% !TEX encoding = MacOSRoman

\documentclass{article}%
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[frenchb]{babel}%
\setcounter{MaxMatrixCols}{30}
%TCIDATA{OutputFilter=latex2.dll}
%TCIDATA{Version=5.50.0.2890}
%TCIDATA{CSTFile=LaTeX article.cst}
%TCIDATA{Created=Thursday, January 24, 2013 19:31:46}
%TCIDATA{LastRevised=Sunday, May 26, 2013 11:20:14}
%TCIDATA{<META NAME="GraphicsSave" CONTENT="32">}
%TCIDATA{<META NAME="PrintViewPercent" CONTENT="100">}
%TCIDATA{<META NAME="SaveForMode" CONTENT="1">}
%TCIDATA{BibliographyScheme=Manual}
%TCIDATA{<META NAME="DocumentShell" CONTENT="Standard LaTeX\Blank - Standard LaTeX Article">}
\begin{document}

\title{Sur le manuscrit \textit{Ensembles et morphismes stratifi\'es}}
\author{Bernard Teissier et David Trotman}
\maketitle
\section{Pr\'esentation}Cet article est, avec ceux de Whitney (\cite{Whi1}, \cite{Whi2}) et celui de Mather (\cite {Ma2}), un des textes fondateurs de la th\'eorie des stratifications et de ses applications \`a l'\'etude des propri\'et\'es des applications diff\'erentiables ou analytiques "g\'en\'eriques". Il est la mise en forme et la g\'en\'eralisation d'id\'ees d\'ej\`a pr\'esentes dans deux articles de 1962 et 1964.  Il est int\'eressant de noter qu'il se place d'embl\'ee dans un cadre tr\`es g\'en\'eral en expliquant comment repr\'esenter n'importe quel morphisme $f\colon X\to Y$ d'espaces topologiques comme une r\'etraction sur un bord d'un espace auxiliaire $M(f)$ d\'ependant fonctoriellement de $f$. Cet espace appara\^\i tra par la suite comme un ensemble stratifi\'e \`a deux strates.  Ensuite Thom explique comment g\'en\'eraliser le th\'eor\`eme de fibration d'Ehresmann aux morphismes diff\'erentiables non n\'ecessairement propres au moyen de "fonctions de contr\^ole" et introduit la notion de "surmersion (ou submersion) contr\^ol\'ee". Ce n'est qu'ensuite, dans le C de la section 1, que Thom d\'eveloppe la th\'eorie g\'en\'erale des ensembles stratifi\'es et de leurs morphismes, introduit la notion capitale de morphisme sans \'eclatement (qui deviendra la condition $a_f$), et d\'emontre les th\'eor\`emes d'isotopie par la construction de champs de vecteurs contr\^ol\'es. La d\'emonstration, tr\`es ing\'enieuse mais tr\`es technique, sera simplifi\'ee par Mather (\cite{Ma2}). Jusqu'ici, un ensemble stratifi\'e est une r\'eunion de vari\'etes diff\'erentiables satisfaisant des conditions d'incidence exprim\'ees en termes de submersions contr\^ol\'ees. C'est dans la seconde section, intitul\'ee "Th\'eorie euclidienne" qu'est fait le raccord avec les conditions de Whitney, en montrant (Th\'eor\`eme 2.B.1) qu'une r\'eunion compacte de strates proprement plong\'ees dans ${\mathbf R}^n$ et satisfaisant les conditions de Whitney (une telle r\'eunion est appel\'ee par Thom W-objet), est un ensemble stratifi\'e au sens de la section 1. Ici les conditions sur les voisinages tubulaires des strates permettant de construire un analogue pour un sous ensemble stratifi\'e d'un voisinage tubulaire apparaissent et ils joueront un r\^ole encore plus important chez Mather. Un th\'eor\`eme de transversalit\'e (Th\'eor\`eme 2.D.1) et des r\'esultats sur les stratifications sans \'eclatements de certains morphismes entre W-objets apparaissent ici. La troisi\`eme section a pour but de montrer que non seulement les ensembles semi-analytiques de \L ojasiewicz, mais aussi ceux que Thom nomme ensembles PSA (projections de semi-analytiques compacts, aujourd'hui nomm\'es sous-analytiques) peuvent \^etre munis de structures de W-objets, et d'\'etudier quand des morphismes entre eux peuvent \^etre, au prix d'un raffinement, des morphismes stratifi\'es. La quatri\`eme section donne des indications sur l'utilisation de la th\'eorie des ensembles et morphismes stratifi\'es dans l'\'etude locale des applications diff\'erentiables, notamment dans la construction d'une stratification canonique de l'espace des jets $J(n,p)$ en vue de d\'emontrer la conjecture selon laquelle le sous-espace des applications topologiquement stables soit dense dans l'espace d'applications propres entre deux vari\'et\'es diff\'erentiables. Ces id\'ees seront ensuite d\'evelop\'ees et clarifi\'ees par Mather (\cite{Ma1} et \cite{Ma3})  et  par Looijenga \cite{Lo}, qui ont d\'emontr\'e la conjecture de Thom, puis simplifi\'ees par du Plessis \cite{D}.
