\magnification=1200
\def\m{{\bf m}} 
\def\P{{\bf P}}
\def\R{{\bf R}} 
\def\C{{\bf C}}
\def\Q{{\bf Q}}
\def\D{{\bf D}}
\def\a{\alpha}
   
\def\dessin#1#2#3{\vbox to #2%
  {\vfill\special{picture #3}\hrule width#1 height 0pt depth 0pt}}

\def\Diag{\def\normalbaselines{\baselineskip25pt\lineskip3pt\lineskiplimit3pt}%
        \matrix}
\def\hfleche#1#2{\smash{\mathop{\vbox{\hbox to 8.5mm{{#1}}}}\limits^{#2}}}
\def\vfleche#1#2{\bigg #1 \rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#2$}}$}}
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\def\insertion#1#2#3#4{ 
\largeur=#1 
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\vfill#4\vfill}}

\long\def\Insertion#1#2#3#4{\smallbreak 
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\ifnum\largeur<0 
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\vfill#4\vfill}\fi  }}

\def\Par{\hfil\vadjust{\vskip\parskip}\break\indent}

% Dessin au milieu: avec \insertion, et justifi\'e \`a gauche avec \Insertion
% les arguments sont les dimensions du cadre en mm, \'echelle 800=80%
%le texte vient en derni\`ere accolade.
\centerline {\bf AUTOUR D'UNE QUESTION DE MICHEL HERMAN}\vskip.1in
\centerline {par Bernard Teissier}\vskip.2in\noindent \it Version
provisoire, ne pr\'etendant pas donner une preuve compl\`ete\footnote*{version de F\'evrier
1992 } \rm\vskip.2in Soit $f(z_1,\ldots , z_n)=0$ une \'equation pour un germe
d'hypersurface analytique r\'eelle poss\'edant la propri\'et\'e suivante:\par\noindent
\it Dans un voisinage de $0$ la famille $f=\lambda$ est topologiquement
triviale pour $\vert \lambda\vert$ assez petit. \rm\par Michel
Herman a demand\'e si \par\noindent\it Il existe alors un voisinage $U$ de $0$ et une
d\'eformation $f(z_1,\ldots , z_n)+vg(v; z_1,\ldots , z_n)$ de $f$ telle que pour $v\neq 0$
(et assez petit) la fonction $F_v(z_1,\ldots , z_n)=f(z_1,\ldots , z_n)+vg(v;
z_1,\ldots , z_n)$ n'ait aucun point critique dans $U$
\rm. \par Je donne ici les grandes lignes d'une d\'emonstration
dans le cas o\`u la singularit\'e de $f$ en $0$ est alg\'ebriquement
isol\'ee.\par \vskip.2in \noindent {\bf 1. G\'en\'eralit\'es}\par\vskip.1in Soit
$f$ une s\'erie convergente en $n$ variables \`a singularit\'e 
alg\'ebriquement isol\'ee en $0$, c'est \`a dire que l'id\'eal jacobien $j(f)=
({\partial f\over \partial z_1},\ldots ,{\partial f\over \partial z_n})$ est un
espace vectoriel de codimension finie dans l'anneau des s\'eries 
convergentes. On note $\mu$ cette codimension;  $\mu = \hbox {dim}_{\bf R}
{\bf R}\lbrace z_1,\ldots , z_n \rbrace /j(f)$ .  On consid\`ere un
d\'eploiement de $f$, disons  $$\lambda = f(z_1,\ldots ,
z_n)+\sum_{k=1}^{\mu -1}t_kg_k(z_1,\ldots , z_n)$$ qui est miniversel si les
images des fonctions $1,g_1, \ldots , g_{\mu -1}$ forment une base de
l'espace vectoriel ${\bf R}\lbrace  z_1,\ldots , z_n \rbrace/j(f)$, ce que nous
supposerons d\'esormais. Cette fonction des variables $z\in {\bf R}^n$ et
$t\in {\bf R}^{\mu -1}$, jointe au morphisme identit\'e de ${\bf R}^{\mu -1}$,
d\'efinit alors un germe de morphisme stable $F\colon {\bf R}^n\times {\bf
R}^{\mu -1} \to {\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1}$. D'apr\`es ([13], Chap. 3) le lieu critique
$C\subset {\bf R}^n\times {\bf R}^{\mu -1}$ est non singulier et de dimension
$\mu -1$ dans ce cas, et le morphisme $\nu \colon C\to F(C)$ induit par $F$ sur
$C$ est fini sur son image $F(C)$, qui est une hypersurface de $ {\bf R}\times
{\bf R}^{\mu -1}$ not\'ee $D$ et appel\'ee \it discriminant \rm de $F$.
