Comptes rendus du cours d'algebre de la preparation au CAPES, 2007/08 ===================================================================== Cours du 18/09/07 ----------------- I. Algebre lineaire ------------------- 0. Matrices ----------- - fonction d'echelon $e_A$ associee a une matrice A de format n x p a coefficients dans un corps : a un indice de ligne i, cette fonction associe l'indice j de la premiere colonne ou se trouve un coefficient $a_{ij}$ non nul. Si la ligne est nulle on pose $e_A(i)=p+1$. - Definition d'une matrice echelonnee (par rapport aux lignes), exemples - Definition d'une matrice echelonnee reduite (par rapport aux lignes), exemples. - Theoreme : Soit B une matrice n x p. a) Par des operations elementaires sur les lignes, on peut transformer B en une matrice echelonnee (par rapport aux lignes). b) On peut meme la transformer en une matrice echelonnee reduite, qui est UNIQUE. - Notation : On note EL(B) la matrice echelonnee reduite associee a B grace a b). - Remarque : on a EL(B)=rref(B) sur la TI89 anglophone et EL(B)= GausJord(B) sur la francophone. [Je les ai encourages a se servir de leur calculatrices pour ce type d'operation.] - Remarque : rg(B)= rg(EL(B))=nombre de lignes non nulles de EL(B) B est inversible ssi EL(B) est la matrice identite. - Quelques exemples de calcul de forme echelonnee reduite. Applications a la resolution des systemes lineaires --------------------------------------------------- On cherche a resoudre un systeme Ax=b, ou A est nxp, b dans k^n donne et x dans k^p. On lui associe la matrice augmentee [A|b]. Effectuer des operations elementaires sur les equations revient a effectuer des operations elementaires sur les lignes de [A|b]. Grace au theoreme ci-dessus, on peut se ramener au cas ou [A|b] est echelonnee reduite. Alors la solution est facile : - Soit une ligne nulle de A se trouve face a un coefficient non nul de b. Alors le systeme est contradictoire - Soit face a tout coefficient non nul de b se trouve une ligne non nulle de A. Alors le systeme admet des solutions. Pour les trouver, j'ai introduit les variables liees (au meme nombre r que les lignes non nulle de A) et les variables libres (au nombre de p-r). On exprime les variables liees en fonction des variables liees ce qui donne un sous-espace affine de dimension p-r. - Plusieurs exemples - Theoreme sur les solutions de Ax=b : Soit l'ensemble des solutions est vide soit la solution generale est de la forme x = x_{part} + x_{hom}, ou x_{part} est une solution particuliere du systeme inhomogene et x_{hom} la solution generale du systeme homogene. L'espace des solutions du systeme homogene est de dimension p-rg(A). Application a la recherche d'equations d'un sous-espace donne par des generateurs - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition d'une matrice echelonnee (reduite) par rapport aux colonnes - Exemples - Theoreme sur la mise sous forme echelonnee (reduite) par des operations elementaires sur les colonnes. Notation : EC(A). - L'espace engendre par les colonnes reste inchange quand on effectue des operations elementaires sur les colonnes. Donc les colonnes de A et de EC(A) engendrent le meme sous-espace - Exemple ou j'ai montre comment utiliser cela pour determiner des equations pour un sous-espace. Remarque : Autre methode pour la determination de telles equations: on resoud Ax=y pour un y indetermine (fait dans un exemple) ou bien on applique la reduction de Gauss-Jordan a la matrice augmentee [A|I_n]. - Remarque : EC(EL(A)) = matrice qui comporte des zeros et, en haut a gauche, une matrice identite de taille r x r, ou r est le rang de A Interpretation matricielle des operations elementaires et consequences - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -- - - -- - - - - -- - - Lemme : Soit A une matrice n x p. Si B est obtenue a partir de A a) en echangeant les lignes i_1 et i_2, alors B= P(i_1, i_2) A, ou P(i_1, i_2) est ... b) en rajoutant x fois la ligne i_1 a la ligne i_2, alors B = T_{i_1, i_2}(x) A, ou ... c) en multipliant la ligne i par $a$, alors B=D_i(a) A, ou ... - Definition : Les matrices elementaires sont les matrices P(i_1, i_2), T_{i_1,i_2}(x) et D_i(a). - Remarques : 1) Elles sont inversibles et leurs inverses sont a nouveau elementaires. 