Comptes-Rendus du cours de geometrie de la preparation au CAPES 2008 ==================================================================== Cours du 16/09/08 ================= 1. Geometrie affine - - - - - - - - - - 1.1 Espaces affines - - - - - - - - - - - Definition d'un espace affine. Notations comme chez Liret-Martinais: $(\mathcal{E}, E, \alpha)$. - Exemples : R^2, l'espace affine associe a un espace vectoriel, le plan x+y+z=1 dans R^3. Remarques : 0) Les espaces affines n'ont pas de point privilegie (pas "d'origine") ! 1) abus de langage courants 2) Notation $\vec{PQ}. 3) Regle de Chasles - Definition : Un point massique d'un espace affine est un couple $(P,\lambda)$, ou $P$ est un point et $\lambda$ un reel. - Lemme : On se donne r points massiques $(P_i, \lambda_i)$ tels que la somme des $\lambda_i$ soit non nulle. a) Il existe un unique point G tel que $\sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{G P_i} =0$. b) Pour tout point $P$, on a $\vec{PG} = \frac{1}{\lambda_1 + \ldots + \lambda_r} \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P P_i}$. - Definition : On appelle barycentre de la famille $(P_i, \lambda_i)$ le point G. L'isobarycentre .... . Le milieu .... - Remarque : Le milieu est une "notion affine", i.e. ne fait intervenir que des points et des vecteurs et non pas des "longeurs". - Lemme (associativite des barycentres) [Demonstration laissee en exercice] 1.2 Sous-espaces affines - - - - - - - - - - - - - On fixe un espace affine \mathcal{E} de direction E. - Lemme : Pour une partie non vide \mathcal{F} de \mathcal{E}, on a equivalence entre (i) \mathcal{F} = P + F pour un sous-espace vectoriel F de E (ii) \mathcal{F} est stable par formation de barycentres - Definition d'un sous-espace affine par les proprietes (i) et (ii) du lemme. Definition de sa direction, de sa dimension. - Remarques : 1) Tout sous-espace affine est un espace affine. 2) Les sous-espaces affines de R^n sont exactement les ensembles non vides de solutions de systemes d'equations inhomogenes a n variables. - Quelques exemples de sous-espaces affines de R^2, R^3 et R^4 donnes par des systemes d'equations inhomogenes. - Definition du segment [PQ] entre deux points, de la droite (PQ) passant par deux points distincts, de l'alignement, du vecteur directeur d'une droite, d'un repere cartesien d'une droite, de la mesure algebrique \overline{AB} associee a deux points A,B d'une droite reperee. - Lemme : Le rapport de deux mesures algebriques est independant du choix du repere. [Demonstration laissee en exercice] - Lemme : a) L'intersection de deux sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'intersection des directions. b) Si la somme des directions des sous-espaces est la direction de l'espace tout entier, alors l'intersection des sous-espaces est non vide. c) Si les directions des sous-espaces sont supplementaires, l'intersection est non vide et reduite a un point. - Etude des positions relatives de deux droites affines dans le plan Exercice : Etude des positions relatives de deux plans dans un espace de dimension 3, puis d'une droite et d'un plan dans un espace de dimension trois. - Definition de la concourance - Theoreme des medianes (les medianes d'un triangle sont concourantes en son centre de gravite ...) Lemme : a) L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces affines est ou bien vide ou bien un sous-espace affine. b) Si X est une partie non vide de \mathcal{E}, il existe un plus petit sous-espace affine contenant X. On l'appelle le sous-espace engendre par X. [Demonstration non faite (mais facile bien sur)] Lemme : Soit X une partie non vide et P un point de X. a) Le sous-espace affine engendre par X est egal a P+F ou F est le sous-espace vectoriel engendre par les vecteurs \vec{PQ}, ou Q appartient a X. b) Il est aussi egal a l'ensemble des barycentres des points de X. Exemples : Le sous-espace affine de R^3 engendre par (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Puis le sous-espace affine engendre par ces trois points et l'origine. Cours du 23/09/2008 =================== Corollaire : Le sous-espace affine engendre par r points est au plus de dimension r-1. - notion de points affinement independants - exemples dans le plan affine et dans un espace affine de dimension 3. 1.3 Reperes - - - - - - - Definition d'un repere cartesien dans un espace affine, coordonnees cartesiennes - Exemple dans R^2 - Definition d'un repere affine, coordonnees barycentriques - Exemple dans le plan R^2. Sept regions determinees par des inegalites sur les coordonnees barycentriques. 1.4 Applications affines - - - - - - - - - - - - - - Definition d'une application affine : partie lineaire notee $\vec{f}$. - Remarques 1) $\vec{f(P)f(Q)} = \vec{f}(\vec{PQ}) 2) Soient $P$ un point de $\mathcal{E}$, $Q$ un point de $\mathcal{F}$ et $\phi$ une application lineaire de $E$ and $F$. Alors il existe une unique application lineaire $f$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$ telle que a) f(P)=Q et b) la partie lineaire de $f$ soit $\phi$. On a f(R) = Q + \phi(\vec{PR}). - Exemples: applications affines de R dans R, de R^2 dans R, de R^2 dans R^2, de R^p dans R^n. - Theoreme : Une application est affine ssi elle conserve les barycentres. - Theoreme : La composee de deux applications affines est affine et sa partie lineaire est la composee des parties lineaires. - Theoreme : a) L'image d'un sous-espace affine par une application affine f est un sous-espace affine de direction l'image de la direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image d'une droite affine est une droite affine ou un point. b) Les applications affines conservent les rapports de mesures algebriques. c) L'image reciproque d'un sous-espace affine est ou bien vide ou bien un sous-espace affine de direction l'image reciproque de la direction par la partie lineaire de f. En particulier, l'image reciproque d'un point est ou bien vide ou bien un sous-espace de direction le noyau de la partie lineaire de f. Exemples d'applications affines - - - - - - - - - - - - - - - - Projections : definition geometrique de la projection $p : \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ sur un sous-espace affine $\mathcal{F}$ le long d'une direction $G$ supplementaire de la direction de $F$. - Exercice : Cette definition donne effectivement une application affine, dont la partie lineaire est la projection sur $F$ le long de $G$. - Definition : P est un point fixe d'une application affine f si f(P)=P. - Rque : L'ensemble des points fixes d'une projection est le sous-espace affine \mathcal{F}. - Exercice : a) Une application affine $p$ est une projection affine ssi sa partie lineaire est une projection lineaire et qu'elle admet un point fixe. b) Une application affine $p$ est une projection affine ssi elle verifie $p^2=p$. - Theoreme de Thales Symetries : definition geometrique de la symetrie $s: \mathcal{E} \to \mathcal{E}$ par rapport a un sous-espace affine $\mathcal{F}$ parallelement a une direction $G$ supplementaire de $F$. - Exercice : On obtient bien une application affine, dont la partie lineaire est la symetrie lineaire par rapport a $F$ parallelement a $G$. - Exercice : a) L'ensemble des points fixes de $s$ est $\mathcal{E}$ (en particulier, $s$ admet un point fixe) et la partie lineaire de $s$ est la symetrie lineaire. b) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi sa partie lineaire est une symetrie lineaire et qu'elle admet un point fixe. c) Montrer qu'une application affine $s$ est une symetrie affine ssi elle verifie $s^2=Id$. Cours du 30/09/2008 =================== Translations : translation $t_v$ associee a un vecteur $v\in E$. - Lemme : Une application affine est une translation ssi sa partie lineaire est l'identite. Remarques : 1) Si $v\neq 0$, alors la partie lineaire de $t_v$ est une projection lineaire, mais $t_v$ n'est pas une projection affine. 