Université Paris 7 – Préparation CAPES 05-06 Géométrie 21 septembre 2005

Feuille d’exercices n^{∘}1

géométrie affine – barycentres

Certains des exercices qui suivent utilisent des notions de géométrie euclidienne, longueurs, aires, angles ...

Exercice 1. Soit F l’ensemble des matrices dans la base canonique des applications linéaires de L(ℝ^{2}) qui laissent invariant le point de coordonnées (1, 1). Montrer que c’est un sous-espace affine de M_{2}(ℝ). En déterminer un point et une base de la direction.

Exercice 2. Montrer que F = {f ∈ ℝ^{ℝ} | ∀x ∈ ℝ, f(x + 1) = f(x) + 1} est un sous-espace affine de ℝ^{ℝ}. En déterminer un point et la direction.

Exercice 3. Soit E un espace affine réel de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O; u⃗, v⃗, w⃗). Soit les points :

A ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , B ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , C ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) ,

les droites

d_{1} \{ \begin{matrix}x & = & 3 − λ \\ y & = & 1 + 2λ \\ z & = & −1 + λ \end{matrix} , λ ∈ ℝ, d_{2} \{ \begin{matrix}x & = & 1 + 3μ \\ y & = & −2μ \\ z & = & 3 + 5μ \end{matrix} , μ ∈ ℝ,

les plans

(P_{1}) \{ \begin{matrix}x & = & 1 − 2λ + 3μ \\ y & = & −2 + λ + μ \\ z & = & 4 − λ − 2μ \end{matrix} , (λ, μ) ∈ ℝ^{2}, (P_{2}) 2x − y + 3z − 1 = 0, (P_{3}) x + 2z − 4 = 0.

1. Donner une équation cartésienne de P_{1}.

2. Déterminer une représentation paramétrique de P_{2} ∩ P_{3}.

3. Donner une équation cartésienne du plan contenant A, B et C.

4. Déterminer l’intersection de d_{1} et de P_{2}.

5. Donner une équation cartésienne du plan Q contenant d_{1} et parallèle à d_{2}.

6. Déterminer P_{1} ∩ P_{2} ∩ P_{3}.

7. Déterminer l’intersection de P_{2} avec la droite (AB).

8. Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P_{2} et coupant d_{1}.

9. Donner une équation cartésienne du plan passant par C et contenant d_{1}.

Exercice 4. Soit E un K-espace affine et O un point de E. On rappele que n points (A_{1}, …, A_{n}) sont affinement liés si et seulement si les vecteurs (\overrightarrow{A_{1}A_{2}}, …, \overrightarrow{A_{1}A_{n}}) sont liés. Montrer que (A_{1}, …, A_{n}) sont liés si et seulement s’il existe n élément de 𝕂, non tous nuls soient (λ_{1}, …, λ_{n}) tels que :

∑_{i=1}^{n} λ_{i}\overrightarrow{OA_{i}} = 0 et ∑_{i=1}^{n} λ_{i} = 0

Exercice 5. Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien. Pour un point P, on note x_{P} , y_{P} ses coordonnées. Montrer que trois points P, Q, R sont alignés si et seulement si

det ( \begin{matrix}x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ x_{R} & y_{R} & 1 \end{matrix} ) = 0.

1. a. En utilisant l’exercice précédent ; b. En identifiant E au sous-espace affine d’équation z = 1 d’un espace de dimension 3.

2. On suppose que E est ℝ^{2} muni du repère canonique. On l’identifie au plan d’équation z = 1 dans ℝ^{3}. L’unité d’aire est celle du carré de côtés (0, 1), (1, 0), l’unité de volume celle du parallépipède de côtés (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Montrer que la valeur absolue du déterminant égale deux fois l’aire du triangle (P, Q, R) :

a. En utilisant que le déterminant de deux vecteurs dans le plan euclicidien ℝ^{2} a pour valeur absolue l’aire

du parallélogramme de côtés ces deux vecteurs ; b. En utilisant que le déterminant de trois vecteurs dans l’espace euclidien ℝ^{3} a pour valeur absolue le

volume du parallépipède de côtés ces trois vecteurs.

Exercice 6. Dans une espace affine réel un système S de points pondérés (A_{1}, α_{1}), …, (A_{n}, α_{n}) est tel que ∑_{i=1}^{n} α_{i} = 0. Montrer que quelquesoit la partition de S en deux parties admettant chacune un barycentre, soient P et Q ceux-ci, le vecteur \overrightarrow{P Q} garde la même direction.

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Dans tous les exercices qui suivent, on se place dans le plan P = ℝ^{2} muni d’un repère affine (A, B, C).