D'apr\`es \it loc.cit.\rm, le cone tangent de $D$ en $0$ est ensemblistement
\'egal \`a l'hyperplan $\lambda =0$. \par Dans le cas o\`u l'on a $\mu =1$, la
fonction $f$ a en z\'ero une singularit\'e quadratique ordinaire et peut \^etre
\'ecrite dans des coordonn\'ees convenables $f=-\sum
_1^ix_k^2+\sum_{i+1}^nx_k^2$ o\`u l'entier $i$, nombre des valeurs propres
n\'egatives du hessien de $f$ en $0$, est l'\it indice \rm du point critique
quadratique ordinaire $0$ de $f$. Il est impossible que la famille $f=\lambda$
soit topologiquement triviale; c'est m\^eme ce fait qui est \`a la base de la
th\'eorie de Morse. \par Dans tout ce qui suit, nous supposons donc $\mu
\geq 2$, nous nous pla\c cons dans un repr\'esentant assez petit du germe
$F$, et les notations  telles que ${\bf R}^{\mu -1}$, etc.. d\'esignent en
fait un voisinage de $0$ dans ${\bf R}^{\mu -1}$. Plus
pr\'ecis\'ement, d'apr\`es les r\'esultats g\'en\'eraux de Thom et
Mather (\it cf \rm [7]), le morphisme $F$ peut \^etre stratifi\'e
avec la condition de Thom et cela implique d'apr\`es l'ouverture de
la transversalit\'e l'existence de polycylindres $U= {\bf \Delta}_n\times
{\bf \Delta}_{\mu -1} \subset  {\bf R}^n\times {\bf R}^{\mu -1}$ et
$V={\bf \Delta}_1\times {\bf \Delta}_{\mu -1} \subset {\bf R}\times {\bf
R}^{\mu -1}$ tels que $F^{-1}(V)\cap U$ soit un voisinage de $0$ dans lequel
le lieu critique $C$ est non singulier et v\'erifie $C\cap (\delta {\bf
\Delta}_n\times {\bf \Delta}_{\mu -1}) =\emptyset$, les seuls points
critiques de $F$ qui apparaissent sont ceux qui tendent vers $0$ lorsque $t$
tend vers $0$, et chacune des fibres $F^{-1}(t,\lambda)$ pour $(t,\lambda)\in V$ est
transverse \`a $\delta {\bf \Delta}_n\times \lbrace t\rbrace$. Toutes
les modifications que nous ferons induiront l'identit\'e sur le bord de $U$.  
\par Nous allons nous int\'eresser au degr\'e topologique du morphisme 
$p\circ \nu\  \colon C\to {\bf R}^{\mu -1}$ induit sur $C$ par le compos\'e $p\circ \nu$
de la projection  $p\colon {\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1} \to {\bf R}^{\mu -1}$ et de 
$F$. Soit $B \subset {\bf R}^{\mu -1}$ le discriminant de la projection de $D$
sur ${\bf R}^{\mu -1}$; au voisinage de $0$, c'est un sous-ensemble
semi-analytique de ${\bf R}^{\mu -1}$. Pour $t\in {\bf R}^{\mu -1} \setminus B$ 
la fonction $F_t=f(z_1,\ldots , z_n)+\sum_1^{\mu -1}t_ig_i(z_1,\ldots , z_n)$ n'a que des
points critiques quadratiques, \`a valeurs critiques distinctes, dont le nombre
et l'indice sont constants lorsque $t$ parcourt une composante connexe de
${\bf R}^{\mu -1} \setminus B$. Lorsque $\lambda_0\in {\bf \Delta}_1\times \lbrace t\rbrace$
est plus grand que la plus grande des valeurs critiques correspondantes
$\lambda_{max}(t)$ (resp. plus petit que la plus petite $\lambda_{min}(t)$),
la fibre $f(z_1,\ldots , z_n)+\sum_1^{\mu -1}t_ig_i(z_1,\ldots ,
z_n)=\lambda_0$ est diff\'eomorphe \`a la fibre $f(z_1,\ldots ,
z_n)=\lambda$ pour $\lambda >0$ (resp. pour $\lambda <0$). Nous noterons
$X_{t,\lambda}$ la fibre $F^{-1}(t,\lambda)\cap ({\bf
\Delta}_n\times \lbrace t\rbrace)$ .\par\noindent 
 \Insertion{70}{55}{discrim scaled 800}{ }
\vskip .2in  
\noindent
On sait gr\^ace au th\'eor\`eme de pr\'eparation de Weierstrass qu'un germe
de fonction analytique r\'eelle sur ${\bf R}^n$ singulier en $0$ admet, dans
des coordonn\'ees convenables, une \'ecriture de la forme $$f=-\sum
_{k=1}^iz_k^2\ +\ \sum_{i +1}^m z_k^2+f_1(z_{m+1},\ldots , z_n) \ \hbox
{avec} \ f_1(z_{m+1},\ldots , z_n)\in
(z_{m+1},\ldots , z_n)^3 $$  Posons $n_1(f)=n-m$ et
$m_1(f)=n_1(f)+i$; ces nombres ne d\'ependent que du type
analytique de $f$ en $0$. On a alors \par\noindent\vskip.1in {\bf
Proposition 1}.- \it a) Pour $t\in {\bf R}^{\mu -1} \setminus B$
(et assez proche de $0$) les nombres $N_i$ $(=\ N_i(t)\ )$ des points critiques quadratiques
d'indice $i$ dans ${\bf \Delta}_n$ de la fonction $$F_t(z_1,\ldots , z_n) =f(z_1,\ldots ,
