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\markboth{\rm Bernard Teissier}{\rm X-UPS 2008}
%\begin{slide}
  \begin{center}
   {\bf AMIBES NON-ARCHIMEDIENNES} \end{center}  
    \begin{center}
   {\bf Expos\'es aux journ\'ees X-UPS, Palaiseau Avril 2008} \end{center}  
\Par\medskip
\begin{center} Bernard TEISSIER
\end{center}
\section{INTRODUCTION}


Soit $k$ un corps. Une \'equation, ou un syst\`eme d'\'equations polynomiales  en $n$ variables, \`a coefficients dans $k$, encode un sous-ensemble de l'espace affine $\A^n(k)$, l'ensemble des points dont les coordonn\'ees annulent tous les polyn\^omes du syst\`eme. Ce sous-espace a sa g\'eom\'etrie, et ses propri\'et\'es topologiques par exemple si $k$ est $\R$ ou $\C$. Les \'equations ont aussi leur g\'eom\'etrie, qui est essentiellement manifest\'ee par la disposition dans le r\'eseau entier $\N^n$ des exposants qui y apparaissent et aussi par des informations qualitatives sur les coefficients.\par Bien que la g\'eom\'etrie alg\'ebrique moderne ait pour une part \'ecart\'e l'utilisation de la description des vari\'et\'es alg\'ebriques par des \'equations au profit d'invariants intrins\`eques comme les plurigenres, le diviseur canonique, le groupe de Picard, etc. \`a partir desquels on tente de d\'ecrire les propri\'et\'es g\'eom\'etriques,  cela reste un probl\`eme lancinant de relier la g\'eom\'etrie d'un espace \`a celle de ses \'equations, tout en sachant que cette derni\`ere d\'epend des coordonn\'ees choisies ainsi que du choix de g\'en\'erateurs d'un id\'eal et que la g\'eom\'etrie, c'est ce qui est ind\'ependant du codage!.\par
M\^eme lorsque $n=1$, relier le nombre et la position (dans $\R$ ou $\C$) des z\'eros d'un polyn\^ome \`a la distribution des exposants et \`a la taille des coefficients a donn\'e naissance \`a beaucoup de belles math\'ematiques, par exemple le th\'eor\`eme fondamental de l'alg\`ebre et la r\`egle de Descartes et le Bezoutien qui permettent d'estimer ou de compter le nombre de racines r\'eelles, etc.\par
Lorsque $n=2$, Newton a montr\'e qu'une bonne id\'ee pour utiliser les exposants d'un polyn\^ome en deux variables $\sum_{i,j}a_{ij}x_1^ix_2^j$ est de consid\'erer l'enveloppe\break convexe dans $\R^2$ de l'ensemble des points de coordonn\'ees $(i,j)$ correspondant aux mon\^omes qui apparaissent dans le polyn\^ome.  \par
Plus pr\'ecis\'ement, cherchant \`a r\'esoudre au voisinage de $0$ une \'equation polyn\^omiale $f(x,y)=0$ o\`u $f(x,y)=\sum_{i,j}a_{i,j}x^iy^j$ par des s\'eries $y(x)$ m\^eme dans le cas o\`u le th\'eor\`eme des fonctions implicites ne s'applique pas, Newton et l'id\'ee de regarder l'enveloppe convexe $\hbox{\rm Conv}\Bigl(\bigcup\bigl((i,j)+\R_+^2\bigr)\Bigr)$ de la r\'eunion des quadrants positifs issus de chacun des points $(i,j)$ correspondant aux exposants des termes du polyn\^ome.  Sa fronti\`ere est un polyg\^one et Newton montra que les solutions de l'\'equation sont des s\'eries en $x$ \`a exposants fractionnaires, dont les exposants initiaux sont n\'ecessairement les oppos\'es de pentes de c\^ot\'es du polyg\^one.\par\medskip
\includegraphics[scale=0.7]{newt2.pdf}
Cette  id\'ee est l'anc\^etre des r\'esultats pr\'esent\'es ici. Les r\'ef\'erences fondamentales pour les amibes non-archim\'ediennes sont \cite{EKL} et \cite{Mi2}, et \cite{IMS} est une tr\`es bonne introduction g\'en\'erale \`a la g\'eom\'etrie tropicale. \par
Apr\`es un examen trop rapide je n'ai pas trouv\'e dans la litt\'erature les points suivants de la pr\'esentation faite ici, qui \`a mon avis la rendent plus naturelle: la \textit{d\'efinition} de la transform\'ee de Legendre (\`a deux signes - pr\`es) comme restriction de la fonction d'appui de l'\'epigraphe (mais le lien est presque explicite dans la pr\'esentation du Th\'eor\`eme de Fenchel donn\'ee dans \cite{B}, Chap. 1, et sans doute aussi dans l'article original de Fenchel \cite{Fe} et dans les travaux de J-J. Moreau comme \cite{Mo}), la pr\'esentation des ensembles poly\'edraux rationnels dans $\R^n$ comme sections par un hyperplan horizontal d'un \'eventail "presque" rationnel dans $\R^n\times \R$ et corr\'elativement le lien entre les poids sur les complexes poly\'edraux rationnels et la fonction d'appui dont ledit \'eventail d\'efinit le lieu de non-lin\'earit\'e.
\section{QUELQUES RAPPELS}\label{rappels} Soit $K$ un corps; une valeur absolue (ou norme) sur $K$ est la donn\'ee d'une application $a\mapsto \vert a\vert$ de $K$ dans $\R_{\geq 0}$ satisfaisant les conditions:
\begin{enumerate}
\item $\vert a\vert=0$ si et seulement si $a=0$ 
\item $\vert ab\vert=\vert a\vert\vert b\vert$ pour $a,b\in K$
\item $\vert a+b\vert\leq \vert a\vert+\vert b\vert$
\end{enumerate}
Une valeur absolue s'\'etend aux extensions alg\'ebriques $L$ de $K$ au moyen de la formule $\vert a\vert=\vert\hbox{\rm N}_{L/K}(a)\vert^{1/d}$ si $a$ est dans l'extension $L$ de $K$ et $d$ est le degr\'e de l'extension, $\hbox{\rm N}_{L/K}$ l'application norme de $L$ dans $K$.\par
Ainsi, une norme sur $K$ s'\'etend \`a une cl\^oture alg\'ebrique $\overline K$ et donne naissance pour tout entier $n$ \`a une application
$$\hbox{\rm Log}\colon (\overline K^*)^n\to \R^n;\ \ (x_1,\ldots,x_n)\mapsto (\hbox{\rm log}\vert x_1\vert,\ldots ,\hbox{\rm log}\vert x_n\vert).$$
Ici il faut penser pour tout corps $L$ \`a $( L^*)^n$ comme l'espace affine $\A^n(L)$ priv\'e de la r\'eunion des hyperplans de coordonn\'ees. \par
Un sous-espace alg\'ebrique (ferm\'e) de $( L^*)^n$ corrrespond \`a un id\'eal de l'alg\`ebre $L[x_1,x_1^{-1}.\ldots ,x_n,x_n^{-1}]$. Un sous espace alg\'ebrique $Z$ de l'espace affine $L^n$ d\'efini par un id\'eal $I$ de l'anneau de polyn\^omes $L[x_1,\ldots ,x_n]$ induit un sous ensemble alg\'ebrique $Z\bigcap ( L^*)^n$  de $( L^*)^n$ dont l'id\'eal dans $L[x_1,x_1^{-1}.\ldots ,x_n,x_n^{-1}]$ est l'id\'eal engendr\'e par $I$ via l'injection naturelle $L[x_1,\ldots ,x_n]\hookrightarrow L[x_1,x_1^{-1}.\ldots ,x_n,x_n^{-1}]$.\par\medskip\noindent
Revenons \`a notre corps norm\'e $\overline K$.
\begin{definition} Soit $X$ un sous-ensemble alg\'ebrique de $( \overline K^*)^n$. L'amibe $\Aa (X)$ de $X$ est la fermeture dans $\R^n $ de $\hbox{\rm Log}(X)$.
\end{definition}
Nous supposerons dans toute la suite que $X$ n'est pas $( \overline K^*)^n$ tout entier.
Par exemple si $K=\C$ muni de la valeur absolue usuelle, comme l'application $\hbox{\rm Log}$ est continue et propre, l'amibe est exactement l'image de $X$.  \par\medskip
Si l'on s'int\'eresse aux solutions d'un syst\`eme donn\'e d'\'equations alg\'ebriques, il est judicieux de les chercher \`a coordonn\'ees dans un corps alg\'ebriquement clos, car c'est l\`a que l'on en voit le plus, et comme de plus on les cherche par des m\'ethodes d'approximations successives relativement \`a une valeur absolue, il est \'egalement judicieux de se placer dans un corps complet pour celle-ci car c'est l\`a que l'on pourra en construire le plus. Dans la suite, sauf mention du contraire, nous supposerons le corps $K$ alg\'ebriquement clos et complet pour la valeur absolue consid\'er\'ee.\par
Nous allons nous int\'eresser particuli\`erement au cas o\`u la valeur absolue est \textit{non archim\'edienne} c'est \`a dire que la troisi\`eme in\'egalit\'e ci-dessus est remplac\'ee par l'in\'egalit\'e plus forte $$\vert a+b\vert\leq \hbox{\rm max}(\vert a\vert,\vert b\vert).$$
On parlera alors d'amibes non archim\'ediennes. L'int\'er\^et de consid\'erer les amibes non-archim\'ediennes est multiple: d'abord il est tr\`es utile en th\'eorie des nombres de faire de la g\'eom\'etrie alg\'ebrique sur des extensions alg\'ebriques du corps $\Q$ des rationnels munies de la valeur absolue qui \'etend la valeur absolue $p$-adique $\vert a\vert_p=p^{-\nu_p(a)}$ de $\Q$, ce qui nous am\`ene \`a travailler sur le compl\'et\'e $C_p$ pour cette valeur absolue de la cl\^oture alg\'ebrique du compl\'et\'e $p$-adique $\Q_p$ de $\Q$. Si l'on \'etend la notation $\Q_p$ en \'ecrivant $\vert.\vert_\infty$ pour la valeur absolue usuelle de $\Q$ et $\R=\Q_\infty$ alors $\C=C_\infty$.\par Toute sous-vari\'et\'e ferm\'ee de $(\Q^*)^n$ a donc une amibe pour chaque nombre premier $p$ et une amibe \`a l'infini, qui est son amibe complexe. \par\medskip
Ensuite, il est tr\`es utile en g\'en\'eral d'avoir de l'information sur les valeurs absolues des solutions de syst\`emes d'\'equations, et c'est bien de cela qu'il s'agit ici. Enfin, comme nous le verrons, les amibes non-archim\'ediennes apparaissent comme limites d'amibes correspondant \`a des valeurs absolues archim\'ediennes.\par\medskip
Il est souvent commode de voir les valeurs absolues non archim\'ediennes comme des valuations \`a valeurs r\'eelles. Rappelons qu'une valuation \`a valeurs r\'eelles sur un corps, ou valuation de rang un, est une application 
$\nu\colon K\to \R\cup\infty$ satisfaisant les conditions suivantes:
\begin{enumerate}
\item $\nu( a)=\infty$ si et seulement si $a=0$ 
\item $\nu( ab)=\nu( a)+\nu( b)$ pour $a,b\in K$
\item $\nu( a+b)\geq \hbox{\rm min}(\nu( a), \nu(b))$
\end{enumerate}
La formule $$\nu(a)=-\hbox{\rm log}\vert a\vert$$ permet d'\'etablir une bijection entre valeurs absolues non archim\'ediennes et valuations de rang un sur $K$. Le corps $K$ est complet pour la valuation s'il l'est pour la valeur absolue correspondante.
