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\begin{document}
\title{\bf Concentration multi-\'echelles de courbure dans des fibres de Milnor}
\author{ E. Garc\'{\i}a Barroso et B. Teissier}
\maketitle
\centerline{R\'esum\'e}\par\medskip\noindent
Etant donn\'e un germe de morphisme analytique complexe $f: (\C^2,0)\rightarrow (\C,0)$ \`a fibre
r\'eduite, nous 
\'etudions la mani\`ere dont la courbure de Lipschitz-Killing de la
fibre de Milnor
$C(\lambda )_\epsilon=f^{-1}(\lambda )\cap {\bf B}_\epsilon\subset \C^2$ pour la m\'etrique
induite par celle de $\C^2$ se concentre asymptotiquement, lorsque $(\epsilon,
\lambda)\to (0,0)$, dans l'intersection de cette fibre avec des boules  dont les centres
$\xi^Q_{q, l}(\lambda )$ peuvent
\^etre d\'ecrits mais surtout dont les rayons sont de la forme $\vert \lambda\vert^{\rho
(Q)}$ o\`u les
$\rho (Q)$ sont des nombres rationnels dont la collection ne
d\'epend que de la topologie du plongement dans $\C^2$ du germe de
courbe plane r\'eduite $C=C(0)$.\par\medskip\noindent
\centerline{Summary}\par\medskip\noindent
Given a complex-analytic map-germ $f: (\C^2,0)\rightarrow (\C,0)$ with reduced fiber, we study
how the Lipschitz-Killing curvature of the Milnor fiber $C(\lambda
)_\epsilon=f^{-1}(\lambda )\cap {\bf B}_\epsilon\subset \C^2$ for the metric induced by that of
$\C^2$ concentrates asymptotically, as $(\epsilon,\lambda)\to (0,0)$, in the
intersection of this fiber with balls, whose centers $\xi^Q_{q, l}(\lambda )$ can
be described, but whose radii, more importantly, are of the form $\vert
\lambda\vert^{\rho (Q)}$ where the $\rho (Q)$ are rational numbers depending only on
the topological type of the embedding in $\C^2$ of the germ of reduced
plane curve $C=C(0)$.
\par\medskip\par\medskip\noindent

\centerline{Introduction\footnote{Class. AMS: 32S55}{}}\par\medskip\noindent
Dans ce travail nous \'etudions le comportement 
asymptotique de la courbure de la fibre de Milnor $$C(\lambda
)_\epsilon=f^{-1}(\lambda )\cap {\bf B}_\epsilon\subset \C^2$$ d'un germe
de courbe plane r\'eduite $(C,0)\subset (\C^2,0)$ d\'efini par une \'equation $f(x,y)=0$
lorsque $\epsilon$ et $\lambda$ tendent vers $0$. Il s'agit de la
courbure de Lipschitz-Killing associ\'ee \`a la m\'etrique induite
sur $C(\lambda)$ par celle de $\C^2$. On connait d\'ej\`a, gr\^ace au
travail de Langevin \cite{Langevin} la valeur limite de l'int\'egrale de cette
courbure:$$\displaystyle\hbox{\rm Lim}_{\epsilon ,\lambda \to
0,\vert\lambda \vert <<\epsilon}\int_{C(\lambda)_\epsilon} \vert K\vert dv=2\pi
(\mu^{(2)}(C)+\mu^{(1)}(C)),$$ o\`u $\mu^{(2)}$ est le nombre de Milnor en $0$ de la singularit\'e $C(0)=C$
et $\mu^{(1)}$ sa multiplicit\'e en $0$ diminu\'ee de 1. Il faut souligner
que le terme de droite ne d\'epend que de la topologie du
plongement dans $\C^2$ du germe de courbe plane r\'eduite
$(C,0)$. Le nombre $\mu^{(2)}(C)+\mu^{(1)}(C)$ est le nombre
d'intersection \`a l'origine de $C$ avec une de ses courbes
polaires relatives g\'en\'eriques, qui sont d\'efinies par les
\'equations $$\frac{\partial f}{ \partial y}+\tau \frac{\partial f}{
\partial x}=0.$$
Ce r\'esultat est donc au fond de la nature d'un r\'esultat de
th\'eorie de l'intersection, c'est \`a dire que l'on compte des points,
ou le degr\'e de cycles, sans se pr\'eoccuper de leur position.
\par \noindent Nous allons obtenir une information plus pr\'ecise sur la
g\'eom\'etrie de la fibre de Milnor en essayant de localiser les
r\'egions de $C(\lambda )$ o\`u se concentre asymptotiquement la
courbure, et ce faisant mettre en \'evidence le fait
que la concentration de courbure est un ph\'enom\`ene
multi-\'echelles: la courbure se concentre dans les intersections
avec $C(\lambda)$ de boules,  dont les centres $\xi^Q_{q,
l}(\lambda )$ peuvent \^etre d\'ecrits, mais surtout dont les
rayons sont de la forme $\vert \lambda\vert^{\rho (Q)}$ o\`u les
$\rho (Q)$ sont des nombres rationnels dont la collection ne
d\'epend que de la topologie du plongement dans $\C^2$ du germe de
courbe plane r\'eduite $(C,0)$. Il nous semble int\'eressant que
cette description multi-\'echelles elle m\^eme ne d\'epende que de
la topologie. \par\noindent Lorsque le germe $C$ est analytiquement irr\'eductible en $0$, i.e est une
branche, la donn\'ee des exposants $\rho (Q)$, qui sont alors en nombre \'egal \`a celui des exposants de
Puiseux, et celle de la quantit\'e de courbure qui se concentre dans les boules de rayon $\rho
(Q)$ permettent de d\'eterminer les exposants caract\'eristiques de Puiseux de
$C$, et l'on peut donc dire que le comportement asymptotique de la courbure de la fibre de Milnor permet
de d\'eterminer la classe d'\'equisingularit\'e de la fibre limite singuli\`ere. Le cas r\'eductible est plus
compliqu\'e, en particulier parce qu'une partie de la courbure reste ''diffuse'', comme dans le cas
extr\^eme de $x^n+y^n=0$, o\`u il n'y a pas de concentration de courbure dans des boules de centre
diff\'erent de l'origine (et donc d\'ependant de $\lambda$). Nous savons mesurer quelle est la partie
diffuse.\par\noindent Une autre mani\`ere de d\'ecrire ce ph\'enom\`ene de concentration est de dire
qu'il exprime en partie comment la structure du diviseur exceptionnel $E$ d'une r\'esolution des
singularit\'es plong\'ee minimale $(Z, E)\rightarrow (\C^2,0)$ de
$(C,0)$ se r\'efl\`ete dans la g\'eom\'etrie de la fibre de Milnor. Le caract\`ere multi-\'echelles provient,
de ce point de vue, de la structure non-lin\'eaire du graphe d'intersection de ce diviseur
exceptionnel, selon une correspondance \'etudi\'ee en d\'etail dans [GB1], et il serait
int\'eressant de donner une preuve de notre r\'esultat fond\'ee sur le rel\`evement \`a la
surface $Z$ o\`u
$C$ est r\'esolue de la m\'etrique de $\C^2$ en une m\'etrique
singuli\`ere le long du diviseur exceptionnel.\par\noindent
Notre technique de preuve est toute diff\'erente et est bas\'ee sur
l'analyse du contact (voir le \S 1 pour une d\'efinition pr\'ecise) avec les branches de $C$ des diff\'erentes
branches des courbes polaires g\'en\'eriques qui a \'et\'e faite dans
[GB1], [GB2].\par\noindent L'id\'ee heuristique part du fait que par d\'efinition de
la courbe polaire $\frac{\partial f}{ \partial y}+\tau\frac{\partial f}{\partial x}=0$, ses
points d'intersection avec $C(\lambda)$ sont les points de
$C(\lambda)$ o\`u la tangente a la direction correspondant au
param\`etre $\tau$. Ces points ont r\'epartis sur les diff\'erentes
branches de la courbe polaire, et si le contact avec $C$ en $0$ d'une de ces
branches est fort, elle varie peu lorsque l'on varie le param\`etre
$\tau$ et par cons\'equent ses points d'intersection avec
$C(\lambda)$ bougent peu, ce qui signifie que beaucoup de
courbure se concentre au voisinage de ces points. \par\par\noindent
Si l'on souhaite repr\'esenter au moyen d'un logiciel graphique une
projection g\'en\'erique dans ${\bf R}^3$
d'une fibre de Milnor de courbe plane complexe, il sera impossible de le faire effectivement en
respectant la courbure d\`es qu'il y aura
plus d'une paire de Puiseux, en raison de ce caract\`ere multi-\'echelles
qui implique qu'en certains points la
courbure para\^\i tra infiniment grande (ou petite) par rapport \`a celle
d'autres points. Conna\^\i tre a priori les \'echelles en jeu devrait permettre de
corriger la repr\'esentation de telle mani\`ere qu'elle devienne utile. 
\par\noindent 
Remerciements: Ce travail a
\'et\'e en partie d\'eclench\'e par des questions de Langevin au second
auteur, et Langevin lui-m\^eme a obtenu des
r\'esultats pr\'eliminaires, poursuivis dans une
direction diff\'erente de celle suivie ici, la
courbure des feuilletages, par P. Rouill\'e \cite{Rouille}. Nous voulons
remercier Patrick Popescu-Pampu,
\'el\`eve \`a l'ENS, pour sa lecture aig\"ue et ses remarques
pertinentes sur une version pr\'eliminaire.
\section{Invariants du type topologique}
\medskip
\noindent Soit $f(x,y)=0,$ $f(x,y)\in {\bf{C}}\{x,y\}$ et $f(0,y)\not 
\equiv 0,$
une \'equation d'un germe irr\'eductible de courbe plane \`a 
singularit\'e isol\'ee \`a l'origine $(C,0)\subset ({\bf{C}}^2,0)$ 
de multiplicit\'e $n$.
Si $x=0$ est transverse \`a $C$ il existe une param\'etrisation de $C$
de la forme suivante: 
\[ 
\left\{ 
\begin{array}{l} 
x=t^n\\ 
y=\displaystyle \sum_{i\geq n}a_i t^i 
\end{array} 
\right. 
\] 

\noindent Ce qui \'equivaut \`a la param\'etrisation \`a la Newton-Puiseux
$y=\displaystyle \sum_{i\geq n}a_i x^{i/n}$. Toutes les autres 
param\'etrisations \`a la Newton-Puiseux de $C$ sont d\'eduites de celle-ci
par l'action du groupe $\mu_n$ des racines $n$-i\`eme de l'unit\'e 
determin\'es par $x^{1/n}\longrightarrow \omega x^{1/n}$ o\`u $\omega\in
\mu_n$ est une racine primitive $n$-i\`eme de l'unit\'e.

