\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\font\goth=cmfrak
\def\permutations{\mbox{\goth S}}
\def\euro{\mbox{\textsf{C}\kern -2.33em{\raise0.24ex\vbox{\small\it =}}}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\myspace}[1]{}
%\newcommand{\myspace}[1]{#1\baselineskip}
\newcommand{\ko}{\;\;\; , \;\;\;\;}

\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}

\newcommand{\M}{\mathcal{M}}

\newcommand{\ra}{\rightarrow}

%%%%%%%%%%%%%%%Debut de macros de fiches d'exos
%les macros sont \exo, \qu, \quskip \squ \qusqu \qusquskip
\newcounter{exo}
\newcounter{question}
\newlength{\lng}
\newcounter{sousquestion}
\setcounter{exo}{1}
\def\exo{

  \bigskip
  \noindent{\bf Exercice
    \Roman{exo}:}\addtocounter{exo}{1}\setcounter{question}{0}\nopagebreak 

  }
\def\qu{

  \addtocounter{question}{1}\arabic{question})
  \setcounter{sousquestion}{1} }
\def\quskip{

  \bigskip
  \qu}
\def\squ{

  \settowidth{\lng}{\arabic{question})
  }\hspace{\the\lng}\alph{sousquestion}) \addtocounter{sousquestion}{1}} 
\def\qusqu{\qu\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\qusquskip{\quskip\nopagebreak \vskip -1\baselineskip \squ}
\def\stackunder#1#2{\mathrel{\mathop{#2}\limits_{#1}}}
\def\t#1{{{^t}#1}}

%%reference pour exos,squ {\`a} placer avant la question, qu est a placer apres
\def\labelexo#1{\expandafter\edef\csname refexo#1\endcsname {\Roman{exo}}}
\def\refexo#1{\csname refexo#1\endcsname}
\def\labelqu#1{\expandafter\edef\csname refqu#1\endcsname {\arabic{question})}}
\def\refqu#1{\csname refqu#1\endcsname}
\def\labelsqu#1{\expandafter\edef\csname refsqu#1\endcsname
  {\arabic{question}\alph{sousquestion})}} 
\def\refsqu#1{\csname refsqu#1\endcsname}  

%%%%%%%%%%fin de macros fiche d'exos
%macros taille page
\newlength{\elargir}
\setlength{\elargir}{2.cm}
\addtolength{\leftmargin}{-\elargir}
%\addtolength{\hoffset}{-\elargir}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%        

\renewcommand{\vec}[1]{\stackrel{\longrightarrow}{#1}}


\begin{document}
 \hrule\null\smallskip
%{\Large \noindent NOM:\hfill Pr{\'e}nom:\hfill\null}\smallskip
%\hrule\null\bigskip
\noindent{\bf Universit{\'e} de Paris 7 \hfill  2004-2005 \\ CAPES: Ecrit}
\begin{center}
 \framebox{\Large \bf  \hspace{ 1cm} Formes quadratiques, Espaces
 vectoriels euclidiens \hspace{1cm}}
\end{center}

\def\rep{
  \begin{tabular}[c]{|c|c|c|}
    \hline
    Oui&Non&jslp\footnotemark[1]\\
    \hline
  \end{tabular} }
% \footnotetext[1]{Je sais le prouver}
\exo \qu On consid{\`e}re la forme quadratique $q:\R^3 \longrightarrow \R$
d{\'e}finie par $q(x,y,z)=x^2+2xy+2yz+2xz$
Quelle est la signature de $q$~? D{\'e}terminer une base $q$-orthogonale
de $\R^3$.
\qu M{\^e}mes questions pour la forme quadratique 
$q(x,y,z,t)=xy+2xz+2xt+yz+4yt+2zt$ sur $\R^4$.
\qu Quelle est la signature de la forme quadratique sur $\R^{2n}$ de
matrice $\left( \begin{array}{cc} 0 & I_n\\ I_n & 0
  \end{array}\right)$?

