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\newtheorem{theorem}{Th\'eor\`eme}[section]
\newtheorem{lemma}[theorem]{Lemme}
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\newtheorem{defini}[theorem]{D\'efinition}
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\newenvironment{preuve}{{\noindent \small \sc Preuve.} }{\mbox{ }\hfill$\Box$  
                                                                \vspace{1.5ex} \par}
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\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

      \def\Diag{\def\normalbaselines{\baselineskip25pt
        \lineskip3pt\lineskiplimit3pt}\matrix}
        \def\hfleche#1#2{\smash{\mathop{\vbox
        {\hbox to 8.5mm{{#1}}}}\limits^{#2}}}
        \def\vfleche#1#2{\bigg #1 \rlap{$\vcenter
        {\hbox{$\scriptstyle#2$}}$}}


\def\boule{{_{^{\bullet}}}}  
\def\Boule{{^{_{\bullet}}}} 
\def\rond{\mathaccent"7017}  

\def\omg{\omega}       
\def\sg{\sigma}
\def\Rho{{\rm P}}
\def\R{{\bf R}}

\def\vol{{\rm vol}}
\def\san{sous-analytique }

%%%%%%%% VOIR LES LABELS   %%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%    Pour voir les labels:
\def\libel#1{\label{#1} \marginpar{${}_{\rm #1}$}}
%%%%    Pour ne plus voir les labels:
%\def\libel#1{\label{#1}}

\def\hfleche#1#2{\smash{\mathop{\vbox{\hbox to 8.5mm{{#1}}}}\limits^{#2}}}
\def\vfleche#1#2{\bigg #1 \rlap{$\vcenter{\hbox{$\scriptstyle#2$}}$}}

\begin{document}


\title{Th\'eor\`eme de Poincar\'e relatif }

\author{Jean-Paul Brasselet et Bernard Teissier}
%\date{}
\maketitle
{\sl (Version N01)\rm} 
\bigskip

\noindent Note: Les deux  premi\`eres parties (jusque page 15) sont un copi\'e-coll\'e (\`a simplifier ?) 
du d\'ebut de  \cite{BT}.


\tableofcontents
\newpage
\vglue 5 truecm

\listoffigures
\newpage

\setcounter{section}{-1}  



\section{Introduction}
\setcounter{equation}{0}  
L'origine de ce travail est une question pos\'ee par Fran{\c c}ois Treves au second
auteur en 1982 : 


La premi\`ere difficult\'e est que la d\'ecomposition simpliciale de $\Delta$
n'induit pas sur les fibres de $f$ une d\'ecomposition simpliciale. Mais nous avons
remarqu\'e qu'elle induisait une d\'ecomposition en prismes (produits de
simplexes), et que ces d\'ecompositions \'etaient naturellement isomorphes pour
toutes les fibres de points de l'int\'erieur d'un simplexe de la base $T$. Pour
rendre compte des d\'eg\'enerescences de la structure prismale des fibres qui se
produisent par sp\'ecialisation sur les faces d'un simplexe de $T$ nous avons
introduit les \it faisceaux prismaux\rm. Le morphisme simplicial d\'efinit
canoniquement un faisceau prismal mais en fait il est bien plus commode de
travailler avec un autre faisceau prismal, qui est un ``\'eclat\'e" de celui-ci et
est trivialis\'e au dessus de chaque simplexe ferm\'e de $T$. Sur ce faisceau
trivialis\'e il est facile de d\'efinir les formes de Whitney; la forme de Whitney
d'un prisme est essentiellement le produit ext\'erieur des formes de Whitney des
simplexes facteurs du prisme. Le calcul permet de d\'efinir naturellement les
formes de Whitney \it relatives \rm. Apr\`es avoir  repr\'esent\'e (modulo les
formes exactes) la forme $\omg$ par une combinaison lin\'eaire de formes de Whitney
relatives, on cherche $H$ sous la m\^eme forme, et le probl\`eme se ram\`ene
finalement \`a un \'enonc\'e d'alg\`ebre lin\'eaire dont la solution est
facile.\par 
\vskip.1in  \goodbreak  
Ces constructions sugg\`erent d'\'etendre au cas relatif la d\'emonstration de
Whitney du th\'eor\`eme de de Rham. La premi\`ere difficult\'e est l'extension de
la dualit\'e de Poincar\'e, puisque la dualit\'e dans les fibres ne se sp\'ecialise
pas au dessus des faces des simplexes de $T$. Pour surmonter cette difficult\'e
nous consid\'erons dans les fibres des fragments des cellules duales, qui ont la
propri\'et\'e de se sp\'ecialiser. Les \'el\'ements de ces fragments sont appel\'es
\it Bary\`emes \rm et ils engendrent un complexe plus gros que le complexe des
cocha\^\i nes relatives, mais qui a la m\^eme cohomologie. Ceci nous permet
d'\'enoncer un th\'eor\`eme de dualit\'e de Poincar\'e relatif, dont la
d\'emonstration est analogue \`a celle du cas absolu. Il ne reste plus qu'\`a
g\'en\'eraliser au cas relatif les lemmes d'extension de formes diff\'erentielles
de Whitney pour terminer la d\'emonstration du th\'eor\`eme de de Rham relatif: la
cohomologie du complexe des formes diff\'erentielles h\"old\'eriennes relatives est
isomorphe \`a la cohomologie du complexe des cocha\^\i nes relatives \`a
coefficients h\"old\'eriens.\par

\section{G\'eom\'etrie des morphismes triangul\'es}  
\setcounter{equation}{0}

\subsection{Rappels}\label{debut}

\begin{definition} \libel{ANALYT} Soit $X \subset {\bf R}^n
\times {\bf R}^m $ un sous-ensemble sous-analytique tel que la restriction $g \colon X
\rightarrow {\bf R}^n$ de la premi\`ere projection soit un morphisme propre. On
rappelle qu'une triangulation de cette situation est la donn\'ee~: 
\begin{enumerate}
\item d'hom\'eomorphismes sous-analytiques $t$ de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m $
dans lui-m\^eme et $t_0$ de ${\bf R}^n$ dans lui-m\^eme, tels que le
diagramme suivant soit commutatif 
$$
%\Diag
\begin{matrix}
{\bf R}^n \times {\bf R}^m  & \hfleche\rightarrowfill{t}& {\bf R}^n
\times {\bf R}^m&\supset & X \cr 
\vfleche\downarrow{pr_1}&&\vfleche\downarrow{pr_1}&&\vfleche\downarrow{g}\cr 
{\bf R}^n&\hfleche\rightarrowfill{t _0} &{\bf R}^n&=&{\bf R}^n\cr 
\end{matrix}$$ 
\item de d\'ecompositions de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m$ et de ${\bf R}^n$ en
simplexes lin\'eaires de telle fa\c con que les hom\'eomorphismes $t$ et $t_0$
soient analytiques \`a l'int\'erieur de chaque simplexe et que $pr_1$ soit une
application simpliciale. Ces donn\'ees  doivent \^etre compatibles avec $X$~: si
l'image par $t$ d'un simplexe  rencontre $X$, elle est contenue dans $X$. 
\end{enumerate}
\end{definition}

Dans la suite, \'etant donn\'e un morphisme $g$ triangul\'e comme ci-dessus, nous
noterons $\Delta$ le sous-complexe simplicial de ${\bf R}^n \times {\bf R}^m$ form\'e
des simplexes dont l'image par $t$ rencontre $X$. Le sous-complexe simplicial de
${\bf R}^n$ form\'e des simplexes dont l'image par $t_0$ rencontre $g(X)$ sera not\'e $T$, enfin $f\colon
\Delta \to T$ d\'esignera le morphisme induit par $\hbox{\rm pr}_1$.

\begin{remarques} 
1) D'apr\`es l'in\'egalit\'e de \L ojasiewicz, tout hom\'eomorphisme
sous-ana\-ly\-ti\-que $t$ est h\"old\'erien sur tout compact: pour tout sous-ensemble
compact $K$ de $\bf R \rm ^n \times \bf R \rm ^m $, il existe des nombres r\'eels
positifs $C$ et $\alpha$ tels que l'on ait :  $\Vert t (y) -t (x) \Vert \leq C \Vert
y -x \Vert^{\alpha}$. \par  
\noindent 2) L'image par $pr_1$ d'un simplexe est un simplexe et l'image 
r\'eciproque par $pr_1$ d'un simplexe est une r\'eunion de simplexes. 
\end{remarques}

\subsection{Morphismes et faisceaux prismaux }

\begin{definition} \libel{PRISME} Un {\sl prisme} (resp. un prisme
ouvert, resp. un prisme ferm\'e) est un produit de simplexes (resp. simplexes ouverts, resp.
ferm\'es) lin\'eairement plong\'es dans un espace euclidien et muni de la topologie induite ; l'ensemble vide est donc un prisme 
auquel, par convention, on attribue la dimension $-\infty$.
Une {\sl face} d'un prisme est vide ou est un produit de faces de ses facteurs. Nous
appellerons {\sl coordonn\'ees barycentriques} d'un point d'un prisme la famille des
coordonn\'ees barycentriques de ses projections sur les facteurs du prisme. 
\end{definition}

Un {\sl ensemble prismal}
de $\bf R \rm^N$ est une r\'eunion localement finie de prismes ferm\'es telle que
l'intersection de deux quelconques d'entre eux soit une face de chacun. Un sous-complexe
simplicial d'une triangulation de $\bf R \rm^N$ est un ensemble prismal. \par 
Sauf mention du contraire, les simplexes et les prismes consid\'er\'es dans la suite
sont ferm\'es.

Un {\sl ensemble prismal de dimension pure}
$d$  est une r\'eunion de prismes de dimension $d$.

Une {\sl orientation} d'un prisme
$\pi=\sigma_0 \times \sigma_1 \times \cdots \times \sigma_p$ est la donn\'ee d'un
ordre sur l'ensemble $\lbrace 0,\ldots ,p\rbrace$ et d'une orientation sur chaque
simplexe $\sg_i$. Une orientation d'un prisme d\'etermine une orientation de chacune de ses faces. 
Une {\sl orientation locale} d'un ensemble prismal est la
donn\'ee d'une orientation de chacun de ses prismes.

Si un ensemble prismal de dimension pure $d$ est une pseudovari\'et\'e 
(resp. une pseudovari\'et\'e \`a bord, voir \cite[Chap. 3, 11]{Sp}), tout prisme de
dimension $d-1$  est face de deux prismes (resp. un ou deux prismes) de dimension $d$. 
Le bord, quand il existe, est le sous ensemble prismal constitu\'e des prismes de dimension $d-1$ qui sont faces 
d'exactement un prisme de dimension $d$. \libel{abord} 
Un ensemble prismal $\Pi$ qui est une pseudovari\'et\'e de dimension
$d$ est {\sl orient\'e} s'il est muni d'une orientation locale telle que les orientations induites sur tout
prisme de dimension $d-1$ par deux prismes dont il est face soient oppos\'ees.

Rappelons qu'un morphisme simplicial d'un complexe simplicial dans
un autre est une application dont la restriction \`a chaque simplexe de la source a
pour image un simplexe du but et qui est lin\'eaire en les coordonn\'ees
barycentriques.

\begin{definition} \libel{APPLPR}
Une application $\varphi$ d'un ensemble prismal $\Pi$ dans un ensemble prismal
$\Sigma$ est un morphisme prismal si pour tout prisme $\pi =\sigma_0 \times \sigma_1
\times \cdots \times \sigma_p$ de $\Pi$, l'image $\varphi (\pi )$ est un prisme
$\tau_0 \times \tau_1 \times \cdots \times \tau_s$ et l'application induite $\varphi$ sur 
$\pi$ est lin\'eaire dans les coordon\'ees barycentriques des prismes. 
\end{definition}

Un morphisme simplicial entre complexes simpliciaux est un morphisme prismal.

Un morphisme prismal entre des ensembles prismaux orient\'es est dit orient\'e s'il
res\-pecte les orientations des prismes. 

\section{Faisceau prismal associ\'e \`a un morphisme simplicial}

L'exemple suivant est fondamental pour ce qui suit :

Soit $f\colon \sg \to \tau$ un morphisme simplicial entre deux simplexes ; pour chaque
sommet $y_j$ de $\tau$, ($0\leq j\leq s =\hbox{dim}\tau$), posons
$\sg_j=f^{-1}(y_j)$ et 
$\pi_f(\sg)=\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$. 
On se propose de d\'efinir des
morphismes prismaux  
$$ \psi_f^\sg : \pi_f(\sg) \to \sg \quad \hbox{ et } \quad \theta_f^\sg :
 f^{-1}(\rond \tau) \to  \pi_f(\sg)$$ 
dont les restrictions au dessus de $f^{-1}(\rond \tau)$ et $\rond\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$
sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre. 

Lorsqu'il n'y a pas d'ambigu\"\i t\'e sur le morphisme $f$, nous omettrons l'\'ecriture 
des indices $f$ dans ce qui suit. 

Chaque sommet de $\sg$ est dans l'un des $\sg_j$ et un seul. Pour chaque $j$, notons
$I(j)$ l'ensemble des indices $i$ des sommets $a_i$ de $\sg_j$. Etant
donn\'e un point $x$ de $\sg$, de coordonn\'ees barycentriques $\lambda_i$ et dont
l'image $f(x)$ est dans l'int\'erieur de $\tau$, les sommes $\sum_{i \in I(j)}
\lambda_i$ sont non nulles ;  pour chaque $j$, notons $x_j$ le point de $\sg_j$ de  
coordonn\'ees barycentriques 
\begin{equation}\label{decoord}
\mu_{j,k} =\frac{\lambda_k}{\sum_{i \in I(j)}
\lambda_i}, \qquad k\in I(j).
\end{equation}
Notons $\theta^{\sg_j}$ l'application $f^{-1}(\rond
\tau)\to \sg_j$ qui \`a $x$ associe le point $x_j$, et $\theta^\sg$ l'application de 
$f^{-1}(\rond \tau)$ dans le prisme $\pi(\sg)=\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$
qui au point $x$ associe le point $(f(x), x_0,\cdots, x_s)$. La projection $f$ induit un isomorphisme 
simplical du simplexe enveloppe
convexe des points $x_j$  dans $\sg$ sur $\tau$. Le point $x$ est le point de ce
simplexe   dont les coordonn\'ees barycentriques sont celles du point $f(x)$ dans
$\tau$. Ceci nous donne une description de $\sg$ comme {\it joint it\'er\'e} des
simplexes $\sg_j$.

On peut en effet d\'efinir le joint it\'er\'e
$\sg_0*\cdots * \sg_s$ de $s+1$ simplexes $\sg_j$ lin\'eairement ind\'ependants dans
un espace euclidien comme la r\'eunion des simplexes de dimension $s+1$ qui sont les
enveloppes convexes d'ensembles de points de la forme $(x_j \in \sg_j);\ \
j=0,\ldots , s$. Le simplexe obtenu est simplicialement isomorphe au r\'esultat de la construction classique 
du joint it\'er\'e comme  quotient de $\sg_0 \times \ldots \times \sg_s \times [0,1]^{s}$. 
Rappelons cette construction pour $s=1$ :
$$\sg_0* \sg_1 = \left( \sg_0 \times \sg_1 \times [0,1] \right) / \langle (a,b,0) \sim (a',b,0), (a,b,1) \sim (a,b',1) \rangle.$$


Par construction, l'ensemble des sommets du joint co\"\i ncide avec l'ensemble \libel{reunion} des 
sommets des $\sg_j$. Une orientation du joint peut donc s'interpr\'eter comme la donn\'ee d'un ordre
sur l'ensemble d'indices $j$ et d'une orientation de chacun des simplexes $\sg_j$. 

Si $f$ est un morphisme simplicial orient\'e et si on munit chaque $\sg_j$ de
l'orientation induite par celle de $\sg$, alors l'orientation naturelle du joint it\'er\'e d\'eduite
de celles de $\tau$ et des $\sg_j$ n'est autre que celle de $\sg$.

On d\'efinit le morphisme $\psi^\sg \colon
\pi (\sg )\to \sg= \sg_0*\cdots * \sg_s$ qui, au point de coordonn\'ees 
$$(t_j)_{j=0,\ldots,s},(\mu_{0,i_0})_{{i_0}\in I(0)},\ldots, 
(\mu_{s,i_s})_{{i_s}\in I(s)}$$  de $\pi(\sg)$, associe le point de $\sg$ dont la
coordonn\'ee barycentrique relative au sommet $a_i$ est $\lambda_i=t_j\mu_{j,i}$,
o\`u $j$ est l'indice tel que $i\in I(j)$. Ce morphisme est un morphisme prismal.