Le langage des valuations est plus naturel dans le cas o\`u, \'etant donn\'e un corps "de base" $k$ on prend pour $K$ le corps $k((t))$ des s\'eries de Laurent en une ind\'etermin\'ee $\sum_{i=m}^\infty c_it^i,\ c_i\in k$. L'ordre en $t$ d'une telle s\'erie est une valuation sur $K$, qui prend ses valeurs dans le groupe $\Z\subset \R$ et prend la valeur $0$ sur $k$.\par\noindent
Notons que cela induit une diff\'erence de notation par rapport aux textes de Brugall\'e et Itenberg: un terme "grand" dans un polyn\^ome est un terme de petite valuation; c'est pourquoi nous trouverons des "min" et pas des "max".\par\noindent

Si le corps $k$ est alg\'ebriquement clos et de caract\'eristique z\'ero, le corps des s\'eries de Newton-Puiseux $$\overline{k((t))}=\bigcup_{n\geq 1}k((t^{1/n}))$$ est alg\'ebriquement clos et est donc une cl\^oture alg\'ebrique de $K$. C'est une cons\'equence essentielle du r\'esultat de Newton rappel\'e au d\'ebut. Il n'est pas complet pour la valuation qui \'etend celle de $K$ et qui prend ses valeurs dans le groupe $\Q\subset \R$; sa compl\'etion est form\'ee de l'ensemble des s\'eries dont l'ensemble des exposants est un ordinal $\leq \omega$ et dont les exposants, dans le cas o\`u c'est $\omega$, ne sont pas born\'es. Les exposants des troncations finies ont alors un d\'enominateur commun, qui peut tendre vers l'infini.\par\noindent
En g\'en\'eral, le groupe des valeurs que prend une valuation de rang un d\'efinie sur un corps alg\'ebriquement clos est \textit{divisible} en ce sens que si $g\in G$, pour tout $n\in \N\setminus\{0\}$ il existe $h\in G$ tel que $nh=g$ (pensez \`a l'\'equation $X^n=a$) et donc, si la valuation est non triviale, il contient $\Q$ et est dense dans $\R$.\par\medskip
Ce qui pr\'ec\`ede  est un cas particulier d'une construction g\'en\'erale. Soit $G$ un groupe ab\'elien totalement ordonn\'e. On peut d\'efinir le corps $k((t^G))$ des s\'eries de Laurent \`a exposants dans $G$; c'est l'ensemble des applications $c\colon G\to k$ dont le support $\hbox{\rm supp}(c)=\{g\in G/c(g)\neq 0\}$ est \textit {bien ordonn\'e}. On peut penser aux \'el\'ements de $k((t^G))$ comme \`a des s\'eries $\sum c(g)t^g$. Cette hypoth\`ese sur le support suffit pour la d\'efinition de l'addition et surtout de la multiplication des s\'eries, ainsi que l'existence d'un inverse parce que la r\'eunion de deux sous-ensembles bien ordonn\'es de $G$ est un ensemble bien ordonn\'e et que d'apr\`es un th\'eor\`eme de B. Neumann (voir \cite{Ne}), le semigroupe engendr\'e par un sous-ensemble bien ordonn\'e est bien ordonn\'e.  \par
En effet il faut en particulier montrer que si l'ensemble des exposants de la s\'erie $F$ est bien ordonn\'e, il en est de m\^eme pour celui de $(1+F)^{-1}=1-F+F^2+\cdots + (-1)^iF^i+\cdots$ dont les exposants appartiennent tous au semigroupe engendr\'e par les exposants de $F$.\par  Si $G$ est un groupe ab\'elien totalement ordonn\'e (en particulier si c'est un sous-groupe de $\R$) qui est divisible, et si $k$ est alg\'ebriquement clos, alors $k((t^G))$ est alg\'ebriquement clos (voir \cite{R}). Un des int\'er\^ets de cette construction est que le corps des s\'eries de Puiseux n'est alg\'ebriquement clos que si le corps alg\'ebriquement clos $k$ est de caract\'eristique z\'ero. Cela est d\^u au fait que les exposants apparaissant dans une s\'erie de Puiseux donn\'ee ont, par d\'efinition, un d\'enominateur commun alors que sur un corps de caract\'eristique positive, des \'equations alg\'ebriques \`a coefficients dans $k((t))$ n'ont pas n\'ecessairement pour solutions de telles s\'eries.\Par
Par exemple, \'etant donn\'e un nombre premier $p$, posant $\F_p=\Z/p\Z$, l'\'equation $$x^p-t^{p-1}(1+x)=0$$ \`a coefficients dans $\F_p((t))$ a pour solution
$$x=\sum_{i=1}^\infty t^{1-\frac{1}{p^i}}$$ qui n'est pas du tout une s\'erie de Puiseux mais a un ensemble bien ordonn\'e d'exposants rationnels et est donc un \'el\'ement de $ \F_p((t^\Q))$.\Par Ainsi, lorsque le corps de base $k$ est alg\'ebriquement clos de caract\'eristique $p\neq 0$, pour travailler dans un corps alg\'ebriquement clos il est judicieux de choisir le corps $k((t^\Q))$ ou m\^eme $k((t^\R))$. Ce n'est que r\'ecemment que K. Kedlaya a d\'ecrit la cl\^oture alg\'ebrique de $k((t))$ lorsque $k$ est de caract\'eristique positive (voir \cite{Ke}).\par\noindent
\par Les corps comme $k((t^\Q))$ ou $k((t^\R))$ sont parfois appel\'es corps de s\'eries transfinies, parce qu'ils contiennent des s\'eries dont les ensembles d'exposants peuvent repr\'esenter des ordinaux $>\omega$, par exemple $\sum_{i=1}^\infty t^{1-\frac{1}{p^i}}+\sum_{j=1}^\infty t^{2-\frac{1}{q^j}}$ o\`u $p,q$ sont deux nombres premiers.\par
Nous consid\'ererons, sauf mention expresse du contraire, des s\'eries  dont les ensembles d'exposants sont des ensembles bien ordonn\'es de nombres r\'eels. Le plus petit de ces exposants existe donc et l'application qui \`a chaque s\'erie associe son plus petit exposant est une valuation de rang un. C'est toujours cette valuation que nous prendrons.
Etant donn\'e un corps $K$ de s\'eries, s\'eries de Puiseux ou \'el\'ements de $k((t^\Q))$ ou plus g\'en\'eralement de $k((t^G))$, et un sous-espace alg\'ebrique ferm\'e $X$ de $(K^*)^n$,  la donn\'ee d'un "point de $X$ \`a valeurs dans $K$" est la donn\'ee de s\'eries $x_1(t),\ldots ,x_n(t)$ de $K$ satisfaisant les \'equations qui d\'efinissent $X$ et dont aucune n'est la s\'erie nulle. Notons $X(K)$ l'ensemble des points de $X$ \`a valeurs dans $K$.\par On peut d\'efinir l'application $\nu\colon X(K)\to \R^n$ associ\'ee \`a la valuation $t$-adique qui \`a chaque solution associe $(\nu(x_1(t)),\ldots , \nu(x_1(t))$. \par
L'amibe de $X(K)$ est alors l'adh\'erence dans $\R^n$ de $\nu(X)$:
$$\Aa(X(K))=-\overline{\nu (X(K))}.$$  On nomme aussi $\overline{\nu(X(K))}$ la \textit{vari\'et\'e tropicale} associ\'ee \`a $X(K)$ et on la note $\Tt(X(K))$. Dans la suite, si le corps $K$ est fix\'e, nous \'ecrirons seulement $\Aa(X), \Tt(X)$ etc.\par
Remarquons que nous aurions pu tenir exactement le m\^eme discours en prenant pour $K$ le corps $C_p$ compl\'et\'e de la cl\^oture alg\'ebrique du corps $\Q_p$ des nombres $p$-adiques. L'amibe de $X\subset (C_p^*)^n$ est alors l'ensemble des valuations $p$-adiques des solutions \`a coordonn\'ees dans $C_p$ des \'equations d\'efinissant $X$.\par
La th\'eorie des amibes non-archim\'ediennes repose sur le fait que dans tous les cas de ce type ces ensembles de valuations ont, comme sous-ensembles de $\R^n$ muni du r\'eseau entier, une structure g\'eom\'etrique tr\`es pr\'ecise de complexe poly\'edral rationnel qui peut \^etre reli\'ee \`a celle des exposants des \'equations d\'efinissant $X$ et \`a la taille des coefficients, et contient de l'information sur la g\'eom\'etrie de $X$.\par
Par ailleurs, on peut g\'en\'eraliser un peu le concept de valuation en d\'efinissant les valuations pour les anneaux commutatifs unitaires.\par
Une valuation (de rang un) $\nu$ sur un tel anneau $A$ est la donn\'ee d'une application $\nu\colon A\to\R\cup\infty$ satisfaisant les conditions suivantes:
\begin{enumerate}
\item $\nu( a)=\infty$ si $a=0$ 
\item $\nu( ab)=\nu( a)+\nu( b)$ pour $a,b\in A$
\item $\nu( a+b)\geq \hbox{\rm min}(\nu( a), \nu(b))$
\end{enumerate}
L'ensemble des \'el\'ements de valuation infinie est un id\'eal premier ${\mathbf p}$ de $A$, et la valuation $\nu$ induit une valuation sur l'anneau quotient $A/{\mathbf p}$ qui ne prend plus la valeur $\infty$ qu'en $0$ et s'\'etend \`a son corps de fractions par $\nu(a/b)=\nu(a)-\nu (b)$. Inversement, la donn\'ee d'un id\'eal premier de $A$ et d'une valuation du corps de fractions de $A/{\mathbf p}$ donne une valuation de $A$ au sens ci-dessus.\par\medskip
Soit $I$ l'id\'eal de $K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ d\'efinissant un sous-espace $X\subseteq (K^*)^n$. Posons $A= K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]/I$; c'est l'anneau des fonctions alg\'ebriques sur $X$. Notons $\Ww(A/K)$ l'ensemble de toutes les valuations de $A$ qui \'etendent la valuation $\nu$ de $K$. Parmi ces valuations il y a celles qui proviennent de l'\'evaluation en un point $x\in X(K)$: Notons $\omega_x$ la valuation de $A$ qui \`a $f\in A$ associe $\nu(f(x))\in \R$. Si l'on pense \`a $K$ comme $k((t^G))$ avec $k$ alg\'ebriquement clos et $G\subset \R$ divisible, comme plus haut, la consid\'eration de fonctions comme $f=x_i-\sum_{j=\nu(x_i)}^ka_jt^{\alpha_j}\in A$ permet de v\'erifier que $\omega_x=\omega_y$ implique $x=y$, et que nous avons donc un plongement naturel $$\iota \colon X(K)\hookrightarrow\Ww(A/K).$$