\medskip
\noindent Soient  $\{\beta_0,\ldots,\beta_g\}\subset \N$ les exposants 
caract\'eristiques de $C$ qui sont d\'efinis par r\'ecurrence
de la mani\`ere suivante: $\beta_0=m(C)=n$,\\
$\beta_{q+1}=\min \{i\in {\bf{N}} \;:\; a_i\neq 0 
\;\;\hbox{\rm et} \;\;i \not\equiv 0 \hbox{\rm (mod p.g.c.d.}
(\beta_0,\ldots,\beta_q))\}$.

\noindent Il existe $g\geq 1$ minimal tel que 
$\hbox{\rm p.g.c.d.}(\beta_0,\ldots,\beta_g)=1$.

\medskip
\noindent Soient alors: $l_0=m(C)$ et $l_q=\hbox{\rm p.g.c.d.}(\beta_0,
\ldots,\beta_q)=\hbox{\rm p.g.c.d.}
(l_{q-1},\beta_q)$. Il \break existe des paires d'entiers positifs $\{(m_k,n_k)_{k=1}^g\}$ tels que
$\beta_q=m_q l_q$, $l_{q-1}=n_ql_q$ et $\hbox{\rm p.g.c.d.}(m_q,n_q)=1$. 
Les paires $\{(m_k,n_k)_{k=1}^g\}$ sont appel\'es  
{\em paires caract\'eristiques de Puiseux} de $C$.

\medskip
\noindent Soit  $\Gamma(C)=\{(C,D)\;/\;C \;\hbox{\rm n'est pas une composante
de } D\}\subset \N$
le {\em semi-groupe de valeurs} de $C$, o\`u $(C,D)$ est la multiplicit\'e
d'intersection \`a l'origine de $C$ avec une courbe quelconque $D$.

\medskip
\noindent D'apr\`es Zariski \cite{Zariski1} il existe un syst\`eme minimal 
de g\'enerateurs $\{\bar{\beta}_0,\ldots \bar{\beta}_g\}$ du semi-groupe
$\Gamma(C)$  qui v\'erifie
$\bar{\beta}_0=\beta_0=m(C)$, $\bar{\beta}_1=\beta_1$, et
$\bar{\beta}_q=n_{q-1}\bar{\beta}_{q-1}+\beta_q-\beta_{q-1}$ 
pour tout $q\in \{2,\ldots,g\}$. On voit ainsi que la donn\'ee du 
semi-groupe $\Gamma(C)$ \'equivaut \`a celle des paires caract\'eristiques
de Puiseux.

\medskip
\noindent De plus si $C$ et $D$ sont deux branches \`a l'origine on appele 
{\em contact} de $C$ avec $D$ le nombre rationnel
\[ 
\begin{array}{l} 
\hbox{\rm cont}(C,D)=n \displaystyle \max_{1\leq i  
\leq n, 1\leq j \leq m} 
\{\hbox{\rm ord}_x(y_i(x^{1/n})-z_j(x^{1/m}))\}  
\end{array} 
\]
o\`u $m(C)=n,\;\;m(D)=m,\;\;\{y_i(x^{(1/n)})\}_{i=1}^n$ est  
l'ensemble des pa\-ra\-m\'e\-tri\-sa\-tions de $C$ et 
$\{z_i(x^{(1/m)})\}_{i=1}^m$ est l'ensemble des param\'etrisations  
de $D$. Le contact entre $C$ et $D$ donne donc une mesure de la
co\"{\i}ncidence des param\'etrisations \`a la Newton-Puiseux de $C$ et de $D$.

\noindent On doit remarquer aussi que $$\displaystyle 
\frac{\hbox{\rm cont}(C,D)}
{m(C)}=\frac{\hbox{\rm cont}(D,C)}{m(D)}.$$

\noindent Soient $(C,0)\subset (\C^2,0)$
un germe r\'eduit de courbe analytique plane \`a singularit\'e 
isol\'ee \`a l'origine de multiplicit\'e $n$,
et $C=C_1\cup\cdots \cup C_r$ sa d\'ecomposition en composantes 
irr\'eductibles. Notons $I$ l'ensemble $\{1,\ldots,r\}$ et $\{n_i=\beta_0^i,
\ldots,\beta_{g_i}^i\}$ les exposants caract\'eristiques de $C_i,\;$
$l_k^i=\hbox{\rm p.g.c.d.}(\beta_0^i,\ldots,\beta_k^i)$ o\`u
$k\in \{0,\ldots,g_i\},\;$ $\{(m_k^i,n_k^i)\}_{k=1}^{g_i}$ les
paires caract\'eristiques de $C_i,\;$ $ \Gamma(C_i)=<\{\overline{\beta_0^i},
\ldots,\overline{\beta_{g_i}^i}\}>$ le semi-groupe de valeurs de $C_i$ et
$\alpha_{ij}=\hbox{\rm cont}(C_i,C_j)$ avec $j\neq i$.

\medskip
\noindent Nous pouvons repr\'esenter la topologie de la courbe $C$ au moyen
du diagramme d'Eggers (voir \cite{Eggers} et  \cite{Garcia1}). Rappellons sa 
d\'efinition.

\medskip
\noindent \`A chaque branche $C_i$ de $C$ on associe un
ensemble $S_i:=S_i^1 
\cup S_i^2$ o\`u
$S_i^1=\left\{\displaystyle \frac{\beta_k^i}{n_i}\right\}_{k=1}^{g_i}$ et
$S_i^2=\left\{\displaystyle \frac{\alpha_{ij}}{n_i}\right\}_{i\neq j}$.

\medskip
\noindent On appelle cha\^{\i}ne  
\'el\'ementaire de $\;C_i\;$ le graphe $\;K_i\;$  d\'efini comme suit: 
\begin{enumerate} 
\item Les sommets sont des points noirs et un point blanc; les points  
noirs sont en \mbox{corres\-pon\-dance} bijective avec les \'el\'ements de 
$\;S_i\;$  
par une a\-ppli\-cation $\;v\;$ que nous appelons valuation. 
\item Le sommet blanc n'a pas de valuation. 
\item Les sommets sont reli\'es de la fa\c{c}on suivante: \\ 
\noindent Le sommet blanc est reli\'e au sommet noir de valuation la  
plus grande par une ar\^{e}te, qui est discontinue si la valuation est  
un \'el\'ement de $\;S_i^2-S_i^1.\;$ Si on prend un sommet noir, disons 
$\;Q,\;$ dont la valuation n'est pas maximale, il est  
reli\'e au sommet de valuation sup\'erieure la plus proche par une  
ar\^{e}te, qui est discontinue si $\;v(Q)\;$ est dans  
$\;S_i^2-S_i^1$. 
\end{enumerate} 
 
\noindent Si on prend deux branches diff\'erentes $\;C_i\;,C_j\;$ de $\;C,\;$  
on appelle {\em graphe partiel} $\;K_{ij}\;$ de $\;C_i\;$ et $\;C_j,\;$ le  
plus petit sous-graphe  
connexe de $\;K_i\;$ qui contient les sommets $\;Q\in K_i\;$ avec   
$\;v(Q)\leq \displaystyle  \frac{\alpha_{ij}}{n_i}$. Les graphes partiels  
$K_{ij}$ et $K_{ji}$ sont \'egaux. 
 
\medskip

\noindent Finalement on d\'efinit  {\em le diagramme d'Eggers $T(C)$ de $C$} 
comme le  
graphe obtenu en identifiant les graphes partiels $K_{ij},K_{ji}$ dans la 
r\'eunion disjointe des cha\^{\i}nes \'e\-l\'e\-men\-taires $K_1,\ldots,K_r$.


\medskip
\noindent On voit aussit\^ot
que deux germes de courbes r\'eduites sont \'equisinguliers 
si et seulement si ils ont le m\^eme diagramme d'Eggers.

\begin{ejemplo}
Soit la courbe $C\equiv f=f_1.f_2=0$ o\`u
$f_1(x,y)=(y^2-x^3)^2-4yx^6-x^9$ et  
$f_2(x,y)=(y^2-x^3)^2-4yx^5-x^7.$ 
 
\medskip 
\noindent Les d\'eveloppements de Puiseux de $f_1(x,y)=0$ sont 
\[ 
\left\{ \begin{array}{l} 
 
y_1=x^{3/2}+x^{9/4} \\ 
y_2=-x^{3/2}+ix^{9/4} \\ 
y_3=x^{3/2}-x^{9/4} \\ 
y_4=-x^{3/2}-ix^{9/4}  
\end{array} 
\right. \] 
 
\noindent et les
d\'eveloppements de Puiseux de $f_2(x,y)=0$ sont 
\[ 
\left\{ \begin{array}{l} 
 
y_1=x^{3/2}+x^{7/4} \\ 
y_2=-x^{3/2}+ix^{7/4} \\ 
y_3=x^{3/2}-x^{7/4} \\   
y_4=-x^{3/2}-ix^{7/4}    
\end{array} 
\right. \]  
 
 
\noindent Donc $\displaystyle S_1^1\cup S_1^2=
\displaystyle \left\{\frac{3}{2},\frac{9}{4}\right\}\bigcup  
\left\{\frac{7}{4} \right\}$ et 
$\displaystyle S_2^1\cup S_2^2=\left\{\frac{3}{2},\frac{7}{4}\right\}
\displaystyle \bigcup \left\{\frac{7}{4}\right\}$.
 
