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\begin{document}

\title{Sur le manuscrit \textit{Sur la monodromie associ\'ee \`a un point critique isol\'e
d'une fonction holomorphe}}
\author{Bernard Teissier}
\maketitle
Ce texte\footnote{Nous sommes tr\`es reconnaissants \`a Duco van Straten d'avoir transcrit en LaTeX la version peu lisible dont nous disposons.} n'a jamais \'et\'e publi\'e puisqu'il propose une d\'emonstration d'un \'enonc\'e incorrect: la finitude de la monodromie locale d'une fonction holomorphe \`a point critique isol\'e. Peu apr\`es que ce texte eut \'et\'e r\'edig\'e (nous ne connaissons pas la date exacte) un contre-exemple \`a la finitude de la monodromie a \'et\'e trouv\'e par Norbert A'Campo (voir \cite{A'C}) \footnote{Ce qui a caus\'e une grande surprise car L\^e avait montr\'e dans \cite{L} la finitude pour les fonctions d\'efinissant des germes irr\'eductibles de courbes planes. L'exemple d'A'Campo est la fonction $f(x,y)=(x^2+y^3)(y^2+x^3)$.}. Les id\'ees qu'il contient sont cependant si int\'eressantes qu'il convient d'en faire une analyse.\par
La monodromie locale dont il est question est celle introduite par Milnor dans \cite{M}, c'est-\`a-dire l'endomorphisme $T$ de l'homologie $H_n(F_z, \mathbf C)$ associ\'e \`a la fibration de base ${\mathbf S}^1_{\vert z\vert}$ et de fibres $F_z=f^{-1}(z)\cap{\mathbf B}(0,\epsilon)$ avec $0<\vert z\vert<<\epsilon<<1$ provenant  d'une fonction holomorphe $f\colon U\to{\mathbf C}$ d\'efinie dans un voisinage $U$ de $0\in{\mathbf C}^{n+1}$ et \`a point critique isol\'e en $0$ ayant $0$ pour valeur critique.\par
La m\'ethode propos\'ee par Thom pour montrer l'existence d'un entier $e$ tel que $T^e=Id.$ utilise principalement une version \og{\`a param\`etres{\fg\  de la d\'ecomposition en cellules de sa note de 1949, analys\'ee par F. Laudenbach dans le volume 1, et ses id\'ees sur les particularit\'es de cette d\'ecomposition dans le cas de points critiques non d\'eg\'en\'er\'es d'une partie r\'eelle de fonction holomorphe sur une vari\'et\'e analytique complexe. Ce sont ces id\'ees qui ont conduit \`a la d\'emonstration du th\'eor\`eme de Lefschetz par Andreotti-Frankel (voir \cite{A-F}) et, dans le domaine de l'homotopie, \`a celle du th\'eor\`eme de Zariski du type de Lefschetz par Hamm et L\^e dans \cite{H-L}. Ces derniers utilisent d'ailleurs aussi la courbe polaire dont il est question ci-dessous.\par
 Thom consid\`ere une forme lin\'eaire \og{assez g\'en\'erale}\fg\   $u\colon {\mathbf C}^{n+1}\to{\mathbf C}$ dont l'annulation d\'efinit un hyperplan $H\subset {\mathbf C}^{n+1}$ tel que la restriction de la fonction $f(x_0,\ldots ,x_n)$ \`a $H\cap U$ soit encore \`a point critique isol\'e, et la sous-fibration de la fibration de Milnor associ\'ee aux fibres $F_z\cap H$. Il observe que pour tout $z\in {\mathbf S}^1_{\vert z\vert}$ la fonction ${\rm Re}( u(x_0,\ldots ,x_n))$ est de Morse sur $F_z$ et que ses points critiques sont d'indice $n$. Les nappes de gradient descendantes engendrent alors l'homologie relative $H_n(F_z,F_z\cap H)$ et on a la suite exacte:
 \[ 0=H_n(F_z\cap H)\to H_n(F_z)\to H_n(F_z,F_z\cap H)\to H_{n-1}(F_z\cap H)\to H_{n-1}