z_n)+\sum_{k=1}^{\mu -1}t_kg_k(z_1,\ldots , z_n)$$ qui n'a que des singularit\'es quadratiques
ordinaires et le degr\'e topologique de $p\circ \nu\colon C
\to {\bf R}^{\mu -1} $ satisfont l'\'egalit\'e $${\rm deg}\ p\circ \nu\
= \ (-1)^{m_1(f)} \sum_{i=0}^n(-1)^iN_i\  .$$ \par\vskip.1in \noindent b) La diff\'erence des 
caract\'eristiques d'Euler-Poincar\'e de $X_{t,\lambda}$ pour $\lambda_+ >\lambda_{max}(t)$
et pour $\lambda_- <\lambda_{min}(t)$ est  $$\eqalign {\chi
(X_{t,\lambda_+})-\chi (X_{t,\lambda_-})=&\ \ 2\sum_{i=0}^n(-1)^iN_i \ \
\hbox{si n est impair},\cr \chi (X_{t,\lambda_+})-\chi (X_{t,\lambda_-})=&\ \
0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  \hbox{si n est pair}}$$    \rm
\par\noindent\vskip.1in \it Remarques \rm 1) Ceci est la version r\'eelle du
r\'esultat bien connu pour la situation analogue en  g\'eom\'etrie analytique
complexe ({\it cf \rm [13], Chap. 3) selon lequel le degr\'e de la projection du
discriminant sur ${\bf C}^{\mu -1}$ est \'egal au nombre de Milnor $\mu$ de
$f$ en $0$, qui est donc aussi le nombre des points critiques quadratiques
d'une morsification de $f$, et la caract\'eristique d'Euler-Poincar\'e d'une
fibre $X_{t,\lambda}$ non singuli\`ere est $1+(-1)^{n-1}\mu$ (\it cf \rm 
[8]).\par
2) La partie b) de la proposition est proche d'un lemme
d'Arnol'd dans [1] (voir plus bas).\par\noindent\vskip.1in
 Corollaire 1.- \it
Les indices des points critiques  d'une morsification locale d'une fonction $f$
\`a singularit\'e alg\'ebriquement isol\'ee
 v\'erifient l'in\'egalit\'e 
$$\vert \sum_{i=0}^n(-1)^iN_i \vert \leq \mu^{1-{1\over {n_1(f)}}}$$ et la somme
de gauche est nulle dans le cas $\mu =2$. \rm \noindent \vskip.1in
 Corollaire 2.- \it Si la
famille $f=\lambda$ est topologiquement triviale au voisinage de $0$, on a
l'\'egalit\'e $${\rm deg}\ p\circ \nu=0\ .$$ 
\par\noindent\vskip.1in \rm D\'emontrons la
Proposition 1: Comme il est expliqu\'e dans [13], la g\'eom\'etrie du
morphisme $p\circ \nu$ ne change pas si l'on remplace $f$ par $f_1$.
Supposons donc d'abord que $f$ est dans ${\bf m}^3$; on peut alors (\it
loc.cit.  \rm) choisir $g_k=z_k \ {\rm pour}\  1\leq k\leq n$. On choisit alors
comme coordonn\'ees sur le lieu critique $C$ $(z_1,\ldots , z_n,t_{n+1},
\ldots , t_{\mu -1})$ et le morphisme $p\circ \nu$ admet l'\'ecriture suivante:
$$\eqalign {  t_j=&-({\partial f \over \partial z_j}(z_1,\ldots ,
z_n)+\sum_{k=n+1}^{\mu -1}t_k{\partial {g_k} \over \partial z_j}(z_1,\ldots
, z_n))\ \  {\rm pour}\ \ \  1\leq j\leq n,\cr t_j=&t_j \ \  {\rm pour}\ \ \ 
n+1\leq j\leq \mu -1}$$  on en d\'eduit aussit\^ot que \it l'on a entre  la matrice
jacobienne $\hbox {Jac} _x(p\circ \nu)$ du morphisme $p\circ \nu$ en un point
$x$ de $C$ et la hessienne $H_x(F)$ de $F$ en $x$
(par rapport aux variables $z_1,\ldots , z_n$) en ce point la relation $$\hbox {Jac} _x(p\circ
\nu)=\left(\matrix{-H_x(F)&{\bf 0}\cr {\bf 0}&{\bf Id}_{\mu -1-n}\cr}\right).$$
 \rm d'o\`u apr\`es passage aux d\'eterminants les \'egalit\'es 
$$\hbox {jac} _x(p\circ \nu)=(-1)^n h_x(F)$$ et donc $$\hbox {signe}
(\hbox {jac}_x(p\circ \nu))= (-1)^n (-1)^{\hbox {index} (H_x(F))}$$Le a) de la
proposition 1 r\'esulte alors d'un r\'earrangement des termes et de l'\'etude
de la variation du hessien de $F$ lors du remplacement de $f$ par $f\pm
w^2$. \par\noindent Le point b) est une cons\'equence bien connue de la
th\'eorie de Morse (\it cf  \rm  [4], Chap. 13, exerc. 2.12, page
191), appliqu\'ee \`a la fonction $F_t(z)=F(z,t)$ (pour $t$ fix\'e)
dans ${\bf \Delta}_n$.\par \vskip.2in Pour d\'emontrer le
corollaire 1 on utilise le fait d\'ej\`a rappel\'e que
 le degr\'e du morphisme complexifi\'e de $p\circ \nu$ est \'egal \`a $\mu$; on peut d'autre part
remplacer $f$ par $f_1$ et donc supposer $f\in {\bf m}^3$ et $n_1(f)=n$. On observe alors que la
restriction de $p\circ \nu$ au sous-espace non singulier de $C$ d\'efini par $t_{n+1}=\cdots =t_{\mu