Remarquons que, si $\sg$ et $\tau$ sont orient\'es ainsi que le morphisme $f$, 
cela d\'etermine une unique orientation du joint  it\'er\'e $\sg_0*\cdots * \sg_s$ et une unique orientation du
prisme $\pi(\sg)$ telles que les morphismes $\pi(\sg) \to \sg $ et $\pi(\sg) \to \tau $ soient orient\'es.

\begin{proposition}\libel{JOINT}
Les restrictions au dessus de $f^{-1}(\rond \tau)$ et $\rond\tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s$
des morphismes prismaux $ \psi^\sg : \pi(\sg) \to \sg $  et $ \theta^\sg :
 f^{-1}(\rond \tau) \to  \pi(\sg)$
sont des isomorphismes inverses l'un de l'autre.
\end{proposition}
 
\begin{preuve}
En effet tout point $x$ de $\sg$ s'\'ecrit 
$x = \sum_j t_j x_j = \sum_j \sum_{k\in I(j)} \mu_{j,k} a_k = \sum_k \lambda_k a_k.$
\end{preuve} 

\begin{definition} \libel{FAISPR} Soit $\hbox{\rm P}$ un
ensemble prismal. Un {\it faisceau prismal} $\cal F$
sur  $\hbox{\rm P}$ est la donn\'ee pour chaque prisme ferm\'e $\rho$ de $\Rho$ d'un 
ensemble prismal ${\cal F}(\rho)$ dot\'e d'un 
morphisme prismal $ e_\rho \colon {\cal F}(\rho) \rightarrow \rho$ et pour chaque
face $\rho'$ de $\rho$ d'un morphisme prismal
$h_{\rho',\rho}\colon {\cal F}(\rho) \rightarrow {\cal F}(\rho')$ de telle fa\c con
que $h_{\rho,\rho}=Id_{{\cal
F}(\rho)}$ et que  si $\rho''$ est une face de $\rho'$, alors  $h_{\rho'',\rho}
=h_{\rho'',\rho'}\circ h_{\rho',\rho}$. On dit que le faisceau prismal ${\cal F}$ est propre si les ensembles
prismaux ${\cal F}(\rho)$ sont compacts.
\end{definition} 

\begin{remarque} En fait, la notion de  faisceau prismal s'apparente davantage \`a la notion
de carapace (ce qui f\^ut la premi\`ere d\'efinition 
des faisceaux, voir S\'eminaire Cartan \cite{Car2}) qu'\`a la notion
de faisceau. Plus pr\'ecis\'ement, munissons l'ensemble des prismes d'un ensemble prismal 
de l'ordre partiel donn\'e par les inclusions des faces, puis de
 la topologie  dont une base de ferm\'es est constitu\'ee des intervalles ferm\'es $\pi_1 \le \pi \le \pi_2$. 
Les sections du faisceau prismal au dessus d'un ferm\'e $F$ sont les \'el\'ements du produit 
$\Pi_{\rho \in F} {\cal F}(\rho)$ compatibles avec  les homomorphismes de restriction.
\end{remarque}

Soient $\varphi \colon \Rho \rightarrow \Sigma$ un morphisme prismal, $\cal
F$ un faisceau prismal sur $\Rho$ et $\cal G$ un faisceau prismal sur  $\Sigma$. Un
{\it morphisme de faisceaux prismaux} de $\cal F$ dans $\cal G$ est la donn\'ee pour
chaque prisme ferm\'e $\rho$ de $P$ d'un morphisme prismal ${\cal F} (\rho) \rightarrow
{\cal G}(\varphi (\rho))$ compatibles avec  les homomorphismes de restriction.  

\begin{lemma} \libel{PRODU} Etant donn\'es un faisceau prismal ${\cal F}$
sur $\Rho$ et $\rho$ un prisme de $\Rho$, au dessus de l'int\'erieur 
$\rond\rho$ de $\rho$ l'ensemble ${\cal F}(\rho)$ est une r\'eunion de produits de simplexes. 
\end{lemma}
\begin{preuve}\libel{produit} Supposons dans un premier temps que $\rho$ soit un simplexe $\tau$. 
Tout prisme de l'ensemble ${\cal F}(\tau)$ est 
le produit d'un simplexe d'image $\tau$ par un nombre, \'eventuellement nul, de simplexes. En effet, supposons que le 
prisme $\sg_0 \times \sg_1$ de ${\cal F}(\tau)$ ait pour image $\tau$ mais que ni $\sg_0$, ni $\sg_1$ n'ait pour image $\tau$. 
Cela implique qu'il existe deux sommets $a_0$ et $a_1$ de $\sg_0$, dont on note aussi $a_0$ et $ a_1$ les coordonn\'ees 
barycentriques correspondantes  et deux sommets $b_0$ et $b_1$ de $\sg_1$, dont on note aussi $b_0$ et $b_1$ les coordonn\'ees 
barycentriques correspondantes, tels  que les trois sommets 
$(a_0,b_0), (a_0,b_1)$ et $(a_1,b_1)$ du produit $\sg_0 \times \sg_1$ aient pour images des sommets distincts de $\tau$.
Alors, les coordonn\'ees barycentriques d'un point de l'image de $\sg_0 \times \sg_1$ sont fonction du produit $a_0 b_1$, 
ce qui contredit l'hypoth\`ese de lin\'earit\'e.

Si $\sg$ est un simplexe de ${\cal F}(\tau)$ d'image  $\tau$, alors $\sg$ est le joint 
des simplexes $\sg_i = e_{\cal F}^{-1}(\tau)$ du bord de $\sg$ situ\'es au dessus des sommets $y_i$ de $\tau$. 
La fibre de $e_{\cal F}$ au dessus d'un point de l'int\'erieur de $\tau$ 
est donc hom\'eomorphe au produit des simplexes $\sg_i$, d'o\`u le 
r\'esultat dans ce cas. On en d\'eduit le r\'esultat pour tout prisme de  ${\cal F}(\tau)$.

Dans le cas d'un prisme $\rho$, produit de simplexes, le r\'esultat provient de ce qu'il est v\'erifi\'e au dessus de 
chacune des composantes du produit. Une autre mani\`ere  de le montrer est de subdiviser tout prisme $\rho$ de
la base $\Rho$ en simplexes, ceci par r\'ecurrence en se fixant un barycentre dans chaque simplexe 
composante du prisme $\rho$, puis \`a d\'ecomposer le morphisme  ${\cal F}(\rho) \to \rho$ 
au dessus de ces simplexes.
\end{preuve}

\begin{lemma} \libel{LORIENT} 
Pour toute orientation de $\rho$, il est \'equivalent
de se donner une orientation de la fibre  ${\cal F}(b(\rho))$ au dessus du
barycentre  $b(\rho)$ de $\rho$, une orientation compatible pour  toutes les fibres ${\cal
F}(y)_{y\in \rond \rho}$, ou une orientation de l'ensemble prismal ${\cal
F}(\rho)$.
\end{lemma}
\begin{preuve}
Cela provient de ce que la donn\'ee d'une orientation d'un espace
fibr\'e (orientable) \'equivaut \`a la donn\'ee d'une orientation de la base suivie d'une
orientation de la fibre. 
\end{preuve}
Le bord (orient\'e) d'un produit orient\'e $\sg_0
\times \sg_1$ est 
$$\partial  (\sg_0 \times \sg_1) = \partial \sg_0 \times \sg_1 +
(-1)^{\vert \sg_0 \vert} \sg_0 \times \partial \sg_1,$$ 
d'o\`u, par r\'ecurrence, le
bord orient\'e d'un prisme $\sg_0 \times \cdots \times \sg_s$ est~:  
\begin{equation}\label{bordpri}
\partial
(\sg_0 \times \cdots \times \sg_s) = \sum_{j=0}^s (-1)^{\vert \sg_0 \vert + \cdots
+\vert \sg_{j-1} \vert } \sg_0 \times \cdots \times \partial \sg_j \times \cdots
\times \sg_s.
\end{equation} 

\begin{definitions}\libel{ORIENT} a) Etant donn\'e un simplexe orient\'e $\sg$ et une face 
$\sg'$ de codimension 1,
alors $\sg'$ h\'erite de deux orientations. La premi\`ere est celle induite par 
l'orientation de $\sg$, c'est-\`a-dire la restriction de l'ordre correspondant des 
sommets de $\sg$, la seconde est celle qu'il a en tant que face de $\sg$. Ces deux orientations
diff\`erent d'un signe  appel\'e nombre d'incidence et not\'e $[\sg;\sg']$. \hfill\break 
\noindent b) Etant donn\'e un ensemble
prismal orient\'e $\Rho$ qui est une vari\'et\'e topo\-lo\-gi\-que, pour tout couple
$(\rho ,\rho')$ de prismes orient\'es tel que $\rho'$ soit une face de codimension
$1$ de $\rho$, le nombre
d'incidence $[\rho;\rho']$ est \'egal \`a $+1$ si l'orientation de $\rho'$ 
co\"\i ncide avec l'orientation du bord de $\rho$, et \`a $-1$ sinon. 
\end{definitions}


\begin{lemma}\libel{INKCID} Soit $\pi=\sigma_0\times  \cdots \times \sigma_j\times \cdots \times
\sigma_s$ un prisme orient\'e, et consid\'erons une face 
$\pi'=\sigma_0\times \cdots \times \sigma'_j\times \cdots \times \sigma_s$ de codimension 1. Si l'on munit le 
simplexe $\sigma'_j$ de l'orientation induite par celle de $\sg$, 
alors le nombre d'incidence $[\pi;\pi']$ est \'egal \`a  
$(-1)^{\vert \sg_0\vert +\cdots + \vert \sg_{j-1}\vert }[\sg_j ; \sg'_j]$.
\end{lemma}

\begin{preuve}En effet,  $\partial \sg_j = \sum_{i=0}^k [\sg_j ; \sg'_{j,i}] \sg'_{j,i}$
o\`u $\sg'_{j,i}$
d\'ecrit les faces de codimension un de $\sg_j$. On en d\'eduit le r\'esultat.
\end{preuve}

\begin{definition} Un faisceau prismal ${\cal F}$ sur un ensemble prismal
orient\'e $\Rho$ qui est une vari\'et\'e topologique est orient\'e si pour chaque
prisme $\rho$ de dimension maxima de $\Rho$, on a une orientation de la fibre ${\cal
F}(b(\rho))$ au dessus du barycentre de $\rho$, de telle fa\c con que si l'on munit
${\cal F}(\rho)$ de l'orientation correspondante ({\it cf} Lemme \ref{LORIENT}), les
morphismes $h_{\rho', \rho}$ sont $[\rho;\rho']$-orient\'es.
\end{definition}

Les exemples de faisceaux prismaux qui suivent sont fondamentaux pour ce travail.

\begin{example}\libel{EXEMSF} Soit $f \colon S
\rightarrow T$ un morphisme simplicial surjectif d'ensembles simpliciaux, on d\'efinit 
un faisceau prismal ${\cal S}_{f}$ sur $T$ en posant, pour tout simplexe
$\tau$ de $T$, ${\cal S}_{f}(\tau) = f^{-1}(\tau)$. On continue de noter par $f$ la projection de 
${\cal S}_{f}$ sur $T$. Si $\tau'$ est une face de
$\tau$ et $\sg$ un simplexe de $f^{-1}(\tau)$, le simplexe $\sg' = \sg \cap f^{-1}(\tau')$ est
une face de $\sg$. On peut \'ecrire $\sg$ comme le joint de $\sg'$ et de sa face
oppos\'ee $\sg''$. On d\'efinit alors $h_{\tau',\tau} \colon {\cal S}_{f}(\tau)
\rightarrow {\cal S}_{f}(\tau')$ en prenant pour $h_{\tau',\tau}\colon \sg  \to
\sg'$ la projection simpliciale de $\sg$ sur $\sg'$ selon les fibres du joint.
\end{example}

\begin{example}\libel{EXEMPF} Soit $\Delta$ un complexe simplicial
fini d'une subdivision simpliciale lin\'eaire de $\bf R \rm ^n \times \bf R \rm ^m $ 
tel que la restriction $f$ \`a $\Delta$ de la premi\`ere projection $p$ soit
une application simpliciale sur un complexe simplicial $f(\Delta)$ d'une
subdivision simpliciale lin\'eaire de $\bf R \rm ^n$. 

Supposons que $\sigma^{12}$ soit une face commune des simplexes  $\sigma^1$ et $\sigma^2$ 
de $\Delta$ et que ces trois
simplexes aient la m\^eme image $\tau$, simplexe de sommets 
$y_0, \ldots, y_s$. Alors le prisme  $\pi (\sigma^{12}) = \pi_f (\sigma^{12})$ est
un sous-prisme de $\pi(\sigma^1)$ et de $\pi (\sigma^2)$.  En fait, 
avec la notation de l'exemple \ref{JOINT}, on voit que
l'intersection de $\pi (\sigma^1)$ et $\pi (\sigma^2)$ est le prisme $\tau \times
\prod (\sigma_j^1 \cap \sigma_j^2)$, o\`u $j=0,\ldots ,s$.  

Remarquons que la composition $\theta^\sg \circ  \psi^\sg$ (Proposition \ref{JOINT}) 
donne un plongement naturel de $\pi(\sg)$ dans ${\displaystyle{{\bf R}^n \times \Pi_0^s {\bf R}^m}}$. 
On en d\'eduit un plongement de $\pi(\sigma^1)$ et de $\pi (\sigma^2)$
dans ${\bf R}^n \times \Pi_0^s {\bf R}^m$, on v\'erifie aussit\^ot que ces deux plongements 
co\"\i ncident sur $\sg^{12}$ et que l'on a donc d\'efini un plongement de 
$\pi(\sigma^1) \cup \pi (\sigma^2)$ dans ${\bf R}^n \times \Pi_0^s {\bf R}^m$. 
Cela montre
que, si $\tau\in f(\Delta)$ est fix\'e,  la r\'eunion des prismes $\pi (\sigma)$
tels que $f(\sg )=\tau$, plong\'ee de la fa\c con naturelle que l'on vient de
d\'ecrire dans ${\bf R}^n \times \Pi_0^s {\bf R}^m$, est un
sous-ensemble prismal  $\cal F(\tau)$ muni d'un morphisme prismal
surjectif $e_\tau \colon \cal F(\tau) \rightarrow \tau$. L'ensemble prismal 
$e_\tau^{-1}(\rond \tau)$ est naturellement isomorphe \`a 
$\rond \tau \times \cup_k (\Pi_{j=0}^s (\sg^k_j))$ o\`u les $\sg^k$ sont les simplexes 
de $e_\tau^{-1}(\rond \tau)$ d'image $\tau$ et $\sg^k_j = \sg^k \cap f^{-1}(y_j)$. 
On peut donc appeler fibre type $F_\tau$ de $e_\tau$ la r\'eunion 
des $\Pi_{j=0}^s (\sg^k_j)$. 


Ce morphisme prismal a la propri\'et\'e que l'image inverse d'un simplexe {\it
ferm\'e} de $f(\Delta)$ est le produit de ce simplexe par un ensemble
prismal ; nous pourrons donc y d\'efinir des formes de Whitney relatives. 
\end{example}
 
Supposons que $\tau '$ soit une face de $\tau$ et posons  $\sigma'=\sigma \cap f^{-1}(\tau')$.
D'apr\`es ce qui pr\'ec\`ede, chaque prisme de $\cal F(\tau)$ est de la forme $\tau
\times \sigma_0\times \cdots \times \sigma_s$ o\`u $\sigma_j = f^{-1}(y_j)\cap
\sigma$. L'homomorphisme $h_{\tau',\tau}$ de $\cal F (\tau)$ dans $\cal F(\tau')$ est l'homomorphisme
de d\'eg\'enerescence qui associe au prisme $\tau \times \sigma_0\times \cdots
\times \sigma_s$ le prisme $\tau' \times \sigma'_0\times \cdots \times \sigma'_s$
o\`u $\sigma'_j = f^{-1}(y_j)\cap \sigma'$ si $y_j$ est un sommet de $\tau'$ et un
point sinon. 

Notons $e_{{\cal P}_f} \colon {\cal P}_f\to f(\Delta)$ le faisceau prismal
ainsi obtenu. Nous allons montrer l'existence d'un morphisme canonique $\psi: {\cal
P}_f\rightarrow S_f$. 

%%%\vglue 2truecm

\begin{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%  *****  Ici dessins  *******
\begin{tikzpicture} \label{figureun}
%figure de gauche
\draw (-5,-2) -- (-5,2) -- (-7,1) -- (-7,-1) -- (-5,-2) -- (-3,0) -- (-5,2);
\draw (-3,0) -- (-5,0) -- (-7,1);
\draw (-5,0) -- (-7,-1);

%figure centrale
\draw (0,-3) -- (0,3) -- (2,3) -- (2,-3) -- (0,-3);
\draw (0,1) -- (2,1);
\draw (0,-1) -- (2,-1);

% droite verticale
\draw (3.5,-2) -- (3.5,2);
\filldraw [black] (3.5,-2) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (3.5,0) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (3.5,2) circle (1.5pt);

% figure de droite
\draw (5,-2) -- (5,2) -- (7,2) -- (7,-2) -- (5,-2);
\draw (5,0) -- (7,0);

% traits horizontaux
\draw (-7,-4.5) -- (-3,-4.5);
\filldraw [black] (-7,-4.5) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (-5,-4.5) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (-3,-4.5) circle (1.5pt);
\draw (-7,-4.8) node{$y_0$};
\draw (-6,-4.2) node{$\tau_1$};
\draw (-5,-4.1) node{$\tau'$};
\draw (-5,-4.8) node{$y_1$};
\draw (-4,-4.2) node{$\tau_2$};
\draw (-3,-4.8) node{$y_2$};

\draw (0,-4.5) -- (2,-4.5);
\filldraw [black] (0,-4.5) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (2,-4.5) circle (1.5pt);
\draw (1,-4.8) node{$\tau_1$};

\filldraw [black] (3.5,-4.5) circle (1.5pt);
\draw (3.5,-4.8) node{$\tau'$};

\draw (5,-4.5) -- (7,-4.5);
\filldraw [black] (5,-4.5) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (7,-4.5) circle (1.5pt);
\draw (6,-4.8) node{$\tau_2$};

% textes
\draw (-5.7,1) node{$\sigma_1$};
\draw (-6.1,0) node{$\sigma_2$};
\draw (-5.7,-1) node{$\sigma_3$};
\draw (-4.3,0.6) node{$\sigma_4$};
\draw (-4.3,-0.6) node{$\sigma_5$};

\draw (1,2) node{$\pi(\sigma_1)$};
\draw (1,0) node{$\pi(\sigma_2)$};
\draw (1,-2) node{$\pi(\sigma_3)$};

\draw (6,1) node{$\pi(\sigma_4)$};
\draw (6,-1) node{$\pi(\sigma_5)$};

%fleches
\draw[->] (-4,-2) -- (-4,-3.5);
\draw (-4.3,-2.7) node{$e_{{\cal S}_f}$};

\draw[->] (1,-3.4) -- (1,-4.1);
\draw (0.7,-3.7) node{$e_{\tau_1}$};

\draw[->] (3.5,-3.2) -- (3.5,-3.9);
\draw (3.2,-3.5) node{$e_{\tau'}$};

\draw[->] (6,-3.2) -- (6,-3.9);
\draw (5.7,-3.5) node{$e_{\tau_2}$};

\draw[->] (-1,0.8) -- (-2.5,0.8);
\draw (-1.8,0.5) node{$\psi$};

\end{tikzpicture}

\medskip
${\cal S}_f$ au dessus de $\tau_1 \cup \tau_2$ \hskip 3 truecm  ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau_1$, de $\tau'$ et de $\tau_2$
\medskip

\caption{Exemples de ${\cal S}_f$ et ${\cal P}_f$}
\end{figure}


%\begin{center} {\bf Figure 1. } \end{center}

%%%\newpage
%%%\vglue2truecm

\begin{figure}\label{defigure2}
\begin{tikzpicture}
%figure de gauche
\draw (-6,10.5) -- (-2,10) -- (0,11) -- (-1,13) -- (-6,10.5);
\draw (-2,10) -- (-1,13);
\draw [dashed] (-6,10.5) --  (0,11);
\draw (-3.66,10.2) -- (-3.1,11.95);
\draw [dashed] (-3.66,10.2) -- (-2.68,10.75) -- (-3.1,11.95);

\draw (3.5,10) -- (5.5,11) --(4.5,13) -- (3.5,10) ;

%aa

\draw (-6,6) -- (-1,6) -- (0,8) -- (-6,9) -- (-6,6);
\draw (-6,9) -- (-1,6);
\draw [dashed] (-6,6) --  (0,8);
\draw (-3.5,6) -- (-3.5,7.5) -- (-3,8.5);
\draw [dashed] (-3.5,6) -- (-3,7) -- (-3,8.5);

\draw (4,6) -- (5,8) ;