%\exo Soit $q:\R^3 \longrightarrow \R$ une forme quadratique. D{\'e}crire
%(avec une param{\'e}trisation si n{\'e}cessaire) les courbes de niveau de
%$q$, c'est-{\`a}-dire les ensembles $L_c=\{v \in \R^3 \ | \ q(v)=c \}$
%pour tout $c \in \R$, lorsque la signature de $q$ est :
%a) $(0,0)$ , b) $(1,0)$ , c) $(2,0)$ , d) $(1,1)$ , e) $(3,0)$ , f) $(2,1)$.

\exo Soit $(E,\| . \|)$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$
et une
application $f:E \longrightarrow E$ telle que $f(0)=0$ qui conserve
les distances (i.e. $\forall x,y \in E$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$).
\qu Montrer que $f$ conserve la norme, puis le produit
scalaire (not{\'e} $<.,.>$).
\qu Soit $\alpha,\beta \in \R$, $x,y \in E$. On pose $z=f(\alpha x+
\beta y)-\alpha f(x)-\beta f(y)$. Calculer $<z, f(t)>$ pour tout $t
\in E$, puis $<z,z>$. En d{\'e}duire que $f$ est
lin{\'e}aire ($f$ est donc une isom{\'e}trie vectorielle).

\exo Dans l'espace euclidien $\R^4$ usuel, on consid{\`e}re l'hyperplan
$H$ d'{\'e}quation $x-2y+4z+2t=0$ et $p$ la projection orthogonale sur
$H$.
\qu Calculer $\|u-p(u)\|$ pour tout $u \in \R^4$.
\qu D{\'e}terminer la matrice de $p$ dans la base canonique de $\R^4$.

\exo On munit $E=\R_2[X]$ du produit scalaire $\varphi
(P,Q)=\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$. D{\'e}terminer la base orthonorm{\'e}e de $E$
obtenue {\`a} partir de la base canonique par le proc{\'e}d{\'e} de Gram-Schmidt. 


\exo \qu Soit $a, b, c $ trois vecteurs de $\R^3$. Montrer que $(a
\wedge b)\wedge c=-(c \cdot b)a+(c \cdot a) b$.
\qu Soit $u, v, w $ trois vecteurs de $\R^3$. Calculer
$\det (u \wedge v,v \wedge w,w \wedge u)$ en fonction de $det
(u,v,w)$.


