Comptes rendus du cours d'algebre et geometrie, M1 enseignement, 2010/2011 ========================================================================== Cours du 20/09/10 ----------------- I. Algebre lineaire ------------------- 0. Matrices ----------- - fonction d'echelon $e_A$ associee a une matrice A de format n x p a coefficients dans un corps : a un indice de ligne i, cette fonction associe l'indice j de la premiere colonne ou se trouve un coefficient $a_{ij}$ non nul. Si la ligne est nulle on pose $e_A(i)=p+1$. - Definition d'une matrice echelonnee (par rapport aux lignes), exemples - Definition d'une matrice echelonnee reduite (par rapport aux lignes), exemples. - Theoreme : Soit B une matrice n x p. a) Par des operations elementaires sur les lignes, on peut transformer B en une matrice echelonnee (par rapport aux lignes). b) On peut meme la transformer en une matrice echelonnee reduite, qui est UNIQUE. - Notation : On note EL(B) la matrice echelonnee reduite associee a B grace a b).Symetries : definition geometrique de la symetrie $s: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ par rapport a un sous-espace affine $\mathcal{F}$ parallelement a une direction $G$ supplementaire de $F$. - Exercice : On obtient bien une application affine, dont la partie lineaire est la symetrie lineaire par rapport a $F$ parallelement a $G$. - Exercice : a) L'ensemble des points fixes de $s$ est $\mathcal{E}$ (en particulier, $s$ admet un point fixe) et la partie lineaire de $s$ est la symetrie lineaire. b) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi sa partie lineaire est une symetrie lineaire et qu'elle admet un point fixe. c) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi elle verifie $s^2=Id$. Translations : translation $t_v$ associee a un vecteur $v\in E$. - Lemme : Une application affine est une translation ssi sa partie lineaire est l'identite. Remarques : 1) Si $v\neq 0$, alors la partie lineaire de $t_v$ est une projection lineaire, mais $t_v$ n'est pas une projection affine. 2) Soit $s$ une symetrie affine par rapport a un sous-espace de dimension >=1 et soit v un vecteur non nul dans la direction de ce sous-espace. Alors $t_v \circ s$ est une application affine sans point fixe (Exercice!) dont la partie lineaire est une symetrie lineaire. Homotheties - Theoreme : Soit f une application affine dont la partie lineaire n'admet pas la valeur propre 1. Alors f admet un unique point fixe. - Definition de l'homothetie de centre $C$ et de rapport $\lambda \not\in \{0,1\}$. Remarques : 1) Une homothetie admet un unique point fixe : son centre. 2) Une application affine est une homothetie de rapport $\lambda$ different de 0 et 1 ssi sa partie lineaire est une homothetie lineaire de rapport different de 0 et 1. 2) La composee d'une homothetie et d'une translation est une homothetie. 3) C, P et h(P) sont toujours alignes. Exercice : Soit f :\mathcal{E} -> \mathcal{E} est une application affine non constante et differente de l'identite. Supposons qu'il existe un point C tel que C, P et f(P) sont alignes pour tout point P de E. Alors f est une homothetie de centre C. Indication : Montrer que tout vecteur (non nul) est vecteur propre de la partie lineaire de f. En deduire que c'est une homothetie lineaire. 4) L'image d'une droite par h est une droite parallele. Exercice : Montrer que si f: \mathcal{E} -> \mathcal{E} est une application affine telle que l'image de toute droite D est une droite parallele a D, alors f est une homothetie ou une translation. - Lemme : La composee de deux homotheties de rapports r_1 et r_2 est une translation si r_1 r_2=1, une homothetie si r_1 r_2 <>1. Dans ce cas, les centres de h_1, h_2 et h_1 h_2 sont alignes. - Definition du groupe des homotheties-translations. Applications affines et reperes - - - - - - - - - - - - - - - - - Theoreme : Soit $\mathcal{E}$ un espace affine muni d'un repere affine P_0, ..., P_d. Soit $\mathcal{F}$ un espace affine et soient Q_0, ..., Q_d des points de $\mathcal{F}$. Alors il existe une application affine $f: \matcal{E} \to \mathcal{F}$ et une seule qui envoie P_i sur Q_i pour tout i. [Demonstration faite]. Exemples : 1) L'application affine qui echange deux points donnes $P\neq Q$ sur une droite affine est la symetrie par rapport au milieu de $P$ et $Q$. 2) Dans un plan affine, on se donne un triangle $P_0, P_1, P_2$. L'application affine $f$ qui envoie $P_0$ sur $P_0$, $P_1$ sur $P_1$ et $P_2$ sur $P_2 - \vec{P_0 P_2}$ est la symetrie affine par rapport a la droite $(P_0, P_1)$ parallement a la direction de la droite $(P_0, P_2)$. - Theoreme : Soient $\mathcal{E}$ et $mathcal{F}$ des espaces affines, $(P_0, v_1, \ldots, v_p)$ un repere cartesien de $\mathcal{E}$ et $(Q_0, w_1, \ldots, w_n)$ un repere cartesien de $\mathcal{F}$. Pour toute application affine $f$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$ par une application affine $f$. On choisit le repere $(P, \vec{PQ}, \vec{PR})$. a) Exprimer $f$ en coordonnees. b) Determiner l'ensemble des points fixes de $f$ (on trouve une droite). c) Montrer que $f$ est une symetrie affine (il suffit de montrer que sa partie lineaire a pour carre l'identite car on sait deja que f admet des points fixes). d) Determiner le sous-espace affine $\mathcal{F}$ et la direction $G$ tels que $f$ soit la symetrie par rapport a $\mathcal{F}$ parallelement a $G$. 