%aa

\draw (-6,2) -- (0,3) -- (-5,5) -- (-6,2);
\draw [dashed] (-6,2) --  (-4,3) -- (0,3);
\draw [dashed] (-4,3) --  (-5,5);
\draw (-4,2.33) -- (-3.33,4.33);
\draw [dashed] (-4,2.33) -- (-2.66,3) -- (-3.33,4.33);

\filldraw [black] (4.5,3) circle (1.5pt);

% textes

\draw (-6,0) -- (0,0);
\filldraw [black] (-6,0) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (0,0) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (4.5,0) circle (1.5pt);


\draw (-4.5,0.3) node{$\tau$};
\draw (-3.6,-0.4) node{$y$};
\draw (-3.6,0) node{$\times$};
\draw (0,0.3) node{$\tau'$};
\draw (4.5,0.3) node{$\tau'$};

%fleches
\draw[->] (-2.3,1.8) -- (-2.3,0.8);
\draw (-2.7,1.5) node{$e_{{\cal S}_f}$};

\draw[->] (4.5,2) -- (4.5,1);
\draw (4.2,1.5) node{$e_{{\cal S}_f}$};

\end{tikzpicture}
\bigskip
\caption{${\cal S}_f$ au dessus de $\tau$ et de $\tau'$} 
\end{figure}

%%%\newpage

\begin{figure}\label{aaaa}
\begin{tikzpicture}
%figure de gauche
\draw (-8,1) -- (-4,0) -- (-2,1) -- (-3,3) -- (-8,3) -- (-8,1);
\draw (-8,3) -- (-4,0) -- (-3,3);
\draw (-6,0.5) -- (-6,1.5) -- (-5.5,3);
\draw [dashed] (-8,1) -- (-2,1) -- (-8,3);
\draw [dashed] (-6,0.5) -- (-5,1) -- (-5,2) -- (-5.5,3);
\draw [dashed] (-5,2) -- (-6,1.5);

% figure de droite
\draw (0,0) -- (5,0) -- (7,1) -- (7,3) -- (5,2) -- (0,2) -- (1,4.5) -- (6,4.5) -- (7,3);
\draw (5,0) -- (5,2) -- (6,4.5);
\draw (0,0) -- (0,2);
\draw [dashed] (0,0) -- (2,1) -- (7,1);
\draw [dashed] (2,1) -- (2,3) -- (7,3);
\draw [dashed] (0,2) -- (2,3) -- (1,4.5);
% traits horizontaux
\draw (-8,-2) -- (-3,-2);
\draw (1,-2) -- (6,-2);

% textes
\draw (-5.5,-2.3) node{$\tau$};
\draw (3.5,-2.3) node{$\tau$};

%fleches
\draw[->] (-5.5,-0.5) -- (-5.5,-1.5);
\draw (-5.9,-1) node{$e_{{\cal S}_f}$};

\draw[->] (3.5,-0.5) -- (3.5,-1.5);
\draw (3.1,-1) node{$e_{\tau}$};

\draw[->] (-0.5,1.8) -- (-1.7,1.8);
\draw (-1.1,1.5) node{$\psi$};

\draw[->] (-0.5,-1.8) -- (-1.7,-1.8);
\draw (-1.1,-1.5) node{id};


\end{tikzpicture}

\medskip
${\cal S}_f$ au dessus de $\tau$ \hskip 6truecm ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau$
\medskip

\caption{${\cal S}_f$ et  ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau$}
\end{figure}


%\begin{center} {\bf Figure 3. } \end{center}

%\vglue 1truecm

\begin{figure}\label{rrrr}
\begin{tikzpicture}
%figure de gauche
\draw (-9,1) -- (-6,-0.5) -- (-4,1.5) -- (-4,3.5) -- (-9,3) -- (-9,1);
\draw (-9,3) -- (-6,-0.5) -- (-4,3.5);
\draw [dashed] (-9,1) -- (-4,1.5) -- (-9,3);

% figure de droite
\draw (0,4) -- (0,0) -- (3,-1.5) -- (5,0.5) -- (5,4.5) -- (0,4) -- (3,2.5) -- (3,-1.5);
\draw (0,2) -- (3,0.5) -- (5,2.5);
\draw (3,2.5) -- (5,4.5);
\draw [dashed] (0,2) -- (5,2.5);
\draw [dashed] (0,0) -- (5,0.5);

% triangles horizontaux
\draw (0,-3) -- (3,-4.5) -- (5,-2.5) --  (0,-3);
\draw (-9,-3) -- (-6,-4.5) -- (-4,-2.5) --  (-9,-3);

% textes
\draw (-6.5,-3.3) node{$\tau$};
\draw (2.7,-3.3) node{$\tau$};

%fleches
\draw[->] (-6.5,-1) -- (-6.5,-2);
\draw (-6.9,-1.5) node{$e_{{\cal S}_f}$};

\draw[->] (2.5,-1.5) -- (2.5,-2.5);
\draw (2.2,-2) node{$e_{\tau}$};

\draw[->] (-1.5,1.8) -- (-2.7,1.8);
\draw (-2.1,1.5) node{$\psi$};

\draw[->] (-1.5,-3.2) -- (-2.7,-3.2);
\draw (-2.1,-3.5) node{id};


\end{tikzpicture}

\medskip
${\cal S}_f$ au dessus de $\tau$ \hskip 6truecm ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau$
\medskip


\caption{${\cal S}_f$ et  ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau$}
\end{figure}

%\begin{center} {\bf Figure 4. } \end{center}

%%%\newpage


\begin{figure}\label{ddddd}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\draw (0.6,5) -- (1.1,5.5) -- (1.1,6.5) -- (0.6,6) -- (-0.4,6.5) -- (-0.4,5.5) -- (0.6,5);
\draw (-0.4,6.5) -- (1.1,6.5);
\draw(0.6,5) -- (0.6,6);
\draw [dashed]  (-0.4,5.5) --  (1.1,5.5);
\draw (2.4,8) -- (3.2,7.5) -- (3.6,8) -- (2.4,8);
\draw (2.2,6) -- (2.8,5.7) -- (3.1,6) -- (3.1,6.6) -- (2.8,6.3) -- (2.2,6.6) -- (2.2,6);
\draw (2.2,6.6) --  (3.1,6.6);
\draw (2.8,5.7) -- (2.8,6.3);
\draw [dashed]  (2.2,6) --  (3.1,6);
\draw (2.2,3.9) --  (2.2,4.7);
\draw (-0.7,4.5) --  (-0.7,5.1);
\filldraw [black] (-3.5,5.5 ) circle (1.5pt);
\draw (-0.4,7.2) -- (-1.3,7.2) -- (-0.7,6.9) -- (-0.4,7.2);


\draw[->] (-1.5,6) -- (-2.5,5.8);
\draw[->] (-0.2,5.3) -- (-0.5,5);
\draw[->] (1.2,5.3) -- (1.8,4.6);
\draw[->] (1.4,6.1) -- (1.8,6.1);
\draw[->] (1.4,6.9) -- (1.9,7.2);
\draw[->] (-0.2,6.7) -- (-0.5,6.9);



%figure de gauche
\draw (0.1,0.1) -- (1.1,0.6) -- (0.1,1.6) -- (-0.4,0.6) -- (0.1,0.1);
\draw (0.1,0.1) -- (0.1,1.6);
\draw [dashed] (-0.4,0.6) --  (1.1,0.6);
\draw (2.4,0.2) -- (3,0.5) -- (2.4,1.2) -- (2,0.5) -- (2.4,0.2);
\draw (2.4,0.2) -- (2.4,1.2);
\draw [dashed] (2,0.5) --  (3,0.5);
\draw (2.8,1.8) -- (3.6,2.2) -- (2.8,3) -- (2.4,2.2) -- (2.8,1.8);
\draw (2.8,1.8) -- (2.8,3);
\draw [dashed] (2.4,2.2) --  (3.6,2.2);
\draw (-1,1.4) -- (-0.4,1.7) -- (-1,2.4) -- (-1.4,1.7) -- (-1,1.4);
\draw (-1,1.4) -- (-1,2.4);
\draw [dashed] (-0.4,1.7) --  (-1.4,1.7);

\filldraw [black] (2,-1.3) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (-3.5,0 ) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (-0.7,-0.75) circle (1.5pt);

\draw[->] (-1.5,0.5) -- (-2.5,0.3);
\draw[->] (-0.2,-0.2) -- (-0.5,-0.5);
\draw[->] (0.7,-0.2) -- (1.3,-0.7);
\draw[->] (1.4,0.6) -- (1.8,0.6);
\draw[->] (1.4,1.4) -- (1.9,1.7);
\draw[->] (-0.4,1.1) -- (-0.7,1.4);
% figure de droite

\draw (-0.2,-4.5) -- (0.8,-4.5) -- (1.3,-4) -- (1.3,-3) -- (0.8,-3.5) -- (-0.2,-3.5) -- (-0.2,-4.5);
\draw (0.8,-4.5) -- (0.8,-3.5);
\draw (-0.2,-3.5) -- (0.3,-3) -- (1.3,-3);
\draw [dashed] (-0.2,-4.5) -- (0.3,-4) -- (1.3,-4);
\draw [dashed] (0.3,-4) -- (0.3,-3);
\draw (2.2,-4.2) -- (2.9,-4.2) -- (2.9,-3.5) -- (2.2,-3.5) -- (2.2,-4.2);
\draw (2.4,-2.1) -- (3.4,-2.1);
\draw (2.1,-5.5) -- (2.1,-6.5);
\draw (-3.7,-4.7) -- (-3.2,-4.2);
\draw (-1,-5.9) -- (-0.7,-5.5) -- (-0.7,-4.8) -- (-1,-5.2) --  (-1,-5.9);
\draw (-1.7,-3.2) -- (-1,-3.2) -- (-0.7,-2.8) -- (-1.4,-2.8) --   (-1.7,-3.2);


\draw[->] (-1.5,-4) -- (-2.5,-4.2);
\draw[->] (-0.2,-4.7) -- (-0.5,-5);
\draw[->] (0.7,-4.7) -- (1.3,-5.4);
\draw[->] (1.5,-3.8) -- (1.9,-3.8);
\draw[->] (1.5,-3.1) -- (2.2,-2.5);
\draw[->] (-0.4,-3.4) -- (-0.7,-3.1);

% triangles horizontaux
\draw (3,-7.5) -- (-3.5,-10) -- (2,-11) --  (3,-7.5);
\draw (0.5,-9.5) node{$\tau$};

\end{tikzpicture}

\caption{Sp\'ecialisations possibles d'un
5-simplexe au dessus d'un 2-simplexe $\tau$}
On a dessin\'e les fibres
au dessus des points g\'en\'eriques des diff\'erentes faces de $\tau$.
\end{center}
\end{figure}

%%%\vfill\break


\begin{theorem}\libel{COMPFA} Soit $f\colon \Delta\to T$ un
morphisme simplicial. Consid\'erons le faisceau prismal ${\cal S}_f$ de l'exemple
\ref{EXEMSF} et le faisceau prismal ${\cal P}_f $ de l'exemple \ref{EXEMPF}.
Il existe un
morphisme surjectif $\psi \colon {\cal P}_f  \rightarrow {\cal S}_f$ de faisceaux
prismaux sur $f(\Delta)$ tel que \par 
\noindent a) Pour chaque simplexe $\tau$ de $f(\Delta)$ les morphismes $\theta^{\sg^k}$ et  
$\psi^{\sg^k}$ de la Proposition \ref{JOINT} d\'efinissent un isomorphisme $\theta_\tau$ de 
$f^{-1}({\rond \tau})$ sur ${\rond \tau}\times F_{\tau}$. Le compos\'e $\theta_\tau \circ \psi$ 
s'\'etend en un isomorphisme prismal de ${\cal P}_f (\tau)$ sur $\tau \times F_\tau$. 

\noindent b) La formation du faisceau ${\cal P}_f$ est fonctorielle et universelle. Plus
pr\'ecis\'ement~:
\begin{enumerate}
\item pour tout morphisme prismal $ \phi^{f} \colon \Rho' \rightarrow
\Delta$, il existe un faisceau prismal ${\cal F}(\Rho')$ sur $f(\Delta)$ et un
morphisme de faisceaux prismaux ${\cal F}(\phi^{f}) \colon {\cal F}(\Rho') \rightarrow {\cal P}_f$,
\item \'etant donn\'e un morphisme surjectif $\psi'
\colon {\cal F}' \rightarrow {\cal S}_f$ de faisceaux prismaux sur $f(\Delta)$ tel
que l'image inverse de tout simplexe $\tau$ de $f(\Delta)$ par $f\circ \psi'$ soit
r\'eunion de produits de $\tau$ par des prismes, il existe un unique morphisme
$\chi \colon {\cal F}' \rightarrow {\cal P}_f$ rendant commutatif le diagramme
de faisceaux prismaux au dessus de $f(\Delta)$ : 
\end{enumerate}
$$
\xymatrix{ 
{\cal F}' \ar[rr] ^{\chi} \ar[rd]_{\psi'} && {\cal P}_f \ar[ld]^\psi \\
&{\cal S}_f \; .
 }
$$
\end{theorem}

\begin{preuve}
 Montrons l'existence d'un morphisme de faisceaux prismaux $\psi \colon {\cal
P}_f \rightarrow {\cal S}_f$. Un point d'un prisme est d\'etermin\'e
par ses coordonn\'ees barycentriques dans chaque simplexe. Pour tout $\sg$ on a
d\'efini dans l'exemple \ref{JOINT} un morphisme prismal $\psi^\sg\colon \pi (\sg )\to
\sg$. Les morphismes $\psi ^\sigma$ et $ \psi ^{\sigma'}$ co\"\i ncident sur $\pi
(\sigma \cap \sigma')$, et nous avons donc d\'efini un morphisme prismal $\psi_\tau
\colon {\cal P}_f(\tau) \rightarrow f^{-1}(\tau) ={\cal S}_f(\tau)$. 

Entre autres, si $\tau'$ est une face d'un
simplexe $\tau$, on a un diagramme commutatif : 
$$
\xymatrix@C=1.3cm { 
{\cal P}_f(\tau)  \ar[r]^-{\psi_\tau}  \ar[d]^{h_{\tau',\tau}} & {\cal S}_f(\tau) \ar[d]^{h_{\tau',\tau}} \\ 
{\cal P}_f(\tau')   \ar[r]^-{\psi_{\tau'}}  & {\cal S}_f(\tau').}
$$

Le a) r\'esulte alors de la Proposition \ref{JOINT} et de 
 l'exemple \ref{EXEMPF}. 

Prouvons b); il suffit de v\'erifier l'\'enonc\'e restreint \`a un simplexe
$\sigma$ de ${\cal S}_f(\tau)$. La d\'efinition de ${\cal P}_f$ 
et la structure de produit de $\pi(\sg)$ impliquent que pour
tout prisme $\pi'$ de l'image inverse de $\sigma$ par $\psi'$, on a une application
naturelle de $\pi'$ dans $\pi (\sigma)$, d'o\`u le r\'esultat.
\end{preuve}

\begin{remarques}\libel{REM} \par 1) Le morphisme $\psi$ est
essentiellement un \'eclatement comme le montre l'\'ecriture locale $\lambda_i=t_j\mu_{j,i}$. 
En particulier, le morphisme $\psi^\sg : \pi(\sg) \to \sg$ n'est un isomorphisme que si 
$\sg$ est isomorphe \`a son image par $f$. 
Soulignons que le morphisme $\pi(\sg) = \tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s \to \sg_j$
qui rend commutatif le diagramme
$$
\xymatrix@C=0.4cm{ 
\sg_0 * \cdots * \sg_s  \ar[rd]_{\theta^{\sigma_j}} && \tau\times\sg_0\times\cdots\times\sg_s 
\ar[ll]_{\psi^\sg}    \ar[ld]^{{\rm pr}_j} \\
&\sg_j }
$$
o\`u $\theta^{\sigma_j}$ d\'esigne le morphisme introduit dans l'exemple \ref{JOINT}, est
bien la
$j$-\`eme projection ${\rm pr}_j$ du produit.\par\noindent

2) Le jacobien de l'application $\psi^\sg$ est \'egal \`a :
$$t_0^{\vert \sg_0 \vert} t_1^{\vert \sg_1 \vert} \cdots t_s^{\vert \sg_s \vert}.$$

3) La cat\'egorie des ensembles et
morphismes prismaux est ``la plus petite" cat\'egorie contenant celle des ensembles et
morphismes simpliciaux et dans laquelle on a existence et unicit\'e \`a isomorphisme pr\`es du
produit fibr\'e.\par
 L'existence du produit fibr\'e d\'ecoule du fait que, puisque les applications
prismales sont lin\'eaires sur chaque simplexe, le sous-ensemble d'un produit
$\pi_1\times \pi_2$ de prismes d\'efini par la condition $f_1(x_1)=f_2(x_2)$, o\`u
$f_1\colon \pi_1\to \tau$ et $f_2\colon \pi_2\to
\tau$ sont des morphismes prismaux, est un prisme. La v\'erification de la
propri\'et\'e universelle est imm\'ediate.
\end{remarques}

\noindent{\sl Caract\'erisation des faisceaux prismaux provenant de
morphismes simpliciaux}

\begin{definitions}\libel{DIMREL} a) Soit ${\cal F}$ un
faisceau  prismal sur un complexe simplicial $T$, on dit que le prisme $\pi \in {\cal
F}(\tau)$ est trivial s'il s'\'ecrit $\pi=\tau \times\sigma_0 \times \cdots \times 
\sigma_s$;

b) On appelle {\it dimension relative}  d'un prisme $\pi\in {\cal F}(\tau)$ et on
note $\hbox{dim}_{rel}(\pi)$,  la diff\'erence $\hbox {dim}\pi - \dim \tau$.

c) On dit que le prisme $\pi \in {\cal F}(\tau)$ est {\it \'equidimensionnel} au
dessus d'une face $\tau'$ de $\tau$ si la dimension relative de $\pi\vert \tau'$
est \'egale \`a celle de $\pi$. 
\end{definitions}

Un prisme de dimension relative nulle est \'equidimensionnel au dessus de toutes les
faces de $\tau$.   Le morphisme $\sg_1 \to \tau_1$ de la figure \ref{figureun} n'est pas \'equidimensionnel au dessus du  sommet 
$y_0$ de $\tau_1$. 