(F_z)=0\]
dont Thom d\'eduit qu'il suffit de montrer la finitude de la monodromie agissant sur l'homologie relative $ H_n(F_z,F_z\cap H)$. Pour ce faire, il observe que les points critiques de ${\rm Re}( u(x_0,\ldots ,x_n))$ sur $F_z$ sont aussi ceux de $ u(x_0,\ldots ,x_n)$ et que pour une forme lin\'eaire $u$ assez g\'en\'erale, ces points qui constituent le lieu critique de l'application \[S=(f,u)\colon U\to{\mathbf C}^2,\]  forment un sous-espace de $U$, d'\'equations:
\[\frac{f_{x_0}}{c_0}=\ldots =\frac{f_{x_n}}{c_n}\ \  {\rm si}\ u=c_0x_0+\dots +c_nx_n.\]
Si la forme lin\'eaire $u$ est assez g\'en\'erale, ce sous-espace est une courbe $P_u$ qui ne rencontre l'hypersurface $f(x_0,\ldots ,x_n)=0$ qu'\`a l'origine et que Thom nomme \textit{courbe polaire}. Sur chacune des composantes analytiquement irr\'eductibles de $P_u$, param\'etr\'ee par des s\'eries convergentes $x_0(t_i),\ldots ,x_n(t_i)$ en une variable $t_i$ on peut \'ecrire le d\'eveloppement des fonctions $f,u$, ce qui revient \`a \'ecrire une param\'etrisation des branches de la courbe image $S(P_u)\subset {\mathbf C}^2$:\[u=\sum_k c_kx_k(t_i)=A_it_i^{m_i}+\cdots\]\[ z=f(x_0(t_i),\ldots ,x_n(t_i))=B_it_i^{n_i}+\cdots\]
($A_i,B_i\in {\mathbf C}^*$) dont Thom rappelle la similitude avec le \og{Graphe de Cerf}\fg. On retrouve ici une id\'ee qui lui est ch\`ere: l'importance de l'\'etude du graphe de la famille des valeurs critiques dans une famille \`a param\`etres de fonctions de Morse.\par
L'id\'ee est maintenant d'\'etudier l'action de la monodromie sur $H_n(F_z,F_z\cap H)$ en suivant le mouvement des cellules de gradient de la fonction ${\rm Re}( u(x_0,\ldots ,x_n))$ sur $F_z$, donc celui des points d'intersection de la courbe polaire avec $F_z$, lorsque $z$ d\'ecrit un petit cercle $z=b.{\rm exp}(i\theta t)$ avec $b\in{\mathbf C}$. Cela suppose en particulier d'\'etudier la variation avec $t$ des intersections de la courbe $S(P_u)$ avec les droites $z=b.{\rm exp}(i\theta t)$.\par\noindent
Et c'est ici que se trouve l'erreur de la d\'emonstration: Thom croit d\'emontrer que les paires d'exposants $m_i,n_i$ des param\'etrisations ci-dessus sont les m\^emes pour toutes les composante irr\'eductibles de la courbe polaire. Son argument est que la famille $P_u$ des courbes polaires reste \og{\'equisinguli\`ere}\fg\  lorsque la forme lin\'eaire $u$ reste en dehors d'un diviseur $A$ de l'espace des param\`etres ${\mathbf P}^n$ de coordonn\'ees homog\`enes $(c_0:\ldots:c_n)$. Ceci est vrai et implique m\^eme, comme il le souhaite, que la famille des courbes planes $S(P_u)$ est \'equisinguli\`ere, ce qui implique la constance lorsque la forme lin\'eaire $u$ varie hors de  $A$ des premiers exposants $\frac{m_i}{n_i}$ du d\'eveloppement de Puiseux \[u=K_iz^{\frac{m_i}{n_i}}+\cdots\] de la $i$-i\`eme branche de $S(P_u)$. Des travaux, \`a l'\'epoque r\'ecents, de Zariski, contiennent les r\'esultats voulus.\par\noindent Mais Thom en d\'eduit, \`a tort, que cette \'equisingularit\'e implique que l'on permute les composantes irr\'eductibles de $P_u$ par des chemins dans ${\mathbf P}^n$ \'evitant le diviseur $A$, ce qui force \'evidemment les paires $m_i,n_i$ \`a \^etre toutes \'egales. Ceci est faux et comme on le verra un peu plus bas les quotients $\frac{m_i}{n_i}$ sont diff\'erents en g\'en\'eral. Or, la fin de la preuve utilise de mani\`ere essentielle cette \'egalit\'e de tous les quotients pour d\'ecrire la monodromie des cellules de gradient.\par