2.5 Le groupe affine - - - - - - - - - - - Lemme : Une application affine est injective/surjective/bijective ssi sa partie lineaire l'est. - Definition du groupe affine $GA(\mathcal{E})$ - Remarques : 1) application affine bijective = transformation affine 2) On a un homomorphisme surjective $GA(\mathcal{E}) \to GL(E)$. Son noyau est le sous-groupe des translations, qui est donc distingue (rappel de la notion de sous-groupe distingue). Lemme : Pour une transformation affine f est un vecteur v, on a f t_v f^{-1} = f_{\vec{f} v}. - Remarque : on a EL(B)=rref(B) sur la TI89 anglophone et EL(B)= GausJord(B) sur la francophone. - Remarque : rg(B)= rg(EL(B))=nombre de lignes non nulles de EL(B) B est inversible ssi EL(B) est la matrice identite. - Quelques exemples de calcul de forme echelonnee reduite. Applications a la resolution des systemes lineaires --------------------------------------------------- On cherche a resoudre un systeme Ax=b, ou A est nxp, b dans k^n donne et x dans k^p. On lui associe la matrice augmentee [A|b]. Effectuer des operations elementaires sur les equations revient a effectuer des operations elementaires sur les lignes de [A|b]. Grace au theoreme ci-dessus, on peut se ramener au cas ou [A|b] est echelonnee reduite. Alors la solution est facile : - Soit une ligne nulle de A se trouve face a un coefficient non nul de b. Alors le systeme est contradictoire. - Soit face a tout coefficient non nul de b se trouve une ligne non nulle de A. Alors le systeme admet des solutions. Pour les trouver, j'ai introduit les variables liees (au meme nombre r que les lignes non nulles de A) et les variables libres (au nombre de p-r). On exprime les variables liees en fonction des variables liees ce qui donne pour espace des solutions un sous-espace affine de dimension p-r de k^p. - Plusieurs exemples - Theoreme sur les solutions de Ax=b : Soit l'ensemble des solutions est vide soit la solution generale est de la forme x = x_{part} + x_{hom}, ou x_{part} est une solution particuliere du systeme inhomogene et x_{hom} la solution generale du systeme homogene. L'espace des solutions du systeme homogene est de dimension p-rg(A). Application a la recherche d'equations d'un sous-espace donne par des generateurs - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition d'une matrice echelonnee (reduite) par rapport aux colonnes - Exemples - Theoreme sur la mise sous forme echelonnee (reduite) par des operations elementaires sur les colonnes. Notation : EC(A). - L'espace engendre par les colonnes reste inchange quand on effectue des operations elementaires sur les colonnes. Donc les colonnes de A et de EC(A) engendrent le meme sous-espace. - Exemple ou j'ai montre comment utiliser cela pour determiner des equations pour un sous-espace. Remarque : Autre methode pour la determination de telles equations: on resoud Ax=y pour un y indetermine (fait dans un exemple) ou bien on applique la reduction de Gauss-Jordan a la matrice augmentee [A|I_n]. - Remarque : EC(EL(A)) = matrice qui comporte des zeros et, en haut a gauche, une matrice identite de taille r x r, ou r est le rang de A Interpretation matricielle des operations elementaires et consequences - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - -- - - -- - - - - -- - - Lemme : Soit A une matrice n x p. Si B est obtenue a partir de A a) en echangeant les lignes i_1 et i_2, alors B= P(i_1, i_2) A, ou P(i_1, i_2) est ... b) en rajoutant x fois la ligne i_1 a la ligne i_2, alors B = T_{i_1, i_2}(x) A, ou ... c) en multipliant la ligne i par $a$, alors B=D_i(a) A, ou ... Cours du 27/09/2010 =================== - Definition : Les matrices elementaires sont les matrices P(i_1, i_2), T_{i_1,i_2}(x) et D_i(a). - Remarques : 1) Elles sont inversibles et leurs inverses sont a nouveau elementaires. 2) On a un lemme analogue sur les colonnes Corollaire 1 : Soit A une matrice n x p. Il existe une matrice P inversible n x n telle que $PA = EL(A)$. Il existe une matrice inversible Q telle que AQ=EC(A). Corollaire 2 : Si A est inversible, alors A est produit de matrices elementaires. Rappel : Une partie X engendre un groupe G si tout element de G s'ecrit comme produit d'elements de X et de leurs inverses. Exemple : Les matrices elementaires engendrent le groupe GL_n(k). Exercice : a) Montrer que la matrice de lignes (0,-1) et (1,0) est produit de matrices de la forme T_{i_1,i_2}(x). Deduire que la matrice de lignes (0,1) et (1,0) est produit de matrices de la forme T_{i_1,i_2}(x) et D_i(a). b) Montrer que les matrices elementaires autres que les P(i_1,i_2) engendrent Gl_n(k). Exercice difficile : Montrer que le groupe SL_2(Z) est engendre par les matrices [1 1, 0 1] et [1 0, 1 1]. Exercice : Soit A une matrice inversible nxn. Montrer qu'on a equivalence entre (i) A=LU, ou L est triangulaire inferieure avec des 1 sur la diagonale et U triangulaire superieure avec des coefficients diagonaux non nuls. (ii) Toutes les matrices extraites (a_{ij}), 1<=i<=p, 1<=j<=p, sont inversibles. Montrer que L et U sont uniques si elles existent. Remarque : Plus generalement, on peut montrer que pour toute matrice inversible A, il existe une matrice de permutation P et des matrices L,U comme dans (i) telles que PA=LU. Corollaire 3: Soient A, B deux matrices n x p. On a equivalence entre i) Il existe une matrice inversible n x n P telle que PA = B. ii) On peut transformer A en B par un nombre fini d'operations elementaires sur les lignes. iii) EL(A)=EL(B). iv) ker(f_A)=ker(f_B) ou f_A : k^p -> k^n est l'application lineaire x \mapsto Ax. [J'ai demontre le corollaire. L'implication iv) => iii) est la moins evidente. On se ramene au cas ou A et B sont echelonnees reduites et on montre alors que deux matrices echelonnees reduites sont egales si les noyaux des applications lineaires associees sont egaux.] Rque : On va redemontrer maintenant l'equivalence entre i) et iv) par un raisonnement d'algebre lineaire. Lemme : Soient V un espace vectoriel de dimension finie et W un espace vectoriel. Soit f: V -> W une application lineaire. Soit v_1, ..., v_s, v_{s+1}, ..., v_p une base de V telle que v_1, ..., v_s est une base du noyau de f. Alors f(v_{s+1}), ... , f(v_p) est une base de l'image de f. [J'ai demontre le lemme en utilisant le theoreme de la base incomplete mais sans utiliser le theoreme du rang (qui est une consequence du lemme)]. Theoreme: Soient f:E->F et g:E->F deux applications lineaires entre espaces vectoriels de dimension finie. Alors ker(f)=ker(g) ssi il existe une application lineaire inversible h:F->F telle que hf=g. [Demontre grace au lemme.] - Theoreme : Pour deux matrices nxp a coefficients dans k sont equivalents i) il existe des matrices inversibles P (nxn) et Q (pxp) telles que PAQ=B, ii) On peut transformer A en B par des operations elementaires sur les lignes et les colonnes, iii) EC(EL(A))=EC(EL(B)) iv) rg(A)=rg(B) - Definition : Si ces condiditions sont satisfaites, nous disons que A et B sont rg-equivalentes. Cours du 30/09/2010 =================== Exemples d'applications [demonstrations faites] : 1) Toute matrice carree est somme de deux matrices inversibles. 2) Si une matrice carree nxn A n'est pas inversible, alors AB=BA=0 pour une matrice carree nxn B. Le rang maximal d'une telle matrice est n-rg(A) et il est atteint. 