\begin{proposition}
[Caract\'erisation des faisceaux de la forme ${\cal S}_f$] \libel{PROCAR}  Un faisceau prismal
${\cal F}$  sur un complexe simplicial $T$ est de la forme  ${\cal S}_f$, 
pour un morphisme simplicial $f:X \to T$, si et
seulement si~:
\begin{enumerate}
\item Tous les prismes de ${\cal F}$ sont des simplexes,
\item Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$, et tout simplexe $\sigma$ de
${\cal F}(\tau)$, le morphisme $h_{\tau',\tau} : {\cal F}(\tau) \to {\cal F}(\tau')$ est surjectif et  on a un
isomorphisme simplicial $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong \sigma\vert_{\tau'}$.
\end{enumerate}
\end{proposition}

\begin{preuve} Le fait que les conditions 1) et 2) soient n\'ecessaires
r\'esulte aussit\^ot de la construction de l'exemple \ref{EXEMSF}. Montrons qu'elles
sont suffisantes; nous construisons l'espace $X$ de la d\'efinition \ref{ANALYT}  par
recollement. Notons $X_{\tau}= e_\tau^{-1}(\tau)$, alors pour toute face $\tau'$ de
$\tau$, on a $X_{\tau}\vert_ {\tau'}=X_{\tau'}=h_{\tau',\tau}(X_{\tau})$.
D\'efinissons l'espace $X$ comme quotient  de la r\'eunion des $X_\tau$ par la
relation d'identification des restrictions au dessus des faces des simplexes de
$T$. L'application $f\colon X \to T$  est naturellement d\'efinie. 
\end{preuve}

\begin{lemma}\libel{LEMEQU} Consid\'erons le faisceau
prismal  ${\cal S}_f$ de base $T$. Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$,  et
tout simplexe
$\sigma$ de ${\cal S}_f(\tau)$, on a \'equivalence des propri\'et\'es  suivantes~:
\begin{description}
\item[{\sl (i)}] $\hbox{dim}_{rel}h_{\tau',\tau}(\sigma)=\hbox{dim}_{rel}(\sigma)$ 
\item[{\sl (ii)}] $\sigma$ est \'equidimensionnel au dessus de la face $\tau'$.
\item[{\sl (iii)}]  Si $\tau''$
est la face oppos\'ee de $\tau'$ dans $\tau$, la projection  $\sg\vert_{\tau''}\to
\tau''$ est un isomorphisme.
\end{description}
\end{lemma}

\begin{preuve}
Consid\'erons $\tau$
comme le joint de $\tau'$ et de sa face oppos\'ee $\tau''$. Puisque  $$\dim \sigma =\dim
\sigma\vert_{\tau'} + \dim \sigma\vert_{\tau''}+1$$ et $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong
\sigma\vert_{\tau'}$, l'assertion (i) est \'equivalente \`a dire que $\sigma\vert_{\tau''}$ est
isomorphe \`a $\tau''$ d'o\`u le r\'esultat (voir Figures 1 et 3). 
\end{preuve}

\begin{proposition} [Caract\'erisation des faisceaux du type
${\cal P}_f$]\libel{PROPPF}   Un faisceau prismal ${\cal F}$ sur un complexe simplicial $T$ est de type
${\cal P}_f$ o\`u $f\colon X\rightarrow T$ est un morphisme simplicial si et
seulement si  les conditions suivantes sont r\'ealis\'ees~:
\begin{description}
\item[{\sl a)}] Tout prisme $\pi \in {\cal F}(\tau)$ est le produit de simplexes $\pi=
\tau\times \sigma_0 \times \cdots \times \sigma_s $ avec $s=\dim \tau$, 
\item[{\sl b)}] Si $\tau'<\tau$ le morphisme $h_{\tau',\tau}  : {\cal F}(\tau) \to {\cal F}(\tau')$ est surjectif et si un prisme $\pi
\in {\cal F}(\tau)$ s'\'ecrit $\pi= \tau\times \sigma_0 \times \cdots \times
\sigma_s$, alors on a $h_{\tau',\tau}(\pi) =\tau'\times \sigma'_0 \times \cdots
\times \sigma'_k $ o\`u chaque  $\sigma'_{\beta}$ est l'un des
$\sigma_\alpha$.
\end{description}
\end{proposition}

\begin{preuve}
Si un faisceau prismal ${\cal F}$ est de type  ${\cal
P}_f$, il v\'erifie a) et b) par construction. Montrons la r\'eciproque. Soit donc
un  faisceau prismal ${\cal F}$ satisfaisant a) et b).  On lui associe un faisceau
prismal  ${\cal S}$ de base $T$ de la fa\c con suivante : les  prismes de ${\cal
S}(\tau)$ sont  les joints it\'er\'es $\sigma_0 * \cdots *  \sigma_s$ des simplexes
apparaissant dans  les prismes $\pi= \tau\times \sigma_0  \times \cdots \times
\sigma_s $ de ${\cal F}$.  Ce sont donc des simplexes.  La propri\'et\'e b)
implique que, pour tout simplexe $\sigma$ de ${\cal S}(\tau)$ et pour toute face
$\tau'$ de $\tau$, on a  $h_{\tau',\tau}(\sigma)\cong \sigma\vert_{\tau'}$.
D'apr\`es la proposition \ref{PROCAR}, le faisceau ${\cal S}$ est de la forme ${\cal
S}_f$ et le faisceau ${\cal F}$ est  le faisceau ${\cal P}_f$ qui lui est associ\'e par
la construction de l'exemple \ref{EXEMPF}.
\end{preuve}

\begin{remarque} \label{quisuit} Pour tout prisme  $\pi$ de  ${\cal P}_f(\tau)$ 
et pour tout sommet $\{y\}$ de $\tau$, on a 
$h_{\{y\},\tau}(\pi)=\{y\}\times  \sigma_{i(y)}$ o\`u $\sigma_{i(y)}$ est le
simplexe  $\psi(\pi)\cap (e_\tau)^{-1} (\{ y\})$ de ${\cal S}_f$.
\end{remarque}

\begin{corollary}\libel{COROPF} Consid\'erons le faisceau prismal
${\cal P}_f$ de base $T$. Pour tout couple $\tau'<\tau$ de simplexes de $T$, et tout
prisme  $\pi$ de ${\cal P}_f(\tau)$, on a l'\'equivalence des propri\'et\'es suivantes~:
\begin{description}
\item[{\sl i)}] $\hbox{dim}_{rel}h_{\tau',\tau}(\pi)=\hbox{dim}_{rel}(\pi)$ 
\item[{\sl ii)}] $h_{\tau',\tau}(\pi)=\pi\vert_{\tau'}$ 
\item[{\sl iii)}] $\psi(\pi)$ est \'equidimensionnel au dessus de la face  $\tau'$. 
\end{description}
\end{corollary}

\begin{preuve} La proposition \ref{PROPPF} et la remarque \ref{quisuit} 
impliquent l'\'equivalence de (i) et (ii), la proposition \ref{PROCAR}
et le fait que $\dim \psi(\pi)=\dim \pi$ impliquent l'\'equivalence de (i) et
(iii).
\end{preuve}

\begin{corollary}\libel{COROSF} Consid\'erons le
faisceau prismal ${\cal P}_f$ de base $T$. Pour tout 
simplexe $\tau$ de $T$, et tout prisme  $\pi$ de ${\cal
P}_f(\tau)$, on a l'\'equivalence des propri\'et\'es suivantes~:
\begin{description}
\item[{\sl i)}] $\psi(\pi)$ est \'equidimensionnel en un sommet $y_0$ de
$\tau$. 
\item[{\sl ii)}] $\pi$ est isomorphe au dessus de $\tau$ \`a un produit $\tau
\times\sigma_\pi$. 
\end{description}
\end{corollary}

\begin{preuve} Le corollaire est une cons\'equence directe de la
proposition \ref{PROPPF} et de la remarque \ref{quisuit}. Le simplexe $\sigma_\pi$ du (ii)
est $\psi(\pi)\cap (e_\tau)^{-1} (\{ y_0\})$ de ${\cal S}_f$ o\`u $\{ y_0\}$ est le sommet
de $\tau$ du (i) (voir Figures 1 et 3). 
\end{preuve}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Paragraphe 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Paragraphe 4.1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Th\'eor\`eme de dualit\'e de Poincar\'e relative}

\subsection{Cha\^\i nes et cocha\^\i nes.}



\begin{definition}\libel{DEFCHA} Soient $T$ un ensemble prismal et ${\cal P}$
un  faisceau prismal sur $T$. On appelle {\sl $r$-cha\^\i ne}  sur ${\cal P}$ la
donn\'ee, pour chaque prisme $\tau$ de $T$, d'une somme formelle $c(\tau)= \sum
a_\pi \overline {\pi}$, \`a coefficients r\'eels, d'adh\'erences de prismes de
dimension $r$  de ${\cal P}(\tau)$, de telle fa\c con que, pour chaque face
$\tau'$ de $\tau$, on ait l'\'egalit\'e $(h_{\tau', \tau })_*(c(\tau))=c(\tau')$.
Supposons le faisceau ${\cal P}$ orient\'e; on dit que la cha\^\i ne $c$ est
orient\'ee si les applications $(h_{\tau', \tau})_*$ pr\'eservent l'orientation
des prismes. \par 
Le \sl bord \rm d'un prisme orient\'e $ \sigma_0\times \cdots \times
\sigma_s$ est la cha\^\i ne $$\partial (\sigma_0\times \cdots \times
\sigma_s) = \sum_{j=o}^s (-1)^{\vert \sg_0\vert +\cdots +\vert
\sg_{j-1}\vert}\sigma_0 \times \cdots \times \partial \sigma_j \times \cdots
\times \sigma_s$$ (voir le lemme \ref{INKCID}). Le bord d'une cha\^\i ne est d\'efini par
lin\'earit\'e.
\end{definition}

Remarquons que le bord d'une cha\^\i ne  de dimension relative $r$ n'est pas
en g\'en\'eral une cha\^\i ne de dimension relative $(r-1)$.\par Le \sl bord
relatif \rm d'un prisme $\pi =\tau \times \sigma_0\times \cdots  \times
\sigma_s$ est d\'efini comme la partie de dimension relative $r-1$ du bord de
$\pi$. C'est donc la cha\^\i ne d\'efinie par
$$\partial_e \pi=\sum_{j=o}^s(-1)^{\vert \sg_0\vert
+\cdots +\vert \sg_{j-1}\vert} \tau \times
\sigma_0 \times \cdots \times \partial \sigma_j \times \cdots \times
\sigma_s.$$  On v\'erifie l'\'egalit\'e $\partial_e (\partial_e \pi)=0$.

\begin{definition}\libel{DEFCRE} Soient $T$ un ensemble prismal
et ${\cal P}$ un  faisceau prismal sur $T$. On appelle {\sl $r$-cha\^\i ne 
relative} sur ${\cal P}$ la donn\'ee, pour chaque prisme $\tau$ de $T$, d'une
somme formelle $c(\tau)= \sum a_\pi(y) \overline {\pi}$, \`a coefficients dans
${\cal O}_{\tau}$,  d'adh\'erences de prismes de dimension  relative $r$ de
${\cal P}(\tau)$, de telle fa\c con que chaque fonction $a_\pi$ soit \`a support
dans l'image de $\overline{\pi}$ et que pour chaque face $\tau'$ de $\tau$, on
ait l'\'egalit\'e $(h_{\tau', \tau })_*(c(\tau))=c(\tau')$. Supposons le faisceau
${\cal P}$ orient\'e; on dit que la cha\^\i ne $c$ est orient\'ee si les applications
$(h_{\tau', \tau})_*$ pr\'eservent l'orientation des prismes.
\end{definition}

Notons $ {\cal C}_r^{rel}({\cal P})$  le faisceau de ${\cal O}_{T}$-modules form\'e des $r$
-cha\^ \i nes relatives. Il est engendr\'e comme ${\cal O}_{T}$-module par les
prismes de dimension relative $r$ et est donc libre de type fini si l'application
$f$ est propre. En fait, il est libre au sens suivant: 

\begin{definition}\libel{DEFLIB}
Un faisceau de groupes ${\cal G}$ sur un ensemble prismal $T$ est localement libre si pour chaque
face $\tau'$ d'un prisme $\tau$ de la base l'homomorphisme de groupes $h_{\tau',\tau}\colon
{\cal G}(\tau)\to {\cal G}(\tau')$ est un isomorphisme.\par\noindent Un faisceau de ${\cal
O}_T$-modules ${\cal M}$ est localement libre si sa restriction \`a chaque prisme $\tau$ de la base
est un ${\cal O}_{\tau}$-module libre et, pour chaque face $\tau '$ de $\tau$, l'image par $h_{\tau
',\tau}$ d'une base de ${\cal M}(\tau)$ est une base de ${\cal M}(\tau')$. 
\end{definition}

Le bord relatif $\partial _e$ s'\'etend aux cha\^\i nes et permet de d\'efinir le complexe $ {\cal
C}_\bullet^{rel}({\cal P})$ des cha\^\i nes relatives; c'est un complexe de ${\cal O}_T$-modules
libres. \par    

\begin{definition}\libel{DECORE} Une {\sl $r$-cocha\^\i ne relative} sur un
faisceau prismal  propre est un morphisme ${\cal O}_T$-lin\'eaire du ${\cal O}_T$-module
$C_r^{rel}({\cal P})$ dans  ${\cal O}_T$, c'est-\`a-dire la donn\'ee pour chaque prisme $\tau$ de
$T$ d'un homomorphisme ${\cal O}_\tau$-lin\'eaire de $ {\cal C}_r^{rel}({\cal P}(\tau))$ dans
${\cal O}_\tau$, ces homomorphismes satisfaisant les conditions usuelles de compatibilit\'e. Nous
noterons $C^r_{rel}({\cal P})$ le faisceau de ${\cal O}_T$-modules correspondant; c'est un
faisceau localement libre. 
\end{definition}

Le cobord relatif d'une  $r$-cocha\^\i ne relative $K$ est une $(r+1)$-cocha\^\i ne
$\delta_e K$ d\'efinie par $\delta_e K(c)=K(\partial_e c)$. On d\'efinit ainsi le
complexe $ {\cal C}^\bullet_{rel}({\cal P})$ des cocha\^\i nes relatives.\par

\subsection{Subdivisions barycentriques relatives, sp\'ecialisations, et Bary\`emes.}
Soit ${\cal P}$ un faisceau prismal sur un ensemble simplicial $T$, soient $\tau$
un simplexe de $T$, $A$ et $A'$ deux sous-ensembles de ${\cal P}(\tau)$
d'image $\tau$. On appelle \it joint relatif \rm de $A$ et $A'$ et on note $A
*_{rel} A'$ la r\'eunion des segments reliant un point $a\in A$ \`a un point
$a'\in A'$ chaque fois que $e(a)=e(a')$. On a une projection $p\colon (A
\times_T A') \times {\bf I} \rightarrow A *_{rel} A'$ d\'efinie par
$p(a,a',v)=va+(1-v)a'$ pour $a\in A$, $a'\in A'$, $0\leq v\leq 1$ et
$e(a)=e(a')$.\par    Soit ${\cal P}$ un faisceau prismal de base un ensemble
simplicial $T$, et soit $\tau$ un simplexe de $T$ de sommets $y_0,\ldots ,y_s$.
Pour tout prisme $\pi$ au dessus de $\tau$, et pour tout sommet $y_j$ de
$\tau$, on note $b(\pi_j)$ le barycentre du prisme $\pi_j=\pi \cap
e^{-1}(y_j)$. On d\'efinit l'{\it \^ame relative} de $\pi$ (on dira simplement
\^ame de $\pi$) comme le simplexe de dimension $s$ ayant pour sommets les
barycentres $b(\pi_j)$, qui sont affinement ind\'ependants. L'\^ame relative
de $\pi$ est hom\'eomorphe \`a $\tau$.\par  

\subsubsection{Subdivision barycentrique relative.}
Soit $\pi$ un prisme de
${\cal P}(\tau)$. On d\'efinit la ``subdivision  barycentrique" relative de $\pi$
comme suit :\par 
A toute suite de prismes incidents $\varpi_0<\varpi_1<\cdots <\varpi_k=\pi$ se
projetant tous sur $\tau$, on associe un sous-ensemble $\gamma$ de $\pi$, joint
relatif successif (ou compos\'e) des \^ames des prismes $\varpi_i$, $i=0,\ldots
,k$. On dit que $\gamma$ est un \'el\'ement de la subdivision barycentrique
relative de $\pi$, il est de dimension relative $k$. Au dessus de tout point  de 
l'int\'erieur de $\tau$, $\gamma$ est un prisme de dimension $k$.\par 
La subdivision barycentrique relative d'un ensemble prismal ${\cal P}(\tau)$ est la
r\'eunion des subdivisions barycentriques relatives des prismes de ${\cal
P}(\tau)$. Si $\gamma$ est un \'el\'ement de la subdivision barycentrique relative
de ${\cal P}(\tau)$ et si $\tau'$ est une face de $\tau$, l'\'el\'ement
$h_{\tau',\tau }(\gamma)$ est un \'el\'ement de la subdivision barycentrique
relative de ${\cal P}(\tau')$; la subdivision barycentrique d'un faisceau prismal
est donc un faisceau prismal. En fait on a~:

\begin{lemma}\libel{OFAREM}   Soit ${\cal S}$. un faisceau prismal et ${\cal P}$  le
faisceau prismal qui lui est associ\'e comme dans le th\'eor\`eme \ref{COMPFA}. La subdivision
barycentrique du faisceau prismal ${\cal P}$ est le faisceau prismal associ\'e \`a la subdivision
barycentrique de ${\cal S}$.
\end{lemma}

\begin{figure}\label{ttttt}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\node (A) at (-6,5) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (A) {A} ;

\node (B) at (-6,1) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (B) {B} ;

\node (C) at (0,0) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (C) {C} ;

\node (D) at (4,1.5) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (D) {D} ;

\node (E) at (1.5,4.5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (E) {E} ;

\node (a) at (1.75,2.75) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (a) {a} ;

\node (b) at (-6,2.5) [coordinate] {} ;
\node [left] at (b) {b} ;

\node (c) at (2.2,0.825) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (c) {c} ;

%figure de gauche
\draw (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (A) -- (B);
\draw (A) -- (C) -- (E);
\draw (-3,0.5) -- (-3,2.5) -- (-2.25,4.75);
\draw [dashed] (B) --  (D) -- (A);
\draw [dashed] (-3,0.5) -- (-1,1.25) -- (-1,3.25) -- (-2.25,4.75);
\draw [dashed] (-3,2.5) -- (-1,3.25);


\draw [line width=1pt,densely dashed] (A) -- (a) -- (c) -- (A);
\filldraw[color=lightgray,pattern=vertical lines] (A) -- (a) -- (c) ;

\draw [line width=1pt,densely dashed]  (A) -- (b) -- (c);
\filldraw[color=lightgray,pattern=horizontal lines] (A) -- (b) -- (c) ;
% textes

%fleches
\draw[->] (-2,-0.5) -- (-2,-1.5);
\draw (-2.8,-1) node{e};

\draw (-6,-2.5) -- (2,-2.5);
\draw (-4,-2.3) node{$\tau$};
\filldraw [black] (-2,-2.5) circle (1.5pt);
\draw (-2,-2.9) node{$y$};
\filldraw [black] (-6,-2.5) circle (1.5pt);
\filldraw [black] (2,-2.5) circle (1.5pt);

\draw [line width=1.5pt,densely dashed] (-1.91,1.675) -- (-1.89,2.875) --  (-2.125,3.875);