\section{Commentaires}
\begin{enumerate}
\item Une nouvelle d\'emonstration du Th\'eor\`eme 1.D.1 a \'et\'e donn\'ee par Johnson dans [J].
\item On trouve page 270 l'affirmation que la condition $(t)$ impos\'ee sur les strates d'une stratification implique l'ouverture de l'espace des applications transverses aux strates de la stratification. Ceci est vrai pour des stratifications semi-alg\'ebriques (ou sous-analytiques) mais est faux en g\'en\'eral (voir \cite{Tr1}, \cite{Tr2}).
\item Les ensembles PSA du Chapitre 3 sont en fait les ensembles sous-analyti\-ques dont la th\'eorie, pressentie par Thom et \L ojasiewicz, a \'et\'e faite ensuite par Gabrielov dans \cite{G} par la m\'ethode des projections et Hironaka dans \cite{H} par des m\'ethodes issues de la r\'esolution des singularit\'es.
\item La d\'emonstration des th\'eor\`emes d'isotopie sera reprise et simplifi\'ee par Mather dans \cite{Ma1} et \cite{Ma2}. 
\item Utilisant une condition de r\'egularit\'e un peu plus forte que les conditions de Whitney dans le cas des stratifications sous-analytiques, mais \'equivalente en analytique complexe \cite{Te}, Verdier a d\'emontr\'e directement le premier th\'eor\`eme d'isotopie analogue \cite{V}.
\item En ce qui concerne le premier th\'eor\`eme d'isotopie dans le cas analytique complexe, on peut souligner qu'il est une version affaiblie du th\'eor\`eme de fibration conjectur\'e par Whitney dans \cite{Whi2}. Ce th\'eor\`eme a \'et\'e d\'emontr\'e parmi d'autres r\'esultats d'\'equisingularit\'e dans \cite{P-P}. 
\item Une cons\'equence du premier th\'eor\`eme d'isotopie est la trivialit\'e topologique locale d'un espace analytique complexe le long d'une strate d'une stratification de Whitney. Il est connu (voir \cite{B-S}) que la r\'eciproque est fausse. La th\'eorie des vari\'et\'es polaires locales a permis de d\'emontrer dans \cite{L-T} que les conditions de Whitney pour une strate $S$ d'un espace analytique complexe $X\subset {\mathbf C}^n$ le long d'une strate $T\subset\overline S$ \'equivalent \`a la trivialit\'e topologique locale le long de $T$ de $\overline S$ et de toutes ses sections (localement)  par des sous-espaces non singuliers contenant $T$ et "assez g\'en\'eraux". Par ailleurs la m\^eme th\'eorie a permis de prouver dans \cite{Te} l'existence d'une stratification de Whitney d'un espace analytique complexe qui est minimale en ce sens que toutes les stratifications de Whitney de cet espace en sont des raffinements. Il est montr\'e dans \cite{G-T} que le degr\'e de la vari\'et\'e duale d'une vari\'et\'e projective peut \^etre calcul\'e \`a partir de la topologie de cette stratification et de ses sections lin\'eaires g\'en\'eriques.