3) GL_n(k) est dense dans M_n(R). Lemme : Soit f: E -> F une application lineaire entre espaces vectoriels de dimension finie. Alors il existe une base de E et une base de F dans lesquelles la matrice de f est diagonale par blocs, avec des blocs nuls sauf en haut a gauche ou l'on a une matrice identite de taille rg(f). 1. Algebre lineaire 1.1 : Supplementaires et sommes directes On travaille sur un corps k. Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Lemme : Soient F_1 et F_2 deux sous-espaces vectoriels de E. Alors la dimension de leur somme est egale a dim(F_1)+dim(F_2) - dim(F_1 inter F_2). Remarques : La somme F_1+F_2 est l'ensemble des v_1+v_2, ou v_1 appartient a F_1 et v_2 a F_2. C'est le sous-espace vectoriel engendre par la reunion de F_1 et F_2. Attention : la reunion n'est pas, en general, un sous-espace vectoriel, comme le montre l'exemple des deux droites de coordonnees dans R^2. Remarque : Comme dim(F_1+F_2) <= dim(E), le lemme donne une MINORATION pour la dimension de l'intersection. Par exemple, dans un espace de dimension 3, deux plans se rencontrent au moins en une droite. Dans un espace de dimension 4, deux hyperplans se rencontrent au moins en un plan. Deux plans se rencontrent en 0, en une droite, ou coincident. - Definition: Deux sous-espaces F_1 et F_2 de E sont en somme directe, si leur intersection est reduite a {0}. Ils sont supplementaires s'ils sont en somme directe et leur somme est egale a E. - Remarque : Soit v_1, ... ,v_s une base de F_1 et v_{s+1}, ..., v_p une base de F_2. Alors F_1 et F_2 sont en somme directe ssi v_1, ..., v_s, ..., v_p est libre. Ils sont supplementaires ssi v_1, ..., v_s, ... ,v_p est une base de E. Lemme : Soit w_1, ..., w_p une base de E et F_1 un sous-espace de E. Alors il existe un supplementaire de F_1 engendre par une sous-famille de w_1, ..., w_p. Exemples : Tout sous-espace de R^n admet un supplementaire engendre par certains vecteurs de la base canonique. J'ai donne plusieurs exemples concrets, ou le sous-espace etait donne par des generateurs respectivement des equations. Theoreme : Soit f: E->F une application lineaire, ou E est de dimension finie. Soit F_2 un supplementaire de ker(f). Alors l'application phi: F_2 -> Im(f) est un isomorphisme. Exemple : E=F=espace des polynomes de degre <=n, f=derivation. Lemme: Soit E un espace vectoriel et E_1, E_2 deux sous-espaces supplementaires de E. Soit F un espace vectoriel. Alors pour tout couple d'applications lineaires f_1 : E_1-> F, f_2: E_2 -> F, il existe une unique application lineaire f telle que f(v_1+v_2)=f_1(v_1)+f_2(v_2) pour tous v_1 dans E_1 et v_2 dans E_2. Cours du 04/10/2010 =================== Definition : On se donne deux sous-espaces supplementaires E_1, E_2 de E. La projection sur E_1 le long de E_2 est l'unique application lineaire p: E -> E telle que ... La symetrie par rapport a E_1 parallelement a E_2 est l'unique application lineaire s: E -> E telle que ... Exemple : Soit E_1 le plan d'equation x_1-x_2+x_3=0 de R^3 et E_2 la droite engendree par le vecteur w = e_1 + e_2 + e_3. a) Montrer que E_1 et E_2 sont bien supplementaires. b) Exhiber une base de E adaptee a la decomposition E=E_1+E_2. Ecrire les matrices de p et s dans cette base. c) Ecrire les matrices de p et s dans la base canonique de R^3. Exercice : Un endomorphisme est une projection ssi il est idempotent. C'est une symetrie ssi il est une involution. Exercice : Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f: E -> E un endomorphisme. a) Soit L_f : L(E) -> L(E), g -> f \circ g. Montrer que L_f est lineaire et que L_{f_1 \circ f_2} = L_{f_1} \circ L_{f_2} c) Soit p une projection de E. Montrer que L_p: L(E) -> L(E) est une projection. Decrire son noyau et son image. d) Soit s une symetrie de E. Montrer que L_s est une symetrie. Decrire les sous-espaces Ker(L_s-Id) et Ker(L_s+Id). e) Soit s une symetrie. Montrer que C_s : L(E) -> L(E), f -> s^{-1}fs est une symetrie. Decrire Ker(C_s-Id) et Ker(C_s+Id). Definition : Soient E un espace vectoriel et E_1, ... ,E_s des sous-espaces vectoriels. E est la somme directe des E_i si tout vecteur v de E s'ecrit v=v_1 + ... + v_s pour des vecteurs v_i dans E_i uniques. Lemme : C'est le cas ssi E=E_1+ ... + E_s et l'intersection de chaque E_i avec la somme des autres est reduite a {0}. Lemme : Si E est la somme directe des E_i, alors la dimension de E est la somme des dimensions des E_i et si on se donne une base dans chacun des espaces E_i, alors la reunion de ces bases est une base de E. Attention : Il ne suffit pas que les E_i aientt une intersection nulle deux a deux. Exemple : E=R^2, E_1=Re_1, E_2=Re_2, E_3=R(e_1+e_2). Lemme : Soit E la somme direct des E_i et F un espace vectoriel. Alors les applications lineaires de E dans F sont en bijection lineaire avec les s-uplets d'applications lineaires de E_i dans F. Les applications lineaires de F dans E sont en bijection avec les s-uplets d'applications lineaires de F dans E_i. Cours du 16/10/2007 ------------------ Definition : On se donne deux sous-espaces supplementaires E_1, E_2 de E. La projection sur E_1 le long de E_2 est l'unique application lineaire p: E -> E telle que ... La symetrie par rapport a E_1 parallelement a E_2 est l'unique application lineaire s: E -> E telle que ... Exemple : Soit E_1 le plan d'equation x_1-x_2+x_3=0 de R^3 et E_2 la droite engendree par le vecteur w = e_1 + e_2 + e_3. a) Montrer que E_1 et E_2 sont bien supplementaires. b) Exhiber une base de E adaptee a la decomposition E=E_1+E_2. Ecrire les matrices de p et s dans cette base. c) Ecrire les matrices de p et s dans la base canonique de R^3. Exercice : Un endomorphisme est une projection ssi il est idempotent. C'est une symetrie ssi il est une involution. Exercice : Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f: E -> E un endomorphisme. a) Soit L_f : L(E) -> L(E), g -> f \circ g. Montrer que L_f est lineaire et que L_{f_1 \circ f_2} = L_{f_1} \circ L_{f_2} c) Soit p une projection de E. Montrer que L_p: L(E) -> L(E) est une projection. Decrire son noyau et son image. d) Soit s une symetrie de E. Montrer que L_s est une symetrie. Decrire les sous-espaces Ker(L_s-Id) et Ker(L_s+Id). e) Soit s une symetrie. Montrer que C_s : L(E) -> L(E), f -> s^{-1}fs est une symetrie. Decrire Ker(C_s-Id) et Ker(C_s+Id). Definition : Soient E un espace vectoriel et E_1, ... ,E_s des sous-espaces vectoriels. E est la somme directe des E_i si tout vecteur v de E s'ecrit v=v_1 + ... + v_s pour des vecteurs v_i dans E_i uniques. Lemme : C'est le cas ssi E=E_1+ ... + E_s et l'intersection de chaque E_i avec la somme des autres est reduite a {0}. Lemme : Si E est la somme directe des E_i, alors la dimension de E est la somme des dimensions des E_i et si on se donne une base dans chacun des espaces E_i, alors la reunion de ces bases est une base de E. Attention : Il ne suffit pas que les E_i aientt une intersection nulle deux a deux. Exemple : E=R^2, E_1=Re_1, E_2=Re_2, E_3=R(e_1+e_2). Lemme : Soit E la somme direct des E_i et F un espace vectoriel. Alors les applications lineaires de E dans F sont en bijection lineaire avec les s-uplets d'applications lineaires de E_i dans F. Les applications lineaires de F dans E sont en bijection avec les s-uplets d'applications lineaires de F dans E_i. 1.2 Trace, determinant et polynome characteristique - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition de la trace d'une matrice carree : tr(A) Lemme : tr(AB)=tr(BA). Cours du 11/10/2010 =================== Corollaire tr(S^{-1} A S) = tr(A). Definition de la - trace d'un endomorphisme Attention : la "trace" d'une application lineaire entre deux espaces vectoriels differents n'est pas definie, meme quand ils sont de meme dimension. - Exemples : traces d'une projection, d'une symetrie, de l'identite. Exercice (caracterisation de la trace par ses valeurs sur les endomorphismes de rang 1). Soit E un espace vectoriel et f un endomorphisme de E. a) Montrer que si f est de rang 1 et f^2<>0, alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est egale a diag(x,0,0, ...,0) pour un scalaire x. b) Montrer que si f est de rang 1 et f^2=0, alors il existe une base de E dans laquelle la matrice de f est la matrice E_{12}. c) Montrer que si f est de rang 1, alors f^2=tr(f) f. d) Soit phi: L(E) -> k une application lineaire telle que f^2 = phi(f) f pour tout endomorphisme de rang 1. Montrer que phi=tr. - Definition du determinant d'une matrice nxn par la formule de sommation sur le groupe symetrique. - Exemple des matrices 2x2 et 3x3 - Multiplicativite du determinant, determinant de matrices triangulaires par blocs. - Determinants des matrices elementaires, comportement du determinant par operations elementaires sur les lignes. - Developpement du determinant par rapport a une colonne - det(A)=det(transpose(A)) - det(S^{-1}AS)=det(A) - determinant d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie Exercice : Soit E un espace vectoriel de dimension finie. a) Montrer que det(Id+f)=1+tr(f) pour tout endomorphisme de rang 1. b) Montrer que si $\Delta: L(E) \to k$ est une application telle que $\Delta(fg)=\Delta(f)\Delta(g)$ pour tous $f,g$, et $\Delta(Id+f)=1+tr(f)$, alors $\Delta=det$. Exemples : determinants d'une symetrie, d'une projection, d'un endomorphisme trigonalisable. - Definition du polynome caracteristique $\chi_A(X)=(-1)^n det(A -X I_n)$ d'une matrice, puis d'un endomorphisme. Exemples : matrice 2x2, projections, symetries Exercice : Montrer que le polynome caracteristique de la matrice compagnon $C_P$ est P. - Theoreme : $\chi_A(X) = X^n - tr(A) X^{n-1} + ... + (-1)^n det(A)$. - Definition de l'evaluation d'un polynome en une matrice/un endomorphisme - Theoreme de Cayley-Hamilton Exemple d'application: Si f est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension 2 et que tr(f)=0, alors f^2 est une homothetie. 2. Geometrie affine - - - - - - - - - - 2.1 Espaces affines - - - - - - - - - - - Definition d'un espace affine. Notations comme chez Liret-Martinais: $(\mathcal{E}, E, \alpha)$. - Exemples : R^2, l'espace affine associe a un espace vectoriel, le plan x+y+z=1 dans R^3. Remarques : 0) Les espaces affines n'ont pas de point privilegie (pas "d'origine") ! 1) abus de langage courants 2) Notation $\vec{PQ}. 3) Regle de Chasles - Definition : Un point massique d'un espace affine est un couple $(P,\lambda)$, ou $P$ est un point et $\lambda$ un reel. - Lemme : On se donne r points massiques $(P_i, \lambda_i)$ tels que la somme des $\lambda_i$ soit non nulle. a) Il existe un unique point G tel que $\sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{G P_i} =0$. b) Pour tout point $P$, on a $\vec{PG} = \frac{1}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_r} \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P P_i}$. - Definition : On appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$ le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu .... - Remarque : Le milieu est une "notion affine", i.e. ne fait intervenir que des points et des vecteurs et non pas des "longeurs". - Lemme (associativite des barycentres) [Demonstration laissee en exercice] 2.2 Sous-espaces affines - - - - - - - - - - - - - On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E. - Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E}, on a equivalence entre (i) \mathcal{F} = P + F pour un sous-espace vectoriel F de E (ii) \mathcal{F} est stable par formation de barycentres - Definition d'un sous-espace affine par les proprietes (i) et (ii) du lemme. Definition de sa direction, de sa dimension. - Remarques : 1) Tout sous-espace affine est un espace affine. 