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Ames et cellules relatives}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}%[scale=1.5]

\node (A) at (-8,8) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (A) {$A$} ;
\node (B) at (-8,3) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (B) {$B$} ;
\node (C) at (0,0.5) [coordinate] {C} ;
\node [below right] at (C) {$C$} ;
\node (D) at (4,5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (D) {$D$} ;

\draw (A) -- (B) -- (C) -- (D) -- (A) -- (C);
\draw [dashed] (B) --  (D) ;

\node (a) at (2,3) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (a) {$a$} ;
\node (b) at (-8,5.5) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (b) {$b$} ;

\draw [line width=2pt, dashed] (B) --  (a) -- (b);
  
  
  \draw (-8,-1.5) -- (2,-1.5);
  
  
\draw[line width=0cm, color=white](0,3) coordinate (j_1) -- (-2,0.5) coordinate (j_2);
\coordinate (j) at (intersection of B--C and j_1--j_2);
 \draw (j_1) -- (j);
 \draw[line width=0cm, color=white](0,3) coordinate (j_1) -- (0,6) coordinate (j_3);
 \coordinate (j_4) at (intersection of b--a and j_1--j_3);
  \draw (j_1) -- (j_4);
    \draw (j) -- (j_4);
    
    \draw[line width=0cm, color=white](-1.5,3) coordinate (k_1) -- (-3.5,0.5) coordinate (k_2);
\coordinate (k) at (intersection of B--C and k_1--k_2);
 \draw (k_1) -- (k);
 \draw[line width=0cm, color=white](-1.5,3) coordinate (k_1) -- (-1.5,6) coordinate (k_3);
 \coordinate (k_4) at (intersection of b--a and k_1--k_3);
  \draw (k_1) -- (k_4);
    \draw (k) -- (k_4);

  \draw[line width=0cm, color=white](-3,3) coordinate (m_1) -- (-5,0.5) coordinate (m_2);
\coordinate (m) at (intersection of B--C and m_1--m_2);
 \draw (m_1) -- (m);
 \draw[line width=0cm, color=white](-3,3) coordinate (m_1) -- (-3,6) coordinate (m_3);
 \coordinate (m_4) at (intersection of b--a and m_1--m_3);
  \draw (m_1) -- (m_4);
    \draw (m) -- (m_4);

  \draw[line width=0cm, color=white](-4.5,3) coordinate (p_1) -- (-6.5,0.5) coordinate (p_2);
\coordinate (p) at (intersection of B--C and p_1--p_2);
 \draw (p_1) -- (p);
 \draw[line width=0cm, color=white](-4.5,3) coordinate (p_1) -- (-4.5,6) coordinate (p_3);
 \coordinate (p_4) at (intersection of b--a and p_1--p_3);
  \draw (p_1) -- (p_4);
    \draw (p) -- (p_4);

  \draw[line width=0cm, color=white](-6,3) coordinate (q_1) -- (-7.5,0.5) coordinate (q_2);
\coordinate (q) at (intersection of B--C and q_1--q_2);
 \draw (q_1) -- (q);
 \draw[line width=0cm, color=white](-6,3) coordinate (q_1) -- (-6,6) coordinate (q_3);
 \coordinate (q_4) at (intersection of b--a and q_1--q_3);
  \draw (q_1) -- (q_4);
    \draw (q) -- (q_4);

\draw (-3.5,5.5) node{$\pi_2$};
\draw (1.5,4) node{$\pi_1$};
\draw (-4.2,1.5) node{$\pi_0$};
\draw (-4,-1.8) node{$\tau$};

\draw[->] (-3,0.2) -- (-3,-1);
\draw (-3.3,-0.4) node{e};
  
\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Joint relatif}
Le sous-ensemble de la subdivision barycentrique relative
de  $\pi$, correspondant \`a la suite $\varpi_0=BC<\varpi_1=BCD<\varpi_2=ABCD=\pi$
est le joint relatif de $BC$ (\^ame de $\varpi_0$), $Ba$ (\^ame de $\varpi_1$) et
$ba$ (\^ame de $\varpi_2$), sa fibre au dessus d'un point g\'en\'erique de $\tau$
est un triangle. Le bary\`eme $b(\varpi_0,\varpi_2)$ est le t\'etra\`edre $BbCa$, r\'eunion 
de l'ensemble pr\'ec\'edent et de celui correspondant \`a la suite 
$\varpi_0=BC<\varpi'_1=BCA<\varpi_2=ABCD=\pi$.\par   
\end{figure}

\subsubsection{Cellules duales relatives. }

Soit $\pi$ un prisme de ${\cal P}(\tau)$ de dimension relative $r$. On
d\'efinit la cellule duale  \footnote{Le terme ``cellule duale" est ici
employ\'e abusivement, en fait ce sont bien des cellules si la fibre type $F_\tau$
est une vari\'et\'e topologique lisse.} relative de $\pi$ comme la r\'eunion des
sous-ensembles $\gamma$ de la subdivision barycentrique relative de ${\cal P}(\tau)$
tels que l'intersection $\gamma \cap \pi$ soit exactement l'\^ame de $\pi$, on la
note $D(\pi)$. \par  
La cellule duale relative de $\pi$ est la r\'eunion des sous-ensembles
(ferm\'es) $\gamma$ de la subdivision barycentrique relative de ${\cal P}(\tau)$
ayant pour face l'\^ame relative de $\pi$, de dimension relative  $\hbox{dim}{\cal
P}(\tau)-r$ et correspondant aux suites de prismes incidents 
$\varpi_0<\varpi_1<\cdots <\varpi_k$ pour lesquelles $\varpi_0=\pi$ et $\varpi_k$
est de dimension maximum dans ${\cal P}(\tau)$.

\begin{figure}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\node (A) at (0,0) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (A) {A} ;
\node (B) at (8.5,4) [coordinate] {} ;
\node [right] at (B) {B} ;
\node (C) at (1,11.5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (C) {C} ;
\node (D) at (-4,4) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (D) {$\pi_0$} ;
\node [below left] at (D) {D} ;
\node (E) at (-2,2) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (E) {E} ;
\node (F) at (2,2.5) [coordinate] {} ;
\node [right] at (F) {F} ;
\node (G) at (3,4) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (G) {G} ;
\node (H) at (2,6.5) [coordinate] {} ;
\node [right] at (H) {H} ;
\node (I) at (-1.5,7.75) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (I) {I} ;
\node (J) at (-1.5,5) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (J) {J} ;
\node (K) at (-1.628,4) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (K) {K} ;
\node (L) at (1.5,5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (L) {\bf L} ;

\draw (B) -- (C) -- (D) -- (E) -- (A) -- (B);

\draw (A) -- (C);

\draw [dashed] (D) -- (K);
\draw [dashed] (G) -- (B);

\draw [line width=1pt,densely dashed] (E) -- (F) -- (L) -- (E) -- (J) -- (L) -- (I) -- (H) -- (L) -- (G) -- (F);
\draw [line width=1pt,densely dashed] (I) -- (J);
\draw [line width=1pt,densely dashed] (G) -- (H);

\filldraw[color=lightgray,pattern=horizontal lines] (I) -- (J) -- (L) %-- (H)
;
\filldraw[color=lightgray,pattern=vertical lines] (I) -- (H) -- (L) %-- (H)
;
\filldraw[color=lightgray,pattern=north east lines] (F) -- (L) -- (H) -- (G);
\filldraw[color=lightgray,pattern=north west lines] (E) -- (J) -- (L) -- (F);
\filldraw[color=lightgray,pattern=dots] (E) -- (J) -- (I) -- (D);

\draw (-0.7,9.5) node{$\pi_1^1$};
\draw (-1.5,1) node{$\pi_1^2$};
\draw (5,4.3) node{$\pi_1^3$};
\draw (3.6,7) node{$\pi$};
\draw (-4,-2.3) node{$\tau$};

\end{tikzpicture}
\end{center}
\caption{Cellule relative}
La cellule duale relative de $\varpi_0$ est la r\'eunion des
sous-ensembles $\gamma$ correspondant aux suites de prismes incidents $\varpi_0 <
\varpi_1 < \varpi_2 < \varpi_3$ (figure faite dans le cas absolu, par commodit\'e du
dessin). Le bord du bary\`eme $b(\varpi_0,\pi)$ est la r\'eunion des bary\`emes 
$b(\varpi_1^i,\pi)$ o\`u $\varpi_1^i$ parcourt les faces de $\pi$ contenant $\varpi_0$
comme face de codimension 1.
\end{figure}



\begin{remarque}\libel{ABBREM} La partie de la cellule duale de
$\varpi_0$ contenue dans un prisme $\pi$ admettant $\varpi_0$ comme face
se construit \`a l'aide des suites $\varpi_0<\varpi_1<\cdots <\varpi_i < \cdots
<\varpi_k$ telles que $\varpi_k =\pi$ et $\dim \varpi_{i+1} -\dim \varpi_i
=1$ pour tout $i$.\par   La cellule duale relative de $\pi$ est aussi la r\'eunion
des joints relatifs de l'\^ame relative de $\pi$ et des cellules duales relatives des
prismes $\pi'$ de dimension relative $r+1$ contenant $\pi$ dans leur bord
(donc tels que $e(\pi)=e(\pi')=\tau$). 
\end{remarque}

La cellule duale d'un prisme de dimension relative maximum est l'\^ame relative de
ce prisme. Elle est de dimension relative 0. En g\'en\'eral, si
$\hbox{dim}_{rel}\pi = r$, alors $\hbox{dim}D(\pi)=\hbox{dim}St_{{\cal
P}(\tau)}(\pi)-r$ et donc $\hbox{dim}_{rel} D(\pi) = \hbox{dim}St_{{\cal
P}(\tau)}(\pi)-\hbox{dim}\pi$.\par   


\begin{figure}\label{figare}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}

\node (A1) at (-3,3) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (A1) {$A_1$} ;
\node (A2) at (-4,1) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (A2) {$A_2$} ;
\node (Ap) at (6.5,0.5) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (Ap) {$A'$} ;

\node (B1) at (-4,-1.5) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (B1) {$B_1$} ;
\node (B2) at (-3,-3) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (B2) {$B_2$} ;
\node (Bp) at (7,-2) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (Bp) {$B'$} ;

\node (C1) at (-1,-3.5) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (C1) {$C_1$} ;
\node (C2) at (1.5,-3.5) [coordinate] {} ;
\node [below left] at (C2) {$C_2$} ;
\node (Cp) at (9,-2.5) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (Cp) {$C'$} ;

\node (D) at (3,-2.5) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (D) {$D$} ;
\node (Dp) at (10.5,-1.5) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (Dp) {$D'$} ;

\node (E1) at (4,-0.5) [coordinate] {} ;
\node [below right] at (E1) {$E_1$} ;
\node (E2) at (4,1) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (E2) {$E_2$} ;
\node (Ep) at (11,0) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (Ep) {$E'$} ;

\node (F1) at (3,2.5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (F1) {$F_1$} ;
\node (F2) at (1.5,3.5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (F2) {$F_2$} ;
\node (Fp) at (10.5,1.5) [coordinate] {} ;
\node [above right] at (Fp) {$F'$} ;

\node (G) at (-1,4) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (G) {$G$} ;
\node (Gp) at (8.5,2) [coordinate] {} ;
\node [above left] at (Gp) {$G'$} ;

\node (H) at (-2,0) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (H) {$H$} ;
\node (Hp) at (9,-0.5) [coordinate] {} ;
%\node [left] at (Hp) {$H'$} ;

\node (I) at (-1,-1.5) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (I) {$I$} ;
\node (J) at (1.5,-1.5) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (J) {$J$} ;
\node (K) at (1.5,0.5) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (K) {$K$} ;
\node (L) at (-0.5,1.5) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (L) {$L$} ;
\node (M) at (0,0) [coordinate] {} ;
%\node [above left] at (M) {$M$} ;

\draw (M) -- (H) -- (A2) -- (B1) -- (H) -- (I) -- (B2) -- (C1) -- (I) -- (J) -- (C2) -- (D) -- (J) -- (E1) -- (J) -- (K) -- (E2) -- (F1) -- (K) -- (L) -- (F2) -- (G) -- (L) -- (A1) -- (A2);
\draw (H) -- (L) -- (M) -- (K);
\draw (J) -- (M) -- (I);
\draw (D) -- (E1) -- (E2);
\draw (B1) -- (B2);
\draw (C1) -- (C2);
\draw (F1) -- (F2);
\draw (A1) -- (G);

\draw (Ap) -- (Hp) -- (Gp) -- (Fp) -- (Ep) -- (Dp) -- (Cp) -- (Bp) -- (Ap) ;
\draw (Bp) -- (Hp) -- (Cp);
\draw (Dp) -- (Hp) -- (Ep);
\draw (Fp) -- (Hp);
\draw (Ap) -- (Gp);

\node (a) at (-2.5,1.5) [coordinate] {};
\node (b) at (-3,0.5) [coordinate] {};
\node (c) at (-3.5,-0.25) [coordinate] {};
\node (d) at (-3,-0.75) [coordinate] {};
\node (e) at (-2.5,-1.5) [coordinate] {};
\node (f) at (-1.5,-0.75) [coordinate] {};
\node (g) at (-0.8,-0.5) [coordinate] {};
\node (h) at (-1,0) [coordinate] {};
\node (i) at (-0.8,0.5) [coordinate] {};
\node (j) at (-1.25,0.75) [coordinate] {};

\filldraw[fill=gray!20!white , dashed] (a) -- (b) --  (c) -- (d) -- (e) -- (f) -- (g) -- (h) -- (i) -- (j)  -- (a);

\node (k) at (8,-1.25) [coordinate] {};
\node (l) at (7.75,0) [coordinate] {};
\node (m) at (7.5,-0.7) [coordinate] {};
\filldraw[fill=gray!20!white , dashed]  (l) --  (m) -- (k) -- (Hp) -- (l);

\draw (M) -- (H) -- (A2) -- (B1) -- (H) -- (I) -- (B2) -- (C1) -- (I) -- (J) -- (C2) -- (D) -- (J) -- (E1) -- (J) -- (K) -- (E2) -- (F1) -- (K) -- (L) -- (F2) -- (G) -- (L) -- (A1) -- (A2);
\draw (H) -- (L) -- (M) -- (K);
\draw (J) -- (M) -- (I);
\draw (D) -- (E1) -- (E2);
\draw (B1) -- (B2);
\draw (C1) -- (C2);
\draw (F1) -- (F2);
\draw (A1) -- (G);

\draw (Ap) -- (Hp) -- (Gp) -- (Fp) -- (Ep) -- (Dp) -- (Cp) -- (Bp) -- (Ap) ;
\draw (Bp) -- (Hp) -- (Cp);
\draw (Dp) -- (Hp) -- (Ep);
\draw (Fp) -- (Hp);
\draw (Ap) -- (Gp);

\draw (-2,0.3) node{$H$};
\draw (8.5,-0.6) node{$H'$};

\draw (-2.6,2) node{$\pi_2$};
\draw (-3.6,0.3) node{$\pi_1$};
\draw (-2.7,-2) node{$\pi_3$};
\draw (-0.6,0.8) node{$\pi_5$};
\draw (-1,-1) node{$\pi_4$};
\draw (0.4,0.6) node{$\pi_6$};
\draw (1,-0.4) node{$\pi_7$};
\draw (0.2,-1) node{$\pi_8$};


\end{tikzpicture}
\medskip
\hglue 0.5truecmFibre de ${\cal P}$ au dessus de $y\in \tau$,\hskip 3truecm
Fibre de ${\cal P}$ au dessus de $y' \in \tau'$
\medskip

\caption{${\cal S}_f$ et  ${\cal P}_f$ au dessus de $\tau$}

\end{center}
%\caption{}
Comme expliqu\'e dans la figure \ref{defigure2}, et avec les fibres ci-dessus, les
prismes $\pi_2$ et $\pi_3$ se sp\'ecialisent en $A'H'$ et $B'H'$
respectivement, les prismes $\pi_4$ \`a $\pi_8$ d\'eg\'en\`erent en $H'$.
L'image de la cellule duale de $H$ par $h_{\tau,\tau'}$ n'est pas la
cellule duale de $H'=h_{\tau,\tau'}(H)$. Par contre, les bary\`emes v\'erifient
la proposition \ref{OPIENS} ci-dessous.
\end{figure}

L'exemple  de la figure \ref{figare}, qui se comprend \`a l'aide de la figure \ref{defigure2}, 
montre que la formation du dual ne commute pas avec la sp\'ecialisation.
Dans le cas o\`u ${\cal P}$ est le faisceau prismal ${\cal S}_f$ et o\`u 
${\cal P}(\tau)$ est constitu\'e de 3-simplexes se projetant sur le 1-simplexe
$\tau$, la fibre au dessus d'un point $y$ de $\tau$ peut \^etre un 2-simplexe
se sp\'ecialisant (au dessus de $\tau'$) en un 2-simplexe ou un sommet, ou un
quadrilat\`ere (prisme) se sp\'ecialisant en un 1-simplexe.