2) On a un lemme analogue sur les colonnes Corollaire 1 : Soit A une matrice n x p. Il existe une matrice P inversible n x n telle que $PA = EL(A)$. Il existe une matrice inversible Q telle que AQ=EC(A). Corollaire 2 : Si A est inversible, alors A est produit de matrices elementaires. Rappel : Une partie X engendre un groupe G si tout element de G s'ecrit comme produit d'elements de X et de leurs inverses. Exemple : Les matrices elementaires engendrent le groupe GL_n(k). Corollaire 3: Soient A, B deux matrices n x p. On a equivalence entre i) Il existe une matrice inversible n x n P telle que PA = B. ii) On peut transformer A en B par un nombre fini d'operations elementaires sur les lignes. iii) EL(A)=EL(B). iv) ker(f_A)=ker(f_B) ou f_A : k^p -> k^n est l'application lineaire x \mapsto Ax. [J'ai demontre le corollaire. L'implication iv) => iii) est la moins evidente. On se ramene au cas ou A et B sont echelonnees reduites et on montre alors que deux matrices echelonnees reduites sont egales si les noyaux des applications lineaires associees sont egaux.] 0.3 La rg-equivalence --------------------- - Theoreme : Pour deux matrices nxp a coefficients dans k sont equivalents i) il existe des matrices inversibles P (nxn) et Q (pxp) telles que PAQ=B, ii) On peut transformer A en B par des operations elementaires sur les lignes et les colonnes, iii) EC(EL(A))=EC(EL(B)) iv) rg(A)=rg(B) - Definition : Si ces condiditions sont satisfaites, nous disons que A et B sont rg-equivalentes. Exemples d'applications : 1) Toute matrice carree est somme de deux matrices inversibles. [demonstration faite quand car(k)<>2] 2) Si une matrice carree nxn A n'est pas inversible, alors AB=BA=0 pour une matrice carree nxn B. [demonstration pas faite] Cours du 08/10/2007 ------------------- 1. Algebre lineaire, polynomes et fractions rationnelles - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1.1 : Supplementaires et sommes directes On travaille sur un corps k. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Lemme : Soient F_1 et F_2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors la dimension de leur somme est egale a dim(F_1)+dim(F_2) - dim(F_1 inter F_2). Remarques : La somme F_1+F_2 est l'ensemble des v_1+v_2, ou v_1 appartient a F_1 et v_2 a F_2. C'est le sous-espace vectoriel engendre par la reunion de F_1 et F_2. Attention : la reunion n'est pas, en general, un sous-espace vectoriel, comme le montre l'exemple des deux droites de coordonnees dans R^2. Remarque : Comme dim(F_1+F_2) <= dim(E), le lemme donne une MINORATION pour la dimension de l'intersection. Par exemple, dans un espace de dimension 3, deux plans se rencontrent au moins en une droite. Dans un espace de dimension 4, deux hyperplans se rencontrent au moins en un plan. Deux plans se rencontrent en 0, en une droite, ou coincident. - Definition: Deux sous-espaces F_1 et F_2 de E sont en somme directe, si leur intersection est reduite a {0}. Ils sont supplementaires s'ils sont en somme directe et leur somme est egale a E. - Remarque : Soit v_1, ... ,v_s une base de F_1 et v_{s+1}, ..., v_p une base de F_2. Alors F_1 et F_2 sont en somme directe ssi v_1, ..., v_s, ..., v_p est libre. Ils sont supplementaires ssi