2) Les sous-espaces affines de R^n sont exactement les ensembles non vides de solutions de systemes d'equations inhomogenes a n variables. - Quelques exemples de sous-espaces affines de R^2, R^3 et R^4 donnes par des systemes d'equations inhomogenes. - Definition du segment [PQ] entre deux points, de la droite (PQ) passant par deux points distincts, de l'alignement, du vecteur directeur d'une droite, d'un repere cartesien d'une droite, de la mesure algebrique \overline{AB} associee a deux points A,B d'une droite reperee. - Lemme : Le rapport de deux mesures algebriques est independant du choix du repere. [Demonstration laissee en exercice] - Lemme : a) L'intersection de deux sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection des directions. b) Si la somme des directions des sous-espaces est la direction de l'espace tout entier, alors l'intersection des sous-espaces est non vide. c) Si les directions des sous-espaces sont supplementaires, l'intersection est non vide et reduite a un point. - Etude des positions relatives de deux droites affines dans le plan Exercice : Etude des positions relatives de deux plans dans un espace de dimension 3, puis d'une droite et d'un plan dans un espace de dimension trois. - Definition de la concourance - Theoreme des medianes (les medianes d'un triangle sont concourantes en son centre de gravite ...) Lemme : a) L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine. b) Si X est une partie non vide de \mathcal{E}, il existe un plus petit sous-espace affine contenant X. On l'appelle le sous-espace engendre par X. [Demonstration non faite (mais facile bien sur)] Lemme : Soit X une partie non vide et P un point de X. a) Le sous-espace affine engendre par X est egal a P+F ou F est le sous-espace vectoriel engendre par les vecteurs \vec{PQ}, ou Q appartient a X. b) Il est aussi egal a l'ensemble des barycentres des points de X. Exemples : Le sous-espace affine de R^3 engendre par (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Puis le sous-espace affine engendre par ces trois points et l'origine. Corollaire : Le sous-espace affine engendre par r points est au plus de dimension r-1. - notion de points affinement independants - exemples dans le plan affine et dans un espace affine de dimension 3. Cours du 08/11/2010 =================== 1.3 Reperes - - - - - - - Definition d'un repere cartesien dans un espace affine, coordonnees cartesiennes - Exemple dans R^2 - Definition d'un repere affine, coordonnees barycentriques - Exemple dans le plan R^2. Sept regions determinees par des inegalites sur les coordonnees barycentriques. 1.4 Applications affines - - - - - - - - - - - - - - Definition d'une application affine : partie lineaire notee $\vec{f}$. - Remarques 1) $\vec{f(P)f(Q)} = \vec{f}(\vec{PQ}) 2) Soient $P$ un point de $\mathcal{E}$, $Q$ un point de $\mathcal{F}$ et $\phi$ une application lineaire de $E$ and $F$. Alors il existe une unique application lineaire $f$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$ telle que a) f(P)=Q et b) la partie lineaire de $f$ soit $\phi$. On a f(R) = Q + \phi(\vec{PR}). - Exemples: applications affines de R dans R, de R^2 dans R, de R^2 dans R^2, de R^p dans R^n. - Theoreme : Une application est affine ssi elle conserve les barycentres. - Theoreme : a) L'image d'un sous-espace affine par une application affine f est un sous-espace affine de direction l'image de la direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image d'une droite affine est une droite affine ou un point. b) Les applications affines conservent les rapports de mesures algebriques. c) L'image reciproque d'un sous-espace affine est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'image reciproque de la direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image reciproque d'un point est ou bien vide ou bien un sous-espace de direction le noyau de la partie lineaire de f. Exemples d'applications affines - - - - - - - - - - - - - - - - Projections : definition geometrique de la projection $p : \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ sur un sous-espace affine $\mathcal{F}$ le long d'une direction $G$ supplementaire de la direction de $F$. - Exercice : Cette definition donne effectivement une application affine, dont la partie lineaire est la projection sur $F$ le long de $G$. - Theoreme de Thales - Lemme : La composee de deux applications affines est affine et sa partie lineaire est la composee des parties lineaires. - Definition : P est un point fixe d'une application affine f si f(P)=P. - Exercice : a) Une application affine $p$ est une projection affine ssi sa partie lineaire est une projection lineaire et qu'elle admet un point fixe. b) Une application affine $p$ est une projection affine ssi elle verifie $p^2=p$. c) Donner un exemple d'une application affine dont la partie lineaire est une projection lineaire mais qui n'est pas une projection affine. Cours du 15/11/2010 =================== Symetries : definition geometrique de la symetrie $s: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ par rapport a un sous-espace affine $\mathcal{F}$ parallelement a une direction $G$ supplementaire de $F$. - Exercice : On obtient bien une application affine, dont la partie lineaire est la symetrie lineaire par rapport a $F$ parallelement a $G$. - Exercice : a) L'ensemble des points fixes de $s$ est $\mathcal{E}$ (en particulier, $s$ admet un point fixe) et la partie lineaire de $s$ est la symetrie lineaire. b) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi sa partie lineaire est une symetrie lineaire et qu'elle admet un point fixe. c) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi elle verifie $s^2=Id$. Translations : translation $t_v$ associee a un vecteur $v\in E$. - Lemme : Une application affine est une translation ssi sa partie lineaire est l'identite. Remarques : 1) Si $v\neq 0$, alors la partie lineaire de $t_v$ est une projection lineaire, mais $t_v$ n'est pas une projection affine. 2) Soit $s$ une symetrie affine par rapport a un sous-espace de dimension >=1 et soit v un vecteur non nul dans la direction de ce sous-espace. Alors $t_v \circ s$ est une application affine sans point fixe (Exercice!) dont la partie lineaire est une symetrie lineaire. Homotheties - Theoreme : Soit f une application affine dont la partie lineaire n'admet pas la valeur propre 1. Alors f admet un unique point fixe. - Definition de l'homothetie de centre $C$ et de rapport $\lambda \not\in \{0,1\}$. Remarques : 1) Une homothetie admet un unique point fixe : son centre. 2) Une application affine est une homothetie de rapport $\lambda$ different de 0 et 1 ssi sa partie lineaire est une homothetie lineaire de rapport different de 0 et 1. 2) La composee d'une homothetie et d'une translation est une homothetie. 3) C, P et h(P) sont toujours alignes. Exercice : Soit f :\mathcal{E} -> \mathcal{E} est une application affine non constante et differente de l'identite. Supposons qu'il existe un point C tel que C, P et f(P) sont alignes pour tout point P de E. Alors f est une homothetie de centre C. Indication : Montrer que tout vecteur (non nul) est vecteur propre de la partie lineaire de f. En deduire que c'est une homothetie lineaire. 