-1}=0$ est encore de degr\'e alg\'ebrique $\mu$ sur son image et que le sous espace de $\R^{\mu
-1}$ d\'efini par $t_{n+1}=\cdots =t_{\mu
-1}=0$ n'est pas contenu dans $B$ (c'est \'equivalent au fait que le morphisme fini
$\hbox{grad}f\colon \R^n\to \R^n$ est un rev\^etement \'etale au dessus du
compl\'ementaire d'une hypersurface, ce qui r\'esulte du th\'eor\`eme de lissit\'e
g\'en\'erique), et on applique l'in\'egalit\'e de [3]. Le cas o\`u $\mu =2$ se ram\`ene \`a
celui de $f(z)=z^3$ et se v\'erifie par un calcul direct.\par\vskip .2in  D\'emontrons le
corollaire 2: il r\'esulte aussit\^ot de la proposition lorsque $n$ est impair et pour y
ramener le cas o\`u $n$ est pair, d'apr\`es les remarques d\'ej\`a faites, il suffit de
prouver le \par\noindent\vskip.1in  Lemme.- \it Si la famille $f(z_1,\ldots ,
z_n)=\lambda$ est  topologiquement triviale au voisinage de $0$, il en est de m\^eme de
la famille  $f(z_1,\ldots , z_n)+w^2=\lambda$.\rm\par\vskip.1in En effet, si l'on se donne
deux valeurs $\lambda, \lambda'$ assez petites, les fibres correspondantes de la fonction
$f+w^2$ s'\'ecrivent  $$\bigcup_w \lbrace (z,w)/f(z)=\lambda -w^2\rbrace \ \ \hbox
{et}\ \  \bigcup_w \lbrace (z,w)/f(z)=\lambda' -w^2\rbrace$$ o\`u $w$ parcourt un
intervalle assez petit par rapport aux valeurs de $\lambda$. D'apr\`es l'hypoth\`ese
l'hom\'eomorphisme $h_{\lambda,\lambda',w}$ qui envoie $\lbrace z/f(z)=\lambda
-w^2\rbrace $ sur $\lbrace z/f(z)=\lambda' -w^2\rbrace $ d\'epend contin\^ument de
$w,\lambda,\lambda'$ et par cons\'equent $(z,w)\mapsto
(h_{\lambda,\lambda',w}(z),w)$ d\'efinit un hom\'eomorphisme ayant les propri\'et\'es
requises.\par\vskip.4in \noindent {\bf 2. Esquisse de preuve}\par\vskip.1in Pour
r\'epondre positivement \`a la question d'Herman, il suffit de montrer que si la famille
$f=\lambda$ est localement topologiquement triviale, la projection de $D$
sur  ${\bf R}^{\mu -1}$ n'est pas surjective au voisinage de $0$ (ce qui
\'equivaut \`a dire que $p\circ \nu$ n'est pas surjectif). En effet il existera
alors, d'apr\`es le lemme des petits chemins, un arc analytique dans ${\bf
R}^{\mu -1}$ dont aucun point hormis $0$ n'est dans l'image de $D$. La
famille $G(z,v)$ de fonctions correspondante satisfait $G(z,0)=f$ et $G(z,v_0)$
est sans point critique dans ${\bf \Delta}_n$ pour $v_0\neq 0$. Le corollaire
2  nous dit que la condition n\'ec\'essaire $\hbox {deg}\  p\circ \nu=0$ est
r\'ealis\'ee. Nous allons utiliser le fait que cela \'equivaut \`a l'\'egalit\'e
$\sum_{i=0}^n(-1)^iN_i=0$ pour tout $t\in {\bf R}^{\mu -1}\setminus B$ pour
construire des points de ${\bf R}^{\mu -1}$ hors de l'image de $p\circ
\nu$.\par  Les deux points cruciaux sont la version locale (et pas seulement
germique) du\break th\'eor\`eme du d\'eploiement versel, due \`a
Sergeraert et Lassalle ({\it cf} [9] et [6]), et la m\'ethode d'\'elimination de
couples de points critiques du th\'eor\`eme du h-cobordisme. Il faut y
ajouter le  fait que les \'eliminations de points critiques se font en restant
dans un voisinage bien choisi de $f$ dans ${\cal C}^\infty ({\bf \Delta}_n, {\bf
R})$. \par On remarque d'abord qu'\`a cause de la th\'eorie du  d\'eploiement
versel , il suffit de s'assurer dans le cas diff\'erentiable que $p\circ \nu$
n'est pas surjectif. En effet puisque nous avons suppos\'e que $f$ est \`a
singularit\'e alg\'ebriquement isol\'ee, son d\'eploiement versel
diff\'erentiable coincide avec son d\'eploiement versel analytique. Nous
pouvons donc consid\'erer le\break d\'eploiement versel de $f$ comme une
section transversale au voisinage de $f$ de l'orbite de $f$ sous l'action de
$\hbox{Diff}({\bf R}^n)$ sur ${\cal C}^\infty({\bf
R}^n,{\bf R})$. Plus pr\'ecis\'ement, d'apr\`es [9] et [6], il existe des  un voisinage $U$ de $f$
dans ${\cal C}^\infty({\bf R}^n,{\bf R})$ (pour la topologie ${\cal C}^\infty$ fine, \it cf. \rm loc.
