Université de Paris 7 2004-2005 CAPES: Ecrit

Géométrie affine I

Exercice I:

Montrer que F = \{( \begin{matrix}1 + 2a − b & 0 \\ 2 − a − b & a − b \end{matrix} ) , (a, b) ∈ ℝ^{2}\} est un sous-espace affine de M_{2}(ℝ).

Exercice II:

Montrer que F = {f ∈ ℝ^{ℝ} | ∀x ∈ ℝ, f(x + 1) = f(x) + 1} est un sous-espace affine de ℝ^{ℝ}. En déterminer un point et la direction.

Exercice III:

Soit E un espace affine réel de dimension 3, muni d’un repère cartésien (O; u^{⟶}, v^{⟶}, w^{⟶}). Soit les points

A ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) , B ( \begin{matrix}2 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} ) , C ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −2 \end{matrix} ) ,

les droites

d_{1} \{ \begin{matrix}x & = & 3 − λ \\ y & = & 1 + 2λ \\ z & = & −1 + λ \end{matrix} , λ ∈ ℝ, d_{2} \{ \begin{matrix}x & = & 1 + 3μ \\ y & = & −2μ \\ z & = & 3 + 5μ \end{matrix} , μ ∈ ℝ,

les plans

(P_{1}) \{ \begin{matrix}x & = & 1 − 2λ + 3μ \\ y & = & −2 + λ + μ \\ z & = & 4 − λ − 2μ \end{matrix} , (λ, μ) ∈ ℝ^{2}, (P_{2}) 2x − y + 3z − 1 = 0, (P_{3}) x + 2z − 4 = 0.

1) Donner une équation cartésienne de P_{1}.

2) Déterminer une représentation paramétrique de P_{2} ∩ P_{3}.

3) Donner une équation cartésienne du plan contenant A, B et C.

4) Déterminer l’intersection de d_{1} et de P_{2}.

5) Donner une équation cartésienne du plan Q contenant d_{1} et parallèle à d_{2}.

6) Déterminer P_{1} ∩ P_{2} ∩ P_{3}.

7) Déterminer l’intersection de P_{2} avec la droite (AB).

8) Donner une représentation paramétrique de la droite passant par A, parallèle à P_{2} et coupant d_{1}.

9) Donner une équation cartésienne du plan passant par C et contenant d_{1}.

Exercice IV:

Soit E un plan affine muni d’un repère cartésien. Pour un point P, on note x_{P} , y_{P} ses coordonnées. Montrer que trois points P, Q, R sont alignés si et seulement si

det ( \begin{matrix}x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ x_{R} & y_{R} & 1 \end{matrix} ) = 0.

Dans tous les exercices qui suivent, on se place dans un plan affine P muni d’un repère affine (A, B, C).

Exercice V:

Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q})

et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). Démontrer que P, Q et R sont alignés si et seulement si | \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | = 0.

En déduire l’équation en coordonnées barycentriques d’une droite (QR) (avec Q ≠ R).

Exercice VI:

Soit (α, β, γ) un système de coordonnées barycentriques d’un point M de P. Trouver une condition nécessaire et suffisante liant α, β et γ pour que :

1) le point M appartienne à la droite (AB);

2) le point M appartienne à la médiane issue de B du triangle ABC;

3) le point M soit sur la parallèle à la droite (BC) menée par le milieu du segment [AB].

Exercice VII:

Soit des points L, M, N qui se trouvent sur les droites (AB), (BC), (CA) respectivement et sont distincts de A, B, C. Montrer que L, M, N sont alignés si et seulement si

\frac{\overline{LA}}{\overline{LB}} \frac{\overline{MB}}{\overline{MC}} \frac{\overline{NC}}{\overline{NA}} = 1.

Exercice VIII:

Soit M un point de P. On désigne respectivement par P, Q et R les symétriques de M par rapport aux milieux des côtés [BC], [CA] et [AB]. On note G et K les centres de gravité respectifs des triangles ABC et P QR.

1) Montrer que MK^{⟶}= 2 MG^{⟶}.

2) Montrer que les milieux des segments [AP], [BQ] et [CR] sont confondus en un point L. Montrer que L est le milieu de [GK].

Exercice IX:

Soit M un point tel que les droites (AM), (BM) et (CM) rencontrent respectivement (CB), (AC) et (AB) en A′, B′ et C′. On note K le symétrique de A′ par rapport à (AB) parallèlement à (CC′) et I le point d’intersection des droites (AB) et (A′K). Soit (α, β, γ) les coordonnées barycentriques de M dans le repère affine (A, B, C).

1) Exprimer les coordonnées barycentriques de A′, B′ et C′ puis celles de I et de K.

2) Que peut-on dire de K, C′ et B′?

Exercice X:

Soit P, Q et R des points de P de coordonnées barycentriques respectives (α_{P} , β_{P} , γ_{P}), (α_{Q}, β_{Q}, γ_{Q}) et (α_{R}, β_{R}, γ_{R}). On définit l’aire algébrique du triangle P QR (éventuellement dégénéré) par l’égalité

Aire (P QR) = | \begin{matrix}α_{P} & β_{P} & γ_{P} \\ α_{Q} & β_{Q} & γ_{Q} \\ α_{R} & β_{R} & γ_{R} \end{matrix} | .

1) Montrer que, pour deux triangles P QR et P′Q′R′, le rapport \frac{Aire (P QR)}{Aire (P′Q′R′)} ne dépend pas du choix du repère (A, B, C).

2) Montrer que les coordonnées d’un point S dans un repère (P, Q, R) sont données par les rapports

\frac{Aire (SQR)}{Aire (P QR)}, \frac{Aire (P SR)}{Aire (P QR)}, \frac{Aire (P QS)}{Aire (P QR)}.