4) L'image d'une droite par h est une droite parallele. Exercice : Montrer que si f: \mathcal{E} -> \mathcal{E} est une application affine telle que l'image de toute droite D est une droite parallele a D, alors f est une homothetie ou une translation. - Lemme : La composee de deux homotheties de rapports r_1 et r_2 est une translation si r_1 r_2=1, une homothetie si r_1 r_2 <>1. Dans ce cas, les centres de h_1, h_2 et h_1 h_2 sont alignes. - Definition du groupe des homotheties-translations. Applications affines et reperes - - - - - - - - - - - - - - - - - Theoreme : Soit $\mathcal{E}$ un espace affine muni d'un repere affine P_0, ..., P_d. Soit $\mathcal{F}$ un espace affine et soient Q_0, ..., Q_d des points de $\mathcal{F}$. Alors il existe une application affine $f: \matcal{E} \to \mathcal{F}$ et une seule qui envoie P_i sur Q_i pour tout i. [Demonstration faite]. Exemples : 1) L'application affine qui echange deux points donnes $P\neq Q$ sur une droite affine est la symetrie par rapport au milieu de $P$ et $Q$. 2) Dans un plan affine, on se donne un triangle $P_0, P_1, P_2$. L'application affine $f$ qui envoie $P_0$ sur $P_0$, $P_1$ sur $P_1$ et $P_2$ sur $P_2 - \vec{P_0 P_2}$ est la symetrie affine par rapport a la droite $(P_0, P_1)$ parallement a la direction de la droite $(P_0, P_2)$. - Theoreme : Soient $\mathcal{E}$ et $mathcal{F}$ des espaces affines, $(P_0, v_1, \ldots, v_p)$ un repere cartesien de $\mathcal{E}$ et $(Q_0, w_1, \ldots, w_n)$ un repere cartesien de $\mathcal{F}$. Pour toute application affine $f$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$ par une application affine $f$. On choisit le repere $(P, \vec{PQ}, \vec{PR})$. a) Exprimer $f$ en coordonnees. b) Determiner l'ensemble des points fixes de $f$ (on trouve une droite). c) Montrer que $f$ est une symetrie affine (il suffit de montrer que sa partie lineaire a pour carre l'identite car on sait deja que f admet des points fixes). d) Determiner le sous-espace affine $\mathcal{F}$ et la direction $G$ tels que $f$ soit la symetrie par rapport a $\mathcal{F}$ parallelement a $G$. 2.5 Le groupe affine - - - - - - - - - - - Lemme : Une application affine est injective/surjective/bijective ssi sa partie lineaire l'est. - Definition du groupe affine $GA(\mathcal{E})$ - Remarques : 1) application affine bijective = transformation affine 2) On a un homomorphisme surjective $GA(\mathcal{E}) \to GL(E)$. Son noyau est le sous-groupe des translations, qui est donc distingue (rappel de la notion de sous-groupe distingue). Lemme : Pour une transformation affine f est un vecteur v, on a f t_v f^{-1} = f_{\vec{f} v}. Cours du 10/10/2006 ------------------- 3) Le groupe des homotheties-translations est egalement distingue dans $GA(\mathcal{E})$. Si $h_{C,a}$ est l'homothetie de rapport $a$ et de centre $C$, et $f$ une transformation affine, on a $f \circ h_{C,a} \circ f^{-1} = h_{f(C),a}$. - Pour une partie $X$ de $\mathcal{E}$, on note $G_X$ le sous-groupe de $GA(\mathcal{E})$ forme des $g$ tels que $g(X)=X$. - Exemples : 1) Si $X$ est reduit a un point, alors $G_X$ est isomorphe a $GL(E)$. 2) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ la reunion d'une droite $\mathcal{D}$ et d'un point n'appartenant pas a la droite, alors $G_X$ est isomorphe a $GA(\mathcal{D})$. 3) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ est forme de 3 points non alignes, alors $G_X$ est isomorphe au groupe des permutations des 3 points. 4) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ est un parallelogramme (forme de 4 points A,B,C,D tels que $\vec{AB}=\vec{DC}$), alors on etudie $G_X$ de la maniere suivante : a) Soit $Z$ l'isobarycentre des 4 points. Observer que $g(Z)=Z$ pour tous $g$ dans $G_X$. b) Deduire que l'homomorphisme $G_X \to GL(E)$ qui a $g$ associe sa partie lineaire est injectif. c) Montrer qu'une transformation affine $f$ appartient a $G_X$ ssi elle fixe $Z$ et que sa matrice dans la base $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ est de la forme \begin{array}{cc} \eps_1 & 0 \\ 0 & \eps_2 \end{array} ou \begin{array}{cc} 0 & \eps_1 \\ \eps_2 & 0 \end{array} pour deux nombres $\eps_i \in \{1, -1\}$. d) Deduire que $G_X$ est un groupe a huit elements. Decrire geometriquement ces 8 elements. 2.6 Convexite - - - - - - - On travaille dans un espace affine $\mathcal{E}$. - Definition du segment [PQ] et de ]PQ], [PQ[, ]PQ[. - Definition d'une partie convexe $\mathcal{C}$ - Remarques 1) Les parties convexes de la droite reelles sont exactement les intervalles. Il y a 4 types d'intervalles finis ([a,b], ]a,b], [a,b[ et ]a,b[) et 5 types d'intervalles infinis (les rayons et la droite). 2) La convexite est preservee par les applications affines bijectives. 3) Par consequent, dans une droite affine quelconque, on connait les parties convexes (images de celles de la droite reelles par la bijection associee a un choix de repere). 4) Une partie quelconque de $\mathcal{E}$ est convexe ssi son intersection avec toute droite affine est convexe. - Cours du 22/11/2010 =================== Exemple : Si on se donne 4 inegalites en deux variables $a_i x + b_i y \geq c_i$ et que chaque systeme extrait de trois inegalites possede une solution, alors le systeme tout entier possede une solution. - Demonstration complete du theorem de Helly : a) Pour tout $1 \leq i \leq r$, soit $P_i$ un point de l'intersection des $\mathcal{C}_j$, $j\neq i$. Soit $P_0$ un point de $\mathcal{E}$. On montre qu'il existe des r\'eels $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ tels que $$ \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P_0 P_i} =0 \mbox{ et } \sum_{i=1}^r \lambda_i =0. $$ b) Soit $I$ l'ensemble des $1\leq i\leq r$ tels que $\lambda_i\geq 00$ et soit $J$ l'ensemble de $1\leq j\leq r$ tels que $\lambda_j <0$. Notons que $I$ et $J$ sont non vides. On montre que les enveloppes convexes de $\{ P_i | i\in I}$ et ${ P_j | j\in J}$ ont une intersection non vide. - Theoreme de Lucas : Soit P un un polynome a coefficients complexes dont toutes les racines sont simples. Alors les racines de P' se trouvent dans l'enveloppe convexe des racines de P. 3. Dualite et algebre bilineaire - - - - - - - - - - - - - - - - - 3.1 Dualite - - - - - - - Definition de l'espace dual $E^v= L(E,k)$ d'un espace