v_1, ..., v_s, ... ,v_p est une base de E. Lemme : Soit w_1, ..., w_p une base de E et F_1 un sous-espace de E. Alors il existe un supplementaire de F_1 engendre par une sous-famille de w_1, ..., w_p. Exemples : Tout sous-espace de R^n admet un supplementaire engendre par certains vecteurs de la base canonique. J'ai donne plusieurs exemples concrets, ou le sous-espace etait donne par des generateurs respectivement des equations. Theoreme : Soit f: E->F une application lineaire, Soit F_2 un supplementaire de ker(f). Alors l'application phi: F_2 -> Im(f) est un isomorphisme. [Demonstration directe et elementaire] Lemme: Soit E un espace vectoriel et E_1, E_2 deux sous-espaces supplementaires de E. Soit F un espace vectoriel. Alors pour tout couple d'applications lineaires f_1 : E_1-> F, f_2: E_2 -> F, il existe une unique application lineaire f telle que f(v_1+v_2)=f_1(v_1)+f_2(v_2) pour tous v_1 dans E_1 et v_2 dans E_2. Definition : On se donne deux sous-espaces supplementaires E_1, E_2 de E. La projection sur E_1 le long de E_2 est l'unique application lineaire p: E -> E telle que ... La symetrie par rapport a E_1 parallelement a E_2 est l'unique application lineaire s: E -> E telle que ... Exemple : Soit E_1 le plan d'equation x_1-x_2+x_3=0 de R^3 et E_2 la droite engendree par le vecteur w = e_1 + e_2 + e_3. a) Montrer que E_1 et E_2 sont bien supplementaires. b) Exhiber une base de E adaptee a la decomposition E=E_1+E_2. Ecrire les matrices de p et s dans cette base. c) Ecrire les matrices de p et s dans la base canonique de R^3. Exercice : Un endomorphisme est une projection ssi il est idempotent. C'est une symetrie ssi il est une involution. Exercice : Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f: E -> E un endomorphisme. a) Soit L_f : L(E) -> L(E), g -> f \circ g. Montrer que L_f est lineaire et que L_{f_1 \circ f_2} = L_{f_1} \circ L_{f_2} c) Soit p une projection de E. Montrer que L_p: L(E) -> L(E) est une projection. Decrire son noyau et son image. d) Soit s une symetrie de E. Montrer que L_s est une symetrie. Decrire les sous-espaces Ker(L_s-Id) et Ker(L_s+Id). e) Soit s une symetrie. Montrer que C_s : L(E) -> L(E), f -> s^{-1}fs est une symetrie. Decrire Ker(C_s-Id) et Ker(C_s+Id). Definition : Soient E un espace vectoriel et E_1, ... ,E_s des sous-espaces vectoriels. E est la somme directe des E_i si tout vecteur v de E s'ecrit v=v_1 + ... + v_s pour des vecteurs v_i dans E_i uniques. Lemme : C'est le cas ssi E=E_1+ ... + E_s et l'intersection de chaque E_i avec la somme des autres est reduite a {0}. Lemme : Si E est la somme directe des E_i, alors la dimension de E est la somme des dimensions des E_i et si on se donne une base dans chacun des espaces E_i, alors la reunion de ces bases est une base de E. Attention : Il ne suffit pas que les E_i aientt une intersection nulle deux a deux. Exemple : E=R^2, E_1=Re_1, E_2=Re_2, E_3=R(e_1+e_2). Lemme : Soit E la somme direct des E_i et F un espace vectoriel. Alors les applications lineaires de E dans F sont en bijection lineaire avec les s-uplets d'applications lineaires de E_i dans F. Les applications lineaires de F dans E sont en bijection avec les s-uplets d'applications lineaires de F dans E_i. Cours du 16/10/2007 ------------------ 1.2 Trace, determinant et polynome characteristique - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition de la trace d'une matrice carree : tr(A). Lemme : - tr(AB)=tr(BA). Corollaire tr(S^{-1} A S) = tr(A). Definition de la - trace d'un endomorphisme Attention : la "trace" d'une application lineaire entre deux espaces vectoriels differents n'est pas definie, meme quand ils sont de meme dimension. - Exemples : traces d'une projection, d'une symetrie, de l'identite. Exercice (caracterisation de la trace par ses valeurs sur les endomorphismes de rang 1). Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. a) Montrer que si f est de rang 1 et f^2<>0, alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est egale a diag(x,0,0, ...,0) pour un scalaire x. b) Montrer que si f est de rang 1 et f^2=0, alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est la matrice E_{12}. c) Montrer que si f est de rang 1, alors f^2=tr(f) f. d) Soit phi: L(E) -> k une application lineaire telle que f^2 = phi(f) f pour tout endomorphisme de rang 1. Montrer que phi=tr. - Definition du determinant d'une matrice nxn par la formule de sommation sur le groupe symetrique. - Rappels sur le groupe symetrique : ecriture des transpositions, des cycles, decomposition d'un element en produit de cycles a supports disjoints, signature - Exemple des matrices 2x2 et 3x3 - Multiplicativite du determinant, determinant de matrices triangulaires par blocs. - Determinants des matrices elementaires, comportement du determinant par operations elementaires sur les lignes. - Developpement du determinant par rapport a une colonne - det(A)=det(transpose(A)) - det(S^{-1}AS)=det(A) - determinant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie Exercice : Soit E un espace vectoriel de dimension finie. a) Montrer que det(Id+f)=1+tr(f) pour tout endomorphisme de rang 1. b) Montrer que si $\Delta: L(E) \to k$ est une application telle que $\Delta(fg)=\Delta(f)\Delta(g)$ pour tous $f,g$, et $\Delta(Id+f)=1+tr(f)$, alors $\Delta=det$. Exemples : determinants d'une symetrie, d'une projection, d'un endomorphisme trigonalisable. - Definition du polynome caracteristique $\chi_A(X)=(-1)^n det(A -X I_n)$ d'une matrice, puis d'un endomorphisme. Exemples : matrice 2x2, projections, symetries, matrice 3x3 - Definition de l'evaluation d'un polynome en une matrice/un endomorphisme - Theoreme de Cayley-Hamilton Exemple d'application: Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2 et que tr(f)=0, alors f^2 est une homothetie. Polynomes --------- - rappels sur les polynomes : degre (le degre du polynome nul n'est pas defini), coefficient dominant, polynome unitaire, A divisible par B, B multiple de A, distinction entre un polynome et la fonction polynomiale qui lui est associee. - Division euclidienne des polynomes. Application: A est divisible par X-a ssi A(a)=0. Cours du 12/11/2007 ------------------- Lemme: Un polynome nul ou de degre <=n s'annule s'il s'annule en au moins n+1 points distincts deux a deux. Corollaire: L'application qui, a un polynome, associe la fonction polynomiale correspondante est lineaire et est injective si le corps de base est R ou C (ou, plus generalement, infini). - Definition des ideaux, de l'ideal principal (A) engendre par A. Exercices : Tout ideal principal non nul admet un unique generateur unitaire. - Theoreme : Tout ideal est principal. Esquisse de demonstration qui montre que le generateur d'un ideal non nul est le polynome unitaire de degre minimal contenu dans l'ideal. - Definition du PGCD et du PPCM de deux polynomes non nuls comme generateurs unitaires des ideaux somme et intersection. - Theoreme de Bezout (pour deux polynomes premiers entre eux). - Definition de l'ideal annulateur Ann(f) d'un endomorphisme f d'un espace vectoriel de dimension finie. Definition du polynome minimal $\mu_f(X)$. Definition du polynome minimal $\mu_A(X)$ d'une matrice $A$. - Remarque : l'ideal Ann(f) contient toujours le polynome caracteristique, donc il est bien non nul. - Exemples de calcul du polynome minimal : matrices diagonales, matrice [1 x \\ 0 1] ou x est un parametre. Exercice : Un endomorphisme f est une projection differente de 0 et Id ssi son polynome minimal est X^2-X. Il