2) Soit $s$ une symetrie affine par rapport a un sous-espace de dimension >=1 et soit v un vecteur non nul dans la direction de ce sous-espace. Alors $t_v \circ s$ est une application affine sans point fixe (Exercice!) dont la partie lineaire est une symetrie lineaire. Homotheties - Theoreme : Soit f une application affine dont la partie lineaire n'admet pas la valeur propre 1. Alors f admet un unique point fixe. - Definition de l'homothetie de centre $C$ et de rapport $\lambda \not\in \{0,1\}$. Remarques : 1) Une homothetie admet un unique point fixe : son centre. 2) Une application affine est une homothetie de rapport $\lambda$ different de 0 et 1 ssi sa partie lineaire est une homothetie lineaire de rapport different de 0 et 1. 2) La composee d'une homothetie et d'une translation est une homothetie. 3) C, P et h(P) sont toujours alignes. 4) L'image d'une droite par h est une droite parallele. Exercice : Montrer que si f: \mathcal{E} -> \mathcal{E} est une application affine telle que l'image de toute droite D est une droite parallele a D, alors f est une homothetie ou une translation. - Lemme : La composee de deux homotheties de rapports r_1 et r_2 est une translation si r_1 r_2=1, une homothetie si r_1 r_2 <>1. Dans ce cas, les centres de h_1, h_2 et h_1 h_2 sont alignes. - Definition du groupe des homotheties-translations. Applications affines et reperes - - - - - - - - - - - - - - - - - Theoreme : Soit $\mathcal{E}$ un espace affine muni d'un repere affine P_0, ..., P_d. Soit $\mathcal{F}$ un espace affine et soient Q_0, ..., Q_d des points de $\mathcal{F}$. Alors il existe une application affine $f: \matcal{E} \to \mathcal{F}$ et une seule qui envoie P_i sur Q_i pour tout i. [Demonstration faite]. Exemples : 1) L'application affine qui echange deux points donnes $P\neq Q$ sur une droite affine est la symetrie par rapport au milieu de $P$ et $Q$. 2) Dans un plan affine, on se donne un triangle $P_0, P_1, P_2$. L'application affine $f$ qui envoie $P_0$ sur $P_0$, $P_1$ sur $P_1$ et $P_2$ sur $P_2 - \vec{P_0 P_2}$ est la symetrie affine par rapport a la droite $(P_0, P_1)$ parallement a la direction de la droite $(P_0, P_2)$. - Theoreme : Soient $\mathcal{E}$ et $mathcal{F}$ des espaces affines, $(P_0, v_1, \ldots, v_p)$ un repere cartesien de $\mathcal{E}$ et $(Q_0, w_1, \ldots, w_n)$ un repere cartesien de $\mathcal{F}$. Pour toute application affine $f$ de $\mathcal{E}$ dans $\mathcal{F}$, il existe $A\in M_{n\times p}(R)$ et $b\in R^n$ uniques tels que, si x est le vecteur des coordonnees d'un point $M$ de $\mathcal{F}$, alors $y=Ax+b$ est le vecteur des coordonnees de $f(M)$. En outre, la matrice $A$ est la matrice de la partie lineaire de $f$ dans les bases $v_1, \ldots, v_p$ et $w_1, \ldots, w_n$ et $b$ est le vecteur des coordonnees de $f(P_0)$. - Exemple, ou l'on se donne, numeriquement dans R^2, l'image $P',Q',R'$ d'un triangle $P,Q,R$ par une application affine $f$. On choisit le repere $(P, \vec{PQ}, \vec{PR})$. a) Exprimer $f$ en coordonnees. b) Determiner l'ensemble des points fixes de $f$ (on trouve une droite). c) Montrer que $f$ est une symetrie affine (il suffit de montrer que sa partie lineaire a pour carre l'identite car on sait deja que f admet des points fixes). d) Determiner le sous-espace affine $\mathcal{F}$ et la direction $G$ tels que $f$ soit la symetrie par rapport a $\mathcal{F}$ parallelement a $G$. 2.5 Le groupe affine - - - - - - - - - - - Lemme : Une application affine est injective/surjective/bijective ssi sa partie lineaire l'est. - Definition du groupe affine $GA(\mathcal{E})$ - Remarques : 1) application affine bijective = transformation affine 2) On a un homomorphisme surjective $GA(\mathcal{E}) \to GL(E)$. Son noyau est le sous-groupe des translations, qui est donc distingue (rappel de la notion de sous-groupe distingue). Lemme : Pour une transformation affine f est un vecteur v, on a f t_v f^{-1} = f_{\vec{f} v}. 3) Le groupe des homotheties-translations est egalement distingue dans $GA(\mathcal{E})$. Si $h_{C,a}$ est l'homothetie de rapport $a$ et de centre $C$, et $f$ une transformation affine, on a $f \circ h_{C,a} \circ f^{-1} = h_{f(C),a}$. Cours du 07/10/2006 =================== - Pour une partie $X$ de $\mathcal{E}$, on note $G_X$ le sous-groupe de $GA(\mathcal{E})$ forme des $g$ tels que $g(X)=X$. - Exemples : 1) Si $X$ est reduit a un point, alors $G_X$ est isomorphe a $GL(E)$. 2) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ la reunion d'une droite $\mathcal{D}$ et d'un point n'appartenant pas a la droite, alors $G_X$ est isomorphe a $GA(\mathcal{D})$. 3) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ est forme de 3 points non alignes, alors $G_X$ est isomorphe au groupe des permutations des 3 points. 4) Si $\mathcal{E}$ est un plan et $X$ est un parallelogramme (forme de 4 points A,B,C,D tels que $\vec{AB}=\vec{DC}$), alors on etudie $G_X$ de la maniere suivante : a) Soit $Z$ l'isobarycentre des 4 points. Observer que $g(Z)=Z$ pour tous $g$ dans $G_X$. b) Deduire que l'homomorphisme $G_X \to GL(E)$ qui a $g$ associe sa partie lineaire est injectif. c) Montrer qu'une transformation affine $f$ appartient a $G_X$ ssi elle fixe $Z$ et que sa matrice dans la base $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ est de la forme \begin{array}{cc} \eps_1 & 0 \\ 0 & \eps_2 \end{array} ou \begin{array}{cc} 0 & \eps_1 \\ \eps_2 & 0 \end{array} pour deux nombres $\eps_i \in \{1, -1\}$. d) Deduire que $G_X$ est un groupe a huit elements. Decrire geometriquement ces 8 elements. 2.6 Convexite - - - - - - - On travaille dans un espace affine $\mathcal{E}$. - Definition du segment [PQ] et de ]PQ], [PQ[, ]PQ[. - Definition d'une partie convexe $\mathcal{C}$ - Remarques 1) Les parties convexes de la droite reelles sont exactement les intervalles. Il y a 4 types d'intervalles finis ([a,b], ]a,b], [a,b[ et ]a,b[) et 5 types d'intervalles infinis (les rayons et la droite). 2) La convexite est preservee par les applications affines bijectives. 3) Par consequent, dans une droite affine quelconque, on connait les parties convexes (images de celles de la droite reelles par la bijection associee a un choix de repere). 