\medskip 
 
\noindent Le diagramme d'Eggers de $C$ est 
{\tt    \setlength{\unitlength}{0.92pt}}
$$ \epsfig{file=optimal.eps, height= 30 mm}$$

% \vspace{2cm}
% \begin{figure}[htbp]
% \epsfxsize=3cm
% $$
% \epsfbox{optimal.eps}
% $$
% \caption{graphe essaie}
% \end{figure}
% \newpage

\end{ejemplo}

\medskip
\noindent On appelle {\em point base de $T(C)$} le sommet de $T(C)$ de  
valuation la plus petite. 

\medskip 

\noindent A chaque sommet noir $Q$ de $T(C)$ on associe trois nombres : 

\medskip 
\noindent $d_1(Q):=$nombre d'ar\^{e}tes discontinues de $T(C)$ qui sortent  
de $Q$ vers un sommet noir de valuation plus grande ou vers un sommet blanc  
de $T(C)$. 

\medskip 
\noindent $d_2(Q):=$nombre d'ar\^{e}tes pleines de $T(C)$ qui sortent de $Q$  
vers un sommet noir de valuation plus grande ou vers un sommet blanc de 
$T(C)$.

\medskip 
\noindent $k(Q):=$ nombre d'ar\^{e}tes pleines entre $Q$ et le point base.

\medskip
\noindent Soit $Q$ un sommet noir de $T(C)$ tel que $d_2(Q)>0$. Le fait que
l'ar\^ete qui sort de $Q$ dans la cha\^{\i}ne \'el\'ementaire $K_i$ de $T(C)$
soit pleine \'equivaut \`a dire que la valuation de $Q$ est \'egale \`a
$\displaystyle \frac{\beta_{k+1}^i}{n_i}$ o\`u $k=k(Q)$.

\medskip
\noindent Notons  
$I_Q$ l'ensemble $\{i\in I \;/\; Q\in K_i\}$ o\`u $K_i$ est la cha\^{\i}ne 
\'el\'ementaire de la branche $C_i$, et 
$I^*_Q$ le sous-ensemble de $I_Q$ v\'erifiant:
\medskip

\noindent $I^*_Q=I_Q\;\;$ si $d_2(Q)=0$ et

\noindent $I^*_Q=\left \{i\in I_Q\;:\;v(Q)=\displaystyle \frac{\beta_{k+1}^i}
{n_i}\right \}\;\;$ si $d_2(Q)>0$.

\medskip
\section{Calculs sur les branches de la courbe polaire}
 
\noindent Soient $f:{\C}^2 \longrightarrow \C$ un morphisme d\'efini dans un voisinage ouvert $V$ de
l'origine et $l\equiv l(x,y):{\C}^2 \longrightarrow \C$ une forme lin\'eaire sur $\C^2$.

\medskip
\noindent On appelle courbe de niveau $\lambda$ de $f$ la courbe $C(\lambda)\subset V$ d'\'equation
$f(x,y)=\lambda$.

\medskip
\noindent On appelle courbe polaire de $f$ dans la direction $l$
le lieu $C_l$ des points critiques dans $V$ de $(f,l): V \longrightarrow \C^2$.

\medskip
\noindent Ainsi, si $P$ est un point de $C_l$ alors ou bien $P$ est un point singulier
de $C(\lambda)$ ou bien $P$ est un point lisse de $C(\lambda)$ et la droite tangente
\`a $C(\lambda)$ au point $P$ est parall\`ele \`a $l(x,y)=0$.

\begin{nota}
La courbe polaire est vide dans un voisinage assez petit de $0$ si et seulement si $C\equiv f(x,y)=0$ est 
lisse en $0$. Nous nous pla\c cons dans le cas o\`u $C$ est singuli\`ere.
\end{nota}

\medskip
\noindent Nous pouvons \'ecrire l'\'equation d'une courbe polaire de $f$ sous
la forme: $$\displaystyle  \sigma\frac{\partial f}{\partial y}+\tau \frac{\partial f}
{\partial x}=0\ ,\ \ \ (\sigma :\tau)\in \P^1(\C ).$$ D'apr\`es les r\'esultats
g\'en\'eraux sur l'\'equisingularit\'e (voir \cite{Zariski3} et 
\cite{Teissier1}), il existe un ouvert de Zariski $U$ de
l'espace $\P^1(\C)$ des directions de projection tel que pour \break $(\sigma :\tau)\in U$ les courbes
polaires soient toutes \'equisinguli\`eres. Pour simplifier nous nous restreindrons \`a consid\'erer
l'intersection de $U$ avec l'ouvert affine $\sigma\neq 0$, poserons $\sigma=1$ et, pour $\tau\in
U\cap {\bf A}^1$, noterons
$P(\tau)$ la courbe polaire correspondante, appel\'ee par abus de langage courbe polaire
g\'en\'erique. C'est la fibre au dessus de $\tau\in{\bf A}^1$ de la surface $P$ d\'efinie dans un ouvert de
$\C^3$ par$$\displaystyle  \frac{\partial f}{\partial y}+\tau \frac{\partial f}
{\partial x}=0.$$
\par\noindent Dans toute la suite nous supposerons que le choix de la coordonn\'ee $x$ est assez g\'en\'eral
pour que le point $\tau=0$ appartienne \`a l'ouvert $U$. 

\medskip
\noindent Toujours d'apr\`es les r\'esultats
g\'en\'eraux sur l'\'equisingularit\'e ({\it loc.cit}), il existe un recouvrement de $U$ par des ouverts
relativement compacts $(U_{\delta})_{\delta}$ et pour chaque $\delta$ il
existe un rayon $\epsilon(\delta)>0$ tel que dans l'ouvert $U_{\delta}\times
\B_{\epsilon(\delta)}$, la famille des courbes polaires 
est une famille \'equisinguli\`ere de courbes planes et en particulier
pour tout $\tau \in U_{\delta}$ le nombre
des composantes irr\'eductibles de $P(\tau)$ est constant et la surface
$P$ de $U_{\delta}\times \B_{\epsilon(\delta)}$ r\'eunion des 
$(P(\tau))_{\tau \in U_{\delta}}$ est r\'eunion
des surfaces $P_q$ param\'etr\'ees de la forme:

\[P_q\cap (U_{\delta}\times \B_{\epsilon(\delta)})=
\left\{ \begin{array}{l}
x=t_q^{m_q}\\
y=y(t_q,\tau) \;\;\;\;\hbox{\rm avec}\;y(t_q,\tau) \in \C\{t_q,\tau\}
\end{array}
\right.
\]

\noindent $P(\tau)$ designe donc aussi bien la courbe polaire correspondant
\`a la direction $\tau$ que la fibre au dessus de $\tau\in U$ de la surface $P$. Puisque la famille des
$P(\tau)$ est \'equisinguli\`ere pour $\tau\in U$, nous nous permettrons souvent de supprimer le
$\tau$ pour des caract\`eres num\'eriques tels que multiplicit\'es, nombres d'intersection, qui sont
constants pour
$\tau\in U$, et de m\^eme pour les composantes irr\'eductibles de $P$ que nous allons introduire:

\medskip

\noindent Rappelons que on a: 

\medskip
\begin{teorema}[\cite{Garcia2}]
Dans $U_{\delta}\times \B_{\epsilon(\delta)}$ les composantes
irr\'eductibles de $P(\tau)$ se rassemblent en $l$ branches (que 
nous appellerons
``paquets'') $\Gamma^{Q_j}(\tau)$ index\'es par les sommets noirs 
$(Q_j)_{1\leq j\leq l}$ de $T(C)$. De plus:

\begin{enumerate}

\medskip
\item Toutes les composantes irr\'eductibles d'un paquet
$\Gamma^{Q_j}(\tau)$ ont le m\^eme contact avec chacune des branches de $C$
et cette condition de contact est donn\'ee des deux mani\`eres \'equivalentes
suivantes:
\begin{enumerate}
\item Pour chaque composante irr\'eductible $P_q(\tau)$ de $\Gamma^{Q_j}
(\tau)$ et
pour toute composante irr\'eductible $C_i$ de $C$ telle que $Q_j$ appartient
a la cha\^{\i}ne \'el\'ementaire de $C_i$ on a l'\'egalit\'e:

$$\frac{(C_i,P_q(\tau))}{m(P_q(\tau))}=
\displaystyle \frac{n_k^i \overline
{\beta_k^i}+n_iv(Q_j)-\beta_k^i}{n_1^i \ldots n_k^i}$$

\noindent o\`u $k:=k(Q_j)$.

\item Chaque composante irr\'eductible $P_q(\tau)$ de  
$\Gamma^{Q_j}(\tau)$ a un d\'eveloppement de Puiseux de la forme: 

\[ \left\{ \begin{array}{l} 
x=t^{m_q}\\ 
y=a_{n_{i_0}}t^{m_q}+ \cdots + a_{sn_{i_0}}t^{sm_q}+ 
 a_{\beta_1^{i_0}}t^{\tilde{\beta}_1^{i_0}}+\cdots+ 
a_{\beta_q^{i_0}} t^{\tilde{\beta}_q^{i_0}}+\cdots + \\ 
  \\ 
\;\;\;\; +a_{n_{i_0}v(Q_j)-1} t^{\frac{m_q(n_{i_0}v(Q_j)-1)}{n_{i_0}}}+  
\displaystyle \sum_{s\geq m_qv(Q_j)}b_s(\tau) t^s 
\end{array} 
\right.  \] 
\noindent o\`u $\;t$ est un param\`etre 
uniformisant, l'indice $i_0$ est tel que $Q_j$ appartient \`a la cha\^{\i}ne 
\'el\'ementaire de la branche $C_{i_0}$ de $C$, l'entier $m_q:=m(P_q(\tau))$ est la multiplicit\'e \`a 
l'origine de $P_q(\tau)$, et les $b_s(\tau)$ sont dans $\C\{\tau\}$. \par Ici 
le tilde indique que tous les exposants ont 
\'et\'e divis\'es par un facteur commun $\displaystyle \frac{n_{i_0}}{m_q}$. \par\noindent
De plus $(a_{n_{i_0}},\ldots,a_{sn{i_0}},a_{\beta_1^{i_0}},\ldots, 
a_{\beta_{q}^{i_0}},\ldots,a_{n_{i_0}v(Q_j)-1})$ sont les coefficients d'un
d\'e\-ve\-lo\-ppe\-ment de Puiseux de $C_{i_0},$ jusqu'au terme  
$n_{i_0}v(Q_j)-1$, et sont donc ind\'ependants de $\tau$ pour toute
valeur $\tau$ qui appartient \`a l'ouvert $U_{\delta}$ d'\'equisingularit\'e. 
\\

\medskip
\noindent Ceci signifie qu'\`a division pr\`es des exposants par un facteur
commun, le d\'eve\-loppement de Puiseux de $P_q(\tau)$ co\"{\i}ncide avec le
d\'eveloppement de Puiseux de la branche $C_{i_0}$ de la courbe $C$ 
{\em au moins jusqu'au dernier terme pr\'ec\'edant la valeur} 
$n_{i_0}v(Q_j)-1$.
On ne peut \^etre plus pr\'ecis en g\'en\'eral puisque le type topologique
de la courbe polaire (et en particulier le nombre de ses composantes
irr\'eductibles) n'est pas d\'etermin\'e par celui de la courbe $C$.