cit.) et des applications continues $\phi$ et $\psi$ de $U$ dans $\hbox{Diff}({\bf R}^n)$ telles
que pour tout $f'\in U$ il existe des point $t$ et $u$ de $\R^{\mu -1}$ tels que l'on ait :
$$f'=f\circ \phi (f')+t=(f+u)\circ \psi (f') .$$ 
L'\'etape suivante est de v\'erifier que les m\'ethodes
d'\'elimination des points critiques d\'ecrites dans le livre [2] de Cerf et Gramain sur le
h-cobordisme se localisent. On part alors d'un point $t_0\in {\bf R}^{\mu -1}\setminus B$ et on
\'elimine successivement les points critiques de la fonction $F_{t_0}$. Grace \`a la structure
localement conique de $B$, on peut supposer sans changer le type diff\'erentiable de
l'application $F_{t_0}\colon {\bf \Delta}_n\to {\bf R}$ que $t_0$ est arbitrairement proche de
$0$, et la construction explicite de [2] devrait permettre de voir que les semi-normes dans ${\cal
C}^\infty$ de la perturbation de $F_{t_0}$ qui croise ou \'elimine les points critiques
sont h\"old\'eriennes par rapport \`a la distance maximale dans ${\bf R}^n$ des points critiques
de la fonction $F_{t_0}$, et cette distance maximale est elle-m\^eme une fonction h\"old\'erienne de
$t_0$ puisque le morphisme $p\circ \nu$ est fini.\par

Plus pr\'ecis\'ement, en \'etudiant le diff\'eomorphisme local $\varphi \colon \R^n \to
F_{t_0}^{-1}({\bf \Delta}_1)\cap {\bf \Delta}_n$ qui met la fonction $F_{t_0}$ sous forme
normale au voisinage d'un de ses points critiques , on voit que dans le
diagramme  $$\Diag{{\underline{\underline M}}
&\hfleche\rightarrowfill{\varphi}& F_{t_0}^{-1}({\bf \Delta}_1\times \lbrace t_0\rbrace) \cr
\vfleche\downarrow{h}&&\vfleche\downarrow{F_{t_0}}\cr[-1,1]&\hfleche\rightarrowfill
{\varphi'}&{\bf \Delta}_1\times \lbrace t_0\rbrace\cr }$$ o\`u $h$ est la
forme normale d'un point critique quadratique d'indice $i$, en choisissant pour
$\varphi'$ la multiplication par la valeur absolue du produit des d\'eterminants extraits
du Hessien de $F_{t_0}$ au point critique et intervenant dans le processus de
diagonalisation associ\'e \`a la matrice Hessienne, le calcul donne pour chaque $t$ dans
la m\^eme composante connexe de $\R^{\mu -1}\setminus B$ un
diff\'eomorphisme local $\varphi$ tel que ce diagramme soit un plongement du
mod\`ele au sens de \it loc. cit. \rm p. II.12 adapt\'e \`a $f$ au point critique
consid\'er\'e et tel que toutes les op\'erations qui y sont d\'ecrites sur le mod\`ele
canonique se transportent en des perturbations de $F_{t_0}$ qui sont petites avec $t_0$. La
stabilit\'e de $F$ implique que les conditions de transversalit\'e des nappes
ascendantes et descendantes n\'ec\'essaires pour croiser et \'eliminer les points
critiques sont bien r\'ealis\'ees, et la contractilit\'e de $F_{t_0}^{-1}({\bf \Delta}_1\times
\lbrace t_0 \rbrace)\cap {\bf \Delta}_n$ implique l'unicit\'e du point d'intersection des
nappes montantes et descendantes associ\'ees \`a des points critiques cons\'ecutifs
d'indices cons\'ecutifs.   \par L'ouverture de la versalit\'e qui r\'esulte du
th\'eor\`eme de Sergeraert et Lassalle implique que, apr\`es un choix de $t_0$
assez petit, les \'eliminations et les croisements de points critiques peuvent
\^etre r\'ealis\'es au moyen de chemins contenus dans l'intersection avec 
${\bf R}^{\mu -1}$ de  l'ouvert $V$ fix\'e au d\'ebut.  Lorsque tous les points
critiques ont \'et\'e \'elimin\'es on a un point de $V$ repr\'esentant une fonction sans point