Par ailleurs on peut, suivant Bieri-Groves (voir \cite{BG}), d\'efinir une application naturelle 
$$\beta\colon \Ww(A/K)\rightarrow\R^n$$ par
$\beta (\omega)=(\omega(x_1),\ldots ,\omega(x_n)$.\par
Remarquons que la composition $\beta\circ\iota$ coincide avec l'application $\nu\colon X(K)\to \R^n$ d\'efinie plus haut. Cependant $\Ww(A/K)$ est un ensenble beaucoup plus gros que $X(K)$; Si $X=(K^*)n$, donc $A=K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ il contient en particulier les valuations suivantes, que nous retrouverons plus bas:\par\noindent Notons $\check\R^n$ l'espace vectoriel dual de $\R^n$ et soit $w\in \check\R^n$; \`a tout \'el\'ement $f=\sum_\alpha a_\alpha x^\alpha\in K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ associons $\hbox{\rm min}_{\alpha}(\nu(a_\alpha)+\langle w,\alpha\rangle)$. C'est une valuation sur $A$, qui n'est pas de la forme $\omega_x$. En effet si elle l'\'etait, on aurait $w=(\nu(x_1),\ldots ,\nu(x_n))$, mais alors il est facile de fabriquer des bin\^omes $f=x^m-\lambda x^n\in K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ tels que $\nu(\lambda) =\langle m,w\rangle-\langle n,w\rangle$ et que $w_x(f)$ soit plus grand que la valuation de chacun des deux termes.\par\medskip
\begin{remark}\label{defval}
On peut aussi d\'efinir une valuation comme l'oppos\'e d'une valuation d\'efinie comme ci-dessus, ce qui revient \`a remplacer la troisi\`eme condition par:
$$\nu( a+b)\leq \hbox{\rm max}(\nu( a), \nu(b)).$$
C'est le choix fait dans \cite{IMS}. Cela \'evite l'apparition du signe moins dans la d\'efinition de l'amibe non archim\'edienne. J'ai pr\'ef\'er\'e garder la d\'efinition classique des valuations.\end{remark}
\section{POLYEDRES DE NEWTON}
Essayons de d\'ecrire les amibes non archim\'ediennes de sous-espaces de $(K^*)^n$. \par\noindent
Un terme unique $\lambda x^m=\lambda x_1^{m_1}\ldots x_n^{m_n}$ de $K[x_1^{\pm 1},\ldots ,x_n^{\pm 1}]$ d\'efinit l'ensemble vide dans $(K^*)^n$. L'\'equation la plus simple pour un sous espace alg\'ebrique non vide $X$ de $(K^*)^n$ est un bin\^ome 
$$x^a-\lambda x^b=0, \ \lambda\in K.$$
L'image par $\nu$ est contenue dans l'hyperplan de $\R^n$ $$\sum_{i=1}^na_i\nu(x_i)=\sum_{i=1}^nb_i\nu(x_i)+\nu(\lambda).$$ Comme les valeurs de $\nu$ sont denses dans $\R$, on voit que l'adh\'erence de $\Tt (X)$ est l'hyperplan tout entier.\par
On peut avoir l'impression que conna\^\i tre les amibes des bin\^omes n'est pas un grand progr\`es, mais c'est ici qu'intervient la superbe remarque de Newton: si une somme de termes non nuls est nulle dans un corps valu\'e, alors la valuation minimale des termes de la somme doit \^etre atteinte au moins deux fois! C'est cela qui est \`a l'origine du caract\`ere lin\'eaire des amibes non-archim\'ediennes.\par
Commen\c cons par le classique poly\`edre de Newton. \Par
Il faut commencer par se donner un r\'eseau $M$ dans $\check\R^n$ (pour des raisons de compatibilit\'e de notation avec la section pr\'ec\'edente, nous commen\c cons dans un espace dual). On prend pour $M$ le groupe multiplicatif des mon\^omes de $K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$. Le plus simple est donc de penser \`a un \'el\'ement $m$ de $M$ comme \`a un mon\^ome $x^m$. Nous noterons $\check \R^n$ le produit tensoriel $M\otimes_\Z \R$. Dans $\check \R^n$, notre r\'eseau $M$ appara\^\i t comme le r\'eseau des points entiers, c'est-\`a-dire \`a coordonn\'ees enti\`eres. Nous aurons aussi \`a faire intervenir le r\'eseau dual $N=\hbox{\rm Hom}_\Z(M,\Z)$ qui appara\^\i t dans l'espace vectoriel dual $\R^n$ comme le r\'eseau des formes lin\'eaires \`a coefficients entiers. 
Etant donn\'e un polyn\^ome de Laurent $f\in K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ on peut consid\'erer l'ensemble $E(f)\subset \Z^n$ des exposants des mon\^omes apparaissant dans $f$. On peut, comme on l'a vu plus haut, d\'efinir une valuation sur $K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ au moyen d'une forme lin\'eaire $w\in\R^n$ sur $\check\R^n$.\Par Dans le cas o\`u la valuation $\nu$ est nulle sur tous les coefficients $a_\alpha$ de $f$, par exemple si la valuation $\nu$ de $K$ est triviale, cela donne 
$$\nu_w(\sum_{\alpha\in E} a_\alpha x^\alpha)=\hbox{\rm min}_{\alpha\in E}(\langle w,\alpha\rangle).$$\par
On voit que le comportement de $f$ vis \`a vis de toutes les valuations $\nu_w$ ne d\'epend que de l'enveloppe convexe dans $\check\R^n$ de l'ensemble $E$ des exposants de $f$, ce qui est l'\'equivalent du fait que l'enveloppe convexe de $E$ est l'intersection des demi-espaces qui le contiennent. C'est cette enveloppe convexe $\Delta_f$ que l'on appelle le \textit{poly\`edre de Newton} de $f$, terminologie qui n'est pas vraiment compatible avec le polyg\^one de Newton vu en dimension 2, qui est une fronti\`ere. C'est un polytope (=poly\`edre convexe) compact \`a sommets entiers, ce que l'on appelle en Anglais un "Lattice polytope". \par\medskip
\section{ FONCTION D'APPUI ET TRANSFORMATION DE LEGENDRE}\label{legendre}
Soit $E\subset \check\R^n$ un sous-ensemble non vide. On peut d\'efinir  la \textit{fonction d'appui} de $E$ par
$$H_E(w)=\hbox{\rm inf}_{x\in E}\langle w,x\rangle.$$
Son ensemble de d\'efinition est le sous-ensemble de l'espace dual $\R^n$ constitu\'e des formes lin\'eaires dont les valeurs sur $E$ sont born\'ees inf\'erieurement. Si $E$ est born\'e la fonction $H_E$ est d\'efinie sur $\R^n$ tout entier. Nous nous int\'eresserons au cas o\`u $E$ est ferm\'e dans $\R^n$ et le minimum, lorsqu'il existe, est atteint.\noindent Note: La valuation $\nu_w$ que nous venons de voir est donc une fonction d'appui.\Par
Cette fonction est semi-continue sup\'erieurement comme infimum de fonctions semi-continues sup\'erieurement et est positivement homog\`ene; on $H_E(\lambda w)=\lambda H_E(w)$ pour $\lambda >0$. On dit aussi que c'est une \textit{jauge}. De plus, elle est concave: elle satisfait l'in\'egalit\'e $$H_E(w+w')\geq H_E(w)+H_E(w').$$
Il en r\'esulte que l'ensemble des $w$ o\`u elle est d\'efinie est un sous-ensemble convexe de $\R^n$.\par Par ailleurs, rappelons qu'un demi-espace de $\check\R^n$ est l'ensemble des points de la forme $\{x\vert \langle w,x\rangle\geq c\}$ avec $w\in \R^n,\ c\in \R$. L'ensemble $$\langle E\rangle=\{x\in \check\R^n/\langle w,x\rangle\geq H_E(w)\ \forall w\in \R^n\}$$
est l'intersection de tous les demi-espaces de $\check\R^n$ contenant $E$; c'est donc le plus petit sous-ensemble convexe contenant $E$: l'enveloppe convexe de $E$. Cela vaut m\^eme si $E$ n'est pas born\'e.\par\medskip\noindent Ainsi:\Par \textit{ La fonction d'appui d'un sous-ensemble de $\check\R^n$ d\'etermine enti\`erement son enveloppe convexe et est enti\`erement d\'etermin\'ee par celle-ci.}\par
Remarquons aussi que l'effet d'une translation sur $E$ par un vecteur $y$ de $\check \R^n$ est l'addition d'une forme lin\'eaire:
$$H_{E+y}(w)=H_E(w)+\langle w,y\rangle,$$
et les formes lin\'eaires sont les fonctions d'appui des points.\Par
Plus g\'en\'eralement l'addition de Minkowki des convexes, d\'efinie par $E+F=\{x+y,x\in E,y\in F\}$ correspond \`a l'addition des fonctions d'appui. Notons que le poly\`edre de Newton d'un produit est la somme de Minkowski des poly\`edres de Newton des facteurs.\par
La fonction d'appui a \'et\'e introduite par Minkowski; elle permet pour de nombreux probl\`emes de remplacer l'\'etude d'ensembles convexes de $\check\R^n$ par celle de fonctions sur $\R^n$.\par\medskip
Soit maintenant une fonction $x\mapsto f(x)$ d\'efinie sur un intervalle $I$ de $\check\R$ que l'on suppose ferm\'e. On suppose aussi que si $I$ n'est pas born\'e $f(x)$ tend vers $+\infty$ avec $\vert x\vert$. Supposons que la fonction $f$ est born\'ee inf\'erieurement. Consid\'erons le sous-ensemble (parfois appel\'e Epigraphe de $f$) $E(f)=\{(x,y)\vert x\in I,\ y\geq f(x)\}$ de $\check\R^2$. Supposons que cet \'epigraphe est ferm\'e dans $\check\R^2$, ce qui \'equivaut \`a dire que la fonction $f$ est semi-continue inf\'erieurement, et \'etudions sa fonction d'appui $H_{E(f)}$. Celle-ci est d\'efinie dans le demi-espace $q\geq 0$ de l'espace $\R^2$ des formes lin\'eaires $px+qy$ sur $\check\R^2$. En restriction \`a la droite $q=1$, la fonction d'appui vaut:
$$H_{E(f)}\vert_{q=1}=\hbox{\rm min}_{(x,y)\vert y\geq f(x)}(px+y)=\hbox{\rm min}_x(px+f(x))=-L_f(-p)$$
o\`u $L_f(p)=\hbox{\rm max}_x(px-f(x))$ est la transform\'ee de Legendre de la fonction $f(x)$. L'homog\'en\'eit\'e de la fonction d'appui fait que la transform\'ee de Legendre est une donn\'ee \'equivalente \`a celle de la fonction d'appui de l'\'epigraphe de la fonction $f(x)$: c'est l'oppos\'e de la restriction de cette fonction d'appui \`a la droite $q=1$ \'evalu\'e en $-p$.\par C'est donc une fonction convexe puisque les fonctions d'appui sont concaves, qui est d\'efinie pour tout $p$ si l'intervalle de d\'efinition de $f$ est compact. La fonction $L_f(p)$ est born\'ee inf\'erieurement puisque $L_f(p)\geq px-f(x)$ et elle est aussi semi-continue inf\'erieurement puisque les fonctions d'appui sont semi-continues sup\'erieurement. Si l'on calcule sa transform\'ee de Legendre $L_{L_f}(x)=\hbox{\rm max}_p(xp-L_f(p))$ on trouve la fonction $f^{\rm conv}$ dont l'\'epigraphe est l'enveloppe convexe de l'\'epigraphe $E(f)$ de $f$. Si la fonction $f$ est convexe, la transformation de Legendre est une dualit\'e: on a $L_{L_f}=f$. Utilisant le fait que le minimum, ou le maximum, par rapport \`a $x$ est invariant par $x\mapsto -x$, on v\'erifie sans peine que $-L_f(-p)$ poss\`ede les m\^emes propri\'et\'es.\par
L'interpr\'etation au moyen de fonctions d'appui permet de d\'efinir une transformation de Legendre pour une "fonction" qui n'est d\'efinie que pour un ensemble fini de points: Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_k$ des points de $\check \R$ et attribuons leur des valeurs r\'eelles $\epsilon_1,\ldots ,\epsilon_k$. Consid\'erons l'\'epigraphe g\'en\'eralis\'e $E(\alpha,\epsilon)=\bigcup_{i=1}^k\{(\alpha_i, t_i), \vert t_i\geq \epsilon_i\}\subset \check\R^2$. Il d\'efinit une transform\'ee de Legendre par restriction \`a $q=1$ de sa fonction d'appui. La transform\'ee de Legendre de cette transform\'ee est la fonction convexe dont l'\'epigraphe est l'enveloppe convexe de $E(\alpha,\epsilon)$.

\par\medskip

Remarquons que lorsque $P$ est un polytope, sa fonction d'appui est en fait l'infimum d'un nombre fini de formes lin\'eaires correspondant \`a ses sommets. Lorsque $P$ est l'enveloppe convexe d'un nombre fini de points entiers de $\R^n$, par exemple si $P$ est un poly\`edre de Newton, ces formes lin\'eaires sont \`a coefficients entiers.\par
Dans le cas d'un polytope, la fonction $H_P$ est donc concave et \textit{lin\'eaire par morceaux} sur $\R^n$. On peut d\'ecrire les "morceaux" comme ceci: A chaque $w\in \R^n$ associons le sous-ensemble $P_w$ du poly\`edre de Newton tel que $$u_0\in P_w\Leftrightarrow \hbox{\rm min}_{u\in P}(\langle w,u\rangle)=w(u_0).$$
G\'eom\'etriquement, lorsque $c$ cro\^\i t depuis $-\infty$, les hyperplans $w=c$ de $\check\R^n$ finissent par toucher $P$ pour $c=H_P(w)$ et $P_w$ est le lieu de contact, qui est une face du polytope $P$. Les r\'egions de $\R^n$ dans lesquelles $H_P$ est lin\'eaire sont des classes d'\'equivalence pour la relation $w\sim w'\Leftrightarrow P_w=P_{w'}$. Ce sont des c\^ones convexes poly\'edraux, qui sont rationnels si $P$ est entier, dont la r\'eunion est $\R^n$. L'intersection de deux de ces c\^ones est une face de chacun d'eux (leurs int\'erieurs sont disjoints) et chaque face d'un de ces c\^ones appartient \`a la collection. Ils forment ce que l'on appelle un \textit {\'eventail} de $\R^n$. Il est facile de v\'erifier que la dimension de chaque c\^one est \'egale \`a la codimension dans $\check\R^n$ de la face qui lui correspond, et que la correspondance faces-c\^ones renverse les inclusions.\par L'\'eventail ainsi construit est souvent appel\'e \textit{\'eventail dual} du poly\`edre $P$. C'est exactement le lieu des coins de la fonction d'appui du polytope. \par

Plus pr\'ecis\'ement, \'etant donn\'e $w\in \R^n$, convenons de dire que l'hyperplan d'\'equation $w(m)=0$ est \textit{parall\`ele} \`a un hyperplan d'appui du polytope $P\subset \check\R^n$ le long de $P'$ si un des hyperplans affines $w(m)=c$ contient la face $P'$ et si $P$ est alors contenu dans le demi-espace $w(m)-c\geq 0$.
Le sous-ensemble $\sigma (P')=\{w'/w' \hbox{\rm est parall\`ele \`a un hyperplan d'appui le long de}\  P'\}$ est contenu dans le sous-espace vectoriel de $\R^n$ form\'e des hyperplans contenant $P'$ et y est un c\^one convexe d'int\'erieur non vide.\Par
L'application 
$$P'\mapsto \sigma (P')$$
est une bijection de l'ensemble des faces de $P$ sur l'ensemble des c\^ones de l'\'eventail dual de $P$. Cette bijection renverse les inclusions et on a $\hbox{\rm dim}\sigma (P')=n-\hbox{\rm dim}(P')$.\Par
Cette correspondance s'appelle la dualit\'e polytope-\'eventail. \par\noindent Souvenons nous que:\Par\textit{
La dualit\'e polytope-\'eventail \'etablit une bijection entre les sommets du poly\`edre de Newton et les c\^ones de dimension $n$ de l'\'eventail dual.}\Par
Remarquons aussi que ces c\^ones de dimension $n$ sont les adh\'erences des composantes connexes du compl\'ementaire de la r\'eunion des c\^ones de dimension $\leq n-1$ de l'\'eventail.\Par
Si le polytope $P$ est entier, l'\'eventail est \textit{rationnel}. ce qui signifie que les hyperplans d\'elimitant les c\^ones de dimension $n$ sont \`a coefficients rationnels (entiers si l'on veut) ou de mani\`ere \'equivalente que chacun des c\^ones de l'\'eventail est le c\^one positivement engendr\'e par un nombre fini de vecteurs entiers, que l'on peut prendre primitifs, c'est \`a dire tels que leurs coordonn\'ees soient premi\`eres entre elles. Nous verrons plus bas des \'eventails qui ne sont que "partiellement" rationnels.\Par
Remarquons enfin que l'\'eventail ne d\'etermine pas le polytope, m\^eme \`a translation pr\`es; en fait sa donn\'ee \'equivaut \`a celle des \textit{directions} des faces. Pour reconstituer le polytope il faut conna\^\i tre les valeurs de la fonction d'appui, et pas seulement son lieu des coins.\Par
La dualit\'e donne une bijection
$$\{\hbox{\rm convexes}\}/\hbox{\rm (translation)} \leftrightarrow \{\hbox{\rm jauges concaves}\}/\hbox{\rm (addition d'une forme lin\'eaire)}$$
dans laquelle les polytopes (resp. polytopes entiers) \`a translation pr\`es (resp. \`a translation enti\`ere pr\`es) correspondent aux jauges lin\'eaires sur les c\^ones d'un \'eventail (resp. d'un \'eventail rationnel) \`a une forme lin\'eaire (resp. lin\'eaire et enti\`ere) pr\`es.\Par \Par Lorsque l'on part d'un polytope, par construction, \textit{la r\'eunion des c\^ones de dimension $n-1$ de l'\'eventail est en effet le lieu des coins de la fonction $H_P$, ou encore son lieu de non-diff\'erentiabilit\'e}; comme on l'a vu dans les expos\'es d'Ilia Itenberg, c'est aussi le lieu des coins du polyn\^ome tropical associ\'e \`a $f$; c'est donc dans ce cas particulier o\`u les coefficients du polyn\^ome $f$ sont de valuation nulle l'ensemble sous-jacent \`a la vari\'et\'e tropicale associ\'ee \`a $f$.\par\medskip
 Nous allons d\'efinir ci-dessous cette vari\'et\'e tropicale sans faire l'hypoth\`ese que les coefficients $a_\alpha$ de $f$ sont de valuation nulle.\Par
Faisons auparavant l'observation suivante:\Par Etant donn\'e un polytope $P$, si nous nous proposons de construire sa fonction d'appui \`a une fonction lin\'eaire pr\`es, nous avons besoin seulement des donn\'ees suivantes:\Par
Pour deux c\^ones de dimension $n$ de l'\'eventail dual de $P$ qui ont en commun une face $F$ de dimension $n-1$, et qui correspondent donc aux fonctions lin\'eaires $\langle w, \alpha\rangle$ et $\langle w, \beta\rangle$ o\`u $\alpha$ et $\beta$ sont deux sommets de $P$ li\'es par une ar\^ete $[\alpha\beta]$ dont le dual est la face commune des deux c\^ones, il faut se donner une orientation sur l'ar\^ete, qui d\'etermine dans quel sens on traverse la face commune aux deux c\^ones, ou si l'on pr\'ef\`ere une co-orientation de l'hyperplan support de cette face commune, c'est \`a dire un des deux demi-espaces qu'il d\'efinit. Disons que l'orientation va de $\alpha $ \`a $\beta$.