Exercice 7. Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q}) et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). Démontrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si

| \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | = 0.

En déduire l’équation en coordonnées barycentriques d’une droite (QR) (avec Q ≠ R).

Exercice 8. Soit (α, β, γ) un système de coordonnées barycentriques d’un point M de P. Trouver une condition nécessaire et suffisante liant α, β et γ pour que :

1. le point M appartienne à la droite (AB) ;

2. le point M appartienne à la médiane issue de B du triangle ABC;

3. le point M soit sur la parallèle à la droite (BC) menée par le milieu du segment [AB].

Exercice 9. Les points L, M, N se trouvent sur les droites (AB), (BC), (CA) respectivement et sont distincts de A, B, C. Théorème de Menelaüs Montrer que L, M, N sont alignés si et seulement si \frac{\overline{LA}}{\overline{LB}} \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} = 1.

Théorème de Ceva Montrer que les droites (LC), (MA) et (NB) sont concourantes ssi \frac{\overline{LA}}{\overline{LB}} \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} = −1.

Exercice 10 (centre du cercle inscrit). Soient A′, resp. B′, resp. C′ l’intersection de la bissectrice intérieure du triangle ABC issue de A, resp. B, resp. C, et du côté opposé (BC), resp. (AC), resp. (BC). Déterminer les coordonnées barycentriques de A′, B′ et C′ en fonction des longueurs AB, BC et AC. En déduire que les trois droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont concourantes en un point I de coordonnées barycentriques (\frac{BC}{p} , \frac{AC}{p} , \frac{AB}{p}) avec p = AB + BC + CA.

Exercice 11 (Orthocentre). Soient A_{1}, resp. B_{1}, resp. C_{1} l’intersection de la hauteur intérieure du triangle ABC issue de A, resp. B, resp. C, et du côté opposé (BC), resp. (AC), resp. (BC). Les angles du triangle en A, B et C sont nommés Â, B̂ et Ĉ.

1. On suppose que les 3 angles du triangle ABC sont aigus. Déterminer les coordonnées barycentriques de A_{1}, B_{1} et C_{1} en fonction des angles Â, B̂ et Ĉ. En déduire que les trois droites (AA_{1}), (BB_{1}) et (CC_{1}) sont concourantes en un point H de coordonnées barycentriques (\frac{tan Â}{s}, \frac{tan B̂}{s} , \frac{tan Ĉ}{s}) avec s = tan Â+tan B̂+tan Ĉ.

2. Étudier le cas où l’un des angles, par exemple celui en A, n’est pas aigu.

Exercice 12. Soit M un point de P. On désigne respectivement par P, Q et R les symétriques de M par rapport aux milieux des côtés [BC], [CA] et [AB]. On note G et K les centres de gravité respectifs des triangles ABC et P QR.

1. Montrer que \overrightarrow{MK} = 2\overrightarrow{MG}.

2. Montrer que les milieux des segments [AP], [BQ] et [CR] sont confondus en un point L. Montrer que L est le milieu de [GK].

Exercice 13. Soit M un point tel que les droites (AM), (BM) et (CM) rencontrent respectivement (CB), (AC) et (AB) en A′, B′ et C′. On note K le symétrique de A′ par rapport à (AB) parallèlement à (CC′) et I le point d’intersection des droites (AB) et (A′K). Soit (α, β, γ) les coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A, B, C).

1. Exprimer les coordonnées barycentriques de A′, B′ et C′ puis celles de I et de K.

2. Que peut-on dire de K, C′ et B′?

Exercice 14. Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q}) et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). On définit l’aire algébrique du triangle P QR (éventuellement dégénéré) par l’égalité

Aire(P QR) = | \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | .

1. Montrer que, pour deux triangles P QR et P′Q′R′, le rapport \frac{Aire(P QR)}{Aire(P′Q′R′)} ne dépend pas du choix du repère (A, B, C).

2. Montrer que les coordonnées d’un point S dans un repère (P, Q, R) sont données par les rapports

\frac{Aire(SQR)}{Aire(P QR)}, \frac{Aire(P SR)}{Aire(P QR)}, \frac{Aire(P QS)}{Aire(P QR)}.

3. Montrer que la valeur absolue de l’aire algébrique du triangle PQR représente bien l’aire ordinaire à un facteur multiplicatif près (voir exercice 5). Déduire de ceci et de la question précèdente que les coordonnées barycentriques du centre du triangle circonscrit au triangle ABC (intersection des médiatrices) sont des multiples de (sin(2Â), sin(2B̂), sin(2Ĉ)).