\subsection{Bary\`emes}

Pour pallier \`a cet inconv\'enient, l'exemple de la figure \ref{figare} sugg\`ere d'introduire la notion
de \it bary\`eme \rm qui est intuitivement la portion d'une cellule duale qui
est contenue dans un prisme donn\'e.\par
% Faire trois parag: 1) Baryemes (leur bord, la specialisation, leur homologie
% est libre. 2) Baryemes et cellules duales (proprietes de specialisation)
%3) Dualite de Poincare. (sur les entiers!)

\begin{definition}\libel{OHZREM} Etant donn\'e un couple $(\pi_0,\pi)$ de
prismes de ${\cal P}(\tau)$ ayant tous deux pour image $\tau$ et tels que
$\pi_0< \pi$, on appelle \it  bary\`eme associ\'e \`a $(\pi_0,\pi)$ \rm , et on
note $b(\pi_0,\pi)$, la r\'eunion des sous-ensembles de la subdivision
barycentrique relative de $\pi$ qui correspondent aux suites
$\pi_0=\varpi_0<\varpi_1<\dots <\varpi_k=\pi$ telles que $\dim \varpi_{i+1}
-\dim \varpi_i =1$ pour tout $i$.
\end{definition}

C'est bien la portion de la
cellule duale relative de $\pi_0$ qui est contenue dans $\pi$. \par \noindent
Etant donn\'e un bary\`eme $b(\pi_0,\pi)$, toute suite de prismes incidents
$\pi_0=\varpi_0<\varpi_1<\cdots <\varpi_l < \cdots <\varpi_k=\pi$ se
sp\'ecialise, au dessus des sommets $y_j$ de $\tau$ en une suite
$$\pi_{0,j}=\varpi_{0,j} <\varpi_{1,j}<\cdots <\varpi_{l,j} < \cdots
<\varpi_{k,j}={\pi}_j\leqno{(*,j)}$$  dans laquelle certaines inclusions sont des
\'egalit\'es. Pour $y_j$, i.e. $j$ fix\'e, soit $K_j$ le nombre de suites possibles
$(*,j)$ pour lesquelles les prismes $\varpi_{l,j}$ sont distincts et de
codimensions successives 1 (c'est-\`a-dire que $\dim \varpi_{l+1,j} -
\dim\varpi_{l,j}=1$). Dans ce cas,  les barycentres des prismes $\varpi_{l,j}$
engendrent un simplexe de dimension $k_j = \dim ({\pi}_j) - \dim (\pi_{0,j})$.
Ce simplexe est l'un des simplexes composante de la sp\'ecialisation de
$b(\pi_0,\pi)$ \`a $y_j$, on le note $\beta_{j,k_j}$ avec $k_j\in K_j$.   \par  

Dans le cas du faisceau prismal ${\cal S}_f$ on peut alors
exprimer le bary\`eme  $b(\pi_0,\pi)$ comme r\'eunion de simplexes. En effet, 
soit $\pi$ un simplexe situ\'e au dessus de $\tau$, on note $\pi_j$ la 
restriction de $\pi$ au dessus du sommet $y_j$ de $\tau$ et $k_j$ sa dimension. 
Soit $\pi'$ une face de $\pi$ situ\'ee au dessus de $\tau$, on note $\pi'_j$ la 
restriction de $\pi'$ au dessus du sommet $y_j$ de $\tau$ et $k'_j$ sa dimension. On 
a $\sum_{j=0}^s k_j = k-s$. La donn\'ee d'une suite 
$\pi'=\varpi_0<\varpi_1<\cdots <\varpi_l 
< \cdots <\varpi_k=\pi$ de faces de $\pi$ telles que $\dim \varpi_{j+1} -
\dim \varpi_j =1$ pour tout $j$ \'equivaut au choix d'une suite de $(k_0-k'_0) + \cdots 
 + (k_s-k'_s)$ sommets, puisque les sommets de $\pi'$ sont d\'ej\`a fix\'es 
au dessus de chaque sommet $y_j$. 
Il y a donc $(k_0 +  \cdots + k_s - (k'_0 +  \cdots + k'_s))!$ telles suites. En fait, 
plusieurs suites peuvent donner lieu aux m\^emes simplexes $\beta_{j,k_j}$
puisque ces derniers ne sont d\'etermin\'es que par l'ordre dans lequel sont
choisis les sommets de $\pi_j$. Il y a donc, pour chaque $j$, et toujours pour
$\pi_0$ fix\'e, $(k_j -k'_j)!$ simplexes $\beta_{j,k_j}$ possibles (ce sont des
simplexes de la subdivision barycentrique de $\pi_j$). En tout, on obtient 
$(k_0-k'_0)! \times \cdots \times ( k_s-k'_s)!$ possibilit\'es de $(s+1)$-uples
$\beta_{0,k_0},\ldots, \beta_{j,k_j},\ldots,\beta_{s,k_s}$ et chacun de ces
$(s+1)$-uples donne lieu \`a un simplexe $\beta_{0,k_0}*\cdots*\beta_{j,k_j}* \cdots*
\beta_{s,k_s}$ du bary\`eme $b(\pi_0,\pi)$. En notant ${\cal S}$ l'ensemble des
permutations de $(k_0 +  \cdots + k_s - (k'_0 +  \cdots + k'_s))$ 
\'el\'ements, ne tenant compte
que des ordres des $k_0-k'_0$ premiers, puis des $k_1-k'_1$ suivants, etc..., on a donc :
$$b(\pi_0,\pi) = \bigcup_{\sigma \in {\cal S}}\left( \beta_{0,k_0} *
\cdots * \beta_{j,k_j}* \cdots * \beta_{s,k_s}\right ).$$
% $$b(\pi_0,\pi) = \bigcup_{j=0}^{s}\left( \bigcup_{k_j\in K_j} \beta_{0,k_0} *
% \cdots * \beta_{j,k_j}* \cdots * \beta_{s,k_s}\right )$$
Dans le cas du faisceau prismal ${\cal P}_f$, tous les $\bigcup_{k_j\in K_j}
\beta_{j,k_j}$, pour $j=0,\ldots ,s$, sont isomorphes \`a un ensemble $B$ et 
$b(\pi_0,\pi)$ est $B\times \tau$.\par
\medskip
D'autre part, on a
$$\hbox{dim}b(\pi_0,\pi)=\hbox{dim}_{rel}\pi - \hbox{dim}_{rel}\pi_0 = 
\hbox{dim}\pi - \hbox{dim}\pi_0.$$

\begin{proposition}\libel{BOBARY} Le bord d'un bary\`eme $b(\pi_0,\pi)$ est
r\'eunion des bary\`emes $b(\pi',\pi)$, o\`u $\pi'$ parcourt les faces de $\pi$
contenant $\pi_0$ comme face de codimension 1.
\end{proposition}
\begin{proof} Le bord de la cellule duale $D(\pi_0)$ de
$\pi_0$ est r\'eunion des bary\`emes associ\'es aux couples $(\pi',\pi)$ pour
lesquels $\pi'$ et $\pi$ ont m\^eme image, $\pi'< \pi$ et $\pi'$
contient $\pi_0$ comme face de codimension 1. Le r\'esultat est une cons\'equence
de la remarque \ref{ABBREM}.\par
Remarquons que le bord d'un bary\`eme est ensemblistement la partie du bord
topo\-lo\-gique de ce bary\`eme qui n'est contenue dans aucune face stricte de
$\pi$. La figure 6, bien que faite dans le cas absolu, illustre cette
proposition.
On peut donc d\'efinir le bord orient\'e d'un bary\`eme orient\'e comme la somme
des bary\`emes pr\'ec\'edents, chacun \'etant muni de l'orientation induite par
celle de $b(\pi_0,\pi)$.  
 \end{proof}

Si $\pi$ est un prisme d'un faisceau prismal orient\'e, tous les bary\`emes sont
naturellement orient\'es comme fragments du bord des cellules duales, et en
particulier le bord d'un bary\`eme est naturellement orient\'e.\par 
Notons $B_k(\tau)$ le groupe libre engendr\'e par les bary\`emes orient\'es de
dimension relative $k$ de ${\cal P}(\tau)$. On a alors:  
\begin{proposition}\libel{GROUPI} Les groupes libres $B_k(\tau)$, munis du
morphisme bord, forment un complexe.
\end{proposition}
\begin{proof} 
Reprenons les notations de la proposition \ref{BOBARY}; le bord de chacun des bary\`emes
$b(\pi',\pi)$ apparaissant dans le bord de $b(\pi_0,\pi)$ est r\'eunion des
bary\`emes $b(\pi'',\pi)$, o\`u $\pi''$ parcourt les faces de codimension 2 de $\pi$ contenues
dans $\pi'$ comme face de codimension 1. Pour chaque couple $\pi'',\pi_0$, il a
exactement deux prismes $\pi'$ tels que $\pi''<\pi'<\pi_0$; en effet, ou bien la
codimension 2 provient d'un seul simplexe $\sg_i$, et cela r\'esulte des
propri\'et\'es classiques des simplexes, ou bien, dans $\pi_0= \sg_0\times\cdots
\times\sg_i\times\cdots \times\sg_j\times\cdots\times \sg_s$, $\pi'' $ est de la forme 
$\sg_0\times\cdots\times
\sg'_i\times\cdots\times \sg'_j\times\cdots \times\sg_s$ , o\`u $\sg'_i$ et $\sg'_j$ sont de
codimension 1 dans $\sg_i$ et $\sg_j$ respectivement, et alors les simplexes $\pi'$ cherch\'es 
sont $\sg_0\times\cdots\times \sg_i\times\cdots \times\sg'_j\times\cdots \times\sg_s$ et
$\sg_0\times\cdots \times\sg'_i\times\cdots\times
 \sg_j\times\cdots \times \sg_s$. Puisque
les deux bary\`emes $b(\pi',\pi)$ pr\'ec\'edents ont la m\^eme orientation, le
bary\`eme $b(\pi'',\pi)$ appara\^\i t dans leur bord avec des orientations
oppos\'ees, ce qui prouve le r\'esultat.   
 \end{proof}
 
\begin{remarque}\libel{SURJ} Si $\tau'$ est une face de $\tau$, toute suite de
prismes incidents au dessus de $\tau'$ est sp\'ecialis\'ee d'une suite de prismes
incidents de m\^eme dimension relative au dessus de $\tau$. Ceci implique que tout
bary\`eme au dessus de $\tau'$ est sp\'ecialis\'e d'un bary\`eme de m\^eme
dimension relative au dessus de $\tau$. 
\end{remarque}
Le lemme \ref{OFAREM} implique le r\'esultat suivant~:\par
\begin{lemma}\libel{LERTRP}
Soit $b(\bar\sg_0,\bar\sg)$ un bary\`eme de ${\cal S_\tau}$ et $\bar\sg_0= \bar\sg_0
<\bar\sg_1<\dots <\bar\sg_k=\bar\sg$ une des suites de prismes le repr\'esentant. 
Alors le bary\`eme $b(\pi(\bar\sg_0),\pi(\bar\sg))$ est d\'ecrit par la suite de prismes 
$\pi_0= \pi(\bar\sg_0) <\pi(\bar\sg_1)<\dots <\pi(\bar\sg_k)=\pi$ de ${\cal P_\tau}$. 
\end{lemma}
\begin{lemma}\libel{LEVARP}  Soit $\beta$ un prisme de dimension maximum de la
cellule duale relative d'un prisme $\pi_0$, alors $\beta$ est d\'efini par une
suite de prismes incidents $ \pi_0=\varpi_0< \cdots < \varpi_k=\pi$ o\`u $\pi$ est
de dimension maximum et les conditions suivantes sont \'equivalentes~:
\begin{description}
\item{i)} $h_{\tau' ,\tau}(\beta)$ est un prisme de dimension maximum de  la cellule duale
relative d'un prisme $\pi'$ de ${\cal P}(\tau')$,  
\item{ii)} $\hbox{dim}_{rel}h_{\tau' ,\tau }(\varpi_i)=\hbox{dim}_{rel}(\varpi_i)$ pour
tout prisme $\varpi_i$ de la suite $\varpi_0 < \cdots < \varpi_k$ d\'efinissant
$\beta$.
\item{iii)} La dimension relative de $h_{\tau' ,\tau}(\pi)$ est \'egale \`a celle de $\pi$
et le prisme  $h_{\tau' ,\tau }(\beta)$ est lin\'eairement isomorphe \`a $\beta
\vert_{\tau'}$ et est donc un prisme de la subdivision barycentrique relative de
$\pi \vert_{\tau'}$. 
\end{description}
\end{lemma}
\begin{proof}
L'\'equivalence de i) et ii) r\'esulte de ce que tout prisme de dimension
maximum d'une cellule duale d'un prisme $\pi'$ de ${\cal P}(\tau')$ admet
pour face l'\^ame d'un prisme $\pi_0$ de dimension maximum de ${\cal
P}(\tau')$, et inversement; prouvons que ii) implique iii). Le prisme $\varpi_0$
du ii) est de la forme $\varpi_0 = h_{\tau' ,\tau}(\pi)$; \'ecrivons $\tau$ comme
joint de $\tau'$ et de sa face oppos\'ee $\tau''$. Le fait que $\varpi_0$ soit de
dimension maximum dans ${\cal P}(\tau')$ implique qu'il est lin\'eairement
isomorphe \`a $\pi \vert_{\tau'}$. D'apr\`es l'\'egalit\'e $\sum t_j
=\hbox{dim}_{rel}\pi$, le fait que $\hbox{dim}_{rel}\pi \vert_{\tau'}=
\hbox{dim}_{rel}\pi$ implique que le prisme $\pi \vert_{\tau''}$ est
hom\'eomorphe \`a $\tau''$ et que la dimension relative de $h_{\tau', \tau}
(\pi)$ est \'egale \`a celle de $\pi$. Inversement, supposons que la dimension
relative de $h_{\tau' ,\tau }(\pi)$ est \'egale \`a celle de $\pi$, le prisme
$h_{\tau' ,\tau }(\beta)$ est lin\'eairement isomorphe \`a $\beta
\vert_{\tau'}$, et est donc un prisme de dimension maximum de la cellule duale 
de $h_{\tau',\tau }(\pi)$. 
\end{proof}



\begin{remarque}\libel{aaaa} Soit $\beta$ un prisme de la subdivision barycentrique relative de
$\pi$; la construction de $\beta$ par joints successifs utilise les \^ames des
prismes d'une suite de prismes incidents $\varpi_0 <\varpi_1 < \cdots <
\varpi_k=\pi$ se projetant tous sur $\tau$, o\`u $k=\hbox{dim}_{rel} (\beta)$.
Soit $\tau'$ une face de $\tau$. Notons $c_{\tau',\tau}(\beta)$ le nombre de
signes d'\'egalit\'e dans la suite $h_{\tau',\tau}(\varpi_0) \leq
h_{\tau',\tau}(\varpi_1)\leq \cdots  \leq h_{\tau',\tau}(\varpi_k)\ =
h_{\tau',\tau}(\pi)$. On a la formule $$c_{\tau', \tau}(\beta)
=\hbox{dim}_{rel}\beta- \hbox{dim}_{rel} h_{\tau',\tau} (\beta).$$
\end{remarque} 
\begin{remarque}\libel{DIZREM}D'apr\`es le Lemme \ref{LEVARP} , si la dimension
relative de $h_{\tau' ,\tau }(\pi)$ est \'egale \`a celle de $\pi$, pour tout
prisme de la subdivision barycentrique de $\pi$, on a $c_{\tau',\tau}(\beta)=0$  ,
et donc pour un bary\`eme $b$ de ${\cal P}(\tau)$, si $c_{\tau',\tau}(\beta)$ est
nul pour un des prismes constituant $b$, il est nul pour tous et par cons\'equent
l'assertion $c_{\tau',\tau}(b)=0$ a un sens.\
\end{remarque} 

\begin{proposition}\libel{OPIENS} Soient ${\cal P}$ un faisceau prismal sur un
ensemble prismal $T$, $\tau$ un prisme de $T$ et $\tau'$ une face de $\tau$. Pour
tout bary\`eme $b(\pi_0, \pi)$ de ${\cal P}(\tau)$, on a l'\'egalit\'e
$$h_{\tau',\tau}(b(\pi_0, \pi))=b(h_{\tau',\tau}(\pi_0), h_{\tau',\tau}(\pi)) $$ 
et en particulier pour tout bary\`eme $b$ de ${\cal P}(\tau)$, $h_{\tau', \tau}(b)$
est un bary\`eme de $ {\cal P}(\tau')$.
 \end{proposition}
 \begin{proof} En effet, soit $\pi_0= \varpi_0 <
\varpi_1<\dots <\varpi_k=\pi$ une des suites de prismes repr\'esentant le
bary\`eme $b(\pi_0, \pi)$, si $c_{\tau' ,\tau}(\pi)=0$, la suite  
$$h_{\tau', \tau}(\varpi_0),\ldots , h_{\tau',\tau}(\varpi_k)$$  
d\'efinit un prisme du bary\`eme $h_{\tau', \tau}(b(\pi_0, \pi))$, et si
$c_{\tau',\tau}(\pi) \neq 0$, il en est de m\^eme de la suite obtenue en
 identifiant les prismes qui sont \'egaux.  
 \end{proof}

 
\begin{corollary}\libel{OPICOR} Les groupes libres ${\cal B}(\tau)$ engendr\'es
par les bary\`emes des ensembles prismaux ${\cal P}(\tau)$ forment un faisceau
${\cal B}({\cal P})$.
\end{corollary}
La remarque \ref{DIZREM} et la proposition \ref{OPIENS} montrent :

\begin{proposition}\libel{PROYOR} Le bord des bary\`emes commute \`a la
sp\'ecialisation :
$$d(h_{\tau',\tau}(b(\pi_1,\pi)))=h_{\tau',\tau}(db(\pi_1,\pi))$$
\end{proposition}
Les corollaires \ref{GROUPI} et \ref{OPICOR} et la proposition
\ref{PROYOR}  montrent que les faisceaux de groupes libres engendr\'es par les
bary\`emes forment un complexe ${\cal B}_\bullet$ de faisceaux prismaux.\par 
L'application $h_{\tau',\tau}$ induit un morphisme de l'homologie de ${\cal
B}_\bullet(\tau)$ dans celle de ${\cal B}_\bullet(\tau')$, c'est \`a dire un morphisme des
faisceaux d'homologie.


\begin{proposition}\libel{CYCOR} 
\begin{description}
\item{a)} L'homomorphisme naturel de faisceaux 
$$\hbox{\rm H}_\bullet ({\cal B}_\bullet) \to \hbox{\rm H}_\bullet ({\cal C}^{rel}_\bullet({\cal
P}))$$ est surjectif et induit un isomorphisme au dessus des prismes de dimension maxima de la
base $T$.
\item{b)} Les faisceaux de groupes d'homologie relative $\hbox{\rm H}_r ({\cal B}_\bullet)$ sont
localement libres au sens de \ref{DEFLIB}.
\end{description}
\end{proposition}

\begin{proof}
Prouvons a) Les
bary\`emes forment un syst\`eme de g\'en\'erateurs de l'ho\-mo\-lo\-gie relative du faisceau
${\cal P}$.  En effet, le groupe engendr\'e par les combinaisons lin\'eaires de bary\`emes a les
propri\'et\'es suivantes:
\begin{description}
\item{1)} Il engendre l'homologie de la fibre au dessus de tout
point de l'int\'erieur d'un simplexe de dimension maximale; cela r\'esulte de la proposition
\ref{PROBAR}, qui montre que les traces des bary\`emes sur une telle fibre en forment une
d\'ecomposition cellulaire. Cela prouve aussi l'isomorphisme au dessus des simplexes de
dimension maxima.
\item{2)} Les bords des fibres sp\'eciales sont sp\'ecialis\'es de bords
des fibres  r\'eguli\`eres, (c'est une cons\'equence de la proposition \ref{PROYOR}).
\item{3)}
Les cycles (au sens des bary\`emes) des fibres sp\'eciales sont sp\'ecialis\'es de cycles des fibres
r\'eguli\`eres. Cela r\'esulte de la remarque \ref{SURJ}, de la proposition \ref{PROYOR} et de l'injectivit\'e
des $h_{\tau',\tau}$ en homologie. 
\end{description}
Les m\^emes arguments prouvent le b). 
\end{proof}

\begin{remarque}\libel{PRISGE}
\begin{description}
\item{a)} Les prismes relatifs forment \'egalement un syst\`eme de
g\'en\'erateurs de l'homologie relative de ${\cal P}$.
\item{b)} Le  complexe de faisceaux
${\cal B}^\bullet =\hbox{Hom}({\cal B}_\bullet,{\cal O}_T)$ a m\^eme cohomologie que le
complexe des cocha\^\i nes relatives du faisceau ${\cal P}$. 
\end{description}
\end{remarque}
Cela r\'esulte du fait que le bord et le cobord relatifs  commutent avec la
sp\'ecialisation ({\it cf} \ref{DEFLIB} et \ref{PROYOR}).