On peut alors associer \`a cette face commune le vecteur $c_F=\beta-\alpha$ de $\R^n$. Cette construction fonctionne m\^eme si le polytope $P$ n'est pas \`a sommets entiers ou si l'\'eventail n'est pas rationnel.\par
Si $P$ est entier, on peut d\'efinir en outre le \textit{poids} $e(\alpha,\beta)$ qui est la longueur enti\`ere du vecteur  $\beta-\alpha$, c'est \`a dire l'entier positif tel que $\frac{\beta-\alpha}{e(\alpha,\beta)}$ soit un vecteur entier primitif. Si $P$ n'est pas entier, on obtient encore un poids, qui n'est plus n\'ecessairement entier.\par
Si maintenant on consid\`ere les faces $(F_i)_{i\in S}$ de codimension un ayant en commun une face $G$ de codimension deux, elles correspondent par dualit\'e \`a des ar\^etes de $P$ formant le bord d'une face de dimension 2 de $P$. Choisir une orientation de ce bord donne des co-orientations coh\'erentes aux faces $F_i$ et une relation, dite d'\'equilibre: 
$$\sum_{i\in S}c_{F_i}=0$$
qui correspond simplement au fait que la somme orient\'ee des vecteurs $\beta_j-\alpha_j$ formant le bord d'une face de dimension 2 de $P$ est nulle.\par
Il faut remarquer aussi que deux tels vecteurs, vus comme fonctions lin\'eaires sur l'espace dual, coincident sur l'intersection des deux hyperplans qui leur sont duaux.
La donn\'ee d'une application $F\mapsto c_F$ de l'ensemble des faces de codimension un de l'\'eventail vers les vecteurs de $\R^N$ satisfaisant les relations d'\'equilibre permet de reconstruire la fonction d'appui \`a une fonction lin\'eaire pr\`es: on fixe une fonction lin\'eaire $\ell_0$ dans l'un des c\^ones de dimension maxima, disons $\sigma_0$, et on choisit pour toute face de codimension deux une orientation sur l'ensemble des faces de codimension un la contenant. \par
Cela fait, partant du c\^one choisi au d\'epart, on ajoute \`a $\ell_0$, \`a chaque travers\'ee d'une face commune $F$ \`a $\sigma_0$ et \`a un c\^one de dimension $n$ jouxtant $\sigma_0$, la fonction lin\'eaire $\check\R^n\to \R$ d\'etermin\'ee par le vecteur $c_F$. On continue ainsi pour les voisins des c\^one jouxtant $\sigma_0$, et on obtient ainsi des fonctions lin\'eaires sur tous les c\^one de dimension $n$ qui coincident sur les faces de dimension inf\'erieure. La condition d'\'equilibre assure que la fonction obtenue dans un c\^one ne d\'epend pas du chemin suivi pour y arriver \`a partir de $\sigma_0$.\par
Nous avons bien construit une fonction $H(\ell_0,\sigma_0)$ sur $\check \R^n$, lin\'eaire sur chaque c\^one de l'\'eventail et d\'etermin\'ee par le choix de $\ell_0$ sur  $\sigma_0$. Cette fonction est concave parce que au passage d'un c\^one \`a un c\^one adjacent elle se comporte comme la fonction d'appui d'un segment, et la condition d'\'equilibre assure que cette propri\'et\'e se globalise.\Par Si l'on remplace $\ell_0$ par une autre fonction lin\'eaire $\ell'_0$ la fonction $H(\ell_0,\sigma_0)$ devient $H(\ell_0,\sigma_0)+\ell'_0-\ell_0$ et si l'on choisit un autre c\^one $\sigma'_0$ la fonction $H(\ell_0,\sigma_0)$ est modifi\'ee par l'addition de l'unique fonction lin\'eaire sur $\check\R^n$ qui sur $\sigma'_0$ co\"incide avec $\ell_0-H(\ell_0,\sigma_0)$.  \Par
Selon ce que nous avons vu plus haut, la donn\'ee de la fonction d'appui \`a une fonction lin\'eaire (resp. lin\'eaire et enti\`ere) pr\`es \'equivaut \`a celle du poly\`edre $P$ \`a translation (resp. \`a translation enti\`ere) pr\`es.\Par

\par\medskip
Pour traiter le cas g\'en\'eral, il faut g\'en\'eraliser la fonction d'appui et la notion d'\'eventail.\par
Ce qui g\'en\'eralise la fonction d'appui est la \textit{tropicalisation} du polyn\^ome $\sum_\alpha a_\alpha x^\alpha\in K[x]$, sur laquelle nous reviendrons plus tard, et ce qui g\'en\'eralise l'\'eventail est un \textit{ensemble poly\'edral rationnel}, que nous allons d\'efinir maintenant et dont nous verrons qu'il est en fait tr\`es proche d'un \'eventail en dimension $n+1$.  

\section{COMPLEXES POLYEDRAUX RATIONNELS}Un sous-ensemble $T\subset \R^n$ est appel\'e \textit{complexe poly\'edral rationnel} s'il peut \^etre pr\'esent\'e comme r\'eunion de de sous-ensembles ferm\'es appel\'es cellules poss\'edant les propri\'et\'es suivantes:
\begin{enumerate}
\item Chaque cellule est un poly\`edre convexe ferm\'e dans $\R^n$ (non n\'ecessairement born\'e). Sa dimension est par convention celle de son enveloppe affine.
\item L'enveloppe affine de chaque cellule est de pente rationnelle (l'espace vectoriel qui lui est parall\`ele est rationnel: son \'equation est \`a coefficients rationnels).
\item la fronti\`ere (dans son enveloppe affine) de chaque cellule de dimension $k$ est une une union de cellul;es de dimension $k-1$.
\item Les int\'erieurs (dans leur enveloppe affine) des cellules sont disjoints.
\end{enumerate}
Remarquons que les c\^ones d'un \'eventail rationnel de dimension $n$ constituent un complexe poly\'edral rationnel.\par\medskip

Un \textit{poids} sur un complexe poly\'edral est la donn\'ee d'un entier naturel $e(F)$ pour chaque cellule $F$ de dimension $n-1$. 
Si nous nous sommes donn\'es un poids, nous pouvons attacher \`a chaque cellule $F$ de dimension $n-1$ une application $$\pm c_F\colon \Z^n\to \Z$$
d\'efinie au signe pr\`es  par les propri\'et\'es suivantes:
\begin{enumerate}
\item Le noyau de $c_F$ est parall\`ele \`a $F$,
\item $\frac{1}{e(F)}c_F\colon \Z^n\to \Z$ est un covecteur entier primitif.
\end{enumerate}
Lorsque $n=2$ le poids $e(F)$ est la longueur enti\`ere qui appara\^\i t dans les expos\'es d'Erwan Brugall\'e et Ilia Itenberg.\par
Si l'on choisit une co-orientation de $F$, c'est \`a dire un des deux demi-espaces d\'etermin\'es par son enveloppe affine, on peut fixer le choix du signe de $c_F$ en demandant que le demi-espace $c_F>0$ rencontre le demi-espace choisi. 
On dira enfin qu'un complexe poly\'edral rationnel est \textit{\'equilibr\'e} si la condition suivante est r\'ealis\'ee:\Par
Soit $G$ une cellule de dimension $n-2$ et soient $F_1,\ldots, F_s$ les cellules de dimension $n-1$ qui lui sont adjacentes. Un choix d'orientation autour de $G$ d\'etermine des co-orientations coh\'erentes des $F_j$, donc les signes des $c_{F_j}$. La condition d'\'equilibre est alors:
$$\sum_{j=1}^sc_{F_j}=0,$$
et on remarque qu'elle est ind\'ependante du choix de l'orientation autour de $G$.\par\medskip\par\medskip
\noindent
\textbf{Exemple fondamental} Soient $E$ un sous-ensemble fini du r\'eseau entier $M\subset \check\R^n$ et $\nu$ une application de $E$ dans $\R$. Par exemple on peut et doit penser \`a un polyn\^ome non nul $\sum_{\alpha\in E}a_\alpha x^\alpha$ et \`a l'application $\alpha\mapsto \nu(a_\alpha)$, que nous noterons parfois $\alpha\mapsto \nu(\alpha)$.\par
Consid\'erons la "transform\'ee de Legendre" de $\nu$ (en fait, comme dans le cas des fonctions d'une variable, c'est l'oppos\'e de la transform\'ee de Legendre de $\nu$ \'evalu\'ee en $-w$):
 $$L_\nu\colon \R^n\to\R;\ \ w\mapsto \hbox{\rm min}_{\alpha\in E}(\langle w,\alpha\rangle+\nu(\alpha))$$
 \Par
 Dans le cas o\`u $(E,\nu)$ provient d'un polyn\^ome de Laurent non nul $f\in K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$, cette fonction lin\'eaire par morceaux est souvent appel\'ee la \textit{tropicalisation} de $f$ et parfois not\'ee $\hbox{\rm Trop}(f)$ ou $f^\tau$. C'est bien la tropicalisation au sens vu dans les expos\'es de Brugall\'e et Itenberg.\par
\begin{proposition}\label{compol} {\rm (voir \cite{EKL}, Th. 2.1.1)} Le lieu des coins, ou lieu de non-lissit\'e $\Sigma(E,\nu)$ , de la fonction $L_\nu$ est un complexe poly\'edral rationnel pond\'er\'e \'equilibr\'e, qui est vide si $f$ est un mon\^ome, et purement de dimension $n-1$ sinon.