\end{enumerate}

\item La multiplicit\'e de $\Gamma^{Q_j}(\tau)$ est 
\'egale \`a $n_1^i\cdots n_k^i(d_1(Q_j)+n_{k+1}^id_2(Q_j)-1)$ o\`u l'index
$i\in I^*_{Q_j}$.
\end{enumerate}
\Box
\end{teorema}

\medskip
\noindent L'\'egalit\'e (2) est due a Eggers \cite{Eggers} et le
r\'esultat (a) est d\^u \`a Smith \cite{Smith} et Merle \cite{Merle}
dans le cas irr\'eductible.

\begin{nota}
La d\'ecomposition de $P(\tau)=\displaystyle \bigcup_{Q_j}
\Gamma^{Q_j}(\tau)$
donne une d\'ecomposition dans $U_{\delta}\times \B_{\epsilon(\delta)}$ 
de la surface $P$ de la forme suivante:
$P=\displaystyle \bigcup_{Q_j}\Gamma^{Q_j}$ avec $\Gamma^{Q_j}=\displaystyle
\bigcup_{\tau \in U_{\delta}}\Gamma^{Q_j}(\tau)$.\par\noindent Le d\'eveloppement (b) est une
param\'etrisation analytique de la surface $P_q\subset U_{\delta}\times \B_{\epsilon(\delta)}$.
\end{nota}
\medskip

\noindent Du point de vue de (b) on peut montrer le r\'esultat
supl\'ementaire suivant qui g\'en\'eralise 
un r\'esultat connu dans le 
cas irr\'eductible \cite{Smith}, \cite{Teissier4}:

\begin{lema}[\cite{Garcia2}]
\label{exponente}
Si $Q$ est un sommet noir simple de $T(C)$ et $P_q(\tau)$ est une branche du
paquet $\Gamma^{Q}(\tau)$ alors dans le d\'eveloppement de $y(t)$ de la branche
$\Gamma(\tau)$ le terme $t^{m_qv(Q)}$ n'appara\^{\i}t pas.
\end{lema}

\bigskip

\noindent Nous allons utiliser le th\'eor\`eme pour calculer en fonction
de $\lambda$ et $\tau$ les coordonn\'ees des points d'intersection de la
courbe de niveau $C(\lambda)$ et la courbe polaire $P(\tau)$.

\medskip

\noindent Pour simplifier la notation dans le calcul qui suivre nous
noterons $P_q$ une des composantes irr\'eductibles de la surface 
$\Gamma^{Q_j}$, que nous continuerons par abus de langage d'appeler ''branche''. Nous noterons $m_q$ la
multiplicit\'e
\`a l'origine de $P_q(\tau)$ et $e_q+m_q$ son nombre d'intersection en
$0$ avec $C$, pour $\tau$ g\'en\'erique (voir \cite{Teissier3}).

\medskip
\noindent Nous noterons $\gamma_q$ le plus petit exposant plus grand
ou \'egal \`a $m_qv(Q_j)$ apparaissant dans le d\'eveloppement de
Puiseux  $y_q(t,\tau)$ de $P_q(\tau )$ en puissances de $t$. Comme l'a montr\'e E.
Casas dans \cite{Casas2} dans le cas irr\'eductible, ce nombre ne d\'epend
pas seulement du paquet $\Gamma^{Q_j}$, mais bien de la composante $P_q$
choisie. E. Casas a calcul\'e (Prop. 1.1 de \cite{Casas2}) la valeur de
$\gamma_q$ pour une courbe g\'en\'erique dans sa classe 
d'\'equisingularit\'e.

\medskip
\noindent On peut donc \'ecrire la partie (b) du th\'eor\`eme pour la
surface $P_q$ sous la forme suivante:

\[ P_q \equiv \left\{ \begin{array}{l} 
x=t^{m_q}\\ 
y_q(t,\tau)=a_{n_{i}}t^{m_q}+ \cdots + a_{sn_{i}}t^{sm_q}+\cdots + 
b_{\gamma_q}(\tau)t^{\gamma_q}+\cdots
\end{array} 
\right.  \] 

\noindent o\`u les coefficients des puissances de $t$ plus petites que
$\gamma_q$ sont ind\'ependants de $\tau$ car ils 
co\"{\i}ncident avec les coefficients d'une d\'eveloppement de Puiseux
d'une branche $C_i$ de $C$ (voir \cite{Garcia2}).

\medskip
\noindent Nous allons utiliser aussi le fait suivant: Pour tout $\tau 
\in U_{\delta}$,
la multiplicit\'e d'intersection de $P_q(\tau )$ avec $C$ est 
strictement plus grande que $m_q$ car $C$ est singuli\`ere. Cela
permet d'\'ecrire $(C,P_q (\tau ))=e_q+m_q$ avec $e_q>0$.
En fait, la somme sur toutes les composantes $P_q (\tau)$ de $P(\tau )$ des $ e_q$
est \'egale \`a $\mu^{(2)}(C)$ (voir \cite{Teissier3}). Ainsi l'\'egalit\'e
$(C,P_q(\tau ))=e_q+m_q$ signifie que l'on a une identit\'e 
$$f(t^m,y_q(t,\tau))=c_{e_q+m_q}(\tau) t^{e_q+
m_q}+\cdots \ \ \ \ \hbox{\rm avec}\ \ c_{e_q+m_q}(\tau)\neq 0$$

\medskip

\begin{lema}
Le coefficient de $t^k$ dans la s\'erie $f(t^{m_q},y_q(t,\tau))\in 
\C\{t,\tau\}$ est ind\'ependant de $\tau$ pour $k$ plus petit que
$e_q+\gamma_q$.

\end{lema}
{\bf D\'emonstration} 

\medskip
\noindent Il faut calculer l'ordre en $t$ de $\displaystyle \frac{\partial 
f(t^{m_q},y_q(t,\tau))}{\partial \tau}.$ 

\noindent \bigskip 
\noindent Mais 
$ \displaystyle \frac{\partial f(t^{m_q},y_q(t,\tau))} 
{\partial \tau}= 
\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial x}{\partial \tau} \right)_{P_q}+ 
\left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial y}{\partial \tau} \right)_{P_q}$, et comme
 $\displaystyle \left(\frac{\partial x}{\partial \tau}  
\right)_{P_q}=0$, on a 
\begin{equation} 
\label{hola} 
\frac{\partial f(t^{m_q},y_q(t,\tau))}{\partial \tau}= 
\left(\frac{\partial f}{\partial y} \right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial y}{\partial \tau} \right)_{P_q}. 
\end{equation} 
 
\medskip 
 
\noindent Puisque dans le d\'eveloppement de $y_q(t,\tau)$  
les puissances de $t$ de 
degr\'e plus petit que $\gamma_q$ sont ind\'ependantes de $\tau$  
on a: 
 
\begin{equation} 
\label{hola2} 
\hbox{ord}_{t}\left( \frac{\partial y}{\partial \tau} 
\right)_{P_q} \geq \gamma_q.
\end{equation} 
 
\medskip 
\noindent De plus $ \hbox{ord}_{t}\left( \displaystyle \frac{\partial 
f(t^{m_q},y_q(t,\tau))}{\partial y}\right)= e_q$, il suffit de se placer
dans des coordonn\'ees $(x,y)$ telles que $\tau=0$, donc $P\equiv
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=0$ et  
$\displaystyle \frac{\partial f(x_q(t),y_q(t))}{\partial t}
=\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.\displaystyle \frac{\partial x}
{\partial t}$, alors 
$$\hbox{\rm ord}_t\left(\displaystyle \frac{\partial f(x_q(t),y_q
(t))}{\partial t}\right)=e_q+m_q-1$$ 
\noindent et comme
$\hbox{\rm ord}_t\left( \frac{\partial x}{\partial t}\right)=m_q-1$ on
a $\hbox{\rm ord}_t\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right)=e_q$.\par\noindent
(Pour plus de d\'etails voir le Lemme 3.3.2 de
\cite{Garcia1}).