critique et dont l'orbite sous $\hbox{Diff}({\bf R}^n)$ rencontre ${\bf R}^{\mu -1}$ en un point
$t$ qui est hors de l'image de $D$ et on a termin\'e. Il n'y a pas d'obstruction de dimension
parce qu'on peut ajouter les carr\'es de nouvelles variables sans changer le discriminant ni le
morphisme $p\circ \nu$, et il n'y a pas d'obstruction topologique parce que l'hypoth\`ese
implique que toutes les fibres $f=\lambda$ sont contractiles, puisque c'est le cas pour $f=0$. La
condition num\'erique $\hbox {deg}\  p\circ \nu =0$ ci-dessus est exactement, d'apr\`es le a)
de la proposition 1, celle qu'il faut pour que l'on puisse \'eliminer successivement \it tous \rm
les points critiques selon la m\'ethode expos\'ee dans [2], d'o\`u le r\'esultat. Il faut par contre
v\'erifier que la preuve de Sergeraert et Lassalle s'adapte bien au cas du groupe ${\cal C}^\infty
({\bf \Delta}_n)$. \par\vskip.1in\noindent Remarques.- 1) On peut se demander si inversement
une fonction $f$ qui admet un \break d\'eploiement $f+vg$ sans point critique dans un
voisinage de $0$ est telle que le feuilletage $f=\lambda$ soit topologiquement trivial au
voisinage de $0$. Comme me l'a fait remarquer J.J. Risler, lorsque $n=2$ la condition implique
que toutes les fibres sont contractiles puisqu'un ovale contient n\'ecessairement un point
critique.\par 2) Appelons \it indice de $f$ en $0$,\rm et notons $\hbox {ind}_0f$ le degr\'e,
pour $\epsilon \ >0$ assez petit et non nul, de l'application ${{\hbox {grad} f}\over {\| \hbox
{grad} f}\|} \colon {\bf S}^{n-1}_\epsilon \to {\bf S}^{n-1}$, o\`u ${\bf S}^{n-1}_\epsilon$
d\'esigne la sph\`ere de centre $0$ et de rayon $\epsilon$. \it On a l'\'egalit\'e $$ {\rm
ind}_0f= (-1)^{n_1(f)} {\rm deg} \  p\circ \nu$$ \rm En effet, l'addition \`a
$f$ de $\pm w^2$, o\`u $w$ est une nouvelle variable, multiplie le degr\'e de
${{\hbox {grad} f}\over {\| \hbox {grad} f}\|}$ par $\pm1$; on peut donc
supposer $f\in {\bf m}^3$ et comme on l'a vu on peut se restreindre au
dessus du sous espace de ${\bf R}^{\mu -1}$ d\'efini par $t_{n+1}=\cdots
=t_{\mu-1}=0$. Le morphisme d\'eduit de $p\circ \nu$ par cette restriction
est le morphisme de $\R^n$ dans $\R^n$ d\'ecrit par $$t_i=-{\partial f\over
\partial {z_i}}$$ et a m\^eme degr\'e que $p\circ \nu$ \`a cause de la forme
de la matrice $\hbox {Jac} _x(p\circ \nu)$ . Un calcul facile montre que son
degr\'e est aussi celui de  $-{{\hbox{grad} f}\over {\| \hbox{grad} f}\|} $,
d'o\`u le r\'esultat. Apr\`es cette remarque, la partie b) de la Proposition 1
est bien un avatar du premier lemme du \S 2 de [1]. \par 3) L'hypoth\`ese que la
fonction $f$ soit \`a singularit\'e alg\'ebriquement isol\'ee est indispensable comme le
montre l'exemple suivant tir\'e de [10] : la fonction $f= z_1^3-3z_1(z_2^2+z_3^2)$ sur
$\R^3$ a en $0$ une singularit\'e isol\'ee au sens r\'eel, elle satisfait ${\rm ind}_0f=0$
mais aucune de ses petites d\'eformations n'est sans point critique dans un voisinage
fix\'e de $0$. Pour le voir, il suffit de consid\'erer la g\'eom\'etrie de l'application ${\rm
grad}f$, dont on v\'erifie par un petit calcul qu'elle est de degr\'e $0$, et d'autre part le
lieu critique $({\rm grad}f)^{-1}(0)$ appara\^\i t ensemblistement comme l'intersection
d'un c\^one quadratique et d'un hyperplan le rencontrant seulement en son sommet.