\end{proposition}\Par
 Remarquons que si $\nu$ est la restriction \`a $E$ d'une fonction lin\'eaire sur $\check\R^n$, alors le lieu des coins de $L_\nu$ est \`a translation pr\`es la r\'eunion des c\^ones de dimension $\leq n-1$ de l'\'eventail associ\'e \`a l'enveloppe convexe $\Delta$ de $E$.\par
 Donnons ici une premi\`ere id\'ee de la d\'emonstration, qui sera compl\'et\'ee plus bas dans la preuve de la Proposition \ref{undeplus}: dans $\check\R^{n+1}$ on consid\`ere l'enveloppe convexe $\tilde\Delta_\nu$ de l'ensemble $\tilde E_\nu=\{(\alpha, z)\in \check\R^n\times\check\R, \alpha\in E, z\geq \nu(\alpha)\}$ (une sorte d'\'epigraphe de la fonction $\nu$); c'est un ensemble convexe qui n'a qu'un nombre fini de faces compactes. \Par En voici un sch\'ema, aimablement cr\'e\'e en Mathematica par Maryvonne Teissier:
 \includegraphics[scale=0.8]{Tropic1.pdf}
 
 Les projections dans $\check\R^n$ de ces faces d\'eterminent une subdivision de l'enveloppe convexe $\Delta$ de $E$ par des polytopes entiers $\Delta_s$. La fronti\`ere inf\'erieure de $\tilde\Delta_\nu$ est le graphe d'une fonction convexe sur $\Delta$ qui a m\^eme transform\'ee de Legendre que $\nu$ et est lin\'eaire sur chaque $\Delta_s$. Comme nous le verrons plus bas, cela permet de d\'eterminer le lieu des coins de $L_\nu$ et de v\'erifier que c'est bien un complexe poly\'edral rationnel, puisque les $\Delta_s$ sont des polytopes entiers.\par
 De plus on peut attribuer un poids \`a chaque face $F$ de dimension $n-1$ de $\Sigma(E,\nu)$ en se souvenant qu'elle est d\'efinie comme coin entre deux fonctions affines dont la diff\'erence est \`a coefficients entiers; on choisit cette diff\'erence pour covecteur $c_F$, et pour poids l'entier $e(F)$ tel que $\frac{1}{e(F)}c_F$ soit primitif. Alors:\Par
 Avec ces donn\'ees, $\Sigma(E,\nu)$ est un complexe poly\'edral rationnel pond\'er\'e \'equilibr\'e. C'est cela qu'on appelle aujourd'hui une "vari\'et\'e tropicale", en fait ici une hypersurface tropicale. Ce complexe ne d\'epend que de la fonction lin\'eaire par morceaux $L_\nu$, qui elle m\^eme ne d\'epend que des valuations des coefficients du polyn\^ome. Dans le cas de la dimension un, on retrouve ce qu'ont d\'efini Brugall\'e et Itenberg.\par\medskip
 L'int\'er\^et de ces donn\'ees suppl\'ementaires est que inversement, comme nous le verrons plus bas, \'etant donn\'e un complexe poly\'edral rationnel pond\'er\'e \'equilibr\'e, il d\'etermine un polytope entier $\Delta$ unique \`a translation pr\`es, et une fonction $\nu$ qui n'est pas enti\`erement d\'etermin\'ee mais dont la transform\'ee de Legendre est d\'etermin\'ee \`a une constante pr\`es. En d'autres termes, \'etant donn\'ee une hypersurface tropicale pond\'er\'ee \'equilibr\'ee on trouve ainsi toute une famille de polynomes dont la tropicalisation est cette hypersurface, mais avec une ambig\"uit\'e contr\^ol\'ee. Ceci est essentiellement le contenu de la Proposition 2.4 de \cite{Mi2}, auquel on renvoie pour plus de d\'etails.\Par
 
 Cette d\'etermination du poly\`edre de Newton et de la fonction $\nu$ \`a \'equivalence de transform\'ees de Legendre pr\`es donne un sens pr\'ecis \`a ce que j'appelais "g\'eom\'etrie de l'\'equation" dans l'introduction.  \Par En effet un complexe poly\'edral rationnel pond\'er\'e \'equilibr\'e d\'etermine une classe de polyn\^omes ayant tous m\^eme poly\`edre de Newton (\`a translation enti\`ere pr\`es) et dont les valuations des coefficients sont assez bien connues, au moins dans leurs positions relatives, et on peut appeler cela une "classe g\'eom\'etrique" de polyn\^omes. Notons qu'une translation enti\`ere du poly\`edre de Newton correspond \`a la multiplication du polyn\^ome $f$ par un mon\^ome en $x_1,\ldots, x_n$, qui ne change pas le lieu des z\'eros dans $(K^*)^n$, et que de m\^eme une translation de $\tilde\Delta_f$ dans la direction verticale correspond \`a la multiplication du polyn\^ome $f$ par une puissance de $t$, qui n'affecte pas non plus les solutions dans $(K^*)^n$.\par\medskip 
 Avant de pouvoir \'enoncer le r\'esultat principal, il nous faut d\'efinir la \textit{forme initiale} d'un polyn\^ome $f=\sum_{\alpha\in E}a_\alpha x^\alpha\in K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ par rapport \`a un "poids" $w\in \R^n$. C'est la somme des termes de plus petit "poids total" $L(w)=\hbox{\rm min}_{\alpha\in E}(\langle w,\alpha\rangle+\nu(\alpha))$, c'est \`a dire
 $$\hbox{\rm in}_w(f)=\sum_{\alpha\in E/\langle w,\alpha\rangle+\nu(\alpha)=L(w)}a_\alpha x^\alpha.$$
 
 
 
 \begin{theoreme} {\rm (Voir \cite{EKL}, \cite{JMM}, \cite{Mi1}, \cite{Mi2}, \cite{Pa}, \cite{Sp-St})} Soit $K$ un corps alg\'ebriquement clos complet pour une valuation $\nu$ \`a valeurs r\'eelles. Soit $X\subset (K^*)^n$ une hypersurface d\'efinie par un polyn\^ome de Laurent $f=\sum_{\alpha\in E}a_\alpha x^\alpha$ avec $a_\alpha\in K$. Posons $A=K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]/(f)$. Alors:\Par
 A) Les sous-ensembles suivants de $\R^n$ coincident:
 \begin{enumerate}
 \item L'adh\'erence de $\nu(X)$ dans $\R^n$.
 \item L'ensemble des $w\in \R^n$ tels que $\hbox{\rm in}_w(f)$ ne se r\'eduise pas \`a un mon\^ome.
 \item Le lieu des coins de la fonction $w\mapsto  \hbox{\rm min}_{\alpha\in E}(\langle w,\alpha\rangle+\nu(\alpha))$
 \item Dans le cas o\`u $X$ est irr\'eductible, l'image de l'application $\beta\colon \Ww(A/K)\to \R^n$ d\'efinie dans la section pr\'ec\'edente.
 \end{enumerate}
 B) L'ensemble $\Tt(X)$ ainsi d\'efini est un complexe poly\'edral rationnel de dimension $n-1$. \end{theoreme}
 \par\noindent De plus:
 \begin{proposition}\label{undeplus} A)  L'ensemble $\Tt(X)$ est l'intersection avec $\R^n\times\{1\}$ de la r\'eunion des c\^ones de dimension $\leq n$ de l'\'eventail $\tilde \Sigma_\nu$ de $\R^n\times \R$ dual du poly\`edre $\tilde\Delta_\nu$ d\'efini plus haut.\par\noindent 
 B) La donn\'ee d'une pond\'eration \'equilibr\'ee de l'ensemble $\Tt(X)$ \'equivaut \`a la donn\'ee d'une jauge sur $\R^n\times\R$ qui est concave, lin\'eaire dans chacun des c\^ones de $\tilde \Sigma_\nu$ et d\'efinie \`a une forme lin\'eaire pr\`es dont les coefficients dans $\check \R^n$ sont entiers. Cette donn\'ee \'equivaut aussi \`a la donn\'ee d'un poly\`edre de la forme $\tilde \Delta_f$ qui est bien d\'efini modulo une translation de $\check\R^n\times\check \R$ dont la projection dans $\check\R^n$ appartient au r\'eseau entier.\end{proposition}
Donnons maintenant quelques indications de d\'emonstration. \Par
 Puisque le lieu des coins est ferm\'e, pour prouver que $\overline{\nu(X)}$ est contenu dans l'ensemble du 2) il suffit de prouver que tout point de $\nu(X)$ est dans cet ensemble. Soit donc $x\in X$ tel que $w=\nu(x)=(\nu(x_1),\ldots ,\nu(x_n))$ et $f(x)=0$. Les termes de plus bas degr\'e de la s\'erie $f(x)$ sont de la forme $\hbox{\rm in}_wf(\overline{x_1},\ldots ,\overline{x_n})$ o\`u $\overline{x_i}$ est la forme initiale de $x_i(t)$ par rapport \`a $t$. Ces termes doivent s'annuler identiquement, ce qui impose que $\hbox{\rm in}_wf$ ne se r\'eduise pas \`a un mon\^ome. Cela montre aussi que $w$ appartient \`a l'ensemble d\'efini en 3). C'est la version moderne de l'id\'ee de Newton. Le m\^eme argument d\'emontre aussi que l'ensemble de 4) est contenu dans celui de 2).\par
L'inclusion inverse est un peu plus d\'elicate (voir \cite{Pa}): supposons que $w$ appartient \`a l'intersection de l'ensemble de 2) avec $(\nu(K^*))^n\subset \R^n$, qui est dense dans cet ensemble puisque $\nu(K^*)$ est dense dans $\R$. La forme initiale $\hbox{\rm in}_wf$ n'est pas un mon\^ome mais peut avoir un mon\^ome en facteur. Divisons par ce facteur \'eventuel et choisissons une variable, disons $x_1$, qui appara\^\i t effectivement dans le r\'esultat qui, rappelons le, a au moins deux termes. Fixons pour $i\geq 2$ des $\overline x_i\in K^*$ de la forme $\xi_it^{w_i},\ \xi_i\in k$, ce qui est possible puisque $w_i\in \nu(K^*)$. Alors l'\'equation $\hbox{\rm in}_wf(x_1,\overline x_2,\ldots ,\overline x_n)=0$ est un polyn\^ome en $x_1$ \`a coefficients dans $K$ ayant au moins deux termes et dont le terme constant est non nul, au moins apr\`es division par une puissance convenable de $t$. Puisque $K$ est alg\'ebriquement clos, cette \'equation a une solution $\overline x_1$ dans $K^*$ qui, par l'homog\'en\'eit\'e de la forme initiale, a pour valuation $w_1$. Si l'on choisit maintenant des s\'eries $\tilde x_i\in K^*$ ayant $\overline x_i$ pour forme initiale, le m\^eme argument appliqu\'e \`a $f(x_1,\tilde x_2,\ldots ,\tilde x_n)$ montre l'existence d'une solution $x_1\in K*$ dont la forme initiale est $\overline x_1$, ce qui prouve que le point $w$ est dans $\nu(X)$. La fin de la preuve du r\'esultat concernant l'application $\beta$ sort du cadre de cet expos\'e.\par\medskip