\medskip
\noindent Alors
$\displaystyle \hbox{ord}_{t}\left( 
\frac{\partial f(t^{m_q},y_q(t,\tau))}{\partial \tau}\right) 
\geq e_q+\gamma_q.$ 
 
\Box

\medskip
\noindent Il en r\'esulte que nous pouvons \'ecrire
\begin{equation} 
\label{desarrollo} 
f(t^{m_q},y_q(t,\tau))=\sum_{\alpha=e_q+m_q} 
^{e_q+\gamma_q-1} c_{\alpha}t^{\alpha}+ \sum_{\alpha\geq 
e_q+\gamma_q}c_{\alpha}(\tau) t^{\alpha} 
\end{equation} 
 
\medskip
\noindent Il nous reste \`a en tirer des expressions pour le d\'eveloppement
de $x$ et $y$ en fonction de $\tau$, pour chaque valeur de $\lambda$. Or
nous avons les faits suivants:

\begin{enumerate}
\item D'une part la surface de $\C^4$ 
ayant pour \'equations
$$f(x,y)=\lambda \;,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial f}{\partial y}+
\tau\frac{\partial f}{\partial x}=0$$

\noindent admet localement sur $U_{\delta}$ et pour $x,y$ et $\lambda$ assez 
petits une repr\'esentation param\'etrique sous forme d'un d\'eveloppement de $t$ 
en puissances de $\lambda^{\frac{1}{e_q+\gamma_q}}$, \`a 
coefficients analytiques en $\tau$. En effet, en utilisant la 
param\'etrisation simultan\'ee que nous avons vue plus haut de chacune
des composantes irr\'eductibles de la surface $S$ d'\'equation 
$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}+\tau\frac{\partial f}
{\partial x}=0$, et en la substituant dans $f(x,y)-\lambda$, il vient
$$t^{e_q+m_q}V(t,\tau)-\lambda=0$$ 

\noindent o\`u $V(t,\tau)\in \C\{t,\tau\}$ est une unit\'e.

\medskip
\noindent Si maintenant on consid\'ere la surface $S'\subset \C^3$ d\'efinie par cette \'equation, le 
discriminant de sa projection dans le plan des $(\tau,\lambda)$ est d\'efini ensemblistement par $\lambda=0$ et d'apr\`es {\em
le crit\`ere  discriminant} de Zariski (voir \cite{Zariski3}) cela implique l'existence d'un
d\'eveloppement de $t$ en puissances de $\lambda^{\frac{1}{e_q+m_q}}$, \`a coefficients holomorphes en
$\tau$.

\item D'autre part un calcul sans difficult\'e (voir page 214 de 
\cite{Garcia1}) donne, pour $\lambda$ fix\'e, l'\'egalit\'e

\begin{equation} 
\label{cociente} 
\left(\frac{\partial t}{\partial \tau}\right)_{P_q}= -
\frac{\left( \frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial y}{\partial \tau}\right)_{P_q}}
{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial x}{\partial t}\right)_{P_q} + 
\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_{P_q} 
\left(\frac{\partial y}{\partial t}\right)_{P_q}}.
\end{equation} 

\noindent On en d\'eduit que l'ordre en $t$ de 
$\displaystyle \left(\frac{\partial t}{\partial \tau}\right)_{P_q}$
est au moins $\gamma_q-m_q+1$. Par inversion de l'\'equation
$f(t^{m_q},y_q(t,\tau))=\lambda$ comme ci-dessus on obtient un 
d\'eveloppement de Puiseux de $t$ en fonction de $\lambda$. Puisque $t$
est de l'ordre de $\lambda^{\frac{1}{e_q+m_q}}$ on d\'eduit de
la remarque ci-dessus que l'ordre en $\lambda$ de $\left(\displaystyle
\frac{\partial t}{\partial \tau}\right)_{P_q}$ 
est au moins $\displaystyle \frac{\gamma_q-m_q+1}{e_q+m_q}$. Le d\'eveloppement de $t$ en fonction de
$\lambda$ s'\'ecrit donc

$$t=\displaystyle \sum_{\alpha=1}^{\gamma_q-m_q} d_{\alpha}  
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}} + \displaystyle 
\sum_{\alpha\geq  \gamma_q-m_q+1}  
 d_{\alpha}(\tau) \lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}}$$

\noindent avec $d_{\alpha}(\tau)\in \C\{\tau\}$
et $d_1\neq 0$, o\`u l'\'ecriture signifie ici et dans la suite, que
la plus petite puissance de $\lambda$ dont le coefficient peut d\'ependre
de $\tau$ est $\lambda^{\frac{\gamma_q-m_q+1}
{e_q+m_q}}.$

\end{enumerate} 

\medskip
\noindent Finalement, en utilisant ce que nous venons de voir pour calculer
$\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \tau}$ et
$\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \tau}$, on voit que l'on a
des d\'eveloppements de Puiseux pour les coordonn\'ees $x$ et $y$ des points de $P_q(\tau) \cap
C(\lambda)$ dans l'espace $(x,y,\lambda,\tau)$ en fonction 
de $\lambda$ et $\tau$ de la forme suivante:

\begin{equation} 
\label{puntos} 
\left\{ 
\begin{array}{llll}  
x & = &\displaystyle \sum_{\alpha = m_q}^{\gamma_q-1} g_{\alpha} 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}}+\displaystyle 
\sum_{\alpha \geq \gamma_q} g_{\alpha}(\tau) 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+\gamma_q}}
& \;\;\;\;\;\;\;\;\hbox{\rm o\`u}\;\; g_{m_q}\neq 0 \\ 
y & = & \displaystyle \sum_{\alpha = m_q}^{\gamma_q-1} h_{\alpha} 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}}+ \displaystyle 
\sum_{\alpha \geq \gamma_q} h_{\alpha}(\tau) 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}} &  \\ 
\end{array}  
\right. 
\end{equation}

\medskip

\medskip
\noindent Ainsi quand $\tau$ varie dans $U_{\delta}$, les coordonn\'ees des
points de $P(\tau)$ o\`u la tangente \`a la courbe de niveau 
$f(x,y)=\lambda$ a pour
direction $\tau$ ne d\'ependent effectivement de $\tau$ qu'\`a partir
de l'exposant $\gamma_q$.

\medskip
\noindent Le calcul pr\'ec\'edent a \'et\'e fait dans un ouvert $U_{\delta}
\times \B_{\epsilon(\delta)}$, mais il est clair que la forme du r\'esultat
est localement constante sur $U$, et donc ind\'ependante de l'ouvert 
$U_{\delta}$ choisi.

\medskip

\section{Concentration de courbure.} 
 
\noindent Le but de cette section est de montrer que la courbure des courbes 
de niveau  
$C(\lambda)\equiv f(x,y)=\lambda$ de $C$ est concentr\'ee autour des points  
d'intersection de ces fibres avec les branches des courbes polaires 
g\'en\'eriques de $C$. 
\subsection{Les boules}
 
\medskip 
\noindent Soit $\xi^Q_{q,0}(\lambda)$ le point 
$$\xi^Q_{q,0}(\lambda):=\left(  
\sum_{\alpha = m_q}^{\gamma_q-1} g_{\alpha} 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}}, 
\sum_{\alpha = m_q}^{\gamma_q-1} h_{\alpha} 
\lambda^{\frac{\alpha}{e_q+m_q}}
 \right)$$ 
 
\noindent dont les coordonn\'ees sont les parties ind\'ependants de 
$\tau$ des d\'eveloppements (\ref{puntos}). S'il n'existe pas de coefficients
ind\'ependants de $\tau$ dans l'expression (\ref{puntos}) alors  
$\xi^Q_{q,0}(\lambda):=(0,0)$. 

\medskip
\noindent Notons $\xi^Q_{q,l}(\lambda)$ le point obtenu en  
rempla\c{c}ant dans $\xi^Q_{q,0}(\lambda)$ le nombre complexe $\lambda$ par 
$\omega^l \lambda $ o\`u $\omega$ est une racine primitive  
$(e_q+m_q)-$ 
i\`eme de l'unit\'e et $l\in \{0,1,\ldots,(e_q+m_q-1)\}.$ 
 
\medskip
\begin{prop} 
\label{bolas} 
Soit $T\subset U$ un compact quelconque. 
Alors il existe $c(T)\in \R^+ $ tel que pour tout $\tau \in T$ et pour tout $\epsilon< \epsilon_0 $
les points d'intersection de $C(\lambda)$ avec la branche 
$P_q(\tau )$ du paquet $\Gamma^{Q}$ de $P(\tau)$  
sont dans les boules  
ferm\'ees de centre $\xi^Q_{q,l}(\lambda)$ et de rayon 
$c(T)|\lambda|^{\frac{\gamma_q}{e_q+m_q}} $ quand   
$\lambda $ tend vers 0. 
 
\end{prop} 
 
\noindent {\bf D\'emonstration} 
 
\bigskip 
 
\noindent $T$ est recouvert par des ouverts $U_{\delta}\cap T$.
\noindent Soit  $(x,y)$ un point de $C(\lambda )\cap P_q.$ 
Il existe $l \in \{0,\ldots,(e_q+m_q-1)\}$ tel que 
 
\begin{eqnarray} 
\label{distancia} 
M & = & \|(x,y)-\xi^Q_{q,l}(\lambda)\| \nonumber \\ 
 & = & \left\|\lambda^{\frac{\gamma_q} 
{e_q+m_q}}\underbrace{\left(\sum_{\alpha\geq\gamma_q} 
g_{\alpha}(\tau)  
\lambda^{\frac{\alpha-\gamma_q} 
{e_q+m_q}},\sum_{\alpha\geq\gamma_q}h_{\alpha}(\tau)  
\lambda^{\frac{\alpha-\gamma_q} 
{e_q+m_q}}\right)}_{\rho}\right \| \nonumber \\ 
 & = & |\lambda|^{\frac{\gamma_q} 
{e_q+m_q}}\|\rho\|.
\end{eqnarray} 
 
\medskip 
 
\noindent Mais les $g_s(\tau), h_s(\tau) $   
sont holomorphes et restent donc born\'ees sur le compact $T.$ 
Ainsi quand $\lambda$ assez petit il existe une constante $c(T) \in  
\R^+$ et il existe $\sigma(T)\in \R^+$ tels que pour 
$\tau \in T$ et $\lambda$ plus petit que $\sigma(T)$ on ait 
$\|\rho\|\leq c(T)$ et donc 
$$M\leq c(T) |\lambda|^{\frac{\gamma_q} 
{e_q+m_q}}.$$ 
 