4) Une partie quelconque de $\mathcal{E}$ est convexe ssi son intersection avec toute droite affine est convexe. - Exemples de parties convexes et non convexes dans le plan. - Les solutions $x\in \R^p$ d'un systeme d'inegalites $ Ax \geq b$ forment une partie convexe. - L'image d'une partie convexe par une application affine est convexe. L'image reciproque d'une partie convexe par une application affine est convexe. - L'intersection d'une famille quelconque de parties convexes est convexe. Il existe une plus petite partie convexe contenant une partie donnee $\mathcal{X}$. - Definition : On appelle enveloppe convexe de $\mathcal{X}$ cette partie convexe. - Theoreme : L'enveloppe convexe de $\mathcal{X}$ est formee de tous les barycentres a coefficients positifs de points de $\mathcal{X}$. [Esquisse de la demonstration] - Corollaire : L'image par une application affine de l'enveloppe convexe de $\mathcal{X}$ est l'enveloppe convexe de l'image de $\mathcal{X}$. Theoreme de Helly : Soit $\mathcal{E}$ un espace affine de dimension $n$, soit $r$ un entier tel que $r\geq n+2$ et soient $\mathcal{C}_$, $1\leq i \leq r$, des parties convexes de $\mathcal{E}$. On suppose que pour tout $1\leq i\leq r$, l'intersection des $\mathcal{C}_j$ pour $j\neq i$ est non vide. Alors l'intersection de tous les $\mathcal{C}_j$ est non vide. Exemple : Si on se donne 4 inegalites en deux variables $a_i x + b_i y \geq c_i$ et que chaque systeme extrait de trois inegalites possede une solution, alors le systeme tout entier possede une solution. - Demonstration complete du theorem de Helly : a) Pour tout $1 \leq i \leq r$, soit $P_i$ un point de l'intersection des $\mathcal{C}_j$, $j\neq i$. Soit $P_0$ un point de $\mathcal{E}$. On montre qu'il existe des r\'eels $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ tels que $$ \sum_{i=1}^r \lambda_i \vec{P_0 P_i} =0 \mbox{ et } \sum_{i=1}^r \lambda_i =0. $$ b) Soit $I$ l'ensemble des $1\leq i\leq r$ tels que $\lambda_i\geq 00$ et soit $J$ l'ensemble de $1\leq j\leq r$ tels que $\lambda_j <0$. Notons que $I$ et $J$ sont non vides. On montre que les enveloppes convexes de $\{ P_i | i\in I}$ et ${ P_j | j\in J}$ ont une intersection non vide. Cours du 14/10/2008 =================== - Theoreme de Lucas : Soit P un un polynome a coefficients complexes dont toutes les racines sont simples. Alors les racines de P' se trouvent dans l'enveloppe convexe des racines de P. - Exemple : X^n + X^{n-1} + ... + X^2 + X + 1 2. Dualite et algebre bilineaire - - - - - - - - - - - - - - - - - 2.1 Dualite - - - - - - - Definition de l'espace dual $E^v= L(E,k)$ d'un espace vectoriel $E$. Exemple : Si on identifie $R^n$ avec l'espace des colonnes $M_{n,1}(R)$, alors son dual s'identifie avec l'espace des lignes $M_{n,1}(R)$. - Definition de la base duale $v_i^v$ d'une base $v_i$ d'un espace vectoriel de dimension finie. Exemple : Si on se donne une base de $R^n$ et qu'on l'ecrit dans les colonnes de la matrice $A$, alors la base duale est formee des lignes de la matrice $A^{-1}$. - Definition de l'orthogonal d'une partie de E et d'une partie de $E^v$. - Remarque : Les orthogonaux sont des sous-espaces. - Lemme : Soit $E$ de dimension finie. Si $F$ est un sous-espace de E, alors $\dim(F)+ \dim(F^\perp) = \dim(E)$ et de meme pour un sous-espace du dual. - Exemple : L'orthogonal d'un hyperplan $F$ de $E=R^n$ est la droite de l'espace des lignes engendree par le vecteur des coefficients d'une equation pour $F$. Etc. - Corollaire : L'orthogonal de l'orthogonal est le sous-espace de depart. Le passage a l'orthogonal est une bijection decroissante entre les sous-espaces de $E$ et les sous-espaces de son dual. - Definition de la transposee d'une application lineaire. - Remarque : La transposee de l'identite est l'identite et la tranposee d'une composee est la composee des transposees dans l'ordre inverse. - Lemme : Si E et F sont des espaces vectoriels de dimension finie munis de bases et $f: E \to F$ une application lineaire, alors la matrice de la transposee de $f$ dans les bases duales et la transposee de la matrice de $f$. - Lemme : Si E est un espace vectoriel de dimension finie, l'application canonique de E dans son bidual est un isomorphisme. 3.2 Formes quadratiques - - - - - - - - - - - - Soit k un corps de caracteristiques <>2 (p.ex. Q,R,C). Soit E un espace vectoriel de dimension finie - Definition : forme bilineaire $\beta : E \times E \to k$ ... $\beta$ symetrique ... - Remarque : Toute combinaison lineaire de formes bilineaire est bilineaire. - Exemples : 1) Les formes bilineaires sur $R^n$ sont de la forme $(x,y) \mapsto \sum_{i,j=0}^n a_{ij} x_i y_j = ^t x A y$ ou $A\in M(n,\R)$. Elles sont combinaisons lineaires des formes $(x,y) \mapsto x_i y_j$. 2) Le produit de deux formes lineaires est une forme bilineaire. Si on a deux formes lineaires sur $R^n$ donnees par des matrices lignes $a$ et $b$, alors la forme bilineaire produit est donnee par $^t a b$. Cette matrice est de rang 1 (sauf si a=0 ou b=0). - Lemme : La forme $\beta$ est bilineaire ssi l'application $\underline{\beta} : E \to E^v$ est bien definie et lineaire. On a une bijection canonique entre l'espace des formes bilineaires et l'espaces des applications lineaires de E dans son dual. Cours du 21/10/2008 =================== - Definition : une forme quadratique $q: E \to k$ est une application telle qu'il existe $\beta$ bilineaire telle que $q(x)=\beta(x,x)$ pour tous $x\in E$. - Exemples dans R^2 qui montrent que $\beta$ n'est pas unique. Proposition : Soit $q: E \to k$ une forme quadratique. Il existe une unique forme bilineaire symetrique $\beta$ telle que $q(v)=\beta(v,v)$ pour tous $v\in E$. Elle est donnee par $\beta(v,w) = 1/2 (q(v+w) - q(v) - q(w))$. Remarque : On appelle $\beta$ la polarisee de $q$. Exemples 1) Sur l'espace des polynomes a coefficients reels de degre $\leq 4$, on considere $q(P) = \int_0^1 P(x)^2 dx$. La polarisee est ... 2) Soit $F$ un espace vectoriel. Sur $E= L(F,F)$ on considere $q(f) = tr(f^2)$. Sa polarisee est ... 3) Sur les matrices 2x2, on considere $q(A) = tr(A^2)$. Definition de la matrice $A$ d'une forme bilineare (resp. quadratique) dans une base Exemples : exemples 1) et 3) ci-dessus. Lemme a) expression en coordonnees de $\beta$. b) $\beta$ est symetrique ssi $A$ est symetrique c) Comportement sous changement de base. On fixe un espace vectoriel de dimension finie $E$ et une forme bilineaire symetrique $\beta$. Definition : vecteurs orthogonaux pour $\beta$, orthogonal d'une partie. Exercice : L'orthogonal d'une partie $X$ pour la forme $\beta$ est egal a l'orthogonal, au sens de la dualite, de la partie $\underline{\beta}(X)$ de $E^v$. Exemples 1) Il peut y avoir des vecteurs orthogonaux sur eux-memes : q(x)=x_1^2 - x_2^2. 2) Il peut y avoir des vecteur orthogonaux sur tous les autres : q(x) = x_1^2 sur R^2. 3) Si la forme est sur $R^n$ donnee par la matrice $A$, alors l'orthogonal de $E=R^n$ est le noyau de $A$. Lemme : a) L'orthogonal de X est un sous-espace. L'orthogonal de $X$ et du sous-espace engendre par $X$ coincident. b) Si $X_1 \subset X_2$, alors l'orthogonal de $X_1$ contient l'orthogonal de $X_2$. c) X est contenu dans l'orthogonal de l'orthogonal de $X$. d) L'intersection des orthogonaux de deux parties est egale a l'orthogonal de leur reunion. e) Si F et G sont des sous-espaces, l'intersection de leurs orthogonaux est egale a l'orthogonal de leur somme. f) La dimension de l'orthogonal d'un sous-espace F est toujours au moins egale a la codimension de F. Definition : Une base de E est orthogonale pour $\beta$ si la matrice de $\beta$ dans cette base est diagonale. Theoreme : Pour toute forme bilineaire symetrique $\beta$, il existe une base orthogonale. [Demonstration faite]. - Definition du noyau Ker(q) resp. Ker(\beta) d'une forme quadratique (resp. de sa polarisee \beta) et de son rang rg(q)=rg(\beta). - Remarques 1) Le noyau et le rang de $\beta$ sont aussi le noyau et le rang de l'application lineaire $\underline{\beta} : E \to E^v$. 