%\newpage
\exo Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $(x_i)_{i=1,\ldots,p}$ une famille de vecteurs de
$E$. On appelle $Gram(x_1,...,x_p)$ le d{\'e}terminant de la matrice
$(x_i|x_j)$. 
\qu Montrer que $Gram(x_1,...,x_p)=0$ si et seulement si la famille
$(x_i)_{i=1,\ldots,p}$ est li{\'e}e.
\qu Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, et $a\in E$. On appelle distance de $a$
{\`a} $F$ : \mbox{$d(a,F)=\stackunder{x\in F}{inf}||x-a||$}.  Montrer que si
$x_1,...,x_p$ est une base de $F$, alors
$\displaystyle d(a,F)^2=\frac{Gram(a,x_1,...,x_p)}{Gram(x_1,...,x_p)}$.
\qu {\it Moindres carr{\'e}s} :\\
Soit une matrice $A\in {\cal M}_{n,p}(\R)$ avec $p \leq n$, telle que
$rg(A)=p$, et soit
$B\in {\cal M}_{n,1}(\R) $. Expliquer comment calculer $\stackunder{X\in
  {\cal M}_{1,p}(\R) }{inf}||AX-B||^2$.
\qu Soit $(a_1,...,a_n)$ une base de $E$, et $(b_1,...,b_n)$ la base orthonorm{\'e}e de
$E$ construite {\`a} partir de $(a_1,...,a_n)$ par orthonormalisation de
Gram-Schmidt. On note $A$ la matrice de passage de $(b_i)$ {\`a} $(a_i)$.
\squ Calculer $\t{A}A$. Comparer $\det A$ et $Gram(a_1,...,a_n)$
\squ Interpr{\'e}ter g{\'e}om{\'e}triquement $Gram(a_1,...,a_n)$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo Soit $n \in \N^*$, $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$ et $f \in
O(E)$. On veut montrer qu'il existe une base orthonorm{\'e}e de $E$ dans
laquelle la matrice de $f$ est de la forme
$$\left( \begin{array}{ccccccccccc}
1\\
&\ddots\\
&&1\\
&&&-1\\
&&&&\ddots\\
&&&&&-1\\
&&&&&&\cos\theta_1&-\sin\theta_1\\
&&&&&&\sin\theta_1&\cos\theta_1\\
&&&&&&&&\ddots\\
&&&&&&&&&\cos\theta_k&-\sin\theta_k\\
&&&&&&&&&\sin\theta_k&\cos\theta_k\end{array}\right),$$
o{\`u} $\theta_1,\ldots,\theta_k$ sont des nombres r{\'e}els.
\qusqu Montrer que si le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $f$ admet une racine r{\'e}elle, alors il existe une droite vectorielle de $E$ qui est stable par $f$.
\squ On suppose que le polyn{\^o}me caract{\'e}ristique de $f$ n'admet pas de racine r{\'e}elle. Soit $\cal B$ une base de $E$ et $A$ la matrice de $f$ dans cette base. On peut consid{\'e}rer $A$ comme un {\'e}l{\'e}ment de ${\cal M}_n(\C)$. Soit $\lambda$ une valeur propre (complexe) de $A$ et $Z$ un vecteur propre associ{\'e}. On {\'e}crit $Z=U+iV$ o{\`u} $U$ et $V$ sont des vecteurs colonnes r{\'e}els. Montrer que les vecteurs $AU$ et $AV$ sont combinaisons lin{\'e}aires r{\'e}elles de $U$ et $V$. 
\squ En d{\'e}duire qu'il existe un sous-espace de $E$ de dimension 1 ou 2 qui
est stable par $f$.
\qu Montrer que si un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $f$ alors $F^{\perp}$ l'est aussi.
\qu On suppose $n=2$. 
\squ Montrer que si $\det f=1$ alors il existe
$\theta \in \R$ tel que dans toute base orthonorm{\'e}e de $E$ la
matrice de $f$ est $\left(\begin{array}{cc}\cos\theta&-\sin\theta\\
\sin\theta&\cos\theta\end{array}\right)$. 
\squ Montrer que si $\det f=-1$ alors il existe une base orthonorm{\'e}e de
$E$ dans laquelle la matrice de $f$ est 
$\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}\right)$.
\qu Montrer le r{\'e}sultat par r{\'e}currence sur $n$.

\exo Soit $E$ un plan vectoriel euclidien, $u$ et $u'$ deux
vecteurs unitaires non colin{\'e}aires de $E$ et ${\cal D}$ et ${\cal D'}$ les droites
vectorielles qu'ils engendrent. On d{\'e}signe par ${\cal B}_i$ la
droite vectorielle engendr{\'e}e par $u+u'$ (bissectrice int{\'e}rieure)
et par ${\cal B}_e$ celle engendr{\'e}e par $u-u'$ (bissectrice
ext{\'e}rieure). D{\'e}montrer que~:
\qu ${\cal B}_i$ et ${\cal B}_e$ sont orthogonales.
\qu La sym{\'e}trie orthogonale d'axe ${\cal B}_i$ {\'e}change ${\cal D}$ et ${\cal
  D'}$.
\qu ${\cal B}_i \cup {\cal B}_e$ est l'ensemble des vecteurs de $E$
{\'e}quidistants de ${\cal D}$ et ${\cal D'}$.
\qu ${\cal B}_i$ est l'ensemble des vecteurs $v$ de $E$ v{\'e}rifiant $\widehat{u,v}=\widehat{v,u'}$.

\exo Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$.
\qu Soit $f \in L(E)$ qui commute avec toutes les sym{\'e}tries
orthogonales. Montrer que $f$ est une homoth{\'e}tie.
\qu D{\'e}terminer le centre de $O(E)$.
\qu D{\'e}terminer le centre de $SO(E)$ (distinguer suivant la parit{\'e}
de $n$).

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}