\item Page 263, dans la d\'efinition des conditions $(B)$ et $(B')$ il faut remplacer $y'y$ par $y'x$.
\item Page 284 on trouve la conjecture selon laquelle "Un jet non d\'eterminant admet toujours une infinit\'e de r\'ealisations ayant des types topologiques diff\'erents". Un contre-exemple a \'et\'e donn\'e par S. Koike et W. Kucharz dans \cite{K-K} puis une explication a \'et\'e fournie par T-C. Kuo et Y-C. Lu dans \cite{K-L} en utilisant la th\'eorie des stratifications.
 \item Les applications de la th\'eorie des stratifications \`a l'\'etude de la stabilit\'e des applications diff\'erentiables suivaient la maxime de Thom: \textit{Toute instabilit\'e topologique est due \`a un manque de transversalit\'e} (sous-entendu: \`a un ensemble stratifi\'e), et cela a donn\'e naissance au concept de \textit{stratification canonique de l'espace des jets} avec l'id\'ee que le manque de g\'en\'ericit\'e ou de stabilit\'e d'une application \'etait due \`a la non-transversalit\'e de son jet \`a cette stratification, et que le Th\'eor\`eme de transversalit\'e assurait la g\'en\'ericit\'e des applications stables. Les choses se sont av\'er\'ees plus compliqu\'ees comme l'ont montr\'e les travaux de Mather (\cite{Ma1}, \cite{Ma3}). Un expos\'e complet de cette id\'ee, des difficult\'es qu'elle a rencontr\'ees et de ses prolongements se trouve dans l'ouvrage de r\'ef\'erence \cite{D-W}. \par
 Au del\`a de ces applications \`a la stabilit\'e, la cat\'egorie des ensembles et morphismes stratifi\'es \'etait pour Thom la g\'eom\'etrie \textit{mod\'er\'ee} que les g\'eom\`etres souhaitent. Le d\'eveloppement ult\'erieur lui a amplement donn\'e raison en montrant que des outils essentiels pour l'\'etude de la g\'eom\'etrie des vari\'et\'es pouvaient \^etre \'etendus aux ensembles et morphismes stratifi\'es. Par exemple, les ensembles stratifi\'es sont triangulables (voir \cite{Go}, et \cite{Sh} pour la triangulation des morphismes stratifi\'es sans \'eclatement), et on peut d\'evel\-opper pour eux une th\'eorie des intersections (voir \cite{Go2}) et une th\'eorie des fonctions de Morse (voir \cite{G-M}), surtout effective pour les espaces analytiques complexes stratifi\'es. Dans le m\^eme cadre analytique complexe, Marie-H\'el\`ene Schwartz  a d\'evelopp\'e une th\'eorie des classes caract\'eristiques pour les espaces analytiques complexes singuliers bas\'ee sur l'indice des champs de vecteurs radiaux associ\'es \`a une stratification de Whitney. Une th\'eorie \'equivalente (voir \cite{B-Sc}) a \'et\'e d\'evelopp\'ee par R. MacPherson dans \cite{M} d'un point de vue diff\'erent. Enfin, la premi\`ere construction de l'homologie d'intersection, th\'eorie (co)hom\-olog\-ique de l'intersection pour une vari\'et\'e singuli\`ere qui satisfait la dualit\'e de Poincar\'e, utilisait un analogue dans le monde PL des stratifications de Whitney (voir \cite{G-M2}). \par
 Dans un autre domaine, depuis les travaux fondateurs de Kashiwara sur les espaces de solutions de certains syst\`emes diff\'erentiels lin\'eaires (voir \cite{K1}, \cite{K2}), la th\'eorie des stratifications de Whitney joue un r\^ole tr\`es important dans la th\'eorie des ${\mathcal D}$-modules et des faisceaux constructibles. Une pr\'esentation assez r\'ecente de cette derni\`ere th\'eorie et de ses rapports avec les stratifications se trouve dans le livre \cite{S}, qui commence par une g\'en\'eralisation aux faisceaux constructibles du th\'eor\`eme de Sebastiani-Thom (voir la r\'ef\'erence \textbf{[69]} dans ce volume).