2) La matrice de $\beta$ dans une base $v_1, \ldots, v_n$ est aussi la matrice de $\underline{\beta} : E \to E^v$ dans cette base et sa duale. Cela nous permet de calculer le noyau et le rang. - Definition : q est non degeneree si son noyau s'annule. - Remarques : C'est le cas ssi $\underline{\beta}$ est bijective ssi la matrice de $\beta$ est inversible dans toute base. Theoreme : Si q est non degeneree et F un sous-espace alors $\dim E = \dim F + \dim (F^\perp)$. En outre $(F^\perp)^\perp = F$. [Demonstration en utilisant la theorie de la dualite.] Theoreme : Si q est quelconque et F un sous-espace tel que la RESTRICTION de q a F est non degeneree, alors E est la somme directe de F et de son orthogonal. [Demonstration en utilisant la theorie de la dualite. ] Theoreme : Soit $E$ un espace vectoriel REEL de dimension finie et q une forme quadratique sur $E$. Alors il existe des entiers positifs p et p' et des formes lineaires $f_1, \ldots, f_{p+p'}$ LINEAIREMENT INDEPENDANTES telles que $ q = f_1^2 + \ldots + f_p^2 - f_{p+1}^2 - \ldots - f_{p+p'}^2 $. En outre les nombres $p$ et $p'$ sont uniques. - Definition : Le couple $(p,p')$ est la signature de $q$. - Remarque : p+p'= rg(q). Methode de Gauss: 1) "Si la forme comporte un carre non isole, on complete ce carre" : a^2 + 2ab = (a+b)^2 - b^2. 2) "Si la forme ne comporte aucun carre non isole, on complete un produit" : ab = 1/4 (a+b)^2 - 1/4 (a-b)^2. Quatre exemples d'utilisation de la methode pour des formes de 2 a 4 variables. Cours du 10/11/2008 =================== 2.3 Espaces vectoriels euclidiens - - - - - - - - - - - - - - - - - 2.3.1 Sous-espaces, symetries, projections - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Definition d'un espace vectoriel euclidien. Exemple : R^n Notation : (E,q) un espace vectoriel euclidien. On ecrit $||.||$ pour la norme, $\langle , \rangle$ pour le produit scalaire. Proposition : Si $F$ est un sous-espace de $E$, alors $E = F \oplus F^\perp$. Definition : projection orthogonale sur $F$, symetrie orthogonale par rapport a $F$. Remarque : Si $v_1, \ldots, v_r$ est une base orthonormee de $F$ et $w_1, \ldots, w_s$ une base orthonormee de $F^\perp$, alors tout $v\in E$ s'ecrit $v= \sum v_i + \sum w_i $, $p(v) = \sum v_i = v - \sum w_i$, $s(v) = \sum v_i - \sum w_i = v - 2 \sum w_i$. Exemple : Soit $F$ le plan d'equation $3x + y - z =0$ dans $R^3$. On a la base $ ^t [3,1,-1] / \sqrt{11}$ de son orthogonal et grace a cette base on ecrit facilement la projection $q$ sur son orthogonal, la projection $p = Id - q$ sur $F$ et la symetrie $s = Id - 2 q$ par rapport a F et les matrices de ces applications dans la base canonique. Cours du 11/12/07 ================= - Proposition (procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt): Soit E un espace vectoriel euclidien et v_1, ..., v_n une base de E. Alors il existe une base orthonormee w_1, ..., w_n et une seule telle que pour tout 1<=k<=dimE, on a Vect(v_1,...,v_k)=Vect(w_1,...,w_k) et >0. [J'ai donne l'algorithme de construction recursive.] - Definition: Une matrice A de M_n(R) est orthogonale si ses colonnes forment une base ORTHONORMEE de R^n (muni de la forme standard). Corollaire : Pour toute matrice inversible A dans GL_n(R), il existe une matrice orthogonale O et une matrice triangulaire superieure a coefficients diagonaux >0 uniques telles que A=OT. Exemple numerique 2x2 Definition : L'adjoint f^* d'un endomorphisme f: E -> E. Remarques : 1) Lien avec la transposee d'un endomorphisme 2) On a (f^*)^*=f et (fg)^* = g^* f^* et (Id)^*=Id. Lemme : Si v_1,...,v_n est une base orthonormee de E et A la matrice de f, alors la matrice de f^* est la transposee de A. [Dem. laissee en exercice] Proposition : Pour des endomorphismes f,g de E, on a Ker(f^*)=Im(f)^\orth, Im(f^*)=(ker f)^\orth, Si F est un sous-espace stable par f, alors F^\orth est stable par f^*. [Dem. laissee en exercice] 2.3.2 Le groupe orthogonal -------------------------- Prop.: Soit f un endomorphisme inversible de E euclidien. On a equivalence entre : i) f preserve la forme quadratique q. ii) f preserve la forme bilineaire symetrique <,> iii) f^* = f^{-1} iv) L'image par f d'une base orthonormee est une base orthonormee. v) La matrice de f dans toute base orthonormee est orthogonale. [Dem. en exercice] Definition : f est orthogonale si f verifie ces 5 proprietes. Le groupe orthogonal O(E) est le sous-groupe de GL(E) forme des endomorphismes orthogonaux. Le groupe O_n(R) est ... Remarque : Si f est orthogonal, alors det(f) vaut 1 ou -1. Definition : Le groupe special orthogonal SO(E) est ... Le groupe SO_n(R) est ... Remarque : On note O^-(E) l'ensemble des endomorphismes orthogonaux de determinant -1. Ce n'est pas un sous-groupe! Lemme : Si f est orthogonal, les valeurs propres reelles de f valent 1 ou -1, les espaces propres pour 1 et -1 sont orthogonaux. Si F est un sous-espace stable par f, alors F^\orth est encore stable. Theoreme : Soit f: E -> E un endomorphisme orthogonal. Alors il existe une base orthonormee de E dans laquelle la matrice de f est diagonale par blocs, avec des blocs [1], [-1] et \left[\begin{array} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{array} \right]. Remarque : On va demontrer le theoreme pour dimE=2. 2.3.3 Orientations ------------------ On travaille dans un espace euclidien E de dimension au moins 1. Definition : Deux bases orthonormees de E definissent la meme orientation si la matrice de passage de l'une vers l'autre est de determinant >0 (i.e. est dans SO(E)). Lemme : On obtient ainsi une relation d'equivalence sur l'ensemble des bases orthonormees. Il existe exactement deux classes d'equivalence. Definition : Orienter l'espace E, c'est choisir une base orthonormee. Si un espace euclidien est oriente, une base orthonormee de E est directe si elle est dans la meme classe d'equivalence que la base choisie. Cours du 18/11/2008 =================== Definition : Soit E oriente et e_1, ... ,e_n une base orthonormee directe. L'application Vol : E^n -> R, (v_1,...,v_n) -> def(f), ou f(e_i)=v_i, est independante du choix de e_1,...,e_n. Elle s'appelle la forme volume de E. Remarques : 1) Le signe de vol(v_1, ..., v_n) est positif ou negatif suivant que la base orthonormee obtenue a partir de v_1, ..., v_n par le procede de Gram-Schmidt est directe ou non. 2) Le nombre |vol(v_1,...v_n)| est le volume du parallelepipede P={t_1 v_1+ ... +t_n v_n | t_i \in [0,1] } Definition du produit vectoriel u \wedge v dans un espace euclidien oriente de dimension 3 par : = vol(u,v,w). Produit mixte. Remarque : Dans un espace euclidien oriente de dimension 3, si u,v est la base orthonormee d'un plan, alors u,v, u\wedge v est une base orthonormee directe de l'espace. Exercice : Le produit vectoriel est antisymetrique et verifie l'identite de Jacobi: u(vw)=(uv)w + v(uw). 