\Box 
\medskip

\noindent Plus pr\'ecis\'ement:

\begin{prop}
\label{bolas1}
Soit $T\subset U$ un compact quelconque. Soient $\Gamma^Q$ un 
paquet de la surface $P$ avec $v(Q)>1$ et $P_q$ une surface
irr\'eductible de ce paquet. Pour tout  
$\tau \in T$ et pour tout $\vert \lambda \vert$ assez petit les points  
d'intersection dans $\C^2$ de  
$P_q(\tau)$ et $C(\lambda)$ sont dans les boules $\hbox{\bf B}(\xi^Q_{q,l}
(\lambda), |\lambda|^{\rho(Q)})$
o\`u $l\in \{0,\ldots,(e_q+ m_q-1)\}$ et
\[
\rho(Q)=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{v(Q)}{\epsilon(Q)} \;&\;\hbox{\rm si $Q$ est simple}\\
 & \\
\displaystyle \frac{v(\tilde{Q})}{\epsilon(Q)} \;&\; \hbox{\rm si $Q$ est 
un point de bifurcation diff\'erent du point base} \\
 & \\
\displaystyle \frac{1}{\epsilon(Q)} \;&\; \hbox{\rm si $Q$ est le point base 
et est un sommet de bifurcation}
\end{array} \right.
\]
\noindent o\`u $\epsilon(Q)$ est l'invariant polaire associ\'e au
paquet $\Gamma^Q$ 
pour toute branche $P_q(\tau)$ de $\Gamma^Q$ et
$\tilde{Q}$ est le pr\'ed\'ecesseur de $Q$ sur la cha\^{\i}ne 
joignant le point base \`a $Q$.
\end{prop}  

\medskip
\begin{nota}
\label{Djerba}
Rappellons que l'invariant polaire associ\'e au paquet $\Gamma^Q$, introduit dans ({\it cf} \cite{Teissier3}), o\`u
il est not\'e $\frac{e_q+m_q}{m_q}$ pour chaque branche $P_q$, de multiplicit\'e $m_q$ du paquet
$\Gamma^Q$, est
$\displaystyle
\frac{(C,P_q(\tau))}{m(P_q(\tau))}$ pour toute
branche $P_q(\tau)$ de $\Gamma^Q(\tau)$  et est un invariant de type
topologique de la courbe $C$ (voir \cite{Teissier3},\cite{Garcia2}).
\end{nota}\par\medskip\noindent
\begin{nota} 
S'il existe un sommet de valuation 1 dans $T(C)$ ce ne peut \^etre que 
le point base. Cela signifie d'apr\`es le lemme 1.3 de \cite{Garcia2} 
que la courbe $C$ contient au moins deux  
branches transverses. Dans ce cas-l\`a nous noterons $\Gamma^{(0)}(\tau)$ 
le paquet de branches de la courbe polaire correspondant au point base.
\end{nota} 
\noindent {\bf D\'emonstration} 

\medskip 

\noindent Si $Q$ est un sommet simple, d'apr\`es le lemme \ref{exponente},
on a $\gamma_q>m_qv(Q)$, donc 
il existe $\eta \in \N-\{0\}$ tel que $\eta=\gamma_q-
m_qv(Q).$

\medskip
\noindent Ainsi d'apr\`es la proposition \ref{bolas} si $(x,y)\in  
C(\lambda)\cap P_q$ il existe 
$l\in \{0,\ldots,(e_q+m_q-1)\}$ et $c(T) \in \R^+$ 
tels que  
$$M=\|(x,y)-\xi^Q_{q,l}(\lambda)\|
\leq c(T) |\lambda|^{\frac{\gamma_q}{e_q+m_q}}
=\underbrace{ c(T) |\lambda|^{\frac{\eta}{e_q 
+m_q}}}_{\sigma} 
 |\lambda|^{\frac{m_qv(Q)}{e_q+m_q}} $$

\noindent et pour $\vert \lambda \vert$ assez petit on a $\sigma < 1,$ donc 
$M < |\lambda|^{\frac{v(Q)}{\epsilon(Q)}}.$ 

\medskip
\noindent Soit maintenant $Q$ un sommet de bifurcation de $T(C)$ 
diff\'erent du point base de $T(C)$. Ainsi

$$\gamma_q\geq m_qv(Q)>m_qv(\tilde{Q})$$
\noindent o\`u $\tilde{Q}$ est le pr\'ed\'ecesseur de $Q$ sur la cha\^\i ne joignant le point-base
\`a $Q$. Un raisonnement
comme ci-dessus donne le r\'esultat.

\medskip
\noindent Cependant si $Q$ est le point base et est un point de
bifurcation, alors $\gamma_q\geq m_qv(Q)>m_q$ 
car $v(Q)>1$. On obtient le r\'esultat en raisonnant comme ci-dessus.

\Box

\medskip
\noindent Remarquons alors que pour $\lambda$ assez
petit tout point d'intersection de $P(\tau)(C)-\Gamma^{(0)}$ avec la 
courbe
de niveau $C(\lambda)$ est dans une des boules que nous venons d'introduire
dans la proposition ci-dessus.

\medskip
\noindent Ainsi nous avons associ\'e \`a chaque surface $P_q$ d'un 
paquet $\Gamma^Q$ de la surface $P$ des boules en nombre $e_q+m_q$ ayant toutes le
m\^eme rayon pour $\lambda$ fix\'e. Si on prend une autre surface
$P_{q'}$ du paquet $\Gamma^Q$ les rayons des boules associ\'ees \`a
$P_{q'}$ et \`a $P_q$ co\"{\i}ncident pour $\lambda$ fix\'e.
En cons\'equence, toutes les boules associ\'ees \`a des branches du m\^eme
paquet de la polaire ont le m\^eme rayon pour $\lambda$ fix\'e. 

\medskip


\begin{prop}
\label{bolas2}
Il existe une famille finie
$\left\{B^Q_{q,l}(\lambda):=B(\xi^Q_{q,l}(\lambda),\vert\lambda 
\vert^{\rho(Q)})\right\}_{Q,q,l}$
\noindent de boules dont
\begin{enumerate}
\item  Les centres et les rayons d\'ependent explicitement
de $\lambda$.
\item Tout point d'intersection de $P(\tau)-\Gamma^{(0)}$ avec la
fibre $C(\lambda)$ pour $\lambda$ assez petite est dans une de ces boules.
\item Les exposants $\rho(Q)$ qui apparaissent dans les rayons des boules 
ne d\'ependent que de la topologie de $C$.
\end{enumerate}

\end{prop}

\noindent {\bf D\'emonstration} 
 
\medskip

\noindent 1 et 2 r\'esultent de ce que nous venons de voir, et 3 du
fait que l'invariant polaire $\epsilon(Q)$ et le diagramme d'Eggers sont
des invariants topologiques (voir \cite{Teissier3} et \cite{Garcia2}).

\Box

\medskip
\noindent Tandis que les rayons des boules de la proposition \ref{bolas1}
d\'ependent seulement de la valeur de $\lambda$ et de la topologie
de la courbe $C$, leurs centres d\'ependent en g\'en\'eral  du
type analytique de $C$ et pas seulement du type topologique.

\medskip
\noindent Etudions maintenant le cas o\`u le point base de $T(C)$ est
de valuation 1.
\medskip

\begin{lema} 
\label{Monty}
Soit $\Gamma^{(0)}$ le paquet de la courbe polaire $P(\tau)$  
dont le sommet associ\'e $Q^{(0)}$ v\'erifie $v(Q^{(0)})=1$. Alors 
 
\begin{enumerate}
\item $(\Gamma^{(0)},C)=(t-1)m(C)$
o\`u $t$ est le nombre de composantes tangentielles de $C.$ 

\item $\Gamma^{(0)}$ est form\'e des branches de $P(\tau)$ qui sont transverses 
\`a $C$.

\end{enumerate}
\end{lema} 

\noindent{\bf D\'emonstration} 
 
\noindent S'il n'existe aucun sommet de valuation \'egale \`a 1 alors 
$\Gamma^{(0)} $ est vide et $(\Gamma^{(0)},C)=0$. Cependant s'il existe
un sommet $Q^{(0)}$ de valuation \'egale \`a 1, alors 
$(\Gamma^{(0)},C)=\displaystyle \sum_{P_q(\tau) \in \Gamma^{(0)}} 
(P_q(\tau ),C)$ o\`u la 
somme est sur toutes les branches $P_q$ du paquet  $\Gamma^{(0)}$.
Comme la valuation de $Q^{(0)}$ est \'egale \`a 1,  $Q^{(0)}$ est
le point base de $T(C)$ et $\hbox{\rm cont}(C_i,P_q)=n_i$ pour toute
branche $C_i$ de $C$ et pour toute branche $P_q$ de $\Gamma^{(0)}$.
Ainsi $(C_i,P_q)=n_im_q$ et $(C,\Gamma^{(0)})=m(C)m(\Gamma^{(0)})$,
c'est-\`a-dire que $\Gamma^{(0)}$ est transverse \`a $C$. Etant donn\'e que
chaque composante de la courbe polaire qui est transverse \`a $C$ est 
dans le paquet correspondant \`a $Q^{(0)}$, $\Gamma^{(0)}$ est la partie de 
$P(\tau)$ qui est transverse \`a $C$. De plus $m(\Gamma^{(0)})=
d_1(Q^{(0)})-1=t-1$ et $(\Gamma^{(0)},C)=(t-1)m(C).$
\begin{nota} Ici et dans la suite, les $P_q$ sont des composantes du paquet $\Gamma^Q$; les indices $q$ et
$Q$ ne sont donc pas ind\'ependants.\end{nota}
\Box
\medskip
\subsection{La courbure}\medskip
\noindent Rappellons qu'\`a une variet\'e r\'eelle $V^p\subset \R^
\N$ on peut associer en tout point $z\in V$ une courbure, dite de 
Lipschitz-Killing (voir \cite{Fenchel} pour une d\'efinition pr\'ecise)
comme suit: A chaque vecteur normal unitaire $n\in {\bf S}^{N-p-1}$ \`a $V$ dans $\R^N$ en $z$ 
associons la projection orthogonale $P_n$ de $V$ dans l'espace vectoriel
engendr\'e par $T_{V,z}$ et $n$. Cette projection a pour image une
hypersurface de $\R^{p+1}$ qui est non singuli\`ere en $z$, et on note
$\gamma(V,n,z)$ sa courbure de Gauss au point $P_n(z)$. La courbure de
Lipschitz-Killing est
$$K(V,z)=c(N,p)\int_{{\bf S}^{N-p-1}} \gamma(V,n,z) dn$$