vectoriel $E$. Exemple : Si on identifie $R^n$ avec l'espace des colonnes $M_{n,1}(R)$, alors son dual s'identifie avec l'espace des lignes $M_{n,1}(R)$. - Definition de la base duale $v_i^v$ d'une base $v_i$ d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemple : Si on se donne une base de $R^n$ et qu'on l'ecrit dans les colonnes de la matrice $A$, alors la base duale est formee des lignes de la matrice $A^{-1}$. - Definition de l'orthogonal d'une partie de E et d'une partie de $E^v$. - Remarque : Les orthogonaux sont des sous-espaces. - Lemme : Soit $E$ de dimension finie. Si $F$ est un sous-espace de E, alors $\dim(F)+ \dim(F^\perp) = \dim(E)$ et de meme pour un sous-espace du dual. - Exemple : L'orthogonal d'un hyperplan $F$ de $E=R^n$ est la droite de l'espace des lignes engendree par le vecteur des coefficients d'une equation pour $F$. Etc. - Corollaire : L'orthogonal de l'orthogonal est le sous-espace de depart. Le passage a l'orthogonal est une bijection decroissante entre les sous-espaces de $E$ et les sous-espaces de son dual. - Definition de la transposee d'une application lineaire. - Remarque : La transposee de l'identite est l'identite et la tranposee d'une composee est la composee des transposees dans l'ordre inverse. - Lemme : Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie munis de bases et $f: E \to F$ une application lineaire, alors la matrice de la transposee de $f$ dans les bases duales et la transposee de la matrice de $f$. Cours du 30/11/2010 =================== - Lemme : Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l'application canonique de E dans son bidual est un isomorphisme. 3.2 Formes quadratiques - - - - - - - - - - - - Soit k un corps de caracteristiques <>2 (p.ex. Q,R,C). Soit E un espace vectoriel de dimension finie - Definition : forme bilineaire $\beta : E \times E \to k$ ... $\beta$ symetrique ... - Remarque : Toute combinaison lineaire de formes bilineaire est bilineaire. - Exemples : 1) Les formes bilineaires sur $R^n$ sont de la forme $(x,y) \mapsto \sum_{i,j=0}^n a_{ij} x_i y_j = ^t x A y$ ou $A\in M(n,\R)$. Elles sont combinaisons lineaires des formes $(x,y) \mapsto x_i y_j$. 2) Le produit de deux formes lineaires est une forme bilineaire. Si on a deux formes lineaires sur $R^n$ donnees par des matrices lignes $a$ et $b$, alors la forme bilineaire produit est donnee par $^t a b$. Cette matrice est de rang 1 (sauf si a=0 ou b=0). - Lemme : La forme $\beta$ est bilineaire ssi l'application $\underline{\beta} : E \to E^v$ est bien definie et lineaire. On a une bijection canonique entre l'espace des formes bilineaires et l'espaces des applications lineaires de E dans son dual. - Definition : une forme quadratique $q: E \to k$ est une application telle qu'il existe $\beta$ bilineaire telle que $q(x)=\beta(x,x)$ pour tous $x\in E$. - Exemples dans R^2 qui montrent que $\beta$ n'est pas unique. Proposition : Soit $q: E \to k$ une forme quadratique. Il existe une unique forme bilineaire symetrique $\beta$ telle que $q(v)=\beta(v,v)$ pour tous $v\in E$. Elle est donnee par $\beta(v,w) = 1/2 (q(v+w) - q(v) - q(w))$. Remarque : On appelle $\beta$ la polarisee de $q$. Exemples 1) Sur l'espace des polynomes a coefficients reels de degre $\leq 4$, on considere $q(P) = \int_0^1 P(x)^2 dx$. La polarisee est ... 2) Soit $F$ un espace vectoriel. Sur $E= L(F,F)$ on considere $q(f) = tr(f^2)$. Sa polarisee est ... 3) Sur les matrices 2x2, on considere $q(A) = tr(A^2)$. Definition de la matrice $A$ d'une forme bilineare (resp. quadratique) dans une base Exemples : exemples 1) et 3) ci-dessus. Lemme a) expression en coordonnees de $\beta$. b) $\beta$ est symetrique ssi $A$ est symetrique c) Comportement sous changement de base. On fixe un espace vectoriel de dimension finie $E$ et une forme bilineaire symetrique $\beta$. Definition : vecteurs orthogonaux pour $\beta$, orthogonal d'une partie. Exercice : L'orthogonal d'une partie $X$ pour la forme $\beta$ est egal a l'orthogonal, au sens de la dualite, de la partie $\underline{\beta}(X)$ de $E^v$. Exemples 1) Il peut y avoir des vecteurs orthogonaux sur eux-memes : q(x)=x_1^2 - x_2^2. 2) Il peut y avoir des vecteur orthogonaux sur tous les autres : q(x) = x_1^2 sur R^2. 3) Si la forme est sur $R^n$ donnee par la matrice $A$, alors l'orthogonal de $E=R^n$ est le noyau de $A$. Lemme : a) L'orthogonal de X est un sous-espace. L'orthogonal de $X$ et du sous-espace engendre par $X$ coincident. b) Si $X_1 \subset X_2$, alors l'orthogonal de $X_1$ contient l'orthogonal de $X_2$. c) X est contenu dans l'orthogonal de l'orthogonal de $X$. d) L'intersection des orthogonaux de deux parties est egale a l'orthogonal de leur reunion. e) Si F et G sont des sous-espaces, l'intersection de leurs orthogonaux est egale a l'orthogonal de leur somme. f) La dimension de l'orthogonal d'un sous-espace F est toujours au moins egale a la codimension de F. Cours du 06/12/2010 =================== Definition : Une base de E est orthogonale pour $\beta$ si la matrice de $\beta$ dans cette base est diagonale. Theoreme : Pour toute forme bilineaire symetrique $\beta$, il existe une base orthogonale. [Demonstration faite]. - Definition du noyau Ker(q) resp. Ker(\beta) d'une forme quadratique (resp. de sa polarisee \beta) et de son rang rg(q)=rg(\beta). - Remarques 1) Le noyau et le rang de $\beta$ sont aussi le noyau et le rang de l'application lineaire $\underline{\beta} : E \to E^v$. 2) La matrice de $\beta$ dans une base $v_1, \ldots, v_n$ est aussi la matrice de $\underline{\beta} : E \to E^v$ dans cette base et sa duale. Cela nous permet de calculer le noyau et le rang. - Definition : q est non degeneree si son noyau s'annule. - Remarques : C'est le cas ssi $\underline{\beta}$ est bijective ssi la matrice de $\beta$ est inversible dans toute base. Theoreme : Si q est non degeneree et F un sous-espace alors $\dim E = \dim F + \dim (F^\perp)$. En outre $(F^\perp)^\perp = F$. [Demonstration en utilisant la theorie de la dualite.] Theoreme : Si q est quelconque et F un sous-espace tel que la RESTRICTION de q a F est non degeneree, alors E est la somme directe de F et de son orthogonal. [Demonstration en utilisant la theorie de la dualite. ] Theoreme : Soit $E$ un espace vectoriel REEL de dimension finie et q une forme quadratique sur $E$. Alors il existe des entiers positifs p et p' et des formes lineaires $f_1, \ldots, f_{p+p'}$ LINEAIREMENT INDEPENDANTES telles que $ q = f_1^2 + \ldots + f_p^2 - f_{p+1}^2 - \ldots - f_{p+p'}^2 $. En outre les nombres $p$ et $p'$ sont uniques. - Definition : Le couple $(p,p')$ est la signature de $q$. - Remarque : p+p'= rg(q). Methode de Gauss: 1) "Si la forme comporte un carre non isole, on complete ce carre" : a^2 + 2ab = (a+b)^2 - b^2. 