Aucune perturbation de cette configuration ne peut \^etre vide, et donc tout
d\'eploiement de $f$ a des points critiques au voisinage de $0$, en fait souvent une
courbe de points critiques. Le point ici est que la singularit\'e n'est pas alg\'ebriquement
isol\'ee,  l'id\'eal jacobien de $f$ n'est pas une intersection compl\`ete, et les
consid\'erations de degr\'e n'ont pas de sens. \par 4) Le r\'esultat n'est
plus vrai si l'on se place dans le cadre des fonctions de classe ${\cal C}^k$
(\it cf \rm [5] et [11]). On peut se l'expliquer par la perte de diff\'erentiabilit\'e dans le
th\'eor\`eme de division, qui affecte le th\'eor\`eme du d\'eploiement versel.
\par\vskip.2in \it Je remercie Adrien Douady pour m'avoir transmis cette question  avec
vivacit\'e lors de la f\^ete en l'honneur de Haefliger et Kervaire \`a Gen\`eve en Avril
1990, et Andr\'e Gramain pour ses explications limpides de [2].\rm \vskip.4in  \noindent
{\bf 3. Appendice 1: L'indice comme nombre de Milnor r\'eel}\par\vskip.1in 
A un \'el\'ement $f\in \R \lbrace x_0,\ldots , x_n\rbrace$ ayant une singularit\'e isol\'ee \`a
l'origine, on peut associer le nombre $\mu_\R(f,0)=\hbox{ind}_0f=(-1)^{n_1(f)}\hbox{deg}\
p\circ \nu$; montrons qu'il se comporte comme une version r\'eelle du nombre de Milnor
complexe:\par\noindent
a) C'est un invariant du type topologique en $0$ de $f$\par\noindent
b) On a pour la somme $\oplus$ de Thom-Sebastiani $\mu_\R(f\oplus
g,0)=\mu_\R(f,0)\mu_\R(g,0)$\par\vskip.5truecm\noindent
 {\bf 4. Appendice 2: retour sur la
r\`egle des phases de Gibbs}\par\vskip.1in Soit $T_0$ la strate de $0\in {\bf R}^{\mu}$ dans une
stratification de Thom du d\'eploiement versel $F$, et soit $\nu (F)$ le nombre maximum de
minima non d\'eg\'en\'er\'es que peut pr\'esenter une fonction $F_t$, pour $t\in {\bf R}^{\mu
-1}$ arbitrairement proche de $0$. Thom avait demand\'e dans ([16], p.227) si l'on avait
l'in\'egalit\'e $$\nu (F)\leq \hbox{codim}_{{\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1}}T_0$$ Selon ses
postulats, le terme de gauche repr\'esente le nombre $\phi$ des phases pouvant coexister dans
un syst\`eme r\'egi par un potentiel $F_t$ et le terme de droite repr\'esente $k+1$ o\`u $k$ est
le nombre des param\`etres dont d\'epend effectivement le syst\`eme, puisque la famille des
fonctions $F_t$ est topologiquement triviale lorsque $t$ parcourt l'image $T$ de $T_0$ dans 
${\bf R}^{\mu -1}$, qui est de codimension $\hbox{codim}_{{\bf R}\times {\bf R}^{\mu
-1}}T_0-1$ dans ${\bf R}^{\mu -1}$; le nombre $k$ est donc le nombre des param\`etres
topologiques de la situation. \par L'in\'egalit\'e ci-dessus traduit donc celle-ci: $$\phi \leq
k+1$$ qui est essentiellement la r\`egle des phases des thermodynamiciens.\par\noindent
J'avais donn\'e dans [14] (voir aussi [15]) une esquisse de d\'emonstration de l'in\'egalit\'e
demand\'ee par Thom, d\'emonstration dont la partie incompl\`ete \'etait la justification du fait
que l'on pouvait par des croisements de points critiques trouver dans un voisinage arbitraire de
$0$ des points $t\in {\bf R}^{\mu -1}\setminus B$ tels que la fonction $F_t$ ait tous ses minima
au m\^eme niveau. L'argument de continuit\'e expos\'e ci-dessus et s'appuyant sur les
pr\'esentations explicites de [2] et le th\'eor\`eme de Sergeraert et Lassalle permet de montrer
exactement comme plus haut qu'en partant de $t\in {\bf R}^{\mu -1}\setminus B$ assez proche
de $0$ il est possible de construire par croisement de points critiques un point $t'$ contenu
dans un voisinage de $0$ donn\'e \`a l'avance et ayant la propri\'et\'e requise. Ici aussi il faut
pour se lib\'erer des conditions de dimension, remarquer que le probl\`eme ne change pas si
l'on remplace $f$ par $f+w^2$.\par\noindent Pour la commodit\'e du lecteur j'indique le reste
de la d\'emonstration:\par On introduit un invariant du morphisme $F$, not\'e $\delta (F)$ et
qui est \it le nombre maximum de points critiques d'une fonction $F_t$  contenus dans une
m\^eme fibre de celle-ci \rm  lorsqu'on laisse $t$ parcourir un voisinage assez petit de $0$. 