La partie B) du Th\'eor\`eme r\'esulte de la Proposition \ref{compol} au prix d'une\break g\'en\'eralisation \`a notre cas pas enti\`erement rationnel de la construction de la fonction d'appui \`a partir d'une pond\'eration, qui est laiss\'ee au lecteur apr\`es lecture de la preuve de la Proposition \ref{undeplus} ci-dessous.\par\medskip\noindent
Pour prouver la Proposition \ref{undeplus}, on remarque que si $a_\alpha=\xi_\alpha t^{\epsilon_\alpha}+\cdots, {\rm avec}\  \xi_\alpha\in k^*$, la vari\'et\'e tropicale du polyn\^ome $f=\sum_{\alpha\in E}a_\alpha x^\alpha$ est la m\^eme que celle du polyn\^ome $\tilde f=\sum_{\alpha\in E}\xi_\alpha t^{\epsilon_\alpha} x^\alpha $. Mais on peut consid\'erer ce dernier comme un polyn\^ome en $x$ et $t$, \`a ceci pr\`es que les exposants de $t$ ne sont pas entiers. Cependant, comme il a \'et\'e expliqu\'e plus haut on peut construire dans dans $\R^n\times \R$ le lieu des coins associ\'e, qui est l'\'eventail dual du poly\`edre $\tilde \Delta_f$. Le support de cet \'eventail est le demi-plan $w_{n+1}\geq 0$, o\`u  $w_{n+1}$ est la coordonn\'ee duale de l'exposant de $t$.\par Nous avons vu plus haut que les c\^ones de dimension maximale $n+1$ de cet \'eventail, c'est-\`a-dire les composantes connexes du compl\'ementaire de la r\'eunion $\tilde \Tt(X)$ des c\^ones de dimension $\leq n$, sont en bijection, par dualit\'e, avec les sommets de $\tilde\Delta_f$. La vari\'et\'e tropicale de $f$ est la partie de $\tilde \Tt(X)$ o\`u le poids de $t$ vaut $1$, puisque nous ne l'autorisons pas \`a prendre une autre valeur. C'est donc bien l'intersection de l'\'eventail pr\'ec\'edent avec l'hyperplan $w_{n+1}=1$, qui pr\'eserve les composantes connexes puisque l'on intersecte des c\^ones convexes. Il reste \`a v\'erifier que l'intersection de cet \'eventail avec l'hyperplan $w_{n+1}=1$ est bien un complexe poly\'edral rationnel: que ce soit un complexe poly\'edral r\'esulte aussit\^ot des d\'efinitions. La rationalit\'e r\'esulte du fait que les projections dans $\check\R^n$ des ar\^etes de $\tilde\Delta_f$, qui par dualit\'e donnent les hyperplans de l'\'eventail, sont des droites rationnelles.\par
En effet cela implique que l'hyperplan de $\R^n\times \R$ dual de cette ar\^ete joignant par exemple $(p, \epsilon_p)$ et $(q, \epsilon_q)$ avec $p,q\in \Z^n$ a pour \'equation
$$\sum_{i=1}^n w_i(p_i-q_i)+w_{n+1}(\epsilon_p-\epsilon_q)=0.$$
Sa non-rationalit\'e \'eventuelle provient du coefficient $\epsilon_p-\epsilon_q$. Lorsque l'on fait $w_{n+1}=1$ ce coefficient devient un terme constant et il reste bien un hyperplan \`a \textit{pente} rationnelle. Enfin, on peut remarquer que les composantes connexes compactes du compl\'ementaire de $\Tt(X)$ correspondent aux sommets de $\tilde N_f$ qui se projettent \`a l'int\'erieur du poly\`edre de Newton $\Delta_f$ de $f$. En effet, ces composantes non compactes  correspondent aux c\^ones de l'\'eventail dual de $\tilde\Delta_f$ qui rencontrent l'hyperplan $w_{n+1}=0$. Par dualit\'e, ce sont ceux qui contiennent un point correspondant \`a un hyperplan de $\check\R^n\times \check\R$ dont l'\'equation est ind\'ependante de $t$. Un tel hyperplan "vertical" touche $\tilde\Delta_f$ en un point qui se projette sur la fronti\`ere de $\Delta_f$.\hfill\qedsymbol \par\medskip
Retenons que en particulier \textit{une hypersurface tropicale est l'intersection avec l'hyperplan $w_{n+1}=1$ de la r\'eunion des c\^ones de dimension $\leq n$ d'un \'eventail de $\R^n\times\R$ ayant pour support $w_{n+1}\geq 0$ et ayant exactement les propri\'et\'es de rationalit\'e qui font que cette intersection est un complexe poly\'edral \textbf{rationnel}.} 
\includegraphics[scale=0.8]{Tropic2.pdf}

Le sch\'ema pr\'ec\'edent, aussi cr\'e\'e en Mathematica par Maryvonne Teissier, illustre la Proposition \ref{undeplus} et repr\'esente une partie de l'\'eventail dual de $\tilde\Delta_f$ et de  l'ensemble sous-jacent \`a  l'hypersurface tropicale correspondant au poly\`edre $\tilde\Delta_f$ du sch\'ema pr\'ec\'edent. Les 5 sommets de la cellule compacte correspondent aux vecteurs duaux pour la dualit\'e convexe (ou si l'on pr\'ef\`ere aux vecteurs normaux rentrants) aux faces compactes du bord de de $\tilde\Delta_f$. Notez que la plupart des dessins apparaissant dans les expos\'es de Brugall\'e et Itenberg correspondent au cas o\`u $\Delta_f$ est un simplexe standard, et par cons\'equent l'hypersurface tropicale n'a que trois directions asymptotiques, correspondant aux normales aux c\^ot\'es du simplexe.\par
L'hypersurface tropicale est donc bien la variante de l'\'eventail dual o\`u la lettre $t$ joue un r\^ole particulier de deux mani\`eres: d'une part on ne s'int\'eresse qu'\`a ce qui se passe lorsque $t$ devient arbitrairement petit, ce que refl\`ete la construction de $\tilde\Delta_f$, et d'autre part $t$ est un param\`etre et non une variable, ce qui fait que l'on ne peut varier son poids; c'est ce qu'exprime la condition $w_{n+1}=1$.\par
De plus les poids sur l'hypersurface tropicale sont la donn\'ee n\'ecessaire pour reconstruire \`a une forme lin\'eaire -dont tous les coefficients sauf peut-\^etre celui de $w_{n+1}$ sont entiers- pr\`es la fonction d'appui de l'\'epigraphe de l'application $\Delta_f\to \R$ d\'efinie par $\alpha\mapsto \nu(a_\alpha)$.\medskip
 
Il faut ajouter qu'\'etendre tout ce qui pr\'ec\`ede  au cas o\`u $X$ est un sous-espace de $(K^*)^n$ de codimension $>1$ d\'efini par un id\'eal $I$ de $K[x_1^{\pm 1},\ldots x_n^{\pm 1}]$ est un sujet de recherche actif.  Il est \'etabli que la vari\'et\'e tropicale $\Tt(X)$ est un complexe poly\'edral rationnel de dimension \'egale \`a celle de $X$ et qu'il est l'intersection d'hypersurfaces tropicales correspondant \`a un syst\`eme fini de g\'en\'erateurs de $I$. Ce syst\`eme n'est pas du tout unique, mais il doit satisfaire des conditions assez fortes.  En particulier il ne suffit m\^eme pas que \textit{pour tout} $w$ les $w$-formes initiales de ces g\'en\'erateurs engendrent l'id\'eal des $w$-formes initiales de tous les \'el\'ements de $I$. Je renvoie \`a \cite{RST} et \cite{BJSTT} pour des pr\'ecisions.
\section{Un peu d'analyse}
Il y a une jolie interpr\'etation des composantes connexes de $\R^n-\Tt(X)$, qui est la version non-archim\'edienne due \`a Kapranov d'un r\'esultat de Passare dans le cas des amibes complexes, r\'epondant \`a une question de Gel'fand-Kapranov-Zelevinski: Notons toujours $\nu\colon (K^*)^n\to \R^n$ l'application valuation. Alors pour chaque composante connexe $U$ de $\R^n\setminus \Tt(X)$, $\nu^{-1}(U)$ est le domaine de convergence d'une s\'erie repr\'esentant $\frac{1}{f}$ et qui s'\'ecrit
$$\frac{1}{f}=\frac{1}{\alpha_s}x^{-\alpha_s}(1+\sum_\beta b_\beta x^\beta)$$
o\`u $\alpha_s$ est le sommet de $\tilde\Delta_f$ correspondant \`a la composante connexe $U$. Les raisons de convergence sont diff\'erentes selon que $U$ est une composante compacte ou pas.\par\medskip
Etant donn\'ee une s\'erie de Laurent $$g=\sum_{\alpha\in \Z^n}b_\alpha x^\alpha\in K((x_1,\ldots ,x_n))$$
nous dirons qu'elle converge en $x\in (K^*)^n$ si, posant $w=\nu(x)\in \R^n$, pour tout nombre r\'eel $A>0$ l'ensemble des $\alpha$ tels que $\nu(b_\alpha) +\langle w,\alpha\rangle \leq A$ est fini. En d'autres termes la valuation de $b_\alpha x^\alpha$ tend vers l'infini (sa valeur absolue tend vers $0$) lorsque $\vert\alpha\vert$ tend vers l'infini.\par
Si $f=\sum_{\alpha\in E}a_\alpha x^\alpha\in K[x_1^{\pm 1},\ldots, x_n^{\pm 1}]$ d\'efinit une hypersurface $X\subset (K^*)^n$ et si $w_0\in \R^n\setminus \Tt(X)$, le minimum $\langle w_0,\alpha\rangle+\nu(a_\alpha) $ est atteint une seule fois, disons en ${\alpha_0}$ et l'on peut \'ecrire
$$f=a_{\alpha_0}x^{\alpha_0}(1+\sum_{\alpha\neq \alpha_0}\frac{a_\alpha}{a_{\alpha_0}}x^{\alpha-\alpha_0}),\ a_{\alpha_0}\in K^*$$ avec $\nu(\frac{a_\alpha}{a_{\alpha_0}})+\langle w_0,\alpha-\alpha_0\rangle >0$. Posant $h=\sum_{\alpha\neq \alpha_0}\frac{a_\alpha}{a_{\alpha_0}}x^{\alpha-\alpha_0})$, on voit que l'on peut \'ecrire
$$\frac{1}{f}=\frac{x^{-\alpha_0}}{a_{\alpha_0}}(1+h+\cdots +(-1)^jh^j+\cdots)$$
et la construction montre clairement que cette derni\`ere s\'erie converge tant que $w_0$ reste dans la m\^eme composante connexe de $\R^n\setminus \Tt(X)$ et cesse de converger lorsque $w_0$ atteint $\Tt(X)$.