\end{enumerate}

\begin{thebibliography}{7}
\bibitem[B-S]{B-S} J. Brian\c con et J-P. Speder, \textit{La trivialit{\'e} topologique n'implique pas les conditions de Whitney},
                 C.R. Acad. Sci. Paris, S{\'e}r A-B \textbf{280} (1975), No. 6,  A365-A367.
\bibitem[B-Sc]{B-Sc} J-P. Brasselet et M-H. Schwartz, \textit{Sur les classes de Chern d'un ensemble analytique complexe}, in:\textit{ The Euler-Poincar\'e characteristic}  Ast\'erisque 82-83, Soc. Math. France, Paris, (1981)  93-147.
\bibitem[D]{D} A. A. du Plessis, \textit{Finiteness of Mather's Canonical Stratification}, in \textit{Singularity Theory, Liverpool 1996 (edited by Bill Bruce and David Mond)}, London Mathematical Society Lecture Note Series \textbf{263} (1999), 199-206.    
\bibitem[D-W]{D-W} A. du Plessis and T. Wall, The geometry of topological stability. \textit{London Mathematical Society Monographs. New Series, 9}, Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995.           
\bibitem[G] {G}A. M. Gabrielov, \textit{Projections of semianalytic sets}, 
Funkcional. Anal. i Prilozen. \textbf{2}, no. 4 (1968) 18-30. 
\bibitem[Go]{Go} M. Goresky, \textit{Triangulation of stratified objects}, Proc. A.M.S., Vol. 72, no. 1 (1978) 193-200.
\bibitem[Go2]{Go2} M. Goresky, \textit{Whitney stratified chains and cochains}, Trans. A.M.S., Vol. 267, no. 1 (1981) 175-196.
\bibitem[G-M]{G-M} M. Goresky and R. MacPherson, Stratified Morse Theory, \textit{ Ergebnisse der Math. vol. 14}, Springer Verlag, N. Y. (1988)
\bibitem[G-M2]{G-M2} M. Goresky and R. MacPherson, \textit{Intersection homology theory}, Topology 19 (1980), 135-162.
\bibitem[G-T]{G-T} A. Giles Flores and B. Teissier, \textit{Local polar varieties in the geometric study of singularities}, Annales de la Facult\'e des Sciences de Toulouse, Vol. 27, no. 4 (2018), 679-775.
\bibitem[H]{H}  H. Hironaka, \textit{Subanalytic sets}, in \textit{Number theory, algebraic geometry and commutative algebra, in honor of Yasuo Akizuki},  Kinokuniya, Tokyo (1973), 453--493.
\bibitem[J]{J} F. E. A. Johnson, \textit{On the presentation of stratified sets and singular varieties}, Mathematika \textbf{29} (1982), 135-170.
 \bibitem[K1]{K1} M. Kashiwara, \textit{Index theorem for a maximally overdetermined system of linear differential equations},  Proc. Japan Acad., \textbf{49} (1973), 803-804. 
\bibitem[K2]{K2} M. Kashiwara, \textit{Systems of microdifferential equations}, Based on lecture notes by Teresa Monteiro Fernandes translated from the French. With an introduction by Jean-Luc Brylinski. Progress in Mathematics, 34. Birkh\"auser Boston, Inc., Boston, MA, 1983. 
\bibitem[K-K]{K-K} S. Koike et W. Kucharz, \textit{Sur les r\'ealisations de jets non suffisants}, C.R. Acad. Sci. Paris, S\'erie A \textbf{288}, no. 8 (1979), 457-459.
\bibitem[K-L]{K-L} T-C. Kuo and Y-C. Lu, \textit{Sufficiency of jets via stratification theory}, Inventiones Math., \textbf{57} (1980), 219-226.
\bibitem[L-T]{L-T} D.T. L{\^e} and B. Teissier, \textit{Cycles {\'e}vanescents, sections planes, et conditions de Whitney II},
              in \textit{Singularities}, Proc. Sympos. Pure Math., 40, 1983, part 2, 65-103.