L'in\'egalit\'e voulue est obtenue en composant les deux in\'egalit\'es $$\nu (F) \leq \delta
(F)\leq \hbox{codim}_{{\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1}}T_0$$\vskip.1in\noindent La premi\`ere
in\'egalit\'e r\'esulte aussit\^ot de ce qui pr\'ec\`ede, et la seconde est \'etablie comme
ceci:\par\noindent D'apr\`es le th\'eor\`eme de d\'ecomposition en produit dans les
d\'eploiements versels de ([13], Chap. 3), l'entier $\delta (F)$ est \'egal au plus grand
entier $a$ tel que l'origine de ${\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1}$ soit adh\'erente \`a
l'ensemble $\hbox{Croix}_a(D)$ des points du discriminant $D$ de $F$ au voisinage
desquels $D$ est isomorphe \`a la r\'eunion de $a$ hypersurfaces non singuli\`eres en
position g\'en\'erale. Remarquons que par sa d\'efinition m\^eme, le sous ensemble
$\hbox{Croix}_a (F)$ de ${\bf R}\times {\bf R}^{\mu -1}$ est semi-analytique et de
codimension $a$. Puisque par d\'efinition le morphisme $F$ est topologiquement trivial
(au sens des morphismes stratifi\'es) le long de $T_0$, l'hypersurface $D$ est, localement
en $0$, topologiquement triviale le long de $T_0$. Or le fait pour un point de $D$
d'appartenir \`a $\hbox{Croix}_a(D)$ est clairement une condition invariante par
hom\'eomorphisme stratifi\'e, ce qui implique que l'on a l'inclusion $$T_0\subset
\overline{\hbox{Croix}_{\delta (F)}(D)}$$ et la seconde in\'egalit\'e d'apr\`es la remarque
sur la codimension de $\hbox{Croix}_a(D)$.

\vskip.4in
\centerline {\bf R\'ef\'erences}
\vskip.2in
\noindent
[1] Vladimir I. Arnol'd, Index of a singular point of a vector field, the
Petrovski-Oleinik inequality and mixed Hodge structures. \it Funkt. Ana. i
Pril., \rm {\bf 12}, 1, (1978), 1-14.\par\noindent
[2] Jean Cerf et Andr\'e Gramain : \it Le th\'eor\`eme du h-cobordisme
(Smale)\rm , Secr\'etariat \break math\'ematique de l'Ecole normale
sup\'erieure, 45 rue d'Ulm, 75005 Paris, 1968.\par\noindent 
[3] David Eisenbud et Harold Levine, An algebraic formula for the degree of a
${\cal C}^\infty$ map-germ, \it  Annals of Math. \rm {\bf 106} (1977),
1-38.\par\noindent    
[4] Claude Godbillon, \it El\'ements de topologie alg\'ebrique\rm, Hermann,
Paris 1971. \par\noindent 
[5] Henry King, The number of critical points in Morse approximations, \it Compositio
Mathematica, \rm {\bf 34} , 3 , 1977, 285-288.\par\noindent  
[6] G. Lassalle, D\'eploiement universel
d'une application de codimension finie, \it Annales Sci. E.N.S., \rm {\bf 7} (1974),
219-234. \par\noindent   
[7] John Mather, How to stratify mappings and jet
spaces, in \it Plans sur Bex 1975, \rm Springer Lecture Notes No. 535 (1976),
128-176.   \par\noindent 
[8] John Milnor, \it Singular points of complex hypersurfaces\rm , Princeton
University Press 1968  \par\noindent  
[9] Francis Sergeraert, Un th\'eor\`eme de fonctions implicites sur certains
espaces de Fr\'echet,..\break \it Annales Sci. E.N.S., \rm {\bf 5} (1972),
599-660.\par\noindent 
[10] Carl Simon and Charles Titus, fixed point index of symplectic maps, in \it
G\'eom\'etrie symplectique et physique math\'ematique, \rm J.-M. Souriau, \'ed.,
Editions du C.N.R.S., Paris 1975.\par\noindent 
 [11] Carl Simon and Charles Titus, The removal of index
zero critical points of real analytic functions on ${\R}^2$, I., regular functions of odd
order.\it Preprint, University of Michigan, 1978.\rm\par\noindent 
[12] Carl Simon and Charles Titus, perturbations of degenerate singularities, in \it
Dynamical systems II, \rm Academic Press 1982.\par\noindent
 [13] Bernard Teissier, Cycles \'evanescents, sections planes, et conditions
de Whitney, \it Singularit\'es \`a Cargese \rm, Ast\'erisque, S.M.F., 1973,
p.285-362.\par\noindent     
[14] Bernard Teissier, Sur la version catastrophique de la
r\`egle des phases de Gibbs et l'invariant $\delta $ des singularit\'es d'hypersurfaces, \it
Rencontre de Carg\`ese sur les singularit\'es et leurs applications (1975)  \rm
D\'epartement de Math\'ematiques, Universit\'e de Nice,
1976.\par\noindent   
[15] Bernard Teissier, the hunting of invariants in the
geometry of discriminants, \it Nordic Summer School, Oslo 1976 \rm ,  
Sijthoff and Noordhof 1977.\par\noindent  
[16] Ren\'e Thom, \it Mod\`eles
math\'ematiques de la morphog\'en\`ese\rm , Christian Bourgois, Paris 1980.


\end