Toujours \`a la m\^eme \'epoque Brieskorn d\'emontra dans \cite{B} par des m\'ethodes analytiques le r\'esultat correct: la monodromie locale $T$ n'est pas d'ordre fini mais quasi-unipotente: il existe un entier $e$ tel que $(T^e-Id.)^{n+1}=0$. Une synth\`ese concernant ce th\'eor\`eme se trouve dans \cite{vS}\footnote{En analysant l'effet de la monodromie sur les composantes de la courbe polaire L\^e D\~ung Tr\'ang dans \cite{L3} a montr\'e que l'id\'ee de Thom pouvait conduire \`a une preuve de la quasi-unipotence. Voir aussi \cite{L4}.}. \par
Motiv\'e par l'\'etude alg\'ebrique du nombre de Milnor $\mu={\rm dim}_{\mathbf C}H_n(F_z, {\mathbf C})$ et de son comportement par restriction \`a un hyperplan g\'en\'erique, et ignorant du texte de Thom, l'auteur de ces lignes avait ind\'ependamment \`a la m\^eme \'epoque rencontr\'e la m\^eme courbe et introduit les m\^emes exposants. Il demanda si ces exposants  \'etaient des invariants d'\'equisingularit\'e. Cela conduisit au travail de M. Merle dans \cite{Me} qui calcula ces invariants dans le cas d'un germe de fonction holomorphe irr\'eductible $f(x_0,x_1)$ de deux variables, montra que le nombre des quotients $\frac{n_i}{m_i}$ diff\'erents \'etait \'egal \`a celui des exposants caract\'eristiques de Puiseux de la courbe $f(x_0,x_1)=0$, et que la donn\'ee de l'ensemble de ces quotients \'etait \'equivalente \`a la donn\'ee de ces exposants caract\'eristiques.  Une d\'emonstration de l'invariance de l'ensemble des quotients $\frac{m_i}{n_i}$ par d\'eformation \'equisinguli\`ere de la fonction $f(x_0,\ldots ,x_n)$ en toute dimension se trouve dans \cite{Te2}. Ce r\'esultat est surprenant parce que la classe d'\'equisingularit\'e des courbes planes $S(P_u)$ varie en g\'en\'eral lorsque $f(x_0,\ldots ,x_n)$ varie de mani\`ere \'equisinguli\`ere. Le travail de Merle inspira de nombreux travaux de description de la g\'eom\'etrie de la courbe polaire et des paires d'exposants dans le cas des courbes, irr\'eductibles ou non,  en termes de r\'esolution plong\'ee des singularit\'es, d'un point de vue topologique dans \cite{L-M-W} ou d'un point de vue alg\'ebrique dans \cite{GB}.\par
Il s'est av\'er\'e que la courbe polaire et les exposants interviennent dans des probl\`emes plus vari\'es que ne pourrait le laisser penser leur r\^ole de mesure de la diff\'erence entre une fonction holomorphe et sa restriction \`a une section hyperplane. On pourra trouver certains des r\'esultats valables en toutes dimensions et reli\'es \`a ce qui pr\'ec\`ede dans \cite{L2} et \cite{Te3} ainsi que \cite{Ma}, \cite{G}, \cite{Lo}, \cite{Lo2}.


\begin{thebibliography}{7}
\bibitem{A'C} N. A'Campo, 
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Eds: D. Eisenbud, S. B. Iyengar, A. K. Singh, J. T. Stafford, M. Van den Bergh, 
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\end{thebibliography}
\end{document}