\noindent o\`u $c(N,p)$ est une constante de normalisation qui ne d\'epend que
de $N$ et $p$. On a alors:

\medskip

\begin{teorema}[formule d'\'echange \cite{Langevin}]
\label{Langevin1}
Soit $W$ un ouvert d'une courbe holomorphe de $\C^2$; notons $K$
la courbure de Lipschitz-Killing de $W$ pour la m\'etrique induite 
et $\vert \mu(W,L)\vert$ le 
nombre des points critiques de la projection de $W$ parall\`element \`a une direction de droite
complexe $L\in \P^1(\C)$. On a l'\'egalit\'e ( o\`u les int\'egrales sont prises par
rapport aux mesures naturelles):

$$\int_W \vert K \vert dv =2\pi \int_{\P^1(\C)}\vert 
\mu(V,L)\vert dL$$
\end{teorema}  \findem

\medskip

\noindent On d\'eduit de ce th\'eor\`eme et de l'\'egalit\'e 
$\mu^{(2)}+\mu^{(1)}=\mu^{(2)}(C)+\mu^{(1)}(C)=(P(\tau),C)$ d\'emontr\'ee par Teissier 
(voir \cite{Teissier1}, \cite{Teissier3}) le r\'esultat suivant:

\begin{teorema}[Langevin (\cite{Langevin})] 
\label{Langevin2} 
On a l'\'egalit\'e: 
\begin{equation} 
\lim_{\epsilon, \lambda \to 0, \vert \lambda \vert<< \epsilon } 
\int_{C(\lambda )_\epsilon} \vert K \vert dv= 
2\pi(\mu^{(2)}+\mu^{(1)}) 
\end{equation} 

\noindent o\`u $\mu^{(2)}$ est le nombre de Milnor de $C$ et 
$\mu^{(1)}+1$ est la multiplicit\'e $m(C)$ de $C$ en $0$.
\end{teorema} \findem
\begin{nota} On peut v\'erifier en suivant la d\'emonstration que l'\'ecriture
 $\lim_{\epsilon, \lambda \to 0, \vert \lambda \vert<< \epsilon }$ peut \^etre
interpr\'et\'ee comme ceci: il existe dans le plan des $(\epsilon,\vert \lambda
\vert)$ une courbe analytique r\'eelle, ne d\'ependant que du choix des coordonn\'ees et de 
l'\'equation de $C$, et
 admettant un d\'eveloppement de Puiseux
$$\vert
\lambda \vert =c_k\epsilon ^{\frac{k}{p}}+c_{k+1}\epsilon ^{\frac{k+1}{p}}+\cdots $$
telle que la limite ait la valeur annonc\'ee tant que $(\epsilon,\vert \lambda
\vert)$ tendent vers $0$ dans le premier quadrant en restant sous le graphe de la
courbe. Cette condition sur le passage \`a la limite peut \^etre interpr\'et\'ee ainsi
dans la suite de cette article.\end{nota}
\medskip
\noindent Le r\'esultat de Langevin mesure la quantit\'e totale de courbure
de $C(\lambda)$ qui se concentre au point singulier $0$ de $f(x,y)$ lorsque
$\epsilon, \lambda \rightarrow 0$. Le r\'esultat principal de cet article
d\'ecrit de mani\`ere bien plus pr\'ecise comment cette courbure se r\'epartit
asymptotiquement sur la fibre $C(\lambda)$ lorsque $(\epsilon, \lambda ) $ tend vers $(0,0)$, $\vert \lambda
\vert <<\epsilon$.

\begin{teorema} 
\label{final}
Reprenons les notations de la proposition (\ref{bolas2}). 
Soit $\Gamma^{(0)}$ le paquet de la courbe polaire $P(\tau)$  
dont le sommet associ\'e $Q^{(0)}$ v\'erifie $v(Q^{(0)})=1.$  
Alors  

\begin{equation} 
\label{curvatura2.2} 
\displaystyle 
\lim_{\epsilon, \lambda \to 0,\vert \lambda \vert<<\epsilon} 
\left(\int_{C(\lambda)_\epsilon} \vert K \vert dv- 
\int_{C(\lambda)_\epsilon\cap(\bigcup_{Q,q,l}B_{q,l}^{Q}(\lambda))} \vert K  
\vert dv\right)=2\pi (t-1)m(C) 
\end{equation} 
 
\noindent o\`u $t$ est le nombre de composantes tangentielles de $C$. 
\end{teorema} 

\noindent{\bf D\'emonstration} 
 
\medskip 
\noindent Prenons $W=C(\lambda)_\epsilon$. D'apr\`es la formule d'\'echange
et la Proposition \ref{bolas2} on a l'in\'egalit\'e
\begin{equation} 
\label{curvatura1} 
\int_{C(\lambda)_\epsilon\cap \left(\bigcup_{Q,q,l}B_{q,l}^{Q}(\lambda)
\right)} \vert K \vert dv\geq 2\pi  
\left[(P(\tau),C)-(\Gamma^{(0)},C)\right] 
\end{equation} 
 
\medskip 
\noindent Mais d'apr\`es le th\'eor\`eme (\ref{Langevin2}), l'in\'egalit\'e
(\ref{curvatura1}) et l'\'egalit\'e $\mu^{(2)}+\mu^{(1)}=
(C,P(\tau))$ on d\'eduit:
\begin{equation} 
\displaystyle 
\lim_{\lambda,\epsilon \to 0,\vert \lambda \vert<< \epsilon }
\left(\int_{C(\lambda)_\epsilon} \vert K \vert  dv- 
\int_{C(\lambda)_\epsilon\cap(\bigcup_{Q,q,l}B_{q,l}^{Q}(\lambda))} \vert K 
\vert dv\right)=2\pi(\Gamma^{(0)},C) 
\end{equation} 
 
\medskip 
 
\noindent D'o\`u le r\'esultat d'apr\`es le lemme \ref{Monty}. 

\Box 
\medskip 


\noindent Nous dirons qu'il y a concentration de courbure sur $C(\lambda)$
si l'on peut montrer qu'une partie de courbure est asymptotiquement contenue
dans l'intersection avec $C(\lambda)$ de boules dont le rayon tend vers
0 avec $\vert \lambda \vert$. Le terme
$2\pi(\Gamma^{(0)},C)$ mesure la partie ''diffuse'' de la courbure.
Les deux cas extr\^emes sont:

\begin{enumerate}
\item $(\Gamma^{(0)},C)=0$, c'est-\`a-dire que toutes les composantes
de $C$ ont la m\^eme tangente (Lemme \ref{Monty}) et alors toute la
courbure se concentre asymptotiquement dans des boules \'evanescentes. C'est en particulier le cas si $C$
est analytiquement irr\'eductible en $0$.

\item $(\Gamma^{(0)},C)=(P,C)$, c'est-\`a-dire que toutes les branches
de la polaire sont transverses \`a $C$. Cela signifie que $\mu^{(2)}+\mu^{(1)}=(\mu^{(1)}+1)\mu^{(1)}$,
donc $\mu^{(2)}=(\mu^{(1)})^2$, et on sait (\cite{Teissier3}) que cela implique que $C$ est
r\'eunion de $\mu^{(1)}+1$ branches lisses 2 \`a 2 transverses, donc $t=\mu^{(1)}+1$.

\end{enumerate}
\begin{nota} 
 
On doit remarquer que les boules o\`u se concentre asymptotiquement la  
courbure de $C(\lambda)$ quand $\lambda \rightarrow 0$ 
sont ind\'ependantes de $\tau$, que leurs rayons  
d\'ependent seulement de $\lambda $ et de la topologie de $C$, mais 
en principe leurs centres d\'ependent du type analytique de $C$.  
Bien que les centres d\'ependent du type analytique, on 
peut donc contr\^oler la "taille" et la g\'eom\'etrie de la r\'egion o\`u se concentre 
asymptotiquement la courbure de $C(\lambda)$ quand $\lambda \rightarrow 0$ 
\`a partir de la topologie de la courbe $C$. 
 