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien et d'un espace vectoriel euclidien de dimension 3 -------------------------------------------------------- Soit E un plan vectoriel euclidien et f:E->E un endomorphisme. Definition : f est une rotation si det(f)=1. Lemme: Si det(f)=-1 alors f est une symetrie par rapport orthogonale par rapport a une droite (et reciproquement). Corollaire (de la demonstration): Si dimE=2, le groupe SO(E) est commutatif. Proposition: Soit f une rotation, B et B' des bases de E et A,A' les matrices de f dans B et B'. a) Si B et B' definissent la meme orientation, alors A=A'. b) Si B et B' definissent des orientations opposees, alors A'=A^{-1}. Corollaire : Soit E un espace euclidien oriente de dimension 2. a) Pour tout f dans SO(E), il existe A dans SO_2(R) unique telle que A soit la matrice de f dans toute base orthonormee directe. b) On a des isomorphismes de groupes canoniques entre SO(E), SO_2(R) et le groupe des nombres complexes de module 1. Definition: Pour tout reel \theta, on note R(\theta) la rotation de E dont la matrice dans toute base orthonormee directe est R(\theta) = [cos(\theta) & -sin(\theta) \\ sin(\theta) & \cos(\theta) ]. Definition : On appelle \theta une mesure de la rotation R(\theta). Remarque: Toute rotation possede une mesure et deux mesures d'une rotation different d'un multiple entier de 2\pi. Toute rotation possede une unique mesure dans l'intervalle [0,2\pi[. On l'appelle parfois LA mesure de la rotation. Soit E un espace euclidien de dimension 3. Lemme : Soit $f\in SO(E)$. Alors 1 est valeur propre de f et si f n'est pas l'identite, alors 1 est valeur propre simple de f. Definition : Soit $f \in SO(E)$. On appelle f une rotation. Si f n'est pas l'identite, on appelle axe de f la droite ker(f-Id). On appelle plan de f le plan invariant orthogonal a D. Remarques : 1) Supposons que f n'est pas l'identite. La restriction de f a H est une rotation de $H$. La rotation f est determinee par son axe et cette rotation de H. 2) Comment mesurer f ? Supposons que $E$ est oriente. Cela ne suffit pas pour donner une orientation canonique a H. Supposons donc de plus que D est oriente (par le choix d'un vecteur u ). Alors H est canoniquement oriente (par le choix d'une base orthonormee v_1, v_2 telle que u,v_1,v_2 est directe dans E). Donc : si E est oriente, alors f est donnee par un axe oriente D et une mesure de la rotation induite dans l'orthogonal de D. Dans ce cas, si v_1, v_2, v_3 est une base orthonormee direct de E telle que v_1 est dans D, la matrice de f est formee d'un bloc [1] et d'un bloc [cos(t) -sin(t) \\ sin(t) & cos(t) ], t=\theta. 4) La trace de $f$ est $1+2\cos(\theta)$. Cela ne determine evidemment pas \theta. Cours du 25/11/2008 =================== Pour connaitre sin(theta), on oriente l'axe en choisissant un vecteur u de longueur 1 sur l'axe et on calcule vol(u,v,f(v)), ou v est orthogonal a l'axe. 2.3.4 Angles de vecteurs - - - - - - - - - - - - - Soit E un plan vectoriel euclidien. Definition : Deux couples (u,v) et (u',v') de vecteurs de longueur 1 sont equivalents s'il existe une rotation r telle que r(u)=u' et r(v)=v'. Lemme : On a defini une relation d'equivalence. Definition : L'angle $\hat{u,v}$ est la classe d'equivalence du couple (u,v). L'angle de deux vecteurs non nuls quelconques est l'angle de leurs normalises. Lemme : Soient u,v deux vecteurs de longueur 1. Il existe une unique rotation de r telle que r(u)=v. Corollaire : Soit u un vecteur de longueur 1. a) L'application SO(E) -> {angles de vecteurs} qui, a $r$ associe $\hat{u,r(u)}$ ne depend pas du choix de u. b) Elle est bijective. Definition : On dit que r est est la rotation d'angle $\hat{u,v}$ si r(u)=v. Definition : Soit E un plan euclidien ORIENTE. Soit $\hat{u,v}$ un angle de vecteurs non nuls. Une MESURE de $\hat{u,v}$ est une mesure de l'unique rotation r telle que r(u)=v. Lemme et definition : L'ensemble A des angles de vecteurs admet une unique structure de groupe telle que $$ \hat{u,v} + \hat{v,w} = \hat{u,w} $$. Pour cette structure, la bijection SO(E) -> A est un isomorphisme de groupes. Conclusion : a) Si E est euclidien, on a un isomorphisme de groupe canonique entre SO(E) et A. b) Si E est euclidien oriente, on a des isomorphismes de groupe canoniques entre R/2\pi Z , SO(E) et A. Lemme : Soit E un plan euclidien (non oriente). Soient u et v des vecteurs de longueur 1. Soit g une isometrie. On a $\hat{g(u),g(v)} = det(g) \hat{u,v}$. 2.3.5 Angles de droites - - - - - - - - - - - - Soit E un plan euclidien. Definition d'un angle de droites $\hat{D_1,D_2}$ en analogie avec la definition d'un angle de vecteurs. Lemme: Soit D l'ensemble des angles de droites. a) D admet une unique structure de groupe telle que $$ \hat{D_1,D_2} + \hat{D_2,D_3} = \hat{D_1, D_3} $$. b) Soit A le groupe des angles de vecteurs. L'application $\hat{u,v} \mapsto \hat{Ru,Rv}$ est un homomorphisme de groupes surjectif de A sur D. Son noyau est le sous-groupe a deux elements engendre par l'angle plat. Corollaire : Si E est un plan euclidien oriente, on a des isomorphismes de groupe canoniques entre R/\pi Z et D. Remarque : Le double d'un angle de droites est un angle de vecteurs bien defini. Lemme : Soient $D$, $D'$ deux droites et $s$, $s'$ les symetries orthogonales par rapport a ces droites. Alors $s' \circ c$ est la rotation d'angle le double de l'angle de droites de $D$ a $D'$. 2.3.6 Isometries de l'espace ---------------------------- Soit E un espace euclidien de dimension 3. On a deja etudie le groupe SO(E) des isometries directes. Lemme : Soit f une isometrie indirecte de E. Alors -1 est valeur propre de f. Si f n'est pas -Id_E, alors -1 est valeur propre simple. Prop. : Soit f une isometrie indirecte de E. Alors ou bien f est une symetrie orthogonale par rapport a un plan ou bien f admet un unique point fixe. Si f admet un unique point fixe, alors il existe une symetrie s orthogonale par rapport a un plan H et une rotation r de plan H tels que f= rs=sr. Si f n'est pas -Id_E, alors r et s sont uniques. [suggere comme exercice pour les TD] Rque : ipfu = isometrie a point fixe unique Cours du 02/12/2008 =================== Illustration : isometries du tetraedre regulier. Dans l'espace R^3, on considere le tetraedre regulier de sommets (1,-1,-1), (-1,1,-1), (1,1,1), (-1,-1,1) inscrit dans le cube regulier dont les huit sommets ont des coordonnees egales a 1 ou -1. On s'interesse au groupe G des isometries vectorielles de R^3 qui laissent invariant le tetraedre. Si g appartient a G, alors g permute les sommets du tetraedre. D'ou un homomorphisme phi : G -> S_4. Cet homomorphisme est injectif, car les vecteurs \vec{OS}, ou S est un sommet du tetraedre, forment un systeme generateur de R^3. On trouve les elements suivants de G : - l'identite, - les symetries par rapport a des plans passant par une arete et le milieu de l'arete opposee. Elles correspondent aux transpositions dans S_4. Il y en a 6 (une pour chaque arete du tetraedre), - les rotations de mesure d'angle +/- 2pi/3 et d'axe passant par un sommet et le centre de gravite de la face opposee. Elles correspondent aux cycles de longueur 3 dans S_4. Il y en a 4 x 2 = 8 (deux pour chaque face). - les retournements par rapport aux droites passant par les milieux de deux aretes opposees. Elles correspondent aux permutations (12)(34), (13)(24), (14)(23). Il y en a 3 (une pour chaque paire d'aretes opposees). - les ipfu produits d'une rotation de mesure +/- pi/2 autour de droites passant par les milieux de deux aretes opposees composee avec la symetrie orthogonale par rapport au plan (vectoriel) orthogonal a l'axe. Elles correspondent aux cycles d'ordre 4 dans S_4. Il y en a 2 x 3 = 6 On vient de trouver 24 elements. Il s'ensuit que phi : G -> S_4 est un isomorphisme. 