorie du contr\^ole ou les \'equations aux d\'eriv\'ees partielles..
Dans le cours du d\'eveloppement de cette philosophie de la simplification sont n\'ees
des techniques, comme celle d'aplatissement, qui elles aussi ont des
applications bien au del\`a du probl\`eme qui les a vu na\^\i tre.\par
Il faut signaler aussi les travaux sur l'\'equisingularit\'e, autre sujet
o\`u se rencontrent l'alg\`ebre et la g\'eom\'etrie,  mais ici cette derni\`ere est plut\^ot sous la
forme de topologie puisqu'il s'agit de
d\'eterminer alg\'ebriquement les points d'un espace analytique singulier au
voisinage desquels celui-ci '' a la m\^eme forme'. L\`a aussi, la philosophie de la simplification bim\'eromorphe a permis
une nouvelle approche et aujourd'hui, dans ce domaine, les conditions d'\'equisingularit\'e \'etudi\'ees par Hironaka
jouent un r\^ole majeur. Il a aussi apport\'e une contribution tr\`es importante \`a la th\'eorie de
l'\'equisingularit\'e \'elabor\'ee par Zariski sur des bases tr\`es diff\'erentes.
\par Devant passer sous silence de nombreux autres travaux, qui ont aussi une descendance tr\`es vivace aujourd'hui,
j'esp\`ere en avoir assez dit pour esquisser le portrait math\'ematique d'un des grands g\'eom\`etres de notre \'epoque.
Je veux maintenant parler un peu de l'homme, \'elev\'e dans une nombreuse famille de la pr\'efecture de Yamaguchi,
jeune pianiste de talent, qui a choisi de devenir math\'ematicien. Remarqu\'e par Zariski lors d'un voyage au Japon, il
vient rejoindre \`a Harvard les
\'el\`eves, choisis avec une grande exigeance, de celui-ci, et soutient en 1960 son PhD, ''on the theory of birational
blowing-up'', qui contient des id\'ees qui conna\^\i tront une descendance magnifique chez S. Mori 25 ans apr\`es .
Apr\`es quelques ann\'ees
\`a Brandeis et Columbia, il devient professeur a Harvard, o\`u il restera jusqu'\`a son d\'epart comme ''Emeritus'' pour
concentrer ses activit\'es au Japon. Il faut dire que depuis la fin des ann\'ees 70, il avait avec d\'etermination mis au
service du d\'eveloppement des Math\'ematiques au Japon son immense notori\'et\'e, en cr\'eant une Fondation
destin\'ee \`a aider les \'etudiants japonais \`a travailler dans les meilleurs conditions dans leur pays et \`a l'\'etranger,
et aussi \`a int\'eresser
\`a des sujets scientifiques des lyc\'eens s\'electionn\'es, par exemple en les r\'eunissant dans des s\'eminaires assez
informels avec des scientifiques japonais et \'etrangers. Recueillir les fonds, mettre tout cela en place et le faire
fonctionner, a demand\'e, m\^eme avec l'aide de sa c\'el\'ebrit\'e, une \'energie et une constance prodigieuses, sur une
p\'eriode de plus de vingt ans. Plus r\'ecemment il a accept\'e deux mandats de pr\'esident de l'Universit\'e de
Yamaguchi, sans doute par sens du devoir envers sa pr\'efecture d'origine.\par
Enfin il faut que je dise que son influence math\'ematique s'est exerc\'ee non seulement aux USA et au Japon, mais aussi
en Europe, particuli\`erement en France, en Espagne et en Italie, o\`u il a eu des disciples. L'\'ecole fran\c caise de
singularit\'es, \`a laquelle appartient Fr\'ed\'eric Pham qu'un colloque  honore cette semaine \`a  Nice, est essentiellement
form\'ee d'enfants et petits-enfants math\'ematiques, parfois communs, de Hironaka, Thom, et Zariski. \par
En ce qui concerne la France, lors de sa seconde visite \`a l'IHES au
d\'ebut de 1968, deux math\'ematiciens fran\c cais \^ag\'es
\`a l'\'epoque de 22 ans (il en avait 36), le rencontrant par hasard \`a la th\`ese d'un ami commun physicien, et le
trouvant sympathique sans savoir qui il \'etait (\`a leur question sur ses int\'er\^ets il avait r\'epondu ''je fais un peu
d'alg\`ebre commutative''), l'invit\`erent apr\`es quelques s\'eances de discussion
\`a se joindre
\`a eux pour un s\'ejour de travail avec quelques autres projet\'e en Scandinavie l'\'et\'e suivant. Il accepta aussit\^ot, et
cela donna un s\'ejour extraordinaire de trois semaines en Finlande en Juillet-Ao\^ut 1968, pendant lequel il expliqua
\`a une dizaine de jeunes math\'ematiciens et math\'ematiciennes et physiciens, majoritairement fran\c cais et parmi
lesquels se trouvait F. Pham, et un philosophe, ses premi\`eres id\'ees sur la r\'esolution des singularit\'es des espaces
analytiques complexes. Ce s\'ejour et les expos\'es de Hironaka qui le pr\'epar\`erent furent le d\'ebut d'une collaboration
intense qui se poursuivit en particulier
\`a Nice et Oslo en 1970,
\`a Harvard en 1970-71, Carg\`ese en 1972 et Pise en 1974, puis un peu partout. Cette histoire fait un peu sentir
comment Hironaka ajoute
\`a  ses qualit\'es math\'ematiques un ensemble de qualit\'es que ses amis connaissent bien: une curiosit\'e insatiable et
une g\'en\'erosit\'e in\'epuisable dans de tr\`es nombreux domaines, et en particulier ceux des id\'ees et des
\^etres humains, et enfin un sens de l'humour empreint de
tol\'erance, sur lequel je compte beaucoup lorsque je pense aux insuffisances de ce petit discours, qui n'a pu
qu'\'evoquer, au sens o\`u un Shaman \'evoque le monde des esprits, une \oe uvre math\'ematique majeure par sa
profondeur et ses cons\'equences.\par Je n'ai parl\'e que du pass\'e, laissant \`a Hironaka de d\'ecrire, s'il le d\'esire,
ses r\^eves pour l'avenir, dont je suis s\^ur qu'ils sont aussi passionnants et g\'en\'ereux que ceux qui l'ont conduit
jusqu'ici.


\par\medskip\centerline{B. Teissier}

\end{document}