2) "Si la forme ne comporte aucun carre non isole, on complete un produit" : ab = 1/4 (a+b)^2 - 1/4 (a-b)^2. Quatre exemples d'utilisation de la methode pour des formes de 2 a 4 variables. 2.3 Espaces vectoriels euclidiens - - - - - - - - - - - - - - - - - 2.3.1 Sous-espaces, symetries, projections - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition d'un espace vectoriel euclidien. Exemple : R^n Notation : (E,q) un espace vectoriel euclidien. On ecrit $||.||$ pour la norme, $\langle , \rangle$ pour le produit scalaire. Proposition : Si $F$ est un sous-espace de $E$, alors $E = F \oplus F^\perp$. Definition : projection orthogonale sur $F$, symetrie orthogonale par rapport a $F$. Remarque : Si $v_1, \ldots, v_r$ est une base orthonormee de $F$ et $w_1, \ldots, w_s$ une base orthonormee de $F^\perp$, alors tout $v\in E$ s'ecrit $v= \sum v_i + \sum w_i $, $p(v) = \sum v_i = v - \sum w_i$, $s(v) = \sum v_i - \sum w_i = v - 2 \sum w_i$. Exemple : Soit $F$ le plan d'equation $3x + y - z =0$ dans $R^3$. On a la base $ ^t [3,1,-1] / \sqrt{11}$ de son orthogonal et grace a cette base on ecrit facilement la projection $q$ sur son orthogonal, la projection $p = Id - q$ sur $F$ et la symetrie $s = Id - 2 q$ par rapport a F et les matrices de ces applications dans la base canonique. Cours du 09/12/2010 =================== - Proposition (procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt): Soit E un espace vectoriel euclidien et v_1, ..., v_n une base de E. Alors il existe une base orthonormee w_1, ..., w_n et une seule telle que pour tout 1<=k<=dimE, on a Vect(v_1,...,v_k)=Vect(w_1,...,w_k) et >0. [J'ai donne l'algorithme de construction recursive.] - Definition: Une matrice A de M_n(R) est orthogonale si ses colonnes forment une base ORTHONORMEE de R^n (muni de la forme standard). Corollaire : Pour toute matrice inversible A dans GL_n(R), il existe une matrice orthogonale O et une matrice triangulaire superieure a coefficients diagonaux >0 uniques telles que A=OT. Exemple numerique 2x2 Definition : L'adjoint f^* d'un endomorphisme f: E -> E. Remarques : 1) Lien avec la transposee d'un endomorphisme 2) On a (f^*)^*=f et (fg)^* = g^* f^* et (Id)^*=Id. Lemme : Si v_1,...,v_n est une base orthonormee de E et A la matrice de f, alors la matrice de f^* est la transposee de A. [Dem. laissee en exercice] Proposition : Pour des endomorphismes f,g de E, on a Ker(f^*)=Im(f)^\orth, Im(f^*)=(ker f)^\orth, Si F est un sous-espace stable par f, alors F^\orth est stable par f^*. [Dem. laissee en exercice] 2.3.2 Le groupe orthogonal -------------------------- Prop.: Soit f un endomorphisme inversible de E euclidien. On a equivalence entre : i) f preserve la forme quadratique q. ii) f preserve la forme bilineaire symetrique <,> iii) f^* = f^{-1} iv) L'image par f d'une base orthonormee est une base orthonormee. v) La matrice de f dans toute base orthonormee est orthogonale. [Dem. en exercice] Definition : f est orthogonale si f verifie ces 5 proprietes. Le groupe orthogonal O(E) est le sous-groupe de GL(E) forme des endomorphismes orthogonaux. Le groupe O_n(R) est ... Remarque : Si f est orthogonal, alors det(f) vaut 1 ou -1. Definition : Le groupe special orthogonal SO(E) est ... Le groupe SO_n(R) est ... Remarque : On note O^-(E) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de determinant -1. Ce n'est pas un sous-groupe! Lemme : Si f est orthogonal, les valeurs propres reelles de f valent 1 ou -1, les espaces propres pour 1 et -1 sont orthogonaux. Si F est un sous-espace stable par f, alors F^\orth est encore stable. Theoreme : Soit f: E -> E un endomorphisme orthogonal. Alors il existe une base orthonormee de E dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, avec des blocs [1], [-1] et \left[\begin{array} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{array} \right]. Remarque : On va demontrer le theoreme pour dimE=2. 2.3.3 Orientations ------------------ On travaille dans un espace euclidien E de dimension au moins 1. Definition : Deux bases orthonormees de E definissent la meme orientation si la matrice de passage de l'une vers l'autre est de determinant >0 (i.e. est dans SO(E)). Lemme : On obtient ainsi une relation d'equivalence sur l'ensemble des bases orthonormees. Il existe exactement deux classes d'equivalence. Definition : Orienter l'espace E, c'est choisir une base orthonormee. Si un espace euclidien est oriente, une base orthonormee de E est directe si elle est dans la meme classe d'equivalence que la base choisie. Exemple : R^n est canoniquement oriente. C est canoniquement oriente. Exemples pour expliquer la signification intuitive de l'orientation dans des des espaces de dimension 1 ou 2. Definition : Soit E oriente et e_1, ... ,e_n une base orthonormee directe. L'application Vol : E^n -> R, (v_1,...,v_n) -> def(f), ou f(e_i)=v_i, est independante du choix de e_1,...,e_n. Elle s'appelle la forme volume de E. Remarques : 1) Le signe de vol(v_1, ..., v_n) est positif ou negatif suivant que la base orthonormee obtenue a partir de v_1, ..., v_n par le procede de Gram-Schmidt est directe ou non. 1) Le nombre |vol(v_1,...v_n)| est le volume du parallelepipede P={t_1 v_1+ ... + t_n v_n | t_i \in [0,1] } Definition du produit vectoriel u \wedge v dans un espace euclidien oriente de dimension 3 par : = vol(u,v,w). Produit mixte. Exercice : Dans un espace euclidien oriente de dimension 3, si u,v est la base orthonormee d'un plan, alors u,v, u\wedge v est une base orthonormee directe de l'espace. 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien -------------------------------------------------------- Soit E un plan vectoriel euclidien et f:E->E un endomorphisme. Definition : f est une rotation si det(f)=1. Lemme: Si det(f)=-1 alors f est une symetrie par rapport orthogonale par rapport a une droite (et reciproquement).