2.4 Espaces affines euclidiens - - - - - - - - - - - - - - - 2.4.1 Definitions fondamentales - - - - - - - - - - - - - - - - Definition : Un espace affine euclidien est un espace affine $\mathcal{E}$ dont la direction $E$ est munie d'une structure d'espace vectoriel euclidien (i.e. d'un produit scalaire). Dans ce cas, $\mathcal{E}$ est oriente si $E$ l'est. Definition : La distance entre deux points A,B de $\mathcal{E}$ est $AB=|\vec{AB}|$. Deux sous-espaces affines de $\mathcal{E}$ sont orthogonaux si leurs directions sont orthogonales. Exercice (fait) : Dans un espace euclidien de dimension 3, soient deux droites non paralleles. Montrer qu'il existe une unique droite orthogonale aux deux droites donnees et qui rencontre chacune d'elles en un point. Definition de l'angle de deux droites affines dans un plan affine, definition de sa mesure pour le cas d'un plan affine oriente. Definition de la projection orthogonale sur un sous-espace affine et de la symetrie orthogonale par rapport a un sous-espace affine. Une reflexion est une symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan. Remarque : les parties lineaires des projections et des symetries orthogonales affines sont des projections et des symetries orthogonales vectorielles. Def: Une reflexion est une symetrie orthogonale par rapport a un hyperplan. Prop: Soit E un espace affine euclidien de dimension n. Alors le groupe des isometries vectorielles de E est engendre par les reflexions. Plus precisement, si g est une isometrie qui admet au moins d points fixes affinemenet independants, alors g est produit d'au plus n+1-d reflexions. Dem: voir les TD. 2.4.3 Isometries affines du plan - - - - - - - - - - - - - - - - Soit $\mathcal{E}$ un plan affine euclidien. Lemme : Soit $f$ un deplacement de $\mathcal{E}$. Alors ou bien f est une translation ou bien f admet un unique point fixe. Definition : f est une rotation de $\mathcal{E}$ si f admet un unique point fixe. Rque : Ici, on ne compte donc pas l'identite parmi les rotations. Corollaire : Tout deplacement du plan est une translation ou une rotation. Lemme : Soient $\mathcal{D}$ une droite et v un vecteur dans sa direction. Soit s la symetrie orthogonale par rapport a la droite. Alors $s \circ t_v = t_v \circ s$. Definition : Si $v\neq 0$, l'application $s \circ t_v$ s'appelle un glissement. Exemple : Traces d'un bipede dans le sable. Lemme : Soit s une symetrie par rapport a une droite et v un vecteur. Alors $t_v \circ s$ est une symetrie ou un glissement. Cours du 09/08/2008 =================== Lemme : Soit f un antideplacement de $\mathcal{E}$. a) Si f admet un point fixe, alors f est une symetrie orthogonale par rapport a une droite. b) Si f n'admet pas de point fixe, alors f est un glissement. Classification des isometries du plan par leur points fixes : Ensemble de points fixes Nature de l'isometrie Tout le plan l'identite une droite symetrie par rapport a une droite un seul point fixe rotation aucun point fixe translation de vecteur non nul ou glissement 2.4.4 Isometries affines de l'espace - - - - - - - - - - - - - - - - - - Rappels sur les applications affines. En particulier : si f est affine et sa partie lineaire n'admet pas la valeur propre 1, alors f admet un point fixe unique. Soit $\mathcal{E}$ un espace euclidien de dimension 3. Definition : Une rotation de $\mathcal{E}$ est un deplacement de E dont l'ensemble des points fixes est une droite. Remarque : Donc f est une rotation ssi f admet un point fixe et sa partie lineaire est une rotation vectorielle. Definition : L'axe d'une rotation f est sa droite de points fixes. L'angle de f est l'angle de sa partie lineaire. Si $\mathcal{E}$ est oriente et qu'on a muni l'axe de $f$ d'une orientation, la mesure de f est la mesure de sa partie lineaire. Remarque : Parfois on considere l'identite comme une rotation d'angle nul et d'axe arbitraire. Lemme : Soit r une rotation differente de l'identite et v un vecteur non nul dans la direction de l'axe de r. Alors r t_v = t_v r. Definition : L'isometrie r t_v s'appelle un vissage d'axe l'axe de r et de vecteur le vecteur v. Remarques : 1) Un vissage n'admet pas de point fixe. 2) Si r est un vissage, alors sa partie lineaire est une rotation. La direction D de l'axe de r est l'axe de sa partie lineaire. Soit H un plan orthogonal a D. Alors le vecteur v de r est l'unique vecteur de D tel que t_v (H) = r(H). Lemme : Soit r une rotation et v un vecteur. Soit A l'axe de r. Alors t_v r est une rotation si v est orthogonal a A et un vissage sinon. Proposition : Les deplacements de $\mathcal{E}$ qui ont un point fixe sont l'identite et les rotations. Ceux qui n'ont pas de point fixe sont les vissages et les translations de vecteur non nul. Proposition [admise] : Les antideplacements de $\mathcal{E}$ sont les symetries orthogonales par rapport a des plans; les "ipfu affines" les glissements de l'espace Classification des isometries de l'espace en fonction de leurs points fixes: - tous les points : l'identite - un plan : symetrie par rapport a ce plan - une droite : rotation (differente de l'identite) - un seul point : ipfu affine - aucun point fixe : translation de vecteur non nul, vissage, glissement de l'espace. 2.4.5 Similitudes planes - - - - - - - - - - - - - Soit $\mathcal{E}$ un plan euclidien. Soit $k$ un nombre strictement positif. Definition : Une application affine f de $\mathcal{E}$ est une similitude de rapport k si, pour tous P,Q de $\mathcal{E}$, on a d(f(P),f(Q))= k d(P,Q). Remarques : 1) f est une similitude de rapport k ssi sa partie lineaire g verifie |g(v)|= k |v| pour tous vecteurs v. En particulier, g est bijective. Donc f est bijective. 2) Les similitudes forment un sous-groupe du groupe des transformations affines de $\mathcal{E}$. Ce sous-groupe contient le groupe des isometries et le groupe des homotheties-translations. 3) Les similitudes de rapport k=1 sont exactement les isometries. Definition : Une similitude f est directe resp. indirecte si le determinant de sa partie lineaire est >0 resp. <0. Remarque : Les simlitudes directes forment un sous-groupe du groupe des similitudes. Ce sous-groupe contient les deplacements et les homotheties. Proposition : Soit f une similitude de rapport k different de 1. a) f a un unique point fixe C, appele le centre de f. b) Si h est l'homothetie de centre C et de rapport k, alors f=gh=hg, ou g est une isometrie qui a C pour point fixe. c) Si f est une similitude directe, alors f=h ou f=gh, ou g est une rotation de centre C. d) Si f est une similitude indirecte, alors f=hg, ou g est une symetrie orthogonale par rapport a une droite passant par C. Lemme : Soit C un point de $\mathcal{E}$ et A, A' des points de $\mathcal{E}$ distincts de C. Alors il existe une similitude directe f de centre C et une seule telle que f(A)=A'. Exemple : Dans le plan complexe, considere comme plan affine euclidien, l'unique similitude directe de centre 0 qui envoie le point 1 sur un point z_0 est la multiplication par z_0. Lemme : Soient A<>B et A'<>B' quatre points de $\mathcal{E}$. Alors il existe une unique similitude directe f qui envoie A sur A' et B sur B'. Exemple : Dans le plan complexe, si on se donne quatre points z_1<>z_2 et z_1' <> z_2', alors f est l'application qui envoie u sur (u-z_1) (z_2'-z_1')/(z_2-z_1) + z_1'. Lemme : Deux similitudes directes qui ont meme centre commutent. Remarque : Dans l'exemple ci-dessus, ceci se traduit par la commutativite du groupe des nombres complexes inversibles. Proposition : Soient C, A, B, A', B' des points de $\mathcal{E}$ tels que C est different de A, B, A', B'. S'il existe une similitude directe f de centre C qui envoie A sur B et A' sur B', alors il existe une similitude directe g de centre C qui envoie A sur A' et B sur B'. Cours du 06/01/2009 =================== 2.4.6 Applications aux similitudes directes - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1) Soient deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ qui se coupent en deux points C et D. Soient A un point sur $\mathcal{C}$ et A' un point sur $\mathcal{C'}$ tels que A,D,A' sont alignes. Alors l'unique similitude directe de centre C qui envoie $\mathcal{C}$ sur $\mathcal{C'}$ envoie A sur A'. 