\end{nota} 
\subsection{Le cas d'une branche}

\noindent Soit $f(x,y)=0$ une \'equation pour un germe irr\'eductible 
$(C,0)$ de courbe
plane d\'ecrite param\'etriquement dans des coordonn\'ees g\'en\'erales par le
d\'eveloppement de Puiseux :\par $$ \begin{array}{ll} x =& t^m \\
y=&a_mt^m+\ldots+a_{km}t^{km}+a_{\beta_1}t^{\beta_1}+\ldots+a_{\beta_j}t^{\beta_j}+\ldots+
a_{\beta_g}t^{\beta_g}+\ldots\end{array}$$  \par
\noindent  Reprenons les notations du \S 1. Dans
le cas d'une branche, l'arbre d'Eggers consiste en une cha\^\i ne
\'el\'ementaire contenant $g$ sommets noirs, que nous noterons $Q(j)$ par valuations croissantes, et pour
chaque $Q(j)$, on a avec les notations ci-dessus 
$$\rho (Q(j))=\frac{\beta_j }{ m} \frac{m_q}{ e_q+m_q}\ \ \hbox{\rm pour }\ q\in Q(j),$$ la notation $q\in
Q(j)$ indique que la composante $\Gamma_q$ de la courbe polaire appartient \`a ce paquet.
 \par \noindent \begin{prop} Les $\rho_j=\rho(Q(j))$ forment une suite
croissante. \end{prop} En effet, d'apr\`es le Th\'eor\`eme de
Smith et Merle (\cite{Smith},
\cite{Merle}), nous savons que $\frac{m_q }{ e_q+m_q}$ est \'egal \`a $\frac{n_1\ldots n_{j-1}
}{\overline {\beta_j}}$,  ce qui donne apr\`es simplification ${\rho_j} = \frac{m_j }{ n_j \overline
{\beta_j}}$. Il suffit donc de montrer pour chaque j l'in\'egalit\'e $\frac{n_j\overline{\beta_j}}
{ m_j } > \frac{n_{j+1}\overline{\beta_{j+1}}} {m_{j+1} }$. D'apr\`es \cite{Zariski1}, Chap.II,
3.11, on a l'\'egalit\'e 
$$n_{j+1} \overline{\beta_{j+1}} = n_{j+1}n_j \overline{\beta_j}+(m_{j+1}-n_{j+1}m_j)l_j$$
et l'in\'egalit\'e annonc\'ee est alors cons\'equence  de l'in\'egalit\'e $n_{j+1}m_j
<m_{j+1}$ et de l'in\'egalit\'e $ l_jm_j=\beta_j < \overline{\beta_j}$ pour $j\geq 2$.\par\noindent
On peut remarquer que les $\rho_j$ sont plus petits que $1$, et que le plus petit d'entre eux est $\frac{1}{m}$. Par exemple,
pour la courbe d'exposants de Puiseux $(3/2, 7/4)$, on a $\rho_1=1/4,\ \rho_2=7/26$.
 \par \noindent \begin{prop}{\rm (P. Popescu-Pampu)} La connaissance des exposants $\rho_j$ et des
nombres d'intersection en
$0$ de chaque paquet $\Gamma^{(j)}=\Gamma^{Q(j)}$ de la courbe polaire avec la branche $C$ d\'etermine le type topologique
de $C$.\end{prop}
En effet, d'apr\`es \cite{Merle}, le nombre d'intersection $(\Gamma^{(j)},C)$ vaut $\sigma_j=(n_j -1)\overline\beta_j$, et
d'apr\`es ce que nous venons de voir, $\rho_j\sigma_j=\frac{(n_j-1)m_j}{n_j}$. Mais par construction nous avons $\hbox{\rm
pgcd}(m_j,n_j)=1$, donc $\hbox{\rm pgcd}((n_j-1)m_j,n_j)=1$, et pour obtenir $m_j$ et $n_j$ il suffit de mettre
$\rho_j\sigma_j$ sous forme irr\'eductible. Les $(m_j,n_j)_{1\leq j\leq g}$ sont alors d\'etermin\'es, et donc la multiplicit\'e
$m=\prod_{j=1}^gn_j$ et les $\beta_j$.\findem\par\noindent
G\'eom\'etriquement, le nombre $(n_j -1)\overline\beta_j$ s'interpr\`ete comme le nombre des points de
$C(\lambda)_\epsilon$ qui sont contenus dans la r\'eunion des boules $\bigcup_{q\in Q(j),l} {\bf B}^{Q(j)}_{\Gamma_q,l}$
correspondant au sommet $Q(j)$; c'est aussi le nombre des boules, compt\'ees avec multiplicit\'e, de rayon
$\vert\lambda\vert^{\rho_j}$, c'est \`a dire enfin la partie de la courbure de $C(\lambda)_\epsilon$ qui se concentre \`a
l'\'echelle $\rho_j$. En fait, on a: 
\begin{equation}
\lim_{\lambda,\epsilon \to 0,\vert \lambda \vert<<
\epsilon}\int_{C(\lambda)_\epsilon\cap(\bigcup_{q\in Q(j),l}B_{\Gamma_q,l}^{Q(j)}(\lambda))} \vert K 
\vert dv=2\pi (n_j -1)\overline\beta_j .\end{equation}  En r\'esum\'e, dans le cas d'une branche, si l'on conna\^\i t les $\rho_j$
et la partie de la courbure qui se concentre \`a l'\'echelle $\rho_j$, on conna\^\i t le type topologique de la singularit\'e
limite.\par\noindent
Le cas r\'eduit est plus compliqu\'e et nous renvoyons \`a \cite{Garcia2} pour des r\'esultats utiles.
\medskip
\section{Structure des boules $B^Q_{q,l}(\lambda)$}
\medskip

\noindent Le but de cette section est d'\'eclaircir la disposition 
des boules $\left\{B^Q_{q,l}\right\}_{Q,q}$ quand $Q$ 
varie dans l'ensemble des sommets noirs du diagramme d'Eggers $T(C)$ et $P_q$ dans 
celui des branches du paquet $\Gamma^Q$.\par\noindent
Remarquons d'abord que les boules correspondant aux branches d'un m\^eme paquet ne sont pas n\'ecessairement distinctes.

\medskip
\begin{prop}$\;$

\begin{enumerate}
\item Si $Q$ est un sommet noir de $T(C)$ tel que $\rho(Q)>\frac{1}
{\epsilon(Q)}$, alors
les boules associ\'ees \`a une branche fix\'ee $P_q(\tau)$ du paquet
$\Gamma^Q(\tau)$ sont disjointes quand $\lambda$ est assez petit.

\item Soient $Q$ et $Q'$ deux sommets noirs diff\'erents sur la m\^eme 
cha\^{\i}ne \'el\'ementaire  de $T(C)$ tels que
$\rho(Q)\neq \rho(Q')$. Si $P_q$ (resp. $P_{q'}$) est une branche
du paquet $\Gamma^Q$ (resp. $\Gamma^{Q'}$), alors aucune boule associ\'ee 
\`a la branche $P_q$ ne rencontre une boule associ\'ee \`a la 
branche $P_{q'}$ quand $\lambda$ est assez petit.
\end{enumerate}
\end{prop}

\noindent {\bf D\'emonstration}
\medskip


\noindent Soit $\{c_i=(x_i,y_i)\}_{i=1}^{(C,P_q)}$ l'ensemble des centres des
boules $B^Q_{q,l}$ associ\'ees \`a la branche $P_q$ du paquet
$\Gamma^Q$. On sait d'apr\`es la d\'efinition des boules $B^Q_{q,l}$
que $$x_i=c(\omega^{l_i} \lambda)^{\frac{m_q}{e_q+m_q}}+\cdots,$$ o\`u
$c\neq 0$, $\omega$ est une racine primitive $(e_q+m_q)$-i\`eme de l'unit\'e
et $l_i\in \{0,\ldots,e_q+m_q-1\}$. Si on prend deux centres $c_i$ et
$c_j$ diff\'erents on a:

$$ x_i-x_j=c (\lambda)^{\frac{m_q}{e_q+m_q}}\underbrace{\left[
\omega^{\frac{l_im_q}{e_q+m_q}}-\omega^{\frac{l_lm_q}
{e_q+m_q}}\right]}_{\alpha}+\cdots$$

\noindent o\`u $c$ et $\alpha$ sont non nuls ( si on suppose $\alpha=0$ 
alors $(l_i-l_j)m_q>(e_q+m_q)^2$ ce qui est une contradiction car
$l_i-l_j$ et $m_q$ sont plus petits que $e_q+m_q$).

\medskip
\noindent Ainsi $\rho(Q)>\displaystyle \frac{1}{\epsilon(Q)}=
\frac{m_q}{e_q+m_q}$ et $\vert \lambda \vert^{\rho(Q)} <
\vert \lambda \vert^{\frac{1}{\epsilon(Q)}}$ quand $\lambda$ tend vers 
$0$. Donc
la distance entre les centres $c_i$ et $c_j$ est plus grande que le rayon
des boules et les boules $B^Q_{q,l_i}$ et $B^Q_{q,l_j}$ sont 
disjointes quand $\lambda$ est assez petit.

\medskip

\noindent Soit maintenant $c=(x,y)$ (resp. $c'=(x',y')$) le centre
d'une boule associ\'ee \`a la branche $P_q$ (resp. $P_{q'}$), on
a (remarque \ref{Djerba})
$$x=a \lambda^{\frac{m_q}{e_q+m_q}}+\cdots=a 
\lambda^{\frac{1}{\epsilon(Q)}}+\cdots$$
$$x'=b \lambda^{\frac{m_{q'}}{e_{q'}+m_{q'}}}+\cdots
=b \lambda^{\frac{1}{\epsilon(Q')}}+\cdots $$

\noindent o\`u $a$ et $b$ sont non nuls.

\medskip
\noindent Comme $Q$ et $Q'$ sont sur la m\^eme cha\^{\i}ne
\'el\'ementaire de $T(C)\;$ d'apr\`es le lemme
6.2 de \cite{Garcia2}, quitte \`a permuter $Q$ et $Q'$, on a 
$v(Q)<v(Q')$ et $\epsilon(Q)<\epsilon(Q')$ donc
$$x-x'=b \lambda^{\frac{m(P_{q'}(\tau))}{(C,P_{q'}(\tau))}}
+\cdots \;\;\;\;\;\hbox{\rm et}
\;\;\;\;\;\|x-x'\|\sim \vert\lambda\vert^{\frac{m(P_{q'}(\tau))}{(C,P_{q'}(\tau))}}.$$

\medskip
\noindent Mais $\rho(Q)\geq \frac{1}{\epsilon(Q)}>\frac{1}{\epsilon(Q')}$
et $\rho(Q')>\frac{1}{\epsilon(Q')}$ car $v(Q')>1$ et $Q'$ ne peut pas
\^etre le point base de $T(C)$ puisque $v(Q)<v(Q')$.

\medskip
\noindent Ainsi $\max\{\vert \lambda\vert^{\rho(Q)},\vert \lambda
\vert^{\rho(Q')}
\}< \|x-x'\|$ et quand $\lambda$ est assez petit les boules $B(c,\vert \lambda
\vert^{\rho(Q)})$ et $B(c',\vert \lambda \vert^{\rho(Q')})$ sont disjointes.
 
\Box
\begin{thebibliography}{GGGGG} 

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\end{thebibliography}  \par\medskip\noindent
Evelia Garc\'{\i}a Barroso, \par\noindent Dpto de Matem\'atica Fundamental, Facultad de Matem\'aticas,
\par\noindent Universidad de La Laguna, \par\noindent
38271, La Laguna, Tenerife, Espagne. \par\noindent
email: ergarcia@ull.es
\par\medskip\noindent
Bernard Teissier,\par\noindent
D.M.I. Ecole normale sup\'erieure,\par\noindent
45 Rue d'Ulm, 75005 Paris, France.\par\noindent
email: teissier@dmi.ens.fr

\end{document}