\subsubsection{Dualit\'e de Poincar\'e relative}

\begin{lemma}\libel{DUBARY} La cellule
duale relative d'un prisme $\pi_0$ est donn\'ee par la formule  $$D(\pi_0)=\bigcup b(\pi_0,\pi)$$
o\`u $\pi$ parcourt l'ensemble des prismes de dimension maximum admettant $\pi_0$
comme face.
\end{lemma}
Cela r\'esulte de la d\'efinition. 

Notons $F_\tau$ la fibre type de $\tau$, c'est-\`a-dire $e_\tau^{-1}
\hbox{(barycentre de }\tau)$; on a~:  
\begin{proposition}\libel{PROBAR} [Propri\'et\'es des bary\`emes et des
cellules duales]
\begin{description}
\item{1)} La cellule duale relative $D(\pi)$ est transverse, dans ${\cal P}(\tau)$,  au
prisme $F_\tau \cap\pi$. En particulier, les bary\`emes constituant cette cellule
sont transverses \`a $F_\tau \cap\pi$.
\item{2)} Pour tout $y\in \rond \tau$, et pour tout bary\`eme $b$ de $D(\pi)$, 
l'intersection $b\cap F_y$ est un bary\`eme du prisme $F_y \cap\pi$  dans $F_y$ 
et l'intersection $D(\pi)\cap F_y$ est la cellule duale du prisme $F_y \cap 
\pi$.  
\item{3)} Le bord relatif de $D(\pi)$ est la r\'eunion des cellules duales relatives des
prismes $\pi'$ contenant $\pi$ dans leur bord et de dimension relative $r+1$, donc
une r\'eunion de bary\`emes.
\end{description}
\end{proposition}


\begin{proof}
Les d\'emonstrations sont analogues \`a celles du cas absolu ({\it cf.}\cite{[Sp]}).
Soit $\beta$ un prisme de la subdivision barycentrique relative
de $\pi$ correspondant \`a la suite de prismes incidents $\varpi_0 <\varpi_1 <
\cdots < \varpi_k=\pi$; puisque les applications $h_{\tau' ,\tau }$ sont
prismales, l'image $h_{\tau' ,\tau }(\beta)$ est un prisme de la subdivision
barycentrique relative de $h_{\tau' ,\tau }(\pi)$ correspondant \`a la suite de
prismes (\'eventuellement r\'ep\'et\'es)  $h_{\tau' ,\tau }(\varpi_0) < \cdots <
h_{\tau' ,\tau }(\varpi_k)=h_{\tau',\tau}(\pi)$. 
\end{proof}




\begin{remarque}\libel{SPEDU} Soient $\tau'$ une face de $\tau$ et $\pi'$ un
prisme de ${\cal P} (\tau')$,  alors la cellule duale relative de $\pi'$ est
\'egale \`a  $$D(\pi') = \bigcup h_{\tau',\tau }(D(\pi_{\alpha}))$$ 
o\`u la somme porte sur les prismes $\pi_\alpha$ de ${\cal P}(\tau)$ tels que
$h_{\tau',\tau }(\pi_{\alpha}) = \pi'$ et $\hbox{dim}_{rel}\pi_{\alpha} =
\hbox{dim}_{rel}\pi'$. 
\end{remarque}
\begin{proof} D'apr\`es la remarque \ref{DUBARY},  on peut \'ecrire 
$$D(\pi') = \bigcup_{\alpha,\beta} h_{\tau',\tau }(b(\pi_\alpha , \pi_\beta ))$$ 
o\`u la r\'eunion est \'etendue aux couples $(\pi_{\alpha},\ \pi_{\beta})$
satisfaisant $h_{\tau',\tau }(\pi_{\alpha}) = \pi'$, $\hbox{dim}_{rel}\pi_{\alpha}
= \hbox{dim}_{rel}\pi'$, $c_{\tau',\tau}(b(\pi_\alpha,\pi_\beta))=0$ et
$\pi_\beta$ de dimension maximum. La proposition en r\'esulte. 
\end{proof}



\subsubsection{Nombres d'intersection}

A chaque bary\`eme $b(\pi_0;\pi_k)$ est associ\'e un prisme relatif dual, le
prisme $\varpi_0=\pi_0$. Pour tout couple de prismes $\pi'< \pi$ ayant m\^eme
image $\tau$ dans $T$ que $\pi_0$, d\'efinissons le nombre d'intersection $\langle
b(\pi_0;\pi_k),\pi'\rangle_{\pi}$ comme valant $\pm 1$ si et seulement si $\pi'
=\pi_0$ et $\pi=\pi_k$, et $0$ sinon. Il r\'esulte directement de la
d\'efinition des bary\`emes que ce nombre est le nombre d'intersection au sens usuel ([Lefschetz])
de $b(\pi_0;\pi_k)(y)$ et $\pi'(y)$ dans la fibre  $\pi (y)$ pour tout $y\in \rond \tau$.
Pour toute cha\^\i ne relative $c$, et tout bary\`eme $b$, on d\'efinit le nombre d'intersection
$$\langle b,c\rangle=\sum_\pi \langle b,c \rangle_\pi .$$  De
plus, le nombre d'intersection se sp\'ecialise en ce sens que pour toute face $\tau'<\tau$ on a
l'\'egalit\'e suivante:  $$\langle b(\pi_0;\pi_k),\pi'\rangle_{\pi}=\langle
h_{\tau',\tau}(b(\pi_0;\pi_k)),h_{\tau',\tau}(\pi')\rangle_{h_{\tau',\tau} (\pi)}.$$
Cela r\'esulte de la proposition \ref{OPIENS}.  

\begin{remarque}\libel{ILIOT} On a l'\'egalit\'e 
\begin{equation}\label{(6)}
\langle db(\pi_0,\pi_k) , \pi'\rangle_\pi =\langle b(\pi_0,\pi_k) ,
\partial_e\pi'\rangle_\pi \ .
\end{equation}
\end{remarque}
\begin{proof}
En effet, les deux termes sont non nuls, et \'egaux si et seulement si $\pi_0$
est contenu dans le bord relatif de $\pi'$.\
\end{proof}

La d\'efinition du cobord d'une cocha\^\i ne s'\'etend aussit\^ot aux bary\`emes~:
\begin{definition}\libel{IDIOT} Soit $b$ un bary\`eme; le cobord $\delta b$ de la
cocha\^\i ne $b$ est $\delta b=\sum_i [b;b_i] b_i$, o\`u la somme est \'etendue
aux bary\`emes $b_i$ tels que $b$ apparaisse dans le bord de $b_i$ en tant que
bary\`eme, et le nombre d'incidence $[b;b_i]$ vaut $\pm 1$ selon que les orientations de $b$ et
$b_i$ sont ou non compatibles.
\end{definition}
\begin{theorem}\libel{BULIOT}[Dualit\'e de Poincar\'e relative]  
L'application qui \`a une $(n-r)$-cha\^\i ne relative $c$ fait correspondre la 
$r$-cocha\^\i ne $b\mapsto \langle b,c\rangle $ du faisceau ${\cal B}$ induit un
morphisme de complexes de groupes du complexe ${\cal
C}^{rel}_\bullet({\cal P})$ dans le complexe ${\cal B}^\bullet ({\cal P})$. Ce
morphisme induit un isomorphisme en homologie.
\end{theorem}
\begin{proof}
En fait, il suffit de prouver l'existence du morphisme de complexes de faisceaux,
et l'isomorphisme de Poincar\'e des fibres g\'en\'erales (au dessus des points des
simplexes de dimension maxima de $T$, ({\it cf } \ref{CYCOR}) impliquera le r\'esultat, au vu de
\ref{OPIENS}. Montrons que les cycles ont pour image des cocycles form\'es de bary\`emes. Soit
$\sum_i a_i\pi'_i$ une cha\^\i ne relative qui est un cycle relatif; l'\'egalit\'e $$\sum
a_i\partial_e\pi'_i=0$$ se v\'erifie en restriction au dessus de chaque simplexe
de $T$; nous pouvons donc supposer que toutes les cha\^\i nes ont la m\^eme image
$\tau$ et que, pour tout bary\`eme $b(\pi_0,\pi_{k})$ et pour tout prisme
$\pi$ ayant pour image $\tau$, on a  
$$\sum a_i\langle b(\pi_0,\pi_{k}) , \partial_e\pi'_i\rangle_\pi=0.$$  
Le cobord de la cocha\^\i ne associ\'ee \`a notre cha\^\i ne est 
$$b(\pi_0,\pi_{k})\mapsto \sum_i a_i\langle db(\pi_0,\pi_{k}),
\pi'_i\rangle_\pi$$ et la formule \ref{(6)}  implique le r\'esultat. La m\^eme formule
implique qu'un bord relatif est envoy\'e sur un cobord form\'e de bary\`emes,
d'o\`u l'existence du morphisme et la dualit\'e de Poincar\'e relative. \par  En
appliquant ce r\'esultat au faisceau ${\cal S}_f$, on obtient la dualit\'e de
Poincar\'e pour ce faisceau, ce qui implique la dualit\'e de Poincar\'e relative
pour un morphisme sous-analytique triangulable, comme nous le verrons ci-dessous.
\end{proof}

\begin{proposition}\libel{PRYOSF}  L'inclusion ${\cal B}^r({\cal P})
\hookrightarrow C^r_{rel} ({\cal P})$ est un morphisme ${\cal O}_T$-lin\'eaire; le
morphisme de complexes correspondant induit un isomorphisme des ${\cal O}_T$-modules  de
cohomologie.
\end{proposition}
\begin{proof} En effet, cette inclusion induit un isomorphisme au dessus de
chaque simplexe de dimension maximum de $T$ et est compatible aux
sp\'ecialisations.
\end{proof}




 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Paragraphe 5.1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Th\'eor\`eme de de Rham relatif}
\subsection{Forme diff\'erentielle associ\'ee \`a un bary\`eme. }

Etant donn\'e un prisme
$\pi=\tau\times\sg_0\times \cdots \times \sg_s$ d'image $\tau$, nous avons d\'efini la forme
diff\'erentielle $$\omg(\pi /\tau) =\omg(\sg_0) \wedge \omg(\sg_1) \wedge \cdots \wedge
\omg(\sg_s)$$ et on d\'efinit la forme diff\'erentielle $\omg (b)$ associ\'ee \`a un bary\`eme $b$
comme la somme des formes $\omg (\beta /\tau)$ associ\'ees aux prismes $\beta$ le
constituant.  

ON EN EST ICI\par

On a une fl\`eche ${\cal B}({\cal S}) \to {\Omega}({\cal S}) $ nous donnant un th\'eor\`eme de de
Rham absolu et qu'on pourrait \'ecrire, ici ce qu'on fait, c'est une version relative de cette
fl\'eche en divisant par $\tau$. Le fait que cela marche pour les bary\`emes d\'ecoule de ce
qui pr\'ec\`ede.

 Soit $b(\bar\sg_0,\bar\sg)$ un bary\`eme de ${\cal S_\tau}$
et $\bar\sg_0= \bar\sg_0 <\bar\sg_1<\dots <\bar\sg_k=\bar\sg$ une des suites de prismes le
repr\'esentant.  La suite de prismes $\pi_0= \pi(\bar\sg_0) <\pi(\bar\sg_1)<\dots
<\pi(\bar\sg_k)=\pi$   repr\'esente le bary\`eme $b(\pi(\bar\sg_0),\pi(\bar\sg))$.  La forme de
Whitney relative du bary\`eme $\beta/\tau$ est l'image r\'eciproque par $\psi$ de la forme de
Whitney du bary\`eme ... 

\begin{proposition}\libel{INCCSF} L'homomorphisme $b\mapsto \omg (b)$ d\'efinit un
homomorphisme de complexes de faisceaux prismaux de
${\cal O}_T$-modules $w^\bullet \colon B^\bullet  \to \Omega^\bullet_{rel}({\cal
P})$. A un bary\`eme de dimension relative $k$ il fait correspondre une
forme diff\'erentielle de degr\'e relatif $k$.
\end{proposition}
\begin{proof} Pour chaque simplexe $\tau$ de $T$ et chaque prisme $\pi$
d'image $\tau$, on a d'apr\`es la d\'efinition de
$\omg(\pi /\tau)$
\begin{align*}
d \omg(\pi /\tau) & =d_e \omg(\pi /\tau) = 
\sum_{j=0}^s (-1)^{(\vert \sg_0 \vert +\cdots
+\vert \sg_{j-1} \vert)}\ \omg (\sg_0)\wedge \ldots
\wedge d\omg (\sg_j)\wedge\ldots \wedge\omg (\sg_s) \\
&= \sum_{j=0}^s \left( \sum_{\beta_j} [\beta_j ; \pi] \omg (\sg_0)\wedge \ldots
\wedge \omg (\sg'_j)\wedge\ldots \wedge\omg (\sg_s)\right) \\
&= \sum_{j=0}^s \left( \sum_{\beta_j}  [\beta_j ; \pi]  \omg (\beta_j /\tau)
\right),\\
\end{align*}
o\`u la deuxi\`eme somme porte sur les prismes $\beta_j=\tau\times\sg_0\times \cdots
\times \sg'_j\times\cdots\times \sg_s$ de dimension relative $k+1$, d'image
$\tau$, admettant $\pi$ pour face de codimension 1 et dont la fibre ne
diff\`ere de celle de $\pi$ qu'au-dessus du sommet $y_j$ de $\tau$. Comme au
lemme \ref{LEMROL}, $[\beta_j;\pi]$ est \'egal \`a $\pm 1$ selon que 
l'orientation de $\pi$ co\"\i ncide ou non avec son orientation comme bord de 
$\beta_j$. D'autre part, le cobord de $\pi$ \it en tant que bary\`eme \rm est pr\'ecis\'ement
(voir le lemme \ref{INKCID})
$$\delta (\pi) = \sum_{j=0}^s \left( \sum_{\beta_j}  [\beta_j ; \pi] \ \beta_j
\right)$$   
on a donc pour tout bary\`eme $b$ l'\'egalit\'e 
\begin{equation}\label{(7)}
\omg \delta (b )=d_e \omg (b )
\end{equation} et le
r\'esultat.
\end{proof}

\begin{proposition}\libel{IINCCSF} Soient $b$ un bary\`eme au dessus de $\tau$
et $\tau'$ une face de $\tau$ telle que la dimension relative de $h_{\tau',
\tau}(b)$ soit \'egale \`a celle de $b$, on a :  $$h_{\tau', \tau}^*\left(
\omg (h_{\tau', \tau}(b))\right ) \big\vert_{\tau'} = \omg (b)\big\vert_{\tau'}
$$ \end{proposition}
\begin{proof}  La condition de dimension implique que $h_{\tau', \tau}(b)$ est
isomorphe \`a $b\vert _{\tau'}$, d'o\`u le r\'esultat. 
\end{proof}


\begin{definition}\libel{RZFAIC} Soit $\omg$ une $r$-forme diff\'erentielle 
$\mu$-r\'eguli\`ere sur un faisceau prismal ${\cal P}$, l'application ${\cal
I}(\omg)$ qui \`a toute cha\^ \i ne relative $\mu$-r\'eguli\`ere $c$ fait
correspondre la fonction 
$$y \mapsto \int_{c(y)} \omg\vert_{c(y)}$$ 
est un morphisme ${\cal O}_T$-lin\'eaire de $\Omega^ r_{\mu}({\cal P})$ dans 
$C^r_{rel}({\cal P})$. Elle d\'efinit aussi un morphisme des faisceaux
correspondant.
\end{definition}



\begin{proposition}\libel{INCOMF} On a le diagramme commutatif suivant :

\begin{equation}\label{decommute}
\xymatrix{ 
B^r  \ar[r]^{w^r}  \ar[d]^{\iota} & \Omega^r_\mu ({\cal P}) \ar[ld]^{\cal I} \\ 
C^r_{rel}({\cal P}) &}
\end{equation}
\end{proposition}
\begin{proof} 
Cela r\'esulte de la proposition \ref{INCCSF} et de la d\'efinition de 
$w^\bullet$ et de ${\cal I}$.
\end{proof}




\subsection{Th\'eor\`eme de de Rham relatif}

Le lemme suivant est import\'e de \cite{BT} \footnote{a mieux introduire}
\begin{lemma}\libel{LEMENG} Sur un complexe simplicial ou prismal qui est une
vari\'et\'e, les formes de Whitney engendrent la cohomologie  des formes
h\"old\'eriennes.
\end{lemma}

\begin{theorem}\libel{ISINSF} Les morphismes $H^*({\cal I})$ et 
$H^*({w^\bullet})$ induits en cohomologie sont des isomorphismes
inverses l'un de l'autre via l'isomorphisme $H^*(\iota)$.
\end{theorem}