2) Soit f une similitude directe de centre C, $\mathcal{D}$ une droite et $\mathcal{D'}$ son image par f. On suppose que ces droites sont secantes en un point I. Alors pour tout point M de $\mathcal{D}$, les points C, I, M et f(M) sont cocycliques. Remarque : Dans la plupart des cas, ceci permet de trouver le centre de l'unique similitude directe qui envoie en couple de points A<>B sur un couple A'<>B' (prendre pour $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D'}$ les droites (AB) et (A'B') ). 3. Coniques - - - - - - 3.0 Rappels sur les endomorphismes symetriques ---------------------------------------------- Tout endomorphisme symetrique est diagonalisable dans une base orthonormee. Toute matrice symetrique (a coefficients reels) est diagonalisable et on peut choisir la matrice de passage orthogonale. 3.1 Equations d'une conique - - - - - - - - - - - - - - Soient $\cal E$ un plan affine euclidien et $E$ sa direction. Definition : Soient $O$ un point de $\cal E$, $q$ une forme quadratique sur $E$ et $l$ une forme lineaire sur $E$. Soit $k$ un reel. L'ensemble $(C)$ des points $M$ de $\cal E$ tels que $f(M)=q(\vec{OM}) + l(\vec{OM})=k$ s'appelle une conique de $\cal E$. Remarques : Si on choisit un repere affine d'origine $O$, une conique est donnee par une equation du second degre en les coordonnees de M, et reciproquement. Notre but dans ce paragraphe est de trouver un repere orthonormee dans lequel cette equation soit la plus simple possible. Definition : Un point $P$ est un centre de symetrie de $(C)$ si pour tout point $M$ de $E$, on a $f(M)=f(M')$ ou $M'$ est le symetrique de $M$ par rapport a P. Remarque : Si la forme lineaire l est nulle, alors $O$ est un centre de symetrie de $(C)$. Et reciproquement. Exemples de coniques dans R^2 : x^2+y^2=1, x^2+4y^2=4, x^2-y^2=1, -x^2+y=0. Les trois premieres on O comme centre de symetrie. Lemme: Supposons que $q$ est non degeneree. Alors la conique d'equation $f(M)=k$ admet un centre de symetrie et un seul. Ce centre est l'unique point critique de la fonction qui a M associe f(M). $\cal E$ un plan affine euclidien, $q$ une forme quadratique sur $\vec{\cal E}$, $l$ une forme lineaire, $O$ un point de $\cal E$ et $k$ un reel. On considere la conique (C) d'equation $ f(M) = q(\vec{OM}) + l(\vec{OM}) = k$. On suppose que $q$ est non degenere et que O est le centre de symetrie de (C) (donc $l=0$). - Lemme : Il existe un repere orthonorme $(O, u_1, u_2)$ et des reels $\lambda$ et $\mu$ tels que $f(O+x u_1 + y u_2) = \lambda x^2 + \mu y^2$. Demonstration : On definit l'application lineaire symetrique $\phi$ par $q(v)= (v, \phi(v))$. On choisit pour $u_1, u_2$ une base orthonormee formee de vecteurs propres pour $\phi$. - Exemple (ou le centre n'etait pas encore l'origine). Cours du 13/01/2009 =================== On considere l'equation $\lambda x^2 + \mu y^2 = k$ et on discute les cas possibles : 1) q est definie positive. Alors suivants les valeurs de k, la conique est vide (k<0), reduite a un point (k=0), ou est une ELLIPSE. Dans le dernier cas, si $\lambda=\mu$, il s'agit d'un cercle. 2) q est de signature $(1,1)$, i.e. $\lambda$ et $\mu$ sont de signe oppose. Si $k=0$, alors (C) est la reunion de deux droites distinctes passant par $O$. Si $k\neq 0$, alors $(C)$ est une HYPERBOLE. Elle est EQUILATERE si $\lambda=\mu$. 3) q est definie negative : on se ramene au premier cas en multipliant l'equation par -1. Definition : Si (C) est une hyperbole ou une ellipse qui n'est pas un cercle, alors les droites passant par O et de direction Ru_1 et Ru_2 s'appellent les axes de la conique. Remarques: 1) Les symetries orthogonales par rapport aux axes laissent la conique invariante. 2) $\lambda$ et $\mu$ sont les valeurs propres de l'application $\phi$. Si la conique est une hyperbole ou une ellipse qui n'est pas un cercle, alors $\lambda \neq \mu$, alors Ru_1 et Ru_1 sont les deux espaces propres associees. 3) Si $(C)$ est une ellipse, alors son equation dans le repere orthonormee est proportionnelle a l'EQUATION SOUS FORME NORMALE $ (x/a)^2 + (y/b)^2 =1$ pour deux reels $a,b>0$ appeles les longueurs des demi-axes de (C). (Dessin de l'ellipse). On en deduit que l'ellipse est bornee. En outre elle est fermee. Donc compacte. 4) Si (C) est une hyperbole, alors, apres echange eventuel de $u_1$ et $u_2$, son equation est proportionnelle a l'EQUATION SOUS FORME NORMALE $(x/a)^2 - (y/b)^2 =1$ ou $a,b$ sont des reels $>0$. Cette equation permet d'exprimer x en fonction de y et on voit que l'hyperbole n'est pas bornee (ni compacte). On voit egalement que ses aymptotes sont les droites d'equation $y=(b/a) x$ et $y=-(b/a)x$. Notons que les axes sont les bissectrices des asymptotes. Notons egalement que l'hyperbole est equilatere ssi ses asymptotes sont orthogonales l'une sur l'autre. Lemme: Pour une hyperbole de centre $O$, la reunion des asymptotes est l'ensemble des points $M$ tels que $q(\vec{OM}) =0$. Exemple : La conique d'equation x^2 - 3xy + 2 y^2 =5 dans R^2. Parametrage d'un cercle et d'une branche d'asymptote - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - On se donne l'equation d'une ellipse sous forme normale (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1. Alors si $M$ est un point de l'ellipse de coordonnees x,y , il existe un unique $t\in \R$ tel que $ x= a \cos(t)$ et $y= b \sin(t)$ (dessin comme dans le Liret-Martinais). On se donne l'eqation d'une hyperbole sous forme normale (x/a)^2 - (y/b)^2 =1. Si M est un point de l'hyperbole de coordonnees x,y et qu'il se trouve sur la branche de droite de l'hyperbole, i.e. x>0, alors (x/a+y/b)>0. Donc on a (x/a+y/b)= e^t pour un unique reel t. D'ou x/a-y/b=e^{-t} (car (x/a+y/b)(x/a-y/b)=1). On obtient que x= a (1/2)(e^t + e^{-t}) = a cosh(t) y= b (1/2)(e^t - e^{-t}) = b sinh(t). Exercice : Verifier que t est egal a (2S)/(ab) ou $S$ est la surface (avec signe) comprise entre l'axe des x, la courbe $\gamma(s)= (x(s), y(s))$, $0\leq s \leq t$ et la droite passant par O et $\gamma(t)$, ou $\gamma$ est le parametrage de l'ellipse ou de l'hyperbole. On pourra se servir du fait que $S = (1/2) \int_{0}^t (x(t) y'(t) - x'(t) y(t)) dt$. Etude du cas ou la forme quadratique est de rang 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - On etudie la conique (C) d'equation q(\vec{OM})+l{\vec{OM}) = k. On suppose que q est de rang 1. Quitte a multiplier l'equation par -1, on peut supposer que q est le carre d'une forme lineaire l_1. 