\section{Amibes non archim\'ediennes et amibes classiques}
Le but de cette section est de comparer l'amibe non archim\'edienne d'un polyn\^ome 
$$f(v;x)=\sum_\alpha a_\alpha (v)x^\alpha\in \C[v][x_1,x_1^{-1},\ldots ,x_n,x_n^{-1}],$$  et en particulier celle d'un polyn\^ome de Viro (ou polyn\^ome de patchworking)
$$\sum_\alpha d_\alpha v^{\nu (\alpha)}x^\alpha\in \C((v^\Q))[x_1,\ldots ,x_n],\ d_\alpha\in \C,$$ puisque si $\nu (\alpha)\in \Q$ pour tout $\alpha$, on se ram\`ene facilement au cas d'un polyn\^ome en $v$ par un changement de variable $v\mapsto v'^q$.\par L'\'equation $f(v;x)=0$ est ici consid\'er\'ee comme d\'efinissant une famille \`a un param\`etre de vari\'et\'es $X(v)\subset (\C^*)^n$ et on veut \'etudier la limite lorsque $\vert v\vert$ tend vers l'infini des amibes classiques, convenablement renormalis\'ees, des fibres $X(v)$.\Par
Pour d\'efinir l'amibe non archim\'edienne de $f(v;x)$, consid\'erons l'injection $\C[v]\subset \C((t))$ d\'etermin\'ee par $v\mapsto\frac{1}{t}$. Elle nous permet de consid\'erer $\C[v]$ comme un sous-anneau du corps valu\'e alg\'ebriquement clos $K$ des s\'eries de Puiseux en $t$ \'etudi\'e dans la section \ref{rappels} et donc de d\'efinir l'amibe non archim\'edienne de $f(v,x)$.\par
Rappelons ici que l'amibe classique d'une sous-vari\'et\'e $X\subset \C^n$ est l'image par l'application
$$\hbox{\rm Log}\colon (\C^*)^n\to \R^n;\ \ (x_1,\ldots ,x_n)\mapsto (\hbox{\rm log}\vert x_1\vert, \ldots ,\hbox{\rm log}\vert x_n\vert)$$ de l'intersection $X\bigcap (\C^*)^n$.\Par
Dans le cas qui nous occupe, nous d\'efinissons la famille d'amibes complexes associ\'ees aux vari\'et\'es $X(v)$ pour $v\neq 0$ par
$$\Aa_v(X(v))={\rm Log}_{\vert v\vert}(X(v)\bigcap (\C^*)^n),$$
o\`u ${\rm Log}_{\vert v\vert}$ d\'esigne l'application d\'efinie par le logarithme en base $\vert v\vert$ des modules des coordonn\'ees.\Par
Ceci revient \`a normaliser en faisant sur l'amibe complexe usuelle de $X(v)$ une homothetie de rapport $\frac{1}{{\rm log}\vert v\vert}$.\par\medskip\noindent
rappelons \'egalement la d\'efinition de la distance de Hausdorff entre deux sous-ensembles ferm\'es $A,B$ de $\R^n$:
$${\rm d_H}(A,B)=\hbox{\rm max}\{\hbox{\rm sup}_{a\in A}\hbox{\rm d}(a,B),\hbox{\rm sup}_{b\in B}\hbox{\rm d}(b,A)\},$$
o\`u $\hbox{\rm d}(a,B)$ est la distance euclidienne dans $\R^n$ entre le point $a$ et l'ensemble $B$.
\begin{theorem}{\rm (Mikhalkin, \cite{Mi2}, Cor. 6.4, Rullg\aa rd, \cite{Ru}; voir aussi \cite{IMS}, Th. 1.4)} Lorsque $\vert v\vert$ tend vers l'infini, les amibes $\Aa_v(X(v))$ convergent pour la distance de Hausdorff vers l'amibe non archim\'edienne $\Aa(X)=-\Tt(X)$.
\end{theorem}\Par
D\'emonstration: Faisons le changement de variables indiqu\'e au d\'ebut de la section et consid\'erons notre polyn\^ome comme un \'el\'ement de $K[x_1,\ldots ,x_n]$, que nous notons d\'esormais $f=\sum_\alpha c_\alpha(t)x^\alpha$.  Soit $z$ un point de $X(t)=X(\frac{1}{v})$, et posons $u={\rm Log}_t(z)\in \R^n$. Posons par ailleurs, pour $t\neq 0$ et tout exposant $\alpha$, $e_\alpha(t)= {\rm log}_{\vert t\vert}\vert a_\alpha(t)\vert$.\Par
Alors pour tout exposant $\alpha_0$ de notre polyn\^ome, notant $M$ le nombre des mon\^omes en $x$ apparaissant dans le polyn\^ome $f$, le point $u\in \R^n$ satisfait pour tout $t\neq 0$ les in\'egalit\'es:
$$ e_{\alpha_0}(t)+\langle u,\alpha_0\rangle\leq {\rm max}_{\alpha\neq\alpha_0}(e_{\alpha}(t)+\langle u,\alpha\rangle)+{\rm log}_tM,$$
o\`u $\alpha_0$ parcourt les exposants de notre polyn\^ome.
En effet puisque $z\in X(t)$, on a pour tout $\alpha_0$ l'\'egalit\'e
$a_{\alpha_0}z^{\alpha_0}=-\sum_{\alpha\neq \alpha_0}a_{\alpha}z^{\alpha}$, d'o\`u l'in\'egalit\'e $\vert a_{\alpha_0}z^{\alpha_0}\vert\leq M{\rm max}_{\alpha\neq\alpha_0}(\vert a_\alpha z^\alpha\vert)$, et le r\'esultat en prenant le logarithme en base $t$.\Par
Cela signifie que l'amibe renormalis\'ee est contenue pour tout $t\neq 0$ dans la r\'egion de $\R^n$ d\'efinie par les in\'egalit\'es
$$\leqno{(*)}\ \ \ \ \ \ \ \ \  e_{\alpha_0}(t)+\langle w,\alpha_0\rangle\leq {\rm max}_{\alpha\neq\alpha_0}(e_{\alpha}(t)+\langle w,\alpha\rangle)+{\rm log}_tM.$$
Souvenons nous maintenant que nous nous int\'eressons \`a l'image par l'application ${\rm Log}_{\vert v\vert}=-{\rm Log}_{\vert t\vert}$ et que l'amibe non archim\'edienne est l'adh\'erence de $-\nu (X)$, ce qui nous incite \`a changer le signe de $w$. Si nous relisons ces in\'egalit\'es sous la forme
$$ -e_{\alpha_0}(t)+\langle -w,\alpha_0\rangle\geq {\rm min}_{\alpha\neq\alpha_0}(-e_{\alpha}(t)+\langle- w,\alpha\rangle)-{\rm log}_tM,$$ nous voyons qu'\`a la limite lorsque $t$ tend vers $0$ nous obtenons un syst\`eme d'in\'egalit\'es qui est satisfait par $-w$ si et seulement si $-w\in \Tt(X)$.
La formule donnant la distance d'un point \`a un hyperplan, jointe au fait que lorsque $t$ tend vers $0$, par construction $e_{\alpha}(t)$ tend vers $\nu(c_\alpha(t))$, montre que cette r\'egion est un voisinage de notre amibe non archim\'edienne $-\Tt (X)$ dont tous les points sont \`a distance uniform\'ement born\'ee de celle-ci, cette distance tendant vers $0$ avec $t$. Cela implique que la limite des amibes complexes normalis\'ees $\Aa(t)$ existe et est contenue dans $-\Tt(X)$.
\Par
Pour montrer que la limite est toute l'amibe non-archim\'edienne, il suffit de montrer qu'un ensemble dense de points de celle-ci peut \^etre obtenue comme limite de points des amibes complexes renormalis\'ees.
Or par construction les images par l'application $\nu$ des solutions de $f(t;x)=0$ sont denses dans $\Tt(X)$. Soit donc $(-\rho_1,\ldots ,-\rho_n)$ un tel point de $\Tt(X)$. Cela signifie qu'il existe des s\'eries de Puiseux convergentes $x_i(t)=a_{\rho_i}t^{\rho_i}+\cdots =a_{\rho_i}t^{\rho_i}(1+s_i(t))$, o\`u $s_i(t)$ est une s\'erie \`a exposants positifs s'annulant pour $t=0$, qui sont solutions de $f(t;x)=0$. L'image par ${\rm Log}_{\vert v\vert}$ du point de coordonn\'ees $x_i(t)$ est donc un point de l'amibe complexe renormalis\'ee. Or les coordonn\'ees de cette image sont de la forme $ -\rho_i +{\rm log}_{\vert v\vert}\vert a_{\rho_i}\vert +{\rm log}_{\vert v\vert}\vert 1+s_i(\frac{1}{v})\vert$ et tendent vers $-\rho_i$ lorsque $\vert v\vert $ tend vers $+\infty$ puisque les termes dont on prend le logarithme sont born\'es.
\hfill\qedsymbol\par\medskip\noindent
On peut maintenant comme Mikhalkin dans \cite{Mi2} remarquer que chaque composante connexe du compl\'ementaire de l'ensemble d\'efini par les in\'egalit\'es $(*)$ est d\'efinie par une in\'egalit\'e
$$ e_{\alpha_0}(t)+\langle w,\alpha_0\rangle> {\rm max}_{\alpha\neq\alpha_0}(e_{\alpha}(t)+\langle w,\alpha\rangle)+{\rm log}_tM.$$ 
C'est un ensemble convexe, et chaque composant connexe du compl\'ementaire de l'amibe $\Aa_v(X(v))$ est contenue dans une telle composante. En s'appuyant sur les r\'esultats de Forsberg, Passare et Tsikh (\cite{FPT}), on peut montrer que deux composantes connexes distinctes du compl\'ementaire de $\Aa_v(X(v))$ appartiennent \`a des composantes diff\'erentes du compl\'ementaire de l'ensemble d\'efini par $(*)$ et donc finalement \`a deux composantes connexes diff\'erentes du compl\'ementaire de l'amibe non archim\'edienne, correspondant \`a deux sommets distincts de $\tilde\Delta_f$. Il y a donc aussi une bijection entre les composantes connexes du compl\'ementaire de l'amibe classique et les sommets de $\tilde\Delta_f$. Je renvoie \`a la premi\`ere partie de \cite{Mi1} pour un expos\'e de la vision analytique des travaux de Passare, Ronkin, et Rullg\aa rd.\par\medskip\noindent
Il serait d'ailleurs int\'eressant de d\'eterminer s'il est possible de d\'efinir des fonctions sur les amibes complexes normalis\'ees, dans l'esprit de ces travaux ou ressemblant par exemple \`a des fonctions de la courbure du bord, et convergeant lorsque $v$ tend vers l'infini vers les poids des faces de dimension $n-1$ de l'hypersurface tropicale.\Par
Cela pr\'eciserait le lien entre celle-ci et la g\'eom\'etrie de $X$. que manifeste le r\'esultat pr\'ec\'edent. Par ailleurs Mikhalkin (\cite{Mi2}, section 5) a donn\'e une m\'ethode de reconstruction sous certaines hypoth\`eses et \`a diff\'eomorphisme pr\`es d'une hypersurface projective \`a partir de l'hypersurface tropicale associ\'ee.
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