Avant de donner la preuve du th\'eor\`eme, on montre d'abord quelques lemmes sur l'extension des 
formes diff\'erentielles relatives, suivant \cite{Whi}, page 137~:

\begin{definition}\libel{ENSETO} On dit que $(E,c)$ est un ensemble relativement 
\'etoil\'e au dessus d'un prisme $\tau$ de $T$ si $E$ est un sous-ensemble de $\tau \times {\bf
R}^m$ muni d'une section $c\colon \tau \to E$ telle que pour tout $p\in E$ le segment
$[p,c(\pi(p))]\subset \{\pi(p)\}\times{\bf R}^m$ soit dans $E$. On d\'efinit de m\^eme un
faisceau prismal relativement \'etoil\'e en imposant la condition de compatibilit\'e des
sections sur les faces communes \`a deux simplexes de la base.
\end{definition}

\begin{definition}\libel{FOPRIM} On dit qu'une forme diff\'erentielle $\omg$ sur un prisme trivial est de type
vertical si elle ne contient que des diff\'erentielles de coordonn\'ees de la fibre.
\end{definition}

\begin{lemma}\libel{RELETO} Soient ${\cal P}$ un faisceau prismal, $E$ un sous-ensemble
relativement \'etoil\'e de ${\cal P}(\tau)$  dont les fibres sont ouvertes dans ${\bf R}^m$ et
$\omg$ une $r$-forme diff\'erentielle $\mu$-r\'eguli\`ere d\'efinie au
voisinage de $E$. Supposons que la restriction de $\omg$ \`a chaque
fibre soit ferm\'ee, alors il existe une $(r-1)$-forme 
$\mu$-r\'eguli\`ere $\xi$ au voisinage de $E$ telle que l'on ait 
$de \wedge  (d\xi-\omg)=0$. De plus, si $\omg$ est de type
vertical, il existe une forme $\xi$ de type vertical v\'erifiant 
$de \wedge  (d\xi-\omg)=0$ unique \`a l'addition pr\`es d'une forme
diff\'erentielle $\eta$ telle que $de \wedge d\eta =0$. 
\end{lemma}

\begin{proof}
La preuve en est essentiellement la m\^eme que celle de(\cite{Whi},Chap.IV, n$\rond{}$ 25, p.136). Consid\'erons
l'application 
$$g\colon{\bf R}\times \tau\times {\bf R}^m \to \tau\times {\bf R}^m
$$ d\'efinie par $(t,y,p)\mapsto (y,(1-t)pr_2 \circ c(y)+tp)\in 
\tau\times {\bf R}^m$. Si $(y,p)\in E$ alors le point 
$g(t,y,p)\in E$ pour tout $t\in [0,1]$ puisque $E$ est relativement
\'etoil\'e. D'apr\`es l'hypoth\`ese d'ouverture des fibres,
il existe un voisinage $U$ de $[0,1]\times E$ dans ${\bf R}\times 
\tau\times {\bf R}^m$ tel que l'on ait $g(U)\subset E$.\par
La forme diff\'erentielle $g^*(\omg)$ est $\mu$-r\'eguli\`ere sur $U$
et on pose $$\omg_1(y,p)=\int_{[0,1]\times\{p\}}g^*(\omg)(t,y,p)dt.$$
Alors $\omg_1$ est $\mu$-r\'eguli\`ere au moins pour $\mu =h$ et
$\mu \ge 1$; pour $\mu \ge 1$, cela r\'esulte de la d\'efinition et
pour $\mu =h$ de la preuve du lemme \ref{LEMENG}. On termine comme dans (\cite{Whi}, loc.cit.). Enfin,
si $\omg$ est de type vertical, il est clair que $\omg_1$ l'est aussi. 
\end{proof}

\begin{lemma}[Lemme $a_r$] Soit $\omg$ une
$r$-forme diff\'erentielle sur le faisceau prismal orient\'e ${\cal
P}$, d\'efinie et $\mu$-r\'eguli\`ere au voisinage du bord relatif
$\partial_e \pi$ d'un prisme $\pi$ de ${\cal P}(\tau)$ et telle que
$de\wedge d\omg=0$. Si le prisme $\pi$ est de dimension relative
$r+1$, on suppose avoir pour tout $y\in \tau$ l'\'egalit\'e 
$$\int_{\partial_e\pi(y)}\omg = 0$$ Alors il existe une $r$-forme
$\mu$-r\'eguli\`ere $\omg'$ d\'efinie pr\`es de $\pi$ telle que $de
\wedge (\omg-\omg')=0$ pr\`es de $\partial_e\pi$ et v\'erifiant $de
\wedge d\omg'=0$. 
\end{lemma}

\begin{lemma}[Lemme $b_r$]
Soit $r$ un entier $\geq 1$, soient $\pi$ un prisme de ${\cal
P}(\tau)$ et $\omg$ une $r$-forme diff\'erentielle
$\mu$-r\'eguli\`ere d\'efinie pr\`es de $\pi$ et telle que $de\wedge
d\omg=0$. On suppose qu'il existe une $(r-1)$-forme
$\mu$-r\'eguli\`ere $\xi$ pr\`es de $\partial_e\pi$ telle que l'on
ait $de\wedge (\omg -d\xi) =0$ pr\`es de $\partial_e\pi$. Si $\pi$
est de dimension relative $r$, on suppose de plus avoir pour tout $y
\in \tau$ l'\'egalit\'e $$\int_{\partial_e\pi(y)}\xi =
\int_{\pi(y)}\omg$$ Alors il existe une $(r-1)$-forme
$\mu$-r\'eguli\`ere $\xi'$ pr\`es de $\pi$ telle que l'on ait
$de\wedge (\xi'-\xi)=0$ pr\`es de $\partial_e\pi$ et $de\wedge
(\omg-d\xi')=0$ pr\`es de $\pi$.
\end{lemma}

\begin{proof}
Remarquons que si la forme diff\'erentielle $\omg$ est de type
vertical, les formes $\omg'$ et $\xi'$ construites dans les lemmes
$a_r$ et $b_r$ le sont aussi.

 Prouvons $a_0$ :
la forme $\omg$ est alors une fonction d\'efinie au voisinage de
$\partial_e\pi$ et localement constante par rapport aux
coordonn\'ees verticales. Si la dimension relative de $\pi$ est
$\geq 1$, les fibres $\pi (y)$ sont connexes et $\omg$ se prolonge
naturellement en une fonction d\'efinie au voisinage de $\pi$ et
constante sur les fibres de $e$. Si la dimension relative de $\pi$
est $0$, l'intersection avec $e^{-1}(y)$ de l'ouvert o\`u $\omg$ est
d\'efinie n'est plus n\'ecessairement connexe mais la condition
impos\'ee par la nullit\'e de l'int\'egrale est exactement que la
valeur de $\omg$ aux points d'intersection de $e^{-1}(y)$ avec
$\partial_e\pi$ soit la m\^eme, ce qui permet \`a nouveau de prendre
pour $\omg$ une fonction d\'efinie au voisinage de $\pi$ et constante
sur les fibres. 

Prouvons $b_r$ : D'apr\`es le lemme
\ref{RELETO}, il existe une $(r-1)$-forme $\xi'$ au voisinage de $\pi$ telle
que l'on ait $de\wedge (d\xi'-\omg) =0$ au voisinage de $\pi$. Posons
$\zeta = \xi -\xi'$; nous avons l'\'egalit\'e $de\wedge d\zeta  = 0 $
pr\`es de $\partial_e\pi$, et si $\pi$ est de dimension relative
$r$, nous avons de plus pour $y \in \tau$ les \'egalit\'es
$$\int_{\partial_e\pi(y)} \zeta\ \ =\ \int_{\partial_e\pi(y)}\xi\ -\
\int_{\partial_e\pi(y)}\xi'\ \ =\ \int_{\partial_e\pi(y)}\xi\ -\
\int_{\pi(y)}\omg\ =0$$ et d'apr\`es $a_{r-1}$, il existe une
$(r-1)$-forme r\'eguli\`ere $\zeta'$ d\'efinie pr\`es de $\pi$,
\'egale \`a $\zeta$ pr\`es de $\partial_e\pi(y)$ et telle que
$de\wedge d\zeta' =0$ pr\`es de $\pi$. La forme $\xi'+ \zeta'$ a les
propri\'et\'es voulues. 

Prouvons $a_r$ : Le bord
relatif du prisme $\pi = \tau \times\sg_0 \times \cdots \times \sg_s$
s'\'ecrit $\partial_e\pi =\sum_{j=o}^s  \tau \times
\sg_0 \times \cdots \times \partial \sg_j \times \cdots \times
\sg_s$. Choisissons dans chaque simplexe $\sg_j$ un sommet $x_j$ et
notons $\sg'_j$ sa face oppos\'ee dans $\sg_j$. Pour $\epsilon$
assez petit, un $\epsilon$-voisinage $U_j$ de $\partial \sg_j
\setminus \sg'_j$ est un ouvert \'etoil\'e relativement \`a $x_j$
qui contient $\partial \sg'_j$. Le produit  $V_j=\tau \times \sg_0
\times \cdots \times U_j \times \cdots \times \sg_s$ est
relativement \'etoil\'e pour $e$ et d'apr\`es \cite{Whi} il existe une
$(r-1)$-forme $\xi_j$ sur $V_j$, $\mu$-r\'eguli\`ere et telle que
l'on ait $de \wedge (\omg - d\xi_j)=0$ sur $V_j$. Par ailleurs,
appliquant le lemme $b_r$ \`a la restriction de la forme $\xi_j$ \`a
un voisinage de $\Sigma'_j = \tau \times \sg_0 \times \cdots \times
\sg'_j \times \cdots \times \sg_s$, on obtient une $(r-1)$-forme
$\xi'_j$ pr\`es de $\Sigma'_j$ telle que $de\wedge (\xi_j-\xi'_j)=0$
pr\`es de $\partial^{(j)}_e\Sigma'_j = \tau \times \sg_0 \times
\cdots \times \partial \sg'_j \times \cdots \times \sg_s$. Si la
dimension relative de $\pi$ est $r+1$, il faut v\'erifier pour tout
$y\in \tau$ l'\'egalit\'e suivante:
$$\int_{\partial^{(j)}_e\Sigma'_j (y)}\xi_j =
\int_{\Sigma'_j(y)}\omg$$  Or cela r\'esulte de l'argument donn\'e
dans \sl loc.cit. \rm Cela nous donne pour chaque $j$ une forme
diff\'erentielle relative $\tilde \xi_j$ d\'efinie au voisinage de
$\tau \times \sg_0 \times \cdots \times \partial \sg_j \times \cdots
\times \sg_s$; la collection de ces $\tilde \xi_j$ d\'efinit une
forme diff\'erentielle relative $\xi$ pr\`es de $\partial_e\pi$
telle que $d\xi=\omg$ dans $\Omega^r({\cal P})$. En la multipliant
par une fonction de classe ${\cal C}^\infty$ \'egale \`a $1$ pr\`es
de $\partial_e\pi$ et \`a $0$ pr\`es de $\tau \times b$ o\`u $b$ est
le point produit des barycentres des simplexes $\sg_j$, on obtient
une $(r-1)$-forme relative $\mu$-r\'eguli\`ere  $\xi$ au voisinage
de $\pi$ et la forme $\omg'=d\xi$ a les propri\'et\'es voulues.  
\end{proof}



\begin{lemma}\libel{SQUELL} Pour tout faisceau prismal et tout entier $s$, 
le $s$-squelette relatif forme un faisceau prismal.
\end{lemma}

\begin{lemma}\libel{OGOCSF} Soit $\omg$ une
$r$-forme diff\'erentielle telle que $de\wedge d\omg =0$ et 
$\mu$-r\'eguli\`ere sur un faisceau
prismal ${\cal P}$, avec $r>0$. Soit $K$ une $(r-1)$-cocha\^\i ne 
relative sur ${\cal P}$ telle que
${\cal I}(\omg ) =\delta K$. Alors il existe une $(r-1)$-forme 
$h$-r\'eguli\`ere $\xi$ sur ${\cal P}$
telle que l'on ait $$de\wedge (d\xi -\omg )=0 \ {\rm et}\ {\cal I}(\xi)=K$$
\end{lemma}

\begin{proof}
Choisissons une somme de bary\`emes repr\'esentant la cocha\^\i ne $K$, que nous
noterons encore  $K$, bien qu'elle ne soit pas uniquement d\'etermin\'ee par la
proposition \ref{PRYOSF}.\par
Soit $n$ la dimension relative de ${\cal P}$. Nous allons construire des
$r-1$-formes  relatives $\xi_0,\ldots , \xi_n$ sur ${\cal P}$ telles que:\par
a) Pour chaque entier $s$, la forme $\xi_s$ est d\'efinie et 
$\mu$-r\'eguli\`ere au voisinage du $s$-squelette $K_s$ de $K$,
et elle est de type vertical;\par
b) On a $de\wedge (d\xi_s - \omg)=0$ au voisinage de $K_s$, et
$\xi_s=\xi_{s-1}$ au voisinage de $K_{s_1}$; \par
c) On a ${\cal I}(\xi_{r-1})=K$.\par\vskip.1in\noindent
Alors $\xi_n$ est la forme cherch\'ee.\par\vskip.1in\noindent
Remarquons que le z\'ero-squelette relatif, c'est-\`a-dire la 
r\'eunion des prismes de dimension relative $0$ du faisceau prismal,
est un faisceau prismal relativement \'etoil\'e.\par Commen\c cons
par choisir une $r-1$-forme relative $\xi'_0$ v\'erifiant
$de\wedge(d\xi'_0-\omg)=0$ au voisinage de chaque sommet de ${\cal
P}$, ce qui est possible d'apr\`es le lemme \ref{RELETO}.  Si $r=1$, notons $L$
la 0-cocha\^ \i ne relative (la fonction) $(y,p)\mapsto
K(y,p)-\xi'_0(y,p)$ et posons $\xi_0=\xi'_0 +L$; on
a bien ${\cal I}(\xi_0)=K$.\par\noindent Si $r>1$, on pose
$\xi_0=\xi'_0$. \par
Supposons avoir construit $\xi_{s-1}$ et montrons comment construire
$\xi_s$; il suffit de construire $\xi_s$ au voisinage de chaque 
$s$-prisme relatif de $K$. En effet, ces constructions locales devant
co\"\i ncider sur le $s-1$ squelette relatif de $K$ se recolleront
naturellement \`a cause de l'unicit\'e de la primitive de type
vertical donn\'ee par le lemme \ref{RELETO}.

Soit $\pi$ un $s$-prisme relatif de $K$; appliquons le
lemme $b_r$ aux formes $\omg$ restreinte \`a un voisinage de $\pi$
d'une part et $\xi_{s-1}$  restreinte \`a un voisinage de
$\partial_e \pi$ d'autre part. On a $de\wedge d\omg=0$ par
l'hypoth\`ese sur $\omg$, et $de\wedge (\omg -d\xi_{s-1})=0$ au
voisinage de $\partial_e \pi$ par construction de $\xi_{s-1}$. Enfin
si $s=r$, on a l'\'egalit\'e  $$\int_{\partial_e \pi(y)} \xi_{r-1} =
{\cal I}(\xi_{r-1}).\partial_e \pi(y) = K(y,\partial_e \pi(y)) =
\partial_e K(y,\pi(y)) = {\cal I} (\omg).\pi(y) = \int_{\pi(y)}
\omg.$$ Les  hypoth\`eses du lemme $b_r$ sont donc v\'erifi\'ees, on
en d\'eduit l'existence d'une $r-1$- forme $\mu$-r\'eguli\`ere
$\xi_{s,\pi}'$ au voisinage de $\pi$ telle que l'on ait $de\wedge
(\xi'_{s,\pi}-\xi'_{s-1})=0$ pr\`es de $\partial_e \pi$ et $de
\wedge (\omg - d\xi'_{s,\pi})=0$ pr\`es de $\pi$. \par 
Si $s\ne r-1$,
prenons pour $\xi_s$ la $\mu$-forme r\'eguli\`ere $\xi'_s$ d\'efinie
au voisinage de $K_s$ par recollement des formes $\xi'_{s,\pi}$.\par
Si $s=r-1$, il faut modifier $\xi'_s$ pour satisfaire la condition
(c). Posons 
$$L=K-{\cal I}(\xi'_s),\hskip 0.5truecm \hbox{ et }
\hskip 0.5truecm \xi_{r-1}=\xi'_{r-1} + \omg(L/\tau)  $$ 
au voisinage de $K_{r-1}$. \par 
Aucun bary\`eme de $L$ n'est dans $K_{r-2}$, et par
cons\'equent, $\omg(L/\tau)$ est nulle au voisinage de $K_{r-2}$, donc
$\xi_s=\xi_{s-1}$ au voisinage de $K_{r-2}$.  Puisque
$\omg(d(b))=d(\omg(b))$ (formule (7)), et $\omg \partial_e L=0$ au voisinage de $K_{r-1}$,
on a  
$$d\xi_{r-1}=d\xi'_{r-1} + \omg \partial_e L = \omg \hskip 1truecm
\hbox{ pr\`es de } K_{r-1}$$ 
En utilisant la proposition \ref{INCOMF}, on a
$${\cal I}\xi_{r-1}={\cal I}\xi'_{r-1} + L=K,$$ ce qui ach\`eve la
construction de la suite de formes $\xi_s$.
\end{proof}

\begin{proof}[D\'emonstration du th\'eor\`eme \ref{ISINSF}]
- a) $H^*({\cal I})$ est
surjectif.- Etant donn\'ee une classe $\tilde K$ de cocha\^\i nes relatives, elle
est image par $H^*(\iota)$ d'un \'el\'ement $b \in H^*(B^\bullet)$ qui, au
dessus de chaque simplexe $\tau$ admet un repr\'esentant qui s'\'ecrit comme
combinaison $\sum a_i(y) b_i$ de bary\`emes. Posons $\omg = w^\bullet (b)$,
alors $d\omg = w^\bullet (db)=0$ d'apr\`es \ref{INCCSF}; $\omg$ d\'efinit
donc un \'el\'ement de $H^*(\Omega^\bullet)$, dont l'image par 
$H^*({\cal I})$ est $b$ d'apr\`es la proposition \ref{INCOMF}.

b) $H^*({\cal I})$ est injectif.- Supposons $H^*({\cal I})(\omg)=0$, et soit $K$ la 
cocha\^\i ne ${\cal I}(\omg)$. Si $\omg$ est une $0$-forme relative, la 
$0$-cocha\^\i ne  relative $K$ est nulle donc la fonction $\omg$, qui est constante
dans les fibres puisque  $df\wedge d\omg =0$, est nulle. Si $\omg$ est une $r$-forme
relative, avec $r>0$, alors  l'hypoth\`ese implique qu'il existe une
$r-1$-cocha\^\i ne relative $L$ telle que  $K=\partial L$. D'apr\`es le Lemme
\ref{RELETO}, la classe de $\omg$ est nulle dans $H^r(\Omega^\bullet)$, d'o\`u le
r\'esultat.
\end{proof}

\begin{thebibliography}{31}

\bibitem{BT} {J.-P. Brasselet et B. Teissier,} 
\bibitem{Go} {R.Godement,} {\it Topologie alg\'ebrique et th\'eorie des
faisceaux},  Actualit\'es scientifiques et industrielles 1252, Hermann Paris
1964.
\bibitem{H} {H. Hironaka}, {\it Introduction to real-analytic sets and real-analytic 
maps}, Pisa, Istituto Leonida Tonelli, 1973. 
\bibitem{Ha} {R.M Hardt}, \it Continuit\'e locale H\"older de la tranche d'une 
cha\^\i ne sous-analytique par une application sous-analytique  \rm C.R.A.S. Paris,  
t. 287 (27 Novembre 1978), p.993-995 
\bibitem{S} {M. Shiota}, Piecewise linearization of subanalytic functions, 
\it Trans. A.M.S., \rm
1989.
\bibitem{Sp}{E. Spanier}, {\it Algebraic topology}, Princeton University
Press.
 \bibitem{Su}{Dennis Sullivan}, Infinitesimal computations in topology, 
\it Publ. Math. I.H.E.S.,
\rm 47, (1977), 269-331.

\bibitem{T} {B.Teissier}, Sur la triangulation des morphismes
sous-analytiques, {\it  Publications Math\'ematiques de l'I.H.E.S.}, No. 70, 1989, 169-198.

\bibitem{Whi} {H.Whitney,} {\it Geometric Integration Theory},  
Prin\-ce\-ton University Press, Prin\-ce\-ton, N.J., 1957.




\end{thebibliography}
\end{document}