1er cas : l et l_1 sont proportionnelles. En fonction de k et du facteur de proportionnalite, on trouve : l'ensemble vide, ou une droite "double", ou deux droites paralleles disjointes. 2e cas : l et l_1 sont lineairement independantes. Lemme : Alors il existe un repere orthonorme (S, u_1, u_2) tel que l'equation de (C) devient x^2 = 2py. On dit que (C) est une parabole. Demonstration : On choisit u_2 comme generateur unitaire du noyau de l_1 et on le complete en une base orthonormee u_1, u_2. Alors la conique (C) apparait dans le nouveau repere comme le graphe d'une fonction polynomiale de degre 2. Le point S est l'unique point extremal de ce graphe. Le parametre p est la derivee seconde de la fonction polynomiale. Definition : S s'appelle le sommet de la parabole et S+Ru_2 son axe. Exemple : Dans E=R^2, on considere la parabole d'equation (2x-y)^2-3x-y=1. (J'ai traite cet exemple suivant la methode esquisse ci-dessus, et non pas comme c'est fait dans le Liret-Martinais. La methode est un peu plus fastidieuse (parce qu'on travaille avec des vecteurs normes, d'ou des racines ...) mais egalement plus systematique.) Cours du 20/01/2009 =================== 2. Intersection d'une droite et d'une conique - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 2.1 Cas d'une ellipse ou d'une hyperbole ---------------------------------------- Soit $q$ une forme quadratique non degeneree sur E. On choisit un point O du plan et on considere la conique (C) d'equation q(\vec{OM})=k. Definition : Deux droites sont conjuguees par rapport a (C) si on a b(u,u')=0 ou u,u' sont leurs vecteurs directeurs. Proposition : Soit A un point de (C) et D une droite passant par A. Alors D coupe (C) au seul point A ou en deux points. Il y a un seul point d'intersection ssi - ou bien (C) est une hyperbole et la droite est parallele a l'une des asymptotes de (C) - ou bien D et (OA) sont conjuguees par rapport a (C). 2.2 Cas d'une parabole ---------------------- Proposition : Soit A un point de la parabole (P) et D une droite passant par A. Alors D coupe (P) au seul point A ou en deux points. Il y a un seul point d'intersection, ssi D est parallele a l'axe de (P) ou bien la droite est tangente a (P). 2.3 Tangente a une ellipse ou une parabole ------------------------------------------ Soit $q$ non degeneree et $(C)$ donnee par q(\vec{OM})=k. Soit A un point de (C). Alors l'equation de la tangente passant par A est b(\vec{OA},\vec{OM})=k. Proposition : Soit (C) une ellipse ou une hyperbole de centre O. Soit A un point de (C) et D une droite passant par A. Alors D est tangente a (C) en A ssi D et (OA) sont conjuguees. Exemples 1) Cas du cercle. 2) Cas d'une ellipse qui n'est pas un cercle : D et (OA) sont orthogonaux pour le produit scalaire ssi A est l'un des 4 sommets de l'ellipse. 2.4 Points d'ou l'on mene une tangente -------------------------------------- Lemme : Soit (C) une ellipse d'equation (x/a)^2 + (y/b)^2=1. Soit M un point de coordonnees (u,v). Alors il existe une tangente a (C) passant par M ssi (u/a)^2+(v/b)^2 \geq 1. Definition : On appelle exterieurs ces points et interieurs les autres. Lemme : a) Si (C) est l'hyperbole d'equation (x/a)^2 - (y/b)^2 =1, alors un point de coordonnees u,v est sur une tangente a (C) ssi (u/a)^2 - (v/b)^2 \leq 1. b) Si (P) est une parabole d'equation x^2 = 2py, alors un point de coordonnees u,v est sur une tangente a (P) ssi u^2 \geq 2pv. Definition : On appelle interieurs ces points et exterieurs les autres. Longue remarque : A partir du plan affine $\mathcal{E}$ on peut construire le "plan projectif" $\hat{\mathcal{E}}$ en rajoutant une droite a l'infini forme des points en bijection avec les classes de parallelisme de droites dans $\mathcal{E}$. Dans le plan projectif de droites distinctes se coupent toujours en un point (eventuellement a l'infini). Toute conique du plan affine se complete en une conique du plan projectif en rajoutant 0 (ellipse), 1 (parabole) ou 2 (hyperbole) a l'infini. Ces points correspondent a l'axe (parabole) respectivement aux asymptotes (hyperbole). Dans le plan projectif, une droite coupe une conique en un seul point ssi elle est tangente a la conique en ce point. 3. Foyers et directrices - - - - - - - - - - - - - Soient F un point du plan, $\cal D$ une droite ne passant pas par F et e un nombre reel >0. Proposition : L'ensemble (C) des points M tels que d(M,F)/d(M,{\cal D}) = e est une conique. Si e<1, alors (C) est une ellipse qui n'est pas un cercle, si e=1, alors (C) est une parabole, si e>1, alors (C) est une hyperbole. [Demonstration faite en detail.] Definition : On appelle F un foyer, $\cal D$ une directrice et e l'excentricite de (C). Lemme : Toute conique qui n'est pas un cercle est egale a la conique des points M tels que d(M,F)/d(M,{\cal D})=e pour certains F, {\cal D}, e. Plus precisement, on a le tableau [voir le tableau page 311 dans Liret Martinais]. Proposition : Soit (C) une conique qui n'est pas un cercle, F un foyer et $\cal D$ une directrice. Soit M un point de (C). On suppose que la tangente a (C) en M coupe $\cal D$ en un point I. Alors les droites (FI) et (FM) sont orthogonales. [Demonstration faite] Cours du 27/01/2009 =================== Construction d'une parabole : Dans le cas d'une parabole la bissectrice entre F et H (=projete orthogonal de M sur $\cal D$) est egale a la tangente a (C) en M. On en deduit une construction de points de la parabole (voir Liret-Martinais). [Fait en detail]. 4. Proprietes bifocales - - - - - - - - - - - - Soit (C) une hyperbole ou une ellipse qui n'est pas un cercle, de centre O, de foyer F et de directrice $\cal D$. On obtient le deuxieme foyer F' et la deuxieme directrice $\cal D'$ par symetrie centrale par rapport a O. 4.1 Cas d'une ellipse - - - - - - - - - - - On fixe un repere orthonorme (O; u_1, u_2). Soit (C) une ellipse d'equation (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1. Soient F, F' les foyers de (C). Proposition : (C) est l'ensemble des points M tels que MF+MF'=2a. [Demonstration faite en detail] Remarque : Ellipse du jardinier Proposition : Soit M un point de (C) qui n'appartient pas a la droite (FF'). Alors la tangente a (C) en M est bissectrice exterieure du triangle FMF'. Rques : 1) Interpretation optique : si on place une source de lumiere au foyer F, alors le point le plus lumineux autre que F est F'. 2) La parabole a une propriete analogue [que j'ai detaillee]. [Demonstration faite en detail. Comme on je n'avais pas les faisceaux harmoniques de droites a ma disposition, la demonstration etait un peu plus longue que dans le Liret-Martinais.] - Construction d'une ellipse : On se donne des reels 00 et (C) l'hyperbole d'equation (x/a)^2 - (y/b)^2 =1. Soient F,F' ses foyers et $\cal D'$, $\cal D$ ses directrices. Proposition : La branche de l'hyperbole du meme cote que F' par rapport a $\cal D'$ est le lieu des points M tels que MF - MF' = 2a. L'autre branche est le lieu des points tels que MF - MF' = -2a. Proposition : Si M est un point de l'hyperbole qui n'appartient pas a (FF'), alors la tangente en M est la bissectrice interieure en M du triangle FMF'. - Construction d'une hyperbole : [Construction analogue a celle de l'ellipse]