est une symetrie differente de Id et -Id ssi son polynome minimal est X^2-1. Exercice : Le polynome minimal d'une matrice compagnon $C_P$ est P (j'ai presque donne la solution). - Theoreme des noyaux : Si un endomorphisme f de E est annule par un polynome P produit de deux polynomes R et S premiers entre eux, alors a) E est la somme directe de Ker(R(f)) et Ker(S(f)). b) si on a l'identite de Bezout UR+VS=1, alors $(UR)(f)$ est la projection sur Ker(S(f)) le long de Ker(R(f)) et VS(f) est la projection sur Ker(R(f)) le long de Ker(S(f)). - Exemples: Projections et symetries. Application lineaire f telle que f^3=Id. - Rappel du theoreme des noyaux. - Rappel sur les polynomes irreductibles : definition, polynomes de petits degres, theoreme de d'Alembert-Gauss, polynomes irreductibles sur C et sur R, factorisation d'un polynome en facteurs irreductibles (existence et unicite), calcul du PGCD et du PPCM de polynomes factorises, multiplicite d'une racine d'un polynome 1.3 Endomorphismes diagonalisables - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Soit f: E -> E un endomorphisme. On note E_\lambda le noyau de f-\lambda Id. Si cet espace est non nul, on dit que \lambda est valeur propre de f et on appelle vecteurs propres les vecteurs non nuls de E_\lambda. On dit que f est diagonalisable si E admet une base formee de vecteurs propres de f. - Remarque : \lambda est valeur propre ssi f-\lambda Id est non inversible ssi \lambda est racine du polynome caracteristique. - Theoreme: Soit f un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. On a equivalence entre i) f est diagonalisable. ii) le polynome caracteristique de f est scinde et pour chacune de ses racines, la multiplicite de la racine est egale a la dimension de l'espace propre correspondant. iii) f est annule par un polynome scinde a racines simples. Cours du 20/11/2007 ------------------ - Remarque : La dimension de l'espace propre est toujours >=1 et toujours inferieure ou egale a la multiplicite de la racine. - Remarque : Si \lambda_1, ... , \lambda_s sont des valeurs propres distinctes deux a deux, alors les espaces propres correspondants sont en somme directe. Cela resulte du theoreme des noyaux. - Corollaire : Si f: E -> E est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension n et que f admet n valeurs propres distinctes deux a deux, alors f est diagonalisable. - Obstructions a la diagonalisabilite : - polynome caracteristique non scinde, - espace propre de dimension trop petite. Exemples dans les matrices 2x2 - Lemme : Soit P(X) un polynome a coefficients complexes. Alors toutes les racines de P(X) sont simples ssi PGCD(P(X), P'(X))=1. - Exemple : Si c est un nombre complexe non nul, alors X^n-c est a racines simples. - Exemple d'application: Si f est un endomorphisme inversible d'un espace vectoriel complexe et que f^3 est diagonalisable, alors f est diagonalisable. 1.4 Trigonalisation des endomorphismes -------------------------------------- - Definition : Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle la matrice de f est triangulaire superieure. - Theoreme : f est triagonalisable ssi $\chi_f(X)$ est scinde sur k. [J'ai fait la demonstration.] - Definition : Soit $f$ un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Soit \lambda une valeur propre de f est m sa multiplicite algebrique. L'espace caracteristique associe a \lambda est le noyau de (f-\lambda Id)^m. - Theoreme : Supposons que le polynome caracteristique de f se scinde sur k. a) E est la somme des espaces caracteristiques de f. b) Soient lamba_1, ..., \lambda_s les valeurs propres distinctes de f. Il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, ou chaque bloc est triangulaire superieur et les coefficients diagonaux du