\bibitem[Lo]{Lo} E. J. N. Looijenga, \textit{Proof of the topological stability theorem}, in \textit{Topological Stability of Smooth Mappings}, Springer Lecture Notes in Math. \textbf{552} (1976), 125-149.
\bibitem[M]{M} R. D. MacPherson, \textit{Chern classes for singular algebraic varieties}, Ann. of Math. (2) 100 (1974), 423-432.
\bibitem[Ma1]{Ma1}  J. N. Mather, \textit{Stratifications and Mappings}, in: \textit{Dynamical Systems}, 
             Academic Press, New York, 1973, 195-232.
\bibitem[Ma2]{Ma2} J. Mather, \textit{Notes on topological stability}, Mimeographed notes, Harvard 1970.  Revised version published in: Bull. A.M.S., Vol. 49, No. 4, Oct. 2012, 475-506. 
Available at: http://www.ams.org/journals/bull/2012-49-04/S0273-0979-2012-01383-6/S0273-0979-2012-01383-6.pdf
\bibitem[Ma3]{Ma3} J. N. Mather, \textit{How to stratify manifolds and jet spaces}, in \textit{Singularit\'es d'Applications Diff\'erentiables, Plans-sur-Bex 1975}, Springer Lecture Notes in Math. 535 (1976), 128-176.
\bibitem[P-P]{P-P} A. Parusi\~nski and L. Paunescu, \textit{Arcwise analytic stratification, Whitney fibering conjecture and Zariski equisingularity},  Adv. Math. \textbf{309} (2017), 254-305.
\bibitem[S]{S} J. Sch\"urmann, Topology of Singular spaces and Constructible Sheaves, \textit{Monografie Matematyczne, Vol. 63}, 2003, Birk\"auser, ISBN 978-3-0348-8061-9
\bibitem[Sc]{Sc} M.-H. Schwartz, Champs radiaux sur une stratification analytique, \textit{Travaux en Cours, 39}. Hermann, Paris, 1991. x+185 pp. ISBN: 2-7056-6160-1
\bibitem[Sc2]{Sc2}M.-H. Schwartz,  Classes de Chern des ensembles analytiques, Avec une pr\'eface de Jean-Paul Brasselet, L\^e D\~ung Tr\'ang et Bernard Teissier. \textit{Actualit\'es Math\'ematiques}. Hermann, Paris, 2000. 216 pp. ISBN: 2-7056-6393-2.
\bibitem[Sh]{Sh} M. Shiota, \textit{Thom's conjecture on triangulations of maps}, Topology \textbf{39} (2000), 383-399.s
\bibitem[Te] {Te} B. Teissier, \textit{Vari{\'e}t{\'e}s Polaires II: Multiplicit{\'e}s polaires,
 sections planes, et conditions de Whitney}, in Actes de la conf{\'e}rence de g{\'e}om{\'e}trie
 alg{\'e}brique {\`a} La R{\'a}bida 1981, Springer Lecture Notes No. \textbf{961}, p. 314-491. Available at: webusers.imj-prg.fr/~bernard.teissier/
\bibitem[Tr1]{Tr1} D.J.A. Trotman, \textit{A transversality property weaker than Whitney (a)-regularity}, Bull. London Math. Soc., \textbf{8}, (1976), 457-459.
\bibitem[Tr2]{Tr2} D.J.A. Trotman, \textit{Stability of transversality to a stratification implies Whitney (a)-regularity}, Invent. Math., \textbf{50} (1979), 273-277.
\bibitem[V]{V} J.-L. Verdier, \textit{Stratifications de Whitney et th\'eor\`eme de Bertini-Sard}, Inventiones Math. \textbf{36} (1976), 295-312.
\bibitem[Whi1] {Whi1} H. Whitney, \textit{Tangents to an analytic variety}, Annals of Math., 
\textbf{81}, 3, (1965), 496-549.
\bibitem[Whi2] {Whi2} H. Whitney, \textit{Local properties of analytic varieties}, in  Differential and 
               Combinatorial Topology, Princeton Univ. Press, 1965, 205-244.

\end{thebibliography}
\end{document}