i-ieme bloc sont tous egaux a \lambda_i. Def : Un endomorphisme f: E -> E est nilpotent si l'on a f^N=0 pour un N assez grand. Remarque : f est nilpotent ssi toutes les valeurs propres de f sont nulles ssi le polynome caracteristique de f est X^n ssi on a f^n=0, ou n est la dimension de E. Lemme : Soient f,g deux endomorphismes de E qui COMMUTENT. a) Si f et g sont nilpotents, alors f+g est nilpotent. b) Si f et g sont diagonalisables, alors il existe une base dans laquelle les matrices de f et de g sont simultanement diagonales. En particulier, f+g est encore diagonalisable. Exemples de matrices 2x2 qui montrent que a) et b) sont faux si on ne suppose pas que f et g commutent. Theoreme (decomposition de Dunford): Soit f un endomorphisme dont le polynome caracteristique est scinde sur k. Alors il existe des endomorphismes f_d et f_n uniques tels que 1) f=f_d + f_n 2) f_d est diagonalisable et f_n nilpotente 3) f_d et f_n commutent. Exemples : Si f est diagonalisable, f_d=f et f_n=0. Exemple 2x2. Si f est nilpotente, f_d=0 et f_n=0. Exemple ou f n'est ni nilpotente ni diagonalisable. Cours du 17/12/2007 =================== 1.5 Espaces hermitiens - - - - - - - - - - - Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie. Definition : Une forme sesquilineaire sur E est une application b: E x E -> C telle que f(xu+yv,w) = \ol{x}b(u,w) + \ol{y} b(v,w) f(u, xv + yw) = x b(u,v) + y b(u,w) pour tous u,v,w dans E et x,y dans C. Exemple : la forme sesquilineaire standard sur C^n. Definition : Une forme hermitienne sur E est une forme sesquilineaire b telle que b(u,v) = \ol{b(v,u)} pour tous u,v dans E. Remarque : Alors le nombre b(u,u) est reel pour tous u dans E. Definition : Une forme hermitienne est definie positive si b(u,u)>0 pour tout vecteur non nul u de E. Un espace hermitien est un espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'une forme hermitienne definie positive. Exemple : C^n muni de la forme hermitienne standard. On fixe une forme hermitienne definie positive notee <,> sur E. Lemme : Soit F un sous-espace de E. L'orthogonal de F est le sous-espace G de E forme des vecteurs v tels que =0 pour tous u de F. C'est un sous-espace vectoriel et E est la somme directe de F et de G. Definition : Une base orthonormee de E est une base (e_i) telle que =\delta_{ij}. Lemme : E admet une base orthonormee. Definition : Soit f un endomorphisme de E. L'adjoint de f est l'unique endomorphisme f^* tel que l'on a = pour tous u,v de E. Lemme : Soit f un endomorphisme et f^* son adjoint. Soit A la matrice de f dans une base orthonormee (e_i). Alors la matrice de f^* dans cette base est la transposee conjuguee A^* appelee egalement l'adjointe. Definition : Un endomorphisme f est hermitien si on a f=f^*. Il est unitaire si l'on a f f^* = Id_E. Une matrice carree complexe A est hermitienne si l'on a A=A^*. Elle est unitaire si l'on a A A^* = I_n. Exemple : Les matrices hermitiennes 2x2 forment un espace vectoriel REEL de dimension 4. Il existe une infinite de matrice unitaires 2x2 qui sont diagonales. Remarque : Une matrice reelle est hermitienne (resp. unitaire) ssi elle est symetrique (resp. orthogonale). Theoreme : Soit f: E -> E un endomorphisme. a) Si f est hermitien, les valeurs propres de f sont reelles et f est diagonalisable dans une base orthonormee. b) Si f est unitaire, les valeurs propres de f sont complexes de module 1 et f est diagonalisable dans une base orthonormee. Lemme : Si f est un endomorphisme hermitien ou unitaire d'un espace hermitien, les espaces propres associes a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. Exercice : Diagonalisation de la matrice associee a la permutation cyclique des n vecteurs de la base canonique de C^n. [Solution detaillee donnee.]